中考数学模型的常见类型及其应用

中考数学模型的常见类型及其应用

史承灼

【摘要】“联系实际，加强应用”已经成为数学教育改革的一个重要方面，以应用数学的理论和方法解决实际问题的能

力为目标的“问题解决”亦已成为中考一大热点．而“数学模

型”或“数学建模”则是实现“数学问题解决”的基本手段和

主要内容．初中阶段常见的数学模型大致有：数与式、方程、

不等式、函数、三角、几何和统计模型等．

【关键词】初中数学问题解决构建数学模型随着数学教育改革的不断发展和深入，“联系实际，加强应用”已经成为数学

教育改革的一个重要方面，在基础教育中以培养应用数学的理论和方法解决实际问题的能力为目标的“问题解决”越来越引起人们的高度关注，亦已成为国际数学教育的一大热点．而“数学模型”或“数学建模”则是实现“数学问题解决”的基本手段和主要内容．掌握常见的“数学模型”和“数学建模”的方法，将会激发学生的创造能力，有助于应用数学知识解决实际问题能力的提高，从而达到加强“数学问题解决”教育的目的．

在数学的“问题解决”中，应用数学知识去解决实际问题，首先要把实际问题中的数学问题明确地表述出来，也就是说，要通过对实际问题的分析、归纳给出以描述这个问题的数学提法；然后才能使用数学的理论和方法进行分析，得出结论；最后再返回去解决现实的实际问题．由于实际问题的复杂性，往往很难把现成的数学理论直接套用到这些实际问题上，这就必须要在数学理论和所要解决的实际问题之间构建一个桥梁来加以沟通，以便把实际问题中的数学结构明确地表示出来，这个桥梁就是“数学模型”，这个桥梁的构建过程就是“数学建模”．一般说来，所谓数学模型是指通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象的一个近似的刻画，以便于人们更深刻地认识所研究的对象．而“数学建模”的过程

考数学试题中，常见的应用问题按解决问题时建立数学模型所用数学知识和方法的

特征可以分为数与式、方程（组）、不等式、函数、三角、几何和统计模型等几种类型．

一．数与式模型

数与式是最基本的数学语言，是描述和表达数学应用问题的重要策略之一．应用数与式解题的关键是弄清题意，理解题中的关键词、句的含义，准确地列出算式，将日常文字语言翻译成数学语言，构建数与式模型，解决实际问题．【例1】依法纳税是每个公民应尽的义务，根据我国税法的规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此

【解】全月应纳税所得额不超过500元的部分应纳税最高额为：

500×5%＝25（元），

全月应纳税所得额超过500元至2000元的部分应纳税最高额为：

500×5%＋（2000－500）×10%＝175（元），

因此此人本月工薪属于第二档次．

所以此人本月工薪为：

800＋500＋（150.1－500×5%）÷10%＝1300＋1251＝2551（元）．答：此人本月工薪为2551元。

【例2 】某企业有九个生产车间，现在每个车间原有的成品一样多，每个车间每天生产的成品也一样多．有A、B两组检验员，其中A组有8名检验员，他们先用两天将第一、第二两个车间的所有成品（指原有的和后来生产的）检验完毕，再去检验第三、第四两个车间的所有成品，又用去了三天时间；同时，用这五天时间，B组检验员也检验完余下的五个车间的所有成品，如果每个检验员的检验速度一样快，每个车间原有的成品为a件，每个车间每天生产b件成品．

⑴试用a、b表示B组检验员检验的成品总数．

⑵求B组检验员的人数．

【解】⑴根据题意，由于每个车间原有a件成品，每天生产b件成品，则每个车间5天后的成品数为(a+5b)件，故B组检验员检验的所有成品总数为5(a＋5b)＝5a＋25b(件)．

⑵对于A组8名检验员，在前两天内每天检验的成品数为2(a＋2b)／2件，后检验的两个车间五天后的成品数为2(a+5b)件；8名检验员在后三天内每天检验的成品数为2(a＋5b)／3件；

因为检验员的检验速度相同，所以有

2(a＋2b)／2＝2(a＋5b)／3，即a＝4b．

所以，一名检验员每天检验的成品数为2（a ＋2b ）／16＝3 b ／4（件）． 对于B 组检验员，由（1）知，5个车间5天后的成品数为5（a ＋5b ）件，则B 组检验员每天检验的成品数为5(a ＋5b )／5件，即(a ＋5b )件．

由题意知a ≠0，b ≠0，所以，

B 组检验员的人数为(a ＋5b )／（3 b ／4）＝9b ／（3 b ／4）＝12．

答：B 组检验员检验的成品总数为(a +5b )件，B 组有12名检验员．

二． 方程模型

对现实生活中广泛存在的如增长率、产品购销、储蓄利率、工程施工、人员调配等含有等量关系的实际问题，通常可以通过建立方程（组）模型来解决．

【例3】 150人要赶到90千米外的某地去执行任务．已知步行每小时可行10千米．现有一辆时速为70千米的卡车，可乘坐50人．请你设计一种乘车及步行的方案，使这150人能在最短的时间内全部赶到目的地．其中，在中途每次换车（上、下车）时间均忽略不计．

【解】显然，只有人、车均不停地运动，人一直向目的地行进，不停步、不后退，车一直不停地往返载人行进，最后使150人同时到达目的地时，所用的时间才会最短．

由于一共有150人，每辆车只能乘50人，因此应将150人分成三组，每组50人，安排乘车与步行如图所示．

A C D E F B

其中，AE －EC －CF －FD －DB 是汽车往返路线，易知AE ＝CF ＝DB,AC ＝CD ＝EF ＝FB.

设AE ＝CF ＝DB ＝x （千米），AC ＝CD ＝EF ＝FB ＝y （千米）．

依题意及图示可知：第一组乘车AE ＋步行EB ＝全程AB;

汽车AE ＋EC 所用时间与步行AC 所用时间相等． 列出方程组：

解得：

第一组50人

第二组50人

x ＝60，

y ＝15．

第三组50人