有限元法基础5等参元与数值积分

减缩积分
矩阵的秩
零能模式
2
有限元法基础
5.1等参变换的概念
将局部（自然）坐标中的简单几何形状的单元，转换
成总体（物理）坐标中的几何扭曲的单元，必须建立一
个坐标变换，即
L1 x L2 y f 或 f L3 z L 4
y y y
z N i N i x x z N i N i J y y N i z N i z z
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有限元法基础
5.1等参变换的概念 例：一维2节点单元
x Ni xi
i 1
2
y Ni yi
i 1
2
z Ni zi
i 1
2
1 N i (1 i ) 2
(i 1, 2)
8
有限元法基础
5.1等参变换的概念 例：二维3节点单元
x Ni xi
i 1
15
有限元法基础
5.1等参变换的概念 2）体积微元的变换
x y z d i d j d k x y z d d i d j d k x y z d d i d j d k d
3
y Ni yi
i 1
3
z Ni zi
i 1
3
Ni [1 , , ]
9
有限元法基础
5.1等参变换的概念 例：平面4节点单元
x Ni xi
i 1
4
y Ni yi
i 1
4
1 Ni (1 i )(1 i ) (i 1, 2,3, 4) 4
d (d d ) d J d d d
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有限元法基础
5.1等参变换的概念 单元刚度矩阵
K e BT CB d BT CB J d d d
1 1 1 1 1 1
等效体积力
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有限元法基础
5.1等参变换的概念 单元矩阵的变换 等参变换单元矩阵的变化：
等参变换
单元矩阵的变化：B、K、dΩ、……
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有限元法基础
5.1等参变换的概念 由于插值函数使用自然坐标，涉及到求导和积分的变 换，如B矩阵的偏微分计算，K矩阵的积分计算。
x Bi 0 y 0 Ni 0 y x N i x 0 0 Ni N i y 0 N i y N i x
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有限元法基础
5.1等参变换的概念 1）导数之间的变换 由复合函数求导规则有
Ni Ni x Ni y Ni z x y z
写成矩阵形式
N i x N i x N i x
3
有限元法基础
5.1等参变换的概念
4
有限元法基础
5.1等参变换的概念
5
有限元法基础
5.1等参变换的概念
规则化单元：母单元
在自然坐标系内(局部)
实际单元：子单元 在总体坐标系内(整体)
利用节点坐标和形函数建立坐标变换关系
x Ni' xi
i 1
n
m
y Ni' yi
i 1
n
m
z Ni' zi
( x, y , z ) J ( , , )wenku.baidu.com
J 称为Jacobi 矩阵
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有限元法基础
5.1等参变换的概念
N i N i x N i 1 N i J y N i N i z
J 1 =
1 * J J
J 的伴随矩阵
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有限元法基础
5.1等参变换的概念 由坐标变换求得Jacobi矩阵中的元素
n Ni x xi i 1 n Ni y yi i 1 n Ni z zi i 1 n Ni x xi i 1 n Ni y yi i 1 n Ni z zi i 1 n Ni x xi i 1 n Ni y yi i 1 n Ni z zi i 1
有限元法基础
5. 等参元与数值积分
本章重点
等参变化的概念和实现单元特性矩阵方法
实现等参变换的条件和满足收敛准则的条件
数值积分的基本思想和Gauss积分的特点 单元刚度矩阵数值积分阶次的选择
1
有限元法基础
5. 等参元与数值积分
关键概念
等(超、次)参变换 等参变换的条件 数值积分 高斯积分
雅克比矩阵和行列式 等参元的收敛性 精确积分
i 1
n
m
u Ni ui
i 1
v Ni vi
i 1
w Ni wi
i 1
6
有限元法基础
5.1等参变换的概念 等参变换
坐标变换和场函数插值采用相同的节点，m=n, 并且
采用相同的插值函数。这样建立的单元，称为等参元。 超参变换 坐标变换的节点数多于场函数插值的节点数，即m>n。 这样建立的单元，称为超参元。 次参变换 坐标变换的节点数少于场函数插值的节点数，即m<n。 这样建立的单元，称为次参元。