概率论-2-3 常见离散型随机变量的分布

X
(二) 性质
1. 所有概率函数值（无穷多个）之和等于1，即
2.分布函数
X e 1
X 0 X !
F ( X ) P( X x) x X e
X 0 X!
（X=0,1,2,…x）
3.其它性质 总体均数: μ ＝λ＝np (或nπ) 方差： σ 2＝λ
标准差：
★ 例 设随机变量 X 服从参数为λ的Poisson分布，
且已知 PX 1 PX 2
试求 PX 4．
解： 随机变量 X 的分布律为
PX k k e k 0， 1， 2，
k!
由已知 PX 1 PX 2
即
1 e 2 e
P( X ) X e
X!
（X=0,1,2,…）
其中λ＞0，则称X服从参数λ为的Poisson分布。 记为X～P(λ)。式中：λ为总体均数，λ=np；X为（稀有） 事件发生次数；e为自然底数，即e =2.71828 。
亦可用下列公式计算
P（0）= e－λ
P(X ) P( X 1)
2、二项分布
产生背景：n 重伯努里试验 设试验 E 只有两个可能结果 : A 及 A 设 P(A) p (0 p 1),此时P( A) 1 p.
二项分布定义：
若 X 表示 n 重伯努里试验中事件 A 发生的次数 ,
当 X k (0 k n) 时, 即 A 在 n 次试验中发生了 k 次
或
X
0
1
pk 1 p
p
则称 X 服从 0-1 分布或两点分布.
例 200件产品中,有190件合格品，10件不合格 品，现从中随机抽取一件，若规定
X

1, 0,
取得不合格品, 取得合格品.
X0
1
pk
190 200
10 200
则随机变量 X 服从0-1分布.
两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
2
2
因此
设随机变量X的所有可能取值为非负整数，即
X {0,1, 2, }, 且
P{X k} k e
k!
k 0, 1,
则称X服从参数为λ的泊松分布，记为：X P(λ) 。
显然
P{ x k} ke 0
k!


P{x k}
k e

n(n 1)(n k k!
1) 1
n
nk
n


k!
1

1

1 1 n
例 计算Poisson分布X~P(3.5)的概率。
P( X ) 3.5 X e3.5 X!
P( X 0) e3.5 2.71828 3.5 0.0302
P( X 1) 3.5 P( X 0) 3.5 0.0302 0.1057
1
1
P( X 2) 3.5 P( X 1) 3.5 0.1057 0.1850
又 np 0.8,
故 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为
P{Y 4} (0.8)k k 0.8 0.0091.
k4
k!
★ 例 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生产),现有 同类型设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概 率都是0.01. 设一台设备的故障可由一个人来处理,问 至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障但不能及 时维修的概率小于0.01?
六、小结
0-1分布: X~B(1,p), 则
X pk
0 1 p
1 p
二项分布: X~B(n,p)，则
P
X k

C
k n
pk q1k
k 0, 1, , n
泊松分布: X~P(λ) ，则
P{X k} k e
k! 几何分布: X~G(p)，则
k 0, 1,
P{X k} (1 p)k1 p k 1,2,
第三节 常见离散型随机变量 的分布
一、0-1分布 二、二项分布 三、泊松分布 四、几何分布 五、超几何分布 六、小结
1、两点分布（也称（0-1）分布）
“抛硬币”试验,观察正、反两面情况.
X
()

1, 0,
反面, 正面.
其分布律为
X
0 1
1
1
pk
2
2
1、0-1分布
设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的 分布律为 P( X k) p k (1 p)1k , (k 0,1)
因为 (n 1) p (10 1)0.25 2.75 不是正整数，
所以最可能有 2 个顾客购买服装．
3、泊松分布
㈠ 定义
如果（稀有）事件A在每个单元（设想为n次试验）内平 均出现λ次，那么在一个单元（n次）的试验中， （稀 有）事件A出现次数X的概率分布服从Poisson分布。

例 某服装商店经理根据以往经验估计每名顾客购买 服装的概率是0.25，在10个顾客中有3个及3个以上顾 客购买服装的概率是多少？最可能有几个顾客购买服 装？
解 设X 表示购买服装的顾客数目，
则 X ~ B(10,0.25)，所以有 3 个及 3 个以上顾客购买服装的概率为
2
P{X 3} 1 P{X k} 2 k0 1 C1k0 (0.25)k (0.75)10k 0.4744 k 0
解 设需配备 N 人. 记同一时刻发生故障的设备 台数为 X , 那么, X ~ b(300,0.01). 所需解决的问题 是确定最小的 N , 使得
P{X N } 0.99.
由泊松定理得
故有
P{X N }
N
3k e3 ,
k0 k!
N 3k e3 0.99,
k0 k!
解 按第一种方法 以X记“第1人维护的20台中同一时刻发生故障的台 数”, 以Ai (i 1,2,3,4)表示事件“第i人维护的20台中
发生故障时不能及时维修”, 则知80台中发生故障 而不能及时维修的概率为
P( A1 A2 A3 A4 ) P( A1 ) P{X 2}.
1 pn
nk e k 。
Fra Baidu bibliotekk!
意义：定理的条件npn=λ（常数）意味着当n很大时，pn
必定很小。因此，定理表明当n很大、p很小时有以下
近似公式
C
k n
pk
(1

p)nk

k e
k!
例 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过,
设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率 为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通 过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?
1
P{ X 2} 1 e0.1 0.1 e0.1 0.0047.
0!
1!
★ 例 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的发生故
障的概率都是 0.01,且一台设备的故障能由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法 , 其一是由四人维护,每人 负责20台; 其二是由3人共同维护台80.试比较这两种方法 在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.
解 设1000 辆车通过, 出事故的次数为 X , 则
X ~ b(1000,0.0001),
所求概率为 P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1}
可 1利用0.9泊99松91定000理计1算000 0.001001000.909.909090919 0.1,
e e
1
k0
k0 k!
泊松分布背景：
在一个时间间隔内某电话交换台收到的电话的呼唤次数； 一本书一页中的印刷错误数； 某地区在一天内邮递遗失的信件数； 某一医院在一天内的急诊病人数； 某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数； 等等都服从泊松分布.
因此泊松分布是概率论中最重要分布之一。
1!
2!
由此得方程 得解
2 2 0 2．
另一个解 0不合题意，舍去
所以，
PX 4 2 4 e2 2 e2
4!
3
0.09022
泊松定理： 设λ=npn>0，0<pn<1,n=1,2,···，对于任
意一个非负整数k，有
lim
n
Cnk
pnk
例 某特效药的临床有效率为75%，今有10人服 用，问至少有8人治愈的概率是多少？
解 设 X 为10人中被治愈的人数，根据题意知 X ~ B(10,0.75)，则所求
的概率为 P{X 8} P{X 8} P{X 9} P{X 10}

C180
(0.75)8
(0.25)2
C190
3、联系
两点分布
n1
二项分布
n 10, p 0.1
泊松分布
泊松定理
当 n 时,
P{X

k}

C
k n
p k (1
p)nk

k
k!
e ,

np
(k 0,1,2,, n).
★ 泊松定理的证明：由pn=λ/n有

n k

pnk
1

p nk n
(0.75)9
(0.25)1

C10 10
(0.75)10
0.2816 0.1877 0.0563 0.5256
X ~ B(10, 0.75)
X ~ B(6, 0.5)
从图中可以看出，对于二项分布， X 取k 值的概率随着k 的增大先是逐渐增大，直至 达到最大值，然后再下降．使 X 取值达到最大概率的点，称为二项分布的最可能取值． 证明得，当 (n 1)p m 为正整数时， m 和 m1均为最可能取值；当(n 1)p 不是正整数时， 则满足 (n 1)p 1 m (n 1)p 的整数即为最可能取值．
k 1, 2,
q 1 p
其中，0<p<1，则称X服从参数为p的几何分布，记做
X G( p).
几何分布可作为描述某个试验 “首次成功”的概率模型.
5、超几何分布
如果随机变量X的概率分布为
P{X
k}
CMk

Cnk N M
CNn
(k 0,1, , min(M , n))
其中N,M,n 均为自然数,则称随机变量X服从超几何分 布，记做 X H (M , N, n).
近似
而 X ~ b(20,0.01), 又 np 0.2, 于是 X ~ P(0.2)
故有 P{ X 2} (0.2)k k 0.2 0.0175.
k2
k!
即有 P( A1 A2 A3 A4 ) 0.0175.
按第二种方法
以Y 记 80台中同一时刻发生故 障的台数. 则有 Y ~ b(80,0.01),
回顾： 随机变量的分类 随机变量
离散型 连续型
随机变量所取的可能值是有限多个或无限 可列个, 叫做离散型随机变量.
随机变量所取的可能值可以连续地充满某个 区间,叫做连续型随机变量.
引入分布的原因
以认识离散随机变量为例, 我们不仅 要知道 X 取哪些值,而且还要知道它 取这些值的概率各是多少,这就需要 分布的概念.有没有分布是区分一般 变量与随机变量的主要标志.
（2）当n=1时，二项分布为0－1分布，记 XB(1, p).
例：某射手每次射击时命中10环的概率为 p, 现进 行 4 次独立射击，求 恰有 k 次命中10环的概率。
解：用X 表示 4 次射击后, 命中10环的次数, 则 X 的概率分布为
P{X k } C4k p k (1 p )4k , k 0,1, 2, 3, 4 .
的概率为：PX k Cnk pk (1 p)nk
其中0<p<1, 则称X服从参数为n, p的二项分布，记为： XB(n, p).
说明：
n
（1）因为
C
k n
pk q1k

pq n 1
，其中
C
k n
pk q1k
k0
恰为二项式 p qn 的一般项，故称为二项分布。
即 1 N 3k e3 3k e3 0.01,
k0 k!
kN 1 k!
查表可得满足此式最小的N是8，故至少需配备8
个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的 概率小于0.01.
4、几何分布
设随机变量X的概率分布为
pk P( X k) (1 p)k1 p