9.1.3直线的法向量和点法式方程
中等职业教育规划教材数学1-3册目录（人民教育出版社）
中等职业教育规划教材数学1-3册目录（人民教育出版社）目录第一章集合（第一册）1.1集合及其表示1.1.1集合1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系1.3集合的基本运算1.3.1交集1.3.2并集1.3.3补集1.4充要条件第二章方程与不等式2.1一元一次方程2.2不等式2.2.1不等式的基本性质2.2.2不等式的解集与区间2.2.3含有绝对值的不等式2.2.4一元二次不等式第三章函数3.1函数的概念3.2函数的表示方法3.3函数的单调性3.4函数的奇偶性3.5二次函数的图像和性质3.6函数的应用第四章指数函数与对数函数4.1实数指数4.2指数函数4.3对数及其运算4.3.1对数4.3.2对数的运算4.4对数函数4.5幂函数4.6指数函数与对数函数的应用第五章数列5.1数列5.2等差数列5.2.1等差数列的概念5.2.2等差数列的前n项和5.3等比数列5.3.1等比数列的概念5.3.2等比数列的前n项和5.4等差数列与等比数列的应用第六章空间几何体6.1认识空间几何体6.1.1认识多面体与旋转体6.1.2棱柱、棱锥6.1.3圆柱、圆锥、球6.2空间几何体的表面积与体积6.2.1空间几何体的表面积6.2.2空间几何体的体积第七章三角函数（第二册）7.1任意角的概念与弧度制7.1.1任意角的概念7.1.2弧度制7.2任意角的三角函数7.2.1任意角的三角函数的定义7.2.2单位圆与正弦、余弦线7.2.3利用计算器求三角函数值7.2.4三角函数值在各象限的符号7.3同角三角函数的基本关系式7.4三角函数的诱导公式7.5正弦、余弦函数的图像和性质7.5.1正弦函数的图像和性质7.5.2余弦函数的图像和性质7.6已知三角函数值求角第八章平面向量8.1向量的概念8.2向量的线性运算8.2.1向量的加法8.2.2向量的减法8.2.3数乘向量8.3平面向量的的直角坐标系8.3.1平面向量的直角坐标及其运算8.3.2平面向量平行的坐标表示8.3.3向量的长度公式和中点公式8.4向量的内积8.4.1向量的内积8.4.2向量内积的直角坐标运算第九章直线与圆的方程9.1直线的方程9.1.1直线的方向向量与点向式方程9.1.2直线的斜率与点斜式方程9.1.3直线的法向量与点法式方程9.1.4直线的一般式方程9.2两条直线的位置关系9.2.1两条直线的平行9.2.2两条直线的交点与垂直9.3点到直线的距离9.4圆的方程9.4.1圆的标准方程9.4.2圆的一般方程第十章立体几何初步10.1平面的基本性质10.2空间两条直线的位置关系10.3直线与平面的位置关系10.4平面与平面的位置的关系第十一章概率与统计初步11.1计数的基本原理11.2概率初步11.2.1随机事件与样本空间11.2.2古典概率11.3随机抽样11.3.1简单随机抽样11.3.2系统抽样11.3.3分层抽样11.4用样本估计总体11.4.1用样本的频率分布估计总体的分布11.4.2用样本的数字特征估计总体的数字特征11.5一元线性回归分析第十二章三角计算及其应用（第三册） 12.1和角公式12.1.1两角和与差的余弦12.1.2两角和与差的正弦12.1.3两角和与差的正切12.2倍角公式12.3正弦函数)sin(?ω+=x A y 的图像和性质 12.4解三角形12.4.1余弦定理12.4.2三角形的面积12.4.3正弦定理12.5三角计算及应用举例第十三章圆锥曲线与方程13.1椭圆13.1.1椭圆的标准方程13.1.2椭圆的几何性质13.2双曲线13.2.1双曲线的标准方程13.2.2双曲线的几何性质13.3抛物线13.3.1抛物线的标准方程13.3.2抛物线的几何性质第十四章坐标变换与参数方程14.1坐标变换14.1.1坐标轴的平移14.1.2利用坐标轴的平移化简二元二次方程14.1.3坐标轴的旋转14.1.4利用坐标轴的旋转化简二元二次方程14.2一般二元二次方程的讨论14.2.1化一般二元二次方程为标准式14.2.2一般二元二次方程的讨论14.3参数方程14.3.1曲线的参数方程14.3.2圆的参数方程14.3.3直线的参数方程14.3.4圆锥曲线的参数方程14.4参数方程的应用举例第十五章逻辑代数基础15.1常用逻辑用语15.1.1命题15.1.2量词15.1.3逻辑联结词15.2数制15.2.1十进制与二进制15.2.2十进制与二进制之间的转换15.3逻辑代词15.3.1基本概念与基本逻辑运算15.3.2逻辑代数的运算律和基本定理15.3.3逻辑函数15.3.4逻辑函数的表示方法15.3.5逻辑函数的化简15.3.6逻辑图第十六章算法与程序框图16.1算法的概念16.2程序框图与算法的基本逻辑结构16.2.1程序框图的基本图例16.2.2顺序结构及其框图16.2.3条件分支结构及其框图16.2.4循环结构及其框图16.3条件判断16.4算法案例第十七章数据表格信息处理17.1数组、数据表格的概念17.2数组的代数运算17.3用软件处理数据表格17.4数据表格的图示第十八章编制计划的原理与方法18.1编制计划的有关概念18.2关键路径法18.3统筹图18.3.1网络图18.3.2横道图18.4进度计划的编制18.4.1网络图的时间参数18.4.2时间优化的方法第十九章线性规划初步19.1线性规划问题19.2二元一次不等式表示的区域19.3线性规划问题的图解法19.4线性规划问题的应用举例19.5用Excel解线性规划问题第二十章复数20.1复数的概念20.1.1复数的有关概念20.1.2复数的几何意义20.2复数的运算20.2.1复数的加法和减法20.2.2复数的乘法和除法20.3实系数一元二次方程的解法20.4复数的三角形式20.4.1复数的三角形式20.4.2复数三角形式的乘法与乘方运算20.4.3复数三角形式的除法运算20.4.4复数的开方运算20.5复数的指数形式20.6复数的应用第二十一章概率分布初步21.1排列与组合21.1.1排列与排列数公式21.1.2组合与组合数公式21.2二项式定理21.2.1二项式定理21.2.2二项式系数的性质21.3离散型随机变量及其分布21.3.1离散型随机变量21.3.2二项分布21.4正态分布。
直线的法向量与点法式方程
不唯一，互相平行（共线）
直线的法向量： 与直线垂直的非零向量，用n 表示
不唯一，互相平行（共线）
y n (A, B)
l P(x, y)
n p0 p 0
P0 (x0 , y0 )
v (B, A)
O
x
A(x x0 ) B( y y0 ) 0 点法式方程
v (B, A) 则 v n (B, A) (A, B) B A (A) B 0
整理，得所求直线方程为
2x 3y 1 0
典 题
3、已知直线 l的法向量为 n (2，, 且3) 与
两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直
线 的方l程。
解：设直线 l与 x轴相交于 (a，, 0)
由点法式方程，得
2(x a) (3)( y 0) 0
即 2x 3y 2a 0
所以 v n
n (A, B)是直线 l 的一个法向量，则向量
v (B, A) 就是直线的一个方向向量。
A( x
x0 )
B( y
y0 )
0
1、求过点 P(1,，2)且一个法向量为
n (3的, 4直) 线方程。
解：由直线的点法式方程，得
典
3(x 1) 4( y 2) 0
令 x ，0得 y 2a 3
由三角形面积公式，得
S 1 | a || 2a | 3
2
பைடு நூலகம்
3
解得a 3
所以直线 l的方程为
2x 3y 6 0或2x 3y 6 0
点向式方程：
v2 (x x0 ) v1( y y0 ) 0
中等职业教育规划教材数学1-3册目录(人民教育出版社)
目录第一章集合（第一册）1.1集合及其表示1.1.1集合1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系1.3集合的基本运算1.3.1交集1.3.2并集1.3.3补集1.4充要条件第二章方程与不等式2.1一元一次方程2.2不等式2.2.1不等式的基本性质2.2.2不等式的解集与区间2.2.3含有绝对值的不等式2.2.4一元二次不等式第三章函数3.1函数的概念3.2函数的表示方法3.3函数的单调性3.4函数的奇偶性3.5二次函数的图像和性质3.6函数的应用第四章指数函数与对数函数4.1实数指数4.2指数函数4.3对数及其运算4.3.1对数4.3.2对数的运算4.4对数函数4.5幂函数4.6指数函数与对数函数的应用第五章数列5.1数列5.2等差数列5.2.1等差数列的概念5.2.2等差数列的前n项和5.3等比数列5.3.1等比数列的概念5.3.2等比数列的前n项和5.4等差数列与等比数列的应用第六章空间几何体6.1认识空间几何体6.1.1认识多面体与旋转体6.1.2棱柱、棱锥6.1.3圆柱、圆锥、球6.2空间几何体的表面积与体积6.2.1空间几何体的表面积6.2.2空间几何体的体积第七章三角函数（第二册）7.1任意角的概念与弧度制7.1.1任意角的概念7.1.2弧度制7.2任意角的三角函数7.2.1任意角的三角函数的定义7.2.2单位圆与正弦、余弦线7.2.3利用计算器求三角函数值7.2.4三角函数值在各象限的符号7.3同角三角函数的基本关系式7.4三角函数的诱导公式7.5正弦、余弦函数的图像和性质7.5.1正弦函数的图像和性质7.5.2余弦函数的图像和性质7.6已知三角函数值求角第八章平面向量8.1向量的概念8.2向量的线性运算8.2.1向量的加法8.2.2向量的减法8.2.3数乘向量8.3平面向量的的直角坐标系8.3.1平面向量的直角坐标及其运算8.3.2平面向量平行的坐标表示8.3.3向量的长度公式和中点公式8.4向量的内积8.4.1向量的内积8.4.2向量内积的直角坐标运算第九章 直线与圆的方程9.1直线的方程9.1.1直线的方向向量与点向式方程9.1.2直线的斜率与点斜式方程9.1.3直线的法向量与点法式方程9.1.4直线的一般式方程9.2两条直线的位置关系9.2.1两条直线的平行9.2.2两条直线的交点与垂直9.3点到直线的距离9.4圆的方程9.4.1圆的标准方程9.4.2圆的一般方程第十章 立体几何初步10.1平面的基本性质10.2空间两条直线的位置关系10.3直线与平面的位置关系10.4平面与平面的位置的关系第十一章 概率与统计初步11.1计数的基本原理11.2概率初步11.2.1随机事件与样本空间11.2.2古典概率11.3随机抽样11.3.1简单随机抽样11.3.2系统抽样11.3.3分层抽样11.4用样本估计总体11.4.1用样本的频率分布估计总体的分布11.4.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 11.5一元线性回归分析第十二章 三角计算及其应用 （第三册） 12.1和角公式12.1.1两角和与差的余弦12.1.2两角和与差的正弦12.1.3两角和与差的正切12.2倍角公式12.3正弦函数)sin(ϕω+=x A y 的图像和性质 12.4解三角形12.4.1余弦定理12.4.2三角形的面积12.4.3正弦定理12.5三角计算及应用举例第十三章圆锥曲线与方程13.1椭圆13.1.1椭圆的标准方程13.1.2椭圆的几何性质13.2双曲线13.2.1双曲线的标准方程13.2.2双曲线的几何性质13.3抛物线13.3.1抛物线的标准方程13.3.2抛物线的几何性质第十四章坐标变换与参数方程14.1坐标变换14.1.1坐标轴的平移14.1.2利用坐标轴的平移化简二元二次方程14.1.3坐标轴的旋转14.1.4利用坐标轴的旋转化简二元二次方程14.2一般二元二次方程的讨论14.2.1化一般二元二次方程为标准式14.2.2一般二元二次方程的讨论14.3参数方程14.3.1曲线的参数方程14.3.2圆的参数方程14.3.3直线的参数方程14.3.4圆锥曲线的参数方程14.4参数方程的应用举例第十五章逻辑代数基础15.1常用逻辑用语15.1.1命题15.1.2量词15.1.3逻辑联结词15.2数制15.2.1十进制与二进制15.2.2十进制与二进制之间的转换15.3逻辑代词15.3.1基本概念与基本逻辑运算15.3.2逻辑代数的运算律和基本定理15.3.3逻辑函数15.3.4逻辑函数的表示方法15.3.5逻辑函数的化简15.3.6逻辑图第十六章算法与程序框图16.1算法的概念16.2程序框图与算法的基本逻辑结构16.2.1程序框图的基本图例16.2.2顺序结构及其框图16.2.3条件分支结构及其框图16.2.4循环结构及其框图16.3条件判断16.4算法案例第十七章数据表格信息处理17.1数组、数据表格的概念17.2数组的代数运算17.3用软件处理数据表格17.4数据表格的图示第十八章编制计划的原理与方法18.1编制计划的有关概念18.2关键路径法18.3统筹图18.3.1网络图18.3.2横道图18.4进度计划的编制18.4.1网络图的时间参数18.4.2时间优化的方法第十九章线性规划初步19.1线性规划问题19.2二元一次不等式表示的区域19.3线性规划问题的图解法19.4线性规划问题的应用举例19.5用Excel解线性规划问题第二十章复数20.1复数的概念20.1.1复数的有关概念20.1.2复数的几何意义20.2复数的运算20.2.1复数的加法和减法20.2.2复数的乘法和除法20.3实系数一元二次方程的解法20.4复数的三角形式20.4.1复数的三角形式20.4.2复数三角形式的乘法与乘方运算20.4.3复数三角形式的除法运算20.4.4复数的开方运算20.5复数的指数形式20.6复数的应用第二十一章概率分布初步21.1排列与组合21.1.1排列与排列数公式21.1.2组合与组合数公式21.2二项式定理21.2.1二项式定理21.2.2二项式系数的性质21.3离散型随机变量及其分布21.3.1离散型随机变量21.3.2二项分布21.4正态分布。
直线的法向量和点法式方程
1, 1
式求直线方程
x 点1c 3， 4 2法向量A4， B 6
代中入点直坐标线公的式 点法式方程,
x1
得-1)-6x2(y+x1,1y)2
=y01
整理得 2x+3y+1 =0
用学
练习：已知点A( ？, ？)和点B( ？, ？)
P0(x0 , y0)
x A(x-x0)+B(y-y0)=0
A(x-x0)+B(y-y0)=0
式
熟
根据直线 l 的方程，写出直线 l 已知点P0和直线 l 的一个法向量
经过的一个
n 的坐标.
记 ⑴ 2(x-3)+4(y-5)=0 P0 (3, 5) n (2, 4) 公
⑵ 2(x+3)-4(y－5)=0 P0 (3, 5) n (2, 4)
业 布 必做：P86 练习4、5、6
置
作 补充（附加） 三角形ABC,A(1,-3),B(-2,4),C(0，-2)
A
求（1）BC边中垂线方程
（2） BC边高线方程 B
（3）BC边中线方程
D EC
敬请指导
直线的点法式方程
导公 式 推
y
(1)向量P0P 的坐标为：
(x-x0 , y-y0 ) ,
练习1. 求过点p，且一个法向量为n的直线方程. (1) p(－1，2)， n =(3，－4)
(2) n = (－3,2), P(1，－5)，
用学 以 致
例2：已知点A(3,2)和点B(-1,-4)求线段
AB的垂直平分线方程。
y
l
o c
B
解：中点c的坐标
法3分 用2-1向析,点2量：2A4B法
直线点法式
直线点法式直线的点法式是指通过直线上的一点及其法向量来确定直线的方程。
这种表示方法在解决直线与平面相交、直线的垂直平分线等问题时非常有用。
下面将详细介绍直线的点法式及其应用。
一、直线的点法式的定义和推导直线的点法式是一种通过直线上的一点及其法向量来表示直线的方程。
设直线上一点为P(x₁, y₁, z₁)，直线的法向量为n(a, b, c)，则直线的点法式可表示为：(x - x₁) / a = (y - y₁) / b = (z - z₁) / c其中，(x, y, z)为直线上任意一点的坐标。
推导直线的点法式的关键在于理解直线的法向量的作用。
直线的法向量垂直于直线，即与直线上的任意向量都垂直。
因此，直线上的一点加上直线的法向量可以确定直线的方向。
二、直线的点法式的应用1. 直线与平面的交点确定直线的点法式可以很方便地确定直线与平面的交点。
考虑一个平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，直线的点法式为(x - x₁) / a = (y - y₁) / b = (z - z₁) / c。
将直线的点法式代入平面的方程中，得到一个关于x, y, z的方程组。
解方程组可以得到交点的坐标，从而确定直线与平面的交点。
2. 直线的垂直平分线确定直线的点法式可以方便地确定直线的垂直平分线。
设直线上两点为P₁(x₁, y₁, z₁)和P₂(x₂, y₂, z₂)，直线的垂直平分线的方程可表示为：(x - (x₁ + x₂) / 2) / a = (y - (y₁ + y₂) / 2) / b = (z - (z₁+ z₂) / 2) / c其中，(x, y, z)为垂直平分线上任意一点的坐标。
通过直线的点法式和两点的坐标，可以方便地确定直线的垂直平分线。
3. 直线的平行判定直线的点法式还可以用于判断两条直线是否平行。
如果两条直线的法向量相等或成比例，那么它们是平行的。
设直线₁的点法式为(x - x₁) / a₁ = (y - y₁) / b₁ = (z - z₁) / c₁，直线₂的点法式为(x - x₂) / a₂ = (y - y₂) / b₂ = (z - z₂) / c₂。
直线的法向量和点法式方程
顾知
什么叫方向向量 ？
与一条直线平行的非零向量叫做这条
直线的方向向量 通常用v表示
识y
回
o
x
精品课件
顾知
l2
B
识
A
回l1
精品课件
成 概与一条直线 垂平直行 的非零向量叫做
这条直线的法方向向量 通常用n表示
念思考：
1、一条直线的法向量是唯一的吗？
形2、这些法向量的位置关系是怎样的？
3、同一条直线的方向向量v和法向量n的位 置关系是怎样的？
整=理0得
3x+ 4y-11 =0
精品课件
结 反1、理解一个概念——直线的法向量
——与直线垂直的非零向量
思2、掌握一个方程—— 直线的点法式方程
A( x - x0 ) +B( y -
小3、利用直线的y0点)=法0 式方程可以解决
已知直线上一点和直线的法向量求直线方程
精品课件
业布 置 作
P86 练习第4题
⑶ -2(x-3)4(y+5)=0
P0=(-3,5) n=(2,-4)
P0=(3,-5) n=(-2,-4) 或(2,4)
精品课件
A(x-x0)+B(y-y0)=0
用学
（x0,y0）
(A,B)
例1：求过点P(1, 2),且一个法向量为n =
(3,4)
以的直线方程。 解：代入直线的点法式方,得
致 3 (x-1)+ 4(y-2)
精品课件
精品课件
向量a（a1,a2)与向量b（b1,b2)
究 问 垂直的充要条件是 a1b1+a2b2=0
直线l的一个法向量n=(A,B),则直线l
高考数学新教材专题09 直线方向向量和法向量的应用
专题09直线方向向量和法向量的应用[新教材的新增内容]背景分析：在旧教材中直线方程只涉及了斜率和倾斜角的概念与向量知识缺少联系，而在新教材中引入了直线的方向向量和法向量的概念，让向量与直线联系到一起，为解决直线方程问题提供了向量工具. 1､点方向式方程（1）直线的方向向量：把与直线平行的向量叫着直线的方向向量，记着(,)d u v = （2）点方向式方程：如果直线的方向向量的坐标都不为零，即0u ≠，0v ≠时，直线通过某个点00(,)x y ，把方程00x x y y u v--=叫做直线的点方向式方程. 2､直线的点法向式方程（1）直线的法向量：把与直线垂直的向量叫着直线的法向量，记着(,)n a b =（2）点法向式方程：如果直线通过某个点00(,)x y ，且与向量(,)n a b =垂直的 直线方程00()()0a x x b y y -+-=，叫做直线的点法向式方程. 3.理解方程中各字母及其系数的几何意义by c[新增内容的考查分析]1.直线方向向量的应用（应用主要体现在，会求直线的方向向量，应用直线的方向向量解决直线中的相关问题.）【考法示例1】过，两点的直线的一个方向向量为则（）A. B. C. D.1【答案】C【分析】解法一：根据AB坐标求得向量，根据与直线的方向向量共线即可求得结果.解法二：根据直线的方向向量求得直线的斜率，结合两点的斜率公式即可求得结果.【详解】解法一：由直线上的两点，，得，又直线的一个方向向量为，因此，∴，解得，故选：C.解法二：由直线的方向向量为得，直线的斜率为，所以，解得.故选：C.【考法示例2】已知过定点的直线的一个方向向量是，则直线的点方向式方程可以为（）A. B.C. D.【答案】B【详解】因为直线的方向向量为且经过点，故直线的点向式方程为.故选：B.【考法示例3】设两条不重合的直线的方向向量分别为，则“存在正实数，使得是“两条直线平行”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】依题意为两条不重合的直线的方向向量，若存在正实数，使得，则，即可得到这两条直线平行，即充分性成立；若两直线平行，即，则存在实数，使得，不一定为正，当与同向时，当与反向时，，故必要性不成立；故“存在正实数，使得”是“两条直线平行”的的充分不必要条件，故选：2.直线法向量的应用（直线的法向量应用主要在两方面，1.会求直线的方向向量；2.应用直线的法向量解决直线中的相关问题.）【考法示例4】已知直线的方向向量为（1，5），则直线的法向量为（ ） A.B.C.D.【答案】C【分析】根据直线的方向向量与法向量的数量积等于零即可求解. 【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的法向量可以是或.故选：C.【考法示例5】已知两条直线，，若的一个法向量恰为的一个方向向量，则________.【答案】【分析】根据题意可得，利用两直线垂直的等价条件即可求解.【详解】因为直线的一个法向量恰为的一个方向向量，所以，所以，解得：.[新增内容的针对训练]1. 设()()111222,,,P x y P x y 为直线l 上的两点，则()122121,PP x x y y =--，我们把向量12PP 以及与它平行的向量都称为直线l 的方向向量，把与直线l 的方向向量垂直的向量称为直线l 的法向量．若直线l 经过点(1,4),(3,2)A B -，则直线的一个法向量n 为（ ） A. ()1,2n =- B. ()4,2n =- C. ()4,2n = D. ()1,2n =【答案】D 【解析】【分析】先计算出直线l 的方向向量AB ，然后通过数量积逐项判断n 与AB 是否垂直.【详解】因为()4,2AB =-，A ．当()1,2n =-，则4480AB n ⋅=+=≠，不满足， B ．当()4,2n =-，则164200AB n ⋅=+=≠，不满足，C ．当()4,2n =，则164120AB n ⋅=-=≠，不满足，D ．当()1,2n =，则440AB n ⋅=-=，满足， 故选：D.2. 下列命题正确的有（ ）．∴直线的方向向量是唯一的；∴经过点()00,P x y 且与向量(,)d u v =平行的直线l 的点方向式方程为00x x y y u v--=；∴直线10y =的一个方向向量是（1，0）． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】B 【解析】【分析】由于直线的方向向量是不唯一的，可判定∴不正确；由直线的点方向式方程，可判定∴不正确；由直线10y =的斜率为0，可判定∴是正确的. 【详解】对于∴中，由于直线的方向向量是不唯一的，所以∴不正确；对于∴中，只有等0,0u v ≠≠时，经过点()00,P x y 且与向量(,)d u v =平行的直线l的点方向式方程为00x x y y u v--=，所以∴不正确； 对于∴中，直线10y =的斜率为0，所以直线10y =的一个方向向量可以是(1,0)，所以∴是正确的. 故选：B.【点睛】本题主要考查了直线的方向向量的概念与辨析，以及直线的点方向式方程的应用，着重考查概念的辨析能力，属于基础题.3. 若过点(3,2)P m 和点(,2)Q m -的直线与方向向量为(5,5)a =-的直线平行，则实数m 的值是（ ） A.13 B. 13-C. 2D. 2-【答案】B 【解析】【分析】求出PQ 坐标，由向量共线可得关于m 的方程，进而可求出m 的值. 【详解】由题意得，(3,22)PQ m m =---与(5,5)a =-共线，所以5(3)(5)(22)0m m ----⋅-=，解得13m =-．经检验知，13m =-符合题意，故选:B ．【点睛】本题考查了由向量平行求参数，属于基础题.4. 已知直线l 经过点(1,2)P 和点(2,2)Q --，则直线l 的单位方向向量为 A. (3,4)-- B. 34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 34,55⎛⎫±± ⎪⎝⎭D. 34,55⎛⎫± ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】求出直线l 的一个方向向量为(3,4)PQ =--，再求出向量的模，根据单位向量||PQPQ ±即可求解. 【详解】由题意得，直线l 的一个方向向量为(21,22)(3,4)PQ =----=--，则||(5PQ =-=，因此直线l 的单位方向向量为134(3,4),555||PQ PQ ⎛⎫±=±--=± ⎪⎝⎭，故选：D .【点睛】本题考查了直线的方向向量以及单位向量的求法，考查了基本运算，属于基础题.5. 设直线:tan α=+l y x b ，其中,2k k πα≠π+∈Z 且0,≠∈R b b .给出下列结论其中真命题有（ ） A. l 的斜率是tan α B. l 的倾斜角是αC. l 的方向向量与向量(sin ,cos )a αα=平行D. l 的法向量与向量(sin ,cos )b αα=-平行. 【答案】AD 【解析】【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角，注意倾斜角的范围判断AB ，由直线的方向向量与法向量定义及向量共线的坐标表示判断CD ． 【详解】因为直线:tan α=+l y x b ，其中,2k k πα≠π+∈Z ，所以l 的斜率是tan α；所以A 对；l 的倾斜角θ满足tan tan θα=，但不一定有θα=，所以B 错；l 的方向向量为(1,tan )α，因为1cos sin tan ααα⨯≠，所以C 错； l 的法向量为(tan ,1)α-，因为1sin cos tan ααα-⨯=-，所以D 对；故选：AD.6. 直线l 经过点(2,3)P ，且一个方向向量是(3,1)d =，则直线的点法向式方程是（ ）A. 3(2)(3)0x y -+-=B. (2)3(3)0x y --+-=C.2331x y --= D.2313x y --=- 【答案】BC【解析】【分析】直接利用直线的点法向式方程求解.【详解】因为直线l 经过点(2,3)P ，且一个方向向量是(3,1)d =， 所以直线的点法向式方程是(2)3(3)0x y --+-=或2331x y --= 故选：BC【点睛】本题主要考查直线的点法向式方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7. 若一条直线的斜率为k ，则它的一个方向向量是___________，一个法向量是________.【答案】 ∴. (1,)k ∴. (,1)k - 【解析】【分析】根据直线方向向量与直线斜率关系，在直线上任取两点坐标相减得到的向量即为方向向量，再由法向量和方向向量的数量积为0，即可求得法向量. 【详解】因为直线的斜率为k ，所以它的一个方向向量为(1,)k ，设一个法向量为(),x y ，则()(),1,0x y k x ky ⋅=+=，不妨取,1x k y ==-，则它的一个法向量是(),1k -， 故答案为：(1,)k ；(,1)k -.【点睛】本题考查直线方向向量以及法向量，掌握直线斜率和方向向量以及法向量的关系是关键，考查了分析求解能力，属基础题.8. 直线1:2330l x y -+=，那么直线1l 的一个方向向量1d 为_____________；2l 过点（2，1），并且2l 的一个方向向量2d 满足120d d ⋅=，则2l 的点方向式方程是_____________．【答案】 ∴. ()3,2（与该项量共线的非零向量均可） ∴. 2123x y --=- 【解析】【分析】由题意结合直线方向向量的知识可得直线1l 的一个方向向量；求得一个满足要求的向量2d 后，利用直线的点方向式即可得2l 的点方向式方程.【详解】由题意可得直线1:2330l x y -+=的一个方向向量为()3,2， 所以1d 可为()3,2（与该项量共线的非零向量均可）； 设向量()2,n d m =，由120d d ⋅=可得320m n +=， 令2m =则3n =-，所以直线2l 的一个方向向量为()2,3-，又直线2l 过点(2，1)，所以该直线的点方向式方程为2123x y --=-. 故答案为：()3,2（与该项量共线的非零向量均可）；2123x y --=-. 【点睛】本题考查了直线方向向量的求解及直线点方向式方程的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.9. 已知平面上直线l 的方向向量43,55e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，点(0,0)O 和(1,2)A -在l 上的射影分别为1O 和1A ，则11O A e λ=，其中λ=________. 【答案】2- 【解析】【分析】由题意结合平面向量的坐标运算、模的坐标运算可得(1,2)OA =-、1e =，进而可得λ即为OA 在e 方向上的投影，再由e OAeλ⋅=即可得解. 【详解】43,55e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(0,0)O ，(1,2)A -；∴415e ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，(1,2)OA =-， ∴λ即为OA 在e 方向上的投影，∴465521e OA e λ--===-⋅.故答案为：2-.【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示、模的坐标表示，考查了平面向量数量积的应用，属于基础题.10. 如图，射线OA ，OB 所在直线的方向向量分别为()11,d k =，()()21,0d k k =->，点P 在AOB ∠内，PM OA ⊥于M ，PN OB ⊥于N .（1）若1k =，31,22P ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求OM 的值； （2）若()2,1P ，OMP 的面积是65，求k 的值； （3）已知k 为常数，M ，N 的中点为T ，且1MON S k=△，当P 变化时，求OT 的取值范围.【答案】（1（2）112或2；（3）1,k ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】(1)求出||OP ,点P 到直线的距离,利用勾股定理,求||OM 的值; (2)直线OA 的方程为0kx y ,求出(2,1)P 到直线的距离,利用勾股定理求出||OM ,利用OMP 的面积为65,求k 的值; (3)设直线OA 的倾斜角为α,求出||OM ,||ON ,利用1MON S k=△,可得P 变化时,动点T 轨迹方程,求出||OT ,即可求||OT 的取值范围.【详解】（1）31,22P ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，||OP ∴=， 若1k =，则()11,1d =，OA ∴的方程为y x =，即0x y -=，则点P 到直线OA2=，||OM ∴== （2）直线OA 的方程为0kx y ,(2,1)P到直线的距离为d =||OM ∴=, OMP ∴的面积为1625=, 112k ∴=或2； （3）设()11,M x kx ,()22,N x kx -,(,)T x y ,1>0x ,20x >,0k >, 设直线OA 的倾斜角为α,则tan k α=，22sin 21kk α=+, 根据题意得()121222x x x k x x y OM x ON x +⎧=⎪⎪-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩，解得12y x x ky x x k ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 代入11||||sin 22MONSOM ON kα==， 化简得动点T 轨迹方程为22211k x y x k ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭.1||OT k∴====, 当且仅当11,,0x T k k ⎛⎫=⎪⎝⎭时,||OT 取得最小值1k.||OT∴的取值范围是1,k⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查三角形面积，考查轨迹方程，解题的关键是正确利用图形关系，得出三角形面积的表达式.。
直线的法向量和点法式方程课件
(1)向量P0P 的坐标为：
(x-x0 , y-y0 ) ,
P(x, y)
r n
A,
B(2)
P0 P与n=(A,B)的位置关系
是： 垂直 ,
x (3) P0P 与n 垂直的充要条件是：
A(x-x0)+B (y-y0)=0 ,
A(x-x0)+B(y-y0)=0
熟
根据直线 l 的方程，写出直线 l 已知点P0和直线 l 的一个法向量
推
r
求直线的方程
n A, B
导o P0(x0 , y0)
x
直线的点法式方程
熟
y
l
记
直线经过点Pr0(x0,y0 )，
r
一个法向量n=(A,B)，
公
n A, B 则直线的点法式方程
式o P0(x0 , y0)
x A(x-x0)+B(y-y0)=0
直线的点法式方程
公
y
式
推
导
o P0(x0 , y0)
学
（x0 , y0）
（A,B）
例1：求过点P(1, 2),且一个法向量为n=(3,4)
以 的直线方程。
致 解：代入直线的点法式方程,
得 3 (x-1)+ 4(y-2) =0
用 整理得 3x+ 4y-11 =0
r
练(1)习pr(1－. 求1，过2点)，p，nr且一=个(3，法－向4量) 为n的直线方程.
(2) n = (－3,2), P(1，－5)，
学 例2：已知点A(3,2)和点B(-1,-4)求线段
AB的垂直平分线方程。
以
解：中点c的坐标
y
l
致
9.1.3直线的法向量和点法式方程教学教材
知 什么叫方向向量 ？ 识 与直一线的条方直向线向平量行的非通 零常 向用 量v r叫表 做示 这条
回
y
顾
o
x
概 与条一直条线直的线方法向平垂向行直量的非通零常向用量nr 叫表做示这 念 思考：
形 1、一条直线的法向量是唯一的吗？ 成 2、这些法向量的位置关系是r怎样的？ r
V=（B,-A) 和直线的一个
导o P0(x0 , y0)
法项量确定的，因此这个方程
x 叫做直线的
点法式方程
直线的点法式方程
熟
y
l
记r
nA,B
公
直线经过点Pr0(x0,y0 )， 一个法向量n=(A,B)， 则直线的点法式方程
式o P0(x0 , y0)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x A(x-x0)+B(y-y0)=0
rr 令 v =(B,-A),则 v • n =A×B+B×(-A)=0,
一个法向量n=(A,B)，
式
求直线的方程
推r
nA,B
p(x,y)
V=（B,-A)
导o P0(x0 , y0)
x
公
yl
式r
nA,B
p(x,y)
推
设p(x,y)是直线上的一点， 则p在直线L上的充分必要条件 是n.p0p=0. 用坐标表示，上述充分必要条 件可写为
A(x-x0)+B(y-y0)=0 （1） 方程（1）是由直线上的一点
所以 v n.
这就是说 如果n =(A,B)是直线L的一个法向
量，则向量v =（B,-A)就是直线L的一个方
向向量。
A(x-x0)+B(y-y0)=0
直线的法向量与点法式方程学案
直线的法向量与点法式方程学案
高一数学第九章课题：
《直线的法向量与点法式方程》命题教师：
张守英考试说明：1、理解直线的法向量的概念以及法向量与方向向量的关系；2、根据条件，熟练地求出直线的方程。
一、复习回顾：1、直线的方向向量2、直线的点向式方程
二、导入新课：展示弓箭的动画，分析说明：一个点和一个非零法向量可以确定一条直线。
三、知识梳理：1、法向量：与一条直线垂直的非零向量，用表示。
思考两个问题：（1）一条直线的法向量是不是唯一的？（2）同一直线的所有法向量具有什么样位置关系？根据向量基本定理，得出结论：如果是直线的一个法向量，则也是这条直线的一个法向量。
2、法向量与方向向量的关系：如果,那么3、直线的点法式方程根据垂直向量的坐标表示，推导直线的点法式方程：
① 通过①式和图像分析或时直线方程的特殊表达式。
黄岛区职业教育中心高一教学案
四、典型例题：例1 求通过点，且一个法向量为的直线方程。
例2 求下列过点，且一个法向量为的直线方程：（1）；（2）
五、课堂练习：练习1：已知直线的一个法向量，求它的一个方向向量1、2、3、4、练习2：已知直线的一个方向向量，求它的一个法向量练习3：求通过点P,且一个法向量为的直线方程。
直线的点法式方程
直线的点法式方程
点法式方程是u(x-x0)+v(y-y0)=0。
可以表示所有直线方程式u(x-x0)+v(y-y0)=0（u,v不全为零），高中数学中直线方程之一，(x-x0)·u=(y-y0)·v，且u，v不全为零的方程，称为点法向式方程，该方程可以表示所有直线。
平面π上任意一点的坐标都满足这个方程。
而坐标满足方程的点都在π上，于是这个方程就是过点且与向量垂直的平面π的方程，称为平面的点法式方程。
点法式方程的特点
一张平面π可以由π上任意一点和垂直于π的任意一个向量完全确定。
垂直于π的任意向量称为π的法向量。
点法向式就是由直线上一点的坐标和与这条直线的法向量确定的（x0,y0）为直线上一点，｛u,v}为直线的法向向量。
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中职数学教材分析7.1.1任意角的概念知识目标：⑴了解角的概念推广的实际背景意义；⑵理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念．能力目标：（1）会判断角所在的象限；（2）会求指定范围内与已知角终边相同的角；（3）培养观察能力和计算技能．教学重点：终边相同角的概念．教学难点：终边相同角的表示和确定．课时安排：2课时．7.1.2弧度制知识目标：⑴理解弧度制的概念；⑵理解角度制与弧度制的换算关系.能力目标：（1）会进行角度制与弧度制的换算；（2）会利用计算器进行角度制与弧度制的换算；（3）培养学生的计算技能与计算工具使用技能．教学重点：弧度制的概念，弧度与角度的换算．教学难点：弧度制的概念．课时安排：1课时．7.2.1任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数知识目标：⑴理解任意角的三角函数的定义及定义域；⑵理解三角函数在各象限的正负号；⑶掌握界限角的三角函数值．能力目标：⑴会利用定义求任意角的三角函数值；⑵会判断任意角三角函数的正负号；⑶培养学生的观察能力．教学重点：⑴任意角的三角函数的概念；⑵三角函数在各象限的符号；⑶特殊角的三角函数值．教学难点：任意角的三角函数值符号的确定．课时安排：2课时．7.3同角三角函数的基本关系知识目标：理解同角的三角函数基本关系式．能力目标：⑴已知一个三角函数值，会利用同角三角函数的基本关系式求其他的三角函数值；⑵会利用同角三角函数的基本关系式求三角式的值．教学重点：同角的三角函数基本关系式的应用．教学难点：应用平方关系求正弦或余弦值时，正负号的确定.课时安排：2课时．7.4诱导公式知识目标：了解“ ”、“ ”、“180° ”的诱导公式．能力目标：（1）会利用简化公式将任意角的三角函数的转化为锐角的三角函数；（2）会利用计算器求任意角的三角函数值；（3）培养学生的数学思维能力及应用计算工具的能力．教学重点：三个诱导公式．教学难点：诱导公式的应用．课时安排：2课时．7.5三角函数的图像和性质知识目标：(1)理解正弦函数的图像和性质；(2)理解用“五点法”画正弦函数的简图的方法；(3)了解余弦函数的图像和性质．能力目标：(1)认识周期现象，以正弦函数、余弦函数为载体，理解周期函数；(2)会用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图；(3)通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力．教学重点：（1）正弦函数的图像及性质；（2）用“五点法”作出函数y=sinx 在上的简图．教学难点：周期性的理解．课时安排：2课时．7.6已知三角函数值求角知识目标：（1）掌握利用计算器求角度的方法；（2）了解已知三角函数值，求指定范围内的角的方法．能力目标：（1）会利用计算器求角；（2）已知三角函数值会求指定范围内的角；（3）培养使用计算工具的技能．教学重点：已知三角函数值，利用计算器求角；利用诱导公式求出指定范围内的角．教学难点：已知三角函数值，利用计算器求指定范围内的角．课时安排：2课时．8.1向量的概念知识目标：了解平面向量的有关概念和向量的相等的含义；理解向量的几何表示．能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与数学思维能力．教学重点：向量的概念及向量相等的含义．教学难点：向量的概念及向量相等的含义．课时安排：1课时8.2.1向量的加法知识目标：掌握向量加法的定义和向量加法的运算律，会用三角形和平行四边形法则求向量的和能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与数学思维能力．教学重点：向量的加法运算法则教学难点：理解和运用向量的加法运算法则课时安排：1课时8.2.2向量的减法知识目标：掌握向量减法的定义，会用三角形法则计算向量的差能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与数学思维能力．教学重点：向量的减法运算法则教学难点：理解和运用向量的减法运算法则课时安排：1课时8.2.3数乘向量知识目标：理解数乘向量的定义及其几何意义，掌握数乘向量的运算法则，理解向量平行基本定理能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与数学思维能力．教学重点：数乘向量的运算法则教学难点：理解和运用数乘向量的运算法则，向量平行基本定理课时安排：1课时8.3.1平面向量的直角坐标及其运算知识目标：理解向量直角坐标的概念，掌握向量直角坐标的运算能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与数学思维能力．教学重点：向量直角坐标表示及其运算教学难点：理解和运用向量直角坐标表示课时安排：1课时8.3.2平面向量的平行的坐标表示知识目标：掌握两向量平行的充要条件能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与数学思维能力．教学重点：向量平行的充要条件的坐标表示教学难点：向量平行的充要条件的应用课时安排：1课时8.3.3向量的长度公式和中点公式知识目标：掌握向量的长度公式和中点公式，并能够运用解决有关问题能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与数学思维能力．教学重点：向量的长度公式和中点公式教学难点：向量的长度公式和中点公式的应用课时安排：1课时8.4.1向量的内积知识目标：掌握向量内积的概念、性质、运算律和向量垂直的充要条件能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与数学思维能力．教学重点：向量内积的概念、性质、运算律教学难点：向量内积的概念、性质、运算律的应用课时安排：1课时8.4.2向量内积的直角坐标运算知识目标：掌握向量内积的直角坐标运算，会用向量内积解决有关长度、夹角和垂直问题。
9.1.3直线的法向量与点法式方程1
2、4、5、6题写在作业本上
交书面作业
15年级学科数学教学设计（）
第 单元共需 课时，本节为第 课时
授课时间
年 月 日
课题
9．1．3直线的法向量与点法式方程
课 型
新授
教学
目标
1.理解直线的法向量的概念以及与方向向量的关系
2.根据条件，熟练地求出直线的方程。
3.培养学生学习兴趣
教学重点难点关键
重点：理解掌握直线的点法式方程。
难点：法向量与方向向量的关系。
1．一条直线的法向量是不是唯一的？
2．同一直线的所有法向量具有什么样位置关系？
根据向量基本定理，得出结论：
如果 是直线的一个法向量，则
也是这条直线的一个法向量。
（二）法向
核对学生人数
让学生回顾所学公式教师展示动画，引导学生分Fra bibliotek问题，引入定义。
学生根据定义作图，教师巡视，然后用多媒体展示不同图像的学生作品，最后结合图像解答问题；
教 学 环 节 及 教 学 内 容
设 计 思 路
如果 ,那么
（三）根据垂直向量的坐标表示，推导直线的点法式方程：
①
通过①式和图像分析 或 时直线方程的特殊表达式。
【学以致用】
例1 求通过点 ，且一个法向量为
的直线方程。
练习：求通过点B(-4,2),且一个法向量为 的直线方程。
例2 求下列过点 ，且一个法向量为 的直线方程：
关键：通过多媒体演示、类比举例等手段让抽象的概念具体化。
教具资源
多媒体
教学方法
引导新授
教 学 环 节 及 教 学 内 容
设 计 思 路
直线的法向量与点法式方程
§9.1.3 直线的法向量和点法式方程
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演讲人姓名
温故知新
已知直线过点P(x0,y0)，斜率k
已知直线过点P(x0,y0)，方向向量V＝( , )
一、直线的点向式方程
二、直线的点斜式方程
动手实验
学以致用
例、求通过点A(1,2),且一个法向量为 的直线的方程。
解:根据直线的点法式方程,得:
整理,所求直线的方程为:
定位方程
试一试：求通过点B(-4,2),且一个法向量 的直线的方程。
点
法向量
寻找定量
练习1：已知直线的一个法向量，求它的一个方向向量
2. 3. 4.
实践问题：
一条直线可以由直线上一点P(x0,y0)，和与直线 平行的方向向量 V＝( , )确定，试动手画一下， 一条直线是否可以通过直线上一点和与直线垂直的一个 向量确定呢？
思考：
所有的法向量具有怎样的位置关系？
不唯一
平行
一条直线的法向量是不是唯一的？ 定义：与一条直线垂直的非零向量叫做这条直线的法向量，通常用 来表示。
练习2：已知直线的一个方向向量，求它的一个法向量
练习3：求通过点P,且一个法向量为 的直线方程。
1、直线的法向量；
5、平面坐标系建立了代数与几何联系的桥梁，实现了数形结合。
2、直线的点法式方程；
4、向量是研究解析几何的重要工具；
3、直线的法向量与方向向量的关系；
布置作业
课外阅读----感知伟人魅力 勒奈·笛卡尔是伟大的哲学家、物理学家、数学家、生理学家，解析几何的创始人，被誉为“近代科学的始祖”。请查阅他在数学方面做出的贡献，下节课以小组为单位进行展示。 1.巩固本节所学知识点； 2.课本P85练习9-3 书面作业 拓展作业
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n A, B p(x,y)
V=（B,-A)
P0(x0 , y0)
o
x
公 式 推 导
设p(x,y)是直线上的一点， l 则p在直线L上的充分必要条件 y 是n.p0p=0. 用坐标表示，上述充分必要条 n A, B 件可写为 p(x,y) A(x-x0)+B(y-y0)=0 （1） 方程（1）是由直线上的一点 V=（B,-A) 和直线的一个 法项量确定的，因此这个方程 o x 叫做直线的 P0(x0 , y0) 点法式方程
所以
v n.
这就是说 如果 n =(A,B)是直线L的一个法向
量，则向量 v =（B,-A)就是直线L的一个方 向向量。
A(x-x0)+B(y-y0)=0
学 以 的直线方程。 致 用
得
（x 0 , y 0）
（A,B）
例9：求过点P(1, 2),且一个法向量为n=(3,4)
解：代入直线的点法式方程,
9.1.3直线的法向量和点法式方 程
知 识 回 顾
什么叫方向向量 ？
与一条直线平行的非零向量叫做这条 直线的方向向量 通常用v表示
y x
o
概 念 形 成
ห้องสมุดไป่ตู้
垂直 的非零向量叫做这 与一条直线 平行 法 条直线的方向向量 通常用 n 表示
思考：
1、一条直线的法向量是唯一的吗？
2、这些法向量的位置关系是怎样的？ 的位置关系是怎样的？
敬请指导
•
3、同一条直线的方向向量 v 和 法向量 n
画出符合要求的直线 1、经过点P0
y
P0
o
图1
x
画出符合要求的直线 2、垂直于非零向量 n y
n
o
图2
x
画出符合要求的直线
3、既经过点P0又垂直于非零向量 n
y
P0
n
x
o
图3
公 式 推 导
y
l
已知直线经过点P(x 0 0 ,y0 )， 一个法向量n=(A,B)， 求直线的方程
直 线 的 点 法 式 方 程
熟 记 公 式
P0(x0 , y0)
o
y
l
直线经过点P(x 0 0 ,y0 )， 一个法向量n=(A,B)， 则直线的点法式方程
x
n A, B
A(x-x0)+B(y-y0)=0
令 v =(B,-A),则 v n =A×B+B×(-A)=0,
3 (x-1)+ 4(y-2) =0 3x+ 4y-11 =0
整理，得 所求直线方程
反
1、理解一个概念—— 直线的法向量
——与直线垂直的非零向量 A( x - x0 ) +B( y - y0 )=0
思 2、掌握一个方程—— 直线的点法式方程 小 结
3、利用直线的点法式方程可以解决
（1）已知直线上一点和直线的法向量