最新届中考数学数形结合思想在几何中的应用专题练习

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2025年中考数学思想方法复习系列【数形结合】几何图形中的数形结合思想(原卷版)

几何图形中的数形结合思想知识方法精讲1．完全平方公式的几何背景（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．（2）常见验证完全平方公式的几何图形（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）2．平方差公式的几何背景（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．3．七巧板（1）七巧板是由下面七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等腰直角三角形（两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形）、一块正方形和一块平行四边形．（2）用这七块板可以拼搭成几何图形，如三角形、平行四边形、不规则的多角形等；也可以拼成各种具体的人物形象，或者动物或者是一些中、英文字符号．（3）制作七巧板的方法：①首先，在纸上画一个正方形，把它分为十六个小方格．②再从左上角到右下角画一条线．③在上面的中间连一条线到右面的中间．④再在左下角到右上角画一条线，碰到第二条线就可以停了．⑤从刚才的那条线的尾端开始一条线，画到最下面四份之三的位置，从左边开始数，碰到线就可停．⑥最后，把它们涂上不同的颜色并跟著黑线条剪开，你就有一副全新的七巧板了．4．轴对称的性质（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．由轴对称的性质得到一下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．5．坐标与图形变化-对称（1）关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数．（3）关于直线对称①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b）②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b）6．旋转的性质（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．7．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）8．简单组合体的三视图（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．（3）画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．9．由三视图判断几何体（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．10.数形结合思想1.数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。

中考数学专题复习之数形结合思想练习题及答案

数形结合思想1．已知直线y 1＝2x －1和y 2＝－x －1的图象如图X5－1所示，根据图象填空． (1)当x ______时，y 1＞y 2；当x ______时，y 1＝y 2；当x ______时，y 1＜y 2；(2)方程组的解集是____________．图X5－1图X5－22．已知二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与一次函数y 2＝kx ＋m (k ≠0)的图象相交于点A (－2,4)，B (8,2)(如图X5－2所示)，则能使y 1＞y 2成立的x 的取值范围是____________． 3．(2012年四川内江)如图X5－3，正三角形ABC 的边长为3 cm ，动点P 从点A 出发，以每秒1 cm 的速度，沿A →B →C 的方向运动，到达点C 时停止．设运动时间为x (单位：秒)，y ＝PC 2，则y 关于x 的函数的图象大致为( )ABCD图X5－3图X5－421,1y x y x =-⎧⎨=--⎩4．(2011年四川泸州)如图X5－4，半径为2的圆内接等腰梯形ABCD，它的下底AB是圆的直径，上底CD的端点在圆周上，则该梯形周长的最大值是______．5．(2012年广东湛江)某市实施“农业立市，工业强市，旅游兴市”计划后，2009年全市荔枝种植面积为24万亩．调查分析结果显示，从2009年开始，该市荔枝种植面积y(单位：万亩)随着时间x(单位：年)逐年成直线上升，y与x之间的函数关系如图X5－5.(1)求y与x之间的函数关系式(不必注明自变量x的取值范围)；(2)该市2012年荔枝种植面积为多少万亩？图X5－56．某公司推销一种产品，设x(单位：件)是推销产品的数量，y(单位：元)是推销费，图X5－6表示该公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：(1)求y1与y2的函数解析式；(2)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？(3)如果你是推销员，应如何选择付费方案？图X5－67．(2011年山东菏泽)如图X5－7，抛物线y ＝12x 2＋bx －2与x 轴交于A ，B 两点，与y轴交于C 点，且A (－1,0)．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； (2)判断△ABC 的形状，证明你的结论；(3)点M (m,0)是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时，求m 的值．图X5－78．(2012年广东节选)如图X5－8，抛物线y ＝12x 2－32x －9与x 轴交于A ，B 两点，与y轴交于点C ，连接BC ，AC .(1)求AB 和OC 的长；(2)点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动(点E 与点A ，B 不重合)，过点E 作直线l 平行BC ，交AC 于点D .设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．图X5－89．(2012年山东临沂)如图X5－9，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．(1)求点B 的坐标；(2)求经过点A ，O ，B 的抛物线的解析式；(3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P ，O ，B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．图X5－910．(2012年广东广州模拟)在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图X5－10放置，点A，C的坐标分别为(0,3)，(－1,0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.(1)若抛物线过点C，A，A′，求此抛物线的解析式；(2)求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△OC′D的周长；(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标．图X5－10数形结合思想1．(1)x ＞0 x ＝0 x ＜0 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－12．x 1＜－2或x ＞8 3.C 4.105．解：(1)设函数的解析式为y ＝kx ＋b ，由图形可知，其经过点(2 009,24)和(2 011,26)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2 009k ＋b ＝24，2 011k ＋b ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1 985. ∴y 与x 之间的关系式为y ＝x －1 985.(2)令x ＝2 012，得y ＝2 012－1 985＝27(万亩)． ∴该市2012年荔技种植面积为27万亩． 6．解：(1)y 1＝20x ，y 2＝10x ＋300.(2)y 1是不推销产品时，没有推销费，且每推销10件产品得推销费200元，y 2是保底工资300元，每推销10件产品再提成100元．(3)若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择y 1的付费方案；否则，选择y 2的付费方案．7．解：(1)把点A (－1,0)的坐标代入抛物线的解析式 y ＝12x 2＋bx －2，整理后，解得b ＝－32. 所以抛物线的解析式为y ＝12x 2－32x －2.顶点D ⎝⎛⎭⎫32，－258. (2)∵AB ＝5，AC 2＝OA 2＋OC 2＝5，BC 2＝OC 2＋OB 2＝20， ∴AC 2＋BC 2＝AB 2.∴△ABC 是直角三角形．(3)作出点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′(0,2)，OC ′＝2.连接C ′D 交x 轴于点M .根据轴对称性及两点之间线段最短可知，此时，MC ＋MD 的值最小．设抛物线的对称轴交x 轴于点E . 显然有△C ′OM ∽△DEM . ∴OM EM ＝OC ′ED .∴m 32－m ＝2258.∴m ＝2441. 8．解：(1)在y ＝12x 2－32x －9中，令x ＝0，得y ＝－9，∴C (0，－9)．令y ＝0，即12x 2－32x －9＝0，解得x 1＝－3，x 2＝6，∴A (－3,0)，B (6,0)． ∴AB ＝9，OC ＝9.(2)∵ED ∥BC ，∴△AED ∽△ABC . ∴S △AED S △ABC＝⎝⎛⎭⎫AE AB 2，即s 12·9·9＝⎝⎛⎭⎫m 92. ∴s ＝12m 2(0＜m ＜9)．9．解：(1)如图D94，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，图D94∵OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 位置，∴∠BOC ＝60°，OB ＝4. ∴BC ＝4×sin60°＝2 3，OC ＝4×cos60°＝2. ∵点B 在第三象限，∴点B (－2，－2 3)．(2) 由函数图象，得抛物线通过(－2，－2 3)，(0,0)，(4,0)三点．设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ，由待定系数法，得⎩⎨⎧4a －2b ＝－2 3，16a ＋4b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－36，b ＝2 33.∴此抛物线的解析式为y ＝－36x 2＋2 33x . (3)存在．理由：如图D ，抛物线的对称轴是x ＝－b2a，解得x ＝2.设直线x ＝2与x 轴的交点为D ，设点P (2，y )．①若OP ＝OB ，则22＋|y |2＝42，解得y ＝±2 3. 即点P 坐标为(2,2 3)或(2，－2 3)．又点B (－2，－2 3)，∴当点P 为(2,2 3)时，点P ，O ，B 共线，不合题意，舍去．故点P 坐标为(2，－2 3)．②若BO ＝BP ，则42＋|y ＋2 3|2＝42，解得y ＝－2 3，点P 的坐标为(2，－2 3)． ③若PO ＝PB ，则22＋|y |2＝42＋|y ＋2 3|2，解得y ＝－2 3，点P 坐标为(2，－2 3)．综上所述，符合条件的点P 只有一个，其坐标为(2，－2 3)．10．解：(1)∵▱A ′B ′OC ′由▱ABOC 旋转得到，且点A 的坐标为(0,3)，点A ′的坐标为(3,0)．∴抛物线过点C (－1,0)，A (0,3)，A ′(3,0)．设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝0，c ＝3，9a ＋3b ＋c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3.∴此抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)∵AB ∥CO ，∴∠OAB ＝∠AOC ＝90°. ∴OB ＝OA 2＋AB 2＝10.又∠OC ′D ＝∠OCA ＝∠B ，∠C ′OD ＝∠BOA ， ∴△C ′OD ∽△BOA 又OC ′＝OC ＝1. ∴△C ′OD 的周长△BOA 的周长＝OC ′OB ＝110.又△ABO 的周长为4＋10，∴△C ′OD 的周长为4＋1010＝1＋2105.(3)连接OM ，设点M 的坐标为(m ，n )， ∵点M 在抛物线上，∴n ＝－m 2＋2m ＋3. ∴S △AMA ′＝S △AMO ＋S △OMA ′－S △AOA ′＝12OA ·m ＋12OA ′·n －12OA ·OA ′ ＝32(m ＋n )－92＝32(m ＋n －3) ＝－32(m 2－3m )＝－32(m －32)2＋278.∵0<m <3，∴当m ＝32，n ＝154时，△AMA ′的面积有最大值．∴当点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，154时，△AMA ′的面积有最大值，且最大值为278.。

数形结合思想在解题中的应用训练课件 2023-2024学年人教版数学八年级下册

别是a和3的Rt△ACP的斜边长， + 可以看作两直角边
分别是b和5的Rt△BDP的斜边长，故问题转化为求AP＋BP
的最小值，连接AB，则AP＋BP的最小值为AB，再利用勾股
定理计算出AB即可.
应用8：数与形的关系在求点的坐标中的应用
8.如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，4)，B(8，0)，
∴ቊ
＋ = ，
= ，
解得ቊ
＝ − .
＋ = ，
∴乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数
关系式为y＝12x－180.
(2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的
垂直高度.
【解】设甲最后一段的函数解析式为y＝
mx＋n，将(25，160)和(60，300)代入解
发，甲步行登山到山顶，乙先步行15 min到缆车站，再乘
坐缆车直达山顶，甲、乙距山脚的垂直高度y(m)与甲登山
的时间x(min)之间的函数图象如图所示：
(1)当15≤x≤40时，求乙距山脚的垂直高
度y与x之间的函数关系式；
【解】(1)设乙距山脚的垂直高度y与x之
间的函数关系式为y＝kx＋b，
∵直线过(15，0)和(40，300)，
和点B.
应用3：三角形三边的数量关系在直角三角形中的应用
3.[2023·永州]如图，已知四边形ABCD是平行四边形，其对
角线相交于点O，OA＝3，BD＝8，AB＝5.
(1)△AOB是直角三角形吗？请说明理由；
【解】△AOB是直角三角形.理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝8，∴OB＝OD＝ BD＝4.

6.∴P(6，12).
∴点P的坐标为(－6，－4)或(6，12).

《数形结合思想》专题(整理)doc初中数学

《数形结合思想》专题（整理）doc 初中数学知识综述〔1〕函数几何综合咨询题是近年来各地中考试题中引人注目的新题型，这类试题将几何咨询题与函数知识有机地结合起来，重在考查学生的创新思维及灵活运用函数、几何有关知识，通过分析、综合、概括和逻辑推理来解决数学综合咨询题的能力，此类试题倍受命题者青睐，究其缘故，它是几何与代数的综合题，构题者巧妙地将几何图形置于坐标系中，通过函数图象为纽带，将数与形有机结合，并往往以开放题的形式显现。

〔2〕解答此类咨询题必须充分注意以下咨询题： a. 认识平面坐标系中的两条坐标轴具有垂直关系 b. 灵活将点的坐标与线段长度互相转化c. 明白得二次函数与二次方程间的关系——抛物线与x 轴的交点，横坐标是对应方程的根。

d. 熟练把握几个距离公式：点P 〔x ，y 〕到原点的距离PO x y =+22AB x x a =-=||||12∆e. 具备扎实的几何推理论证能力。

一、填空题〔每空5分，共50分〕1. 假如a ，b 两数在数轴上的对应点如下图：那么化简：||||a b a b ++-=__________。

2. A ，B 是数轴上的两点，AB=2，点B 表示数－1，那么点A 表示的数为__________。

3. △ABC 的三边之比是752：：，那么那个三角形是__________三角形。

4. 点A 在第二象限，它的横坐标与纵坐标之和是1，那么点A 的坐标是__________。

〔写出符合条件的一个点即可〕5. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为CD 的中点，△BCE 的面积为1，那么△ACD 的面积为__________。

6. 二次函数y ax bx c =++2的图象如下图，那么由抛物线的特点写出如下含有系数a ，b ，c 的关系式：①abc >0 ②a b c -+=0 ③44122ac b a -= ④a b +=0，其中正确结论的序号是__________〔把你认为正确的都填上〕7. 如图，AB 是半圆的直径，AB=10，弦CD ∥AB ，∠CBD=45°，那么阴影部分面积为__________。

中考数学复习题方法技巧专题一数形结合思想训练(含答案)

方法技巧专题 ( 一)数形联合思想训练【方法解读】数形联合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数目关系，追求代数问题的解决方案( 以形助数 ) ，或利用数目关系研究几何图形的性质解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。

1.我们学习了一次函数、二次函数和反比率函数, 回首学习过程 , 都是依据列表、描点、连线获得函数的图象, 而后依据函数的图象研究函数的性质, 这类研究方法主要表现的数学思想是()A.演绎B.数形联合C.抽象D.公义化2.若实数a, b, c在数轴上对应的点如图F1- 1, 则以下式子正确的选项是()图 F1-1A.ac>bcB.|a-b|=a-bC.-a<-b<-cD.-a-c>-b-c3 [2017 ·怀化 ] 一次函数2的图象经过点(2,3), 且与x 轴、y轴分别交于点, ,则△的面积是 ().y=- x+m P - A B AOBA.B.C.4D.84. [2018 ·仙桃 ]甲、乙两车从A地出发,匀速驶向 B地 . 甲车以80 km/h的速度行驶 1 h 后 , 乙车才沿同样路线行驶. 乙车先抵达 B 地并逗留 1 h后,再以原速按原路返回, 直至与甲车相遇. 在此过程中,两车之间的距离y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的函数关系如图F1- 2 所示.以下说法 : ①乙车的速度是120 km/h; ②m=160; ③点H 的坐标是(7,80);④n=7.5.此中说法正确的有()图 F1-2A4 个 B 3 个..C2 个 D 1 个..5.已知二次函数y=( x-h )2+1( h 为常数),在自变量 x 的值知足1≤ x≤3的状况下,与其对应的函数值y 的最小值为5,则 h 的值为 ()A. 1 或-5B.- 1或 5C. 1 或-3D.1或36.[2018 ·白银 ]如图 F1- 3是二次函数y=ax2+bx+c( a, b, c是常数 , a≠0) 图象的一部分 , 与x轴的交点A在点 (2,0)和 (3,0)之间 , 对称轴是直线x=1,对于以下说法:① ab<0,②2a+b=0,③3a+c>0,④ a+b≥ m( am+b)( m 为常数),⑤当 - 1<x<3时 , y>0,此中正确的选项是()图 F1-3A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤7.如图 F1- 4 是由四张全等的矩形纸片拼成的图形, 请利用图中空白部分面积的不一样表示方法, 写出一个对于a, b 的恒等式 :.F1- 48 [2018 ·白 ]如 F1 5, 一次函数y=-x-2 与2的象交于点( ,4), 对于x的不等式的.-y= x+m P n -解集.F1- 59.《庄子·天下篇》中写道: “一尺之棰 , 日取其半 , 万世不断.”意思是 : 一根一尺的木棍, 假如每日截取它的一半, 永也取不完 , 如 F1- 6.F1- 6由易得: ++ +⋯+ =.10.当x=m或x=n( m≠n) , 代数式x2- 2x+3 的相等 ,x=m+n, 代数式x2- 2x+3 的.11.已知数a, b 足 a2+1= , b2+1= ,2018 |a-b|=.12.已知函数y=使y=k建立的x的恰巧只有 3 个 , k的.13. (1) 察以下形与等式的关系, 并填空 :F1- 7(2) 察 F1 8, 依据 (1) 中 , 算中黑球的个数, 并用含有n 的代数式填空 :-F1 8-1+3+5+⋯+(2 n- 1) +() +(2 n- 1) +⋯+5+3+1=.14. [2018 ·北京 ]在平面直角坐系 xOy中,直 y=4x+4与 x 、 y 分交于点A, B,抛物 y=ax2+bx- 3a 点 A,将点 B向右平移5个位度 , 获得点 C.(1)求点 C的坐;(2)求抛物的称 ;(3)若抛物与段 BC恰有一个公共点,合函数象,求 a 的取范 .参照答案1.B 2.D 3.B4 B [分析]甲、乙两车最开始相距80 km,0 到 2 h是乙在追甲 , 并在 2 h时追上 , 设乙的速度为x km/h, 可得方程.2x- 2×80=80, 解得x=120, 故①正确 ;在 2 h 时甲、乙距离为 0, 在 6 h 时乙抵达B地 , 此时甲、乙距离=(6 - 2) ×(120 - 80) =160(km), 故②正确 ;H点是乙在 B 地逗留 1 h后开始原路返回,6 h 时甲、乙距离是160 km,1 h 中只有甲在走, 因此 1 h 后甲、乙距离80 km,因此点 H的坐标是(7,80),故③正确;最后一段是乙原路返回, 直到在n h 时与甲相遇 , 初始距离 80 km, 因此相遇时间=80÷(120 +80) =0. 4, 因此n=7. 4, 故④错误 .综上所述 , ①②③正确, ④错误 , 正确的有 3 个, 应选 B.5. B [ 分析 ]由二次函数的极点式y=( x-h )2+1,可知当x=h 时, y 获得最小值1. (1) 如图① , 当x=3, y 获得最小值时 ,解得h=5(h=1舍去);(2) 如图② , 当x=1, y获得最小值时 ,解得 h=-1( h=3舍去) . 应选B.6 A[分析]∵抛物线的张口向下 , ∴0 ∵抛物线的对称轴为直线1, 即x=-1, ∴b=-20, ∴0,20, ∴①.a< .x==a>ab<a+b=②正确 .∵当x=-1 时 ,3, 由对称轴为直线 1 和抛物线过x轴上的A点 ,A点在点 (2,0)和(3,0)之间 , 知抛物线与x y=a-b+c= a+c x=轴的另一个交点在点 ( - 1,0)和 (0,0) 之间 , 因此当x=- 1 时 , y=3a+c<0, ∴③错误.∴此有 a+b+c≥ m( am+b)+c,即 a+b≥ m( am+b),∴④正确 .∵抛物 x 上的 A 点, A 点在点(2,0)和 (3,0) 之 , 抛物与x的另一个交点在点( - 1,0) 和(0,0)之,由知 ,当 2 3 , 有一部分象位于x 下方 , 明此0, 依据抛物的称性可知, 当 10 , 也有一部分象位于x<x<y<-<x<下方 , 明此y<0, ∴⑤. 故A.227. ( a-b ) =( a+b) - 4ab8.- 2<x<2 [ 分析 ]∵ y=-x-2的象点P( n, - 4),∴-n- 2=- 4,解得 n=2. ∴ P点坐是(2, - 4) .察象知 :2 x+m<-x-2 的解集x<2. 解不等式 -x- 2<0可得 x>- 2.∴不等式的解集是 - 2<x<2.9. 1-10. 3 11. 112. 1 或 2 [ 分析 ]画出函数分析式的象, 要使y=k建立的x的恰巧只有 3 个 , 即函数象与y=k 条直有 3 个交点 . 函数 y=的象如.依据象知道当y=1或2, 建立的x 恰巧有3个,∴ k=1或2. 故答案1或2.13.解 :(1)1 +3+5+7=16=42.察 , 律 , 第一个形 :1 +3=22, 第二个形 :1 +3+5=32, 第三个形 :1 +3+5+7=42, ⋯,第 ( n- 1) 个形 :1 +3+5+⋯+(2 n- 1) =n2.故答案 :4 2n2.(2)察形 :中黑球可分三部分 ,1到n 行, 第(1)行,(2) 行到 (21)行,即 135⋯ (21)[2(1)1] (21) ⋯n+n+n++ + + + n-+ n+ -+ n-+531[1 35⋯(21)](21) [(21)⋯ 5 31] 2212222 1故答案:212 2 21 + + + = + + + + n-+ n+ + n-+ + + + =n + n+ +n = n + n+ .n+n + n+ .14.解 :(1) ∵直 4 4 与x、y分交于点, ,y= x+ A B∴A( - 1,0), B(0,4) .∵将点 B 向右平移5个位度,获得点 C,∴C(0 +5,4),即 C(5,4) .(2)∵抛物 y=ax2+bx- 3a 点 A,∴a-b- 3a=0. ∴ b=-2a.∴抛物的称直x=- =- =1,即称直x=1.(3) 易知抛物点 (-1,0),(3,0).①若0, 如 , 易知抛物点 (5,12), 若抛物与段BC恰有一个公共点 , 足a>a12a≥4 即可 , 可知a的取范是a≥ .②若 a<0,如,易知抛物与y 交于点(0, - 3a),要使抛物与段BC只有一个公共点, 就必- 3a>4, 此a<- .综上 , a的取值范围是a≥或 a<- 或 a=-1.。

中考经典考题：数形结合掌握这些几何解题技巧压轴题不再丢分

中考经典考题：数形结合掌握这些几何解题技巧压轴题不再丢分解决数学中考压轴题一般都会用到数形结合等思想。

数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。

题型分析本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形和三角形的中位线。

第（1）题：顶点C的坐标为（1,2）。

第（2）题：F的坐标为（-3，-6）。

数形结合思想利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决途径，或用数量关系研究几何图形的性质，解决几何问题，将数量关系和几何图形巧妙地结合起来，以形助数，以数辅形，使抽象问题直观化，复杂问题简单化，从而使问题得以解决的一种数学思想。

数形结合思想常见的四种类型1、实数与数轴实数与数轴上的点具有一一对应关系,因此借助数轴观察数的特点,直观明了。

2、在解方程(组)或不等式(组)中的应用利用函数图象解决方程问题时，常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决；还有曲线与方程的对应关系；利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题直观，形象，易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解。

讨论方程的解（或函数的零点）可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解。

3、在函数中的应用函数与图像的对应关系；借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法,函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。

4、在几何中的应用以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；对于几何问题，我们常通过图形,找出边、角的数量关系，通过边、角的数量关系,得出图形的性质等。

中考数学数形结合思想在几何中的应用专题练习

专题练习数形结合思想在几何中的应用一. 填空题1. 若A （-5，3）、B （3，3），则以AB 为底边、腰长为5的等腰三角形ABC 的顶点C （点C 不在坐标轴上）的坐标是______________。

应填入：（-1，6）2. 已知：半径为的圆与两坐标轴都相切，圆心在第二象限，则圆心坐标是5________________。

应填入：()-55，3. 若第四象限点A 到坐标原点O 的距离为2，OA 与x 轴正半轴夹角为30°，则A 点坐标是__________________。

应填入：()31，-4. 已知：A （3，-5），|AB|=13，点B 在x 轴负半轴上，则B 点坐标是_____________。

应填入：()-90，5. 已知：如图所示，△ABC 中，A 为坐标原点，AB 在x 轴上，∠BAC=180°－α（0°<α<90°），AC=m ，则C 点坐标（用α的三角函数及m 表示）是_____________。

应填入：(cos sin )-m m αα，6. 如图所示，在矩形ABCD 中，BD=10，△ABD 的内切圆半径为2，切三边于E 、F 、G ，则矩形两边AB=________________，AD=_______________。

B C应填入：6，8 二. 解答题7. 已知：如图所示，矩形AOBC 中，以O 为坐标原点，OB 、OA 分别在x 轴、y 轴上，A （0，4），∠OAB=60°，以AB 为轴对折后，使C 点落在D 点处，求D 点坐标。

（利用点到轴的距离等于点坐标的绝对值沟通形与数）yCαO A B x解：()232，-8. 如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，点D 在BC 上，BD=4，AD=BC ，cos ∠=ADC 35，求：（1）DC 的长；（2）sinB 的值。

（图形中线段和差作为等量关系）AB D C解：（1）Rt ACD ADC CD AD ∆中，cos ∠==35设CD=3k ，∴AD=5k又， BC AD k k =∴+=345 ∴=∴==k CD k 236，（），，23464104822 BC k AC AD CD k =+=+==-==∴=+=+=AB AC BC 2222810241∴===sin B AC AB 8241441419. 已知：如图所示，在矩形ABCD 中，以AB 为直径作圆O 切CD 于F ，连AC 交圆O 于P ，PE ⊥AB 于E ，AB=a ，求PE 的长。

中考代数几何-用数形结合的思想解题

中考用数形结合的思想解题1. 用数形结合的思想解题可分两类:（1）利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；（2）运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等.2. 热点内容：在初中教材中，数的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而形的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数的图象对应着一条直线，二次函数的图象对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容.特别是二次函数，不仅是学生学习的难点之一，同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最充分体现.在平面直角坐标系中，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a，b，c密不可分.事实上，数a 决定抛物线的开口方向, b 与a 一起决定抛物线的对称轴位置, c 决定了抛物线与y 轴的交点位置，与a、b 一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标，抛物线的平移的图形关系只是顶点坐标发生变化，其实从代数的角度看是b、c 的大小变化.可分两类:（1）利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；（2）运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等.方法点拨数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法.数形结合问题，也可以看作代数几何综合问题.从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也会融入开放性、探究性等问题.经常考查的题目类型主要有坐标系中的几何问题(简称坐标几何问题)，以及图形运动过程中求函数解析式的问题等．解决这类问题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题；第三，要善于联系与转化，进一步得到新的结论.尤其要注意的是，恰当地使用综合分析法及方程与函数的思想、转化思想、数形结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题．类型一、利用数形结合探究数字的变化规律1. 如图，网格中的每个四边形都是菱形．如果格点三角形ABC的面积为S，按照如图所示方式得到的格点三角形A1B1C1的面积是，格点三角形A2B2C2的面积是19S，那么格点三角形A3B3C3的面积为（）.A. 39SB. 36SC. 37SD. 43S答案与解析举一反三【思路点拨】设网络中每个小菱形的边长为一个单位，由于ABC的面积为S，则小菱形的面积为2S；从图上观察可知三角形A2B2C2三个顶点分别在边长为3个单位的菱形的内部，其中一顶点与菱形重合，另两顶点在与前一顶点不相连的两边上，三角形A n B n C n三顶点分别在边长为（2n+1）个单位的菱形的内部，此菱形与三角形A n B n C n不重合的部分为三个小三角形；由此得到关于三角形A n B n C n面积公式，把n=3代入即可求出三角形A3B3C3的面积．【答案】C.【解析】网络中每个小菱形的边长为一个单位，由于ABC的面积为S，则小菱形的面积为2S；从图上观察可知三角形A2B2C2三个顶点分别在边长为3个单位的菱形的内部，其中一顶点与菱形重合，另两顶点在与前一顶点不相连的两边上，三角形A n B n C n三顶点分别在边长为2n+1个单位的菱形的内部，此菱形与三角形A n B n C n不重合的部分为三个小三角形；而三角形A n B n C n 面积=边长为2n+1个单位的菱形面积-三个小三角形面积=2S（2n+1）2-,=S（8n2+8n+2-2n2-n-2n2-3n-1-n2-n），=S（3n2+3n+1），把n=3分别代入上式得：S3=S（3×32+3×3+1）=37S．故选 C．【总结升华】此题主要考查菱形的性质，也考查了学生的读图能力以及探究问题的规律并有规律解决问题的能力．【变式】正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线(k＞0)和x轴上，已知点B1(1，1)，B2(3，2)，则B n的坐标是______________．答案与解析【答案】解：∵B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），∴正方形A1B1C1O1边长为1，正方形A2B2C2C1边长为2，∴A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2），代入 y=kx+b得：解得：则直线A1A2的解析式是：y=x+1．∵A1B1=1，点B2的坐标为（3，2），∴点A3的坐标为（3，4），∴A3C2=A3B3=B3C3=4，∴点B3的坐标为（7，4），∴B1的纵坐标是：1=20，B1的横坐标是：1=21-1，∴B2的纵坐标是：2=21，B2的横坐标是：3=22-1，∴B3的纵坐标是：4=22，B3的横坐标是：7=23-1，∴B n的纵坐标是：2n-1，横坐标是：2n-1，则 B n（2n-1，2n-1）．∴B4的坐标是：（24-1，24-1），即（15，8）．故答案为：（15，8）．类型二、利用数形结合解决数与式的问题2. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|2-a|+的结果为__________.答案与解析【思路点拨】由数轴可知，0＜a＜2，由此去绝对值，对二次根式化简．【答案与解析】解：∵0＜a＜2，∴|2-a|+=2-a+a=2.故答案为：2．【总结升华】本题考查了绝对值的化简和二次根式的性质与化简，实数与数轴的对应关系．关键是根据数轴上的点的位置来判断数a的取值范围，根据取值范围去绝对值，化简二次根式．类型三、利用数形结合解决代数式的恒等变形问题3.（1）在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是__________________（用字母表示）．（2）设直角三角形的直角边分别是a，b，斜边为c，将这样的四个完全相同的直角三角形拼成正方形，验证等式a2+b2=c2成立。

例谈数形结合在初中数学解题中的应用

例谈数形结合在初中数学解题中的应用数形结合是数学中一种重要的解题方法，尤其在初中数学中的应用更为广泛。

数形结合通过将数学问题与几何图形相结合，可以帮助学生更好地理解和解决问题。

下面就以几个具体的例题来说明数形结合在初中数学解题中的应用。

例题一：设正方形ABCD的面积为16平方厘米，点E是边AB的中点，连接DE交BC于点F。

如果BE的长度为2厘米，求△DEF的面积。

解析：首先根据题目中给出的信息，我们可以画出如下的图形：```A------F-------------B| || || |D------E-------------```根据平行四边形面积公式，△DEB的面积可以通过三角形的底边DE和高EB来计算，即：△DEB = 1/2 × DE × EB = 1/2 × 4 × 2 = 4平方厘米。

所以，△DEF的面积等于△DEB的面积的一半，即：△DEF = 1/2 × 4 = 2平方厘米。

△DEF的面积为2平方厘米。

通过这个例题，我们可以看到，数形结合的方法可以帮助我们更好地理解问题，并且能够直观地画出图形，从而更好地解决问题。

例题二：已知折线ABCDE是一个凸五边形，AB=BC=CD，∠BCD=108°，连接AC，求∠ABC 的度数。

解析：我们可以通过解题思路问自己：如果折线ABCDE是一个凸五边形，那么角ABC、角BCD、角CDE、角EDA的度数分别是多少？由于AB=BC=CD，所以∠ABC=∠CD E。

又因为折线ABCDE是一个凸五边形，所以∠BCD < 180°。

已知∠BCD=108°，所以∠BCD< 180°。

根据凸五边形内角和公式，我们可以得到：∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠EDA+∠DAB=360°。

将已知条件代入，即可得到：2∠ABC+2×108°=360°。

中考数学复习专题数形结合思想(含答案)

数形结合思想一、选择题1、已知点M(1-a ，a+2)在第二象限，则a 的取值范围是（）（A ）a>－2 (B)－2<a<1 (C)a<－2 (D)a>1 2、在频率分布直方图中，小长方形的面积等于（）（A ）相应各组的频数（B ）组数（C ）相应各组的频率（D ）组距 3、已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当y <0时，x 的取值范围是（）A ．x >0B ．x <0C ．-2<x <0D ．x <1 4、过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ．则OM 的长为（）A．3cmB ．5cmC ．2cmD ．3cm5、一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图(扇形)的圆心角的度数为（） A ．600B ．1800C ．300D ．9006、若用(a)、(b)、(c)、(d)四幅图像分别表示变量之间的关系，请按图像所给顺序，将下面的①、②、③、④对应顺序。

① 小车从光滑的斜面上滑下(小车的速度与时间的关系)② 一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物(弹簧长度与所挂重物的重量的关系) ③ 运动员推出去的铅球(铅球的高度与时间的关系)④ 小杨从A 到B 后，停留一段时间，然后按原速度返回(路程与时间的关系) 正确的顺序是A ．③④②①B ．①②③④C ．②③①④D ．④①③②7、小圆圈是网络的结点，结点之间的边线表示它们之间的网线相联，边线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现在的结O 1-2点A向结点B传递信息，可以分开沿不同的路线同时传递，单位时间内传递的最大信息量为：A．19B．20C．24D．268、如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水的最大深度h与时间t之间的关系的图像是( )9、如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD面积为（）（A）98 （B）196 （C）280 (D) 28410、如图，在□ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有（）（A）0对（B）1对（C）2对（D）3对二、填空题：1、把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形A'B'C'D'的位置，它们的重叠部分(图中的阴影部分)的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC=2，则正方形移动的距离AA'是2、如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B的坐标为(4，2)，直线12y x b=+恰好将矩形OACB分成面积相等的两部分，则b= 。

数形结合思想在中考题中的体现专题精讲精练

数形结合思想在中考题中的体现专题精讲精练【例题1】构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°=AC CD =2+√3=√3(2+√3)(2−√3)=2−√3．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（）A ．√2+1B ．√2−1C ．√2D ．12 【对点练习】（2019•湖北省仙桃市）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（） A ． B ． C ．D ．【例题2】数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y ＝x +5和直线y ＝ax +b 相交于点P ，根据图象可知，方程x +5＝ax +b 的解是（）A ．x ＝20B ．x ＝5C ．x ＝25D ．x ＝15【对点练习】（2020株洲模拟）直线y=k1x+b1（k1＞0）与y=k2x+b2（k2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y轴围城的三角形面积为4，那么b1﹣b2等于．【例题3】在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．(1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．(2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．(3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．【对点练习】（2020山东日照模拟）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，则：AC=AB．探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．（1）如图1，连接AB边上中线CE，由于CE=AB，易得结论：①△ACE为等边三角形；②BE与CE之间的数量关系为．（2）如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论．拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C点的坐标．各种类型点对点强化训练一、选择题1．如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（）A．（1.5+150tanα）米B．（1.5+150tanα）米C．（1.5+150sinα）米D．（1.5+150sinα）米2．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（）A. 4B. 7C. 3D. 123．如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣2＜m＜B．﹣3＜m＜﹣C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣二、填空题4．如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是．（填写正确结论的序号）5．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB 长26m，斜坡AB的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A 不动，则坡顶B沿BC至少向右移m时，才能确保山体不滑坡．（取tan50°＝1.2）6．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE=2，连接CF，以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是2；③tan∠DCF=；④△ABF的面积为．其中一定成立的是（把所有正确结论的序号都填在横线上）．三、解答题7.解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．8. 我们知道：根据二次函数的图象，可以直接确定二次函数的最大（小）值；根据“两点之间，线段最短”，并运用轴对称的性质，可以在一条直线上找到一点，使得此点到这条直线同侧两定点之间的距离之和最短．这种“数形结合”的思想方法，非常有利于解决一些实际问题中的最大（小）值问题．请你尝试解决一下问题：（1）在图1中，抛物线所对应的二次函数的最大值是 _____.（2）在图2中，相距3km的A、B两镇位于河岸（近似看做直线CD）的同侧，且到河岸的距离AC=1千米，BD=2千米，现要在岸边建一座水塔，直接给两镇送水，为使所用水管的长度最短，请你：①作图确定水塔的位置；②求出所需水管的长度（结果用准确值表示）.（3）已知x+y=6，求的最小值？此问题可以通过数形结合的方法加以解决，具体步骤如下：①如图3中，作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA= ____DB= ____.②在AB上取一点P，可设AP= _____，BP= _____.③③的最小值即为线段___和线段_____长度之和的最小值，最小值为___．9.如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D．（1）求直线AD的函数解析式；（2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；②当点P到直线AD的距离为时，求sin∠PAD的值．10．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（3，2），与y轴的负半轴交于点B，且OB＝4．（1）求函数y＝和y＝kx+b的解析式；（2）结合图象直接写出不等式组0＜＜kx+b的解集．11．如图，已如平行四边形OABC中，点O为坐标顶点，点A（3，0）C（1，2），函数y＝（k≠0）的图象经过点C．（1）求k的值及直线OB的函数表达式：（2）求四边形OABC的周长．12.如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i=1：，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC=25米，与凉亭距离CE=20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）。

中考数学复习：专题9-6 例谈数形结合在初中数学解题中的应用

例谈数形结合在初中数学解题中的应用【专题综述】数学家华罗庚说过:“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞;数无形时少直觉，形少数时难入微.”初中数学思想方法中的数形结合思想是一种很重要的方法，利用这种方法，可以实现代数问题与几何问题的相互转化，使抽象问题具体化，复杂问题简单化。

本文举例说明运用数形结合思想解决数学问题可以达到事半功倍的效果。

【方法解读】一以“数”解“形”例 1 如图，过正方形ABCD 的顶点G ，任作一直线与AB 、AD 的延长线分别交于E 、F 。

求证:4AE AF AB +≥。

证明设正方形的边长为a ，连AC 。

因为AEF ACF ACE S S S ∆∆∆=+，所以有()/2()/2()/2()/2AF SE AF CD AE BC a AE AF ⋅=⋅+⋅=+，即()AE AF a AE AF ⋅=+ 。

从而AE 、AF 可视为关于x 的一元二次方程2()()0x AE AF x a AE AF -+++=的两个实数根。

所以该方程的判别式 2()4()0AE AF a AE AF =+-+≥，得4AE AF a +≥，即4AE AF AB +≥。

本例是“形”的问题，但直接从“形”入手较难解决，若将“形”转化为“数” ，则结论变为2()4()0AE AF AB AE AF +-+≥。

则可联想起一元二次方程根的判别式，从而把它转化为“数”的问题来解决。

例2 如图，直线33y x b =-+与y 轴交于点A ，与双曲线k y x=在第一象限交于B 、 C 两点，且4AB AC ⋅=，则k = 。

解设1122(,),(,)B x y C x y ，则1x 、2x 是方程33kx b x-+=的两根，123x x k ∴=。

又 1222334,333AB AC x x k ⋅=⋅=∴=。

此题将反比例函数图象与直线相结合，利用直线解析式，先算出12223,3,33AB x AC x ==然后联立直线与双曲线的解析式，得到关于x 的一个一元二次方程，再利用根与系数的关系，求出k 的值。

中考数学高频考点《数形结合思想》专项测试卷-附答案

中考数学高频考点《数形结合思想》专项测试卷-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题：本题共8小题每小题3分共24分。

1.若实数k，m，n满足k+m+n=0且k<n<m则函数y=kx+m的图象可能是( )A. B. C. D.2.通过计算比较图1图2中阴影部分的面积可以验证的式子是( )A. a(b−x)=ab−axB. b(a−x)=ab−bxC. (a−x)(b−x)=ab−ax−bxD. (a−x)(b−x)=ab−ax−bx+x23.一次函数y=−ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A. B. C. D.4.点O、A、B、C在数轴上的位置如图所示点O为原点AO=1CO=2AB若点B所表示的数为b则点C 所表示的数为( )A. −2b+2B. −2b−2C. 2b−2D. 2b+25.如图OA是北偏东30°方向的一条射线若∠AOB=90°则OB的方向角是( )A. 北偏西30°B. 北偏西60°C. 东偏北30°D. 东偏北60°6.y关于x函数关系如图所示当−3≤x≤3时函数值y的取值范围是( )A. 0≤y≤3B. 0≤y≤2C. 1≤y≤3D. −3≤y≤37.我们知道对于一个图形通过两种不同的方法计算它的面积可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b).若已知a2+b2+c2=45ab+bc+ac=38由图2所表示的数学等式则a+b+c的值为( )A. 12B. 11C. 10D. 98.数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图一次函数y=kx+b(k,b为常数且k<0)的图像与直线y=13x都经过点A(3,1)当kx+b<13x时x的取值范围是 ( )A. x>3B. x<3C. x<1D. x>1二填空题：本题共5小题每小题3分共15分。

2024年中考总复习数学课件第二部分专题四数形结合问题

当点 P 在 x 轴上又异于 AB 的延长线与 x 轴的交点
时，
在点 P，A，B 构成的三角形中，PA －PB＜AB. 综合上述，PA －PB≤AB.
(3)解：设 AB 所在直线的解析式为 y＝kx＋b，图象经过 A(－2，3), B(0，2)，
得方程组－ b＝2k2＋，b＝3，
解得k＝－12， b＝2，
例 2：如图，AB，CD 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点 P 从点 O 出发，沿 O→C→B→O 的路线匀速运动，设∠APD＝y(单位：度)，那么 y 与点 P 运动的时
间(单位：秒)的关系图是( )
A
B
C
D
答案：B
例 3：如下图，抛物线 y＝－14 x2－x＋2 的顶点为
A，与 y 轴交于点 B. (1)求点 A，点 B 的坐标； (2)若点P是 x 轴上任意一点，
例 1：甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，赵明阳跑步从甲地往乙地，王浩月骑自行车从乙地往甲地，两人同时出发，王浩月先到达目的地，
两人之间的距离 s(单位：km)与运动时间 t(单位：h)的
函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是( )
A.两人出发 1 h 后相遇 B.赵明阳跑步的速度为 8 km/h C.王浩月到达目的地时两人相距 10 km D.王浩月比赵明阳提前 1.5 h 到目的地答案：C
答案：C
2.(2023西城区期末)线段 AB＝6，点 C 为线段 AB 的中点，点 D 在直线 AB 上，若 BD＝3AC，则 CD＝
________. 答案：12 或 6
3.(2021·历城区期末)已知动点 P 以 2 cm/s 的速度沿如图 1 所示的边框以 B－C－D－E－F－A 的路径运动，记△ABP 的面积为 S(cm2)，S 与运动时间 t(s)的关系如图 2 所示，若 AB＝6 cm，请回答下列问题：

中考数学能力提升数形结合思想的应用

中考数学能力提升--数形结合思想的应用数学研究的主要对象是空间形式和数量关系。

数与形是数学的两大支柱，它们是对立的，也是统一的。

数形结合思想，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数和以数解形两个方面。

利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是一种基本的数学思想。

下面结合具体实例谈谈数形结合思想在解题中的应用：一、构造几何图形解决代数与三角问题：1、证明恒等式：例1 已知x 、y 、z 、r 均为正数，且222,x y z +=2z x = 求证：.rz xy =2、证明不等式：例2 已知：0＜a ＜1，0＜b ＜1. 求证：≥3、求参数的值或参数的取值范围：例3 若方程2210ax x -+= （a＞0）的两根满足：1x＜1，1＜2x ＜3，求a 的取值范围。

BACxyzr例4 若关于x 的不等式2021x mx ≤++≤ 的解集仅有一个元素，求m 的值。

4、求最值问题：例5 已知a 、b 均为正数，且 2.a b +=求+的最小值。

二、用代数与三角方法解决几何问题：例6 如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，CF 、BE 分别是AB 、AC 边上的高。

试证：AB CF AC BE +≥+例7 如图，在正△ABC 的三边AB 、BC 、CA 上分别有点D 、E 、F.若DE⊥BC ，EF ⊥AC ，FD ⊥AB 同时成立，求点D 在AB 上的位置.分析：先假设符合条件的点 D 、E 、F 已经作出，再利用已知条件，寻找线段与角之间的数量关系，列出含有待求量的等式（方程），以求其解。

例8 如图，△ABC 三边的长分别是BC=17，CA=18，AB=19. 过△ABC 内的点P 向△ABC 的三边分别作垂线PD 、PE 、PF （D 、E 、F 为垂足）. 若27.BD CE AF ++=求：BD BF +的长.ABCEF例题解析1分析：由222,x y z +=自然联想到勾股定理。

“数形结合”思想在中考数学综合题中的应用word资料5页

“数形结合”思想在中考数学综合题中应用现在中考试题“综合题”重视对“数形结合”思想考查，解这类题时考生往往只注意到代数知识或只注意到几何知识，而不太注意它们之间相互转化。

其实，这类题目大多以直角坐标系为桥梁，建立点与数即坐标之间对应关系，充分获取图象信息，一方面可用代数方法研究几何图形性质；另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题结论。

例如：已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x=－2抛物线c1：y=x2＋bx ＋c，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点C坐标为（0，3），（I）求直线AC及抛物线cl 剖析式；（II）在对称轴上是否存在一点Q，使得△QBC周长最小？若存在，请求出Q点坐标，若不存在，请说明理由；（III）若抛物线上有一点M，使MA=MC，请求出满足条件点M坐标；（IV）设抛物线顶点为D，点P在抛物线对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P坐标；（V）若将抛物线平移，使它以直线x=1为对称轴，且经过点（3，5），求出此时抛物线c2剖析式；再将抛物线c2沿其对称轴继续平移，得到抛物线c3，设抛物线c3顶点为N，直线ON与抛物线c3另一个交点为H，当ON=OH时，求点H坐标。

解：（I）由图象知，c=3，且对称轴x=-2，已知a=1，求b值。

由对称轴x=-=-2，得b=4。

∴c1:y=x2+4x+3令x2+4x+3=0，解得x1=-1，x2=-3A（-3，0），B（-1，0）直线AC:y=kx+3过（-3，0）∴-3k+3=03k=3k=1∴直线AC:y=x+3（II）在对称轴上是否存在一点Q，使得△QBC周长最小？若存在，请求出Q点坐标，若不存在，请说明理由。

简述：由图象可知：因为BC边已定，所以△QBC周长最小值就转化成QB+QC最小值，进而转化成线段垂直平分线应用“找对称点，两点间线段最短问题”。

解：存在Q点，即直线AC与x=-2交点。

∵B点关于x=-2对称点为A点，直线AC:y=x+3，当x=-2时y=1，∴Q（-2，1）（III）若抛物线上有一点M，使MA=MC，请求出满足条件点M坐标。