第八章非线性方程组求根

（C为非零常数）
则称序列{xk}收敛于x*的收敛速度是p阶的，或称该方法 具有p 阶收敛速度。当p = 1时，称该方法为线性（一次）收敛； 当p = 2时，称方法为平方（二次）收敛；当1< p< 2或 C=0,p=1时，称方法为超线性收敛。
6. 迭代法收敛阶的判别
定理8.3 如果 (在x) 附x近* 的某个领域内有p( )p阶 1
2
x*
x
执行步骤 1．计算f (x)在有解区间[a, b]端点处的值，f (a)，f (b)。
2．计算f (x)在区间中点处的值f (x1)。
3．判断若f (x1) = 0，则x1即是根，否则检验： （1）若f (x1)与f (a)异号，则知解位于区间[a, x1]， b1=x1, a1=a; （2）若f (x1)与f (a)同号，则知解位于区间[x1, b]， a1=x1, b1=b。
（2）当任意x[a, b]，存在0< L< 1，使
'(x) L1
(8.3.2)
则方程x = (x)在[a, b]上有唯一的根x*,且对任意初值 x0[a, b]，迭代序列xk+1= (xk) (k = 0, 1, …)收敛于x*。
[注] 此处L可以看成是 '在(x)区间[a,b]内的上界。
3．迭代法的误差估计
用二分法求解，要使 xkx* 0.5102，只要
10 2k1
0.5102
解得 k 2 6.64，取 k 7 。所以只要二等分7次，即可求得满
lg 2
足精度要求的根。计算过程如表6.2.1所示
表6.2.1
所以， x * 0 .5 ( 0 .0 8 5 9 3 7 5 0 .0 9 3 7 5 ) 0 .0 9
开始
读入a, h
a x0 f (x0) y0
x0 + h x0
f (x0) y0>0
打印 否
结束
是 继续扫描
例1：考察方程
f(x)x3x10
x
0
0.5
f (x) 的符号 －
－
1.0
1.5
－
＋
§1 二 分 法
a
xa1 x*
xb2 b
xk1xk ε1 或 f (x) ε2
不能保证 x 的精 度
因此, 我们希望 '(x) 0。
可取
k='(xk)1 ，若记
k
1 1 k
则（8.3.4）式可改写为
xk 1= ( 1 -k) xk+k( xk)
k 称为松弛因子，这种方法称为松弛法。
注：为使迭代速度加快，需要边计算边调整松弛因子。由于计 算松弛因子需要用到微商，在实际应用中不便使用，具有一定 局限性。若迭代法是线性收敛的，则当计算 不 方' ( x便) 时，可 以采用埃特金加速公式。
10 14
1.348,1.4141,1.5
由
x 1 1 0 x 4 2 3 0 , x 3 1 0 x 4 5 2 0 ,
2
4
知,当 x1,1.5 时，
x1 11 01 4 3 22 0 .1 4 1 4
2
1 0
所以迭代格式（3）也是收敛的。
结论:
通过以上算例可以看出对迭代函数 x 求导，
许误差 就可以停止搜索，即
然后取其中点 x n
ba 2n
作为方程的一个根的近似值。
xn
例1 证明方程 ex10x20存在唯一的实根 x* (0,1)
用二分法求出此根，要求误差不超过 0.5102 。 解：记 f(x)ex10x2，则对任意 x R ，
f(x)ex100
因而， f ( x ) 是严格单调的， f (x) 0 最多有一个根， 又因为 f(百度文库 ) 1 0 ,f( 1 ) e 8 0 所以， f (x) 0 有唯一实根 x* (0,1)
假设接收的信息如表8.1.1所示。请设法确定R点的位置。
表8.1.1
图8.1.2 卫星分布图
GPS导航问题可归结为求解非线性代数数方程组
F(x) 0 , 当 n 1 时就是单个方程.
f (x) 0
（8.1.1）
其中，f ( x ) 可以是代数方程，也可以是超越方程。使 f (x) 0 。
在定理8.1的条件下，简单迭代法产生的迭代点列 有如下误差估计式：
(1)
xk
x*
Lk 1Lx1x0
(2) xkx*1 LLxkxk1
（8.3.3）
停机准则。
例：
求方程 fxx34x2100在 1，1 .5 内的根 x * 。
解：
原方程可以等价变形为下列三个迭代格式
xk1 10xk 4xk2 xk3 k 0,1,2,...
引入待定参数 1 ，将 x (x) 作等价变形为
x1x11(x)
（8.3.4）
将方程右端记为 ( x ) ，则得到新的迭代格式
由定理8.1知
xk1 (xk)
'(x) L1
为了使新的迭代格式比原来迭 代格式收敛得更快，只要满足
'(x)1 1'(x)'(x)
且 '( x ) 越小，所获取的L就越小，迭代法收敛的就越快，
f (x) = 0
（8.2.1）
1．根的存在性。方程有没有根？如果有，有几个根？ 2．根的搜索。这些根大致在哪里？如何把根隔离开？ 3．根的精确化。
1.根的存在性
定义： 如果存在 x使* 得 f (x*，) 则0称 为方程x * （8.2.1）
的根或函数 f (x的) 零点。
定理1：设函数 f (x) 在区间[a, b]上连续，如果f (a) f (b) < 0， 则方程 f (x) = 0 在[a, b]内至少有一实根x*。
1．画出 f(x) 的略图，从而看出曲线与x 轴交点的位置。 f(x)
x0 a x0 h
x* b
2．从左端点x = a出发，按某个预先选定的步长h 一步一步地向右跨，每跨一步都检验每步起点x0
和终点x0 + h的函数值，若 f(x0)f(x0h)0
那么所求的根x*必在x0与x0+h之间，这里可取x0或x0+h 作为根的初始近似。
结果精确到四位有效数字，迭代到 x 1 0 得到收敛结果。
由迭代格式（3）
xk1 xk
10 xk 4
取初值 x0 1.25 得
x1 x0 1.38013
x2 x1 1.36334
x 3 x 2 1 .3 6 5 4 7 四步就能得到 x 4 x 3 1 .3 6 5 1收2 敛的结果了！
1.287,1.51,1.5
由
x3 x2 0,
4 10x3
x3x40x3 10x33 20 8
知当 x1,1.5 时， x1.53 1.52 0.65561
410 1.52
所以迭代格式（2）是收敛的。
迭代格式（3）的迭代函数为
x 10
x4
当 x1,1.5 时
x1.5,1
10 , 1.54
反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间：
[ a ,b ] [ a 1 ,b 1 ] [ a 2 ,b 2 ] [ a n ,b n ]
4、当 bk1ak1 时，停止；
注：
xk1 12(ak bk) 即为根的近似。
当 n时，bn an 0，即这些区间必将收缩于一点，也就是
方程的根。在实际计算中，只要[ a n , bn ] 的区间长度小于预定容
取初值 x0 1.25 得
x1 x0 1.41835，x2 x1 1.33666 x3 x2 1.37948，x4 x3 1.35786 x5 x4 1.36898，x6 x5 1.36331 x7 x6 1.36621，十x8步才能x7得到1.36473 x9 x8 1.36549，收x敛10的结果x！9 1.36510
第八章-非线性方程(组)求根
图8.1.1 卫星定位示意图
美国和前苏联的GPS都包括有24颗卫星，它们不断地向地 球发射信号报告当前位置和发出信号的时间，卫星分布如图 8.1.2所示。它的基本原理是：在地球的任何一个位置，至少 同时收到4颗以上卫星发射的信号。
设地球上一个点R，同时收到卫星 S1,S2, ,S6 发射的信号，
连续导数，且
(j)(x*)0 (j1,2, ,p1) (p)(x*)0
则迭代格式 xk1在(xk附)近是x *p阶局部收敛的，
且有
lim(xk1
x*)
(p)(x*)
k(xk x*)p
p!
7. 加速收敛技术
思
L越小迭代法的收敛速度越快，因此，可以从
路 寻找较小的L来改进迭代格式以加快收敛速度。
(1). 松弛法
成立的x 值称为方程的根，或称为 f ( x ) 的零点。科学与工程
计算中，如电路和电力系统计. 算、非线性力学、非线性微（ 积分）方程、非线性规划（优化）等众多领域中，问题的求 解和模拟最终往往都要解决求根或优化问题。前一种情形要 求出方程（组）的根；后一种情形则要求找出函数取最大或 最小的点。即使是对实验数据进行拟合或数值求解微分方程， 也总是将问题简化成上述两类问题。上述除少数特殊方程外， 大多数非线性代数方程（组）很难使用解析法求解精确解， 一般需要通过一些数值方法逼近方程的解。这里主要介绍单 个方程的数值解法，方程组也可以采用类似的方法，将放在 后面讨论。
结果精确到四位有效数字，迭代到 x 4 得到收敛结果。
分析:
迭代格式（1）的迭代函数为
x10x4x2x3
求导得 x18x3x2
当 x1,1.5时
x3x28x 11 01
故迭代格式（1）是发散的。
迭代格式（2）的迭代函数为
x1 10x3
2
当 x1,1.5 时
x1.5,11 2
101.53,1 2
1013
使用迭代法求解非线性代数方程的步骤为： (1) 迭代格式的构造； (2) 迭代格式的收敛性分析； (3) 迭代格式的收敛速度与误差分析。
1．简单迭代法
f (x) = 0 等价变换 x = (x) （8.3.1） 其中 (x)是连续函数。方程（8.3.1）称为不动点方程，满足
（8.3.1）式的点称为不动点，这样就将求 f ( x ) 的零点问题转 化为求 ( x ) 的不动点问题。 以不动点方程为原型构造迭代格式
定理8.2
设 x 为* 方程 x 的根x， 在 x的 邻近连x * 续且 x* 1，则迭代过程 xk1 在xk邻近x具* 有局部收敛性。
5．迭代过程的收敛速度
定义8.2： 设由某方法确定的序列{xk}收敛于方程的根x*， 如果存在正实数p，使得
lim x* xk1 C k x* xk p
y
y=x
p1
y= (x)
p0
✓
x
x0
x1 x*
y
y= (x) y = x
p0
p1
x x1 x0 x*
y p0
y=x
✓
y= (x) p1
x0
x*
y
y= (x) p0
x x1
y=x
p1
x x0 x* x1
2．迭代过程的收敛性
定理8.1：如果 (x)满足下列条件 （1）当x[a, b]时，(x)[a, b]
xk1
1 2
10xk3 k 0,1,2,...
xk1
10 k 0,1,2,...
xk 4
（1） （2） （3）
由迭代格式 （1）
xk 110xk4xk2xk3
取初值 x0 1.25 得
x1 3.046875 x2 26.04005
结果是发散 的？！
由迭代格式 （2）
xk1xk1 2 10xk3
m重根
若
f(x)(xx*)mg(x)
其中， g(x*)0,m为正整数，则当m=1时，称 x为* 方程（8.2.1）
的单根或函数 f (的x) 单零点。 当 m时2，称 x为* 方程（8.2.1）
的 m重根或函数f (x的) m重零点。
2. 根的搜索
(1) 图解法（利用作图软件如 Matlab) (2) 解析法 (3) 近似方程法 (4) 定步长搜索法
二分法的优缺点
①简单; ② 对f (x) 要求不高(只要连续即可) .
①无法求复根及偶重根 ② 收敛慢
§2 迭 代 法
问题 虽然二分法计算简单，能够保证收敛，但是它对于方程 单根存在区域信息要求太高，一般情况下很难实现，并 且不能求偶重根、复根和虚根。在实际应用中，用来求 解方程根的主要方法是迭代法。
所得到的 x 的上界若是大于1，则迭代格式发散；
若小于1，则收敛；且上界越小收敛速度越快。
4．迭代过程的局部收敛性
定义8.1 若存在 x 的* 某个邻域R： x x*， 使 迭代过程
xk1 (xk) 对于任意初值 x 0 均R 收敛， 则称迭代过程
xk1 (xk) 在根 x *附近具有局部收敛性。
xk 1(xk),(k0,1 , )
称这种迭代格式为不动点迭代。
例3：求方程 f(x)x1x020
的一个根.
解： x10x2010x x2
xlg(x2)
构造迭代格式
xk1lgx(k2)
给定初始点 x1 0.4771
x1 = 0.4771 x2 = 0.3939
… x6 = 0.3758 x7 =0.3758