复习有方法板块回扣三角函数与解三角形

合集下载

第3讲 大题专攻——三角函数与解三角形 2023高考数学二轮复习课件

第3讲 大题专攻——三角函数与解三角形 2023高考数学二轮复习课件

22
∴ba=ssiinn BA=
3 3
=2 3
6.
3
目录
解三角形中的证明问题
【例3】 (2022·全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,
已知sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A).
(1)证明:2a2=b2+c2;
解 证明:法一:由sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A)可得,sin Csin Acos
目录
2.(2021·新高考全国Ⅱ卷)(正、余弦定理,三角形面积公式)在△ABC中,角 A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=a+1,c=a+2. (1)若2sin C=3sin A,求△ABC的面积; 解:由2sin C=3sin A及正弦定理可得2c=3a. 结合b=a+1,c=a+2,解得a=4,b=5,c=6. 在△ABC 中,由余弦定理得 cos C=a2+2ba2b-c2=16+2450-36=18,所以 sin
C= 1-cos2C=387, 所以 S△ABC=12absin C=12×4×5×387=154 7.
目录
(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求出a的值;
若不存在,说明理由.
解:设存在正整数a满足条件,由已知c>b>a,所以C为钝角.
所以cos
C=
Байду номын сангаас
a2+b2-c2 2ab
<0⇒a2+b2<c2⇒a2+(a+1)2<(a+2)2⇒(a+1)(a
目录
三角形中基本量的求解
【例2】 (2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,
c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3.已知S1

3-3第三章 三角函数、解三角形

3-3第三章 三角函数、解三角形

解析
1 3 1 3 2 (1)f(x)=1-2sin x+2sinx=-2 sinx-2 所以当 sin x = 时, f ( x ) f(x)min + , max= , 2 2 2 当 sinx=-1 时,
2

=-3,故选 C. (2)要使函数 y=lg (2sinx-1)+ 1-2cosx有意义,

π π 2.函数 f(x)=sin 2x-4在区间0,2 上的最小值为(

)
A.-1 2 C. 2
2 B.- 2 D.0
π π π 3π 解析 由 0≤x≤2得-4≤2x-4≤ 4 ,结合 y=sinx 的图象易得 B.
π x ≠ k π + , k ∈ Z x π 3 . 3.[教材改编]函数 y=-tanx+ +2 的定义域为______________________


)
π π π π kπ π kπ 5π 解析 由 kπ-2<2x-3<kπ+2(k∈Z)得,2 -12<x< 2 +12(k∈Z), 所以函数 f(x)=tan2x-3 的单调递增
kπ π kπ 5π 区间为 2 -12, 2 +12 (k∈Z),故选 B.
) B.2 D.5
π π π π π π +2 解析 ∵f(x)在 6,2 =0, 上单调递减,且 f +f =0,∴f6 6 2 2 π ∵f(x)=sinωx+ 3cosωx=2sinωx+3 , π+π π π π ∴f6 2=f3=2sin3ω+3 =0, 2 π π 1 2π π π ∴3ω+3=kπ(k∈Z),又2· ω ≥2-6,ω>0, ∴ω=2.

高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形第四节三角函数的图象与性质教师用书理(2021学年)

高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形第四节三角函数的图象与性质教师用书理(2021学年)

2018届高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形第四节三角函数的图象与性质教师用书理编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2018届高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形第四节三角函数的图象与性质教师用书理)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。

本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为2018届高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形第四节三角函数的图象与性质教师用书理的全部内容。

第四节三角函数的图象与性质☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1.能画出y=sin x,y=cosx,y=tan x 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间错误!内的单调性。

2016,天津卷,15,13分(三角函数的周期性、单调性)2016,山东卷,7,5分(三角函数的周期性)2016,浙江卷,3,5分(三角函数的图象)2015,全国卷Ⅰ,8,5分(三角函数的图象与单调性)以考查基本三角函数的图象和性质为主,是高考的重点内容,题目涉及三角函数的图象、单调性、周期性、最值、零点、对称性。

微知识小题练自|主|排|查1.“五点法”作图原理在确定正弦函数y=sin x在[0,2π]上的图象形状时,起关键作用的五个点是(0,0)、错误!、(π,0)、错误!、(2π,0)。

2.三角函数的图象和性质函数性质y=sinx y=cosxy=tanx定义域错误!错误!{x|x≠kπ+\f(π,2) (k∈Z)}图象值域[-1,1][-1,1]R对称性对称轴:x=kπ+错误!(k∈Z);对称中心:(kπ,0)(k∈Z)对称轴:x=kπ(k∈Z);对称中心:错误!(k∈Z)对称中心:错误!(k∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间2kπ-错误!,2kπ+错误!(k∈Z);单调减区间2kπ+\f(π,2),2kπ+3π2(k∈Z)单调增区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z);单调减区间[2kπ,2kπ+π](k∈Z)单调增区间错误!(k∈Z)奇偶性奇函数偶函数奇函数微点提醒1.判断函数周期不能以特殊代一般,只有x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),T才是函数f(x)的一个周期。

高考数学复习热点06 三角函数与解三角形(解析版)-2021年高考数学专练(新高考)

高考数学复习热点06  三角函数与解三角形(解析版)-2021年高考数学专练(新高考)

热点06 三角函数与解三角形【命题形式】新高考环境下,三角函数与解三角形依然会作为一个热点参与到高考试题中,其中对应的题目的分布特点与命题规律分析可以看出,三角试题每年都考。

1、题目分布:"一大一小",或"三小",或"二小"("小"指选择题或填空题,"大"指解答题),解答题以简单题或中档题为主,选择题或填空题比较灵活,有简单题,有中档题,也有对学生能力和素养要求较高的题。

2、考察的知识内容:(1)三角函数的概念;(2)同角三角函数基本关系式与诱导公式及其综合应用;(3)三角函数的图像和性质及综合应用;(4)三角恒等变换及其综合应用;(5)利用正、余弦定理求解三角形;(6)与三角形面积有关的问题;(7)判断三角形的形状;(8)正余弦定理的应用。

3、新题型的考察:(1)以数学文化和实际为背景的题型;(2)多选题的题型;(3)多条件的解答题题型。

4、与其它知识交汇的考察:(1)与函数、导数的结合;(2)与平面向量的结合;(3)与不等式的结合;(4)与几何的结合。

【满分技巧】1、夯实基础,全面系统复习,深刻理解知识本质从三角函数的定义出发,利用同角三角函数关系式、诱导公式进行简单的三角函数化简、求值,结合三角函数的图像,准确掌握三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性等性质,并能正确地描述三角函数图像的变换规律。

要重视对三角函数图像和性质的深入研究,三角函数,是高考考查知识的重要载体,是三角函数的基础。

“五点法”画正弦函数图像是求解三角函数中的参数及正确理解图像变换的关键,因此复习时应精选典型例题(选择题、填空题、解答题)加以训练和巩固,把解决问题的方法技巧进行归纳、整理,达到举一反三、触类旁通。

2、切实掌握两角差的余弦公式的推导及其相应公式的变换规律以两角差的余弦公式为基础,掌握两角和与两角差的正余弦公式、正切公式、二倍角公式,特别是用一种三角函数表示二倍角的余弦,掌握公式的正用、逆用、变形应用,迅速正确应用这些公式进行化简、求值与证明,即以两角差的余弦公式为基础.推出三角恒等变换的相应公式,掌握公式的来龙去脉。

2020高考数学:第三章 三角函数、解三角形第3章 第1节

2020高考数学:第三章 三角函数、解三角形第3章 第1节

返回导航
第三章 三角函数、解三角形
考向 3:三角函数线的应用 函数 y=lg(2sin x-1)+ 1-2cos x的定义域为__2_k_π_+__π3_,__2_k_π_+__56_π_(_k_∈__Z.)
解析

使










2sin x-1>0, 1-2cos x≥0,

sin x>12,
cos
x≤12,
如图,在单位圆中作出相应的三角函数线,由图
可知,原函数的定义域为2kπ+π3,2kπ+56π (k∈Z).
第1轮 ·数学(文科)
返回导航
第三章 三角函数、解三角形
(1)利用三角函数的定义,已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值;已 知角α的三角函数值,也可以求出点P的坐标.
第1轮 ·数学(文科)
返回导航
第三章 三角函数、解三角形
考点二 弧度制、扇形的弧长及面积公式
1.已知扇形的周长是6,面积是2,则扇形的圆心角的弧度数是( C )
A.1 B.4
C.1或4Βιβλιοθήκη D.2或4自主 完成
解析
2r+l=6, 设扇形的半径为 r,弧长为 l,则12rl=2,
解得rl==41, 或rl==22., 从
合,点 P(-4m,3m)(m>0)是角 α 终边上的一点,则 2sin α+cos α=____5____.
解析 ∵|OP|= -4m2+3m2=5|m|=5m(m>0),∴sin α=35mm=35,cos α=
-54mm=-45,∴2sin α+cos α=2×35-45=25.
第1轮 ·数学(文科)

高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 4

高考数学一轮复习 第四章  三角函数与解三角形 4

高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形4.5 三角函数的图象与性质考试要求 1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上,正切函数在⎝⎛⎭⎫-π2,π2上的性质.知识梳理1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),⎝⎛⎭⎫π2,1,(π,0),⎝⎛⎭⎫3π2,-1,(2π,0).(2)在余弦函数y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),⎝⎛⎭⎫π2,0,(π,-1),⎝⎛⎭⎫3π2,0,(2π,1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y =sin xy =cos xy =tan x图象定义域 R R {x | x ≠k π ⎭⎬⎫+π2 值域 [-1,1] [-1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间⎣⎡ 2k π-π2,⎦⎤2k π+π2[2k π-π,2k π]⎝⎛ k π-π2,⎭⎫k π+π2递减区间⎣⎡ 2k π+π2,⎦⎤2k π+3π2[2k π,2k π+π]对称中心 (k π,0) ⎝⎛⎭⎫k π+π2,0⎝⎛⎭⎫k π2,0对称轴方程 x =k π+π2x =k π常用结论1.对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. 2.奇偶性若f (x )=A sin(ωx +φ)(A ,ω≠0),则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ=π2+k π(k ∈Z ).(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ=k π(k ∈Z ). 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)正切函数y =tan x 在定义域内是增函数.( × ) (2)已知y =k sin x +1,x ∈R ,则y 的最大值为k +1.( × ) (3)y =sin|x |是偶函数.( √ )(4)若非零实数T 是函数f (x )的周期,则kT (k 是非零整数)也是函数f (x )的周期.( √ ) 教材改编题1.若函数y =2sin 2x -1的最小正周期为T ,最大值为A ,则( )A .T =π,A =1B .T =2π,A =1C .T =π,A =2D .T =2π,A =2 答案 A2.函数f (x )=-2tan ⎝⎛⎭⎫2x +π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠-π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π+π6k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π2+π6k ∈Z答案 D解析 由2x +π6≠k π+π2,k ∈Z ,得x ≠k π2+π6,k ∈Z .3.函数y =3cos ⎝⎛⎭⎫2x -π3的单调递减区间是________. 答案 ⎣⎡⎦⎤k π+π6,k π+2π3,k ∈Z 解析 因为y =3cos ⎝⎛⎭⎫2x -π3, 令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ,求得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ,可得函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π+π6,k π+2π3,k ∈Z .题型一 三角函数的定义域和值域例1 (1)函数y =1tan x -1的定义域为________.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4+k π,且x ≠π2+k π,k ∈Z 解析 要使函数有意义, 则⎩⎪⎨⎪⎧tan x -1≠0,x ≠π2+k π,k ∈Z ,即⎩⎨⎧x ≠π4+k π,k ∈Z ,x ≠π2+k π,k ∈Z .故函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4+k π,且x ≠π2+k π,k ∈Z .(2)函数y =sin x -cos x +sin x cos x 的值域为________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1+222,1解析 设t =sin x -cos x ,则t 2=sin 2x +cos 2x -2sin x ·cos x ,sin x cos x =1-t 22, 且-2≤t ≤ 2.∴y =-t 22+t +12=-12(t -1)2+1,t ∈[-2,2]. 当t =1时,y max =1; 当t =-2时,y min =-1+222. ∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1+222,1.教师备选1.函数y =sin x -cos x 的定义域为________.答案 ⎣⎡⎦⎤2k π+π4,2k π+5π4(k ∈Z ) 解析 要使函数有意义,必须使sin x -cos x ≥0.利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]上y =sin x 和y =cos x 的图象, 如图所示.在[0,2π]内,满足sin x =cos x 的x 为π4,5π4,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π+π4≤x ≤2k π+5π4,k ∈Z . 2.函数f (x )=sin 2x +3cos x -34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2的最大值是________. 答案 1解析 由题意可得 f (x )=-cos 2x +3cos x +14=-⎝⎛⎭⎫cos x -322+1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2, ∴cos x ∈[0,1]. ∴当cos x =32,即x =π6时,f (x )取最大值为1. 思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数的图象来求解. (2)三角函数值域的不同求法①把所给的三角函数式变换成y =A sin(ωx +φ)的形式求值域. ②把sin x 或cos x 看作一个整体,转换成二次函数求值域. ③利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域.跟踪训练1 (1)(2021·北京)函数f (x )=cos x -cos 2x ,试判断函数的奇偶性及最大值( ) A .奇函数,最大值为2 B .偶函数,最大值为2 C .奇函数,最大值为98D .偶函数,最大值为98答案 D 解析 由题意,f (-x )=cos (-x )-cos (-2x ) =cos x -cos 2x =f (x ), 所以该函数为偶函数,又f (x )=cos x -cos 2x =-2cos 2x +cos x +1=-2⎝⎛⎭⎫cos x -142+98, 所以当cos x =14时,f (x )取最大值98.(2)函数y =lg(sin 2x )+9-x 2的定义域为________. 答案 ⎣⎡⎭⎫-3,-π2∪⎝⎛⎭⎫0,π2 解析 ∵函数y =lg(sin 2x )+9-x 2,∴应满足⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0,9-x 2≥0, 解得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <π2+k π,-3≤x ≤3,其中k ∈Z ,∴-3≤x <-π2或0<x <π2,∴函数的定义域为⎣⎡⎭⎫-3,-π2∪⎝⎛⎭⎫0,π2.题型二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性例2 (1)(2019·全国Ⅱ)下列函数中,以π2为周期且在区间⎝⎛⎭⎫π4,π2上单调递增的是( ) A .f (x )=|cos 2x | B .f (x )=|sin 2x |答案 A解析 A 中,函数f (x )=|cos 2x |的周期为π2,当x ∈⎝⎛⎭⎫π4,π2时,2x ∈⎝⎛⎭⎫π2,π,函数f (x )单调递增,故A 正确;B 中,函数f (x )=|sin 2x |的周期为π2,当x ∈⎝⎛⎭⎫π4,π2时,2x ∈⎝⎛⎭⎫π2,π,函数f (x )单调递减,故B 不正确;C 中,函数f (x )=cos|x |=cos x 的周期为2π,故C 不正确;D 中,f (x )=sin|x |=⎩⎪⎨⎪⎧sin x ,x ≥0,-sin x ,x <0,由正弦函数图象知,在x ≥0和x <0时,f (x )均以2π为周期,但在整个定义域上f (x )不是周期函数,故D 不正确.(2)函数f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3+φ+1,φ∈(0,π),且f (x )为偶函数,则φ=________,f (x )图象的对称中心为________. 答案5π6 ⎝⎛⎭⎫π4+k π2,1,k ∈Z 解析 若f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3+φ+1为偶函数,则-π3+φ=k π+π2,k ∈Z , 即φ=5π6+k π,k ∈Z ,又∵φ∈(0,π), ∴φ=5π6.∴f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫2x +π2+1=3cos 2x +1, 由2x =π2+k π,k ∈Z 得x =π4+k π2,k ∈Z ,∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π4+k π2,1,k ∈Z . 教师备选1.下列函数中,是周期函数的为( ) A .y =sin|x |B .y =cos|x |答案 B解析 ∵cos|x |=cos x ,∴y =cos|x |是周期函数.其余函数均不是周期函数. 2.函数f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3+φ,φ∈(0,π),若f (x )为奇函数,则φ=________. 答案 π3解析 若f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3+φ为奇函数, 则-π3+φ=k π,k ∈Z ,即φ=π3+k π,k ∈Z ,又∵φ∈(0,π), ∴φ=π3.思维升华 (1)奇偶性的判断方法:三角函数中奇函数一般可化为y =A sin ωx 或y =A tan ωx 的形式,而偶函数一般可化为y =A cos ωx 的形式.(2)周期的计算方法:利用函数y =A sin(ωx +φ),y =A cos(ωx +φ)(ω>0)的周期为2πω,函数y =A tan(ωx +φ)(ω>0)的周期为πω求解.跟踪训练2 (1)(2021·全国乙卷)函数f (x )=sin x 3+cos x3最小正周期和最大值分别是( )A .3π和 2B .3π和2C .6π和 2D .6π和2答案 C解析 因为函数f (x )=sin x 3+cos x3=2⎝⎛⎭⎫22sin x 3+22cos x 3=2⎝⎛⎭⎫sin x 3cos π4+cos x 3sin π4 =2sin ⎝⎛⎭⎫x 3+π4,所以函数f (x )的最小正周期T =2π13=6π,最大值为 2.(2)已知f (x )=A cos(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)是定义域为R 的奇函数,且当x =3时,f (x )取得最小值-3,当ω取得最小正数时,f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 022)的值为( ) A.32 B .-6-3 3 C .1 D .-1答案 B解析 ∵f (x )=A cos(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)是定义域为R 的奇函数, ∴φ=π2+k π,k ∈Z ,则φ=π2,则f (x )=-A sin ωx .当x =3时,f (x )取得最小值-3, 故A =3,sin 3ω=1, ∴3ω=π2+2k π,k ∈Z .∴ω的最小正数为π6,∴f (x )=-3sin π6x ,∴f (x )的周期为12,∴f (1)+f (2)+f (3)+…+f (12)=0, ∴f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 022) =168×0+f (1)+f (2)+…+f (6) =-6-3 3.(3)(2022·郑州模拟)设函数f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3+34,则下列叙述正确的是( ) A .f (x )的最小正周期为2π B .f (x )的图象关于直线x =π12对称 C .f (x )在⎣⎡⎦⎤π2,π上的最小值为-54 D .f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3,0对称 答案 C解析 对于A ,f (x )的最小正周期为2π2=π,故A 错误;对于B ,∵sin ⎝⎛⎭⎫2×π12-π3=-12≠±1, 故B 错误;对于C ,当x ∈⎣⎡⎦⎤π2,π时,2x -π3∈⎣⎡⎦⎤2π3,5π3, ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3∈⎣⎡⎦⎤-1,32, ∴2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3+34∈⎣⎡⎦⎤-54,3+34, ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤π2,π上的最小值为-54,故C 正确; 对于D ,∵f ⎝⎛⎭⎫2π3=2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3-π3+34=34, ∴f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3,34对称,故D 错误. 题型三 三角函数的单调性 命题点1 求三角函数的单调区间例3 函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫-2x +π3的单调递减区间为________.答案 ⎣⎡⎦⎤k π-π12,k π+5π12(k ∈Z ) 解析 f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫-2x +π3 =sin ⎣⎡⎦⎤-⎝⎛⎭⎫2x -π3 =-sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3, 由2k π-π2≤2x -π3≤2k π+π2,k ∈Z , 得k π-π12≤x ≤k π+5π12,k ∈Z . 故所求函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π-π12,k π+5π12(k ∈Z ). 延伸探究 f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫-2x +π3在[0,π]上的单调递减区间为________. 答案 ⎣⎡⎦⎤0,5π12和⎣⎡⎦⎤11π12,π 解析 令A =⎣⎡⎦⎤k π-π12,k π+5π12,k ∈Z , B =[0,π],∴A ∩B =⎣⎡⎦⎤0,5π12∪⎣⎡⎦⎤11π12,π, ∴f (x )在[0,π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤0,5π12和⎣⎡⎦⎤11π12,π. 命题点2 根据单调性求参数例4 (1)若函数f (x )=sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0,π3上单调递增,在区间⎣⎡⎦⎤π3,π2上单调递减,则ω=________.答案 32解析 ∵f (x )=sin ωx (ω>0)过原点,∴当0≤ωx ≤π2, 即0≤x ≤π2ω时,y =sin ωx 单调递增; 当π2≤ωx ≤3π2, 即π2ω≤x ≤3π2ω时,y =sin ωx 单调递减. 由f (x )=sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0,π3上单调递增, 在⎣⎡⎦⎤π3,π2上单调递减,知π2ω=π3, ∴ω=32. (2)已知ω>0,函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π4在⎝⎛⎭⎫π2,π上单调递减,则ω的取值范围是________. 答案 ⎣⎡⎦⎤12,54解析 由π2<x <π,ω>0, 得ωπ2+π4<ωx +π4<ωπ+π4, 因为y =sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π+π2,2k π+3π2,k ∈Z , 所以⎩⎨⎧ ωπ2+π4≥π2+2k π,ωπ+π4≤3π2+2k π,k ∈Z ,解得4k +12≤ω≤2k +54,k ∈Z . 又由4k +12-⎝⎛⎭⎫2k +54≤0,k ∈Z , 且2k +54>0,k ∈Z , 解得k =0,所以ω∈⎣⎡⎦⎤12,54.教师备选(2022·定远县育才学校月考)已知函数f (x )=sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,|φ|≤π2,x =-π4为f (x )的零点,x =π4为y =f (x )图象的对称轴,且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18,5π36上单调,则ω的最大值为( ) A .11 B .9 C .7 D .1答案 B解析 因为x =-π4为f (x )的零点, x =π4为y =f (x )图象的对称轴, 所以2n +14·T =π2(n ∈N ), 即2n +14·2πω=π2(n ∈N ), 所以ω=2n +1(n ∈N ),即ω为正奇数.因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18,5π36上单调,则5π36-π18=π12≤T 2, 即T =2πω≥π6, 解得ω≤12.当ω=11时,-11π4+φ=k π,k ∈Z , 因为|φ|≤π2, 所以φ=-π4,此时f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫11x -π4. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π18,5π36时,11x -π4∈⎝⎛⎭⎫13π36,46π36, 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫π18,5π36上不单调,不满足题意;当ω=9时,-9π4+φ=k π,k ∈Z , 因为|φ|≤π2, 所以φ=π4, 此时f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫9x +π4. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π18,5π36时,9x +π4∈⎝⎛⎭⎫3π4,3π2, 此时f (x )在⎝⎛⎭⎫π18,5π36上单调递减,符合题意.故ω的最大值为9.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y =A sin(ωx +φ)或y =A cos(ωx +φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx +φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,可借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.跟踪训练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)下列区间中,函数f (x )=7sin ⎝⎛⎭⎫x -π6的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫0,π2 B.⎝⎛⎭⎫π2,π C.⎝⎛⎭⎫π,3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2,2π答案 A解析 令-π2+2k π≤x -π6≤π2+2k π,k ∈Z ,得-π3+2k π≤x ≤2π3+2k π,k ∈Z .取k =0,则-π3≤x ≤2π3.因为⎝⎛⎭⎫0,π2⎣⎡⎦⎤-π3,2π3,所以区间⎝⎛⎭⎫0,π2是函数f (x )的单调递增区间. (2)(2022·开封模拟)已知函数y =sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π3 (ω>0)在区间⎝⎛⎭⎫-π6,π3上单调递增,则ω的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0,12 B.⎣⎡⎦⎤12,1 C.⎝⎛⎦⎤13,23D.⎣⎡⎦⎤23,2答案 A解析 当-π6<x <π3时, -πω6+π3<ωx +π3<πω3+π3, 当x =0时,ωx +π3=π3. 因为函数y =sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π3(ω>0)在区间⎝⎛⎭⎫-π6,π3上单调递增, 所以⎩⎨⎧ -πω6+π3≥-π2,πω3+π3≤π2,解得ω≤12, 因为ω>0,所以ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0,12. 课时精练1.y =|cos x |的一个单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤-π2,π2 B .[0,π]C.⎣⎡⎦⎤π,3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2,2π 答案 D 解析 将y =cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折,x 轴上方(或x 轴上)的图象不变,即得y =|cos x |的图象(如图).故选D.2.函数f (x )=2sin π2x -1的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤π3+4k π,5π3+4k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤13+4k ,53+4k (k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤π6+4k π,5π6+4k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤16+4k ,56+4k (k ∈Z ) 答案 B解析 由题意,得2sin π2x -1≥0, π2x ∈⎣⎡⎦⎤π6+2k π,5π6+2k π(k ∈Z ), 则x ∈⎣⎡⎦⎤13+4k ,53+4k (k ∈Z ). 3.函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫x +5π12cos ⎝⎛⎭⎫x -π12是( ) A .最小正周期为π的奇函数B .最小正周期为π的偶函数C .最小正周期为2π的非奇非偶函数D .最小正周期为π的非奇非偶函数答案 D解析 由题意可得f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫x +5π12cos ⎝⎛⎭⎫x -π12 =sin ⎝⎛⎭⎫x +5π12cos ⎝⎛⎭⎫x +5π12-π2 =sin 2⎝⎛⎭⎫x +5π12, ∴f (x )=12-12cos ⎝⎛⎭⎫2x +5π6, 故f (x )的最小正周期T =2π2=π,由函数奇偶性的定义易知,f (x )为非奇非偶函数. 4.函数f (x )=sin x +x cos x +x 2在[-π,π]的图象大致为( )答案 D解析 由f (-x )=sin -x +-x cos -x +-x2 =-sin x -x cos x +x 2=-f (x ),得f (x )是奇函数,其图象关于原点对称,排除A ; 又f ⎝⎛⎭⎫π2=1+π2⎝⎛⎭⎫π22=4+2ππ2>1, f (π)=π-1+π2>0,排除B ,C. 5.关于函数f (x )=sin 2x -cos 2x ,下列命题中为假命题的是( )A .函数y =f (x )的周期为πB .直线x =π4是y =f (x )图象的一条对称轴 C .点⎝⎛⎭⎫π8,0是y =f (x )图象的一个对称中心D .y =f (x )的最大值为 2答案 B解析 因为f (x )=sin 2x -cos 2x =2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4, 所以f (x )的最大值为2,故D 为真命题;因为ω=2,故T =2π2=π,故A 为真命题; 当x =π4时,2x -π4=π4,终边不在y 轴上,故直线x =π4不是y =f (x )图象的一条对称轴, 故B 为假命题;当x =π8时,2x -π4=0,终边落在x 轴上, 故点⎝⎛⎭⎫π8,0是y =f (x )图象的一个对称中心,故C 为真命题.6.(2022·广州市培正中学月考)关于函数f (x )=sin|x |+|sin x |,下列叙述正确的是( )A .f (x )是奇函数B .f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2,π上单调递增C .f (x )的最大值为2D .f (x )在[-π,π]上有4个零点答案 C解析 f (-x )=sin|-x |+|sin(-x )|=sin|x |+|sin x |=f (x ),f (x )是偶函数,A 错误;当x ∈⎝⎛⎭⎫π2,π时,f (x )=sin x +sin x =2sin x ,单调递减,B 错误;f (x )=sin|x |+|sin x |≤1+1=2,且f ⎝⎛⎭⎫π2=2,C 正确;在[-π,π]上,当-π<x <0时,f (x )=sin(-x )+(-sin x )=-2sin x >0,当0<x <π时,f (x )=sin x +sin x =2sin x >0,f (x )的零点只有π,0,-π共三个,D 错误.7.写出一个周期为π的偶函数f (x )=________.(答案不唯一) 答案 cos 2x8.(2022·上外浦东附中检测)若在⎣⎡⎦⎤0,π2内有两个不同的实数值满足等式cos 2x +3sin 2x =k +1,则实数k 的取值范围是________.答案 0≤k <1解析 函数f (x )=cos 2x +3sin 2x=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6, 当x ∈⎣⎡⎦⎤0,π6时, f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6单调递增; 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6,π2时,f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6单调递减, f (0)=2sin π6=1, f ⎝⎛⎭⎫π6=2sin π2=2, f ⎝⎛⎭⎫π2=2sin 7π6=-1,所以在⎣⎡⎦⎤0,π2内有两个不同的实数值满足等式cos 2x +3sin 2x =k +1, 则1≤k +1<2,所以0≤k <1.9.已知函数f (x )=4sin ωx sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π3-1(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω及f (x )的单调递增区间;(2)求f (x )图象的对称中心.解 (1)f (x )=4sin ωx ⎝⎛⎭⎫12sin ωx +32cos ωx -1 =2sin 2ωx +23sin ωx cos ωx -1 =1-cos 2ωx +3sin 2ωx -1 =3sin 2ωx -cos 2ωx=2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx -π6. ∵最小正周期为π,∴2π2ω=π, ∴ω=1,∴f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6, 令-π2+2k π≤2x -π6≤π2+2k π,k ∈Z , 解得-π6+k π≤x ≤π3+k π,k ∈Z , ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤-π6+k π,π3+k π (k ∈Z ).(2)令2x -π6=k π,k ∈Z , 解得x =π12+k π2,k ∈Z ,∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π12+k π2,0,k ∈Z .10.(2021·浙江)设函数f (x )=sin x +cos x (x ∈R ).(1)求函数y =⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x +π22的最小正周期; (2)求函数y =f (x )f ⎝⎛⎭⎫x -π4在⎣⎡⎦⎤0,π2上的最大值. 解 (1)因为f (x )=sin x +cos x ,所以f ⎝⎛⎭⎫x +π2=sin ⎝⎛⎭⎫x +π2+cos ⎝⎛⎭⎫x +π2 =cos x -sin x ,所以y =⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x +π22=(cos x -sin x )2 =1-sin 2x .所以函数y =⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x +π22的最小正周期T =2π2=π. (2)f ⎝⎛⎭⎫x -π4=sin ⎝⎛⎭⎫x -π4+cos ⎝⎛⎭⎫x -π4 =2sin x ,所以y =f (x )f ⎝⎛⎭⎫x -π4 =2sin x (sin x +cos x ) =2(sin x cos x +sin 2x ) =2⎝⎛⎭⎫12sin 2x -12cos 2x +12 =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4+22. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2时,2x -π4∈⎣⎡⎦⎤-π4,3π4, 所以当2x -π4=π2,即x =3π8时, 函数y =f (x )f ⎝⎛⎭⎫x -π4在⎣⎡⎦⎤0,π2上取得最大值,且y max =1+22.11.(2022·苏州模拟)已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3,则下列结论不正确的是( ) A .x =-π6是函数f (x )的一个零点 B .函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-5π12,π12上单调递增 C .函数f (x )的图象关于直线x =π12对称 D .函数f ⎝⎛⎭⎫x -π3是偶函数 答案 D解析 对于A 选项,因为f ⎝⎛⎭⎫-π6=sin 0=0, 故x =-π6是函数f (x )的一个零点,A 对; 对于B 选项,当-5π12≤x ≤π12时, -π2≤2x +π3≤π2, 所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-5π12,π12上单调递增,B 对; 对于C 选项,因为对称轴满足2x +π3=π2+k π,k ∈Z , 解得x =π12+k π2,k ∈Z ,当k =0时,x =π12,C 对; 对于D 选项,令g (x )=f ⎝⎛⎭⎫x -π3=sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x -π3+π3 =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3, 则g ⎝⎛⎭⎫π6=0,g ⎝⎛⎭⎫-π6=sin ⎝⎛⎭⎫-2π3≠0, 故函数f ⎝⎛⎭⎫x -π3不是偶函数,D 错. 12.(2022·厦门模拟)已知函数f (x )=cos 2⎝⎛⎭⎫x -π6-cos 2x ,则下列结论正确的是( ) A .f (x )的最大值为3-12B .f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫7π6,0对称C .f (x )的图象的对称轴方程为x =5π12+k π2(k ∈Z ) D .f (x )在[0,2π]上有2个零点答案 C解析 f (x )=1+cos ⎝⎛⎭⎫2x -π32-cos 2x =12+12⎝⎛⎭⎫12cos 2x +32sin 2x -cos 2x =34sin 2x -34cos 2x +12=32sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3+12, 则f (x )的最大值为1+32,A 错误; 易知f (x )图象的对称中心的纵坐标为12, B 错误;令2x -π3=π2+k π(k ∈Z ), 得x =5π12+k π2(k ∈Z ), 此即f (x )图象的对称轴方程,C 正确;由f (x )=32sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3+12=0, 得sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3=-33, 当x ∈[0,2π]时,2x -π3∈⎣⎡⎦⎤-π3,11π3, 作出函数y =sin x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤-π3,11π3的图象,如图所示.所以方程sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3=-33在[0,2π]上有4个不同的实根, 即f (x )在[0,2π]上有4个零点,D 错误.13.(2022·绵阳中学实验学校模拟)已知sin x +cos y =14,则sin x -sin 2y 的最大值为______. 答案 916解析 ∵sin x +cos y =14,sin x ∈[-1,1], ∴sin x =14-cos y ∈[-1,1], ∴cos y ∈⎣⎡⎦⎤-34,54, 即cos y ∈⎣⎡⎦⎤-34,1, ∵sin x -sin 2y =14-cos y -(1-cos 2y ) =cos 2y -cos y -34=⎝⎛⎭⎫cos y -122-1, 又cos y ∈⎣⎡⎦⎤-34,1,利用二次函数的性质知,当cos y =-34时, (sin x -sin 2y )max =⎝⎛⎭⎫-34-122-1=916. 14.(2022·苏州八校联盟检测)已知f (x )=sin x +cos x ,若y =f (x +θ)是偶函数,则cos θ=________.答案 ±22解析 因为f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4, 所以f (x +θ)=2sin ⎝⎛⎭⎫x +θ+π4, 又因为y =f (x +θ)是偶函数,所以θ+π4=π2+k π,k ∈Z , 即θ=π4+k π,k ∈Z , 所以cos θ=cos ⎝⎛⎭⎫π4+k π=±22.15.(2022·江西九江一中模拟)已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π3(ω>0),若方程f (x )=0在[0,2π]上有且仅有6个根,则实数ω的值可能为( )A .2B .3C .4D .5答案 B解析 令f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π3=0, 则ωx +π3=k π,k ∈Z , 所以x =-π3ω+k πω,k ∈Z , 所以当x ≥0时,函数f (x )的第一个零点为x 1=-π3ω+πω=2π3ω,第六个零点为x 6=-π3ω+6πω=17π3ω,第七个零点为x 7=-π3ω+7πω=20π3ω, 因为方程f (x )=0在[0,2π]上有且仅有6个根等价于函数y =f (x )在[0,2π]上有且仅有6个零点,所以17π3ω≤2π<20π3ω, 所以176≤ω<103. 16.已知f (x )=sin 2⎝⎛⎭⎫x +π8+2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4·cos ⎝⎛⎭⎫x +π4-12. (1)求f (x )的单调递增区间;(2)若函数y =|f (x )|-m 在区间⎣⎡⎦⎤-5π24,3π8上恰有两个零点x 1,x 2. ①求m 的取值范围;②求sin(x 1+x 2)的值.解 (1)f (x )=sin 2⎝⎛⎭⎫x +π8+2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4·cos ⎝⎛⎭⎫x +π4-12=1-cos ⎝⎛⎭⎫2x +π42+22sin ⎝⎛⎭⎫2x +π2-12 =12-24cos 2x +24sin 2x +22cos 2x -12=24sin 2x +24cos 2x =12sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4, 结合正弦函数的图象与性质, 可得当-π2+2k π≤2x +π4≤π2+2k π(k ∈Z ), 即-3π8+k π≤x ≤π8+k π(k ∈Z )时,函数单调递增, ∴函数y =f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤-3π8+k π,π8+k π(k ∈Z ). (2)①令t =2x +π4,当x ∈⎣⎡⎦⎤-5π24,3π8时,t ∈⎣⎡⎦⎤-π6,π,12sin t ∈⎣⎡⎦⎤-14,12, ∴y =⎪⎪⎪⎪12sin t ∈⎣⎡⎦⎤0,12(如图).∴要使y =|f (x )|-m 在区间⎣⎡⎦⎤-5π24,3π8上恰有两个零点,m 的取值范围为14<m <12或m =0. ②设t 1,t 2是函数y =⎪⎪⎪⎪12sin t -m 的两个零点⎝⎛⎭⎫即t 1=2x 1+π4,t 2=2x 2+π4, 由正弦函数图象性质可知t 1+t 2=π,即2x 1+π4+2x 2+π4=π. ∴x 1+x 2=π4,∴sin(x 1+x 2)=22.。

2024年高考数学总复习第四章《三角函数解三角形》任意角弧度制及任意角的三角函数

2024年高考数学总复习第四章《三角函数解三角形》任意角弧度制及任意角的三角函数

2024年高考数学总复习第四章《三角函数、解三角形》§4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲1.了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化.2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.1.角的概念(1)任意角:①定义:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形;②分类:角按旋转方向分为正角、负角和零角.(2)所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S ={β|β=k ·360°+α,k ∈Z }.(3)象限角:使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.2.弧度制(1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad 表示,读作弧度.正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化:180°=πrad,1°=π180rad ,1rad(3)扇形的弧长公式:l =|α|·r ,扇形的面积公式:S =12lr =12|α|·r 2.3.任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ,y )时,则sin α=y ,cos α=x ,tan α=yx (x ≠0).三个三角函数的性质如下表:三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin αR++--cos αR+--+tan α{α|α≠k π+π2,k ∈Z }+-+-4.三角函数线如下图,设角α的终边与单位圆交于点P ,过P 作PM ⊥x 轴,垂足为M ,过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .三角函数线有向线段MP 为正弦线;有向线段OM 为余弦线;有向线段AT 为正切线概念方法微思考1.总结一下三角函数值在各象限的符号规律.提示一全正、二正弦、三正切、四余弦.2.三角函数坐标法定义中,若取点P (x ,y )是角α终边上异于顶点的任一点,怎样定义角α的三角函数?提示设点P 到原点O 的距离为r ,则sin α=y r ,cos α=x r ,tan α=yx(x ≠0).题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)锐角是第一象限的角,第一象限的角也都是锐角.(×)(2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.(√)(3)不相等的角终边一定不相同.(×)(4)若α为第一象限角,则sin α+cos α>1.(√)题组二教材改编2.角-225°=弧度,这个角在第象限.答案-5π4二3.若角α的终边经过点-22,sin α=,cos α=.答案22-224.一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角大小为弧度.答案π3题组三易错自纠5|k π+π4≤α≤k π+π2,k ∈Z(阴影部分)是()答案C解析当k =2n (n ∈Z )时,2n π+π4≤α≤2n π+π2,此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样;当k =2n +1(n ∈Z )时,2n π+π+π4≤α≤2n π+π+π2,此时α表示的范围与π+π4≤α≤π+π2表示的范围一样,故选C.6.已知点Pθ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为()A.5π6B.2π3C.11π6D.5π3答案C解析因为点P所以根据三角函数的定义可知tan θ=-1232=-33,又θθ=11π6.7.在0到2π范围内,与角-4π3终边相同的角是.答案2π3解析与角-4π3终边相同的角是2k πk ∈Z ),令k =1,可得与角-4π3终边相同的角是2π3.8.(2018·济宁模拟)函数y =2cos x -1的定义域为.答案2k π-π3,2k π+π3(k ∈Z )解析∵2cos x -1≥0,∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),∴x ∈2k π-π3,2k π+π3(k ∈Z ).题型一角及其表示1.下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A .2k π+45°(k ∈Z )B .k ·360°+9π4(k ∈Z )C .k ·360°-315°(k ∈Z )D .k π+5π4(k ∈Z )答案C解析与角9π4的终边相同的角可以写成2k π+9π4(k ∈Z ),但是角度制与弧度制不能混用,所以只有答案C 正确.2.设集合M |x =k2·180°+45°,k ∈ZN |x =k4·180°+45°,k ∈Z()A .M =NB .M ⊆NC .N ⊆MD .M ∩N =∅答案B解析由于M 中,x =k2·180°+45°=k ·90°+45°=(2k +1)·45°,2k +1是奇数;而N 中,x =k4·180°+45°=k ·45°+45°=(k +1)·45°,k +1是整数,因此必有M ⊆N ,故选B.3.(2018·宁夏质检)终边在直线y =3x 上,且在[-2π,2π)内的角α的集合为.答案-53π,-23π,π3,43π解析如图,在坐标系中画出直线y =3x ,可以发现它与x 轴的夹角是π3,在[0,2π)内,终边在直线y =3x 上的角有两个:π3,43π;在[-2π,0)内满足条件的角有两个:-23π,-53π,故满足条件的角α构成的集合为-53,-23π,π3,43π4.若角α是第二象限角,则α2是第象限角.答案一或三解析∵α是第二象限角,∴π2+2k π<α<π+2k π,k ∈Z ,∴π4+k π<α2<π2+k π,k ∈Z .当k 为偶数时,α2是第一象限角;当k 为奇数时,α2是第三象限角.综上,α2是第一或第三象限角.思维升华(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k (k ∈Z )赋值来求得所需的角.(2)确定kα,αkk ∈N *)的终边位置的方法先写出kα或αk 的范围,然后根据k 的可能取值确定kα或αk的终边所在位置.题型二弧度制及其应用例1已知一扇形的圆心角为α,半径为R ,弧长为l .若α=π3,R =10cm ,求扇形的面积.解由已知得α=π3,R =10cm ,∴S 扇形=12α·R 2=12·π3·102=50π3(cm 2).引申探究1.若例题条件不变,求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.解l =α·R =π3×10=10π3(cm),S 弓形=S 扇形-S 三角形=12·l ·R -12·R 2·sin π3=12·10π3·10-12·102·32=50π-7533(cm 2).2.若例题条件改为:“若扇形周长为20cm ”,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大?解由已知得,l +2R =20,则l =20-2R (0<R <10).所以S =12lR =12(20-2R )R =10R -R 2=-(R -5)2+25,所以当R =5cm 时,S 取得最大值25cm 2,此时l =10cm ,α=2rad.思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.跟踪训练1(1)(2018·湖北七校联考)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为()A.π6B.π3C .3D.3答案D解析如图,等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形,则线段AB 所对的圆心角∠AOB =2π3,作OM ⊥AB ,垂足为M ,在Rt △AOM 中,AO =r ,∠AOM =π3,∴AM =32r ,AB =3r ,∴l =3r ,由弧长公式得α=l r =3rr= 3.(2)一扇形是从一个圆中剪下的一部分,半径等于圆半径的23,面积等于圆面积的527,则扇形的弧长与圆周长之比为.答案518解析设圆的半径为r ,则扇形的半径为2r3,记扇形的圆心角为α,由扇形面积等于圆面积的527,可得12α2r 3πr 2=527,解得α=5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为l C =5π6·2r 32πr =518.题型三三角函数的概念命题点1三角函数定义的应用例2(1)(2018·青岛模拟)已知角α的终边与单位圆的交点为-12,sin α·tan α等于()A .-33B .±33C .-32D .±32答案C解析由OP 2=14+y 2=1,得y 2=34,y =±32.当y =32时,sin α=32,tan α=-3,此时,sin α·tan α=-32.当y =-32时,sin α=-32,tan α=3,此时,sin α·tan α=-32.所以sin α·tan α=-32.(2)设θ是第三象限角,且|cosθ2|=-cos θ2,则θ2是()A .第一象限角B .第二象限角C .第三象限角D .第四象限角答案B解析由θ是第三象限角知,θ2为第二或第四象限角,∵|cos θ2|=-cos θ2,∴cos θ2<0,综上可知,θ2为第二象限角.命题点2三角函数线例3(1)满足cos α≤-12的角的集合是.答案|2k π+23π≤α≤2k π+43π,k ∈Z 解析作直线x =-12交单位圆于C ,D 两点,连接OC ,OD ,则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围,故满足条件的角α的集合为|2k π+23π≤α≤2k π+43π,k ∈Z(2)若-3π4<α<-π2,从单位圆中的三角函数线观察sin α,cos α,tan α的大小关系是.答案sin α<cos α<tan α解析如图,作出角α的正弦线MP ,余弦线OM ,正切线AT ,观察可知sin α<cos α<tan α.思维升华(1)利用三角函数的定义,已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值;已知角α的三角函数值,也可以求出点P 的坐标.(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍,结合三角函数的周期性写出角的范围.跟踪训练2(1)(2018·济南模拟)已知角α的终边经过点(m ,-2m ),其中m ≠0,则sin α+cosα等于()A .-55B .±55C .-35D .±35答案B解析∵角α的终边经过点(m ,-2m ),其中m ≠0,∴m >0时,sin α=-2m 5m =-25cos α=m 5m =15,∴sin α+cos α=-55;m <0时,sin α=-2m -5m =25,cos α=m -5m =-15,∴sin α+cos α=55;∴sin α+cos α=±55,故选B.(2)在(0,2π)内,使得sin x >cos x 成立的x 的取值范围是()答案C解析当x ∈π2,sin x >0,cos x ≤0,显然sin x >cos x 成立;当x ,π4时,如图,OA 为x 的终边,此时sin x =|MA |,cos x =|OM |,sin x ≤cos x ;当xOB 为x 的终边,此时sin x =|NB |,cos x =|ON |,sin x >cos x .同理当x ∈πsin x >cosx ;当x ∈5π4,sin x ≤cos x ,故选C.1.下列说法中正确的是()A .第一象限角一定不是负角B .不相等的角,它们的终边必不相同C .钝角一定是第二象限角D .终边与始边均相同的两个角一定相等答案C解析因为-330°=-360°+30°,所以-330°角是第一象限角,且是负角,所以A 错误;同理-330°角和30°角不相等,但它们终边相同,所以B 错误;因为钝角的取值范围为(90°,180°),所以C 正确;0°角和360°角的终边与始边均相同,但它们不相等,所以D 错误.2.已知扇形的周长是6,面积是2,则扇形的圆心角的弧度数是()A .1B .4C .1或4D .2或4答案C解析设扇形的半径为r ,弧长为l ,+l =6,=2,=1,4=2,2.从而α=l r =41=4或α=l r =22=1.3.(2018·石家庄调研)已知角θ的终边经过点P (4,m ),且sin θ=35,则m 等于()A .-3B .3C.163D .±3答案B 解析sin θ=m16+m 2=35,且m >0,解得m =3.4.点P 从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点,则Q 点的坐标为()-12,-32,--12,--32,答案A解析点P 旋转的弧度数也为2π3,由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ,y )满足x =cos 2π3=-12,y =sin 2π3=32.5.若sin θ·cos θ>0,sin θ+cos θ<0,则θ在()A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限答案C解析∵sin θ·cos θ>0,∴sin θ>0,cos θ>0或sin θ<0,cos θ<0.当sin θ>0,cos θ>0时,θ为第一象限角,当sin θ<0,cos θ<0时,θ为第三象限角.∵sin θ+cos θ<0,∴θ为第三象限角.故选C.6.sin 2·cos 3·tan 4的值()A .小于0B .大于0C .等于0D .不存在答案A解析∵sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0,∴sin 2·cos 3·tan 4<0.7.已知角α的终边过点P (-8m ,-6sin 30°),且cos α=-45,则m 的值为()A .-12B .-32C.12D.32答案C解析由题意得点P (-8m ,-3),r =64m 2+9,所以cos α=-8m64m 2+9=-45,解得m =±12,又cos α=-45<0,所以-8m <0,即m >0,所以m =12.8.给出下列命题:①第二象限角大于第一象限角;②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关;④若sin α=sin β,则α与β的终边相同;⑤若cos θ<0,则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是()A .1B .2C .3D .4答案A解析举反例:第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①错;当三角形的内角为90°时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于sinπ6=sin 5π6,但π6与5π6的终边不相同,故④错;当cos θ=-1,θ=π时,其既不是第二象限角,也不是第三象限角,故⑤错.综上可知,只有③正确.9.若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长,则其圆心角的弧度数是.答案2解析设圆半径为r ,则圆内接正方形的对角线长为2r ,∴正方形边长为2r ,∴圆心角的弧度数是2rr= 2.10.若角α的终边与直线y =3x 重合,且sin α<0,又P (m ,n )是角α终边上一点,且|OP |=10,则m -n =.答案2解析由已知tan α=3,∴n =3m ,又m 2+n 2=10,∴m 2=1.又sin α<0,∴m =-1,n =-3.故m -n =2.11.已知角α的终边上一点P 2π3,cos α的最小正值为.答案11π6解析由题意知,点r =1,所以点P 在第四象限,根据三角函数的定义得cos α=sin2π3=32,故α=2k π-π6(k ∈Z ),所以α的最小正值为11π6.12.函数y =sin x -32的定义域为.答案2k π+π3,2k π+23π,k ∈Z 解析利用三角函数线(如图),由sin x ≥32,可知2k π+π3≤x ≤2k π+23π,k ∈Z .13.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界),则角α用集合可表示为.答案α|2k π+π4<α<2k π+56π,k ∈Z 解析∵在[0,2π)内,终边落在阴影部分角的集合为π4,56π∴α|2k π+π4<α<2k π+56π,k ∈Z14.若角α的终边落在直线y =3x 上,角β的终边与单位圆交于点12,m,且sin α·cos β<0,则cos α·sin β=.答案±34解析由角β12,m cos β=12sin α·cos β<0知,sin α<0,因为角α的终边落在直线y =3x 上,所以角α只能是第三象限角.记P 为角α的终边与单位圆的交点,设P (x ,y )(x <0,y <0),则|OP |=1(O 为坐标原点),即x 2+y 2=1,又由y =3x 得x =-12,y =-32,所以cos α=x =-12,因为点12,m 12+m 2=1,解得m =±32,所以sin β=±32,所以cos α·sin β=±34.15.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式,即弧田面积=12×(弦×矢+矢2).弧田(如图1)由圆弧和其所对弦围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,现有圆心角为2π3,半径为3米的弧田,如图2所示.按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是平方米.(结果保留整数,3≈1.73)答案5解析如题图2,由题意可得∠AOB =2π3,OA =3,所以在Rt △AOD 中,∠AOD =π3,∠DAO =π6,OD =12AO =12×3=32,可得CD =3-32=32,由AD =AO ·sin π3=3×32=332,可得AB =2AD =2×332=3 3.所以弧田面积S =12(弦×矢+矢2)=12×33×32+=943+98≈5(平方米).16.如图,A ,B 是单位圆上的两个质点,点B 的坐标为(1,0),∠BOA =60°.质点A 以1rad /s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动,质点B 以2rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动.(1)求经过1s 后,∠BOA 的弧度;(2)求质点A ,B 在单位圆上第一次相遇所用的时间.解(1)经过1s 后,质点A 运动1rad ,质点B 运动2rad ,此时∠BOA 的弧度为π3+3.(2)设经过t s 后质点A ,B 在单位圆上第一次相遇,则t (1+2)+π3=2π,解得t =5π9,即经过5π9s后质点A ,B 在单位圆上第一次相遇.。

高考一轮复习第3章三角函数解三角形第1讲任意角和蝗制及任意角的三角函

高考一轮复习第3章三角函数解三角形第1讲任意角和蝗制及任意角的三角函
第三章 三角函数、解三角形
第一讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
知识梳理·双基自测
知识点一 角的有关概念
(1)从运动的角度看,角可分为正角、负角和零角.
(2)从终边位置来看,角可分为象限角与轴线角.
(3)若β与α是终边相同的角,则β用α表示为β=2kπ+α,k∈Z.
知识点二 弧度制及弧长、扇形面积公式
知识点三 任意角的三角函数
(1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么sin α=y,cos α=x,tan α= (x≠0).
(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是点(1,0).如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的正弦线,余弦线和正切线.
[解析]由角α的终边过点P 得sin α=- ,所以sin(α+π)=-sin α= .
考点突破·互动探究
考点一 角的基本概念——自主练透
例1 (1)若角θ的终边与 角的终边相同,则在区间[0,2π)内终边与 角的终边相同的角为 , , .
(2)若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=- x上,则角α的取值集合是( D )
考点三 三角函数的定义——多维探究
角度1 定义的直接应用
例3 (1)(2020·北京海淀期中)在平面直角坐标系xOy中,点A的纵坐标为2,点C在x轴的正半轴上.在△AOC中,若cos∠AOC=- ,则点A的横坐标为( A )
A.- B.
C.-3D.3
(2)若角θ的终边经过点P(- ,m)(m≠0)且sin θ= m,则cos θ的值为- .
所以 终边在第三象限,综上, 的终边在第一或三象限.故选A、C.

2024年高考数学总复习第四章《三角函数解三角形》解三角形的实际应用

2024年高考数学总复习第四章《三角函数解三角形》解三角形的实际应用

2024年高考数学总复习第四章《三角函数、解三角形》§4.7解三角形的实际应用最新考纲能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.测量中的有关几个术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角θ的范围是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)α例:(1)北偏东α:(2)南偏西α:坡角与坡比坡面与水平面所成二面角的度数叫坡度,θ为坡角;坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比,即i =hl=tan θ概念方法微思考在实际测量问题中有哪几种常见类型,解决这些问题的基本思想是什么?提示实际测量中有高度、距离、角度等问题,基本思想是根据已知条件,构造三角形(建模),利用正弦定理、余弦定理解决问题.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)从A 处望B 处的仰角为α,从B 处望A 处的俯角为β,则α,β的关系为α+β=180°.(×)(2)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为0,π2.(×)(3)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系.(√)(4)方位角大小的范围是[0,2π),方向角大小的范围一般是0,π2√)题组二教材改编2.如图所示,设A ,B 两点在河的两岸,一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ,测出A ,C 的距离为50m ,∠ACB =45°,∠CAB =105°后,就可以计算出A ,B 两点的距离为________m.答案502解析由正弦定理得AB sin ∠ACB=ACsin B ,又B =30°,∴AB =AC sin ∠ACBsin B=50×2212=502(m).3.如图,在山脚A 测得山顶P 的仰角为30°,沿倾斜角为15°的斜坡向上走a 米到B ,在B处测得山顶P 的仰角为60°,则山高h =______米.答案22a 解析由题图可得∠PAQ =α=30°,∠BAQ =β=15°,在△PAB 中,∠PAB =α-β=15°,又∠PBC =γ=60°,∴∠BPA =(90°-α)-(90°-γ)=γ-α=30°,∴在△PAB 中,a sin 30°=PBsin 15°,∴PB =6-22a ,∴PQ =PC +CQ =PB ·sin γ+a sin β=6-22a ×sin 60°+a sin 15°=22.题组三易错自纠4.要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度,在C 点测得塔顶A 的仰角是45°,在D 点测得塔顶A 的仰角30°,并测得水平面上的∠BCD =120°,CD =40m ,则电视塔的高度为()A .102mB .20mC .203mD .40m答案D解析设电视塔的高度为x m ,则BC =x ,BD =3x .在△BCD 中,由余弦定理得3x 2=x 2+402-2×40x ×cos 120°,即x 2-20x -800=0,解得x =-20(舍去)或x =40.故电视塔的高度为40m.5.在某次测量中,在A 处测得同一半平面方向的B 点的仰角是60°,C 点的俯角是70°,则∠BAC =________.答案130°解析60°+70°=130°.6.海上有A ,B ,C 三个小岛,A ,B 相距53海里,从A 岛望C 和B 成45°视角,从B 岛望C 和A 成75°视角,则B ,C 两岛间的距离是________海里.答案52解析由题意可知∠ACB =60°,由正弦定理得AB sin ∠ACB =BC sin ∠BAC ,即53sin 60°=BCsin 45°,得BC =52.题型一测量距离问题1.(2018·长春检测)江岸边有一炮台高30m ,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距____m.答案103解析如图,OM =AO tan 45°=30(m),ON =AO tan 30°=33×30=103(m),在△MON 中,由余弦定理得MN =900+300-2×30×103×32=300=103(m).2.如图,A ,B 两点在河的同侧,且A ,B 两点均不可到达,要测出A ,B 的距离,测量者可以在河岸边选定两点C ,D ,若测得CD =32km ,∠ADB =∠CDB =30°,∠ACD =60°,∠ACB =45°,则A ,B 两点间的距离为________km.答案64解析∵∠ADC =∠ADB +∠CDB =60°,∠ACD =60°,∴∠DAC =60°,∴AC =DC =32km.在△BCD 中,∠DBC =45°,由正弦定理,得BC =DC sin ∠DBC ·sin ∠BDC =32sin 45°·sin 30°=64(km).在△ABC 中,由余弦定理,得AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC cos 45°=34+38-2×32×64×22=38.∴AB =64km.∴A ,B 两点间的距离为64km.3.如图,为了测量两座山峰上P ,Q 两点之间的距离,选择山坡上一段长度为3003m 且和P ,Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点作为观测点,现测得∠PAB =90°,∠PAQ =∠PBA =∠PBQ =60°,则P ,Q 两点间的距离为________m.答案900解析由已知,得∠QAB =∠PAB -∠PAQ =30°.又∠PBA =∠PBQ =60°,∴∠AQB =30°,∴AB =BQ .又PB 为公共边,∴△PAB ≌△PQB ,∴PQ =PA .在Rt △PAB 中,AP =AB ·tan 60°=900,故PQ =900,∴P ,Q 两点间的距离为900m.思维升华求距离问题的两个策略(1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.题型二测量高度问题例1(2018·福州测试)如图,小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在A 处测得公路上B ,C 两点的俯角分别为30°,45°,且∠BAC =135°,若山高AD =100m ,汽车从B 点到C 点历时14s ,则这辆汽车的速度约为________m/s.(精确到0.1,参考数据:2≈1.414,5≈2.236)答案22.6解析因为小明在A 处测得公路上B ,C 两点的俯角分别为30°,45°,所以∠BAD =60°,∠CAD =45°,设这辆汽车的速度为v m/s ,则BC =14v ,在Rt △ADB 中,AB =ADcos ∠BAD =AD cos 60°=200.在Rt △ADC 中,AC =AD cos ∠CAD =100cos 45°=100 2.在△ABC 中,由余弦定理,得BC 2=AC 2+AB 2-2AC ·AB ·cos ∠BAC ,所以(14v )2=(1002)2+2002-2×1002×200×cos 135°,所以v =50107≈22.6,所以这辆汽车的速度约为22.6m/s.思维升华(1)高度也是两点之间的距离,其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的,基本思想是把要求的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中.(2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错.跟踪训练1如图所示,在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α,在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ,则山高CD =____________.答案h cos αsin βsin (α-β)解析由已知得∠BCA =90°+β,∠ABC =90°-α,∠BAC =α-β,∠CAD =β.在△ABC 中,由正弦定理得AC sin ∠ABC =BCsin ∠BAC,即AC sin (90°-α)=BC sin (α-β),∴AC =BC cos αsin (α-β)=h cos αsin (α-β).在Rt △ACD 中,CD =AC sin ∠CAD =AC sin β=h cos αsin βsin (α-β).故山高CD 为h cos αsin βsin (α-β).题型三角度问题例2如图所示,一艘巡逻船由南向北行驶,在A 处测得山顶P 在北偏东15°(∠BAC =15°)的方向,匀速向北航行20分钟后到达B 处,测得山顶P 位于北偏东60°的方向,此时测得山顶P 的仰角为60°,已知山高为23千米.(1)船的航行速度是每小时多少千米?(2)若该船继续航行10分钟到达D 处,问此时山顶位于D 处南偏东多少度的方向?解(1)在△BCP 中,由tan ∠PBC =PCBC,得BC =PCtan ∠PBC =2,在△ABC 中,由正弦定理得BC sin ∠BAC =AB sin ∠BCA,即2sin 15°=ABsin 45°,所以AB =2(3+1),故船的航行速度是每小时6(3+1)千米.(2)在△BCD 中,BD =3+1,BC =2,∠CBD =60°,则由余弦定理得CD =6,在△BCD 中,由正弦定理得CD sin ∠DBC =BCsin ∠CDB,即6sin 60°=2sin ∠CDB ,所以sin ∠CDB =22,所以,山顶位于D 处南偏东45°的方向.思维升华解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角和方向角的含义.(2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键、最重要的一步.(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.跟踪训练2如图所示,已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等,灯塔A 在观察站C 的北偏东40°的方向上,灯塔B 在观察站C 的南偏东60°的方向上,则灯塔A 在灯塔B 的______的方向上.答案北偏西10°解析由已知得∠ACB =180°-40°-60°=80°,又AC =BC ,∴∠A =∠ABC =50°,60°-50°=10°,∴灯塔A 位于灯塔B 的北偏西10°的方向上.1.(2018·武汉调研)已知A ,B 两地间的距离为10km ,B ,C 两地间的距离为20km ,现测得∠ABC =120°,则A ,C 两地间的距离为()A .10kmB .103kmC .105kmD .107km答案D解析如图所示,由余弦定理可得AC 2=100+400-2×10×20×cos 120°=700,∴AC =107.2.如图所示,在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100m 到达B 处,又测得C 对于山坡的斜度为45°,若CD =50m ,山坡对于地平面的坡度为θ,则cos θ等于()A.32B.22C.3-1D.2-1答案C解析在△ABC 中,由正弦定理得AB sin 30°=ACsin 135°,∴AC =100 2.在△ADC 中,AC sin (θ+90°)=CDsin 15°,∴cos θ=sin(θ+90°)=AC ·sin 15°CD=3-1.3.一艘海轮从A 处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B 处,在C 处有一座灯塔,海轮在A 处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B 处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B ,C 两点间的距离是()A .102海里B .103海里C .203海里D .202海里答案A解析如图所示,易知,在△ABC 中,AB =20,∠CAB =30°,∠ACB =45°,根据正弦定理得BC sin 30°=ABsin 45°,解得BC =10 2.4.如图,两座相距60m 的建筑物AB ,CD 的高度分别为20m ,50m ,BD 为水平面,则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为()A .30°B .45°C .60°D .75°答案B解析依题意可得AD =2010,AC =305,又CD =50,所以在△ACD 中,由余弦定理得cos ∠CAD =AC 2+AD 2-CD 22AC ·AD =(305)2+(2010)2-5022×305×2010=600060002=22,又0°<∠CAD <180°,所以∠CAD =45°,所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.5.(2018·郑州质检)如图所示,测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ,测得∠BCD =15°,∠BDC =30°,CD =30,并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°,则塔高AB 等于()A .56B .153C .52D .156答案D解析在△BCD 中,∠CBD =180°-15°-30°=135°.由正弦定理得BC sin 30°=CDsin 135°,所以BC =15 2.在Rt △ABC 中,AB =BC tan ∠ACB =152×3=15 6.故选D.6.(2018·广州模拟)如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m ,则河流的宽度BC 等于()A .240(3+1)mB .180(2-1)mC .120(3-1)mD .30(3+1)m答案C解析如图,∠ACD =30°,∠ABD =75°,AD =60m ,在Rt △ACD 中,CD =AD tan ∠ACD =60tan 30°=603(m),在Rt △ABD 中,BD =AD tan ∠ABD =60tan 75°=602+3=60(2-3)m ,∴BC =CD -BD =603-60(2-3)=120(3-1)m.7.(2018·哈尔滨模拟)如图,某工程中要将一长为100m ,倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡,并保持坡高不变,则坡底需加长________m.答案1002解析设坡底需加长x m ,由正弦定理得100sin 30°=xsin 45°,解得x =100 2.8.如图所示,位于A 处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援,则cos θ的值为________.答案2114解析在△ABC 中,AB =40,AC =20,∠BAC =120°,由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos 120°=2800,得BC =207.由正弦定理,得AB sin ∠ACB =BC sin ∠BAC,即sin ∠ACB =AB BC ·sin ∠BAC =217.由∠BAC =120°,知∠ACB 为锐角,则cos ∠ACB =277.由θ=∠ACB +30°,得cos θ=cos(∠ACB +30°)=cos ∠ACB cos 30°-sin ∠ACB sin 30°=2114.9.(2018·青岛模拟)一船向正北航行,看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的速度是每小时________海里.答案10解析如图所示,依题意有∠BAC =60°,∠BAD =75°,所以∠CAD =∠CDA =15°,从而CD =CA =10,在Rt △ABC 中,得AB =5,于是这艘船的速度是50.5=10(海里/时).10.(2018·泉州质检)如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ,C 是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟,从D 沿DC 走到C 用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为______米.答案507解析如图,连接OC ,在△OCD 中,OD =100,CD =150,∠CDO =60°.由余弦定理得OC 2=1002+1502-2×100×150×cos 60°=17500,解得OC =507.11.如图,在山底A 点处测得山顶仰角∠CAB =45°,沿倾斜角为30°的斜坡走1000米至S 点,又测得山顶仰角∠DSB =75°,则山高BC 为______米.答案1000解析由题图知∠BAS =45°-30°=15°,∠ABS =45°-(90°-∠DSB )=30°,∴∠ASB =135°,在△ABS 中,由正弦定理可得1000sin 30°=AB sin 135°,∴AB =10002,∴BC =AB 2=1000.12.如图,渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处,且与岛屿A 相距12海里,渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上.(1)求渔船甲的速度;(2)求sin α的值.解(1)依题意知,∠BAC =120°,AB =12,AC =10×2=20,∠BCA =α.在△ABC 中,由余弦定理,得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos ∠BAC=122+202-2×12×20×cos 120°=784,解得BC =28.所以渔船甲的速度为BC 2=14(海里/时).(2)在△ABC 中,因为AB =12,∠BAC =120°,BC =28,∠BCA =α,由正弦定理,得AB sin α=BC sin 120°,即sin α=AB sin 120°BC =12×3228=3314.13.如图,在水平地面上有两座直立的相距60m 的铁塔AA 1和BB 1.已知从塔AA 1的底部看塔BB 1顶部的仰角是从塔BB 1的底部看塔AA 1顶部的仰角的2倍,从两塔底部连线中点C 分别看两塔顶部的仰角互为余角,则从塔BB 1的底部看塔AA 1顶部的仰角的正切值为________;塔BB 1的高为________m.答案1345解析设从塔BB 1的底部看塔AA 1顶部的仰角为α,则AA 1=60tan α,BB 1=60tan 2α.∵从两塔底部连线中点C 分别看两塔顶部的仰角互为余角,∴△A 1AC ∽△CBB 1,∴AA 130=30BB 1,∴AA 1·BB 1=900,∴3600tan αtan 2α=900,∴tan α=13,tan 2α=34,则BB 1=60tan 2α=45.14.如图,据气象部门预报,在距离某码头南偏东45°方向600km 处的热带风暴中心正以20km/h 的速度向正北方向移动,距风暴中心450km 以内的地区都将受到影响,求该码头将受到热带风暴影响的时间.解记现在热带风暴中心的位置为点A ,t 小时后热带风暴中心到达B 点位置,在△OAB 中,OA =600,AB =20t ,∠OAB =45°,根据余弦定理得OB 2=6002+400t 2-2×600×20t ×22,令OB 2≤4502,即4t 2-1202t +1575≤0,解得302-152≤t ≤302+152,所以该码头将受到热带风暴影响的时间为302+152-302-152=15(h).15.某舰艇在A 处测得一艘遇险渔船在其北偏东40°的方向距离A 处10海里的C 处,此时得知,该渔船正沿南偏东80°的方向以每小时9海里的速度向一小岛靠近,若舰艇的时速为21海里,求舰艇追上渔船的最短时间.解如图所示,设舰艇追上渔船的最短时间是t 小时,经过t 小时渔船到达B 处,则舰艇也在此时到达B 处.在△ABC 中,∠ACB =40°+80°=120°,CA =10,CB =9t ,AB =21t ,由余弦定理得(21t )2=102+(9t )2-2×10×9t ×cos 120°,即36t 2-9t -10=0,解得t =23或t =-512(舍).所以=23.16.如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C ,现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50m /min.在甲出发2min 后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留1min 后,再匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min ,山路AC 长为1260m ,经测量得cos A =1213,sin B =6365.(1)问乙出发多少min 后,乙在缆车上与甲的距离最短?(2)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ,乙步行的速度应控制在什么范围内?解(1)∵cos A =1213,sin B =6365,∴sin A =513,cos B =-1665,∴sin C =sin(A +B )=45,在△ABC 中,由正弦定理AC sin B =AB sin C,得AB =1040m ,设乙出发t min 后,甲、乙距离为d ,由余弦定理得d 2=(130t )2+(100+50t )2-2×130t ×(100+50t )×1213,即d 2=200(37t 2-70t +50)=20037+62537.∵0≤t ≤1040130,即0≤t ≤8,∴当t =3537时,即乙出发3537min 后,乙在缆车上与甲的距离最短.(2)∵sin A =513,∴由正弦定理,得BC sin A =AC sin B ,即BC 513=12606365,∴BC =500m.乙从B 出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710m 才能到达C .设乙的步行速度为v m/min ,则|500v-71050|≤3,故-3≤500v -71050≤3,解得125043≤v ≤62514.故为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ,乙步行的速度应控制在125043,62514范围内.。

三角函数、解三角形高考常见题型解题思路及知识点总结

三角函数、解三角形高考常见题型解题思路及知识点总结

三角函数、解三角形高考常见题型解题思路及知识点总结一、解题思路(一)解题思路思维导图(二)常见题型1.三角恒等变换已知正切值求正弦、余弦齐次式值问题 典例1:(2016年3卷)若tan 4α= ,则2cos 2sin 2αα+=( ) (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】2cos 2sin 2αα+=25641tan tan 41cos sin cos sin 4cos 2222=++=++ααααααα故选A .2.三角恒等变换给值求值问题典例2:(2016年2卷9)若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 2α=( )(A )725(B )15(C )15-(D )725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选D .3.图象法求三角函数()ϕω+=x A y sin ()00>>ω,A 性质 典例3:(2017年3卷6)设函数()cos()3f x x =+,则下列结论错误的是()A .()f x 的一个周期为2π-B .()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C .()f x π+的一个零点为π6x =D .()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到,如图可知, ()f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上先递减后递增,D 选项错误,故选D.4.复合函数法求三角函数()ϕω+=x A y sin ()00>>ω,A 性质π5.求三角函数()B x A y ++=ϕωsin ⎪⎭⎫⎝⎛<>>2,00πϕω,A 解析式 典例4:(2015年1卷8)函数=的部分图像如图所示,则的单调递减区间为( )(A )(B ) (C ) (D )【解析】由五点作图知,,解得,,所以,令,解得<<,,故单调减区间为(,),,故选D. 考点:三角函数图像与性质6.三角函数图象的平移与伸缩变换 典例5:(2017年1卷9)已知曲线C 1:y =cos x ,C 2:y =sin (2x +),则下面结论正确的是 A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C 2B .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C 2()f x cos()x ωϕ+()f x 13(,),44k k k Z ππ-+∈13(2,2),44k k k Z ππ-+∈13(,),44k k k Z -+∈13(2,2),44k k k Z -+∈1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩=ωπ=4πϕ()cos()4f x x ππ=+22,4k x k k Z πππππ<+<+∈124k -x 324k +k Z ∈124k -324k +k Z ∈3π6π12写性质 根据解出x 的值或范围写出函数对称轴、对称中心、单调区间、最值等性质解题思路及步骤 注意事项求A 和B ()max min 12y y A =-,()max min 12y y B =+, 求ω 先求周期T ,再由求ωπ2=T 求ω 求ϕ代入已知点坐标,根据ϕ的具体范围求出ϕ,一般代入最值点,若代入与B y =的交点,注意区分是在增区间还是减区间上 求解析式写出解析式解题思路及步骤 注意事项写出变换法则 把变换前的函数看成抽象函数()x f y =,根据变换法则写出变换后的抽象函数 代入表达式根据原函数解析式写出变换后的解析式,例如:()x f y ==⎪⎭⎫⎝⎛+62sin 3πx 向右平移4π个单位后得函数⎪⎭⎫⎝⎛-=4πx f y =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-32sin 3642sin 3πππx x ,其他变换都按这个方法确定变换后解析式C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C 2D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C 2【解析】先变周期:先变相位:选D .7.解三角形知一求一问题8.解三角形知三求一问题典例6:(2017年2卷17)的内角的对边分别为,已知. (1)求;(2)若,的面积为2,求解析:(1)依题得.因为, 所以,所以,得(舍去)或12π612π122cos sin sin 2sin 2sin 2223122y x x y x y x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⇒=+⇒=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22cos sin sin sin sin 222633y x x y x x y x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⇒=++=+⇒=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ABC △,,A B C ,,a b c ()2sin 8sin 2B AC +=cos B 6a c +=ABC △.b 21cos sin 8sin 84(1cos )22B B B B -==⋅=-22sin cos 1B B +=2216(1cos )cos 1B B -+=(17cos 15)(cos 1)0B B --=cos 1B =(2)由∵可知,因为,所以,即,得.因为,所以,即,从而,即,解得.9.解三角形知二求最值(或范围)问题典例7:(2013年2卷17)∵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.(1)求B.(2)若b=2,求∵ABC面积的最大值.【解析】(1)因为a=bcosC+csinB,所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB,所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,即cosBsinC=sinCsinB,因为sinC≠0,所以tanB=1,解得B=.4π(2)由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos4π,即4=a2+c2ac,由不等式得a2+c2≥2ac,当且仅当a=c时,取等号,所以4≥(2)ac,解得,所以∵ABC的面积为12acsin4π≤4+1.所以∵ABC +1.典例8:(2011年1卷16)在中,的最大值为.令AB c=,BC a=,则由正弦定理得【解析】2,sin sin sina c ACA C B====2sin,2sin,c C a A∴==且120A C+=︒,222sin4sinAB BC c a C A∴+=+=+2sin4sin(120)C C=+︒-=2sin C+14(cos sin)4sin22C C C C+=++)Cϕ=(其中tan2ϕ=∴当90Cϕ+=︒时,2AB BC+取最大值为8sin17B=2ABCS=△1sin22ac B⋅=182217ac⋅=172ac=15cos17B=22215217a c bac+-=22215a c b+-=22()215a c ac b+--=2361715b--=2b=ABC60,B AC==2AB BC+二、知识点总结 (一)知识点思维导图(二)常用定理、公式及其变形1.同角三角函数关系:()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-;()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭.2.诱导公式:对于角α±π2k 与角α的三角函数关系“奇变偶不变,符号看象限”,这句话是对变化前的函数和角来说的. 例如在三角形,∵,∴A B C A B C ++=+=-ππ3.两角和与差公式:sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.4.二倍角公式: (1)升幂公式:sin 2sin cos ααα=,2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-,22tan tan 21tan ααα=-(2)降幂公式:221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==5.辅助角公式:sin cos a b αα+=22sin()a b αϕ++(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决 定,tan b aϕ=).6.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:7.函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质: 振幅:A ,周期:2πωT =,频率:12f ωπ==T ,相位:x ωϕ+,初相:ϕ.sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时,max 1y =;当22x k ππ=-()k ∈Z 时,min 1y =-.当()2x k k π=∈Z 时,max 1y =;当2x k ππ=+()k ∈Z 时,min 1y =-.既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是增函数;在 32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数.在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数;在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数.在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ()k ∈Z 上是增函数.对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴函 数性 质8.函数x y sin =变换到函数()ϕω+=x A y sin 的两种途径 ∵的图象上所有点向左(右)平移ϕ个单位长度,得到函数()sin y x ϕ=+的图象;再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的1ω倍(纵坐标不变),得到函数()sin y x ωϕ=+的图象;再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的A 倍(横坐标不变),得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象.∵数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的1ω倍(纵坐标不变),得到函数sin y x ω=的图象;再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左(右)平移ϕω个单位长度,得到函数()sin y x ωϕ=+的图象;再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的A 倍(横坐标不变),得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象.9.正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C ===;化边变形:sin 2a R A =,sin 2bR B =,sin 2c C R=; 化角变形:2sin a R =A ,2sin b R =B ,2sin c R C =;比例关系:::sin :sin :sin a b c C =A B .10.余弦定理2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.边角互化变形:222cos 2b c a bc+-A =,ac b c a B 2cos 222-+=,ab c b a C 2cos 222-+=11.面积公式:(1)111222a b c S ah bh ch ===(a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高). (2)111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)()c b a r S ++=21(r 为三角形内切圆半径)。

高三数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形第一节 三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式课

高三数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形第一节 三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式课
=tanα.
4.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α,π±α 的正弦、 余弦、正切的诱导公式.
h
3
•关 注 热 点
•1.三角函数的定义及应用是本节考查重点,注 意三角函数值符号的确定.
•2.同角三角函数关系式常用来化简、求值,是 高考热点.
•3.利用诱导公式求值或化简三角函数式是考查 重点.
•4.主要以选择题、填空题的形式考查.
-α)=
-.tanα
•(5)公式五
cosα,tan( -c,osαtan(π
sin(π2-α)= cosα ,cos(2π-α)= sinα .
h
11
(6)公式六 sin(π2+α)= cosα ,cos(2π+α)= -sinα .
即 α+k·2π(k∈Z),-α,π±α 的三角函数值,等于 α 的 同名 函 数值,前面加上一个把 α 看成 锐角 时原函数值的符号;π2±α 的 正弦(余弦)函数值,分别等于 α 的 余弦(正弦) 函数值,前面 加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号.
∴-sinα=-2cosα.
∴sinα=2cosα,即 tanα=2.
(1)原式=5ttaannαα-+42=5×2-2+4 2=-16.
h
32
(2)原式=sin2α+2sinαcosα=sins2iαn+2α+2sicnoαsc2αosα =tanta2αn+2α+2ta1nα=85.
h
33
化简ssiinn[kkπ+-1απc+osα[]kc-os1kππ- +αα](k∈Z).
终边在 y 轴上的角的集合为{α|α=kπ+π2,k∈Z};
终边在坐标轴上的角的集合为{α|α=k2π,k∈Z}.
h
14

2022年高考数学二轮复习专题二三角函数、解三角形 第1讲三角函数的图象与性质

2022年高考数学二轮复习专题二三角函数、解三角形 第1讲三角函数的图象与性质

4
π
+
4
π
x的图象向左平移 个单位,得到的图象的函数解析
4
π
B.y=sin x-
4
π
D.y=sin x+
4
答案:C
π
π
解析:函数y=sin x的图象向左平移 个单位,得到y=sin (x+ )的图象.
4
4
故选C.
2.要得到函数y=cos
(
)
π
A.向右平移
6
π
C.向右平移
18
3x −
π
6
的图象,只需将y=cos 3x的图象
4
答案:A
解析:f x =sin
故选A.
1
1
x+cos x=
3
3
2cos
1
x
3
π

4
= 2cos
1
3
x


4
.
2.[2021·山东潍坊学情调研]将函数f(x)=sin 2x +
移a(a>0)个单位得到函数g(x)=cos
(
)

A.
12

B.
12
2x
π
+
4
41π
D.
24
答案:C
解析:由题意知,g(x)=cos 2x
4
π
D.向右平移 个单位长度
12
3.设函数f x =sin ωx −
π
4
f 2 =0.则f x 的最小正周期为(
16
A.
9
1
C.
8
答案:A
B.16
9

2023新教材高考数学二轮专题复习:三角函数与解三角形课件

2023新教材高考数学二轮专题复习:三角函数与解三角形课件

技法领悟
1.若涉及已知条件中含边长之间的关系,且与面积有关的最值问题, 一般利用S=12ab sinC型面积公式及基本不等式求解.
2.若求与三角形边长有关的表达式的最值或取值范围时,一般把边
用三角形的一个角表示,利用角的范围求解.
巩固训练1 1.[2022·河北沧州二模]在△ABC中;内角A,B,C的对边分别为a, b,c,已知b(2sin A- 3cos A)=a sin B. (1)求A;
2,则sin B= 22且π>B>0,可得B=π4或B=34π,
(2)若a=2,求△ABC的面积.
解析:由题设,a=2,则b= 3,又B=π4,
所以cos B=a2+c2−b2=1+c2= 2,整理得c2-2 2c+1=0,解得c= 2±1,满足
2ac
4c 2
题设.
由S△ABC=12ac sin B= 22c, 所以,当c= 2+1时S△ABC=1+ 22;当c= 2-1时S△ABC=1- 22.
(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度,再把各点的横坐标缩小 为原来的12(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,当x∈[-1π2,π6]时, 求函数g(x)的值域.
解析:将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度,可得y=2sin (2x-π3)的图象. 再把横坐标缩小为原来的12,得到函数y=g(x)=2sin (4x-π3)的图象. 当当当x44∈xx--[-ππ33==1π2-π3,时π2时,π6]时,函,函数4数gx(-xg)(取π3x∈)取得[-得最2最大3π 小值,值,π3],最,最 大小值值为为3-,2, 故函数g(x)的值域为[-2, 3].
1.已知函数f(x)= 称轴间的距离为π2.

二轮专题复习(二):三角函数与解三角形

二轮专题复习(二):三角函数与解三角形

二轮专题复习(二):三角函数与解三角形•应知已会——熟练 •会而不对——巩固 •对而不全——强化 •全而不优——指导三角函数二轮复习的目标和方向(1)注重任意角三角函数的定义,深化公式的理解记忆 (2)二倍角公式和两角和差公式是化简的核心工具 (3)三角函数的图象与性质是核心(4)解三角形问题要充分利用正、余弦定理以及两角和与差的三角公式 典型例题:一.三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换例1.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线2y x =上,则cos2θ=( )A .45-B .35-C .35D .45变式1.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点(1,)A a ,(2,)B b ,且2cos23α=,则||(a b -= )A .15B CD .1变式2.已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点34(,)55P --.(1)求sin()απ+的值; (2)若角β满足5sin()13αβ+=,求cos β的值.例2.若角α的终边在第二象限,则下列三角函数值中大于零的是( )(A )πsin()2α+ (B )πcos()2α+(C )sin(π)α+ (D )cos(π)α+变式1.若tan 0α>,则( )A. sin 20α>B. cos 0α>C. sin 0α>D. cos20α>例3.已知α∈(0,),2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=( )A . BCD变式1.若 ,则( ) A .B .C .1D . 变式2.若,则tan2α=( ) A .−B .C .−D . 变式3.已知,则( ) A .B .C .D .变式4.设(0,)2πα∈,(0,)2πβ∈,且1sin tan cos βαβ+=,则( ) A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=变式5.已知sin cos 1αβ+=,cos sin 0αβ+=,则sin()αβ+= . 变式6. 已知4sin cos 3αα-=,则sin 2α=_________ 二. 三角函数的图象与性质例 1.动点(),A x y 在圆422=+y x 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周,已知时间0t =时,点A 的坐标是)3,1(,则动点A 的纵坐标y 关于t (秒)的函数的解析式为 .例2.若()cos sin =-f x x x 在[,]-a a 是减函数,则a 的最大值是( )A .π4B .π2C .3π4D .π变式1. 已知0>ω,函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减,则ω的取值范围是( ) 2π155353tan 4α=2cos 2sin 2αα+=642548251625sin cos 1sin cos 2αααα+=-34344343210cos 2sin ,=+∈αααR =α2tan 344343-34-A .]45,21[B .]43,21[C .]21,0(D .]2,0(变式2.函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示,则()f x 的单调递减区间为( ).A .13(,)44k k ππ-+,k Z ∈ B .13(2,2)44k k ππ-+,k Z ∈ C .13(,)44k k -+,k Z ∈ D .13(2,2)44k k -+,k Z ∈ 变式3.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+,其中ϕ为实数,若()()6f x f π≤对x R ∈ 恒成立,且()()2f f ππ>,则()f x 的单调递增区间是_________________ 例3.函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的最小值为 ______ . 变式1.若x ∈(0,)则2tanx+tan(-x)的最小值为 . 变式2.若,则函数的最大值为 .变式3. 函数xxy cos 3sin 1--=的值域___________.变式4.当时,函数的最小值为__________.例4.函数图像可由函数图像至少向右平移____个单位长度得到.变式1.函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移则ϕ=_________。

三角函数与解三角形复习指津

三角函数与解三角形复习指津

随笔三角函数与解三角形复习指津黄诚摘要:高中数学主要考察了学生的逻辑思维能力。

其中主要包括了几何部分和代数部分。

数学的学习过程其实就是解题方法的灵活掌握。

因为高中数学更加灵活,所以教师也要学会去找合适的方法进行教学。

三角函数和解三角形部分是高中数学的重点和难点,考察了学生多方面的能力,还需要学生有数学思维。

三角函数的复习主要是掌握题型,理解公式的含义,最后灵活运用到解题之中。

关键词:三角函数;解三角形;复习方法对于正处于高考复习阶段的高三学子而言,三角函数和解三角形是必须拿下的基础题目,因为高考的第一道大题往往是解三角形或者数列题目。

相对简单也容易拿分,但是拿分的前提是让学生掌握好解三角形的基础,而且有写题的思路。

本文将对如何进行三角函数和解三角形复习来做进一步探究。

一、分题型进行解三角形类题目讲解数学学科最大的特点就是有一定的规律性和逻辑性,这也就意味着教师可以把类似的题目结合到一起进行教学。

而且关于三角形,学生想要灵活掌握公式,就要了解不同情况下如何使用共识。

当学生达到一定水平的时候,可以让学生进一步探讨解题的高级思路,比如怎么样计算更加简便。

学生可以在不同题型的训练中,找到公式灵活运用的关键点。

以人教版高中数学教材为例,在必修四中第一章的内容为三角函数,其实也就是利用诱导公式等三角函数公式来实现正弦、余弦、正切之间的转换,也就是三角函数的恒等变换,也经常需要学生结合图像来解题。

教师可以根据众多高考题或者典型例题来为学生布置作业。

比如先根据基础来布置,可以选择只是需要学生利用诱导公式就可以解决的题目,然后再上升到需要学生进行转换的题目。

很多三角函数的题目都可以用多种公式,但是根据所给的条件,总会有更优解法,所以这更考验一个学生有没有彻底的理解公式的含义,最后能灵活的运用。

分类型学习就是让学生体会不同情景下,不同公式的使用方法。

通过真实体验来提高复习效果。

二、复习时强调数形结合的重要性三角函数虽然更加基础,但是也会有比较男的知识点。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
复 习 有 方 法 板块回 扣三角 函数与 解三角 形
5.三种三角函数的性质 y=sin x
y=cos x
图象
定义域 值域
R [-1,1]
R [-1,1]
y=tan x
x x≠π2+kπ,k∈Z R
复 习 有 方 法 板块回 扣三角 函数与 解三角 形
零点 最小正
周期
{x|x=kπ,k∈Z} 2π
复 习 有 方 法 板块回 扣三角 函数与 解三角 形
复 习 有 方 法 板块回 扣三角 函数与 解三角 形
方法一
方法二
复 习 有 方 法 板块回 扣三角 函数与 解三角 形
复 习 有 方 法 板块回 扣三角 函数与 解三角 形
7.正弦定理及其变形
a sin
A=sinb
B=sinc
C=2R(2R为△ABC外接圆的直径).
变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.
sin A=2aR,sin B=B∶sin C.
复 习 有 方 法 板块回 扣三角 函数与 解三角 形
复 习 有 方 法 板块回 扣三角 函数与 解三角 形
8.余弦定理及其推论、变形
[2kπ,π+ 2kπ](k∈Z)
-π2+kπ,π2+kπ (k∈Z)
复 习 有 方 法 板块回 扣三角 函数与 解三角 形
复 习 有 方 法 板块回 扣三角 函数与 解三角 形

对称 轴
x=π2+kπ(k∈Z)
x=kπ(k∈Z)

对称

(kπ,0)(k∈Z)
中心
π2+kπ,0(k∈Z)
k2π,0(k∈Z)
=1t-antαan+αttaannββα≠kπ+π2,k∈Z,β≠kπ+π2,k∈Z,α+β≠kπ+π2,k∈Z,
复 习 有 方 法 板块回 扣三角 函数与 解三角 形
tan(α-β)=1t+antaαn-αtatannββα≠kπ+π2,k∈Z,β≠kπ+π2,k∈Z,α-β≠kπ+2π,k∈Z,
【易错提醒】 求函数f(x)=Asin(ωx+φ)的单调区间时,要注意 A与ω的符号,当ω<0时,需把ω的符号化为正值后求解.
复 习 有 方 法 板块回 扣三角 函数与 解三角 形
复 习 有 方 法 板块回 扣三角 函数与 解三角 形
6.函数 y=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0)的图象 (1)“五点法”作图 设 z=ωx+φ,令 z=0,π2,π,32π,2π,求出相应的 x 的值与 y 的值,描点、连线可得. (2)由三角函数的图象确定解析式时,一般利用五点中的零点或 最值点作为解题突破口. (3)由函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) 的图象的两种方法
x x=π2+kπ,k∈Z {x|x=kπ,k∈Z}

π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
复 习 有 方 法 板块回 扣三角 函数与 解三角 形
复 习 有 方 法 板块回 扣三角 函数与 解三角 形
增 区
-π2+2kπ,2π+2kπ
单 间
(k∈Z)


减 区
π2+2kπ,32π+2kπ

(k∈Z)
[-π+2kπ, 2kπ](k∈Z)

a2+b2
a a2+b2cos
x+
b a2+b2sin
x,
令sin θ= a2a+b2,cos θ= a2b+b2,
∴acos x+bsin x= a2+b2sin(x+θ),
其中θ为辅助角,tan θ=ab.
复 习 有 方 法 板块回 扣三角 函数与 解三角 形
(3)降幂公式 ①sin2α=1-c2os 2α;②cos2α=1+c2os 2α; ③sin αcos α=12sin 2α.
2.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1⇒sin α=± 1-cos2 α.
(2)商的关系:csoins αα=tan αα≠kπ+2π,k∈Z. 3.三角函数的诱导公式
对于“
kπ 2
±α,k∈Z”的三角函数值与α角的三角函数值的关系
口诀:奇变偶不变,符号看象限.
4.三角函数恒等变换 (1)cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β, cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β, sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β, sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β, tan(α+β)
1
2
3
4
5
6
78
[保温训练]
1.已知sinα+π6=13,则sinπ6-2α=(
)
A.89 B.-89 C.79 D.-79
C [sinπ6-2α=sinπ2-2α+3π=cos2α+π3 =1-2sin2α+π6=1-29=79.故选C.]
=2abcos C.
复 习 有 方 法 板块回 扣三角 函数与 解三角 形
复 习 有 方 法 板块回 扣三角 函数与 解三角 形
9.面积公式
S△ABC=12bcsin A=12acsin B=12absin C.
复 习 有 方 法 板块回 扣三角 函数与 解三角 形
复 习 有 方 法 板块回 扣三角 函数与 解三角 形
复习有方法
板块三 高考必备基础知识回扣 回扣4 三角函数与解三角形
数学理
[回归教材] 1.利用单位圆定义任意角的三角函数 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么: (1)y叫做α的正弦,记作sin α,即sin α=y. (2)x叫做α的余弦,记作cos α,即cos α=x. (3)yx叫做α的正切,记作tan α,即tan α=yx(x≠0).
sin 2α=2sin αcos α, cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,
tan 2α=1-2tatnanα2αα≠kπ+π2,k∈Z,2α≠kπ+π2,k∈Z,α≠kπ±π4,k∈Z.
复 习 有 方 法 板块回 扣三角 函数与 解三角 形
(2)辅助角公式
acos x+bsin x
a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-
2abcos C.
推论:cos
A=
b2+c2-a2 2bc
,cos
B=
a2+c2-b2 2ac
,cos
C=
a2+b2-c2 2ab .
变形:b2+c2-a2=2bccos A,a2+c2-b2=2accos B,a2+b2-c2
相关文档
最新文档