(完整版)一元一次不等式(组)与二元一次方程(组)结合培优资料

一元一次不等式（组）与方程（组）的结合培优资

料

考点·方法·破译

1．进一步熟悉二元一次方程组的解法，以及一元二次不等式组的解法．

2．综合运用一元一次不等式组和二元一次方程组解决一些典型的实际问题． 经典·考题·赏析

【例1】求方程3x +27＝17的正整数解．

【解法指导】一般地，一个二元一次方程有无数个解，但它的特殊解是有限个，如一个二元一次方程的正整数解，非负整数解都是有限个．

求不定方程的正（非负）整数解时，往往借助不等式，整数的奇偶性等相关知识来帮助求解．

解：将方程变形为2y ＝17－3x 即2

317x y -= ∵y ＞0 ∴

2

317x -＞0 ∴x ＜317即x ＜3

25 又∵y 为正整数（即2317x -为整数） ∴17－3x 为偶数

∴x 必为奇数

∴x ＝1，3，5

当x ＝1时，72

13172317=⨯-=-=

x y 当x ＝3时，42

33172317=⨯-=-=x y 当x ＝5时，1253172317=⨯-=-=x y

故原方程的正整数解为⎩⎨⎧x =1y =7 或⎩⎨⎧x =3y =4 或⎩

⎨⎧x =5y =1 【变式题组】

01．求下列各方程的正整数解：

⑴2x +y ＝10 (2) 3x +4y ＝21

02．有10个苹果，要分给两个女孩和一个男孩，要求苹果不得切开，且两个女孩所得的苹果数相等，每个孩子都有苹果吃，问有哪几种分法？

【例2】足球联赛得分规定如下：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分•某队在足球联赛的4场比赛中得6分，这个队胜了几场，平了几场，负了几场？

【解法指导】本题中，所有的等量关系只有两个，而未知量有三个•因而所列方程的个数少于未知数的个数，即为不定方程组，但每个未知数量的数目必为非负整数•因此，此题的实质就是滶不定方程的非负整数解的问题．

此方程组有两个方和，三个未知数，解法仍然是消元，即消去某一个未知数后，变为二元一次方程，再仿照例1的解法施行．

解：设该队胜了x 场，平了y 场 ，负了z 场，依题意可得：

⎩⎨⎧x ＋y ＝4 ①3x ＋y ＝6 ②

②－①得：2x －z ＝2 ③

变形得： z ＝2x －2

∵0≤z ≤2

∴0≤2x －2≤2

即1≤x ≤2

又x 为正整数

∴x ＝1，2

相应地，y ＝3，0 z ＝0，2

答：这个队胜了1场，平了3场，或胜了2，负了2场．

【变式题组】

01．（佳木斯）为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其

单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么可能购买甲种笔（ ）．

A ．11支

B ．9支

C ．7支

D ．5支

02．一旅游团50人到一旅舍住宿，旅舍的客户有三人间、二人间、单人间三种•其中三人间

的客房每人每晚20元，二人间的客房每人每晚30元，单人间的客房每人每晚50元．

(1)若旅游团共住满了20间客房，问三种客房各住了几间？怎样住消费最低？

(2)若该旅游团中，夫妻住二人间，单身住三人间，小孩随父母住在一起，现已知有小孩4人（每对夫妻最多只带1个小孩），单身30人，其中男性17人，有两名单身心脏病患者要求住单人间，问这一行人共需多少间客房？

【例3】已知：关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧x －y =a +32x +y =5a

若x ＞y ，求a 的取值范围． 【解法指导】解本题的指导思想就是构建以a 为未知数的不等式•解之即得a 的取值范围，构建不等式的依据就是x ＞y ，而解方程组即可用a 的代数式分别表示x 和y ，进而可得不等式．

解：解方程组⎩⎨⎧x －y ＝a ＋32x ＋y ＝5a 得 ⎩⎨⎧x ＝2a ＋1y ＝a －2

∵x ＞y ∴2a ＋1＞a －2 解得a ＞－3

故a 的取值范围是a ＞－3．

【变式题组】

01．已知：关于x 的方程3x －(2a －3) ＝5x ＋(3a ＋6)的解是负数，则a 的取值范围是_____．

02．已知：关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧x +y =3a +9x －y =5a +1

的解为非负数． (1)求a 的取值范围；

(2)化简｜4a +5｜－｜a －4｜．

03．当m 为何值时，关于x 的方程

2

153166--=--m x m x 的解大于1？

4．已知方程组⎩⎨⎧2x +y =5m +6x －2y =－17 的解x 、y 都是正数，且x 的值小于y 的值，求m 的取值范围．

【例4】（凉州）若不等式⎩

⎨⎧x －a ＞2b －2x ＞0 的解集是－1＜x ＜1，求（a +b ）2009的值． 【解法指导】解此不等式组得a +2＜x ＜2

b ，而依题意，该不等式的解集又是－1＜x ＜1，而解集是唯一的，因此两解集的边界点分别“吻合”，从而得两等式即得方程组，解之可得a 、b 之值．

解：解不等式组⎩⎨⎧x －a ＞2a －2x ＞0 得a +2＜x ＜2

b 又∵此不等式组的解集是－1＜x ＜1

∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a +2=－12

b =1a 解设⎩⎨⎧a =－3a b =2a ∴（a +b ）2009＝（－1）2009＝－1

【变式题组】

01．若⎩⎨⎧2a +x ＞a 2－3x ＞a

的解集为－1＜x ＜2，则a ＝___________，b ＝_____________． 02．已知：关于x 的不等式组⎩⎨⎧x －a ≥b 2x －a ＜2b +1的解集为3≤x ＜5，则a

b 的值为（ ）