中考数学模型的常见类型及其应用

中考数学模型的常见类型及其应用史承灼【摘要】“联系实际，加强应用”已经成为数学教育改革的一个重要方面，以应用数学的理论和方法解决实际问题的能力为目标的“问题解决”亦已成为中考一大热点．而“数学模型”或“数学建模”则是实现“数学问题解决”的基本手段和主要内容．初中阶段常见的数学模型大致有：数与式、方程、不等式、函数、三角、几何和统计模型等．【关键词】初中数学问题解决构建数学模型随着数学教育改革的不断发展和深入，“联系实际，加强应用”已经成为数学教育改革的一个重要方面，在基础教育中以培养应用数学的理论和方法解决实际问题的能力为目标的“问题解决”越来越引起人们的高度关注，亦已成为国际数学教育的一大热点．而“数学模型”或“数学建模”则是实现“数学问题解决”的基本手段和主要内容．掌握常见的“数学模型”和“数学建模”的方法，将会激发学生的创造能力，有助于应用数学知识解决实际问题能力的提高，从而达到加强“数学问题解决”教育的目的．在数学的“问题解决”中，应用数学知识去解决实际问题，首先要把实际问题中的数学问题明确地表述出来，也就是说，要通过对实际问题的分析、归纳给出以描述这个问题的数学提法；然后才能使用数学的理论和方法进行分析，得出结论；最后再返回去解决现实的实际问题．由于实际问题的复杂性，往往很难把现成的数学理论直接套用到这些实际问题上，这就必须要在数学理论和所要解决的实际问题之间构建一个桥梁来加以沟通，以便把实际问题中的数学结构明确地表示出来，这个桥梁就是“数学模型”，这个桥梁的构建过程就是“数学建模”．一般说来，所谓数学模型是指通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象的一个近似的刻画，以便于人们更深刻地认识所研究的对象．而“数学建模”的过程考数学试题中，常见的应用问题按解决问题时建立数学模型所用数学知识和方法的特征可以分为数与式、方程（组）、不等式、函数、三角、几何和统计模型等几种类型．一．数与式模型数与式是最基本的数学语言，是描述和表达数学应用问题的重要策略之一．应用数与式解题的关键是弄清题意，理解题中的关键词、句的含义，准确地列出算式，将日常文字语言翻译成数学语言，构建数与式模型，解决实际问题．【例1】依法纳税是每个公民应尽的义务，根据我国税法的规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此【解】全月应纳税所得额不超过500元的部分应纳税最高额为：500×5%＝25（元），全月应纳税所得额超过500元至2000元的部分应纳税最高额为：500×5%＋（2000－500）×10%＝175（元），因此此人本月工薪属于第二档次．所以此人本月工薪为：800＋500＋（150.1－500×5%）÷10%＝1300＋1251＝2551（元）．答：此人本月工薪为2551元。

【例2 】某企业有九个生产车间，现在每个车间原有的成品一样多，每个车间每天生产的成品也一样多．有A、B两组检验员，其中A组有8名检验员，他们先用两天将第一、第二两个车间的所有成品（指原有的和后来生产的）检验完毕，再去检验第三、第四两个车间的所有成品，又用去了三天时间；同时，用这五天时间，B组检验员也检验完余下的五个车间的所有成品，如果每个检验员的检验速度一样快，每个车间原有的成品为a件，每个车间每天生产b件成品．⑴试用a、b表示B组检验员检验的成品总数．⑵求B组检验员的人数．【解】⑴根据题意，由于每个车间原有a件成品，每天生产b件成品，则每个车间5天后的成品数为(a+5b)件，故B组检验员检验的所有成品总数为5(a＋5b)＝5a＋25b(件)．⑵对于A组8名检验员，在前两天内每天检验的成品数为2(a＋2b)／2件，后检验的两个车间五天后的成品数为2(a+5b)件；8名检验员在后三天内每天检验的成品数为2(a＋5b)／3件；因为检验员的检验速度相同，所以有2(a＋2b)／2＝2(a＋5b)／3，即a＝4b．所以，一名检验员每天检验的成品数为2（a ＋2b ）／16＝3 b ／4（件）． 对于B 组检验员，由（1）知，5个车间5天后的成品数为5（a ＋5b ）件，则B 组检验员每天检验的成品数为5(a ＋5b )／5件，即(a ＋5b )件．由题意知a ≠0，b ≠0，所以，B 组检验员的人数为(a ＋5b )／（3 b ／4）＝9b ／（3 b ／4）＝12．答：B 组检验员检验的成品总数为(a +5b )件，B 组有12名检验员．二． 方程模型对现实生活中广泛存在的如增长率、产品购销、储蓄利率、工程施工、人员调配等含有等量关系的实际问题，通常可以通过建立方程（组）模型来解决．【例3】 150人要赶到90千米外的某地去执行任务．已知步行每小时可行10千米．现有一辆时速为70千米的卡车，可乘坐50人．请你设计一种乘车及步行的方案，使这150人能在最短的时间内全部赶到目的地．其中，在中途每次换车（上、下车）时间均忽略不计．【解】显然，只有人、车均不停地运动，人一直向目的地行进，不停步、不后退，车一直不停地往返载人行进，最后使150人同时到达目的地时，所用的时间才会最短．由于一共有150人，每辆车只能乘50人，因此应将150人分成三组，每组50人，安排乘车与步行如图所示．A C D E F B其中，AE －EC －CF －FD －DB 是汽车往返路线，易知AE ＝CF ＝DB,AC ＝CD ＝EF ＝FB.设AE ＝CF ＝DB ＝x （千米），AC ＝CD ＝EF ＝FB ＝y （千米）．依题意及图示可知：第一组乘车AE ＋步行EB ＝全程AB;汽车AE ＋EC 所用时间与步行AC 所用时间相等． 列出方程组：解得：第一组50人第二组50人x ＝60，y ＝15．第三组50人设150人全部由A 赶到B 所用时间为t ，则t ＝60/70＋2×15/10＝27/7(小时)．答：按上述方案，50人一组，共分三组，分别乘一段车，步行一段，由A 到B ，同时出发同时到达，所用时间最短，最短时间为27／7小时．【例4】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．⑴若商场同时购进其中两种不同型号电视机50台，用去9万元，请研究一下商场的进货方案；⑵若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择那种进货方案；⑶若商场准备用9万元同时购进三种不同的电视机50台，请你设计进货放方案．【解】⑴分三种情况讨论：①设购进甲种电视机x 台，乙种电视机y 台，则台，丙种电视机z 台，则③设购进乙种电视机y 台，丙种电视机z台，则解得：25台；或购甲种电视机35台，丙种电视机15台．⑵选第一种方案可获利150×25＋200×25＝8750（元）；选第二种方案可获利150×35＋250×15＝90000（元）．故选第二种方案获利较多．⑶设购进甲种电视机x 台，乙种电视机y 台，丙种电视机z 台，则又x ，y 为非负整数，可得y ＝5，10，15，20．5台，丙种电视机12台；或购甲种电视机31台，乙种电视机10台，丙种电视机9台；或购甲种电视机29台，乙种电视机15台，丙种电视机6台；或购甲种电视机27台，乙种电视机20台，丙种电视机3台．三． 不等式模型在现实世界中，正如相等关系一样不等关系也是普遍存在的，如在市场经营、生产决策和社会生活中的估计生产数量、核定价格范围、盈亏平衡分析、投资决策等许多问题中，很难确定（有时也不需要）具体的数值，则可挖掘实际问题所隐含的数量关系，建立不等式（组）模型，进而解决实际问题．【例5】某商店有一不准确的天平(其臂长不等)及1千克的砝码．某顾客要购买2千克糖果，售货员先将１千克砝码放于左盘，置糖果于右盘，使之平衡后给顾客；后又将１千克砝码放于右盘，另置糖果于左盘，平衡后再给顾客，问这种称法是否合理？【解】设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设a ＞b ），先称得的糖果质量为m 千克，后称得的糖果质量为n 千克，由杠杆平衡条件有：b m ＝a×1，m ＝a/b ．a n ＝b×1，n ＝b/a ．∴m ＋n ＝a/b ＋b/a ＝(a 2＋b 2)/ab ．∵(a －b)2≥0，∴a 2+b 2≥2ab ．∴m ＋n ≥2ab/ab ＝2．这样称出的糖果的质量大于2千克，商店吃亏，因此不合理．【例6】在车站开始检票时，有a （a ＞0）名旅客在候车室排队等候检票进站．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若同时开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕．如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以便后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？【解】设检票开始后每分钟增加的旅客为x 人，检票的速度为每个检票口每分钟检y 人．5分钟内检票完毕要同时开放n 个检票口．把④代入①，得x ＝a /30. ⑤把④、⑤代入③，得a ＋a /6≤n×a /3.∵a ＞0,∴n ≥21/6＝3.5,n 取小的整数，∴n ＝4.答：至少需同时开放4个检票口．四． 函数模型函数反映了事物之间的广泛联系，揭示了现实世界数量关系和运动、变化规律．对于现实生活中普遍存在的最优化问题，如用料最省、成本最低、利润最大等，可透过实际背景，建立函数模型，转化为求函数最值问题．【例7】甲、乙两个粮库要向A 、B 两镇运送大米，已知甲库可调出100吨大米，乙库可调出80吨大米．A 镇需70吨大米，B 镇需110吨大米．甲、乙两库到A 、B 两镇的路程和运费如下表：⑵最不合理的调运方案是是什么？它使国家造成不该有的损失是多少？【解】如下图，设甲库运往A 镇x 吨，则运往B 镇(100－x )吨，乙库运往A 镇(70－x )吨，运往B 镇〔80－(70－x )〕吨，总运费为y 吨．70 －x 100－x x根据题意，得y ＝12×20x ＋10×25(100－x )＋12×15(70－x )＋8×20(x ＋10)＝－30x ＋39200．由函数表达式可知，y 随x 的增大而减小，所以当x ＝70时，y min ＝－30×70＋39200＝37100；当x ＝0时，y max ＝－30×0＋39200＝39200．因此，当甲库运往A 镇70吨，运往B 镇30吨，乙库运往B 镇80吨时，总运费最省为31700元．最不合理的调运是：甲库运往A 镇0吨，运往B 镇100吨，乙库运往A 镇70吨，运往B 镇10吨，它使国家造成不该有的损失（39200－37100）元，即2100元．【例8】通过电脑拨号上“因特网”的费用是由电话费和上网费两部分组成．以前我市通过“黄冈热线”上“因特网”的费用为电话费0.18元／3分钟，上网费为7.2元／小时．后根据信息产业部调整“因特网”资费的要求，自1999年3月1日起，我市上“因特网”的费用调整为电话费0.22元／3分钟，上网费为每月不超过60小时，按4元／小时计算；超过60小时部分，按8元／小时计算．⑴根据调整后的规定，将每月上“因特网”的费用y （元）表示为上网时间x （小时）的函数；⑵资费调整前，网民晓刚在其家庭经济预算中，一直有一笔每月70小时的上网费用支出．“因特网”资费调整后，晓刚要想不超过其家庭经济预算中的上网费用支出，他现在每月至多可上网多少小时？⑶从资费调整前后的角度分析，比较我市网民上网费用的支出情况．y ＝7.2x ＋0.18x ×60/3＝10.8x (x ≥0)． 当x ＝70时，y ＝756元．由⑴知：当0≤x ≤60时，有8.4x ＝756，解得x ＝90＞60，不合题意，舍去． 当x ≥60时，有12.4x －240＝756,解得x ≈80.32(小时)． 所以，他现在每月至多可上网约80.32小时．⑶设调整前后所需上网费用分别为y 1（元）y 2（元），则y 1＝10.8x ，当0≤x ≤60时，y 2＝8.4x ，显然有y 1＞y 2；当x ＞60时，y 2＝12.4－240，若y 1＝y 2，则x ＝150，若y 1＞y 2，则x ＜150，若y 1＜y 2，则x ＞150．所以，若上网时间小于150小时，调整后费用少；若上网时间为150小时，调整前后所用费用相同；若上网时间大于150小时，调整前所需费用少．五． 三角模型在现实中我们经常会遇到如测高、测距、航海、拦水坝、人字架等实际问题，一般说来，这些问题的解决通常可建立三角模型，转化为解三角形问题没．【例9】如图所示，有一条河MN ，河岸的一侧有一很高的建筑物AB ．一人位于河岸另一侧P 处，手中有一个测角器（可以测仰角）和一个可以测量长度的皮尺（测量长度不超过5米）．请你设计一种测量方案（不允许过河），并给出计算建筑物的高度AB 及距离PA 的公式．希望在你的方案中被测量数据的个数尽量少．方案一：如下左图点P 位于开阔地域，被测量的数据为PC (测角器的高)和PQ （Q 为在PA 水平直线上选取的另一测量点）的长度，仰角α和β．设AB 为x ，PA 为y ，则有：方案二：若P 个测量点C 、D ，被测数据为PC 和CD 的长度，仰角α和β．设AB=x ，PC=y ，则有：解得上述两个方案都至少要测4个数据．当然还有其它的测量方案．六．几何模型几何与人类生活密切相关．诸如工程定位、边角余料加工、拱桥计算、皮带传动、修复残轮和跑道设计等应用问题，都涉及到一定几何图形及其性质，这就需要建立几何模型，转化为几何问题进行求解．【例10】由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日，A城气象局测得沙尘暴中兴在A城的正西方向240千米的B处，正以每小时12千米的速度向北偏东60o方向移动，如图，距沙尘暴中兴150千米的范围为受影响区域．⑴A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？⑵若A城受到这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？OA＝1/2AB＝120千米＜150千米，所以A城受到这次沙尘暴的影响．⑵如图，坐半径为150千米的⊙O，过点O作⊙O的弦CD，使CD∥BO，则CD为影响A城的沙尘暴移动路线．连接OD，则AD2＝OD2－OA2＝1502－1202＝902，AD＝90千米，所以CD＝180千米．因此A城遭受这次沙尘暴影响的时间为180/12＝15(小时)．七．统计模型统计的内容具有非常丰富的实际背景，在现实世界中有着广泛的应用．要接受统计的观念，建立统计模型，最有效的方法是投入到统计的全过程中去，提出问题，考虑抽样，收集数据，整理数据，分析数据，做出决策，进行交流，评价改进等，并在这个过程中学习和掌握统计的思想方法．【例11】为估计一次性木质筷子的质量，1999年从某县共600家高、中、低档饭店抽取10家作样本，这些饭店每天消耗的一次性木质筷子盒数分别为：0.6， 3.7， 2.2， 1.5， 2.8， 1.7， 1.2， 2.1， 3.2， 1.0．⑴通过对样本的计算，估计该县1999年消耗多少盒一次性筷子（每年按365个营业日计算）？⑵2001年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查，调查的结果是10个样本饭店每个饭店平均每天使用一次性木质筷子2.42盒．求全县2000年、2001年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率（2001年该县饭店数、全年营业天数均与1999年相同）；⑶在⑵的条件下，若生产一套中小学生的桌椅需木材0.07立方米，求该县2001年使用一次性筷子的木材可以生产多少套学生桌椅？计算中需用的有关数据为：每盒筷子100双，每双筷子的质量为5克，所用木材的密度为0.5×103千克／立方米．⑷假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，应如何利用统计知识去做，简要地用文字表述出来．【解】⑴x＝1/10×(0.6＋3.7＋2.2＋1.5＋2.8＋1.7＋1.2＋2.1＋3.2＋1.0)＝2.0．∴该县1999年消耗一次性木质筷子为2×600×350＝420000(盒)．⑵设平均每年增长的百分率为x，则2(1+x)2＝2.42．解得x1＝0.1＝10％，x2＝－2.1（不合题意，舍去）．∴平均每年增长的百分率为10％．⑶可以生产学生桌椅套数为：0.005×2.42×100×600×3500.5×103×0.07＝7260（套）．⑷先取若干个县（或市、州）作样本，再分别从这些县（或市、州）抽取若干家饭店作样本，统计一次性木质筷子的用量．【例12】据报道，某公司的33名职工的月工资如下：资水平；⑵假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？⑶你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？简要地说明理由．【解】⑴平均数为x＝1/33×(1×5500＋1×5000＋2×3500＋1×3000＋5×2500＋3×2000＋20×1500) ≈ 2091(元)；从表中可以看出中位数是1500（元），众数是1500（元）．中考数学模型的常见类型及其应用所以，代表这个公司员工的工资水平的应是中位数或众数，这个统计量是1500（元）．⑵按⑴中的方法可得新的平均数是3288（元），中位数是1500（元），众数是1500（元）．⑶中位数或众数1500(元) 更能反映这个公司员工的工资水平．平均数、中位数、众数都是描述一组数据集中趋势的特征数，而这里的1500（元）更有说服力．在初中数学教学中结合教学内容有意识地介绍有关数学知识的实际背景及应用实例是非常必要的．它将有助于学生加深对数学的应用特征的理解，并能使学生得到数学应用的初步训练，应该给学生创造机会接触实际问题，并让他们尝试着解决这些实际问题，在应用中学习如何建立数学模型，运用数学的知识和方法解决实际问题，即如何“用数学”．【参考文献】［1］刘来福，曾文艺，问题解决的数学模型方法，北京师范大学出版社，1999年8月，第1版．［2］安徽省中学数学教学专业委员会，初中数学竞赛辅导，安徽科学技术出版社，2001年1月，第2版．［3］辽宁师范大学出版社,2002中考必备——2001全国中考试卷精选，辽宁师范大学出版社，2001年8月，第1版．［4］《中考必备》编写组，2003中考必备——2002全国中考试卷精选，辽宁师范大学出版社，2002年7月，第1版．［5］胡同祥，中考数学中常见的数学模型及应用举例，理科考试研究（初中版），2000年，第9期．［6］江兴代，2002年中考新视点——数学，安徽科学技术出版社，2002年1月，第1版。