高三数学二轮复习阶段性综合检测(七)

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高考数学二轮复习综合试卷- 附参考答案

高考数学二轮复习综合试卷(一)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设{}{}=⋂+==∈==B A x y y x B R x x y y A 则,2|),(,,|2 ▲ 2．复数2lg(3)(221)()x x z x i x R -=+-+-∈在复平面内对应的点位于第 ▲ 象限第3组的频率为 ▲4．自然数列按如右图规律排列，若数2006在第m 行第n 个数，则=mn▲ 5．把函数4cos()3y x π=++1的图象向左平移ϕ个单位，所得的图象对应的函数为偶函数，则ϕ的最小正值为 ▲6．从编号为1、2、3、4、5、6的六名运动员中选四名运动员参加1500米中长跑比赛，其中3号运动员参加比赛的概率是 ▲7．小聪准备购买一台价值6000元的电脑,但现款不够,商店允许分期付款,即在1年内分12次付款(购买时第一次付款,购买后每满1个月付款一次),每次付款数目相同,若月利率为0.8%,按复利计算,则每次应该付款 ▲8．椭圆2212516x y +=的左、右焦点分别为F 1,F 2 ,弦AB 过F 1 ，若△ABF 2的内切圆周长为π，A,B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，则| y 2－y 1|的值为 ▲ 9．如右图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +等于 ▲10．用棱长为a的正方体形纸箱放一棱长为1的正四面体形零件，使其能完全放入纸箱内，则此纸箱容积的最小值为 ▲11．已知数列{n a }的通项公式上b an a n +=（a 、b 为常数），其前n 项和为n S ，若平面上的三个不共线的向量,,满足OB a OA a OC ⋅+⋅=20071，且A 、B 、C 三点共线，则S 2007= ▲12．观察下列程序，该循环变量I 共循环了 ▲ 次13．学号分别为1、2、3、4、5的五个学生在计算机机房操作编号分别为1、2、3、4、5的计算机。

高三数学第二轮复习质量检测考试试题含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学第二轮复习质量检测考试试题〔含解析〕本卷须知： 1..2.答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答复非选择题时，将答案写在答题卡上.写在套本套试卷上无效.3.在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回.一、单项选择题：此题一共8小题，每一小题5分，一共40分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的. 1.假设集合()(){}120A x x x =+-<，{}ln 0B x x =>，那么AB =〔〕A.{}12x x <<B.{}11x x -<<C.{}12x x -<<D.{}21x x -<<【答案】A 【解析】【分析】分别化简集合A 和B ，然后直接求解A B 即可【详解】∵()(){}{}12012A x x x x x =+-<=-<<，{}{}ln 01B x x x x =>=>，∴{}12A B x x ⋂=<<.【点睛】此题考察集合的运算，属于根底题2.12izi -=+，那么z =〔〕 A.1355i - B.1355i + C.1355i -- D.1355i -+ 【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由一共轭复数的概念得结论.【详解】∵()()()()21212213222555i i i i i i z i i i i -----+====-++-， ∴1355zi =+. 应选：B.【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算，考察复数的根本概念，属于根底题． 3.直线l 过点P (3，0)，圆22:40C x y x +-=，那么〔〕A.l 与C 相交B.l 与C 相切C.l 与C 相离D.l 与C 的位置关系不确定【答案】A 【解析】【分析】代入计算得到点P 在圆内，得到答案. 【详解】2240x y x +-=，即()2224x y -+=，()223204-+<，故点P 在圆内，故l 与C 相交.应选：A.【点睛】此题考察了直线和圆的位置关系，确定点P 在圆内是解题的关键. 4.()20121nn n px b b x b x b x -=+++⋅⋅⋅+，假设123,4b b =-=，那么p =〔〕 A.1 B.12C.13D.14【答案】C 【解析】【分析】根据二项式定理得到13b pn =-=-，()22142n n b p -==，解得答案. 【详解】()1npx -展开式的通项为：()()()11n rrrrrr n n T C px C px -+=⋅⋅-=⋅-，故()113n b C p pn =⋅-=-=-，()2222142n n n b C p p -=⋅==，解得9n =，13p =.应选：C.【点睛】此题考察了二项式定理，意在考察学生的计算才能和应用才能.5.中国古代“五行〞学说认为：物质分“金、木、水、火、土〞五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金〞.从五种不同属性的物质中随机抽取2种，那么抽到的两种物质不相生的概率为〔〕 A.15B.14C.13D.12【答案】D 【解析】【分析】总一共有10种结果，其中相生的有5种，由古典概型的计算公式计算出概率即可【详解】从五种不同属性的物质中随机抽取2种，一共2510C =种，而相生的有5种，那么抽到的两种物质不相生的概率511102P =-= 应选：D【点睛】此题考察的是计算古典概型的概率，较简单. 6.[]2:2,1,0p x x x m ∃∈-+-≤成立的充要条件是〔〕A.0m ≥B.14m ≥-C.124m -≤≤ D.2m ≥【答案】B 【解析】【分析】根据题意2min ()m x x ≥+，设221124y x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，计算得到答案.【详解】[]2,1x ∃∈-，20xx m +-≤，那么2m x x ≥+，故2min ()m x x ≥+，设221124y x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，[]2,1x ∈-，故当12x =-时，函数有最小值为14-. 故14m ≥-. 应选：B.【点睛】此题考察了充要条件，意在考察学生的计算才能和推断才能，转化为求函数的最小值是解题的关键. 7.在直角三角形ABC 中，,22ACBAC BC π∠===，点P 是斜边AB 上一点，且BP =2PA ，那么CP CA CP CB ⋅+⋅=〔〕A.4-B.2-C.2D.4【答案】D 【解析】【分析】如下列图：以CB 为x 轴，CA 为y 轴建立直角坐标系，计算得到答案.【详解】如下列图：以CB 为x 轴，CA 为y 轴建立直角坐标系，那么()0,2A ，()2,0B ，24,33P ⎛⎫⎪⎝⎭，()()242484,0,2,2,04333333CP CA CP CB ⎛⎫⎛⎫⋅+⋅=⋅+⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.应选：D.【点睛】此题考察了向量的数量积的计算，建立直角坐标系可以简化运算，是解题的关键.8.函数()()212x x af x x e e ax =--+只有一个极值点，那么实数a 的取值范围是〔〕A.0a ≤或者12a≥ B.0a ≤或者13a≥C.0a ≤D.0a ≥或者13a≤-【答案】A 【解析】【分析】讨论0a =，0a ≠两种情况，变换得到x x xe e a-=-，设()x x g x e e -=-，求导得到单调性，画出函数()gx 和xy a=的图像，根据图像得到答案. 【详解】()()212x x af x x e e ax =--+，那么()'20x x f x xe ae a =-+=，故0x x a x ae e-+=，当0a=时，()'x f x xe =，函数在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()'00f =，故函数有唯一极大值点，满足；当0a≠时，即x x xe e a-=-，设()x x g x e e -=-，那么()'2x x gx e e -=+≥恒成立，且()'02g =，画出函数()g x 和xy a=图像，如下列图：根图像知：当12a ≤时，即0a <或者12a ≥时，满足条件综上所述：0a ≤或者12a ≥.应选：A.【点睛】此题考察了根据极值点求参数，变换x x xe e a-=-，画出函数图像是解题的关键. 二、多项选择题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.在每一小题给出的选项里面，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，局部选对的得3分，有选错的得0分.9.“杂交水稻之父〞袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，创造了“三系法〞籼型杂交水稻，成功研究出“两系法〞杂交水稻，创立了超级杂交稻技术体系，为我国粮食平安、农业科学开展和世界粮食供给做出了出色奉献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm )服从正态分布，其密度曲线函数为()()()2100200,,x f x x --=∈-∞+∞，那么以下说法正确的选项是〔〕A.该地水稻的平均株高为100cmB.该地水稻株高的方差为10C.随机测量一株水稻，其株高在120cm 以上的概率比株高在70cm 以下的概率大D.随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm )的概率一样大【答案】AC 【解析】【分析】根据函数解析式得到100μ=，2100σ=，故A 正确B 错误，根据正态分布的对称性得到C 正确D 错误，得到答案.【详解】()()2100200x f x --=，故100μ=，2100σ=，故A 正确B 错误；()()()1208070p x p x p x >=<><，故C 正确；根据正态分布的对称性知：()()()100110901008090p x p x p x <<=<<><<，故D 错误.应选：AC.【点睛】此题考察了正态分布，意在考察学生对于正态分布的理解和应用.10.如图，正方体ABCD —1111D C B A 的棱长为2，线段11B D 上有两个动点,M N ，且1MN =，那么以下结论正确的选项是〔〕 A.AC BM ⊥ B.MN ∥平面ABCDC.三棱锥A —BMN 的体积为定值D.△AMN 的面积与△BMN 的面积相等【答案】ABC 【解析】【分析】如下列图，连接BD ，根据AC ⊥平面11BDD B 得到AC BM ⊥，A 正确，//MN BD ，故MN ∥平面ABCD ，B 正确，计算3A MNBV-=，C 正确，1BMN S =△，1AMN S >△，D 错误，得到答案.【详解】如下列图：连接BD ，易知AC BD ⊥，1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，故1AC DD ⊥，故AC ⊥平面11BDD B ，BM ⊂平面11BDD B ，故AC BM ⊥，A 正确；易知11//D B BD ，故//MN BD ，故MN ∥平面ABCD ，B 正确；111123323A MNB BMN V S AO -=⋅=⨯⨯⨯=△为定值，故C 正确；1BMN S =△，122AMN hS MN h =⋅=△，其中h 为点A 到直线11B D 的间隔，根据图像知2h >，故1AMNS >△，故D 错误；应选：ABC.【点睛】此题考察了立体几何中直线垂直，线面平行，体积的计算，意在考察学生的计算才能和空间想象才能.11.双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为20x y -=，双曲线的左焦点在直线0x y ++=上，A 、B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA ，PB的斜率分别为12,k k ，那么12k k +的取值可能为〔〕A.34B.1C.43D.2【答案】CD 【解析】【分析】计算得到双曲线方程为2214x y -=，那么()2,0A -，()2,0B ，设()00,P x y ，12002k y k x =+，根据渐近线方程知：00102y x <<，代入计算得到答案. 【详解】根据题意知：12b a =，c =，故2a =，1b =，双曲线方程为2214x y -=，那么()2,0A -，()2,0B ，设()00,P x y ，那么220014x y -=，00x >，00y >，00000201020022242y y x y xx x x k k y =+==+--+，根据渐近线方程知：00102y x <<，故012012x k k y =>+. 应选：CD.【点睛】此题考察了双曲线中斜率的计算，确定00102y x <<是解题的关键. 12.在平面直角坐标系xOy 中，如图放置的边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动(无滑动滚动)，点D 恰好经过坐标原点，设顶点(),B x y 的轨迹方程是()y f x =，那么对函数()y f x =的判断正确的选项是〔〕A.函数()()g x f x =-[]39-，上有两个零点 B.函数()y f x =是偶函数C.函数()y f x =在[]86--，上单调递增 D.对任意的x ∈R ，都有()()14f x f x +=-【答案】AB 【解析】【分析】根据题意中的轨迹，画出函数图像，根据图像判断每个选项得到答案. 【详解】当以A 点为中心滚动时，B 点轨迹为()2,0-为圆心，2为半径的14圆弧；当以D 点为中心滚动时，B 点轨迹为()0,0为圆心，为半径的14圆弧；当以C 点为中心滚动时，B 点轨迹为()2,0为圆心，2为半径的14圆弧；当以B 点为中心滚动时，B 点不动，然后周期循环，周期为8. 画出函数图像，如下列图：()()000g f =-=，()()()8800g f f =-=-=，A 正确；根据图像和周期知B 正确；函数()y f x =在[]0,2上单调递减，故在[]86--，上单调递减，C 错误；取2x =-，易知()()122f f ≠--，故D 错误.应选：AB.【点睛】此题考察了轨迹方程，意在考察学生的计算才能和转化才能，画出图像确定周期是解题的关键. 三、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.13.函数cos 44y x x =+的单调递增区间为______.【答案】(),26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】化简得到2sin 46y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，取242262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解得答案.【详解】cos 442sin 46y x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，取242262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解得(),26212k k x k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为：(),26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】此题考察了三角函数的单调区间，意在考察学生的计算才能.14.大兴国际机场为4F 级国际机场、大型国际枢纽机场、国家开展新动力源，于2019年9月25日正式通航.目前建有“三纵一横〞4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道，如下列图；假设有2架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞，且西一跑道、西二跑道至少有一道被选取，那么一共有______种不同的安排方法.(用数字答题). 【答案】10 【解析】【分析】根据题意，一共有2412A =种选择，排除西一跑道、西二跑道都没有的2种选择，得到答案.【详解】不考虑西一跑道、西二跑道一共有2412A =种选择，排除西一跑道、西二跑道都没有的222A =种选择，一共有10种选择.故答案为：10.【点睛】此题考察了排列的应用，利用排除法可以简化运算，是解题的关键. 15.抛物线()2:20C xpy p =>的准线方程为1y =-，直线:3440l x y -+=与抛物线C 和圆2220x y y+-=从左至右的交点依次为A 、B 、E 、F ，那么抛物线C 的方程为______，EF AB=______.【答案】(1).24x y =(2).16【解析】【分析】计算2p =，故抛物线方程为24x y =，联立方程得到114y =，24y =，计算14AB =，4EF =，得到答案.【详解】根据题意知12p-=-，故2p =，故抛物线方程为24x y =，设焦点为()0,1M ， 2220x y y +-=，即()2211x y +-=，直线:3440l x y -+=过圆心，联立方程243440x y x y ⎧=⎨-+=⎩，得到241740y y -+=，解得114y =，24y =.故1111144AB AM =-=+-=，14114EF FM =-=+-=，故16EF AB =. 故答案为：24x y =；16.【点睛】此题考察了抛物线方程，抛物线中的弦长问题，意在考察学生的计算才能和转化才能.16.A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，假设三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，那么球O 的外表积为________．【答案】144π 【解析】【分析】易知当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球O 的半径为R ，列方程求解即可. 【详解】如下列图，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球O 的半径为R ，此时V O －ABC ＝V C －AOB ＝×R 2×R ＝R 3＝36，故R ＝6，那么球O 的外表积为S ＝4πR 2＝144π. 故答案为144π.【点睛】此题主要考察了三棱锥体积的求解,球的几何特征和面积公式，属于根底题. 四、解答题：此题一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 17.在①5462a b b =+，②()35144a a b b +=+，③24235b S a b =三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 设{}n a 是公比大于0的等比数列，其前n 项和为{},n n S b 是等差数列.11a =，32214352,S S a a a b b -=+=+，__________.〔1〕求{}n a 和{}n b 的通项公式；〔2〕设112233n n n T a b a b a b a b =+++⋅⋅⋅+，求n T .【答案】〔1〕1,.n n n a b n -=2=〔2〕()12 1.n n T n =-⋅+【解析】【分析】〔1〕直接利用等差数列等比数列公式计算得到答案. 〔2〕2n n na b n =⋅，利用错位相减法计算得到答案.【详解】〔1〕方案一：选条件①：设等比数列{}n a 的公比为q ，132211,2a S S a a =-=+，220q q ∴--=，解得2q或者1q =-，0q >，2q ∴=，12nna .设等差数列{}n b 的公差为d ，435546,2a b b a b b =+=+，1126831316b d b d +=⎧∴⎨+=⎩，解得111b d =⎧⎨=⎩，n b n ∴=，12,n n n a b n -∴==.方案二：选条件②：设等比数列{}n a 的公比为q ，132211,2a S S a a =-=+，220q q ∴--=，解得2q或者1q =-，0q >，2q ∴=，12nna .设等差数列{}n b 的公差为d ，()4353514,4a b b a a b b =++=+，11268235b d b d +=⎧∴⎨+=⎩，解得111b d =⎧⎨=⎩，n b n ∴=，12,.n n n a b n -∴==方案三：选条件③，设等比数列{}n a 的公比为q ，132211,2a S S a a =-=+，220q q ∴--=，解得2q或者1q =-，0q >，2q ∴=，12nna .设等差数列{}n b 的公差为d ，4352423,5a b b b S a b =+=，112680b d b d +=⎧∴⎨-=⎩，解得111b d =⎧⎨=⎩，n b n ∴=，12,.n n n a b n -∴==〔2〕12,n nn a b n -==，1122n n n T a b a b a b ∴=++⋅⋅⋅+()01211222122n n n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯，()12121222122n n n T n n -∴=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯，12112222n nn T n -∴-=+++⋅⋅⋅+-⨯12221212nn n n n n -=-⨯=--⨯-，【点睛】此题考察了等差数列等比数列通项公式，错位相减法求和，意在考察学生对于数列公式方法的综合应用.18.如图，在△ABC 中，:5:3,1sin 5AD DC BD A ===，，0BA BD ⋅=〔1〕求BC 的长度；〔2〕假设E 为AC 上靠近A 的四等分点，求sin DBE ∠.【答案】〔1〕2BC =〔2 【解析】【分析】〔1〕计算得到cos ADB ∠=5DC =，利用余弦定理计算得到答案.〔2〕根据余弦定理得到BE =.【详解】〔1〕0BA BD ∴⋅=，BA BD ∴⊥，在ABD ∆中，1BD =，sin A =，AD ∴=，cos 5ADB ∠=，又:5:3AD DC =，5DC ∴=，在BCD ∆中，cos 5BDC∠=-，2BC ∴=.〔2〕由〔1〕知AB =2，14AEAC ==cos 5A =，ABE ∆中，2222cos BE AB AE AB AE A =+-⨯⨯⨯44225=+-⨯85=，5BE ∴=，在sin =55BDE DE BDE ∆=∠中，，sin sin DE BE DBE BDE =∠∠，sin sin 10DE BDE DBE BE ⨯∠∴∠==.【点睛】此题考察了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考察学生的计算才能和应用才能. 19.如下列图，在直三棱柱111ABC A B C -中AB AC ⊥，，侧面11ABB A 是正方形，3,AB AC ==〔1〕证明：平面11AB C ⊥平面11A BC ；〔2〕假设16AM AC =，求二面角11M BC A --的大小. 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕3π 【解析】【分析】〔1〕证明11A C ⊥平面11ABB A 得到111AB AC ⊥，证明1AB ⊥平面11A BC 得到答案.〔2〕如图，以1A 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，求得平面1MBC 的一个法向量为61,,155n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1AB 是平面11A BC 的一个法向量，计算向量夹角得到答案.【详解】〔1〕三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，111AA AC ∴⊥，AB AC ⊥，1111A C A B ∴⊥，又111,AA A B ⊂平面111111,ABB A AA A B A ⋂=，11A C ∴⊥平面11ABB A ，又1AB ⊂平面11ABB A ，111AB AC ∴⊥，又侧面11ABB A 为正方形，11A B AB ∴⊥，又111,A C A B ⊂平面11A BC ， 1111A BA C A =，1AB ∴⊥平面11A BC ，又1AB ⊂平面11AB C ，∴平面11AB C ⊥平面11A BC .〔2〕如图，以1A 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，那么()()()()()110,0,3,0,3,3,0,3,0,,A B B C C ，()()136,0,0,0,3,3AC AB ∴==-，()()10,3,0,36,3,3AB BC ==--，MB AB AM ∴=-16AB AC =-2⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1MBC 的一个法向量为(),,1n x y =，那么100n MB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得155x y ==，61,,155n ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，又1AB 是平面11A BC 的一个法向量，1331cos ,2n AB -∴==-，12,3n AB π∴=，∴二面角11M BC A --的大小为3π. 【点睛】此题考察了面面垂直，二面角，意在考察学生的计算才能和空间想象才能. 20.某人玩掷正方体骰子走跳棋的游戏，骰子每面朝上的概率都是16，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，……，第100站.一枚棋子开场在第0站，选手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，假设掷出朝上的点数为1或者2，棋子向前跳两站；假设掷出其余点数，那么棋子向前跳一站，直到跳到第99站或者第100站时，游戏完毕；设游戏过程中棋子出如今第n 站的概率为n P .〔1〕当游戏开场时，假设抛掷均匀骰子3次后，求棋子所走站数之和X 的分布列与数学期望；〔2〕证明：()()1111983n nn n P P P P n +--=--≤≤；〔3〕假设最终棋子落在第99站，那么记选手落败，假设最终棋子落在第100站，那么记选手获胜，请分析这个游戏是否公平.【答案】〔1〕详见解析〔2〕证明见解析；〔3〕游戏不公平，详见解析【解析】【分析】〔1〕随机变量X 的所有可能取值为3，4，5，6，计算概率得到分布列，计算得到数学期望. 〔2〕根据题意得到112133n n n P P P +-=+，化简得到()1113n n n n P P P P +--=--. 〔3〕计算得到9998972133P P P =+，10099P P <，得到答案. 【详解】〔1〕随机变量X 的所有可能取值为3，4，5，6，()()3213282143,4327339P X P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()2323212115,6339327P X C P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯====⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，随机变量X 的分布列为：()842134564279927E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=. 〔2〕由题意知，当198n ≤≤时，棋子要到第()1n +站，有两种情况：①由第n 站跳1站得到，其概率为23n P ； ②由第()1n -站跳2站得到，其概率为113n P -112133n n n P P P +-∴=+，()111211333n n n n n n n P P P P P P P +--∴-=+-=--， ()()1111983n n n n P P P P n +-∴-=--≤≤，〔3〕由〔2〕知，当棋子落到第99站游戏完毕的概率为9998972133P P P =+，当棋子落到第100站游戏完毕的概率为1009813P P =，10099P P <，∴最终棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率， ∴游戏不公平.【点睛】此题考察了分布列和数学期望，数列的递推公式，概率的计算，意在考察学生的计算才能和综合应用才能.21.椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率e满足2220e -+=，以坐标原点为圆心，椭圆C的长轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切.〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕过点P (0，1)的动直线l (直线l 的斜率存在)与椭圆C 相交于A ，B 两点，问在y 轴上是否存在与点P 不同的定点Q ，使得APQ BPQSQA QB S=恒成立？假设存在，求出定点Q 的坐标；假设不存在，请说明理由.【答案】〔1〕22142x y +=〔2〕存在；定点()0,2Q【解析】【分析】〔1〕根据点到直线间隔公式计算得到2a=，计算2e =，得到答案.〔2〕设()()()()11220,1,,,,Qm m A x y B x y ≠，直线l 的方程为1y kx =+，联立方程得到12122242,2121k x x x x k k +=-=-++，sin sin APQ BPQS QA PQA SQB PQB∠=∠，得到QA QB k k =-，计算得到答案.【详解】〔1〕由题意知2a =，2a ∴=，由2220e -+=，解得e =或者e =，故c =b ∴=∴椭圆C 的方程为22142x y +=.〔2〕存在，假设y 轴上存在与点P 不同的定点Q ，使得APQ BPQSQA QB S=恒成立，设()()()()11220,1,,,,Qm m A x y B x y ≠，直线l 的方程为1y kx =+，由221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2221420k x kx ++-=，12122242,2121k x x x x k k ∴+=-=-++， ()222168213280k k k ∆=++=+>， 1sin sin 21sin sin 2APQ BPQQP QA PQA S QA PQA S QB PQB QP QB PQB ∆∆∠∠==∠∠， APQ BPQSQA QB S=，sin sin PQA PQB ∴∠=∠，PQA PQB ∴∠=∠，QA QB k k ∴=-，1212y m y m x x --∴=-，()()121212m x x kx x ∴-+=，即()2242122121k m k k k --=-++，解得2m =，∴存在定点()0,2Q ，使得APQBPQS QA QB S ∆∆=恒成立.【点睛】此题考察了椭圆方程，椭圆中的定点问题，意在考察学生的计算才能和综合应用才能. 22.函数()()()11,0x x f x x e x e x -=++-≥.〔1〕证明：()1011x f x x e x ⎛⎫≤≤+- ⎪+⎝⎭；〔2〕假设()32cos 2x x g x ax x x x e ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，当[]()()0,1,x f x g x ∈≥恒成立，务实数a 的取值范围.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕(],3-∞-【解析】【分析】〔1〕()()x x f x x e e -'=-，得到()0f x '≥，()00f =得到()0f x ≥，整理得到()()221x e x ≥+，即1xe x ≥+，令()()10xx e x x ϕ=--≥，证明()0x ϕ≥得到答案.〔2〕当[]0,1x ∈时，要证()()f x g x ≥即证()32112cos 02xx x eax x x -⎛⎫+-+++≥ ⎪⎝⎭，令()22cos 2x G x x =+，证明()G x 在[]01，上是减函数，得当3a ≤-时，()()f x g x ≤在[]01，上恒成立，再证明3a >-时，()()f x g x ≥在[]01，上不恒成立，得到答案.【详解】〔1〕()()x x f x x e e -'=-，当0x ≥时，1,1x x e e -≥≤，()0f x '∴≥，()f x ∴在[)0+∞，上是增函数，又()00f =，()0f x ∴≥.由()111x f x x e x ⎛⎫≤+- ⎪+⎝⎭整理得()()221x e x ≥+，即1x e x ≥+，令()()10x x e x x ϕ=--≥，即()'10x x e ϕ=-≥，()x ϕ∴在[)0+∞，上是增函数，又()0x ϕ=，()0x ϕ∴≥，1x e x ∴≥+，()111x f x x e x ⎛⎫∴≤+- ⎪+⎝⎭，综上，()1011x f x x e x ⎛⎫≤≤+- ⎪+⎝⎭〔2〕当[]0,1x ∈时，要证()()f x g x ≥，即证()()3112cos 2xxx x x e x e ax x x x e -⎛⎫++-≥+++ ⎪⎝⎭，只需证明()32112cos 02xx x eax x x -⎛⎫+-+++≥ ⎪⎝⎭.由〔1〕可知：当[]0,1x ∈时，()()()110x x f x x e x e -=++-≥，即()211x x e x -+≥-，()332112cos 112cos 22xx x x eax x x x ax x x-⎛⎫∴+-+++≥----- ⎪⎝⎭212cos 2x x a x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭，令()22cos 2x G x x =+，那么()2sin G x x x '=-，令()2sin Hx x x =-，那么()12cos H x x '=-，当[]0,1x ∈时，()0H x '<，()G x '∴在[]01，上是减函数，故当[]0,1x ∈时，()()00G x G ''≤=，()G x ∴在[]01，上是减函数， ()()0=2G x G ∴≤，()13a G x a ∴++≤+，故当3a ≤-时，()()f x g x ≤在[]01，上恒成立.当3a >-时，由〔1〕可知：()221xex ≥+，即()2111x x e x -+≤+， 32cos 12x x ax x x x -=---+212cos 12x x a x x ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭，令()()2112cos 121x I x a x a G x x x=+++=++++，那么()()()211I x G x x -''=++，当[]0,1x ∈时，()0I x '<，()I x ∴在[]01，上是减函数， ()I x ∴在[]01，上的值域为[]12cos1,3a a +++.3a >-，30a ∴+>，∴存在[]00,1x ∈，使得()00I x >，此时()()00f x g x <故3a >-时，()()f x g x ≥在[]01，上不恒成立.综上，实数a 的取值范围是(],3-∞-.【点睛】此题考察了利用导数证明不等式，不等式恒成立问题，意在考察学生的计算才能和综合应用才能.。

高三数学二轮复习阶段性综合检测(一)

阶段性综合检测(一)(必做题部分：时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,3,5}，则∁U A ＝________. 解析：由补集定义∁U A ＝{2,4}．答案：{2,4}2．(2010年广州第一次统考)若log 2(a ＋2)＝2，则3a ＝________. 解析：log 2(a ＋2)＝2，即22＝a ＋2，a ＝2，则3a ＝32＝9.答案：93．已知全集U ＝{－2，－1，0,1,2}，集合A ＝{－1,0,1}，B ＝ {－2，－1,0}，则A ∩∁U B ＝________.解析：因为∁U B ＝{1,2}，所以A ∩∁U B ＝{1}．答案：{1}4．(2010年皖南八校第二次联考)设奇函数f (x )的定义域为R ，且周期为5，若f (1)<－1，f (4)＝log a 2(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (4)＝－f (－4)＝－f (1)>1，∴log a 2>1，∴1<a <2.答案：(1,2)5．设全集I ＝{1,2a －4，a 2－a －3}，A ＝{a －1,1}，∁I A ＝{3}，则a 的值是________．解析：由(∁I A )∪A ＝I 知I ＝{a －1,1,3}，从而有(1)⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －4＝a －1，a 2－a －3＝3，或 (2)⎩⎪⎨⎪⎧2a －4＝3，a 2－a －3＝a －1. 由(1)解得a ＝3，(2)无解．答案：36．设f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，若f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )＝1，(x i ∈R ，i ＝1,2，…，n )，则f (x 12)＋f (x 22)＋…＋f (x n 2)的值等于________．解析：f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )＝log a x 1＋log a x 2＋…＋log a x n ＝log a x 1x 2…x n ＝1，所以x 1x 2…x n ＝a ，从而f (x 12)＋f (x 22)＋…＋f (x n 2)＝log a (x 12)＋log a (x 22)＋…＋log a (x n 2)＝log a (x 1x 2…x n )2＝log a (a 2)＝2.答案：27．(2009年高考陕西卷)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．解析：由题意知，同时参加三个小组的人数为0，令同时参加数学和化学小组的人数为x 人．20－x ＋6＋5＋4＋9－x ＋x ＝36，x ＝8.答案：88．(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)<f (13)的x 取值范围是________．解析：作出示意图可知：f (2x －1)<f (13)⇔－13<2x －1<13，即13<x <23.答案：(13，23)9．设f (x )＝x －a x －1，集合M ＝{x |f (x )＜0}，P ＝{x |f ′(x )＞0}，若M P ，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝1＋1－a x －1， ∴f ′(x )＝a －1(x －1)2，当f ′(x )＞0时，有a ＞1.∴M ＝{x |1＜x ＜a }，P ＝{x |x ∈R 且x ≠1}，又∵M P ，∴a ＞1.答案：a ＞110．如图，液体从圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间t (分)的函数关系表示的图象只可能是________．解析：由题知，圆柱液面上升的高度是个常量，所以下落的液体体积是个常量．圆锥内的液面下降的高度先小后大，图象上每一个点的切线的斜率越来越大．答案：②11．设集合A＝{x|x<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则集合{x|x∈B，x∉A∩B}＝________.解析：B＝{x|x2－4x＋3>0}，即B＝{x|x<1或x>3}．∴A∩B＝{x|x<0}，又x∈B且x∉A∩B，∴x的取值为x>3或0≤x<1，∴集合{x|x∈B，x∉A∩B}＝{x|0≤x<1或x>3}．答案：{x|0≤x<1或x>3}12．已知f(x)＝a x－2，g(x)＝log a|x|(a>0，且a≠1)，且f(4)·g(－4)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐标系内的大致图象是________．解析：由f(4)·g(－4)<0得0<a<1，结合指数函数与对数函数的图象性质可知，②正确．答案：②13．已知U是全集，M、N是U的两个子集，若M∪N≠U，M∩N≠∅，则下列选项中正确的是________．①∁U M＝N②∁U N＝M③(∁U M)∩(∁U N)＝∅④(∁U M)∪(∁U N)≠U解析：如图可知，∵M∪N≠U，∴①②错；(∁U M)∩(∁U N)＝∁U(M∪N)≠∅，所以③错；∵(∁U M)∪(∁U N)＝∁U(M∩N)，M∩N≠∅，∴∁U(M∩N)≠U，④正确．答案：④14．如果存在正实数a，使得f(x－a)为奇函数，f(x＋a)为偶函数，我们称函数f(x)为“亲和函数”．则对于“亲和函数”f(x)，下列说法中正确的个数为________个．①f(x－a)＝－f(a－x)；②f(a－x)＝f(x＋a)；③f(x)的图象关于点(a,0)对称；④f(x)是周期函数，且8a是它的一个周期．解析：由f(x－a)＝－f(a－x)得f[－(a－x)]＝－f(a－x)⇒f(a－x)为奇函数，与题意不符，故①错；由f(x＋a)为偶函数，得f(－x＋a)＝f(x ＋a)，故②正确；f(x－a)为奇函数，说明将f(x)的图象向右平移a个单位后其图象关于原点对称，∴f(x)的图象关于(－a,0)对称，故③错；④是正确的，理由如下：由f(x－a)为奇函数，得f(－x－a)＝－f(x－a)，以x＋a代x，有f(－x－2a)＝－f(x)．由f(x＋a)为偶函数，得f(－x＋a)＝f(x＋a)，以x－a代x，有f(－x＋2a)＝f(x)．∴f(－x－2a)＝－f(－x＋2a)，即f(－x－2a)＝－f[(－x－2a)＋4a]，∴f(x)＝－f(x＋4a)，于是f(x＋8a)＝－f(x＋4a)＝－[－f(x)]＝f(x)，得④正确．答案：2二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)设A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．(1)A∩B＝A∪B，求a的值；(2)∅ A∩B，且A∩C＝∅，求a的值；(3)A∩B＝A∩C≠∅，求a的值．解：(1)由题意知B＝{2,3}，A∩B＝A∪B，此时当且仅当A＝B，由根与系数的关系可得a＝5和a2－19＝6同时成立，即a＝5.(2)由于B ＝{2,3}，C ＝{－4,2}，故只可能3∈A .此时a 2－3a －10＝0，即a ＝5或a ＝－2，由(1)可得a ＝－2.(3)此时只可能2∈A ，有a 2－2a －15＝0，即a ＝5或a ＝－3，由(1)可得a ＝－3.16．(本小题满分14分)已知y ＝f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，x ∈[0,1]时，f (x )＝4x ＋a 4x ＋1. (1)求x ∈[－1,0)时，y ＝f (x )解析式，并求y ＝f (x )在x ∈[0,1]上的最大值；(2)解不等式f (x )>15.解：(1)∵y ＝f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝－1.当x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，∴f (x )＝－f (－x )＝4x －14x ＋1，即f (x )＝1－24x ＋1，∴y ＝f (x )在[0,1]上是增函数． ∴f (x )max ＝f (1)＝35.(2)∵f (x )＝4x －14x ＋1，x ∈[－1,1]． ∴4x －14x ＋1>15，解得x ∈(log 432，1]． 17．(本小题满分14分)记关于x 的不等式3x >1(x ∈Z )的解集为A ，关于x 的方程x 2－mx ＋2＝0的解集为B ，且B ⊆A .(1)求集合A ；(2)求实数m 的取值范围．解：(1)3－x x >0⇒x －3x <0⇒x (x －3)<0⇒0<x <3，又∵x ∈Z ，∴A ＝{1,2}；(2)集合A ＝{1,2}的子集有∅、{1}、{2}、{1,2}．∵B ⊆A ，∴B ＝∅、B ＝{1}或{2}、B ＝{1,2}．当B ＝∅时，Δ＝m 2－8<0，解得－22<m <22；当B ＝{1}或{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m 2－8＝0，1－m ＋2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－8＝0，4－2m ＋2＝0. 则m 无解；当B ＝{1,2}时，⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m 2－8>0，1＋2＝m ，1×2＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－22或m >22，m ＝3，⇒ m ＝3.综上所述，实数m 的取值范围是－22<m <22或m ＝3.18．(2010年浙江杭州模拟)(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )，(x >0)，－f (x )，(x <0)，求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解：(1)由已知c ＝1，f (－1)＝a －b ＋c ＝0，且－b 2a ＝－1，解得a＝1，b ＝2.∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，(x >0)，－(x ＋1)2，(x <0).∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在x ∈(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在x ∈(0,1]恒成立，因为1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，所以－2≤b ≤0.19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ x ＋1x －2的定义域是集合A ，函数g (x )＝lg[x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ]的定义域是集合B .(1)求集合A 、B ；(2)若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)欲使f (x )＝x ＋1x －2有意义，只需x ＋1x －2≥0即⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋1)(x －2)≥0，x －2≠0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2或x ≤－1，x ≠2，⇒x >2或x ≤－1， ∴A ＝{x |x >2或x ≤－1}．欲使g (x )＝lg[x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ]有意义，则只需x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a >0，即[x －(a ＋1)](x －a )>0⇒x >a ＋1或x <a ，∴B ＝{x |x >a ＋1或x <a }．(2)若A ∪B ＝B ，则A ⊆B .∴只需⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a ，a ＋1≤2，∴－1<a ≤1， ∴实数a 的取值范围为(－1,1]．20．(本小题满分16分)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)满足条件：①f (x )＝f (－2－x )；②函数f (x )的图象与直线y ＝x 相切．(1)求f (x )的解析式；(2)若不等式πf (x )>(1π)2－tx 在|t |≤2时恒成立，求实数x 的取值范围．解：(1)∵由①知f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)的对称轴方程是x ＝－1， ∴b ＝2a ，∵函数f (x )的图象与直线y ＝x 相切，∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝ax 2＋bx y ＝x 有且只有一解，即ax 2＋(b －1)x ＝0有两个相同的实根，∴b ＝1，a ＝12.∴函数f (x )的解析式为f (x )＝12x 2＋x .(2)∵π>1，∴πf (x )>(1π)2－tx 等价于f (x )>tx －2，∵12x 2＋x >tx －2在|t |≤2时恒成立等价于一次函数g (t )＝xt －(12x 2＋x ＋2)<0在|t |≤2时恒成立；∴⎩⎨⎧ g (2)<0g (－2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4>0x 2＋6x ＋4>0，解得：x <－3－5或x >－3＋5，实数x 的取值范围是(－∞，－3－5)∪(－3＋5，＋∞)．。

高三数学下学期二轮复习综合测试(2)试题理新课标

高三数学下学期二轮复习综合测试（2）试题理新课标数学（理）综合验收试题（2）【新课标】第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题共90分。

满分150分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的1．设i 是虚数单位，则()()3211i i -+ 是（）A ．i -1B ．i +-1C ．i +1D ．i --12．设全集R U =,=A (2){|21},{|ln(1)}x x x B x y x -<==-，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤3．如图所示，图中曲线方程为12-=x y ，借助定积分表达围成的封闭图形的面积（） A ．dx x ⎰-202)1( B ．|)1(|22dx x ⎰-C ．dx x ⎰-22|1| D ．⎰⎰-+-212202)1()1(dx x dx x4．已知直线(0)y kx k =>与函数|sin |y x =的图象恰有三个公共点112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 其中123x x x <<，则有（） A ．3sin 1x =B ．333sin cos x x x =C ．333sin tan x x x =D ．33sin cos x k x =5．已知设递增数列{}n a 满足a 1=6，且1-+n n a a =19--n n a a ＋8（2≥n ），则70a =（） A ．29 B ．25C ．630D ．96．已知点G 是ABC ∆的重心，μλ+=,）、（R ∈μλ若0120=∠A ，2-=⋅AB ，则的最小值是（）A ．33B ．22C ．32 D ．43 7．如右图所示程序框图表示：输入的实数x 经过循环结构的一系列运算后，输出满足条件“x>2012？”的第一个结果。

2021年高三数学(理科)第二轮高考总复习阶段测试卷(第37周) 含答案

2021年高三数学（理科）第二轮高考总复习阶段测试卷（第37周）含答案[理科]第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝( )A．{0} B．{0,1} C．{－1,1} D．{－1,0,1}2．命题：，都有sinx≥-1，则( )A．：，使得 B. ：，都有sinx<-1C. ：，使得D.：，都有sinx≥-13．已知向量，则在方向上的投影为( )A．B．C．-2 D．24. 在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝（）A. 58B. 88C.143D.1765. 设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．同时具有性质①最小正周期是；②图像关于直线对称；③在上是增函数的一个函数是（）A．B．C．D．7．双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为（）A． B． C． D．8. 已知函数有两个零点，则（）A. B. C. D.9.与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是( )A. B.C. D.10. 已知，都是定义在上的函数，且满足以下条件：①=·（）；②；③；若，则等于( )A．B．2 C．D．2或11．已知 , (>0 , ) ， A、B为图象上两点，B是图象的最高点，C为B在x轴上射影，且点C的坐标为则·( ).A. B.C. 4D.12.已知定义在上的奇函数满足，且时，，甲，乙，丙，丁四位同学有下列结论：甲：；乙：函数在上是增函数；丙：函数关于直线对称；丁：若，则关于的方程在上所有根之和为-8，其中正确的是（）A.甲，乙,丁B.乙,丙C.甲,乙,丙D.甲,丁第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px（p>0）的准线相切，，则此抛物线的焦点坐标是___________。

高三数学(文)二轮复习(全国通用) 考前综合测评卷答案 Word版含答案

参考答案考前综合测评卷（一）1.C2.D3.A4.A 设此直三棱柱两底面的中心为O1,O2,则球O的球心O为线段O1O2的中点,设球O的半径为R,则R2=()2+(××3)2=,所以S=4πR2=21π,选A.5.D 抛物线x2=4y的准线方程是y=-1,由抛物线的定义,得|AF|-|BF|=y1-(-1)-[y2-(-1)]=y1-y2=2,所以-=2.所以-=8.所以y 1+-y2-=(y1-y2)+(-)=10.选D.6.A 因为2mx-y-8m-3=0,所以y+3=2m(x-4),即直线l恒过点M(4,-3);当AB⊥CM时,圆心到直线AB的距离最大,此时线段AB最短,则k CM==3,k AB=2m=-,故m=-.选A.7.A 由ln x>0解得x>1.故y=lg(ln x)的定义域为(1,+∞).其值域为R,与选项A符合,故选A.8.B n=1,S=0;n=2,S=2;n=3,S=6;n=4,S=14;n=5,S=30>25.结束.故选B.9.D 由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体,三棱柱的两个侧面面积之和为2×4×2=16,两个底面面积之和为2××2×=2;半圆柱的侧面积为π×4=4π,两个底面面积之和为2××π×12=π,所以几何体的表面积为5π+16+2,故选D.10.D 设甲到的时间为x,乙到的时间为y.(x,y)可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={(x,y)|0≤x≤60,0≤y≤60}是一个矩形区域,对应的面积为60×60=3 600,则甲比乙提前到达超过20分钟为事件A={(x,y)|y-x≥20,0≤x≤60,0≤y≤60},对应的面积为×40×40=800,由几何概率模型可知甲比乙提前到达超过20分钟的概率为=.故选D.11.D 因为f(x)=sin ωx-cos ωx=2sin(ωx-)的图象的相邻两对称轴间的距离为,所以周期T=π=,计算得出ω=2,所以f(x)=2sin(2x-),因为x∈[-,0]时,2x-∈[-,-],所以利用正弦函数的图象和性质可得f(x)的最大值为. 单调增区间为[-,0].选D.12.C 画出g(x)的图象如图所示.方程g(x)-mx-m=0有两个不等的实根,即g(x)的图象与直线y=m(x+1)有两个交点.直线y=m(x+1)过定点(-1,0),过点A时,m=2,过点B时,m=0,所以m∈[0,2).设y=m(x+1)在点C(x0,y0)处与g(x)相切,则m=-.切线方程为y-(-3)=-(x-x0),代入(-1,0),得-+3=-,解得x0=-.所以m=-,过点D(0,-2)时,m=-2.所以m∈(-,-2].综上,m∈(-,-2]∪[0,2).13.解析:由+=2可得(-)+(-)=2,整理得+=0.答案:014.解析:由题意,目标函数z=2x+3y的可行域为△ABC边界及其内部(如图所示).令z=0,即2x+3y=0,平移直线2x+3y=0至目标函数的可行域内,可知当2x+3y=z过点A(2,1)时,z取得最大值,即z max=2×2+3×1=7. 答案:715.解析:因为在锐角三角形中,27(+)=104cos C,所以由余弦定理得27(+)=27×=104×,所以a2+b2=c2,=====.答案:16.解析:甲与乙的关系是对立事件,二人说话矛盾,必有一对一错,如果选丁正确,则丙也是对的,所以丁错误,可得丙正确,此时乙正确. 答案:乙,丙17.解:(1)由于a n=2(n+1),所以{a n}为等差数列,且a1=4.所以A n===n2+3n,所以B n=3A n-4n=3(n2+3n)-4n=3n2+5n,当n=1时,b1=B1=8,当n≥2时,b n=B n-B n-1=3n2+5n-[3(n-1)2+5(n-1)]=6n+2.由于b1=8适合上式,所以b n=6n+2.(2)由(1)知c n===(-),所以S n=[(-)+(-)+(-)+(-)+…+(-)+(-)]=(1+--)=-(+).18.解:(1)从2月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.(2)设A i表示事件“此人于2月i日到达该市”(i=1,2,…,13).根据题意,P(A i)=,且A i∩A j=⌀(i≠j).设B为事件“此人到达当日空气优良”,则B=A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13.所以P(B)=P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13)=.(3)设“此人出差期间空气质量至少有一天为中度或重度污染”为事件A,即“此人出差期间空气质量指数至少有一天大于等于150且小于300”, 由题意可知P(A)=P(A4∪A5∪A6∪A7∪A8∪A9∪A10∪A11)=P(A4)+P(A5)+P(A6)+P(A7)+P(A8)+P(A9)+P(A10)+P(A11)=.19.(1)证明:因为△AEF是等边三角形,O为EF的中点,所以AO⊥EF.又因为平面AEF⊥平面EFCB,AO⊂平面AEF,平面AEF∩平面EFCB=EF, 所以AO⊥平面EFCB,又CF⊂平面EFCB,所以AO⊥CF.(2)解:取BC的中点G,连接OG.由题设知,OG⊥BC.由(1)知AO⊥平面EFCB,又BC⊂平面EFCB,所以OA⊥BC,因为OG∩OA=O,所以BC⊥平面AOG.过O作OH⊥AG,垂足为H,则BC⊥OH,因为AG∩BC=G,所以OH⊥平面ABC.因为OG=,AO=,所以OH=,即O到平面ABC的距离为.20.(1)解:f′(x)=-.由于直线x+2y-3=0的斜率为-,且过点(1,1). 故解得a=1,b=1.(2)证明:由(1)知f(x)=+,所以f(x)-=(2ln x-)令函数h(x)=2ln x-(x>0),则h′(x)=-=-.所以当x≠1时,h′(x)<0.而h(1)=0,故当x∈(0,1)时,h(x)>0,可得h(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,可得h(x)>0.从而当x>0,且x≠1时,f(x)->0,即f(x)>.21.(1)证明:由y=k(x+1),得x=y-1. 将x=y-1代入x2+3y2=a2,消去x,得(+3)y2-y+1-a2=0.(*)由直线l与椭圆相交于两个不同的点, 得Δ=-4(+3)(1-a2)>0,整理得(+3)a2>3,即a2>.(2)解:设A(x1,y1),B(x2,y2).由(*)得y1+y2=,由=2,C(-1,0),得y1=-2y2,代入上式,得y2=.于是,S△OAB=|OC|·|y1-y2|=|y2|=≤=,其中,上式取等号的条件是3k2=1,即k=±,由y2=,可得y2=∓,将k=,y2=-及k=-,y2=这两组值分别代入(*),均可解出a2=5,所以,△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程是x2+3y2=5.22.解:(1)由ρ2=,得3ρ2+ρ2sin2θ=12(*),将ρ2=x2+y2,ρsin θ=y代入(*)式,得3x2+4y2=12,即+=1.故曲线C的直角坐标方程为+=1.由消去参数t,得x-y+1=0.故直线l的普通方程为x-y+1=0.(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入椭圆方程C:+=1,得13t2-12t-36=0. 所以t1+t2=,t1t2=-.因为椭圆的左焦点F1(-1,0)在直线l上,且M,N在x轴的异侧,所以|MN|=|t1-t2|===.23.解:(1)当m=1时,原不等式可变为0<|x+3|-|x-7|<10,可得其解集为{x|2<x<7}.(2)设t=|x+3|-|x-7|,则由对数定义及绝对值的几何意义知0<t≤10,因y=lg x在(0,+∞)上为增函数,则lg t≤1,当t=10,x≥7时,lg t=1,故只需m>1即可,即m>1时,f(x)<m恒成立.考前综合测评卷(二)1.A2.D3.A4.A5.B 由题意易知F(1,0),F到准线的距离为2,A到准线的距离为|AF|=4,则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为=3,故选B. 6.C 画出可行域,可知在点A(2,3)处,目标函数z=3x+y有最大值9.故选C.7.C 法一因为直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以+=1,所以1=+≥2=(当且仅当a=b=2时取等号),所以≥2.又a+b≥2(当且仅当a=b=2时取等号),所以a+b≥4(当且仅当a=b=2时取等号),故选C.法二因为直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以+=1,所以a+b=(a+b)(+)=2++≥2+2=4(当且仅当a=b=2时取等号),故选C.8.D 每次循环的结果分别为n=0,S=0;n=1,S=1;n=2,S=1+1=2;n=3,S=2+1=3;n=4,S=3+2=5;n=5,S=5+2=7,这时n>4,输出S=7.故选D.9.A 因为b=f(lo)=f(2),c=f(log2)=f(-)=f(),又f(x)在[0,2]上递减,所以f()>f(1)>f(2),即c>a>b.故选A.10.D 显然|PF|>|PA|,|PF|>|AF|,所以由△PAF是等腰三角形得|PA|=|AF|.设x=交双曲线的渐近线y=x于点P,易知A(a,0),P(,),所以(-a)2+()2=(c-a)2,⇒()2(a-c)2+()2(c2-a2)=(c-a)2⇒()2+()2·=1⇒+·=1.解得 e=2.选D.11.B先考虑将正视图补成正方形,则三视图中两个正方形、一个等腰三角形构成的几何体如图中的三棱柱ABC EDF,再考虑视图内部的线,可以知道该几何体是三棱柱ABC EDF截去三棱锥E-ADF余下的部分.所以V=-=-=(×2×2)×2-(×2×2)×2=.12.B 因为f(x)与g(x)的图象上存在关于y轴对称的点,所以f(x)关于y轴对称的函数f(-x)与g(x)的图象有交点,所以存在x使得f(-x)=g(x),因为f(-x)=x2+e-x-(x>0),所以e-x-=ln (x+a)在(0,+∞)上有根,令y1=e-x-,y2=ln (x+a),当a=0时,y2=ln x与y1有1个交点,当a<0时,y2=ln (x+a)由y=ln x向右平移|a|个单位,与y1有1个交点. 当a>0时,y2=ln (x+a)由y=ln x向左平移a个单位,当平移到A(0,)时,y2与y1无交点,此时,a=,所以a∈(0,).综上,a∈(-∞,).13.解析:36×=15.答案:1514.解析:由已知可得,正三棱锥的底面正三角形外接圆的半径r=1,设其边长为a,则由正弦定理可得a=2rsin 60°=2×1×=,故其面积S=a2=×=.由题意可知,顶点到底面的距离d=r=1,所以正三棱锥的体积V=Sd=××1=.答案:15.解析:由已知以AB为直径的圆与圆C有公共点,AB中点为原点,|AB|=2m,则|m-1|≤≤m+1,解得4≤m≤6.答案:[4,6]16.解析:法一以B为原点,BA所在直线为x轴建立坐标系, 因为∠ABC=,|-|=||=2,所以C(1,),设A(x,0),因为△ABC是锐角三角形,∠BAC+∠BCA=120°,所以30°<∠BCA<90°,即A在如图的线段DE上(不与D,E重合),所以1<x<4,则·=x2-x=(x-)2-,所以·的范围为(0,12). 法二因为B=,所以A+C=120°,又△ABC是锐角三角形,所以30°<A<90°,因为|-|=2,所以|-|=||=a=2,由正弦定理可得==,所以b=,c=,所以·=cbcos A=cos A=+=()2+,因为∈(0,3),所以·=(0,12).答案:(0,12)17.解:(1)f(x)=sin(2x+B)+cos(2x+B)=2sin(2x+B+), 由f(x)为偶函数可知B+=+kπ,k∈Z,所以B=+kπ,k∈Z,又0<B<π,故B=,所以f(x)=2sin(2x+)=2cos 2x,b=f()=.(2)因为B=,b=,由正弦定理可得sin A==,又A∈(0,π),所以A=或,当A=时,△ABC的面积S=,当A=时,△ABC的面积S=.18.解:(1)列联表补充如下因为K2=,所以K2≈4.762.所以有95%的把握认为“月收入以5 500元为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异.(2)在上述被调查的人中,月收入在[15,25)不赞成“楼市限购令”的有2人,月收入在[55,65)不赞成“楼市限购令”的有4人.月收入在[15,25)不赞成“楼市限购令”的2人记A,B;月收入在[55,65)不赞成“楼市限购令”的4人记为c,d,e,f,则从6人中任取2人的所有情况为(A,B),(A,c),(A,d),(A,e),(A,f),(B,c),(B,d),(B,e),(B,f),(c,d), (c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)共15种情况,其中恰有1人月收入在[15,25)的有(A,c),(A,d),(A,e),(A,f),(B,c),(B,d),(B,e),(B,f),共8种情况,故从月收入在[15,25),[55,65)的不赞成“楼市限购令”的被调查人中选2人,恰有1人月收入在[15,25)的概率为P=.19.(1)证明:在题图2中取BF的中点O,连接A′O,EO,因为A′B=A′F,所以 BF⊥A′O,又因为BE=EF,所以BF⊥EO,因为A′O∩EO=O,所以BF⊥平面A′EO,而A′E⊂平面A′EO,所以A′E⊥BF.(2)解:由(1)知BF⊥A′O,BF⊥EO,因为BE=EF=2,∠BEF=60°,所以BF=2,因为A′E=A′B=2,所以A′B=A′F=,所以△A′BF为等腰直角三角形,且A′O=1,EO=,所以A′O⊥EO,则A′O⊥平面BEF,故A′O为三棱锥A′BEF的高,则=××2××1=,因为三棱柱A′BE D′CF与三棱锥F A′BE同底等高, 所以其体积为=3=.20.(1)解:由|OB|=1知圆O半径为1,b=1,b2=1,由|OA|=知|OA|2=,设A(x,y),则x2=y2=,所以+=1,所以a2=4,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l的方程为y=kx+m,由得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0;所以x1+x2=-,x1·x2=.而|MN|=·|x 1-x2|=.原点O到直线MN的距离为d=.所以S△OMN=·|MN|·d==1.所以2|m|·=1+4k2,即(1+4k2-2m2)2=0,即1+4k2=2m2.则x0===-,①y 0===,②由①,②得+4=+===2.21.(1)解:当a=0时,f(x)=e x(sin x-e),x∈R,f′(x)=e x(sin x+cos x-e)=e x[sin(x+)-e],因为当x∈R时,sin(x+)≤,所以f′(x)<0,所以f(x)在R上是单调递减的函数.(2)证明:设g(x)=sin x-ax2+2a-e,x∈[0,+∞),g′(x)=cos x-2ax, 令h(x)=g′(x)=cos x-2ax,x∈[0,+∞),则h′(x)=-sin x-2a,当≤a≤1时,x∈[0,+∞),有h′(x)≤0,所以h(x)在[0,+∞)上是减函数,即g′(x)在[0,+∞)上是减函数.又因为g′(0)=1>0,g′()=≤<0,所以存在唯一的x 0∈(0,),使得g′(x0)=cos x0-2ax0=0,所以当x∈[0,x0)时,g′(x)>0,g(x)在区间[0,x0)上单调递增;当x∈(x0,+∞)时,g′(x)<0,g(x)在区间(x0,+∞)上单调递减,因此在区间[0,+∞),g(x)max=g(x0)=sin x0-a+2a-e,因为cos x0-2ax0=0,所以x0=cos x0,将其代入上式得g(x)max=sin x0-cos2x0+2a-e=sin2x0+sin x0-+2a-e,令t=sin x 0,x0∈(0,),则t∈(0,),即有p(t)=t2+t-+2a-e,t∈(0,),因为p(t)的对称轴t=-2a<0,所以函数p(t)在区间(0,)上是增函数,所以p(t)<p()=-+2a-e≤+-e<0,即对任意x∈[0,+∞),g(x)<0,所以f(x)=e x g(x)<0,因此当≤a≤1时,对任意x∈[0,+∞),f(x)<0.22.解:(1)因为ρ=2cos θ+2sin θ-2sin θ=2cos θ,所以ρ2=2ρcos θ.又ρsin θ=y,ρcos θ=x,所以x2+y2=2x,所以曲线C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1.(2)直线l的普通方程为y=(x+2),即x-y+2=0.所以圆C的圆心到l的距离为d==,所以|PQ|的最小值为d-1=-1,所以|PQ|的取值范围为[-1,+∞).23.解:(1)不等式f(x)>0,即|2x-1|>|x+2|,即4x2-4x+1>x2+4x+4,3x2-8x-3>0,解得x<-或x>3.所以不等式f(x)>0的解集为{x|x<-或x>3}.(2)f(x)=|2x-1|-|x+2|=故f(x)的最小值为f()=-,因为∃x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m,所以4m-2m2>-,解得-<m<.所以实数m的取值范围为(-,)考前综合测评卷(三)1.B2.D3.A4.C5.B 对于①,由“垂直于同一平面的两条直线平行”可知①正确;对于②,显然m也可能在α内;对于③,显然m也可能在α内;对于④,由“垂直于同一条直线的两个平面平行”可知④正确.故选B.6.C 因为f′(x)=-cos(-x)=-sin[-(-x)]=sin[(-x)-]=sin[-(x+)],所以只需将f(x)=sin(-x)的图象向左平移个单位.故选C.7.A 该几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥,其体积为V=×2×1×2-××1×1×1=.8.D 因为α∈(0,),0<sin α<,sin α<cos α,所以b=αsin α>αcos α=c>0,a=logα<logα1=0,所以b>c>a,故选D.9.C 函数f(x)的定义域为(0,+∞),排除选项A.当x→0时,f(x)→+∞,排除选项D.当x→+∞时,f(x)→-∞,排除选项B.10.D 根据题意,得当x∈(-2,2)时,f(x)=2x,所以1≤2x≤8,所以0≤x<2;当x∉(-2,2)时,f(x)=x+1,所以1≤x+1≤8,所以2≤x≤7,所以x的取值范围是[0,7].故选D.11.C 直线l的方程为y=(x-c),联立2bx+ay=0, 解得即点M的坐标为(,-).因为M在以线段F1F2为直径的圆上,所以⊥,所以·=0,则-c2+=0⇒=,则椭圆的离心率为.选C.12.C 因为f(x)≤0在[-2,+∞)上有解,所以a≥(x3-3x+3-)min,令g(x)=x3-3x+3-,x∈[-2,+∞),则g′(x)=3x2-3-=3(x2-1)+=(x-1)(3x+3+).令h(x)=3x+3+,x≥-2,则h′(x)=3-在[-2,+∞)上单调递增,令h′(x)=0,得x=-ln 3.所以x∈[-2,-ln 3)时,h′(x)<0,x∈(-ln 3,+∞)时,h′(x)>0.所以h(x)在[-2,-ln 3)上单调递减,在(-ln 3,+∞)上单调递增, 又h(-ln 3)=-3ln 3+3+=6-3ln 3=3(2-ln 3)>0,所以h(x)>0在[-2,+∞)上恒成立.所以令g′(x)>0,得x>1,令g′(x)<0得-2≤x<1,所以g(x)在[-2,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.所以g(x)min=g(1)=1-.所以a≥1-.故选C.13.解析:由a⊥b可得a·b=0,即(x-5)×2+3x=0,解得x=2.答案:214.解析:因为θ∈(0,),所以θ+∈(,),又cos(θ+)=,所以sin(θ+)=.所以cos 2θ=sin[2(θ+)]=2sin(θ+)cos(θ+),即cos 2θ=2××=,因为2θ∈(0,π).所以sin 2θ=.所以sin(2θ-)=sin 2θcos -cos 2θsin ,即sin(2θ-)=×-×=.答案:15.解析:圆心C(2,0)到直线2x-y+1=0的距离d=, 所以|PA|=≥=2,则△CAP面积最小值为×2×1=1.答案:116.解析:y==其图象如图而函数y=kx的图象是过原点的直线, 当直线过点(1,2)时,k=2,当直线斜率为1时,k=1,结合图象易知0<k<1或1<k<2.答案:(0,1)∪(1,2)17.(1)解:由通项公式可得a3=a1(-)2=得a1=1,再由等比数列求和公式得:S n==.(2)证明:因为k∈N+,所以2a k+2-(a k+a k+1)=2a1q k+1-(a1q k-1+a1q k)=a1q k-1(2q2-q-1)=a1q k-1[2(-)2-(-)-1]=0,所以对任意k∈N+,a k,a k+2,a k+1成等差数列.18.(1)证明:在△ABC中,AB=1,∠CBA=,BC=2,所以AC2=BA2+BC2-2BA×BCcos ∠CBA=3,所以AC2+BA2=BC2,所以AB⊥AC,又因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AC⊂平面ABCD,所以AC⊥平面ABEF.(2)解:如图,连接CF.因为CD∥AB,所以CD∥平面ABEF.所以点D到平面ABEF的距离等于点C到平面ABEF的距离,并且AC=. 所以==×(×3×1)×=.19.解:(1)由分层抽样得:男生抽取的人数为120×=70人,女生抽取人数为120-70=50人,故x=5,y=2,则该校男生平均每天运动的时间为:≈1.5,故该校男生平均每天运动的时间约为1.5小时.(2)①样本中“运动达人”所占比例是=,故估计该校“运动达人”有×(14 000+10 000)=4 000人.②由表格可知:故K2=≈2.743<3.841.故在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“是否为′运动达人′与性别有关”.20.解:(1)因为椭圆W的左顶点A在圆O:x2+y2=16上,令y=0,得x=±4,即A(-4,0),所以a=4.又离心率为,所以e==,所以c=2,所以b2=a2-c2=4,所以椭圆W的方程为+=1.(2)假设存在点P满足题意,设点P(x1,y1),Q(x2,y2),设直线AP的方程为y=k(x+4),与椭圆方程联立得化简得(1+4k2)x2+32k2x+64k2-16=0,因为-4为方程的一个根, 所以x1+(-4)=,所以x1=,所以|AP|=.因为圆心到直线AP的距离为d=,所以|AQ|=2=2=,因为==-1,代入得到=-1=-1==3-,显然3-≠3,所以不存在点P,使得=3.21.解:(1)f′(x)=a x ln a+2x-ln a=2x+(a x-1)ln a.因为当a>1时,ln a>0,m(x)=(a x-1)ln a在R上是增函数,当0<a<1时,ln a<0,m(x)=(a x-1)ln a在R上也是增函数,所以当a>1或0<a<1,总有f′(x)在R上是增函数,又f′(0)=0,所以f′(x)>0的解集为(0,+∞),f′(x)<0的解集为(-∞,0),故函数f(x)的单调增区间为(0,+∞),单调减区间为(-∞,0).(2)因为存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1成立, 而当x∈[-1,1]时,|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min,所以只要f(x)max-f(x)min≥e-1即可.又因为x,f′(x),f(x)的变化情况如下表所示:所以f(x)在[-1,0]上是减函数,在[0,1]上是增函数,所以当x∈[-1,1]时,f(x)的最小值f(x)min=f(0)=1,f(x)的最大值f(x)max为f(-1)和f(1)中的最大者.因为f(1)-f(-1)=(a+1-ln a)-(+1+ln a)=a--2ln a,令g(a)=a--2ln a(a>0),因为g′(a)=1+-=(1-)2≥0,所以g(a)=a--2ln a在a∈(0,+∞)上是增函数.而g(1)=0, 故当a>1时,g(a)>0,即f(1)>f(-1);当0<a<1时,g(a)<0,即f(1)<f(-1).所以,当a>1时,f(1)-f(0)≥e-1,即a-ln a≥e-1,函数y=a-ln a在a∈(1,+∞)上是增函数,解得a≥e;当0<a<1时,f(-1)-f(0)≥e-1,即+ln a≥e-1,函数y=+ln a在a∈(0,1)上是增函数,解得0<a≤. 综上可知,所求a的取值范围为(0,]∪[e,+∞). 22.解:(1)由条件知A(2cos ,2sin ),B(2cos(+),2sin(+))C(2cos(+π),2sin(+π)),D(2cos(+),2sin(+))即A(1,),B(-,1),C(-1,-),D(,-1)(2)设P(2cos ϕ,3sin ϕ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2则S=16cos2ϕ+36sin2ϕ+16=32+20sin2ϕ因为0≤sin2ϕ≤1所以S的取值范围是[32,52].23.解:(1)f(x)=由f(x)>2得或解得x<或x>.故所求实数x的取值范围为(-∞,)∪(,+∞).(2)由|m+n|+|m-n|≥|m|f(x)且m≠0得≥f(x),又因为≥=2,所以f(x)≤2,因为f(x)>2的解集为(-∞,)∪(,+∞),所以f(x)≤2的解集为[,].考前综合测评卷(四)1.C2.C3.A4.D5.B 由a2+2,a4+4,a6+6构成等比数列可得(a4+4)2=(a2+2)(a6+6),即(a1+3d+4)2=(a1+d+2)(a1+5d+6),整理得d2+2d+1=0,所以d=-1.故选B.6.A 因为函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y|0<y≤1},所以0<a<1,函数y=log a|x|的图象大致是选项A中的图象.7.A 作出满足条件的可行域,如图中阴影部分所示,易知在点A(1,1)处,z取得最大值,故z max=-2×1+1=-1.故选A.8.A 由几何体的三视图分析可知,该几何体上部为棱长为2的正方体,下部为底面半径为1,高为2的半圆柱体,故该几何体的表面积是5×2×2+π×12+2π×1×2×=20+3π,故选A.9.B 由题意可知第一次循环运算为:S==-1,k=1,第二次循环运算为:S==,k=2;第三次循环运算为:S==2,k=3;第四次循环运算为:S==-1,k=4,由此可知,每次运算结果S呈周期性变化,且以3为周期,当程序结束时,k=2 016,S=2,故选B.10.C 设直线AB的倾斜角为θ(0<θ<π)及|BF|=m,因为|AF|=3,所以点A到准线l:x=-1的距离为3,所以2+3cos θ=3,即cos θ=,则sin θ=.因为m=2+mcos(π-θ)所以m==,所以△AOB的面积S=×|OF|×|AB|×sin θ=×1×(3+)×=.选C.11.A 由方程f(g(x))=0可知g(x)=-1,0,1,此时有7个实根,即m=7; 由方程g(f(x))=0可知n=7,所以m+n=14,故选A.12.B 因为数列{}为调和数列,所以-=x n+1-x n=d,所以{x n}是等差数列.又因为x1+x2+…+x20=200=,所以x1+x20=20,又因为x1+x20=x5+x16,所以x5+x16=20.选B.13.2 14.15.解析:由题意可得B=,△ABC外接圆半径r=,当三棱锥的体积取最大时,=S △ABC·h得3=h××6,h=3,由R2=()2+(3-R)2得R=2,所以球O的表面积为4π×22=16π.答案:16π16.解析:若甲是获奖歌手,则四句全是假话,不合题意;若乙是获奖歌手,则甲、乙、丁都是真话,丙说假话,不合题意;若丁是获奖歌手,则甲、丁、丙都说假话,乙说真话,不合题意;当丙是获奖歌手时,甲、丙说了真话,乙、丁说了假话,符合题意.答案:丙17.解:(1)在△BCD中,由正弦定理得BD=·sin ∠BCD=×=3,在△ABD中,由余弦定理得cos∠ADB===,所以∠ADB=45°.(2)因为∠CBD=30°,∠BCD=120°,所以∠CDB=30°,因为sin∠ADC=sin (45°+30°)=,所以S=AD·CD·sin∠ADC=×2××=.18.解:(1)依题中的数据可得=(4+5+7+9+10)=7,=(5+6+7+8+9)=7,=[(4-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(10-7)2]==5.2,=[(5-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(9-7)2]=2,因为=,>,所以两组技工的总体水平相同,甲组中技工的技术水平差异比乙组大.(2)设事件A表示:该车间“生产率高效”,则从甲、乙两组中各抽取1名技工完成合格零件个数的基本事件为(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,5),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(7,5),(7,6),(7,7),(7,8),(7,9),(9,5),(9,6), (9,7),(9,8),(9,9),(10,5),(10,6),(10,7),(10,8),(10,9),共25种.事件A包含的基本事件为(7,8),(7,9),(9,6),(9,7),(9,8),(9,9),(10,5),(10,6),(10,7),(10,8),(10,9),共11种.所以P(A)=.19.解:(1)当M是线段AE的中点时,AC∥平面MDF,证明如下: 连接CE交DF于N,连接MN,由于M,N分别是AE,CE的中点, 所以MN∥AC,又MN⊂平面MDF,AC⊄平面MDF,所以AC∥平面MDF.(2)将几何体ADE BCF补成三棱柱ADE B′CF,三棱柱ADE B′CF的体积为V=S△ADE·CD=×2×2×4=8.则几何体ADE BCF的体积=-=8-×(×2×2)×2=,又=×(×2×4)×1=,所以两几何体的体积之比为∶(-)=.20.解:(1)根据题意可得=,化简整理可得+y2=1,所以曲线E的方程为+y2=1.(2)由题意可得F′(-2,0),若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=2,此时|AB|=,F′到直线x=2的距离为4,△F′AB的面积为,不满足题意;斜率存在时,根据题意设直线l的方程为y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y可得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0,x1+x2=,x1x2=.则|AB|=|x 1-x2|==,设点F′到直线l的距离为d,则d=,所以S △F′AB=×d×|AB|=××==,解得k=±,所以存在直线l:x-y-2=0或x+y-2=0满足题意.21.(1)解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ae x ln x+e x-e x-1+e x-1,由题意得f(1)=2,f′(1)=e,故a=1,b=2.(2)证明:由(1)得f(x)=e x ln x+,从而f(x)>1⇔xln x>xe-x-.设函数g(x)=xln x,则g′(x)=1+ln x,当x∈(0,)时,g′(x)<0,当x∈(,+∞)时,g′(x)>0,故g(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增, 从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g()=-.设函数h(x)=xe-x-,则h′(x)=e-x(1-x),所以当0<x<1时,h′(x)>0,当x>1时,h′(x)<0,故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 从而h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=-.综上,当x>0时有g(x)>h(x),即f(x)>1.22.解:(1)直线l的参数方程为(t为参数),代入曲线C的方程得t2+4t-10=0.设点A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-4,t1t2=-10,所以|AB|=|t 1-t2|=2.(2)由极坐标与直角坐标互化公式得点P的直角坐标为(-2,2), 所以点P在直线l上,中点M对应参数为=-2,由参数t的几何意义,所以点P到线段AB中点M的距离|PM|=2.23.(1)解:|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当-1≤x≤2时,等号成立,所以f(x)的最小值等于3,即m=3.(2)证明:法一由(1)知a+b+c=3,又a,b,c是实数,所以(a2+b2+c2)(12+12+12)≥(a+b+c)2=9.即a2+b2+c2≥3.法二a2+1≥2a,b2+1≥2b,c2+1≥2c.相加即得(当a=b=c=1时取等号).考前综合测评卷(五)1.D2.A3.C4.C 由对数函数和指数函数的性质可得a=log0.80.9<log0.80.8=1,b=log1.10.9<0,c=1.10.9>1,故b<a<c,故选C.5.C a,b,c三名学生选择社团的结果有:(A,A,A),(A,A,B),(A,B,A),(B,A,A),(A,B,B),(B,A,B),(B,B,A),( B,B,B),共8个等可能性的基本事件,三人在同一个社团的结果有:(A,A,A),(B,B,B),共两个,所以“三人在同一个社团”的概率为=,而“三人不在同一个社团”与“三人在同一个社团”是对立事件,所以“三人不在同一个社团”的概率为1-=,故选C.6.C 因为sin α+cos α=,α∈(0,π),①所以2sin αcos α=-<0,所以sin α>0,cos α<0,所以sin α-cos α>0,又(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,所以sin α-cos α=,②由①②得,sin α=,cos α=-.又cos β=,β∈(0,π),所以sin β=,所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×-×=0.选C.7.B 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分,其中A(3,-2),D(2,).根据函数y=|x-2|+m的图象与图中的阴影部分存在公共点,可知,当函数y=|x-2|+m的图象过点A时m取得最小值,当函数y=|x-2|+m的图象过点D时m取得最大值,把点的坐标代入函数解析式,得m的最小值为-3,最大值为,所以m的取值范围是[-3,].故选B.8.C 第1次循环,S=11,i=9,第2次循环,S=20,i=8,第3次循环,S=28,i=7,第4次循环,S=35,i=6,第5次循环,S=41,i=5.因此S满足输出结果,退出循环,所以判断框中的条件为i>5,故选C.9.C 因为bcos C=3acos B-ccos B,所以sin Bcos C=3sin Acos B-sin Ccos B,即sin(B+C)=3sin Acos B,即sin A=3 sin Acos B,又易知sin A≠0,所以cos B=.因为B是△ABC的内角,所以sin B=.因为·=ac·cos B==2,所以ac=6,所以△ABC的面积为acsin B=×6×=2.故选C.10.A 根据题中所给的几何体的三视图可知该几何体是一个长方体去掉一个半圆柱构成的组合体,长方体的长、宽、高分别为4,3,2,半圆柱的高为3,底面圆的半径为1,几何体的表面积为S=2×(2×3+3×4+4×2)-π×12-3×2+π×1×3=46+2π,故选A.11.D 将四棱锥P ABCD补成正三棱柱,则四棱锥P ABCD的外接球就是正三棱柱的外接球,容易求得外接球半径R=.S球表面积=4πR2=4π×=.故选D.12.C 不妨设点P在第一象限,由对称性可得|OP|==,因为AP⊥PQ,所以在Rt△POA中,cos ∠POA==,故∠POA=60°,易得P(a,a),代入椭圆方程得+=1,故a2=5b2=5(a2-c2),所以离心率e=.故选C.13.解析:本小题主要考查函数定义域,由知x≥-1且x≠0.答案:[-1,0)∪(0,+∞)14.解析:因为f(x)=sin x-cos x=sin(x-),所以将其图象向右平移m(0<m<π)个单位长度,得到的图象为g(x)=sin(x-m-),又因为函数g(x)的图象关于原点对称,所以函数g(x)为奇函数,所以m+=kπ(k∈Z),即m=kπ-(k∈Z),又因为0<m<π,所以m=.答案:15.解析:直线2mx-y-2m-1=0(m∈R)可化为m(2x-2)-(y+1)=0,令解得x=1,y=-1.所以直线2mx-y-2m-1=0经过定点P(1,-1).因为以点Q(2,-3)为圆心且与直线2mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的半径为=.所以所求的圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=5.答案:(x-2)2+(y+3)2=516.解析:y′=2ax-,y′|x=2=4a-=-,又-5=4a+,联立解得a=-1,b=-2,所以a+b=-3.答案:-317.(1)证明:因为a n a n+1=4S n-1,a n+1a n+2=4S n+1-1,所以a n+1(a n+2-a n)=4a n+1,所以a n+2-a n=4.(2)解:由a n a n+1=4S n-1,a1=1,求得a2=3,由a n+2-a n=4知数列{a2n}和{a2n-1}都是公差为4的等差数列.所以a2n=3+4(n-1)=2·2n-1,a2n-1=1+4(n-1)=2(2n-1)-1,所以a n=2n-1.18.解:(1)由(2a+0.02+0.03+0.04)×10=1知a=0.005.(2)估计这100名学生的平均分为:55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=7.5+26+22.5+17=73(分).(3)由频率分布直方图知,语文成绩在[50,60)之间的人数为100×0.05=5,[60,70)之间的人数为100×0.4=40,[70,80)之间的人数为100×0.3=30,[80,90)之间的人数为100×0.2=20,故数学成绩在这几个分数段内的人数分别为5,20,40,25,总人数为90,故在[50,90)之外的人数为100-90=10.19.(1)证明:法一连结AB′、AC′,由已知∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱ABC A′B′C′为直三棱柱,所以M为AB′中点.又因为N为B′C′的中点,所以MN∥AC′,又MN⊄平面A′ACC′,AC′⊂平面A′ACC′,因此MN∥平面A′ACC′.法二取A′B′中点P,连结MP,NP,而M,N分别为AB′与B′C′的中点,所以MP∥AA′,PN∥A′C′,所以MP∥平面A′ACC′,PN∥平面A′ACC′,又MP∩NP=P,因此平面MPN∥平面A′ACC′,而MN⊂平面MPN,因此MN∥平面A′ACC′.。

山东省菏泽市高三数学二轮复习质量检测文新人教A版

1高三·三部二轮复习质量检测数学试题一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A ,,=，{}24B ,=，则A ．U AB =U B ．U = B UC ．UA =U D ．U =2. 设复数i z +=11(其中i 是虚数单位），则在复平面内，复数z 的共轭复数z 对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且asinAsinB＋bcos2A ＝2a ，则ba 的值为A 、1B 、2C 、3D 、25．若直线l 与幂函数ny x =的图象相切于点A (2,8)，则直线l 的方程为A ．12160x y --=B ．40x y -=C ．12160x y +-=D ．640x y --=6．定义!12n n =⨯⨯⨯L ．右图是求10!的程序框图，则在判断框内应填的条件是A ．10i < B.10i ≤ C.11i ≤ D.10i >7．已知变量x y ,满足约束条件21110x y x y y ,,.⎧+≥⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为A ．3-B ．0C ．1D ．38. k=4是直线l1：(k-2)x+ (3-k)y+ 1 = 0与l2：2(k-2)x — 2y + 4 = 0平行的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件12．设函数()f x 的定义域为D ，如果x D y D ,∀∈∃∈，使()()2f x fy C C(+=为常数)成立，则称函数()f x 在D 上的均值为C . 给出下列四个函数：①3y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y x ln =；④21y x sin =+, 则满足在其定义域上均值为1的函数的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷(非选择题:共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.开输入n1,1i s ==s s i =⨯1i i =+输出s 结是否（第6题图）2O4055图3a0.06b0.02频率组距产量/kg60504514．焦点在y 轴上，渐近线方程为3y x =±的双曲线的离心率为．15.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积等于_______三、解答题：本大题共６小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答． 17．（本小题满分12分）沙糖桔是柑桔类的名优品种，因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植沙糖桔，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg ），获得的所有数据按照区间(4045,,⎤⎦(((455050555560,,,,,⎤⎤⎤⎦⎦⎦进行分组，得到频率分布直方图如图 3.已知样本中产量在区间(4550,⎤⎦上的果树株数是产量在区间(5060,⎤⎦上的果树株数的43倍. （1）求a ,b 的值；（2）从样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树随机抽取两株，求产量在区间(5560,⎤⎦上的果树至少有一株被抽中的概率.18．(本小题满分12分)已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(,)OM a b =u u u u r 为函数()f x 的伴随向量，同时称函数()f x 为向量OM u u u u r的伴随函数．（Ⅰ）设函数()sin()2cos 22g x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭-，试求()g x 的伴随向量OM u u u u r的模；（Ⅱ）记(1,3)ON =u u u r 的伴随函数为()h x ，求使得关于x 的方程()0h x t -=在[0,]2π内恒有两个不相等实数解的实数t 的取值范围．20．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为nS，已知12a =，28a =，()11452n n n S S S n +-+=≥，nT 是数列{}2na log 的前n 项和.（1）求数列{}na 的通项公式；（2）求nT；（3）求23111111100n n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 当时的值.21．(本小题满分13分)已知函数()3e xf x a =+（e 2.71828=…是自然对数的底数）的最小值为3．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）已知b ∈R 且0x <，试解关于x 的不等式 22()3(21)3lnf x ln x b x b -<+--；（Ⅲ）已知m Z ∈且1m >.若存在实数[1,)t ∈-+∞，使得对任意的[1,]x m ∈，都有()3e f x t x +≤，试求m 的最大值．3高三·三部二轮复习质量检测数学答案1.D2.A3.D4.B5.A6.B7.C8.A9.A 10.D 11.D 12.C13.68 14. 2315. 16. 4(,)(0,)3-∞-⋃+∞17．（本小题满分12分）（本小题主要考查频率分布直方图、概率等知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）（1）解:样本中产量在区间(4550,⎤⎦上的果树有520100a a ⨯⨯=（株），…………1分样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树有()()002520100002b b ..+⨯⨯=+（株），依题意，有()41001000023a b .=⨯+，即()40023a b .=+.①…………3分根据频率分布直方图可知()00200651b a ..+++⨯=， ② …………4分解①②得:008004a b .,.==. ……………6分（2）解：样本中产量在区间(5055,⎤⎦上的果树有0045204.⨯⨯=株，分别记为123A A A ,,,4A ， ……………… 7分产量在区间(5560,⎤⎦上的果树有0025202.⨯⨯=株，分别记为12B B ,. … 8分从这6株果树中随机抽取两株共有15种情况：()()1213A A A A ,,,，()14A A ,()()()()()()111223242122A B A B A A A A A B A B ,,,,,,,,,,,,()34A A ,,()31A B ,,()32A B ,，()()4142A B A B ,,,,()12B B ,. ……………10分其中产量在(5560,⎤⎦上的果树至少有一株共有9种情况：()()1112A B A B ,,,,()()()()21223132A B A B A B A B ,,,,,,,,()()4142A B A B ,,,，()12B B ,. ……11分记“从样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树随机抽取两株，产量在区间(5560,⎤⎦上的果树至少有一株被抽中”为事件M ，则()93155P M ==. ……………12分18．本小题主要考查平面向量和三角函数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想以及分类与整合思想等．解：（Ⅰ）∵()sin()2cos 22g x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭-2sin cos x x =+， ……………… 2分∴(2,1)OM =u u u u r． ………………………… 4分故OM ==u u u u r……………………… 5分（Ⅱ）由已知可得()sin h x x x =+2sin()3x π=+，……………………… 7分 ∵02x π≤≤， ∴336x ππ5π≤+≤，故[]()1,2h x ∈. ……………………… 9分 ∵当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()h x单调递增，且()2h x ⎤∈⎦；当,62x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数()h x 单调递减，且[)()1,2h x ∈.∴使得关于x 的方程()0h x t -=在[0,]2π内恒有两个不相等实数解的实数t的取值范围为)2t ∈． … 12分19.（12分）解：（Ⅰ）在△ABC 中，AC=4,BC=8, AB ＝222AC BC AB ∴+=,故AC ⊥BC-------2分又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC=AC, ∴ BC ⊥平面PACBC ⊂平面PBC, ∴平面PBC ⊥平面PAC----4分（Ⅱ）无论M 点在PA 在何处，MC ⊂平面PAC, BC ⊥平面PAC,所以△MBC 总为直角三角形. ----6分∴12MBC S BC MC =⋅△,当MBC ∆的面积最小时，只需MC 最短.----8分又△PAC 是等边三角形，所以M 在PA 中点时，MC 最短，此时点M 到平面PBC 的距离是点A 到平面PBC 的距离的一半. ----10分由(Ⅰ) 平面PBC ⊥平面PAC ；所以过A 作PC 的垂线AD ，即为等边三角形PAC 的高即为A 到平面PBC 的距离，AD=M 到平面PBC.----12分20．（本小题满分12分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等知识，考查分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）解：∵当2n ≥时，1145n n nS S S +-+=，∴()114n n n n S S S S +--=-. (1)PABCD分∴14n na a +=. (2)分∵12a =，28a =，∴214a a =. (3)分 ∴数列{}na 是以12a=为首项，公比为4的等比数列.∴121242n n n a --=⋅=. ……………4分解：由（1）得：2122221n n a n log log -==-， ……………5分 ∴21222n nT a a a log log log =+++L()1321n =+++-L (6)分()1212n n +-= (7)分2n = . (8)分（3）解：23111111n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L22211111123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L (9)分222222222131411234n n ----=⋅⋅⋅⋅L()()2222132********n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅L L ……………10分12n n +=.101100200n =值为……………12分21．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分14分.解：（Ⅰ）因为R x ∈，所以0x ≥，故()3e 3e 3x f x a a a =+≥+=+，因为函数()f x 的最小值为3，所以0a =． ……… 3分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，()3e xf x =.当0x <时，ln ()ln(3e )ln3ln e ln3ln3x xf x x x ==+=+=-+，… 5分故不等式22ln ()ln 3(21)3f x x b x b -<+--可化为：22(21)3x x b x b -<+--，即22230x bx b +->， …………… 6分得(3)()0x b x b +->，所以，当0b ≥时，不等式的解为3x b <-；当0b <时，不等式的解为x b <． …………… 8分（Ⅲ）∵当[1,)t ∈-+∞且[1,]x m ∈时，0x t +≥，∴()3e 1ln x tf x t x e ex t x x ++≤⇔≤⇔≤+-. ∴原命题等价转化为:存在实数[1,)t ∈-+∞，使得不等式1ln t x x ≤+-对任意[1,]x m ∈恒成立.令()1ln (0)h x x x x =+->.∵011)('≤-=x x h ，∴函数()h x 在(0,)+∞为减函数. …………… 11分又∵[1,]x m ∈，∴m m m h x h -+==ln 1)()(min . …………… 12分 ∴要使得对[1,]x m ∈，t 值恒存在，只须1ln 1m m +-≥-．………… 13分∵131(3)ln 32ln()ln 1h e e e =-=⋅>=-，2141(4)ln 43ln()ln 1h e e e =-=⋅<=-且函数()h x 在(0,)+∞为减函数，∴满足条件的最大整数m 的值为3．…… 14分 22.（13分）解：（Ⅰ）1b c ==Q 2222a b c ∴=+=所以椭圆方程为2212x y +=………4分（Ⅱ）由已知直线AB 的斜率存在，设AB 的方程为：)2(-=x k y由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12)2(22y x x k y 得0288)21(2222=-+-+k x k x k422644(12)(82)0k k k ∆=-+->，得：212k <，即(k ∈ -------6分设1122(,),(,)A x y B x y ，22121222882,1212k k x x x x k k -+=⋅=++ (1)若O 为直角顶点，则0OA OB ⋅=u u u r u u u r，即12120x x y y +=有， Q 1212(2)(2)y y k x k x =-⋅-，所以上式可整理得，222282401212k k k k -+=++，解，得k =±，满足(k ∈ -------8分（2）若A 或B 为直角顶点，不妨设以A 为直角顶点，1OA k k =-，则A 满足：1(2)y x k y k x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，解得2222121k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，代入椭圆方程，整理得，42210k k +-=解得，k =，满足(k ∈ -------10分∴5k k =±=OAB 为直角三角形. -------12分。

高考数学二轮复习7大专题汇总

高考数学二轮复习7 大专题汇总专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：侧重掌握函数的单一性，奇偶性，周期性，对称性。

这些性质往常会综合起来一同观察，而且有时会观察详细函数的这些性质，有时会观察抽象函数的这些性质。

一元二次函数：一元二次函数是贯串中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了认识，高中阶段更多的是将它与导数进行连接，依据抛物线的张口方向，与x 轴的交点地点，进而议论与定义域在x 轴上的摆放次序，这样能够判断导数的正负，最后达到求出单一区间的目的，求出极值及最值。

不等式：这一类问题经常出此刻恒成立，或存在性问题中，其本质是求函数的最值。

自然对于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的联合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是特别必需的。

专题二：数列。

以等差等比数列为载体，观察等差等比数列的通项公式，乞降公式，通项公式和乞降公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前 n 项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。

专题三：三角函数，平面向量，解三角形。

三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有波及，有时观察三角函数的公式之间的相互转变，从而求单一区间或值域 ; 有时观察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，自然正弦，余弦定理是很好的工具。

向量能够很好得实现数与形的转变，是一个很重要的知识连接点，它还能够和数学的一大难点分析几何整合。

专题四：立体几何。

立体几何中，三视图是每年必考点，主要出此刻选择，填空题中。

大题中的立体几何主要观察成立空间直角坐标系，经过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。

此外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，侧重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应当掌握三棱柱，长方体。

空间直线与平面的地点关系应以证明垂直为要点，自然常观察的方法为间接证明。

专题五：分析几何。

高三数学二轮复习同步练习7知识归纳

专题71．求函数y ＝x 4＋3x 2＋3x 2＋1的最小值． [解析] 设t ＝x 2＋1，则t ≥1，且x 2＝t －1，∴y ＝x 4＋3x 2＋3x 2＋1＝(t －1)2＋3(t －1)＋3t＝t 2＋t ＋1t ＝t ＋1t＋1. ∵t ≥1，∴t ＋1t ≥2t ·1t ＝2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1时，等号成立． ∴当x ＝0时，函数取得最小值3.2．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？[解析] 设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝x ＋0.5y .上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行于直线l 0的一组直线x ＋0.5y ＝z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线x ＋0.5y＝0的距离最大，这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，得x ＝4，y ＝6. 此时z ＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．∴当x ＝4，y ＝6时z 取得最大值．答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．3．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 幅图的蜂巢总数．(1)试给出f (4)、f (5)的值，并求f (n )的表达式；(2)证明：1f (1)＋1f (2)＋1f (3)＋…＋1f (n )<43. [解析] (1)f (4)＝37，f (5)＝61.由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6，f (4)－f (3)＝37－19＝3×6，f (5)－f (4)＝61－37＝4×6，…因此，当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1.又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f (n )＝3n 2－3n ＋1.(2)证明：当k ≥2时，1f (k )＝13k 2－3k ＋1<13k 2－3k＝13(1k －1－1k)．当n ＝1时，显然结论成立，当n ≥2时，1f (1)＋1f (2)＋1f (3)＋…＋1f (n )<1＋13[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n)] ＝1＋13(1－1n )<1＋13＝43. 综上，结论成立．4．(理)在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n <512. [解析] (1)由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1. 由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2.用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上面可得结论成立． ②假设当n ＝k 时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2. 所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②可知，a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立．(2)证明：1a 1＋b 1＝16<512. 当n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)·(2n ＋1)>2(n ＋1)n . 故1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n <16＋12(12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)) ＝16＋12(12－13＋13－14…＋1n －1n ＋1) ＝16＋12(12－1n ＋1)<16＋14＝512. 综上，原不等式成立．。

2020-2021学年最新高考总复习数学（理）高三第七次模拟试题及答案解析

2020-2021学年最新⾼考总复习数学（理）⾼三第七次模拟试题及答案解析最新级⾼三第七次模拟考试数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 4 页．满分150分．考试⽤时120分钟．答题前，请务必将班级、姓名和考试号填写（或填涂）在答题卡的规定位置．注意事项：１. 第Ⅰ卷每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊；如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其它答案标号，答案写在试卷上的⽆效．２. 第Ⅱ卷必须⽤0.5毫⽶⿊⾊签字笔作答，答案必须写在答题卡各题⽬的指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使⽤涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案⽆效．第Ⅰ卷（选择题共50分）⼀、选择题：本⼤题共10⼩题，每⼩题5分，共50分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀个选项是符合要求的．1、已知集合{|21}xA x =>,{|1}B x x =<,则A B =I ( ) A ．{|01}x x << B ．{|0}x x >C ．{|1}x x >D ．{|1}x x <2. 复数=-+i i123（） A ．i 2521+ B ．i 2521- C ．i 2521+- D ．i 521--3. 某⼏何体的三视图如图所⽰，其俯视图是由⼀个半圆与其直径组成的图形，则此⼏何体的体积是（） A ．20π3 B ．6πC ．10π3 D ．16π3 4.设函数()sin(2)3f x x π=+，则下列结论正确的是（）①()f x 的图象关于直线3x π=对称；②()f x 的图象关于点(,0)4π对称；③()f x 的图象向左平移12π个单位，得到⼀个偶函数的图象；④()f x 的最⼩正周期为π，且在[0,]6π上为增函数．A. ①③ B .②④ C. ①③④D .③5. 甲⼄两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所⽰，1x ，2x 分别表⽰甲⼄两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表⽰甲⼄两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（） A ．1212,x x s s >< B ． 1212,x x s s == C ．1212,x x s s =6.函数cos ln xy x=的图象是（） 3275538712455698210⼄甲7.若在231(3)2nx x -的展开式中含有常数项，则正整数n 取得最⼩值时的常数项为（） A ．1352- B ． 135- C ．1352 D ．1358．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两焦点，以线段12F F 为边作正12MF F ?，若边1MF 的中点在双曲线上，则此双曲线的离⼼率是 ( )A ．423+ B.31- C.312+ D.31+ 9.已知实数y x ,满⾜??≥--≥-≥02200y x y x y ，则11+-=x y z 的取值范围是（）A ． ]31,1[- B.)1,21[-C.]31,21[-D. ),21[+∞- 10. 已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当()0x ∈-∞，时，()()0f x xf x '+<（其中()f x '是()f x 的导函数），若()() 0.30.333a f =?，()()log 3log 3b f ππ=?，3311log log 99c f ?=，则a ，b ，c 的⼤⼩关系是（）A ． a b c >>B ．c b a >>C ． c a b >>D ．a c b >>第II 卷（⾮选择题共100分）⼆、填空题：本⼤题共5⼩题，每⼩题5分，共25分． 11．若等⽐数列}{n a 的⾸项是32，且dx x a )21(414+?=，则公⽐等于． 12．执⾏右边的程序框图，输出的结果是．13．在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=o，点E 为线段CD 上的任意⼀点，则AE BD ?u u u r u u u r的最⼤值为．14. 已知函数)0( log )(2>=x x x f 的反函数为)(1x f -,且有，8)()(11=?--b f a f 若0>a 且0>b ，则ba 41+的最⼩值为．15. 给出下列四个命题：①命题“2,13x R x x ?∈+>”的否定是“2,13x R x x ?∈+≤”；② “2m =-”是“直线(2)10m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的必要不充分条件；③设圆22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->与坐标轴有4个交点，分别为1212(,0),(,0),(0,),(0,)A x B x C y D y ，则12120x x y y -=；④关于x 的不等式13x x m ++-≥的解集为R ，则4m ≤. 其中所有真命题的序号是.三、解答题：本⼤题共6⼩题，共75分．解答应写出必要的⽂字说明、证明过程或演算步骤． 16（本题满分12分）已知函数n m x f ?=)(,且(sin cos ,3cos )m x x x ωωω=+u r, (cos sin ,2sin )n x x x ωωω=-r ,其中0>ω,若函数)(x f 相邻两对称轴的距离⼤于等于2π.（1）求ω的取值范围；（2）在锐⾓三⾓形ABC ?中，c b a ,,分别是⾓C B A ,,的对边，当ω最⼤时，1)(=A f ，且3=a ，求b +c 的取值范围．17（本题满分12分）为增强市民的节能环保意识,某市⾯向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直⽅图如图所⽰,其中年龄分组区间是:[)[)[)[)[]45,40,40,35,35,30,30,25,25,20.(I)求图中x 的值并根据频率分布直⽅图估计这500名志愿者中年龄在[)40,35岁的⼈数;(II)在抽出的100名志愿者中按年龄采⽤分层抽样的⽅法抽取20名参加中⼼⼴场的宣传活动,再从这20名中采⽤简单随机抽样⽅法选取3名志愿者担任主要负责⼈.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的⼈数为X ,求X 的分布列及数学期望. 18（本题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底⾯ABCD 是菱形，ο60=∠ABC ，2==PC AB ,2==PD PA ．（I ）求证：ABCD PAD 平⾯平⾯⊥；（II ）求⼆⾯⾓A PC B --的余弦值．19. （本题满分12分）数列{}n a 的通项n a 是关于x 的不等式2x x nx -<的解集中正整数的个数，111()12n n n f n a a a n=++++++…．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（3）求证：对2n ≥且*n N ∈恒有7()112f n ≤<． 20（本题满分13分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离⼼率为21，长轴12A A ,短轴12B B ,四边形1122A B A B 的⾯积为43．（1）求椭圆的⽅程；（2）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆于P Q 、,直线12,A P A Q M 与交于12AQ A P N 与交于．(i) 证明：MN x ⊥轴，并求直线MN 的⽅程；（ii ）证明：以MN 为直径的圆过右焦点F ．21（本题满分14分）已知函数()()ln 1x f x x +=．（1）当0x >时，求证： ()22f x x >+；（2）当10x x >-≠且时，()11kxf x x+<+恒成⽴，求实数k 的值．三、解答题16、解析：（1）x x x x n m x f ωωωωcos sin 32sin cos)(22+-=?= )62sin(22sin 32cos πωωω+=+=x x x ……………………2分22π≥T Θπ≥∴T 10≤<∴ω…………………………4分（2）当ω最⼤时，即1=ω，此时)62sin(2)(π+=x x f ……………………5分1)(=A f Θ1)62sin(2=+∴πA 3π=∴A …………………………7分由正弦定理得23sin 3sin sin sin ====πC c B b A a B b sin 2=∴,C c sin 2=B C b c sin 2sin 2+=+∴B C B B sin 3cos 3sin 2)32sin(2+=+-=π)6sin(32π+=B …………………………9分B在锐⾓三⾓形ABC ?中,<<<<2020ππC B 即<-<<<232020πππB B 得26ππ<<B …………10分3263πππ<+<∴B 1)6sin(23≤+<∴πB 32)6sin(323≤+<∴πB c b +∴的取值范围为]32,3(…………………………12分17、解:(I)∵⼩矩形的⾯积等于频率,∴除[)40,35外的频率和为0.70,06.0570.01=-=∴x ………………2分500名志愿者中,年龄在[)40,35岁的⼈数为150500506.0=??(⼈). …………4分(II)⽤分层抽样的⽅法,从中选取20名,则其中年龄“低于35岁”的⼈有12名, “年龄不低于35岁”的⼈有8名. ……………………6分故X 的可能取值为0,1,2,3,()28514032038===C C X P ,()9528132028112===C C C X P , ()9544232018212===C C C X P ,()57113320312===C C X P , ………………10分故X 所以5739529512850?+?+?+?=EX 18、解：（1）取AD 的中点O ，连接,PO CO 0,60PA PD ABCD ABC =∠=为菱形， ,ABC ACD ??都是正三⾓形,PO AD CO AD ⊥⊥------------2分 POC ∠是⼆⾯⾓P AD C --的平⾯⾓21,PA PD AD AC CD PO =====∴=Q 222PC PO OC PO OC =+∴⊥，090AOD ∠= 所以，PAD ABCD ⊥⾯平⾯-------------------5分（2）建系 {,,}OC OD OP u u u r u u u r u u u r,所以 ()())()0,1,0,0,1,0,,0,0,1A D C P - ()()(0,2,0,1,0CP BC AD CA ====-u u u r u u u r u u u r u u u r设平⾯APC 的法向量为()1,,n x y z =u r()1301,3,330x z n x y ?-+=??=-?--=??u r……………………8分设平⾯BPC 的法向量为()2,,n x y z =u u r()2301,0,320x z n y ?-+=??=?=??u ur ,-------------------------------------------10分设⼆⾯⾓A PC B --的⼤⼩为θ，1227cos |cos ,|27n n θ=<>==u r u u r -----12分（3）111111()1212n n n f n a a a n n n n n=+++=+++++++++ (111)1n n n n<+++=1442443项………………………………9分由111111()1212n n n f n a a a n n n n n=+++=+++++++++…… 知11111(+1)++2322122f n n n n n n =+++++++… 于是111111(1)()021********f n f n n n n n n n +-=+->+-=++++++ 故(1)()f n f n +>()f n ∴当2n ≥且*n N ∈时为增函数7()(2)12f n f ∴≥=……………………………………11分综上可知7()112f n ≤<……………………12分 20、解（1）22133,24b b e a =∴==Q 即11224323A B A B S ab ==------------------------------------2分2,3a b ==，椭圆⽅程为22143x y +=----------------------3分同理可得:4N x =,MN x ⊥轴，直线MN 的⽅程为4x =………………10分 (ii)1212664, ,4,22y y M N x x ?++()()()()121212123636992233y y y y FM FN x x my my ?=+=+++++u u u u r u u u r()212221212222229363634999639393434369909182736y y m m m m y y m y y m m m m m m -?+=+=+--+++++++?=-=--++………………12分 FM FN ⊥,以MN 为直径的圆过定点F .……………………13分21、解：（1）0x >， ()()22ln 122x f x x x x >?+>++--------------1分()()()()()()222214ln 1'021212x x g x x g x x x x x x =+-∴=-=>+++++-------3分 ()g x 递增，所以()()00g x g >=，所以()2ln 12xx x +>+-------------------4分（2）当10x -<<不等式()()()211ln 11kxf x x x x kx x+<++->+ ()()()21ln 1x x x x kx =++--设h()()()1'ln 12,''2+1h x x kx h x k x =+-=-，因为110,011,11x x x -<<<+<∴>+ 若1212k k ≤≤即，()''0h x >，()'h x ↑，所以()()'00h x h <=()h x ↓，()()00h x h >=----------------------------------------------7分若21k >，存在()01,0x ∈-，使得 ()001''20+1h x k x =-= 当()0,0x x ∈，()''0h x <，()'h x ↓，所以()()'00h x h >= ()h x ↑，()()00h x h <=这与()()21ln 1x x x kx ++->⽭盾-------------9分当0x >不等式()()()211ln 11kxf x x x x kx x+<++-<+ ()()()21ln 1x x x x kx =++--设h()()()1'ln 12,''2+1h x x kx h x k x =+-=-，10,11,011x x x >+>∴<<+若1212k k ≥≥即，()''0h x <，()'h x ↓，所以()()'00h x h >=()h x ↑，()()00h x h <=，所以不等式成⽴---------------------------12分若21k <，存在()00,x ∈+∞，使得 ()001''20+1h x k x =-= 当()00,x x ∈，()''0h x >，()'h x ↑，所以()()'00h x h >= ()h x ↑，()()00h x h >=这与()()21ln 1x x x kx ++-<⽭盾综上所述：()()111110,;0,1212kx kx x f x k x f x k x x ++-<<<≥>2k =----------------------14分。

广西部分学校2023届高三二轮复习阶段性测试数学(理)试题

一、单选题二、多选题1. 在公比为等比数列中，是数列的前n 项和，若，则下列说法不正确的是（）A．B ．数列不是等比数列C．D．2. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（）A ．6B ．12C ．15D ．303. 设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的条件是（）A．B．C．D ．且4. 若集合，则等于A．B．C．D ．R5. 已知直线经过圆的圆心，其中且，则的最小值为（）A ．9B．C ．1D．6.已知等差数列的前n 项和为，，则（）A ．92B ．94C ．96D ．987. 某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：月份123456人均销售额658347利润率(%)12.610.418.53.08.116.3根据表中数据，下列说法正确的是（）A ．利润率与人均销售额成正相关关系B ．利润率与人均销售额成负相关关系C ．利润率与人均销售额成正比例函数关系D ．利润率与人均销售额成反比例函数关系8. 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB ，作一个等边三角形ABC ，然后以点B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧交线段CB 的延长线于点D （第一段圆弧），再以点C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧交线段AC 的延长线于点E ，再以点A 为圆心，AE 为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（）A．B．C．D．9. 如图所示，函数，的部分图象与坐标轴分别交于点，，，且的面积为，以下结论正确的是（）广西部分学校2023届高三二轮复习阶段性测试数学（理）试题广西部分学校2023届高三二轮复习阶段性测试数学（理）试题三、填空题四、解答题A ．点的纵坐标为B．是的一个单调递增区间C ．对任意，点都是图象的对称中心D．的图象可由图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位得到10. 已知函数，则（）A ．函数有最大值B ．至少有个零点C ．点是曲线的对称中心D ．存在，使得为奇函数11. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深（单位：）与时间（单位：）从时的关系可近似地用函数来表示，函数的图象如图所示，则（）A．B．函数的图象关于点对称C ．当时，水深度达到D ．已知函数的定义域为，有个零点，则12. 已知曲线与曲线相交于不同两点，曲线在A ，B 点处切线交于点，设，则（）A．B ．存在a 值，使得有极大值C ．对任意a 值有极小值D．13. 已知幂函数为偶函数则m 的值为_____________.14. 某人向东方向走了x 千米，然后向右转，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x 的值是______．15.函数的最小正周期为________.16. 在中，角所对的边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积的最大值.17.如图，已知正三棱锥的侧面是直角三角形，过点作平面，垂足为，过点作平面，垂足为，连接并延长交于点.(1)证明：是线段的中点；(2)求平面与平面夹角的正弦值.18. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，.(1)求tanC的值；(2)若a＝，求△ABC的面积．19. 如图，四棱锥，其中为正方形，底面，，，分别为，的中点，，在棱，上，且满足，.(1)求证：直线与直线相交；(2)求平面与平面夹角的余弦值.20. 已知数列满足，．(1)设，计算，，，并证明是等差数列；(2)求数列的前项和．21. 如图，正三棱柱的底面边长为2，.(1)求证：；(2)若点在线段上，且，求三棱锥的体积.。

高三数学二轮复习阶段性综合检测(六)

阶段性综合检测(六)(必做题部分：时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)1．命题“∃x ∈R ，x 2＋x ≤0”的否定是________．解析：存在性命题的否定是全称命题．答案：∀x ∈R ，x 2＋x >02．抛物线y ＝－2x 2的焦点坐标为________．解析：y ＝－2x 2化为x 2＝－12y ，∴焦点在y 轴负半轴上，∴F (0，－18)．答案：(0，－18)3．已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3，则2a ＋b ＝________.解析：y ′＝3ax 2＋2bx ，当x ＝1时，y ′|x ＝1＝3a ＋2b ＝0，y |x ＝1＝a ＋b ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝0a ＋b ＝3，a ＝－6，b ＝9，∴2a ＋b ＝－3.答案：－34．下列命题中，是真命题的有________．①∃x ∈[0，π2]，sin x ＋cos x ≥2； ②∀x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1； ③∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1；④∀x ∈(π2，π)，tan x >sin x .解析：对于①，sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，由x ∈[0，π2]，x ＋π4∈[π4，3π4]，则0≤sin x ＋cos x ≤2，故①错；对于②，由x 2－2x －1>0解得x >1＋2或x <1－2，故当x ∈(3，＋∞)时，x 2>2x ＋1恒成立；对于③，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34，故③错；对于④，当x ∈(π2，π)时，tan x <0，sin x >0，故④错．答案：②5．如图，过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，若x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于________．解析：由抛物线定义得|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.答案：86．函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致是________．解析：f ′(x )＝cos x －x sin x .取特殊值检验，当x ＝0时，f ′(x )＝cos x －x sin x ＝1，排除③④，当x ＝π2时，f ′(x )＝cos x －x sin x ＝0－π2<0，即在[0，π]的中间处，f ′(x )<0，显然②不符合要求．答案：①7．(2010年无锡调研)“若a ∉M 或a ∉P ，则a ∉M ∩P ”的逆否命题是________．解析：命题“若p 则q ”的逆否命题是“若綈q ，则綈p ”，本题中“a ∉M 或a ∉P ”的否定是“a ∈M 且a ∈P ”．答案：若a ∈M ∩P ，则a ∈M 且a ∈P8．(2010济南市高三模拟)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点垂直于x 轴的弦长为12a ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 的值是________．解析：据题意知椭圆通径长为12a ，故有2b 2a ＝12a ⇒a 2＝4b 2⇒b 2a 2＝14，故相应双曲线的离心率e ＝ 1＋(b a )2＝ 1＋14＝52.答案：529．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间是________．解析：f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ≤0，∴x ∈(0,1]．答案：(0,1]10．若函数f (x )，g (x )的定义域和值域都是R ，则f (x )>g (x )(x ∈R )成立的充要条件是________．①∃x 0∈R ，f (x 0)>g (x 0)②有无穷多个x ∈R ，使得f (x )>g (x ) ③∀x ∈R ，f (x )>g (x )＋1④R 中不存在x 使得f (x )≤g (x )解析：由于要恒成立，也就是对定义域内所有的x 都成立，所以对于①来说显然不成立；而对于②，无穷性是说明不了任意性的，所以也不成立；对于③，由③的条件∀x ∈R ，f (x )>g (x )＋1可以推导原结论f (x )>g (x )恒成立是显然的，即充分性成立，但f (x )>g (x )成立时不一定有f (x )>g (x )＋1，比如f (x )＝x 2＋0.5，g (x )＝x 2，因此必要性不成立；对于④，必要性显然成立，由R 中不存在x 使f (x )≤g (x )，根据逆否命题与原命题的等价性，则有对于任意x ∈R 都有f (x )>g (x )，即充分性也成立．答案：④11．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的离心率是________．解析：取焦点(c,0)，渐近线bx ＋ay ＝0，则有bc a 2＋b2＝142c ，整理得4b 2＝a 2＋b 2，∴3c 2＝4a 2，解得e ＝233.答案：23312．(2010年南京调研)如图所示，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＝______，f ′(5)＝________.解析：∵切线方程与y ＝f (x )交于点P (5，y 0)，∴y 0＝－5＋8＝3.由切线的意义知f ′(5)＝－1.答案：3 －113．已知命题p ：实数x 满足log a (1－x )<log a x (0<a <1)，命题q ：实数x 满足1＋x1－x>0，则p 是q 的________条件．解析：∵0<a <1，∴log a (1－x )<log ax ⇒1－x >x >0⇒0<x <12，而1＋x1－x>0⇒－1<x <1.可知p ⇒q 但q ⇒/p . 答案：充分不必要14．经过点M (10，83)，渐近线方程为y ＝±13x 的双曲线的方程为________．解析：由双曲线的渐近线方程知，双曲线可设为9y 2－x 2＝λ，将M (10，83)代入，可得λ＝－36，∴9y 2－x 2＝－36，即x 236－y 24＝1.答案：x 236－y 24＝1二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)设命题为“若m >0，则关于x 的方程x 2＋x －m ＝0有实数根”，试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断其真假．解：否命题：若m ≤0，则关于x 的方程x 2＋x －m ＝0无实数根；逆命题：若关于x 的方程x 2＋x －m ＝0有实数根，则m >0；逆否命题：若关于x 的方程x 2＋x －m ＝0没有实数根，则m ≤0.由方程的根的判别式Δ＝1＋4m ，得Δ≥0，即m ≥－14时，方程有实根．∴m >0使1＋4m >0，方程x 2＋x －m ＝0有实根． ∴原命题为真，从而逆否命题为真．但方程x 2＋x －m ＝0有实根，必须m ≥－14，不能推出m >0，故逆命题为假．否命题与逆命题互为逆否命题，故为假．16．(本小题满分14分)已知椭圆E 的焦点在x 轴上，长轴长为4，离心率为32.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)已知点A (0,1)和直线l ：y ＝x ＋m ，线段AB 是椭圆E 的一条弦并且直线l 垂直平分弦AB ，求实数m 的值．解：(1)由e ＝c a ＝32，2a ＝4，得c ＝3，而a 2－b 2＝c 2，则b ＝1，故椭圆E 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由条件可得直线AB 的方程为y ＝－x ＋1.于是，有 ⎩⎨⎧y ＝－x ＋1x 24＋y 2＝1，则5x 2－8x ＝0，故x B ＝85，y B ＝－x B ＋1＝－35.设弦AB 的中点为M ，则由中点坐标公式得x M ＝45，y M ＝15，由此及点M 在直线l 上得15＝45＋m ⇒m ＝－35.17．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝1x ＋2x 2＋1x 3.(1)求y ＝f (x )在[－4，－12]上的最值；(2)若a ≥0，求g (x )＝1x ＋2x 2＋ax 3的极值点．解：(1)f ′(x )＝－(x ＋1)(x ＋3)x 4. f ′(x )>0，－3<x <－1，(2)g ′(x )＝－x 2＋4x ＋3ax 4. 设u ＝x 2＋4x ＋3a . Δ＝16－12a ，当a ≥43时，Δ≤0，g ′(x )≤0，所以y ＝g (x )没有极值点．当0<a <43时，x 1＝－2－4－3a ，x 2＝－2＋4－3a <0.减区间：(－∞，x 1)，(x 2,0)，(0，＋∞)，增区间：(x 1，x 2)．∴有两个极值点x 1，x 2.当a ＝0时，g (x )＝1x ＋2x 2，g ′(x )＝－x ＋4x 3.减区间：(－∞，－4)，(0，＋∞)，增区间：(－4,0)． ∴有一个极值点x ＝－4.综上所述：a ＝0时，∴有一个极值点x ＝－4；0<a <43时有两个极值点x ＝－2±4－3a ；a ≥43时没有极值点．18．(本小题满分16分)(2010广东清远模拟)设P ：关于x 的不等式a x >1的解集是{x |x <0}，Q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求a 的取值范围．解：若P 真，则0<a <1；若P 假，则a ≥1或a ≤0.若Q 真，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a 2<0，得a >12；若Q 假，则a ≤12. 又P 和Q 有且仅有一个正确，当P 真Q 假时，0<a ≤12；当P 假Q 真时，a ≥1.综上，得a ∈(0，12]∪[1，＋∞)． 19．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB→的值； (2)如果OA →·OB→＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．解：(1)由题意知，抛物线的焦点为(1,0)，设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得 y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，O A →·O B →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)设直线l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得 y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b .∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b ，令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2. ∴直线l 过定点(2,0)．20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x 3－ax 2－a 2x ＋1，g (x )＝1－4x －ax 2，其中实数a ≠0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )与g (x )在区间(－a ，－a ＋2)内均为增函数，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3x 2－2ax －a 2，又3x 2－2ax －a 2＝3(x －a )(x ＋a 3)，令f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a3.①若a >0，则当x <－a3或x >a 时，f ′(x )>0，当－a3<x <a 时，f ′(x )<0.∴f (x )在(－∞，－a 3)和(a ，＋∞)内是增函数，在(－a3，a )内是减函数．②若a <0，则当x <a 或x >－a3时，f ′(x )>0，当a <x <－a3时，f ′(x )<0.∴f (x )在(－∞，a )和(－a3，＋∞)内是增函数，在(a ，－a3)内是减函数．(2)当a >0时，f (x )在(－∞，－a3)和(a ，＋∞)内是增函数，g (x )＝－a (x ＋2a )2＋1＋4a ，故g (x )在(－∞，－2a )内是增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a ＋2≤－a 3，－a ＋2≤－2a .解得a ≥3.当a <0时，f (x )在(－∞，a )和(－a3，＋∞)内是增函数，g (x )在(－2a ，＋∞)内是增函数．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－a ≥－a 3，－a ≥－2a .解得a ≤－ 2.综上知实数a 的取值范围为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．。

[名校联盟]2012届高三数学二轮复习07讲函数及其基本性质

的，紧扣性质解题，可使过程优化.
解
（1）令t=logax,则x=at.
a a 1
2
代入f(logax)=
(x
1 x
t
)
可得
f (t )
a a 1
2
( a a ).
t
∴函数解析式为
f (x)
a a 1
2
( a a )( x R）.
x x
（2）对于任意实数x,
有 f ( x) a a 1
解析
2 f(x)f(y)≥f(x+y)=f 2(x)+f 2(y)
f (x) f ( y) 1
［f(x)-f(y)］2≤0 f(x)=f(y)
要求的值为1 004.
【例2】若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a、b∈R)是
偶函数，且它的值域为（-∞，4］，则该函数的解析式f（x）= 分析 . f(x)定义域为R,又是偶函数,则f(-x)=f(x)，
010的
x0=5,且对任意自然数n均有xn+1=f(xn)，则x2 1 值为 . x f(x) 解析 1 4 2 1 3 3 4 5 5 2
∵x0=5,∴x1=f(x0)=f(5)=2,
x2=f(x1)=f(2)=1,x3=f(x2)=f(1)=4, x4=f(x3)=f(4)=5,x5=f(x4)=f(5)=2=x1, 可见数列{xn}周期为4，∴x2
2.备考过程中既要从宏观上掌握研究学习函数的一般方法和规律，按照“定义—定义域、值域—图象—性质”的思路程序研究每一类函数,又要从微观上理解和把握各类函数的不同性质、运算规律. 3.函数及其基本性质是函数内容的主体部分，是高考考查的重点，其中定义域、单调性、奇偶性、周期性等几乎是每年必考，常常是将这些知识点与集合、不等式、方程、函数图象等知识交汇融合，以填空题的形式进行考查.对于函数定义域，还常常隐性地进行考查，因为研究函数的性质以及其他问题时，必须首先研究函数的定义域.函数的单调性、奇偶性、周期性经常融合为一体，在研究参数的范围问题、求值问题中进行考查.

2021-2022年高三第七次阶段复习达标检测理科数学试题

7 8 9 8 7 2 8 81 0 82 6 乙甲 2021年高三第七次阶段复习达标检测理科数学试题xx.02.25本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至3页，第II 卷4至6页，共150分。

测试时间120分钟。

请将第I 卷答案涂到答题卡上，将第II 卷答案写到答题纸上，在本试卷上作答无效。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=∈≤-=Z x x xT R x x x S ,115,,21,则等于A ．B ．C ．D ．2．已知复数，则的共轭复数等于A. B. C. D.3．甲乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是，则下列正确的是 A. ；乙比甲成绩稳定 B. ；甲比乙成绩稳定 C. ；乙比甲成绩稳定 D. ；甲比乙成绩稳定4．下列说法中，正确的是A ．命题“若，则”的逆命题是真命题；B ．命题“，”的否定是：“，”；C ．命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题；D ．已知，则“”是“”的充分不必要条件.5．已知正项等比数列中, ,,则A. 2B.C.D.6．已知，由如右程序框图输出的为A．B． C．D． 07．为得到函数的导函数．．．图象，只需把函数的图象上所有点的A．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标向左平移B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标向左平移C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标向左平移D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标向左平移8．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息，设定原信息为传输信息为其中，运算规则为例如原信息为，则传输信息为，传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接受信息出错，则下列接受信息一定有误的是A．B． C．D．9．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A．B．C．D．10．直线与圆交于、两点，且、关于直线对称，则弦的长为A. 2B. 3C. 4D. 511．已知方程：，其一根在区间内,另一根在区间内，则的取值范围为A. B.C. D.12．设是R上的可导函数，且满足，对任意的正实数，下列不等式恒成立的是A.；B.；C.；D.高三第七次阶段复习达标检测数学试题（理科）第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题纸的相应位置上.）13．二项式的展开式中的常数项是__________.14．过双曲线的左焦点F作⊙O: 的两条切线，记切点为A,B,双曲线左顶点为C，若,则双曲线的离心率为____________.15．将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案方法种数为______________（用数字作答）.16．在△ABC中，过中线AD的中点E任作一直线分别交边AB，AC于M、N两点，设则的最小值是_________1D1C 1B1ACDAB第19题三、解答题（本大题共6个小题.共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）设△ABC 三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量，，且．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若△ABC 是锐角三角形，，求的取值范围． 18．（本小题满分12分）山东省某示范性高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。

江西省南昌市2020届高三第二轮复习测试卷理科数学(七) PDF版含解析

点，则 AE BC
2 1
A.
4
2 2
B.
2
2 1
C.
2
2 2
D.
4
8．已知数列an 的通项公式为 an 2n 15 ，前 n 项和为 Sn ，数列 an 的前 n 项和为Tn ，则下
列结论正确的是
①当 n 8 时，Tn Sn ；
②当 n 8 时，Tn Sn 2S7 ；
③当 n 8 时，Tn Sn ；
个？
— 高三理科数学(七)第 3 页(共 4 页) —
20．（本小题满分 12 分）已知直线 l : x y 1 0 过椭圆 C ： x 2 y 2 1a b 0 焦点 F 且
a2 b2 与 C 相交于 M , N 两点， E 为 MN 的中点，且 OE 的斜率为 3 ．
4 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
A. A B
B. CR A B
C. CR A B
D. A CR B
2．已知复数 z 满足 z 1 i 3 i ，则复数 z 的共轭复数的模为
A. 2
B. 2 2
C. 2
D.1
3．已知命题 p : x0 0 ,使得 x0 sin x0 0 ；命题 q : 对于 x R ，都有 ex x 1．则下
m n 2 73 7 3
19．【解析】（Ⅰ）由柱状图知,并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8，
9，10，11 的概率分别为 0.2，0.4，0.2，0.2，从而：
P( X 16) 0.2 0.2 0.04 ； P( X 17) 2 0.2 0.4 0.16 ；
2．选做题为二选一，先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑，没有选择作答无效． 3．考试结束后，监考员将答题卡收回

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阶段性综合检测(七)(必做题部分：时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)1．(2010年青岛质检)复数i 1＋2i(i 是虚数单位)的实部是________．解析：因为i 1＋2i ＝i(1－2i)5＝25＋i 5，所以复数i 1＋2i(i 是虚数单位)的实部是25.答案：252．(2010年扬州调研)执行如图所示的程序框图，若p ＝4，则输出的s ＝________.解析：由程序框图知s ＝12＋14＋18＋116＝1516.答案：15163答案：(b 1b n )n 2 4．(2010年南京第一次调研)复数z ＝(1＋i)21－i对应的点在第________象限．解析：z ＝(1＋i)21－i ＝2i 1－i＝－1＋i ，其对应的点的坐标为(－1,1)，所以点在第二象限．答案：二5．设0＜θ＜π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n (n ∈N ＋)，猜想a n＝________.解析：因为0＜θ＜π2，所以a 2＝2＋2cos θ＝2cos θ2，a 3＝2＋2cos θ2＝2cos θ4，a 4＝2＋2cos θ4＝2cos θ8，于是猜想a n ＝2cos θ2n －1(n ∈N ＋)．答案：2cos θ2n －1 6．(2010年南通第一次调研)根据下面一组等式：S 1=1,S 2=2+3=5,S 3=4+5+6=15,S 4=7+8+9+10=34,S 5=11+12+13+14+15=65,S 6=16+17+18+19+20+21=111.可得S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1＝________.解析：从已知数表得S 1＝1，S 1＋S 3＝16＝24，S 1＋S 3＋S 5＝81＝34，从而猜想S 1＋S 3＋…＋S 2n －1＝n 4.答案：n 47．复数53＋4i的共轭复数是________．解析：因为53＋4i ＝5(3－4i)(3＋4i)(3－4i)＝3－4i 5，所以其共轭复数为35＋ 45i.答案：35＋45i8．已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且(x －2)i ＋y ＝1＋i ，则(21＋i)x ＋y 的值为________．答案：－49．(2010年南京第一次调研)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 列的数，如a 42＝8.若a ij ＝2009，则i 与j 的和为________．解析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i ＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m －1)，所以m ＝44，即j ＝44，所以i ＋j ＝107.答案：10710．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ·3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N ＋都成立，那么a ，b ，c 的值分别为________．解析：∵已知等式对一切n ∈N ＋成立，∴当n ＝1,2,3时也成立，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝3(a －b )＋c ，1＋2×3＝32(2a －b )＋c ，1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c .解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝14，c ＝14.答案：12 14 1411．某电信公司推出一种手机月费方案为：若全月的通讯时间不超过150分钟，则收固定的月费60元；若全月的通讯时间超过150分钟，则除固定的月费之外，对超过150分钟的部分按每分钟0.30元收费．下面是计算手机月费的算法的流程图，其中处理框中应填上的条件是________．解析：若全月的通讯时间超过150分钟，则在固定的月费60元之外，对超过150分钟的部分按每分钟0.30元收费，则在T >150时，月费为Y ＝60＋0.30(T －150)．结合算法流程图，可知处理框中应填Y ←60＋0.30(T －150)．答案：Y ←60＋0.30(T －150)12．两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(α＋2π3)＋sin(α＋4π3)＝0.由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为________．解析：类比推理可知，四等分单位圆时，α与α＋π的终边互为反向延长线，α＋π2与α＋3π2的终边互为反向延长线，如图．答案：sin α＋sin(α＋π2)＋sin(α＋π)＋sin(α＋3π2)＝013．有一算法流程图如图，则该算法解决的是________．答案：输出不大于660能被10整除的所有正整数14．(2010年皖南八校模拟)在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：因为k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，所以得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)]．各式相加，得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝13n (n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，请你计算“1×3＋2×4…＋n (n ＋2)”，其结果写成关于n 的一次因式的积的形式为________．解析：∵k (k ＋2)＝16[k (k ＋2)(k ＋4)－(k －2)k (k ＋2)]，∴1×3＋2×4＋3×5＋4×6＋5×7＋6×8＋…＋n (n ＋2)＝16[1×3×5－(－1)×1×3＋2×4×6－0×2×4＋3×5×7－1×3×5＋4×6×8－2×4×6＋5×7×9－3×5×7＋6×8×10－4×6×8＋…＋n (n ＋2)(n ＋4)－(n －2)n (n ＋2)]＝16[－(－1)×1×3－0×2×4＋(n －1)(n ＋1)(n ＋3)＋n (n ＋2)(n ＋4)]＝16(2n 3＋9n 2＋7n )＝16n (n ＋1)(2n ＋7)．答案：16n (n ＋1)(2n ＋7)二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i (2x ＋ay )－(4x －y ＋b )i ＝9－8i 有实数解，求a ，b 的值．解：⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)＋i ＝y －(3－y )，(2x ＋ay )－(4x －y ＋b )i ＝9－8i 由第一个等式得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝y 1＝－(3－y )，解得⎩⎨⎧ x ＝52y ＝4.将上述结果代入第二个等式中得5＋4a －(10－4＋b )i ＝9－8i.由两复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧ 5＋4a ＝910－4＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2. 16．(本小题满分14分)假设a ，b ，c ，d ∈R 且ad －bc ＝1.求证：a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ≠1.证明：假设a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ＝1.∵ad －bc ＝1，∴a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ＝ad －bc .∴a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ＋bc －ad ＝0.∴2a 2＋2b 2＋2c 2＋2d 2＋2ab ＋2cd ＋2bc －2ad ＝0.∴(a ＋b )2＋(b ＋c )2＋(c ＋d )2＋(a －d )2＝0.∴a ＋b ＝0，b ＋c ＝0，c ＋d ＝0，a －d ＝0.∴a ＝b ＝c ＝d ＝0，∴ad －bc ＝0，这与ad －bc ＝1矛盾，从而假设不成立，原命题成立，即a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ≠1成立．17．(本小题满分14分)某“儿童之家”开展亲子活动，计划活动按以下步骤进行：首先，儿童与家长按事先约定的时间来到“儿童之家”，然后，一部分工作人员接待儿童，做活动前的准备；同时另一部分工作人员接待家长，交流儿童本周的表现；第三步，按照亲子活动方案进行活动；第四步，启导员填写亲子活动总结记录；同时家长填写反馈卡，最后启导员填写服务跟踪表．你能为“儿童之家”的这项活动设计一个活动流程图吗？解：活动流程图如图所示．儿童与家长如约来到“儿童之家” ↓ ↓接待儿童做接待家长交流活动前准备儿童本周表现↓ ↓按亲子活动方案活动↓ ↓启导员填写亲子家长填写亲子活动总结记录活动反馈卡↓ ↓启导员填写服务跟踪表18．(本小题满分16分)已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限内，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，z 2－i ＝x ＋y i 2－i ＝(x ＋y i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝15(2x －y )＋15(x ＋2y )i ，因为z ＋2i ，z 2－i均为实数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2＝0x ＋2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－2，所以z ＝4－2i ，所以(z ＋a i)2＝(4－2i ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，又复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限内，所以⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2＞08(a －2)＞0，解得2＜a ＜6，所以实数a 的取值范围是(2,6)． 19．(本小题满分16分)已知：a >0，b >0，a ＋b ＝1.求证： a ＋12＋ b ＋12≤2.证明：要证 a ＋12＋ b ＋12≤2，只要证：a ＋12＋b ＋12＋2 (a ＋12)(b ＋12)≤4， ∵由a ＋b ＝1，故只要证： (a ＋12)(b ＋12)≤1，只要证：(a ＋12)(b ＋12)≤1，只要证：ab ≤14，∵a >0，b >0,1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，故原不等式成立． 20．(本小题满分16分)(1)已知x ，y ∈R ，求证：不等式：①12x 2＋12y 2≥(12x ＋12y )2；②13x 2＋23y 2≥(13x ＋23y )2；③14x 2＋34y 2≥(14x ＋34y )2；(2)根据上述不等式，请你推出更一般的结论，并证明你的结论．解：(1)证明：①∵12x 2＋12y 2－(12x ＋12y )2＝12x 2＋12y 2－14x 2－12xy －14y 2＝14x 2－12xy ＋14y 2＝14(x －y )2≥0，∴12x 2＋12y 2≥(12x ＋12y )2.②∵13x 2＋23y 2－(13x ＋23y )2＝29x 2＋29y 2－49xy＝29(x 2＋y 2－2xy )＝29(x －y )2≥0，∴13x 2＋23y 2≥(13x ＋23y )2.③∵14x 2＋34y 2－(14x ＋34y )2＝14x 2＋34y 2－(116x 2＋38xy ＋916y 2)＝316x 2＋316y 2－38xy＝316(x 2＋y 2－2xy )＝316(x －y )2≥0，∴14x 2＋34y 2≥(14x ＋34y )2.(2)一般的结论是：已知x ，y ∈R ，a ，b 都是正数，且a ＋b ＝1，则ax 2＋by 2≥(ax ＋by )2.证明如下：∵a ＋b ＝1，∴a＝1－b＞0，b＝1－a＞0.∵(ax2＋by2)－(ax＋by)2＝(a－a2)x2－2abxy＋(b－b2)y2＝a(1－a)x2－2a(1－a)xy＋a(1－a)y2＝a(1－a)(x2－2xy＋y2)＝a(1－a)(x－y)2，又∵a＞0,1－a＞0，(x－y)2≥0，∴(ax2＋by2)－(ax＋by)2≥0，即ax2＋by2≥(ax＋by)2(其中a＋b＝1且a＞0，b＞0)成立.。