高中数学数列专题练习精编版

高中数学数列专题练习（精编版）1.已知数列{}()n a n N *∈是等比数列,且130,2,8.n a a a >==(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求证:11111321<++++na a a a Λ； (3)设1log 22+=n n ab ,求数列{}n b 的前100项和. 2.数列{a n }中，18a =，42a =，且满足21n n a a ++-=常数C (1)求常数C 和数列的通项公式； (2)设201220||||||T a a a =+++L ， (3)12||||||n n T a a a =+++L ,n N +∈3.已知数列n n 2,n a =2n 1,n ⎧⎨⎩为奇数；－为偶数；，求2n S4.已知数列{}n a 的相邻两项1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*的两根,且11=a .(1)求证:数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-n n a 231是等比数列;(2)求数列{}n b 的前n 项和n S .5.某种汽车购车费用10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，…，各年的维修费平均数组成等差数列，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年时，年平均费用最少）？6.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41. (1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ,b n的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？7.在等比数列{a n }(n ∈N*)中，已知a 1＞1，q ＞0．设b n =log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5=6，b 1b 3b 5=0．(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式a n 、b n ；(2)若数列{b n }的前n 项和为S n ，试比较S n 与a n 的大小．8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 是S n 与2的等差中项，数列{b n }中，b 1=1， 点P （b n ，b n+1）在直线x -y +2=0上。

（1）求a 1和a 2的值；（2）求数列{a n }，{b n }的通项a n 和b n ；（3）设c n =a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n 。

9.已知数列{}n a 的前n 项和为11,4n S a =且1112n n n S S a --=++，数列{}n b 满足11194b =-且13n n b b n --=(2)n n N *≥∈且．（１）求{}n a 的通项公式；（２）求证：数列{}n n b a -为等比数列; （３）求{}n b 前n 项和的最小值． 10.已知等差数列{}a n 的前9项和为153．（1）求5a ；（2）若，82=a ，从数列{}a n 中，依次取出第二项、第四项、第八项，……，第2n 项，按原来的顺序组成一个新的数列{}c n ，求数列{}c n 的前n 项和S n .11.已知曲线C ：x y e =（其中e 为自然对数的底数）在点()1,P e 处的切线与x 轴交于点1Q ，过点1Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点1P ，曲线C 在点1P 处的切线与x 轴交于点2Q ，过点2Q 作x轴的垂线交曲线C 于点2P ，……，依次下去得到一系列点1P 、2P 、……、n P ，设点n P 的坐标为(),n n x y （*n ∈N ）．（Ⅰ）分别求n x 与n y 的表达式； （Ⅱ）求1ni i i x y =∑．12.在数列{})0,(2)2(,2111>∈-++==*++λλλλN n a a ，a a n n n n n 中（1） 求证：数列2{()}n nna λλ-是等差数列；（2） 求数列{}n a 的前n 项和n S ；13.在等差数列{}n a 中，公差d 0≠，且56a =，（1）求46a a +的值．（2）当33a =时，在数列{}n a 中是否存在一项m a （m 正整数），使得3a ，5a ，m a 成等比数列，若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．（3）若自然数123t n , n , n , , n , , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅(t 为正整数)满足5<1n <2n <⋅⋅⋅<t n <⋅⋅⋅，使得31t 5n n a , a ,a , ,a , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等比数列，当32a =时，用t 表示t n14.已知二次函数2()f x ax bx =+满足条件:①(0)(1)f f =;②()f x 的最小值为18-.(Ⅰ)求函数()f x 的解析式;(Ⅱ)设数列{}n a 的前n 项积为n T ,且()45f n n T ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求数列{}n a 的通项公式;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若5()n f a 是n b 与n a 的等差中项,试问数列{}n b 中第几项的值最小?求出这个最小值.15.已知函数f （x ）=x 2－4，设曲线y ＝f （x ）在点（x n ，f （x n ））处的切线与x 轴的交点为（x n+1,0）（n ∈N +）， （Ⅰ）用x n 表示x n+1； （Ⅱ）若x 1=4，记a n =lg22n n x x +-，证明数列｛n a ｝成等比数列，并求数列｛n x ｝的通项公式； （Ⅲ）若x 1＝4，b n ＝x n －2，T n 是数列｛b n ｝的前n 项和，证明T n <3.数列专题练习参考答案1.解：(1)设等比数列{}n a 的公比为q .则由等比数列的通项公式11n n a a q -=得3131a a q -=,284,2q ∴== 又()0,22n a q >∴=L L 分∴数列{}n a 的通项公式是()12223n n n a -=⨯=分L L . ∴数列{}n b 的前100项和是()100100991003210200122S ⨯=⨯+⨯=分L L2．解：（1）C 2102n a n =＝－，－(3)229 , 5409, 5n n n n T n n n ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩－－ 4.解：证法1:∵1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*的两根,∴⎩⎨⎧==+++.,211n n n n n n a a b a a由n n n a a 21=++,得⎪⎭⎫⎝⎛⨯--=⨯-++n n n n a a 23123111,故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-n n a 231是首项为31321=-a ,公比为1-的等比数列.证法2:∵1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*的两根,∴⎩⎨⎧==+++.,211n n n n n n a a b a a∵nn n n nn n n n a a a a 2312312231231111⨯-⨯--=⨯-⨯-+++1231231-=⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯--=n n n n a a , 故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-n n a 231是首项为31321=-a ,公比为1-的等比数列.(2)解:由(1)得()1131231--⨯=⨯-n n n a ,即()[]nn n a 1231--=.∴()[]()[]111121291+++--⨯--==n n n n n n n a a b()[]1229112---=+nn . ∴n n a a a a S ++++=Λ321()⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=+21122311n n . 6.解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－51)万元，… 第n 年投入为800×(1－51)n －1万元，所以，n 年内的总投入为a n =800+800×(1－51)+…+800×(1－51)n －1=∑=n k 1800×(1－51)k －1=4000×［1－(54)n ］第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+41)，…，第n 年旅游业收入400×(1+41)n －1万元.所以，n 年内的旅游业总收入为b n =400+400×(1+41)+…+400×(1+41)k －1=∑=n k 1400×(45)k －1.=1600×［(45)n －1］(2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n －a n ＞0，即： 1600×［(45)n －1］－4000×［1－(54)n ］＞0，令x =(54)n ，代入上式得：5x 2－7x +2＞0.解此不等式，得x ＜52，或x ＞1(舍去).即(54)n ＜52， 由此得n ≥5.∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入. 7.8.解：（1）∵a n 是S n 与2的等差中项 ∴S n =2a n -2 ∴a 1=S 1=2a 1-2，解得a 1=2 a 1+a 2=S 2=2a 2-2，解得a 2=4 ···3分（2）∵S n =2a n -2，S n -1=2a n -1-2， 又S n —S n -1=a n ，*),2(N n n ∈≥ ∴a n =2a n -2a n -1， ∵a n ≠0，∴*),2(21N n n a a n n∈≥=-，即数列{a n }是等比树立∵a 1=2，∴a n =2n ∵点P (b n ，b n +1)在直线x-y+2=0上，∴b n -b n +1+2=0，∴b n +1-b n =2，即数列{b n }是等差数列，又b 1=1，∴b n =2n-1， ···8分（3）∵c n =(2n -1)2n∴T n =a 1b 1+a 2b 2+····a n b n =1×2+3×22+5×23+····+(2n -1)2n ， ∴2T n =1×22+3×23+····+(2n -3)2n +(2n -1)2n +1因此：-T n =1×2+(2×22+2×23+···+2×2n )-(2n -1)2n +1， 即：-T n =1×2+(23+24+····+2n +1)-(2n -1)2n +1， ∴T n =(2n -3)2n +1+6 ··14分9.解：(1)由112221n n n S S a --=++得1221n n a a -=+,112n n a a --=……2分∴111(1)24n a a n d n =+-=-……………………………………4分(2)∵13n n b b n --=,∴11133n n b b n -=+,∴1111111111113()3324364324n n n n n b a b n n b n b n ----=+-+=-+=-+;∴由上面两式得1113n n n n b a b a ---=-,又1111913044b a -=--=-∴数列{}n n b a -是以-30为首项,13为公比的等比数列.…………………8分(3)由(2)得1130()3n n n b a --=-⨯，∴11111130()30()3243n n n n b a n --=-⨯=--⨯=221111130()(1)20()023323n n --+⨯-=+⨯>，∴{}n b 是递增数列………11分当n =1时,11194b =-<0；当n =2时,23104b =-<0；当n =3时,351043b =-<0；当n =4时,471049b =->0，所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小. 且31101(135)3010414312S =++---=-…………………………13分 10.解：（1）15392292)(955919==⨯=+=a a a a S Θ175=∴a ………5分（2）设数列{}a n 的公差为d ，则⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=+==+=35174811512d a d a a d a a 23+=∴n a n ………9分S a a a a n n n n n =++++=+++++=++2482132482232……·()26n -…12分11.解：（Ⅰ）∵x y e '=，∴曲线C ：x y e =在点()1,P e 处的切线方程为()1y e e x -=-，即y ex =． 此切线与x 轴的交点1Q 的坐标为()0,0， ∴点1P 的坐标为()0,1．……2分 ∵点n P 的坐标为(),n n x y （*n ∈N ），∴曲线C ：x y e =在点n P (),n n x y 处的切线方程为()n n x x n y e e x x -=-，……4分 令0y =，得点1n Q +的横坐标为11n n x x +=-．∴数列{}n x 是以0为首项，1-为公差的等差数列． ∴1n x n =-，1n n y e -=．（*n ∈N ）……8分 （Ⅱ）∴1122331......... ni i n n i x y x y x y x y x y ==++++∑……14分12.解：（1）由1*1(2)2,(,0)n n n n a a n N λλλλ++=++-∈>，可得所以2{()}n nna λλ-是首项为0，公差为1的等差数列.（2）解：因为2()1n nna n λλ-=-即*(1)2,()n n n a n n N λ=-+∈设2312(2)(1)n n n T n n λλλλ-=++⋅⋅⋅+-+-……①3412(2)(1)n n n T n n λλλλλ+=++⋅⋅⋅+-+-……②当1λ≠时，①-②得2341(1)(1)n n n T n λλλλλλ+-=+++⋅⋅⋅+--13.解：（1）在等差数列{}n a 中，公差d 0≠，且56a =，则546462a a a , a a 12=+∴+=……………………3分 （2）在等差数列{}n a 中，公差d 0≠，且56a =，33a =则()11233014621n a d 3 d= , a ,a n a d 2+=⎧⇒=∴=-⎨+=⎩n N *∈又235m a a a =Q 则()3631m 3a , 12=m , m=92=∴-∴………7分 （3）在等差数列{}n a 中，公差d 0≠，且56a =，3a 2=则1124461n a d 2 d=2 , a 2 ,a 2n ,n N a d *+=⎧⇒=-∴=-∈⎨+=⎩ 又因为公比53632a q , a ===首项32a =，123t t n a +∴=⋅ 又因为112442332t t t n t t t a n , 2n , n ++=-∴-=⋅=+n N *∈…………12分14.解:(1)由题知:200148a b a b a⎧⎪+=⎪⎪>⎨⎪⎪-=-⎪⎩,解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,故211()22f x x x =-.………2分 (2)221245n n n n T a a a -⎛⎫== ⎪⎝⎭L ,2(1)(1)211214(2)5n n n n T a a a n -----⎛⎫==≥ ⎪⎝⎭L ,114(2)5n n n n T a n T --⎛⎫∴==≥ ⎪⎝⎭,又111a T ==满足上式.所以14()5n n a n N -*⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭……………7分(3)若5()n f a 是n b 与n a 的等差中项,则25()n n n f a b a ⨯=+,从而21110()22n n n n a a b a -=+,得2239565()55n n n n b a a a =-=--.因为14()5n n a n N -*⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭是n 的减函数,所以当35n a ≥,即3()n n N *≤∈时,n b 随n 的增大而减小,此时最小值为3b ;当35n a <,即4()n n N *≥∈时,n b 随n 的增大而增大,此时最小值为4b . 又343355a a -<-,所以34b b <, 即数列{}n b 中3b 最小,且2223442245655125b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.…………12分15.解：（Ⅰ）由题可得'()2f x x =．所以曲线()y f x =在点(,())n n x f x 处的切线方程是：()'()()n n n y f x f x x x -=-． 即2(4)2()nn n y x x x x --=-． 令0y =，得21(4)2()nn n n x x x x +--=-． 即2142nn n x x x ++=． 显然0n x ≠，∴122n n nx x x +=+． （Ⅱ）由122n n n x x x +=+，知21(2)22222n n n n n x x x x x +++=++=，同理21(2)22n n nx x x +--=．故21122()22n n n n x x x x ++++=--．从而1122lg 2lg 22n n n n x x x x ++++=--，即12n n a a +=．所以，数列{}n a 成等比数列．故111111222lg 2lg 32n n n n x a a x ---+===-．即12lg 2lg 32n n n x x -+=-． 从而12232n n n x x -+=-所以11222(31)31n n n x --+=- （Ⅲ）由（Ⅱ）知11222(31)31n n n x --+=-，∴1242031n n n b x -=-=>-∴111112122223111113313133n n n n n n b b ----+-==<≤=-+当1n =时，显然1123T b ==<．当1n >时，21121111()()333n n n n b b b b ---<<<<L∴12n n T b b b =+++L 111111()33n b b b -<+++L 11[1()]3113n b -=-133()33n =-⋅<．综上，3n T <(*)n N ∈．。