9.1.3直线的法向量和点法式方程

n A, B p(x,y)
V=（B,-A)
P0(x0 , y0)
o
x
公 式 推 导
设p(x,y)是直线上的一点， l 则p在直线L上的充分必要条件 y 是n.p0p=0. 用坐标表示，上述充分必要条 n A, B 件可写为 p(x,y) A(x-x0)+B(y-y0)=0 （1） 方程（1）是由直线上的一点 V=（B,-A) 和直线的一个 法项量确定的，因此这个方程 o x 叫做直线的 P0(x0 , y0) 点法式方程
所以
v n.
这就是说 如果 n =(A,B)是直线L的一个法向
量，则向量 v =（B,-A)就是直线L的一个方 向向量。
A(x-x0)+B(y-y0)=0
学 以 的直线方程。 致 用
得
（x 0 , y 0）
（A,B）
例9：求过点P(1, 2),且一个法向量为n=(3,4)
解：代入直线的点法式方程,
9.1.3直线的法向量和点法式方 程
知 识 回 顾
什么叫方向向量 ？
与一条直线平行的非零向量叫做这条 直线的方向向量 通常用v表示
y x
o
概 念 形 成
ห้องสมุดไป่ตู้
垂直 的非零向量叫做这 与一条直线 平行 法 条直线的方向向量 通常用 n 表示
思考：
1、一条直线的法向量是唯一的吗？
2、这些法向量的位置关系是怎样的？ 的位置关系是怎样的？
敬请指导
•
3、同一条直线的方向向量 v 和 法向量 n
画出符合要求的直线 1、经过点P0
y
P0
o
图1
x
画出符合要求的直线 2、垂直于非零向量 n y
n
o
图2
x
画出符合要求的直线
3、既经过点P0又垂直于非零向量 n
y
P0
n
x
o
图3
公 式 推 导
y
l
已知直线经过点P(x 0 0 ,y0 )， 一个法向量n=(A,B)， 求直线的方程
直 线 的 点 法 式 方 程
熟 记 公 式
P0(x0 , y0)
o
y
l
直线经过点P(x 0 0 ,y0 )， 一个法向量n=(A,B)， 则直线的点法式方程
x
n A, B
A(x-x0)+B(y-y0)=0
令 v =(B,-A),则 v n =A×B+B×(-A)=0,
3 (x-1)+ 4(y-2) =0 3x+ 4y-11 =0
整理，得 所求直线方程
反
1、理解一个概念—— 直线的法向量
——与直线垂直的非零向量 A( x - x0 ) +B( y - y0 )=0
思 2、掌握一个方程—— 直线的点法式方程 小 结
3、利用直线的点法式方程可以解决
（1）已知直线上一点和直线的法向量