多边形及其内角和
多边形的内角和定理
多边形的内角和定理多边形是几何学中的重要概念，它是由若干条边和相应的内角组成的平面图形。
在多边形的研究中，有一个与内角和相关的定理，它可以帮助我们计算多边形内角的总和。
本文将介绍多边形的内角和定理及其应用。
1. 定义多边形的内角和多边形的内角和是指多边形内所有角的度数之和。
对于任意n边形（n≥3），其内角和可以表示为：(n-2) × 180°。
这个公式对于所有的多边形都成立，无论是三角形、四边形还是更多边形。
2. 三角形的内角和三角形是一种特殊的多边形，它由三条边和三个内角组成。
根据多边形的内角和定理，三角形的内角和可以计算如下：(3-2) × 180° = 1 × 180° = 180°因此，无论是等边三角形、等腰三角形还是一般三角形，其内角和都是180°。
这是由于三角形的三个内角之和等于180度。
3. 四边形的内角和四边形是一种有四条边和四个内角的多边形。
根据多边形的内角和定理，四边形的内角和可以计算如下：(4-2) × 180° = 2 × 180° = 360°因此，四边形的内角和始终等于360°。
不论是正方形、矩形、菱形还是平行四边形，其内角和都是360°。
4. 多边形的内角和的推广根据多边形的内角和定理，我们可以推广到更多边形的情况。
例如，五边形、六边形以及更多边形的内角和可以通过相同的公式进行计算。
对于五边形（五角形），其内角和为 (5-2) × 180° = 3 × 180° = 540°；对于六边形（六角形），其内角和为 (6-2) × 180° = 4 × 180° = 720°；以此类推。
5. 应用示例多边形的内角和定理在几何学中有广泛的应用。
多边形及其内角和
11.3多边形及其内角和状元笔记【知识要点】1．多边形及相关概念多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．2．多边形的内角和与外角和内角和：n边形的内角和等于(n－2)·180°．外角和：多边形的外角和等于360°．【温馨提示】1．从n边形的一个顶点出发，可以做(n－3)条对角线，它们将n边形分为(n－2)个三角形．对角线的条数与分成的三角形的个数不要弄错．2．多边形的外角和等于360°，而不是180°．【方法技巧】1．连接多边形的对角线，将多边形转化为多个三角形，将多边形问题转化为三角形问题来解决．2．多边形的内角和随边数的变化而变化，但外角和不变，都等于360°，可利用多边形的外角和不变求多边形的边数等．专题一根据正多边形的内角或外角求值1．若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是（）A．12 B．11 C．10 D．92．一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于________°．3．已知一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角都等于与它相邻的外角的9倍，求这个多边形的边数．专题二求多个角的和4．如图为某公司的产品标志图案，图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（）A．360° B．540° C．630° D．720°5．如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°．6．如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．基础知识一、选择题1．（2013•梅州）若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（）A．3 B．4 C．5 D．62．（2013•资阳）一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（）A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形3．（2013•烟台）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（）A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或74．（2009•湛江）如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α=（）A．30° B．40° C．80° D．不存在5.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引9条对角线,则它是( )A.十三边形B.十二边形C.十一边形D.十边形6.若一个多边形共有20条对角线,则它是( )A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形7．内角和等于外角和2倍的多边形是（）A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形8.一个多边形的外角中,钝角的个数不可能是( )A.1个B.2个C.3个D.4个9.一个多边形的内角中,锐角的个数最多有( )A.3个B.4个C.5个D.6个10.若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和为2570°,则这个内角的度数为( )A.90°B.105°C.130°D.120°11．一个多边形截去一个角后，所形成的一个多边形的内角和是2520°，那么原多边形的边数是（）A．15 B．16 C．17 D．15或16或1712.下列说法正确的是（）A.每条边相等的多边形是正多边形B. 每个内角相等的多边形是正多边形C. 每条边相等且每个内角相等的多边形是正多边形D.以上说法都对13.正多边形的一个内角的度数不可能是（ ）A ．80° B．135° C．144° D．150°14．多边形的边数增加1，则它的内角和（ ）A ．不变B ．增加180° C．增加360° D．无法确定15.在四边形中，、、、的度数之比为2∶3∶4∶3，则的外角等于（ ）（A ）60° （B ）75° （C ）90° （D ）120°二、填空题1．每个内角都为135°的多边形为_________边形.2．一个多边形的每一个外角都等于15°,这个多边形是________边形.3.已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为9:2,则这个多边形的边数为_________.4．多边形的内角和与其一个外角的度数总和为1300°，则这个外角的度数为________．5．如图,小明从A 点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了 米．6．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G 的度数是 .7.如图，在六边形ABCDEF 中，AF ‖CD,AB‖DE,且∠A=120°,∠B=80°,，，则∠C 的度数 是 ，的度数是 ．ABCD A ∠B ∠C ∠D ∠D∠D∠。
最新多边形及其内角和知识点
多边形知识要点梳理边形的内角和等于180°（n-2）。
360°。
边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）3、4、6/。
拼成360度的角：3、4。
知识点一：多边形及有关概念1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.（1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
（2）在定义中应注意：①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）；②首尾顺次相连，二者缺一不可;③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形.2、多边形的分类:(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.凸多边形凹多边形图1(2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。
要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。
(2)n边形共有条对角线。
2023-2024学年八年级上数学：多边形及其内角和(精讲教师版)
2023-2024学年八年级上数学：第十一章三角形
11.3
多边形及其内角和
一、多边形及其相关概念
1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫
做多边形．多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边
形……，如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边
形．
2．相关概念：①多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．②多边形
的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．③连接多边形
不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
二、多边形的对角线
1．定义：多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，
叫做多边形的对角线．
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(完整版)多边形及其内角和知识点
(完整版)多边形及其内角和知识点多边形是几何学中常见的一个概念，是由若干个线段组成的一个闭合图形。
根据边的数量，我们可以把多边形分为三类：三角形、四边形和多边形。
三角形是由三条线段组成的闭合图形，是最简单的多边形。
三角形有三个内角和，三个内角和等于180度。
这个定理叫做“三角形内角和定理”。
我们不难想象，如果将三角形沿任意一边割开，得到的两个部分必定可以重新组合成一个平行四边形。
接下来我们来谈谈四边形。
四边形是由四条线段组成的闭合图形，它的内角和是360度。
其中，平行四边形的对边相等，且对角线相交，交点把平行四边形分为两个全等的三角形。
这个定理叫做“平行四边形对角线定理”。
接下来是多边形。
多边形是由三条以上的线段构成的闭合图形，多边形的边和角数可能非常多，我们不方便用公式直接表达其内角和。
不过，由于任何多边形都可以分割成若干个三角形，我们可以通过三角形的内角和定理来计算多边形的内角和。
例如，对于一个五边形，我们可以通过将其分割成三角形，计算出五边形的内角和是540度。
五边形有多种类型，例如正五边形的五个内角都是108度，而五边形中的最大内角则可以达到刚刚好不到180度的夹角。
如果我们将五边形表示为ABCDE，其中C是它的最大内角（得到这个五边形非常简单，只需要将任意二十面体四面体化即可），那么我们容易得到公式：∠ACE= ∠ABC + ∠ACB同时，也有一些其他的多边形内角和求解公式，例如正六边形的内角和公式是720度，不过由于时间和空间的关系，我们不在此一一列举。
在实际问题中，多边形的内角和定理可以用于许多计算问题。
例如，在地理问题中，我们需要计算地球表面的一个多边形的面积时，首先需要计算其内角和，并应用面积公式求解。
在数学竞赛中，也常常会出现一些需要计算多边形的内角和的问题，因此，在学习数学的过程中，理解多边形的内角和定理对很多学生来说是非常重要的。
此外，多边形还有一些其他的重要性质和定理，例如多边形的对称性、多边形划分的方法、多边形面积的计算公式等等，这些知识点也非常重要，有助于我们更好地理解和应用多边形的相关知识。
多边形的内角和定理
多边形的内角和定理多边形是几何学中的基本概念之一，它是由若干条边和对应的顶点所构成的图形。
在研究多边形的性质时，内角和定理是一个重要的定理，它可以帮助我们计算多边形内角的和。
本文将详细介绍多边形的内角和定理，以及其应用示例。
一、多边形的内角和定理又称为多边形内角和公式，它是指在任意$n$边多边形中，内角和$S$可以通过以下公式来计算：$$S = (n-2) \times 180^\circ$$其中，$S$表示多边形的内角和，$n$表示多边形的边数。
我们可以通过这个公式，快速求解多边形内角的和，而无需逐个角度相加。
二、应用示例为了更好地理解多边形的内角和定理的应用，让我们以一个三角形和一个四边形为例，进行具体计算。
1. 三角形三角形是最简单的多边形之一，它由三条边和三个顶点组成。
根据多边形的内角和定理，三角形的内角和$S$可以通过以下公式计算：$$S = (3-2) \times 180^\circ = 180^\circ$$这说明任意三角形的内角和等于180度。
这个结论符合我们以往对三角形角度的认知。
2. 四边形四边形是由四条边和四个顶点构成的多边形。
根据多边形的内角和定理，四边形的内角和$S$可以通过以下公式计算：$$S = (4-2) \times 180^\circ = 360^\circ$$这说明任意四边形的内角和等于360度。
我们可以通过这个结论来验证正方形、矩形和平行四边形等四边形的内角和为360度。
三、总结多边形的内角和定理是一个重要的几何学定理，它可以帮助我们计算多边形内角的和。
通过该定理，我们可以更快速地求解多边形内角和，而无需逐个角度相加。
在三角形和四边形中的应用示例中，我们验证了多边形的内角和定理的准确性。
为了更好地理解和应用多边形的内角和定理，我们可以通过实际题目和练习来巩固这一知识点。
在解题过程中，我们可以先计算多边形的边数，然后利用内角和定理来求解内角和。
这样，我们就可以更高效地解决与多边形内角和相关的问题。
(完整版)多边形及其内角和知识点
知识要点梳理边形的内角和等于180°（n-2）。
360°。
边形的对角线条数等于1/2·n （n-3）3、4、6/。
拼成360度的角3、4。
知识点一：多边形及有关概念 1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. （1）多边形的一些要素： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
（2）在定义中应注意： ①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）； ②首尾顺次相连，二者缺一不可; ③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间 多边形. 2、多边形的分类: (1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这 条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸 多边形. 凸多边形 凹多边形 图1 (2)多边形通常还以边数命名，多边形有n 条边就叫做n 边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角 形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形 各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形 正方形 正五边形 正六边形 正十二边形要点诠释： 各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD 为四边形ABCD 的一条对角线。
要点诠释： (1)从n 边形一个顶点可以引(n －3)条对角线，将多边形分成(n －2)个三角形。
多边形内角和和外角和的公式
多边形内角和和外角和的公式多边形是指由三个或更多条线段组成的封闭图形。
在数学中，多边形的内角和和外角和是一个重要的概念。
本文将介绍多边形的内角和和外角和的公式，并解释其含义和应用。
1. 多边形的内角和公式多边形的内角和指的是多边形内部所有角的和。
对于任意n边形（其中n大于等于3），其内角和可以通过以下公式计算得出：内角和 = (n - 2) × 180度这个公式的推导可以通过将多边形分割成n-2个三角形来进行。
每个三角形的内角和为180度，因此n边形的内角和就是(n-2)个三角形的内角和之和。
举例来说，对于一个三角形（3边形），其内角和为180度。
对于一个四边形（四边形），其内角和为360度。
对于一个五边形（五边形），其内角和为540度。
依此类推，随着边数的增加，多边形的内角和也会增加。
2. 多边形的外角和公式多边形的外角和指的是多边形外部所有角的和。
对于任意n边形，其外角和可以通过以下公式计算得出：外角和 = 360度这个公式的推导可以通过将多边形的每个外角和其相邻的内角相加得到。
根据三角形的性质可知，三角形的外角和为360度。
因此，不论多边形的边数是多少，其外角和始终为360度。
举例来说，对于一个三角形，其外角和为360度。
对于一个四边形，其外角和为360度。
对于一个五边形，其外角和为360度。
可见，不论多边形的边数是多少，其外角和始终为360度。
3. 内角和和外角和的关系内角和和外角和有一个重要的关系：它们的和始终等于多边形的边数乘以180度。
这可以通过以下公式表示：内角和 + 外角和= n × 180度这个公式的推导可以通过将多边形的每个内角和其对应的外角相加得到。
根据三角形的性质可知，内角和和外角和的和为180度。
因此，多边形的每个内角和其对应的外角的和为180度。
由于多边形共有n个内角和n个外角，所以它们的和为n × 180度。
举例来说，对于一个三角形，其内角和为180度，外角和为360度，满足内角和 + 外角和= 3 × 180度。
第3讲多边形及其内角和知识点
第3讲多边形及其内角和知识点多边形是由若干个线段所构成的封闭图形，多边形的内角和是指多边形内部所有角的和。
在几何学中，有一系列与多边形及其内角和相关的重要知识点，下面对这些知识点进行详细介绍。
一、多边形的定义及性质1.多边形的定义：多边形是由若干条线段组成的封闭图形，每条线段的一端点是另一条线段的终点，且没有线段交叉。
2.多边形的边数：多边形的边数等于线段的条数，记为n。
3.多边形的顶点数：多边形的顶点数等于线段的端点数，记为n+14.多边形的内角数：多边形的内角数等于多边形的边数，记为n。
5.多边形的外角数：多边形的外角数等于多边形的顶点数，记为n+16.多边形的对角线数：多边形的对角线数等于多边形的顶点数减去3，记为n-3二、多边形的内角和公式多边形的内角和等于180×（n-2）度，其中n为多边形的边数。
这个公式可以通过以下步骤进行推导：1.将多边形分割为若干个三角形，每个三角形的顶点是多边形的一个顶点和两条相邻边的交点。
2.通过每个三角形的内角和公式（180度）求出每个三角形的内角和。
3.将所有三角形的内角和相加，即得到多边形的内角和。
这个公式的推导过程可以通过画图来理解和证明，将多边形的顶点与中心相连，得到若干个边心角相等的扇形，每个扇形的边心角和等于180度，根据多边形中心角和等于边心角和的性质，可得到多边形的内角和公式。
多边形的内角和公式在计算多边形的内角和时非常有用。
三、常见多边形的内角和1.三角形：三角形的内角和等于180度，即180×（3-2）=180度。
2.四边形：四边形的内角和等于360度，即180×（4-2）=360度。
3.五边形：五边形的内角和等于540度，即180×（5-2）=540度。
4.六边形：六边形的内角和等于720度，即180×（6-2）=720度。
可以发现，随着边数的增加，多边形的内角和也逐渐增加，这是因为每增加一条边，就会有一个额外的内角形成。
11.3 多边形及其内角和
11.3 多边形及其内角和：1.多边形定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 三角形是最简单的多边形。
2.多边形的内角、外角、对角线（1）内角：多边形相邻两边组成的角叫做内角。
正多边形的每个内角的度数：,180)2(nn ︒⋅-（2）外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
（3）对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
①从n 边形一个顶点可以引(n －3)条对角线，将多边形分成(n －2)个三角形。
②n 边形共有条对角线。
3.凸多边形：多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.凸多边形 凹多边形 4.多边形内角和公式： （1）n 边形的内角和为.（2）公式的证明：证法1：在边形内任取一点，并把这点与各个顶点连接起来，共构成个三角形，这个三角形的内角和为，再减去一个周角，即得到边形的内角和为.证法2：从边形一个顶点作对角线，可以作条对角线，并且边形被分成个三角形，这个三角形内角和恰好是边形的内角和，等于.证法3：在边形的一边上取一点与各个顶点相连，得个三角形，边形内角和等于这个三角形的内角和减去所取的一点处的一个平角的度数，即.5.多边形外角和：360°多边形外角和公式的证明：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以边形的内角和加外角和为，外角和等于.注意：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关。
3、常见的一些正多边形的镶嵌问题：用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。
例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌，见下图：又如，用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面，因为它们的交接处各角之和恰好为一个周角360°。
11.3.2多边形的内角和 课件(共21张PPT)
知识点二：多边形的外角和
如图，在五边形的每个顶点处各 取一个外角，这些外角的和叫做五边 形的外角和．
1A
B
5
2
E
C3
4 D
问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
互补
问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？
5×180°=900°
问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？
方法1：如图，连接AC,
A
D
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为
180°×2=360°.
B C
方法2：如图，在CD边上任取一点E，连接AE,DE， 所以该四边形被分成三个三角形， 所以四边形ABCD的内角和为 180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3-180°=360°.
1
2
3
计算规律
1
1 ×180°
2
2 ×180°
3
3 ×180°
4
4 ×180°
…
… …
… … …
n边形
n
n－3
n－2 (n－2) ·180°
总结归纳 一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作_(_n__－___3_)_
条对角线，它们将n边形分为_（__n__－___2_)_个三角形，n边形 的内角和等于_(_n__－___2_)_×_1__8_0_°.
解：设这个多边形的内角为7x °,外角为2x°, 根据题意得 7x+2x=180，
解得x=20. 即每个内角是140 °，每个外角是40 °.
360° ÷40 °=9. 答：这个多边形是九边形.
课堂小结
多边形及其内角和知识点
多边形及其内角和知识点多边形是由线段组成的闭合图形，它拥有多个边和多个顶点。
多边形的内角和指的是多边形内部所有角的和。
首先，我们需要了解多边形的基本概念和性质。
1.多边形的定义：多边形是由一系列线段组成的闭合图形。
每条线段称为多边形的一条边，相邻两个边的交点称为多边形的一个顶点。
多边形至少有三条边和三个顶点。
2.多边形的性质：-每个顶点至少有两个邻接的边；-每个边至少有一个邻接的顶点；-每条边的两个端点都是相邻的顶点。
接下来，我们来探讨多边形的内角和的计算方法。
假设一个n边形的内角和为S。
从一个顶点出发，画一条射线，与相邻的两个边相交。
这样，一个n边形就被分成了n个三角形。
由三角形的内角和的性质可知，每个三角形的内角和为180°。
因此，n个三角形的内角和为n×180°。
但是我们需要注意的是，从同一个顶点出发的n个射线会有重叠的部分，即每个内角都重叠了两次。
因此，我们需要减去这些重叠的部分。
由于每个内角重叠了两次，重叠的部分的度数等于(n-2)×180°。
因此，最终的计算公式为：S=n×180°-(n-2)×180°简化后可得到：S=(n-2)×180°通过这个公式，我们可以方便地计算多边形的内角和。
举例来说，如果一个五边形的内角和是多少呢？根据公式S=(5-2)×180°=3×180°=540°所以，五边形的内角和为540°。
通过上面的例子，我们可以看出多边形的内角和的计算方法。
除了计算多边形内角和的方法，我们还可以根据多边形的性质来推导一些结论。
比如：1.任意n边形的内角和等于(n-2)×180°，这个结论适用于所有的多边形，无论是凸多边形还是凹多边形。
2.任意n边形的外角和等于360°。
外角是顶点的补角，即一个内角与相邻的外角之和等于180°。
多边形及其内角和知识点总结
多边形及其内角和知识点总结一、知识点1、多边形的定义：由在同一平面内，不在同一条直线上的若干条线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
2、多边形的分类：根据边数的不同，可以将多边形分为三角形、四边形、五边形、六边形等等。
3、多边形的内角：多边形的每个顶点与其相邻的两个顶点相连所形成的角称为该多边形的内角。
4、多边形的内角和公式：n边形的内角和为(n-2)×180°，其中n为多边形的边数。
5、多边形的外角：多边形的每个顶点与其相邻的两个顶点之间的夹角称为该多边形的外角。
6、多边形的外角和公式：多边形的外角和为360°，与多边形的边数无关。
7、勾股定理：在直角三角形中，勾股定理指出两个直角边的平方和等于斜边的平方。
二、重难点精析1、多边形的定义和分类是基础知识，需要理解并掌握不同类型多边形的特点。
2、多边形的内角和公式是重点，需要牢记并能够熟练运用该公式进行计算。
同时，也需要理解该公式的推导过程。
3、多边形的外角和公式是重点，需要理解并掌握该公式的应用。
同时，也需要掌握通过多边形的内角和公式和外角和公式之间的联系，进行计算和推导。
4、勾股定理是重点，需要理解并掌握其应用，特别是在解决与直角三角形相关的问题时。
5、对于一些复杂的多边形问题，需要掌握分解和组合的思想，将复杂的多边形分解为简单的三角形或四边形，从而解决问题。
6、在解决与角度制相关的问题时，需要注意角度制的计算方法和单位转换。
7、在解决与对称性相关的问题时，需要结合多边形的定义和性质进行思考和分析。
总之，对于八年级数学中的多边形及其内角和知识点，学生需要牢固掌握基础知识，理解公式的推导过程，熟练运用公式进行计算和推导，同时还需要灵活运用各种解题技巧和方法，才能够真正掌握该部分知识点的核心内容。
多边形及其内角和
，
得
.
所以五十三边形的边数与其对角线条 数的和是1325+53=1378. 答：该班每周师生之间至少要通1378次 电话.
变式练习： 1. 过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有 对角线，k边形共有k条对角线，则 =
解析：由m-3=7，得m=10.由n边形没有对 角线，所以n=3.由 k(k-3)=k,得k=5.故 n 3 3 (m-k) =(10-5) =5 =125.
探究类型二
多边形的内角和与外角和
例2 已知一个多边形的外角和等于内角和的 求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得
，
解得 n=8. 答：这个多边形的边数是8.
拓展延伸：
现有四种地面砖，他们的形状分别是：正三角形、正方形、 正六边形，正八边形，且他们的边长相等，同时选择其 中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（ B ） A.2种 B.3种 C.4种 D. 5种
课堂总结：
n边形内角和等于 (n-2)·180°；
任意多边形外角和等于360°； 1 凸n边形共有 2 n(n 3)条对角线. 平面镶嵌：几个正多边形的同一个顶点的几个 角的和等于360°.
例3 如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20°， 再前进5米后又向右转20°，……这样一直走下去， 他第一次回到出发点O 时一共走了（ ）
C
A.60米
B.100米
C.90米
D.120米
类似性问题：
2. 一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形 的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）
4. 如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到 一个五边形，则∠1+∠2= 240 度.
多边形及其内角和
多边形的形状也会影响其内角和。例如，正多边形的内角和比非正多边形的内角 和要大。这是因为正多边形的每个内角相等，而非正多边形可能存在较小的内角 ，从而使得内角和减小。
04
多边形内角和的应用举例
正多边形的内角和
01
02
03
04
正三角形内角和：正三角形每 个内角为60度，因此其内角
和为180度。
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内角的定义
定义
多边形的内角是指多边形各顶点 与相邻两顶点连线所夹的角。
性质
多边形的内角大小与其形状和边 数有关。
内角的计算公式
01
02
03
公式
对于正n边形，其每个内 角的度数可以用公式（n2）×180°/n来计算，其 中n是多边形的边数。
适用范围
该公式适用于正多边形， 即各边相等、各角相等的 多边形。
构成要素
多边形主要由边、顶点和内部区域构 成，其中边的数量和形状决定了多边 形的特性。
多边形的分类
按边数分类
多边形可以根据其边数分为三角形、四边形、五 边形等，一般我们用“n边形”来表示一个具有n 条边的多边形。
凸多边形与凹多边形
根据多边形所有内角的大小是否小于180度，可 以分为凸多边形和凹多边形。若所有内角小于 180度，则为凸多边形；若存在至少一个内角大 于等于180度，则为凹多边形。
按角度分类
多边形还可以根据其内角的大小和特性进行分类 ，如等角多边形、等边多边形等。等角多边形是 所有角度相等的多边形，等边多边形是所有边长 相等的多边形。
正多边形
正多边形是一种特殊的多边形，它既是等边的， 又是等角的，即所有边相等，所有角相等。如正 三角形、正四边形（正方形）等。
多边形及其内角和(知识梳理与考点分类讲解)(人教版)(学生版) 2024-2025学年八年级数学上册
专题11.7多边形及其内角和（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】多边形及其相关概念1.多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.如果一个多边形由n（n是大于或等于3的自然数）条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形.2.多边形的相关概念（1）多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.（2）多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.（3）多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角.（4）多边形的外角：多边形的一边和它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.（5）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.特别提醒：①多边形的边数、顶点数及角的个数相等；②把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线.【知识点二】正多边形各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.正多边形必须满同时满足以下两个条件：①各边都相等；②各角都相等.【知识点三】凸多边形与凹多边形如图①所示，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形成为凸多边形；而图②就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画出CD所在的直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，所以我们称它为凹多边形.我们在学习中提到的多边形大都是凸多边形.【知识点四】多边形内角和定理n边形的内角和等于（n-2）×180°.特别地，正n边形每个内角的度数是（n−2）×180°.【知识点五】多边形外角和定理1.多边形的外角和：在多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和.2.多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】由多边形内角和公式求度数【例1】（23-24八年级上·河南许昌·阶段练习）求图中的x的值(1)(2)【变式1】（23-24七年级下·全国·假期作业）若多边形的边数增加1，则其内角和的度数（）A．增加180︒B．为360︒C．不变D．减少【变式2】（2024·四川自贡·中考真题）凸七边形的内角和是度．【题型2】由多边形内角和公式求边数【例2】（23-24八年级上·江西赣州·期末）下面是正多边形M和N的对话：求M和N的边数．【变式1】（22-23八年级上·山东威海·期末）如果一个正多边形每个内角都为140︒，那么该正多边形的边数是（）A．六B．七C．八D．九【变式2】一个正多边形的内角和是1440︒，则这个多边形的边数．【题型3】由多边形内角和与外角和度数求边数【例3】（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知一个多边形的内角和与外角和的差刚好等于一个十边形的内角和，求这个多边形的边数．【变式】（23-24八年级下·浙江温州·期中）若n 边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n 是（）A ．10B ．9C ．8D ．7【题型4】由多边形内、外角和公式求角度【例4】（23-24八年级下·湖南永州·期中）一个正多边形的内角和是外角和的32倍，求这个正多边形一个内角的度数．【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形ABCD 中，AB CD ，ABE ∠是四边形ABCD 的外角，且ABE D ∠=∠，110C ∠=︒，则A ∠的度数是（）A ．110︒B ．50︒C ．70︒D ．35︒【变式2】（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在五边形ABCDE 中，,1,2,3AB ED ∠∠∠∥分别是,,ABC BCD CDE ∠∠∠的外角，则123∠+∠+∠的度数为．【题型5】由多边形对角线数量求角度或对角线条数【例5】（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）【观察思考】【规律发现】（1）七边形的对角线条数为______．（2）三边形的对角线条数可表示为302⨯，四边形对角线条数可表示为412⨯，五边形的对角线条数可表示为522⨯，…，n 边形的对角线条数可表示为______．(3)【规律应用】若一个多边形的内角和为1620︒，求这个多边形的边数和对角线的条数．【变式1】（23-24八年级上·河北唐山·期中）若从一个正多边形的一个顶点出发，最多可以引6条对角线，则它的一个内角为（）A ．1080︒B ．720︒C ．140︒D ．135︒【变式2】（2024·陕西咸阳·三模）已知某正多边形的每个外角均为72︒，则该正多边形的对角线共有条．【题型6】由多边形截角问题【例6】（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）阅读下题及解题过程．如图（1），我们知道四边形的内角和为()42180360-⨯= ，现在将一张四边形的纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是多少？如图（2），剩余纸为五边形，所以剩余纸所有内角的和为()52180540-⨯= ．上面的解答过程是否正确？若正确，说出你的判断根据；若不正确，请说明原因，并写出你认为正确的结论．【变式1】（22-23八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（）A ．360︒B ．540︒C ．360︒或540︒D ．360︒或540︒或720︒【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是2022︒，则少算的这个内角的度数为．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2022·四川攀枝花·中考真题）同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”．请n-⋅︒”计算的条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，你在不直接运用结论“n边形的内角和为(2)180结合图形说明：五边形ABCDE的内角和为540°．【例2】（2024·四川遂宁·中考真题）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为1080︒的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（）A．36︒B．40︒C．45︒D．60︒2、拓展延伸【例1】（23-24七年级下·江苏·期中）在平面内有n个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，我们把具有这样性质的n个点构成的点集称为爱尔特希点集，如图，四边形ABCD的四个顶点构成爱尔特希点集，若平面内存在一个点P与A，B，C，D也构成爱尔特希点集，则APB∠=．【例2】一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分：又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了45个48边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）A．2022B．2023C．2024D．2025。
11.3.2 多边形及其内角和
(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加180°，但 外角和不变．
知3－讲
知1－讲
例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角 有什么关系？
解：如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°, ∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180° =360° ∴∠B+∠D=360°－ (∠A+∠C ) =360°－180°=180° 这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一 组对角也互补.
2
2× 180º
5
2
3
3× 180º
6
3
4
4× 180º
…… ……
n
……
n－3
…… ……
n－2 (n－2)×180º
知1－讲
一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n － 3) 条对角线，它们将n边形分为（n － 2)个三角形，n边形 的内角和等于180°×(n － 2).
把一个多边形分成几个三角 形，还有其他分法吗？由新 的分法，能得出多边 形内角 和公式吗？
知1－讲
例2 〈四川遂宁〉若一个多边形的内角和是1 260°， 则这个多边形的边数是____9____．
导引： 设这个多边形的边数为n，由题意知， (n－2)×180°＝1 260°，解得n＝9.
知1－讲
(1)已知多边形的内角和求边数n的方法：根据多边形内 角和公式列方程：(n－2)×180°＝内角和，解方程 求出n，即得多边形的边数；
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多边形及其内角和（基础篇）
知识点总结：
1、在平面内，由一些线段相接组成的图形叫做多边形，多边形分为多边形和多边形。
多边形的两条边组成的角叫做内角，多边形的边与它的邻边的组成的角叫做外角。
连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
2、各个角都，各边都的多边形叫做正多边形。
3、过n边形一个顶点有条对角线，共有条对角线。
（n为大于2的整数）
4、n边形的内角和公式：,,多边形的外角和等于
5、正n边形每个内角的度数= 或
课后巩固：
1、如图，其中是凹多边形的是
2、下列图形中是四边形的是
3、下列图形为正多边形的是
4、五边形有条对角线，内角和是。
十边形有对角线，内角和是
5、正六边形的周长是30cm,则这个多边形的边长是cm.每一个内角的度数是。
6、一个多边形的内角和为1800度，则这个多边形是边形。
7、十一边形的外角和是。
8、某多边形的内角和与外角和共1080度，则这个多边形的边数是。
9、正八边形每一个外角的度数为。
10、一个多边形有14条对角线，则这个多边形的边数是。
11、从一个多边形的顶点出发，最多可以引10条对角线，则这个多边形的边数是。
12、四边形ABCD中，如果∠A+∠B+∠C=2600，那么∠D= 0
13、四边形截去一个角后得到的多边形的边数是。
五边形呢？，六边形呢？
14、多边形的内角中，最多有个直角。
15、一个多边形的每一个外角都是450，那么这个多边形的内角和是0。
16、一个多边形的内角和是其外角和的4倍，那么这个多边形的边数是。
17、多边形的边数增加一条，则其内角和增加度。
18、一个多边形截去一个角后，变成八边形，那么原来多边形的边数是。
19、下列说法中正确的有①各边都相等的多边形是正多边形。
②由四条线段首尾顺次相接组成的图形是四边形。
③当四边形形状改变时，发生变化的是四边形的周长。
④当四边形形状改变时，发生变化的是四
边形的内角和。
⑤当四边形形状改变时，发生变化的是四边形的内角的大小。
⑥正多边形的各个外角都相等。
⑦各个内角都相等的多边形是正多边形。
⑧四边形的内角和与外角和相等。
⑨如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补。
⑩各边相等或各角相等的多边形是正多边形。
多边形及其内角和（提高篇）
1、一个多边形有8条边，从其中一个顶点出发，连接这个点和其他顶点，可以得到个三角形。
2、一个正多边形的第一个内角都比它相邻的外角的3倍多200，则这个正多边形的内角和是。
3、一个多边形截去一个角后，得到16边形，那么原多边形的边数是。
4、四边形ABCD中，AB=2，AD=4，BC=7，那么CD的取值范围是。
5、一个正多边形的每一个内角都是1440，那么这个正边形的对角线条数是。
6、一个多边形的对角线条数正好等于它的边数的2倍，则这个多边形的边数是。
7、小聪同学制造了一个机器人，这个机器人每前进1m就向左转300，照这样下去，
它至少要走m才能回到原地。
8、如图（1）称为二环三角形，则它的内角和∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 度。
9、如图（2），∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= 度。
10、在四边形ABCD中，∠A:∠B: ∠C: ∠D=1:2:3:4,则相应的外角之比是
11、n边形的边数增加一条，其内角和增加度，共对角线增加条。
12、如果一个多边形的每一个内角都相等，且每一个内角都大于135度，那么这个多边形的边数最少是。
13、如果一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为11900，则这个内角为度，是一个边形。
14、我校八年级8个班要举行篮球比赛，比赛采用单循环积分制（即每两个班进行一场比赛），
则一共要进行场比赛。
（构建八边形模型，总场数等于多边形的对角线条数加边数。
）
15、如图（3）以四边形每个顶点为圆心，以R为半径画圆，则图中阴影部分的面积为
16、（1）已知：如图（4）在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究
∠P与∠A 的数量关系。
（直接写出结论）
（2）已知：如图（5）在四边形ABCD中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD ，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并写出说理过程。
（3）若（2）中的四边形改为六边形，如图（6），请直接写出∠p与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系。
17、如图：求五角星中∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的值。