青岛版九年级上册《一元二次方程》教学课件
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青岛版九年级数学上册《用公式法解一元二次方程》PPT教学课件
24
3
第三页，共十四页。
用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)
解析:把方程两边都除以a,
移项，得 x2 + xb= - c
a
a
配方，得 x2 + xb+( )2=b- +( c)2
b
a 2a a 2a
即 ( x + )2 = b 2a
b2 4ac 4a 2
4
第四页，共十四页。
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49.
∴ x = b b2 4ac 2a
即 x1= - 3, x2= . 1 2
5 49 22
57 4
6
第六页，程3x2+5x-2=0
【解析】 a= ,3b= ,c =5 . -2
b2-4ac=
52-4×3×(-2)=49
x= b =b2 4ac 5 7
即 x1=-2 , x2=a .
6
1
3
7
第七页，共十四页。
2.用公式法解下列方程：
(1)x2 +2x=5
(x1 1 6, x2 1 6)
(2) 6t2 -5=13t
(t1
5 2
,t2
1) 3
8
第八页，共十四页。
例题
【例2】用公式法解方程:x2+3=2 x 3
x b b2 4ac (a≠0, b2-4ac≥0) 否则原方程无解2. a
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
11
第十一页，共十四页。
1. 方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2，则 (x1-1)(x21)=______. 【解析】由求根公式可得方程x2-2x-1=0的两个实数根
青岛版九年级上册数学《一元二次方程》PPT教学课件
4. 将下列方程化为一般形式，并分别指 出它们的二次项、一次项和常数项及它 们的系数：
⑴ 6y2 y
⑵ (x 2)(x 3) 8 ⑶ (2 3 x)(2 3 x) (x 3)2
?
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整 式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
一元一次方程
一元二次方程
ax+b=0 (a≠0） ax2+bx+c=0 (a≠0） 整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
探究
认识了一元二次方程,接下来我们 就要探求一元二次方程的解.
方程解的定义是怎样的呢?
能使方程左右两边相等的 未知数的值就叫方程的解
问题 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之 间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程 计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应 邀请多少个队参加比赛?
解:设邀请了x队参加比赛,根据题意得:
1 x(x 1) 28 2
即:x(x-1)=56
思考:
• 你能否说出下列方程的解?
• 1) x2 36 0
• 2) x2 36 0
• 3) (x 6)2 0
一元二次方程的根的情况与一元一 次方程有什么不同吗?
练习:
1)下面哪些数是方程x2 x 6 0 的根?
可以写成：3x2-x-6=0
整理，得： -3x2+x+6=0
二次项系数是-3，一次项系数是1，常数项是6。
例：已知关于x的一元二次方程 x2+ax+a=0的一 个根是3，求a的值.
解：由题意得
把x =3代入方程x2+ax+a=0得，
青岛版-数学-九年级上册-4.7 一元二次方程的应用第1课时 课件
( x 11)2 0. x(11 x)的最大值为：121
2
4
答:用这根铁丝围成的矩形最大面积是
121 cm2 4
2.如何列一元二次方程解决实际问题？ 应注意什么？ 1.审题 2.列方程 3.解方程 4.检验 5.答
自主展示 在一块宽20m、长32m的矩形空地上,修筑宽相等的三条 小路(两条纵向,一条横向,纵向与横向垂直),把矩形空地 分成大小一样的六块,建成小花坛.如图要使花坛的总面 积为570 m2 ,问小路的宽应为多少？
面积可表示为__x_(_1_1_-x_)__; (3) 假 设 能 围 成 面 积 是 30cm2 的 矩 形 . 可x(1得1-x方)=3程0
__________.
x(11-x)=32
(4) 假 设 能 围 成 面 积 是 30cm2 的 矩 形 . 可 得 方 程
解:设这根铁丝围成的矩形的长是xcm, 则矩形的宽是（11-x）cm
(1) 根据题意得 x(11 x) 30 整理得 x2 11x 30 0 解得 x1 5, x2 6
当x1 5时，11 x 6; 当x2 6时，11 x 5;
答:长22cm的铁丝能围成面积是30cm2的矩形.
(2) 根据题意得 x(11 x) 32
整理得 x2 11x 32 0 因为 b2 4ac (11)2 41 32 121128 7 0 所以此方程没有实数解.
合作探究
阅读:问题1 问题1. 用一根长22 cm的铁丝： （1）能否围成面积是30 cm2的矩形？ （2）能否围成面积是32问题1中的等量关系是 _矩__形__的__长__×__矩__形__的__宽__=_矩__形__的__面__积_____ (2)设长为xcm,则宽为_（__1_1_-x_）__c_m___ ,
九年级数学上册一元二次方程一元二次方程的应用课件青岛
4. 我市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番, 那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少?
解: 设每年的平均增长率为 x,根据题意,得
(1 x)2 2.
解这个方程: (1 x) 2, x 1 2,
x1 1 2 41.42%; x2 1 2 0(不合题意,舍去). 答: 每年的平均增长率约为41.42%.
回例顾题与赏复析习 1
生活经中济的腾增飞长率
例3：某工厂2002年的产值是500万元,2004年的产值是 605万元, 求2002-2004年该厂产值的平均增长率。
解: 设每年平均增长率为x,根据题意,得
500(1 x)2 605
解这个方程: (1 x)2 1.21,
(1 x) 1.1,
x 11.1, x1 11.1 10%; x2 11.1 0(不合题意, 舍去).
解: 设这种储蓄的年利率为 x,根据题意,得
5000 (1 80 x%)2 5145 .
解这个方程: (1 0.8x)2 1.029 ,
(1 0.8x) 1.0144, x 11.0144 ,
0.8 x1 0.018 1.8%; x2 2.518 0(不合题意,舍去). 答: 这种储蓄的年利率约是1.8%.
分析:
相等关系:经过两年平均增长后的图书=7.5万册.
去年 今年
基数 平均增长率
5
x
明年 5(1+x)
x
年底数量 5
5(1+x) 5(1+x)(1+x) =5(1+x)2.
1.学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年 底增加到7.5万册.求这两年的年平均增长率.
解: 设每年的平均增长率为 x,根据题意,得
青岛版九年级上册数学《一元二次方程的应用》PPT教学课件
(40-2x)(28-2x)=364
原方程可以写成 x2-34x+189=0. 这里 a=1，b=-34，c=189， b2-4ac =(-34)2-4×1×189=(2×17)2-4×189
= 4(172-189)=4×(289-189)=400，
解得 x1=27，x2=7 ．
如果截去的小正方形的边长为27 cm，那么左下角和 右下角的两个小正方形的边长之和为54 cm，这超过了 矩形铁皮的长40 cm. 因此x1=27不合题意，应当舍去．
解：设道路宽为x m，则新矩形的边长为(32-x)m，宽 为(20-x)m，根据等量关系列出方程。
(32-x)(20-x)=540
整理，得 x²-52x+100=0
解得 x1=2 , x2=50 x2=50＞32 ，不符合题意，舍去,故 x=2.
答：道路的宽为2米.
例4 如图2-6所示，在△ABC中，
答：截去的小正方形的边长为 7 cm．
例3 如图2-4，一长为32m、宽为24m的矩形地面上 修建有同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分 进行了绿化.若已知绿化面积为540m²，求道路的宽.
分析： 虽然“整个矩形的面积-道 路所占面积=绿化面积”，但道路 不是规则图形，因此不便于计算。 若把道路平移，此时绿化部分就成 了一个新的矩形了，
整理，得 (1+x)²=1.44 解得 x1=0.2=20% , x2=-2.2 (不符合题意，舍去)
答：平均每年藏书增长的百分率为20%。
2.某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20
件，每件可盈利44元．若每件降价1元，则每天可
多售出5件．若要平均每天盈利1600元，则应降价
多少元？
解：设应降价x元，则 (44-x)(20+5x)=1600
原方程可以写成 x2-34x+189=0. 这里 a=1，b=-34，c=189， b2-4ac =(-34)2-4×1×189=(2×17)2-4×189
= 4(172-189)=4×(289-189)=400，
解得 x1=27，x2=7 ．
如果截去的小正方形的边长为27 cm，那么左下角和 右下角的两个小正方形的边长之和为54 cm，这超过了 矩形铁皮的长40 cm. 因此x1=27不合题意，应当舍去．
解：设道路宽为x m，则新矩形的边长为(32-x)m，宽 为(20-x)m，根据等量关系列出方程。
(32-x)(20-x)=540
整理，得 x²-52x+100=0
解得 x1=2 , x2=50 x2=50＞32 ，不符合题意，舍去,故 x=2.
答：道路的宽为2米.
例4 如图2-6所示，在△ABC中，
答：截去的小正方形的边长为 7 cm．
例3 如图2-4，一长为32m、宽为24m的矩形地面上 修建有同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分 进行了绿化.若已知绿化面积为540m²，求道路的宽.
分析： 虽然“整个矩形的面积-道 路所占面积=绿化面积”，但道路 不是规则图形，因此不便于计算。 若把道路平移，此时绿化部分就成 了一个新的矩形了，
整理，得 (1+x)²=1.44 解得 x1=0.2=20% , x2=-2.2 (不符合题意，舍去)
答：平均每年藏书增长的百分率为20%。
2.某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20
件，每件可盈利44元．若每件降价1元，则每天可
多售出5件．若要平均每天盈利1600元，则应降价
多少元？
解：设应降价x元，则 (44-x)(20+5x)=1600
青岛版九年级数学上册第4章一元二次方程复习课件
代数式化成含两根之和,两根之积的情势,再整体代入.
图形面积问题：
如图，要在墙边围一个矩形花圃．花圃的
一边靠墙（墙的长度不限），另三边用篱
笆围成．如果矩形花圃的面积为50平方米，
篱笆长20米，求矩形花圃的长和宽各是多少
米？
增长率问题：
甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元.
该公司缴税的年平均增长率为多少?
1+2+3+…+x-1=15，
(−)
即
=15，
∴x2-x-30=0，
∴x=6或x=-5（不合题意，舍去）．
答：应邀请6个球队参加比赛．
双循环问题：
x（x-1）=n
在一次会议上，参加会议的人之间互送名片，一
共送出了210张名片，求参加这次会议的人数．
解：设参加这次会议的人数有x人，
x（x-1）=210，
方程两边都是整式
一元二次方程的定义 只含有一个未知数
ax²+bx+c=0
（a0）
一
元
二
次 一元二次方程的解
方 法
程
未知数的最高次数是2
直接开平方法
因式分解法
配方法
公式法
一元二次方程的应用
判断下列方程是不是一元二次方程，若不是一元二
次方程，请说明理由？
1、(x－1)２＝４
3、x2+
1
x
＝１
5、x３－２x２＝１
20千克,现该商场要保证每天盈利6000元,同时又
让顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?
每千克的盈利×每天的销售量=每天的盈利
+1
+x
-20
青岛版数学九年级上册用配方法解一元二次方程课件15张
x2
3
4
17
自我尝试
解方程： 1.x2 +12x+25=0 x1=-3, x2=-9
2.x2+ 1 x=1
2
x1=
1 4
17
,
x2=
1 4
17
合作交流 用配方法解一元二次方程的一般步骤及注意问题： 1.将方程变为一般情势. 2.移项,把常数项移到等号的右边.（变号） 3.配方,方程的两边都加上一次项系数一半的平方, (等式的性质) 4.写成完全平方的情势. 5.利用直接开平方法进行开方求得两根.
方程两边都加
(1 )2 2
,得
x2 x (1)2 2
1 (1)2 2
即 ( x 1)2 5
24
由平方根的意义,得
x
1 2
5 2
所以 x1
5 1 0.618, 2
x2
5 1 1.618 2
在4.1节问题(3)中,x 为线段AC与AB的比,必须满足x>0. 所以x2不合题意,应当舍去,问题(3)的答案是：AACB 的值 约为0.618
学以致用 如图，在一块长Байду номын сангаас5m,宽26m的矩形地面上,修建同样
宽的两条互相垂直的道路,剩余部分栽种花草,要使剩
余部分的面积为850m2,道路的宽应为多少？
解:设道路的宽应为xm
35m
26×35=35x+26x+850 -x2 26m x2_61x+60=0
x2_61x=-60
x2_61x+ 3721 =-60+ 3721
解: (2)移项,得x2-3x=-2
配方,方程两边都加 ( 3)2，得 x2 3x ( 3)2 2 ( 3)2
九年级数学上册一元二次方程用公式法解一元二次方程课件青岛版
b2 4ac 0时，原方程无解
因为负数不能开平方
精讲点拨
例 1 解方程：x2-7x-18=0
例 2解方程： 2x2=9x
提示： １.先确定a、b、c的值，注意符号，计算 b2-4ac的值； ２.例1直接运用公式；例2应先化为一般形 式。 ３．例２中常数项ｃ＝０，
跟踪练习
1．用适当的数填空： ① x2+6x+ =（x+ ）2； ② x2－5x+ =（x－ ）2； ③ x2+ x+ =（x+ ）2； ④ x2－9x+ =（x－ ）2 2．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结
2a
一元二次方程 的求根公式
一元二次方程 ax2 bx c 0 的
求根公式：
xxbb 2b2ba2a244aacc(b(b2244aacc00))
利用这个公式，我们可以由一元二 次方程中系数a、b、c的值，直接求得 方程的解，这种解方程的方法叫做公式 法。
思考： 当b2 4ac 0时，方程有解吗？为什么？
第四章
4.3 用公式法解一元二次方程 第一课时
学习目标：
1.能用配方法推导出一元二次方程的求 根公式；
2. 理解公式法，会用公式法解数字系数 的一元二次方程。
探究新知
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax 2 bx c 0 （a ≠ 0）
解: 把方程两边都除以 a
x2 b x c 0 aa
移项，得
x2 b x c
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
因为负数不能开平方
精讲点拨
例 1 解方程：x2-7x-18=0
例 2解方程： 2x2=9x
提示： １.先确定a、b、c的值，注意符号，计算 b2-4ac的值； ２.例1直接运用公式；例2应先化为一般形 式。 ３．例２中常数项ｃ＝０，
跟踪练习
1．用适当的数填空： ① x2+6x+ =（x+ ）2； ② x2－5x+ =（x－ ）2； ③ x2+ x+ =（x+ ）2； ④ x2－9x+ =（x－ ）2 2．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结
2a
一元二次方程 的求根公式
一元二次方程 ax2 bx c 0 的
求根公式：
xxbb 2b2ba2a244aacc(b(b2244aacc00))
利用这个公式，我们可以由一元二 次方程中系数a、b、c的值，直接求得 方程的解，这种解方程的方法叫做公式 法。
思考： 当b2 4ac 0时，方程有解吗？为什么？
第四章
4.3 用公式法解一元二次方程 第一课时
学习目标：
1.能用配方法推导出一元二次方程的求 根公式；
2. 理解公式法，会用公式法解数字系数 的一元二次方程。
探究新知
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax 2 bx c 0 （a ≠ 0）
解: 把方程两边都除以 a
x2 b x c 0 aa
移项，得
x2 b x c
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
青岛版九年级上册数学《一元二次方程》教学课件
二次项 一次项 常数项
ห้องสมุดไป่ตู้
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指 出它的二次项系数、一次项系数和常数项
1 3xx 1 4x 2
2 x 32 x 24x 1
3 2y 5y 1 y2 8
4 2t t 12
（1）若方程m 2x m 3x 1 0 是关x的一元二次方程，
求m的值.
（2）方程 ax2 x 2x2 3一定是一元二次方程吗？
为什么？
当堂检测
1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ C ）
A. x2 1 0 B. x
C. x 1x 2 1D.
ax2 bx c 0
3x2 2xy 5y2 0
2.当k ≠ -1时， k 1x2 x 是6 关0于x的一元二次方程.
①
x米
80米
100米 x米
② x米
（1） x2x 3 54 （2） x2 x 72 112
（3） x2 1 x
方程两边都是整式，只含有一个未知数， 并且整理后未知数的最高次数都是2，像这 样的方程叫做一元二次方程.
经过整理，一元二次方程都可以化为
ax2 bx c 0 a 0
的形式，称为一元二次方程的一般形式.
青岛版九年级上册数学《用配方法解一元二次方程》PPT课件(第1课时)
10
1. 方程x2-5x-6=0的两根为（ ）
A.6和-1
B.-6和1 C.-2和-3
D. 2和3
【解析】选A.
移项，得 x2-5x＝6
配方, 得x2-5x＋（- 5）2=6＋（-5）2.
2
2
即（x- ）52= 49x- = ,5 7
2
4
22
所以 x1=6，x2=-1.
11
2. 方程 x 6 = x 的根是 ______.
3
例2 解方程x2+x-1=0（精确到0.001）
4
例题
二次项系数不 是1，为便于配方，可
先把方程的二次项系数
【例3】解方程：2x2+3x-1=0
化为1
5
跟踪训练
解方程（1）3x2 -6x=0
（2）2x2-4x-3=0
6
方法总结 1、解一元二次方程的基本思路： 将方程化为（x+m)2=n的形式，它的一边是一个完全平方式， 另一边是一个常数，当n≥0时，两边开平方即可求出它的 解，这种方法叫配方法.
两边都加上（-3）2，得 x2-3x＋（-3）2= （-3）2 -11. 即（x-3）2= -2 因为实数的平方都是非负数，所以无论x取任何实数， （x-3）2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实根.
13
1、配方法解一元二次方程的基本思路是什么？ 将方程化为（x+m)2=n的形式，它的一边是一个完全平方 式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边开平方即可求出 它的解. 2、配方法解一元二次方程应注意什么问题？ 关键的一步就是配方，两边都加上一次项系数一半的平方.
3
(x 5)2 9
①
x2 10x 25 9 ②
1. 方程x2-5x-6=0的两根为（ ）
A.6和-1
B.-6和1 C.-2和-3
D. 2和3
【解析】选A.
移项，得 x2-5x＝6
配方, 得x2-5x＋（- 5）2=6＋（-5）2.
2
2
即（x- ）52= 49x- = ,5 7
2
4
22
所以 x1=6，x2=-1.
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2. 方程 x 6 = x 的根是 ______.
3
例2 解方程x2+x-1=0（精确到0.001）
4
例题
二次项系数不 是1，为便于配方，可
先把方程的二次项系数
【例3】解方程：2x2+3x-1=0
化为1
5
跟踪训练
解方程（1）3x2 -6x=0
（2）2x2-4x-3=0
6
方法总结 1、解一元二次方程的基本思路： 将方程化为（x+m)2=n的形式，它的一边是一个完全平方式， 另一边是一个常数，当n≥0时，两边开平方即可求出它的 解，这种方法叫配方法.
两边都加上（-3）2，得 x2-3x＋（-3）2= （-3）2 -11. 即（x-3）2= -2 因为实数的平方都是非负数，所以无论x取任何实数， （x-3）2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实根.
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1、配方法解一元二次方程的基本思路是什么？ 将方程化为（x+m)2=n的形式，它的一边是一个完全平方 式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边开平方即可求出 它的解. 2、配方法解一元二次方程应注意什么问题？ 关键的一步就是配方，两边都加上一次项系数一半的平方.
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(x 5)2 9
①
x2 10x 25 9 ②
青岛版数学九年级上册一元二次方程的应用课件(共19张)
解:设该商品每个涨价x元,则 根据题意，得 (50 x 40)(500 10x) 8000 整理,得 x2 -40x+300=0 解,得 x1 =30,x2=10
经检验,x1=30,x2=10 均合题意.
∴售价为 50+x =80或60
∴该商品的售价为80元或60元.
例题讲授
例6、某专卖店销售某种脐橙，其进价是每千克40元，按 每千克60元出售时，平均每天可售出100千克。经市场调 查发现,该脐橙每千克降价2元,其平均每天的销量可增加 20千克，若该专卖店要想平均每天获利2240元，为尽快 减少库存，则每千克脐橙应降价多少元？
②当x 4时，16 x 12
经检验,当两个正方形的边 长分别是12cm和4cm时，都 符合题意.
∴两个正方形的边长分别是 12cm和4cm.
例题讲授
例2、有一块长40m,宽30m的矩形铁片,在它的四周截去一 个全等的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子， 怎样截能使底面积所占面积为本来矩形面积的一半？
复习回顾
2、列方程（组）解应用题时的题型：
（1）
：（2）工程问题：（3）市场营销问题：
（4）
： （5）银行存款问题：
（6）利率问题： （7）数字问题；等等
同样，与我们学习过的一元一次方程、二元一次方程组 和分式方程一样,一元二次方程也是刻画现实生长64cm的铁丝剪成两段,再将每段分别围成 正方形(如图),如果这两个正方形的面积和等于160cm2, 求两个正方形的边长。
10m
M A
N D
B
C
解:设花圃的宽AB为xcm,则长
BC为(24-3x)cm,根据题意，得
x(24 3x) 45
整理,得 x2 -8x+15=0 解,得 x1 =3,x2=5 经检验,当x1=3时, 24-3x=15>10 不合题意，舍去. ∴花圃的宽AB为5cm.
青岛版九上配方法(1)《一元二次方程的解法》PPT课件
小结
• • • •
拓展
回味无穷
本节课复习了哪些旧知识呢？ 会见了个“老朋友”: 如果x2=a,那么x= a . 平方根的意义: 本节课你又学会了哪些新知识呢？ 学习了用开平方法解一元二次方程:
(x+a)2=b
xa b
x a b
独立作业
知识的升华
1.如图,在一块边长35m的正方形地面上,修建同样宽 的两条互相垂直的道路,剩余部分栽种花草,为使剩余部 分的面积为1089m2,道路的宽应是多少？ 解：设道路的宽为 x m，根据题意得
x1 5
老师提示: 这里是解一元二次方程的 基本格式,要按要求去做.
x2 5
小小总结
老师提示
xa b
形如: (x+a)2=b
x a b
这个步骤叫开平方， 这种解法叫开平方法
例题赏析
解下列方程:
1.
4x2 – 7 = 0;
2. 9(x + 1)2 = 25;
九年级数学(上)第三章 一元二次方程
1.配方法(1)一元二次方程的解法
回顾与复习
你还能规范解下列方程吗?
你还认识“老朋友” 吗
(2) 4x2﹣7=0.
(3) 9 (x+3)2=1.
回顾与复习
平方根的意义:
旧意新释:
2
你还认识“老朋友” : 1.x 5. x 5,
35m
(35-x)2 ＝1089.
解这个方程,得 x1 ＝2
35m
x2 ＝68 (不合题意,舍去)
答:道路的宽应为2m.
独立 作业
知识的升华
2. 解下列方程:
(1). (x-1)2=4 (2). 4-(x-1)2=0 (3). x2 -2x-1 = 4.
青岛版九年级数学上册 (用公式法解一元二次方程)教学课件
x= b b2 4ac 叫做求根公式 2a
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
5
例题
【例1】用公式法解方程:2x2+5x-3=0
【解析】 a=2 , b=5 , c= -3 .
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49.
∴ x = b b2 4ac 2a
即 x1= - 3, x2=
b2 4ac 0时，原方程无解
因为负数不能开平方
精讲点拨
例 1 解方程：x2-7x-18=0
例 2解方程： 2x2=9x
提示： １.先确定a、b、c的值，注意符号，计算 b2-4ac的值； ２.例1直接运用公式；例2应先化为一般形 式。 ３．例２中常数项ｃ＝０，
跟踪练习
1．用适当的数填空：
①、x2+6x+
(x1 1 6, x2 1 6)
(2) 6t2 -5=13t
(t1
5 2
,t2
1) 3
8
例题
【例2】用公式法解方程:x2+3=2 3 x 解 将方程化为一般形式，得 x2 - 2 3x 3 0 这里 a 1， b -2 3，c 3. b2 4ac (-2 3)2 41 3 0, x 2 30, 2 即 x1 x2 3.
移项，得
x2 b x c
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
探究新知
∵ a≠0, ∴4a ＞2 0, 当 b2 4ac ≥0 时
2
b
b 4ac
x 2a
青岛版九年级上册数学《一元二次方程的应用》PPT课件(第1课时)
7
【解析】 (1）依题意可知△ABC是等腰直角三角形，△DFC也是等腰 直角三角形，AC可求，CD就可求，因此由勾股定理便可 求DF的长． （2）要在Rt△DEF中，由勾股定理即可求．
8
【解析】（1）连结 DF，则 DF⊥BC
∵AB⊥BC，AB=BC=200 海里．
∴AC= 2 AB=200 2 海里，∠C=45° ∴CD= 1 AC=100 2 海里
2
DF=CF， 2 DF=CD
∴DF=CF= 2 CD= 2 ×100 2 =100（海里）
2
2
所以，小岛 D 和小岛 F 相距 100 海里．
9
【解析】 （ 1）连结 DF，则 DF⊥ BC
(2)设EF为x
∵军舰速度为补给船的2倍，时间相同
9
小结
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程 解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答．
2.建立一元二次方程的数学模型，解决增长率问题．
10
解得x1=1.8（不合题意舍去），x2=0.2=20% .
答案：20%
6
2. 某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年的盈 利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率 相同，那么该公司在2010年的盈利额为_______万元． 【解析】设每年比上一年盈利额增长的百分率是x.则 200（1+x）2=242. 解得： x1=0.1=10%,x2=-2.1(舍去)
(x+m)2=n (n≥0)
因式分解法 (x-p)(x-q)=0
3
例题
【例1】 将一根长为64 cm的铁丝剪成两段，再将每段分别 围成正方形，如果两个正方形的面积之和等于160 cm2，求 两个正方形的边长.
【解析】 (1）依题意可知△ABC是等腰直角三角形，△DFC也是等腰 直角三角形，AC可求，CD就可求，因此由勾股定理便可 求DF的长． （2）要在Rt△DEF中，由勾股定理即可求．
8
【解析】（1）连结 DF，则 DF⊥BC
∵AB⊥BC，AB=BC=200 海里．
∴AC= 2 AB=200 2 海里，∠C=45° ∴CD= 1 AC=100 2 海里
2
DF=CF， 2 DF=CD
∴DF=CF= 2 CD= 2 ×100 2 =100（海里）
2
2
所以，小岛 D 和小岛 F 相距 100 海里．
9
【解析】 （ 1）连结 DF，则 DF⊥ BC
(2)设EF为x
∵军舰速度为补给船的2倍，时间相同
9
小结
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程 解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答．
2.建立一元二次方程的数学模型，解决增长率问题．
10
解得x1=1.8（不合题意舍去），x2=0.2=20% .
答案：20%
6
2. 某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年的盈 利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率 相同，那么该公司在2010年的盈利额为_______万元． 【解析】设每年比上一年盈利额增长的百分率是x.则 200（1+x）2=242. 解得： x1=0.1=10%,x2=-2.1(舍去)
(x+m)2=n (n≥0)
因式分解法 (x-p)(x-q)=0
3
例题
【例1】 将一根长为64 cm的铁丝剪成两段，再将每段分别 围成正方形，如果两个正方形的面积之和等于160 cm2，求 两个正方形的边长.
青岛版数学九年级上册一元二次方程课件
x=2
课堂小结
确定其解的大致范围
解一元二次方程 （“两边夹”方法）
列表、计算 进行两边“夹逼”
……
求得近似解
2.29 3.76
所以1.1＜x＜1.2,因此x整数部分是1 ,十分位部分是1．
归纳总结
规律方法 上述求解是利用了“两边夹”的思想.
用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤：
(1)估计一个大致范围; (2)取中间值(靠近一端的值)缩小范围,直到确定 出个位上的数字; (3)继续取值缩小范围,确定十分位上的数字; (4)继续取值缩小范围,确定百分位上的数字…… 需要注意,如果不要求精确度,估计时还可以进行 下去.用“夹逼法”求一元二次方程的根时,一般 都要确定根的近似值的精确度.
0.5 1 1.5 2 28 18 10 4
（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗? 还有其他求 解方法吗?与同伴进行交流．
问题2：在上一课中，梯子的底端滑动的距离x满足方 程 x2 +12 x - 15 = 0.
(1) 小明认为底端也滑动了1 m,他的 1m
说法正确吗？为什么？
10m 8m
(2) 底端滑动的距离可能是2 m吗？
解：由题意，得 a 12 b 1 c 0，
即a b c 0.
思考:1.若 a+b+c=0,你能通过视察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
解：由题意，得 a b c 0
即a 12 b 1 c 0
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1. 2. 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过视察,求出方 程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
课堂小结
确定其解的大致范围
解一元二次方程 （“两边夹”方法）
列表、计算 进行两边“夹逼”
……
求得近似解
2.29 3.76
所以1.1＜x＜1.2,因此x整数部分是1 ,十分位部分是1．
归纳总结
规律方法 上述求解是利用了“两边夹”的思想.
用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤：
(1)估计一个大致范围; (2)取中间值(靠近一端的值)缩小范围,直到确定 出个位上的数字; (3)继续取值缩小范围,确定十分位上的数字; (4)继续取值缩小范围,确定百分位上的数字…… 需要注意,如果不要求精确度,估计时还可以进行 下去.用“夹逼法”求一元二次方程的根时,一般 都要确定根的近似值的精确度.
0.5 1 1.5 2 28 18 10 4
（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗? 还有其他求 解方法吗?与同伴进行交流．
问题2：在上一课中，梯子的底端滑动的距离x满足方 程 x2 +12 x - 15 = 0.
(1) 小明认为底端也滑动了1 m,他的 1m
说法正确吗？为什么？
10m 8m
(2) 底端滑动的距离可能是2 m吗？
解：由题意，得 a 12 b 1 c 0，
即a b c 0.
思考:1.若 a+b+c=0,你能通过视察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
解：由题意，得 a b c 0
即a 12 b 1 c 0
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1. 2. 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过视察,求出方 程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
青岛版初中九年级上册数学课件 《一元二次方程》名师授课课件7
小结 拓展
知识的升华
独立 作业
1、P79习题3.13题，B组选做 祝你成功！
结束寄语
运用方程（方程组）解答相关的实际问题是一种重要的数学思想——方程的思想. 一元二次方程也是刻画现实世界的有效数学模型.
下课了!
知识的升华
独立 作业
根据题意,列出方程,并估算方程的解：
1.一面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？
解：设矩形的宽为xm，则长为(x＋2) m, 根据题意得：
x (x＋2) ＝120.
即
x2＋2x－120＝0.
x
x+2
120m2
根据题意,x的取值范围大致是0<x<11.
完成下表(在0<x<11这个范围内取值计算,逐步逼近):
…
x
…
…
X2+2x-120
…
…
891011
-40-21023
2.一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练,在正常情况下,运动员必需在距水面5m以前完成规定的翻腾动作,并且调整好入水姿势,否则就容易出现失误.假设运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员距水面的高度h(m)满足关系:h＝10+2.5t-5t2.那么他最多有多长时间完成规定动作.
X可能小于等于0吗?说说你的理由.
X可能大于等于11吗? 说说你的理由.
因此,x取值的大致范围是:0<x<11.
x2＋(x＋7)2＝112
估算一元二次方程的解
在实数0-11之间取一个中间值，x=5计算：
做一做
☞
x2+7x=36
你能猜得出x取值的大致范围吗?
x取值的大致范围是:0<x<11.
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③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2- =0
⑤( m2+3)x2+3x-2=0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
当堂检测
2．方程（3x-1）（2x+4）=1化为一般形式 是其中二次项系数为_________，一次项系 数为______，常数项为_______.依次填入 括号中的数字正确的是：
A．6，10，-5 B．6，10，5 C．-6，-10，5 D．-6，,10，-5
当堂检测
3.当k取何值时， k 1x2 x 6 0
是关于x的一元二次方程．
4.若方程x2m+n +xm-n +3=0 是关于x的一元二次方 程，求m,n的值
课后拓展
若
是关于x的一元二次方程，求a，b
的值.下面是两位同学的解法.
自学指导
1.能准确理解一元二次方程的 一 般形式； 2.能根据一元二次方程一般形 式找出二次项、一次项及其 系数、常数项。
经过整理，一元二次方程都可以化为
ax2 bx c 0 a 0二次项 一次项 常数项的形式，称为一元二次方程的一般形式.
合作探究
1.每人写2个一元二次方程； 2.小组交流，选出一个，全 班交流。
青岛版数学九年级上册
4.1 一元二次方程
学习目标
1 正确理解一元二次方程的定义，并能判 断一个方程是否是一元二次方程；
2 理解一元二次方程的一般形式，能说出 二次项及其系数，一次项及其系数和常数 项；
方程两边都是整式，只含 有一个未知数，并且未知数的 最高次数是2，像这样的方程叫 做一元二次方程.
甲：根据题意，得 ，解得 .
乙：根据题意，得 或 ，解得
.
你认为上述两位同学的解法是否正确？为什么？
如果不正确，请给出正确的答案.
练习1 下列方程中是一元二次方程的是（ ） （1） x2-9=0 （2）(x+3)(x-1)=x2 （3）(2x+1)(2x-1)=0 （4） （5） x2=0 （6） x2-2xy-y2=0 A、（1）（2）（3） B、（1）（2）（5） C、（1）（3）（5） D、（2）（3）（4）
练习2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分 别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项
1 3x2-x-8=0
2 x 32 x 24x -1
（1）若方程 m 2x m 3x 1 0是
关x的一元二次方程，求m的值.
（2）方程 ax2 x 2x2 3 一定是 一元二次方程吗？ 为什么？
当堂检测
1.在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．
①3x2+7=0
②ax2+bx+c=0