九年级数学中考总复习资料
完整版)初三数学总复习知识点
完整版)初三数学总复习知识点Chapter 1: Quadratic Radical1.A quadratic radical is an n of the form a (a≥0).Property: a (a≥0) is a non-negative number;a^2=a (a≥0);a^2=a (a≥0).2.n and n of quadratic radicals: a•b=ab (a≥0.b≥0);a/a (a≥0.b>0)=√a/b.3.n and n of quadratic radicals: when adding or subtracting quadratic radicals。
XXX form first。
then combine the quadratic radicals with the same radicand.4.Heron's formula: S=p(p-a)(p-b)(p-c)。
where S is the area ofa triangle。
and p=(a+b+c)/2.Chapter 2: XXX1.XXX that has only one unknown variable。
and the highest degree of the variable is2.2.XXX:Completing the square method: transform one side of the ninto a perfect square。
then take the square root of both sides;Quadratic formula: x=(-b±√(b^2-4ac))/2a;Factoring method: factor the left side of the n into two factors。
and set each factor equal to zero.3.ns of XXX life problems.4.Vieta's formulas: let x1 and x2 be the roots of the nax^2+bx+c=0.then we have b=-a(x1+x2) and c=a(x1x2).Chapter 3: XXX1.n of a figure: XXX it around a fixed point by a XXX.Properties: the distance from each point of the figure to the center of n remains the same;the angle een the line segment connecting each point and the center of n is equal to the angle of n;the original figure and the XXX.2.XXX to a point if the figure coincides with itself after a180-degree XXX point.A figure is XXX its image under a 180-degree n around apoint is identical to the original figure.3.Coordinates of points XXX to the origin.Chapter 4: Circle1.ns of circle。
初三数学考试复习资料
初三数学考试复习资料初三数学考试复习资料复习是对前面已学过的知识进行系统再加工，并根据学习情况对学习进行适当调整，为下一阶段的学习做好准备。
下面是为大家整理的关于初三数学考试复习资料，希望对您有所帮助!初三数学知识点分类复习题【复习要点】代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数几何知识解题.【实弹射击】1、(08广东省)将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD.(1)填空：如图a，AC= ，BD= ;四边形ABCD是梯形.(2)请写出图a中所有的相似三角形(不含全等三角形).图10(3)如图b，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.图a2、(09广东省) 正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，(1)证明：Rt△ABM ∽Rt△MCN;(2)设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式;当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积，并求出面积;(3)当M点运动到什么位置时Rt△ABM ∽Rt△AMN，求此时x的值.3、(10广东省)如图(1)，(2)所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2。
动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动(点M可运动到DA的延长线上)，当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动。
+2025年苏科版九年级中考数学专题复习课件+++矩形的折叠问题++
使点D落在BC边的一点F处，已知折
痕AE=55
cm，且tanEFC=
4 3
.
(1)
求证：AFB∽FEC；
(2)
求矩形ABCD的周长。
B
D E
FC
练习5 如图，将矩形纸片ABCD
E
沿一对角线BD折叠一次（折痕 A
与折叠后得到的图形用虚线表
F
示），将得到的所有的全等三角
形（包括实线、虚线在内）用符 号写出来。
例5 已知一三角形纸片ABC，面积为25，BC的长为 10，B和C都为锐角，M为AB上的一动点(M与A、B 不重合)，过点M作MN∥BC，交AC于点N，设MN=x.
(1)用x表示△AMN的面积SΔAMN。
(2)ΔAMN沿MN折叠，设点A关于ΔAMN对称的点为A¹， ΔA¹MN与四边形BCMN重叠部分的面积为y.①试求出 y与x的函数关系式，并写出自变量X的取值范围； ②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多 少？
练习7 如图，把一张边长为a的正 A E
方形的纸进行折叠，使B点落在AD 上，问B点落在AD的什么位置时，
M
折起的面积最小，并求出这最小值。
B
解： 如图，设MN为折痕，折起部
分为梯形EGNM，B、E关于MN对
AE
称，所以BE⊥MN，且BO3 =EO，设
8
AE=x，则BE= 。
MO
由Rt△MOB∽
，得：
C
E
你能求出线段BE及折痕EF的
长吗？
3、在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、 OC分别落在x轴，y轴上，且OA=4，0C=3。
（1）求对角线OB所在直线的解析式；
y
B C
万唯中考九年级数学知识点归纳
万唯中考九年级数学知识点归纳数学对于每个学生来说都是一门必修的学科，而数学在中考中的重要性更是不言而喻。
作为学生们最为关注的科目之一，数学的积累和掌握是十分必要的。
为了帮助九年级学生做好数学的复习备考工作，下面将对万唯中考九年级数学知识点进行归纳总结。
一、代数与函数代数与函数是数学中的基础和核心，其中包括了常数、变量、代数式、函数等内容。
在代数与函数部分，重点掌握代数式的展开与因式分解、二次根式的加减乘除及绝对值、一元二次方程的解法、函数的概念与特征以及函数关系的图像。
二、图形与几何几何是数学中的重要组成部分，图形与几何主要涵盖了平面几何和空间几何两个方面。
平面几何的内容包括了点、线、面等基本概念及相关性质，如三角形、四边形、多边形的性质，图形的相似与全等等。
空间几何则主要关注点、直线、平面等在三维空间中的相互关系，如直线的位置关系、平面与平面的位置关系等。
三、数据与概率数据与概率是现实生活中的数学应用，也是数学考试中的一项重要内容。
在数据与概率部分，学生需要了解数据的收集、整理和分析方法，包括统计图表的绘制与解读，常见统计量的计算等。
此外，还需要掌握概率的概念与计算方法，包括事件概率的计算、概率分布的应用等。
四、简单数理逻辑与证明数学逻辑与证明是数学思维的重要体现，也是数学中的一项基本技能。
简单数理逻辑与证明主要包括数学推理、命题、逻辑联结词等相关内容。
九年级学生需要通过大量的练习来提高自己的逻辑思维能力，培养正确的数学证明方法。
五、应用题与解题方法除了掌握基础知识和技能外，九年级学生还需要掌握合理的解题方法和策略，并能够应用所学的数学知识解决实际问题。
对于应用题，需要培养学生的问题分析和解决问题的能力，帮助学生掌握问题的转化和解题思路的确定。
综上所述，九年级数学的复习备考工作需要广泛涉猎各个知识点，并通过大量的练习来提高自己的解题能力。
在备考过程中，学生们可以选择不同的学习方法和技巧，如整理笔记、做题总结、与同学讨论等方式来巩固知识，提高解题水平。
中考数学复习资料(7篇)
中考数学复习资料(7篇)中考数学复习资料(7篇)它是初中毕业证发放的必要条件，中国将这几科考试科目规定为国家课程的学科，全部列入初中学业水平考试的范围。
以下是小编为大家整理的中考数学复习重点，仅供参考，希望能够帮助大家。
中考数学复习重点1中考临近，考生在复习时数学如何才能抓住要点数学复习应该重点抓好数字式、方程(组)与不等式(组)、函数及其图像、统计与概率、几何的基本概念与三角形、四边形、相似图形、特直角三角形、圆及视图与投影等10大模块。
同时，于忠翠老师强调，考生应该以轻松自信的心态应对中考，发挥出自己的真实水平。
数字式以中、低档题居多“这一板块主要包括实数、整式、因式分解、分式及二次根式等内容，中考中多以填空选择的客观题形式出现，淡化了计算难度，主要以中、低档次的题居多。
”于忠翠说，随着课改的深入，这一板块的考察形式将会多样化，一些以实际生活题材为背景、结合当今社会热点的问题将会占据主流，近似数、有效数字、科学论证法、绝对值、因式分解、规律探究及阅读理解题成为近几年的热点题型。
方程与不等式难度不大、函数突出开放性单纯求解方程的不等式问题多以填空、选择的题型出现，一般难度不大。
对于应用方程(组)与不等式(组)解决实际问题，特别是与生产生活相联系的方案设计、决策应用等问题应是中考重点，尤其是方程与函数知识、几何知识的综合运用及不等式的实际运用问题是热点问题。
“函数题越来越突出开放性，单纯求函数解析式的题型越来越少，函数中的一些动点问题，尤其是设计新颖、贴近生产生活的函数最值问题、一些开放性探索题及图表信息题将会成为中考热点问题。
”于忠翠说。
统计概率以图表信息题为主统计与概率在中考试卷中所占分数一般在10分左右，这一板块在考察基础知识和基本技能的同时，多以图表信息题为主，考察学生利用图表的信息及所求概率的大小，解决现实生活中的问题。
对于几何与三角形，于忠翠表示，这一板块主要考察结合图形探索规律，特殊三角形在实际生活中的应用及利用旋转、轴对称等知识解决实际问题，淡化了传统的推理论证题。
中考数学复习知识点归纳总结6篇
中考数学复习知识点归纳总结6篇篇1一、数与代数1. 数的基本概念：整数、分数、小数、百分数、比例、方程等。
2. 数的运算：加减乘除四则运算，乘方、开方运算，分数运算，小数运算等。
3. 代数表达式：用字母表示数，表达数量关系和变化规律。
4. 方程与不等式：解一元一次方程，解一元一次不等式，理解函数的概念。
二、几何与图形1. 几何概念：点、线、面、体，角、度数，平行、垂直等基本几何概念。
2. 图形与变换：平移、旋转、对称等图形变换，相似图形，全等图形。
3. 面积与体积：计算平面图形的面积，计算立体图形的体积。
4. 解析几何：理解直线的方程，理解圆及其方程。
三、函数与图像1. 函数的概念：理解变量间的关系，用解析式表示函数关系。
2. 函数的运算：函数的加减法，函数的乘法，复合函数。
3. 函数的图像：理解函数的图像及其变换，根据图像理解函数的性质。
4. 反函数与对称函数：理解反函数的概念，理解对称函数的概念。
四、数据与概率1. 数据收集与整理：理解数据收集的方法，会用统计图表表示数据。
2. 数据的计算：平均数、中位数、众数等统计量的计算，方差和标准差的计算。
3. 概率的概念：理解概率的基本概念，会计算事件的概率。
4. 概率的应用：理解概率在生活中的应用，会解决与概率相关的问题。
五、综合与实践1. 图形的变换与对称：运用几何知识解决实际问题，理解图形的变换和对称。
2. 函数的实际应用：理解函数在实际问题中的应用，如利润、成本等问题。
3. 数据的分析与决策：运用统计知识解决实际问题，理解数据的分析与决策。
4. 课题学习与研究性学习：理解课题学习与研究性学习的意义和方法。
在中考数学复习过程中，我们需要对以上知识点进行全面的梳理和总结，形成系统的知识框架。
同时，我们需要关注考试动态和命题趋势，结合历年真题进行有针对性的练习和巩固。
此外，我们还要注重解题技巧和策略的学习和应用，提高解题效率和准确性。
希望同学们能够认真复习备考，取得优异的成绩！篇2一、数与代数（一）数的认识复习要点：整数、小数、分数、百分数的认识及其关系，数的运算规则和运算性质。
初三数学知识点归纳
初三数学知识点归纳一、代数1. 整数与有理数- 整数的加法、减法、乘法、除法- 有理数的概念及其运算- 绝对值与相反数- 乘方与开方2. 代数表达式- 单项式与多项式- 合并同类项- 因式分解- 代数式的加减乘除3. 一元一次方程与不等式- 方程与方程的解- 解一元一次方程- 不等式的概念与基本性质- 解一元一次不等式4. 二元一次方程组- 代入法与消元法- 方程组的解的类型- 三元一次方程组的解法5. 函数- 函数的概念与表示方法- 函数的性质（单调性、对称性等）- 常见函数（线性函数、二次函数等）二、几何1. 平面几何- 点、线、面的基本性质- 三角形的分类与性质- 四边形的分类与性质- 圆的基本性质与定理2. 空间几何- 空间图形的基本概念- 立体图形的表面积与体积- 棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的结构与性质3. 几何变换- 平移、旋转、对称（轴对称与中心对称）的概念与性质 - 几何图形的相似与全等4. 解析几何- 坐标系的基本概念- 直线与曲线的方程- 点、线、面间的位置关系三、统计与概率1. 统计- 数据的收集与整理- 描述性统计（平均数、中位数、众数、方差等）- 概率的基本概念2. 概率- 事件的概率计算- 条件概率与独立事件- 随机事件的概率分布四、数列1. 等差数列- 等差数列的定义与通项公式 - 等差数列的前n项和公式2. 等比数列- 等比数列的定义与通项公式 - 等比数列的前n项和公式3. 数列的应用- 数列在实际问题中的应用 - 数列的极限概念五、三角函数1. 三角函数的定义- 直角三角形中的三角函数 - 单位圆中的三角函数2. 三角函数的基本关系- 三角函数的和差公式- 三角函数的倍角公式3. 三角函数的应用- 解三角形问题- 三角函数的图像与性质六、解题技巧与策略1. 题目分析与解题步骤- 理解题意与条件- 确定解题方法与步骤- 检查与验证答案2. 常见解题误区与避免方法- 识别并避免常见的计算错误- 逻辑推理中的常见陷阱3. 考试策略- 时间管理与题目选择- 应试心态与应对策略以上是初三数学的主要知识点归纳，学生在学习过程中应注重理论与实践相结合，通过大量的练习来巩固和深化理解。
初三中考数学知识点归纳
初三中考数学知识点归纳初三中考数学知识点归纳是帮助学生系统复习和掌握数学基础概念、公式和解题技巧的重要工具。
以下是对初三中考数学知识点的归纳总结：一、数与代数1. 实数：包括有理数和无理数的概念，实数的性质和运算。
2. 代数式：包括代数表达式的简化、合并同类项、因式分解等。
3. 方程与不等式：一元一次方程、一元二次方程的解法，不等式的基本性质和解法。
4. 函数：包括一次函数、二次函数、反比例函数的图像和性质。
5. 指数与对数：指数运算法则，对数的定义和基本性质。
二、几何1. 平面图形：包括线段、角、三角形、四边形、圆等基本几何图形的性质。
2. 相似与全等：相似三角形、全等三角形的判定和性质。
3. 圆的性质：圆周角、切线、弧长、扇形面积等。
4. 立体几何：包括长方体、圆柱、圆锥、球等立体图形的表面积和体积计算。
三、统计与概率1. 数据的收集与处理：数据的收集方法，数据的整理和描述。
2. 统计图表：条形图、折线图、饼图的绘制和解读。
3. 概率：事件的确定性和不确定性，概率的计算方法。
四、解题技巧1. 审题：仔细阅读题目，理解题意。
2. 列式：根据题意列出相应的数学表达式或方程。
3. 计算：准确进行数学运算，注意运算顺序。
4. 检查：解题后要进行结果的检验和验证。
结束语通过以上对初三中考数学知识点的归纳，希望能帮助同学们更好地复习和准备中考。
数学学习需要不断的练习和思考，希望每位同学都能在中考中取得优异的成绩。
记住，数学不仅仅是记忆公式和定理，更重要的是理解其背后的逻辑和原理。
祝你们学习进步，考试顺利！。
2023年九年级中考数学复习++几何图形动点与函数图像综合讲义
几何图形动点与函数图像综合考向一判断函数图像（1）面积问题：①函数类型：与面积相关的量如果有一个变化的量为一次函数，如果有两个变化的量为二次函数；②节点、自变量取值范围及函数值；③函数的增减性等（2）线段长度问题：①根据相似性质对应边成比例或面积公式等确定函数关系式；②节点、自变量取值范围及函数值；③函数的增减性等1.如图，在Rt △ABC中，△C=900，AC=1cm，BC=2cm，点P从A出发，以1cm/s的速沿折线AC→ CB→ BA运动，最终回到A点。
设点P的运动时间为x（s），线段AP的长度为y（cm），则能反映y与x之间函数关系的图像大致是（）2.如图，点E、F、G、H是正方形ABCD四条边（不含端点）上的点，DE=AF=BG=CH。
设线段DE的长为x cm，四边形EFGH的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）3.如图，菱形ABCD的边长为5cm，sinA＝，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AB→BC→CD运动，到达点D停止；点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿AD运动，到达点D停止．设点P运动x（s）时，△APQ的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象是（）A B C D4.如图，在菱形ABCD中，△B＝60°，AB＝2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x 秒．则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（）A B C D5.如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，△EDF＝90°，△F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E 重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（）6.如图，在四边形ABCD中，AD△BC，△A＝45°，△C＝90°，AD＝4cm，CD＝3cm．动点M，N同时从点A出发，点M以cm/s的速度沿AB向终点B运动，点N以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点N的运动时间为ts，△AMN的面积为Scm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．7.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线AB上的动点（点E不与点A，点B重合），点F在线段DA的延长线上，且AF＝AE，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°得到EG，连接EF，FB，BG．设AE＝x，四边形EFBG的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．8.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）9.如图，O是边长为4 cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A—B—M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1 cm/s，设P点的运动时间为t(s)，点P的运动路径与OA，OP所围成的图形面积为S(cm2)，则描述面积S(cm2)与时间t(s)的关系的图象可以是（）10.如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止(不含点A和点B)，则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致为（）11.如图，AD、BC是△O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设△APB＝y(单位：度)，那么y与P运动的时间x(单位：秒)的关系图是（）12.一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB，BC，CA，OA，OB，OC组成。
2024年广东省深圳市九年级中考数学一轮教材梳理复习课件+第20讲+等腰三角形
∘ − ，
∠ = ∠ − ∠ = − ∘ ,
∴ ∠ = ∘ − ∠ − ∠ = ∘ − ∘ − − − ∘ = ∘ .
①当∠ = ∠时，∘ − = − ∘ ,∴ = ∘ .
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【方法总结】1.当等腰三角形的腰和底、顶角、底角不明确时,需分类讨论.
2.等腰三角形的性质“等边对等角”,是三角形中边与角关系转化的纽带.当利
用方程思想求角度时,等腰三角形的性质在用含未知数的代数式表示角时起到
关键作用.
3.等腰三角形常常与线段垂直平分线的性质定理结合运用,在证明线段或角相
在 △ 中，∵ ∠ = ∘ , = ,∠ = ∘ ,
∴ = = ,∴ = − = .
中考总复习·数学
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1.(2021·广州)如图，在△ ABC中,AC = BC，∠B = 38∘ ,D
是AB边上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当
切性质,包括具有“三线合一”的性质,等边三角形也是轴对称图形,并且有3条
对称轴.
2.等边三角形有一个特殊的角60∘ ,所以当等边三角形出现高时,往往会结合直
角三角形30∘ 角的性质.
3.等边三角形判断方法的选择
（1）若已知三边关系,则考虑运用等边三角形的定义进行判定;
（2）若已知三角关系,则根据“三个角都相等的三角形是等边三角形”进行
∠ = ∠,
在△ 和△ 中， ∠ = ∠,
= ,
∴△ ≌△ ,∴ = , = ,
∴ ∠ = ∠,∴ ∠ = ∠,∴ = ,即△ 是等
腰三角形.
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∠AQC = 3∠B,求∠B的度数.
初三数学知识点归纳总结(通用5篇)
初三数学知识点归纳总结第1篇1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质。
（2）矩形的四个角都是直角。
（3）矩形的对角线相等。
（4）矩形是轴对称图形。
3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。
（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。
4、矩形的面积：S矩形=长×宽=ab初三数学重点知识点（四）1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴；（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的.等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
3、正方形的判定（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。
先证它是菱形，再证有一个角是直角。
（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形；再证明它是菱形（或矩形）；最后证明它是矩形（或菱形）。
初三数学知识点归纳总结第2篇第一轮数学复习主要知识点总结1第一：高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。
主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。
第二：平面向量和三角函数。
重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。
人教版九年级数学上册中考专题复习题含答案全套
人教版九年级数学上册中考专题复习题1.类比归纳专题：配方法的应用2.类比归纳专题：一元二次方程的解法3.易错易混专题：一元二次方程中的易错问题4.考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合5.解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题6.易错易混专题：二次函数的最值或函数值的范围7.难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)8.抛物线中的压轴题9.易错专题：抛物线的变换10.解题技巧专题：巧用旋转进行计算11.旋转变化中的压轴题12.类比归纳专题：圆中利用转化思想求角度13.类比归纳专题：切线证明的常用方法14.解题技巧专题：圆中辅助线的作法15.解题技巧专题：圆中求阴影部分的面积16.考点综合专题：圆与其他知识的综合17.圆中的最值问题18.抛物线与圆的综合19.易错专题：概率与放回、不放回问题类比归纳专题：配方法的应用——体会利用配方法解决特定问题◆类型一 配方法解方程1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－ 2C ．x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2D ．x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 22．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25C ．2t 2－7t －4＝0化为⎝⎛⎭⎫t －742＝8116 D ．3x 2－4x －2＝0化为⎝⎛⎭⎫x －232＝1093．利用配方法解下列方程：(1)(2016·淄博中考)x 2＋4x －1＝0；(2)(x ＋4)(x ＋2)＝2；(3)4x 2－8x －1＝0；(4)3x 2＋4x －1＝0.◆类型二 配方法求最值或证明 4．代数式x 2－4x ＋5的最小值是（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．55．下列关于多项式－2x 2＋8x ＋5的说法正确的是（ ）A ．有最大值13B ．有最小值－3C ．有最大值37D ．有最小值1 6．(2016－2017·夏津县月考)求证：代数式3x 2－6x ＋9的值恒为正数．7．若M ＝10a 2＋2b 2－7a ＋6，N ＝a 2＋2b 2＋5a ＋1，试说明无论a ，b 为何值，总有M ＞N .◆类型三 完全平方式中的配方 8．如果多项式x 2－2mx ＋1是完全平方式，则m 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．±1D ．±29．若方程25x 2－(k －1)x ＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k 的值为（ ）A ．－9或11B ．－7或8C ．－8或9D ．－6或7◆类型四 利用配方构成非负数求值 10．已知m 2＋n 2＋2m －6n ＋10＝0，则m ＋n 的值为（ ）A ．3B ．－1C ．2D ．－211．已知x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0，求(x ＋y )2016的值．答案：类比归纳专题：一元二次方程的解法——学会选择最优的解法◆类型一 一元二次方程的一般解法方法点拨： 形如（x ＋m ）2＝n （n ≥0）的方程可用直接开平方法；当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法；如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法.1.用合适的方法解下列方程：（1）⎝⎛⎭⎫x －522－14＝0；（2）x 2－6x ＋7＝0；（3）x 2－22x ＋18＝0；（4）3x （2x ＋1）＝4x ＋2.◆*类型二 一元二次方程的特殊解法 一、十字相乘法方法点拨：例如：解方程：x 2＋3x －4＝0.第1种拆法：4x －x ＝3x （正确）， 第2种拆法：2x －2x ＝0（错误）， 所以x 2＋3x －4＝（x ＋4）（x －1）＝0，即x ＋4＝0或x －1＝0，所以x 1＝－4，x 2＝1. 2.解一元二次方程x 2＋2x －3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程____________.3.用十字相乘法解下列一元二次方程： （1）x 2－5x －6＝0； （2）x 2＋9x －36＝0.二、换元法方法点拨：在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.4.若实数a ，b 满足（4a ＋4b ）（4a ＋4b －2）－8＝0，则a ＋b ＝_______.5.解方程：（x 2＋5x ＋1）（x 2＋5x ＋7）＝7.1.解：（1）移项，得⎝⎛⎭⎫x －522＝14， 两边开平方，得x －52＝±14， 即x －52＝12或x －52＝－12，∴x 1＝3，x 2＝2；（2）移项，得x 2－6x ＝－7，配方，得x 2－6x ＋9＝－7＋9，即（x －3）2＝2， 两边开平方，得x －3＝±2， ∴x 1＝3＋2，x 2＝3－2；（3）原方程可化为8x 2－42x ＋1＝0. ∵a ＝8，b ＝－42，c ＝1，∴b 2－4ac ＝（－42）2－4×8×1＝0， ∴x ＝－（－42）±02×8＝24，∴x 1＝x 2＝24； |（4）原方程可变形为（2x ＋1）（3x －2） ＝0，∴2x ＋1＝0或3x －2＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝23.2. x －1＝0或x ＋3＝0.3.解：（1）原方程可变形为（x －6）（x ＋1） ＝0，∴x －6＝0或x ＋1＝0， ∴x 1＝6，x 2＝－1；（2）原方程可变形为（x ＋12）（x －3） ＝0，∴x ＋12＝0或x －3＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝3. 4.－12或15.解：设x 2＋5x ＋1＝t ，则原方程化为t （t ＋6）＝7，∴t 2＋6t －7＝0，解得t ＝1或－7.当t ＝1时，x 2＋5x ＋1＝1，x 2＋5x ＝0， x （x ＋5）＝0，∴x ＝0或x ＋5＝0，∴x 1＝0，x 2＝－5； 当t ＝－7时，x 2＋5x ＋1＝－7，x 2＋5x ＋8＝0，∴b 2－4ac ＝52－4×1×8＜0，此时方程 无实数根.∴原方程的解为x 1＝0，x 2＝－5.易错易混专题：一元二次方程中的易错问题◆类型一 利用方程或其解的定义求待定系数时，忽略“a ≠0”1．(2016－2017·江都区期中)若关于x的方程(a ＋3)x |a |－1－3x ＋2＝0是一元二次方程，则a 的值为______.【易错1】2．关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋a 2－1＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）A ．－1B ．1C ．1或－1D ．－1或0 3．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋5x ＋m 2－3m ＋2＝0的常数项为0.(1)求m 的值； (2)求方程的解．◆类型二 利用判别式求字母取值范围时，忽略“a ≠0”及“a 中的a ≥0”4．(2016－2017·抚州期中)若关于x 的一元二次方程(m －2)2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有解，那么m 的取值范围是（ ）A ．m ＞34B ．m ≥34C ．m ＞34且m ≠2D ．m ≥34且m ≠25．已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.6．若m 是非负整数，且关于x 的方程(m －1)x 2－2x ＋1＝0有两个实数根，求m 的值及其对应方程的根．◆类型三 利用根与系数关系求值时，忽略“Δ≥0”7．(2016·朝阳中考)关于x 的一元二次方程x 2＋kx ＋k ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，且x 21＋x 22＝1，则k 的值为_______.【易错2】 8．已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m 的值．【易错2】◆类型四 与三角形结合时忘记取舍 9．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x 2－14x ＋48＝0的根，则这个三角形的周长为（ ）A ．11B ．17C ．17或19D ．1910．在等腰△ABC 中，三边分别为a ，b ，c ，其中a ＝5，若关于x 的方程x 2＋(b ＋2)x ＋6－b ＝0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是________．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为_________．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与一次函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x －m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x ＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y＝(5－m2)x和关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋mx＋1＝0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是______．◆类型三一元二次方程与二次根式的综合12．(达州中考)方程(m－2)x2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m的取值范围为（）A．m＞52B．m≤52且m≠2C．m≥3 D．m≤3且m≠213．(包头中考)已知关于x的一元二次方程x2＋k－1x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．答案：12.B 13.解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题◆类型一由某一函数的图象确定其他函数图象的位置1．二次函数y＝－x2＋ax－b的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第1题图第2题图2．已知一次函数y＝－kx＋k的图象如图所示，则二次函数y＝－kx2－2x＋k的图象大致是（）3．已知函数y＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图象可能正确的是（）第3题图第4题图4．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是（）◆类型二由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值5．(2016·新疆中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是【方法10】（）A．a＞0B．c＜0C．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根D．当x＜1时，y随x的增大而减小第5题图第7题图6．(2016·黄石中考)以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是【方法10】（）A．b≥54B．b≥1或b≤－1C．b≥2 D．1≤b≤27．(2016·孝感中考)如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a－b＋c＞0；②3a＋b＝0；③b2＝4a(c－n)；④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．(2016·天水中考)如图，二次函数y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，则下列结论：①abc＜0；②b2－4ac4a＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB ＝－ca .其中正确结论的序号是____________.答案：易错易混专题：二次函数的最值或函数值的范围——类比各形式，突破给定范围求最值◆类型一 没有限定自变量的范围求最值 1．函数y ＝－(x ＋1)2＋5的最大值为_______. 2．已知二次函数y ＝3x 2－12x ＋13，则函数值y 的最小值是【方法11】（ ）A ．3B ．2C ．1D ．－13．已知函数y ＝x(2－3x)，当x 为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值．◆类型二 限定自变量的取值范围求最值4．(2016－2017·双台子区校级月考)函数y ＝x 2＋2x －3(－2≤x ≤2)的最大值和最小值分别是（ ）A ．4和－3B ．－3和－4C ．5和－4D ．－1和－45．二次函数y ＝－12x 2＋32x ＋2的图象如图所示，当－1≤x ≤0时，该函数的最大值是【方法11】（ ）A ．3.125B ．4C ．2D ．06．已知0≤x ≤32，则函数y ＝x 2＋x ＋1（ ） A ．有最小值34，但无最大值B ．有最小值34，有最大值1C ．有最小值1，有最大值194D ．无最小值，也无最大值◆类型三 限定自变量的取值范围求函数值的范围7．从y ＝2x 2－3的图象上可以看出，当－1≤x ≤2时，y 的取值范围是（ ）A ．－1≤y ≤5B ．－5≤y ≤5C ．－3≤y ≤5D ．－2≤y ≤18．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ≥2时，y 的取值范围是（ ）A ．y ≥3B ．y ≤3C ．y ＞3D ．y ＜39．二次函数y ＝x 2－x ＋m(m 为常数)的图象如图所示，当x ＝a 时，y ＜0；那么当x ＝a －1时，函数值CA ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．y ＞mD ．y ＝m◆类型四 已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值10．当二次函数y ＝x 2＋4x ＋9取最小值时，x 的值为（ ）A ．－2B ．1C ．2D ．911．已知二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a －1的最小值为2，则a 的值为（ ）A．3 B．－1C．4 D．4或－112．已知y＝－x(x＋3－a)＋1是关于x 的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤513．在△ABC中，∠A，∠B所对的边分别为a，b，∠C＝70°.若二次函数y＝(a＋b)x2＋(a＋b)x－(a－b)的最小值为－a2，则∠A＝_______度．14．★已知函数y＝－4x2＋4ax－4a－a2，若函数在0≤x≤1上的最大值是－5，求a的值．答案：难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)——代几结合，突破面积及点的存在性问题◆类型一二次函数与三角形的综合一、全等三角形的存在性问题1．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－4)和(－2，5)，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C.在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．二、线段(或周长)的最值问题及等腰三角形的存在性问题2．(2016·凉山州中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P 的坐标；(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．◆类型二二次函数与平行四边形的综合3．如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋c(a＞0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，A点在B点左侧．若点E在x轴上，点P 在抛物线上，且以A，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，抛物线y＝12x2＋x－32与x轴相交于A，B两点，顶点为P.(1)求点A，B的坐标；(2)在抛物线上是否存在点E，使△ABP 的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)坐标平面内是否存在点F，使得以A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标．◆类型三 二次函数与矩形、菱形、正方形的综合5．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y ＝x 2－2x ＋2上运动．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连接BD ，则对角线BD 的最小值为________.第5题图 第6题图6．如图，抛物线y ＝ax 2－x －32与x 轴正半轴交于点A(3，0)．以OA 为边在x 轴上方作正方形OABC ，延长CB 交抛物线于点D ，再以BD 为边向上作正方形BDEF.则a ＝，点E 的坐标是_________________．7. (2016·新疆中考)如图，对称轴为直线x ＝72的抛物线经过点A(6，0)和B(0，－4)． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)设点E(x ，y)是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式；(3)当(2)中的平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形．8．(2016·百色中考)正方形OABC 的边长为4，对角线相交于点P ，抛物线l 经过O ，P ，A 三点，点E 是正方形内的抛物线l 上的动点．(1)建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O ，P ，A 三点的坐标； ②求抛物线l 的解析式；(2)求△OAE 与△OCE 面积之和的最大值．答案：拔高专题抛物线中的压轴题一、基本模型构建常见模型思考在边长为1的正方形网格中有A, B, C三点，画出以A,B,C为其三个顶点的平行四边形ABCD。
初三数学知识点复习资料
初三数学知识点复习资料距离2021年的中考越来越近，各位高三的同学们也在紧急地备考当中，为了使同学们更加高效地复习，下面是我为大家整理的有关初三数学学问点复习资料，盼望对你们有关心!初三数学学问点复习资料11、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质(1)具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质;(2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等;(3)正方形的两条对角线相等，并且相互垂直平分，每一条对角线平分一组对角;(4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴;(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形;(6)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
3、正方形的判定(1)判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。
先证它是菱形，再证有一个角是直角。
(2)判定一个四边形为正方形的一般挨次如下：先证明它是平行四边形;再证明它是菱形(或矩形);最终证明它是矩形(或菱形)。
初三数学学问点复习资料2直角三角形的判定方法：判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。
假如三角形的三边a，b，c满意a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形。
(勾股定理的逆定理)。
判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4：两个锐角互为余角(两角相加等于90°)的三角形是直角三角形。
判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线相互垂直。
那么判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。
2023年九年级中考数学复习讲义 三角形及其全等
2023年中考数学复习讲义三角形及其全等第一部分：知识点精准记忆一、三角形的基础知识1.三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．2.三角形的三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．3.三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．4.三角形中的重要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边一半．二、全等三角形1.三角形全等的判定定理：（1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；（2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；（3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；（4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）；（5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL ”）．2.全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等；（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．三、线段垂直平分线与角平分线1.线段的轴对称性：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴．2.定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．注：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．3.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．注：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来．4.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．5.性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．第二部分：考点典例剖析考点一： 三角形的三边关系【例1-1】（2021·广西柳州市·中考真题）若长度分别为3，4，a 的三条线段能组成一个三角形，则整数a 的值可以是________．（写出一个即可）【例1-2】（2021·江苏淮安·中考真题）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是___．考点二： 三角形的内角和外角【例2-1】（2021·河北中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B ，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应___________（填“增加”或“减少”）___________度．【例2-2】（2021·江苏宿迁市·中考真题）如图，在△ABC 中，∠A =70°，∠C =30°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥AB ，交BC 于点E ，则∠BDE 的度数是（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【例2-3】（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在中，，点D ，E 分別在边AB ，AC 上，，连结CD ，BE ．（1）若，求，的度数．（2）写出与之间的关系，并说明理由．考点三：三角形中的重要线段【例3-1】（2022•大庆）下列说法不正确的是( )A ．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形B ．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形C ．有两个角互余的三角形是直角三角形D ．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形ABC 40A ∠=︒BD BC CE ==80ABC ∠=︒BDC ∠ABE ∠BEC ∠BDC∠【例3-2】（2021·江苏泰州市·中考模拟）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（ ）A ．点B ．点C ．点D ．点【例3-3】如图，在ABC 中，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ；再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ；连结AP 并延长交BC 于点D ．则下列说法正确的是（ ）A ．AD BD AB +<B ．AD 一定经过ABC 的重心 C ．BAD CAD ∠=∠D ．AD 一定经过ABC 的外心考点四： 垂直平分线与角平分线的性质 【例4-1】（2021·青海中考真题）如图，在四边形ABCD 中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD 平分∠ABC ，则△BCD 的面积为（ ）A ．7.5B ．8C ．15D ．无法确定【例4-2】在△ABC 中，∠BAC =115°，DE 、FG 分别为AB 、AC 的垂直平分线，则∠EAG 的度数为 A B C D E F G ABC∆D E FGA ．50°B ．40°C ．30°D ．25°【例4-3】如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D 点，AB =4，BD =5，点P 是线段BC 上的一动点，则PD 的最小值是__________．考点五： 全等三角形的性质与判定【例5-1】2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F ，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例5-2】（2021·陕西中考真题）如图，，，点在上，且．求证：．【例5-3】（2021·广东广州·中考真题）如图，点E 、F 在线段BC 上，，，ABC ADE 90BAC DAE ∠=∠=︒,BD CE AF BD CE =BF CF ⊥AF CAD ∠45AFE ∠=︒//BD AC BD BC =E BC BE AC =D ABC ∠=∠//AB CD A D ∠=∠，证明：．【例5-4】（2021·江苏淮安·中考真题）（知识再现）学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称HL 定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．（简单应用）如图（1），在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 、E 分别在边AC 、AB 上．若CE ＝BD ，则线段AE 和线段AD 的数量关系是 ．（拓展延伸）在△ABC 中，∠BAC ＝（90°＜＜180°），AB ＝AC ＝m ，点D 在边AC 上． （1）若点E 在边AB 上，且CE ＝BD ，如图（2）所示，则线段AE 与线段AD 相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．（2）若点E 在BA 的延长线上，且CE ＝BD ．试探究线段AE 与线段AD 的数量关系（用含有a 、m 的式子表示），并说明理由．【例5-5】（2020·山东烟台市·中考真题）如图，在等边三角形ABC 中，点E 是边AC 上一定点，点D 是直线BC 上一动点，以DE 为一边作等边三角形DEF ，连接CF ．（问题解决）（1）如图1，若点D 在边BC 上，求证：CE+CF ＝CD ；（类比探究）（2）如图2，若点D 在边BC 的延长线上，请探究线段CE ，CF 与CD 之间存在怎样的数量关系？并说明理由．考点六： 三角形全等综合【例6-1】（2022·北京）在ABC 中，90ACB ∠=，D 为ABC 内一点，连接BD ，DC ，延长DC 到点E ，使得.CE DC = BE CF =AE DF=αα（1）如图1，延长BC 到点F ，使得CF BC =，连接AF ，EF ，若AF EF ⊥，求证：BD AF ⊥； （2）连接AE ，交BD 的延长线于点H ，连接CH ，依题意补全图2，若222AB AE BD =+，用等式表示线段CD 与CH 的数量关系，并证明．【例6-2】（2022·山东泰安·中考真题）正方形ABCD 中，P 为AB 边上任一点，AE DP ⊥于E ，点F 在DP 的延长线上，且DE EF =，连接AF BF 、，BAF ∠的平分线交DF 于G ，连接GC ．(1)求证：AEG △是等腰直角三角形；(2)求证：2AG CG DG +=；(3)若2AB =，P 为AB 的中点，求BF 的长．第三部分：中考真题一．选择题1．（2022•鄂尔多斯）如图，15AOE ∠=︒，OE 平分AOB ∠，//DE OB 交OA 于点D ，EC OB ⊥，垂足为C ．若2EC =，则OD 的长为( )A ．2B ．23C ．4D ．43+2．（2022•荆门）数学兴趣小组为测量学校A 与河对岸的科技馆B 之间的距离，在A 的同岸选取点C ，测得30AC =，45A ∠=︒，90C ∠=︒，如图，据此可求得A ，B 之间的距离为( )A ．203B ．60C ．302D ．303．（2022•湘西州）如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，M 为BC 的中点，H 为AB 上一点，过点C 作//CG AB ，交HM 的延长线于点G ，若8AC =，6AB =，则四边形ACGH 周长的最小值是( )A ．24B ．22C ．20D ．184．（2022•西宁）若长度是4，6，a 的三条线段能组成一个三角形，则a 的值可以是( )A ．2B ．5C ．10D ．117．（2022•西宁）如图，60MON ∠=︒，以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ；分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧在MON ∠的内部相交于点P ，画射线OP ；连接AB ，AP ，BP ，过点P 作PE OM ⊥于点E ，PF ON ⊥于点F ．则以下结论错误的是( )A ．AOB ∆是等边三角形B ．PE PF =C ．PAE PBF ∆≅∆D ．四边形OAPB 是菱形5．（2022•西藏）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是()A．5-B．4C．7D．86．（2022•大连）如图，在ABC∆中，90ACB∠=︒．分别以点A和点C为圆心，大于12 AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若3AB=，则CD的长是()A．6B．3C．1.5D．1 7．（2022•青海）如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE BC=，连接DE，F为DE中点，连接BF．若16AC=，12BC=，则BF的长为( )A．5B．4C．6D．88.（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，2OA=，1OB=，3OC=，则AOB∆与BOC∆的面积之和为()A 3B3C33D39．（2022•长沙）如图，在ABC∆中，按以下步骤作图：①分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；②作直线PQ交AB于点D；③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，连接AM、BM．若22AB=AM的长为()A．4B．2C3D2 10．（2022•海南）如图，直线//m n，ABC∆是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若1140∠=︒，则2∠的度数是()A．80︒B．100︒C．120︒D．140︒11．（2022•黑龙江）如图，ABC∆中，AB AC=，AD平分BAC∠与BC相交于点D，点E 是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若ABC∆的面积是24， 1.5PD=，则PE的长是()A ．90ADC ∠=︒B ．DE DF =C ．AD BC = D ．BD CD =12．（2022•广东）下列图形中有稳定性的是( )A ．三角形B ．平行四边形C ．长方形D ．正方形13．（2022•贺州）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，56B ∠=︒，则A ∠的度数为( )A ．34︒B ．44︒C ．124︒D ．134︒14.（2022•永州）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，60C ∠=︒，点D 为边AC 的中点，2BD =，则BC 的长为( )A 3B ．23C ．2D ．415．（2022•荆州）如图，直线12//l l ，AB AC =，40BAC ∠=︒，则12∠+∠的度数是( )A ．60︒B ．70︒C ．80︒D ．90︒16．（2022•宜昌）如图，在ABC ∆中，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若7AB =，12AC =，6BC =，则ABD ∆的周长为( )A ．25B ．22C ．19D ．1817．（2022•岳阳）如图，已知//l AB ，CD l ⊥于点D ，若40C ∠=︒，则1∠的度数是( )A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒18．（2022•台湾）如图，ABC ∆中，D 点在AB 上，E 点在BC 上，DE 为AB 的中垂线．若B C ∠=∠，且90EAC ∠>︒，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？( )A ．12∠=∠，13∠<∠B ．12∠=∠，13∠>∠C ．12∠≠∠，13∠<∠D ．12∠≠∠，13∠>∠19．（2022•宜宾）如图，在ABC ∆中，5AB AC ==，D 是BC 上的点，//DE AB 交AC 于点E ，//DF AC 交AB 于点F ，那么四边形AEDF 的周长是( )A ．5B ．10C ．15D ．2020.（2022•广元）如图，在ABC ∆中，6BC =，8AC =，90C ∠=︒，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于12AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为( )A ．2.5B ．2C ．3.5D ．321.（2022•宜宾）如图，ABC ∆和ADE ∆都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点D 是BC 边上的动点（不与点B 、C 重合），DE 与AC 交于点F ，连结CE ．下列结论：①BD CE =；②DAC CED ∠=∠；③若2BD CD =，则45CF AF =；④在ABC ∆内存在唯一一点P ，使得PA PB PC ++的值最小，若点D 在AP 的延长线上，且AP 的长为2，则23CE =+．其中含所有正确结论的选项是( )A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．①②③④22.（2022•杭州）如图，CD AB ⊥于点D ，已知ABC ∠是钝角，则( )A ．线段CD 是ABC ∆的AC 边上的高线B ．线段CD 是ABC ∆的AB 边上的高线C ．线段AD 是ABC ∆的BC 边上的高线D ．线段AD 是ABC ∆的AC 边上的高线二．填空题1.（2020·辽宁铁岭市·中考真题）如图，在ABC 中，5,8,9===AB AC BC ，以A 为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB 于点M ，交AC 于点N ，分别以,M N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点G ，作射线AG ，交BC 于点D ，点F 在AC 边上，AF AB =，连接DF ，则CDF 的周长为___________．2．（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，△ABC 为等边三角形，边长为6，AD ⊥BC ，垂足为点D ，点E 和点F 分别是线段AD 和AB 上的两个动点，连接CE ，EF ，则CE +EF 的最小值为_____．3．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，在△ABC 中，AC ＝4，∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC 边的垂直平分线DE 交AB 于点D ，连接CD ，则AB 的长为_________________．4题4．（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为()1,0-，点A的坐标为()3,3-，将点A 绕点C 顺时针旋转90︒得到点B ，则点B 的坐标为_____________．5.（2020·湖北中考真题）如图，D 是等边三角形ABC 外一点．若8,6BD CD ==，连接AD ，则AD 的最大值与最小值的差为_____．6．（2021·湖北十堰市·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，点P 是平面内一个动点，且3AP =，Q 为BP 的中点，在P 点运动过程中，设线段CQ 的长度为m ，则m 的取值范围是__________．7.如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．三．解答题1.（2022铜仁）如图，点C 在BD 上，,,,⊥⊥⊥=AB BD ED BD AC CE AB CD ．求证：ABC CDE △≌△．2.（2022福建）如图，点B ，F ，C ，E 在同一条直线上，BF ＝EC ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ．求证：∠A ＝∠D ．3.（2022广东）如图，已知AOC BOC ∠=∠，点P 在OC 上，PD OA ⊥，PE OB ⊥，垂足分别为D ，E ．求证：OPD OPE ≌．4.（2022大庆）如图，在四边形ABDF 中，点E ，C 为对角线BF 上的两点，,,AB DF AC DE EB CF ===．连接,AE CD ．（1）求证：四边形ABDF 是平行四边形；（2）若AE AC =，求证：AB DB =．5.（2022云南）如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，E 为线段AD 的中点，延长BE 与CD 的延长线交于点F ，连接AF ，∠BDF =90°（1）求证：四边形ABDF 是矩形；（2）若AD =5，DF =3，求四边形ABCF 的面积S ．6.（2022梧州）如图，在ABCD 中，E ，G ，H ，F 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，且,BE DH AF CG ．求证：EF HG =．7.（2022遵义）将正方形ABCD 和菱形EFGH 按照如图所示摆放，顶点D 与顶点H 重合，菱形EFGH 的对角线HF 经过点B ，点E ，G 分别在AB ，BC 上．（1）求证：ADE CDG ≌；（2）若2AE BE ==，求BF 的长8.（2022贵阳）如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 上一点，连接BE ，BE 的垂直平分线交AB 于点M ，交CD 于点N ，垂足为O ，点F 在DC 上，且MF AD ∥．（1）求证：ABE FMN ≌△△；（2）若8AB =，6AE =，求ON 的长．9.（2022安徽）已知四边形ABCD 中，BC ＝CD ．连接BD ，过点C 作BD 的垂线交AB 于点E ，连接DE ．（1）如图1，若∥DE BC ，求证：四边形BCDE 是菱形；（2）如图2，连接AC ，设BD ，AC 相交于点F ，DE 垂直平分线段AC ．（ⅰ）求∠CED 的大小；（ⅱ）若AF ＝AE ，求证：BE ＝CF ．10.（2022玉林）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式：①AB AC = ②DB DC = ③BAD CAD ∠=∠若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？ 解决方案：探究ABD △与ACD △全等．问题解决：（1）当选择①②作为已知条件时，ABD △与ACD △全等吗？_____________（填“全等”或“不全等”），理由是_____________；（2）当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求ABD ACD △≌△的概率．11.（2022北部湾）已知MON α∠=，点A ，B 分别在射线,OM ON 上运动，6AB =．（1）如图①，若90α=︒，取AB 中点D ，点A ，B 运动时，点D 也随之运动，点A ，B ，D 的对应点分别为,,A B D '''，连接,OD OD '．判断OD 与OD '有什么数量关系?证明你的结论：（2）如图②，若60α=︒，以AB 为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC ，求点O 与点C 的最大距离：（3）如图③，若45α=︒，当点A ，B 运动到什么位置时，AOB 的面积最大?请说明理由，并求出AOB 面积的最大值．。
通用版2022年九年级中考数学专题复习：中点坐标在函数中的应用
A(2，-3),B(-1，0),M(m,m2-2m﹣3),N(1,n)
N
MM
N
M
A
B
A
B
xA+xM=xB+xN yA+yM=yB+yN
A
B
xA+xN=xB+xM yA+yN=yB+yM
N
xA+xB=xM+xN yA+yB=yM+yN
课程小结
中点坐标公式(已知两端点，求中点) 在平面直角坐标系中，已知A为（x1, y1）、B为（x2，y2）， 则AB的中点P的坐标为 中点坐标公式逆用(已知一端点和中点，求另一端点) 在平面直角坐标系中，已知A为（x1, y1）、 AB的P中点的 坐标为（xP, yP）,则B为 （2xP- x1 ，2yP- y1 ）
课后作业
m3 m2
已知在平面直角坐标系中，A为反比例函数 y x (x>0,m>1)图象上的一点，A点的横坐标为m，B为(0,-m),
连接AB，AC⊥AB交y轴于点C，延长CA至点D使AC=AD,过
点A作AE∥x轴，过点D作DE⊥AE于点E。
(1)用含m的式子表示点A的坐标 (2)DE= ;设点D为(x,y),求y关于x的
坐标为（xP, yP）,则B为 （2xP- x1 ，2yP- y1 ）
角度 2 中点坐标在中心对称（旋转）中的应用
知识 （1）点C（1,-4）关于原点对称得到的C′坐标为（-1,4）。 预备 （2）点C（1,-4）关于点(2,0)对称得到的C′坐标
为（3,4）。 （3）点C（1,-4）关于点(m,n)对称得到的C′ 坐标为（2m-1,2n+4） 。
角度 2 中点坐标在中心对称（旋转）中的应用
中考总复习+与角数量关系相关的模型++讲义+2023—2024学年人教版九年级下册数学
与角数量关系相关的模型类型1绝配角绝配角(若两个角满足α+2β = 180°，则称α，β为一组绝配角)条件中出现绝配角或者导角后得到绝配角，（1）由绝配角构造镜面角(入射光线CO、反射光线OB和平面镜OA的夹角)经典模型图常用结论2α+β=180°(1) 反向延长OB ：∠AOD=∠AOC=α(2) 反向延长OA：∠BOD=∠AOC=α（2）由绝配角构造等腰三角形经典模型图常用结论∠A=2α，∠B=90°-α过点B作BD⊥AC于点D，在CA上取一点E，使CD=DE∠C=90°-αAB=AC，∠CBD=αBC=BE例1、如图，在四边形ABCD中ADBC，∠BAC=90∘−12∠CAD，AC，BD相交于点E，且∠BEC= 60°，若AD=5，BD=15，求AC的长.例2、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上，连接DE，2∠C+∠BDE=180°，AC= BD，∠AED=∠C，BE=3，求CD 的长.例3、如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB=60°，过点C作CD⊥AB于点D ，点E在弧AC上，∠ACE，若CD=a，CE=b，求AB 的长.(用含a，b 的连接AE，BE，CE，满足∠ACB=90∘−12式子表示)练习题∠BDC；1、如图，在△ABC中，AB=AC，D在△ABC外，且∠ADB=90∘−12(1)求证：∠DBC=∠DAC；(2)若∠ACD=60°，BD=5，CD=3，求AD的长。
2、阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在BC上，点E在AC 上，∠ADC=2∠EBC ，若CD=mCE ，求CEAD 的值。
(用含m 的代数式表示)小明通过探究发现，将△ACD 绕点C 顺时针旋转90°得到ΔBCM （图2），再证出EM=BM ，问题就得到解决，(1) 请你根据小明的思路解决这个问题； 参考小明解决问题的方法，解决下面的问题；(2)如图3，在等边△ABC 中，D 为边AB 上一点，E 为CD 上一点，∠EBC=2∠ACD ，F 为BE 上一点且∠FDE=60°，若EF=kBF ，求 DEDF 的值.(用含有k 的代数式表示)类型2 倍半角经典模型图常用结论 角平分线法：作二倍角的角平分线，从而得到相等的角； 条件：∠AOB=2∠CO′D ； 辅助线：作 OE 平分∠AOB∠AOE=∠BOE =∠CO' D加倍法：加倍半角，从而得到相等的角； 条件：∠AOB=2∠CO′D ； 辅助线：作∠CO' E=∠CO' D∠DO′E=∠AOB等腰法：由二倍角关系，作以二倍角为顶角的外角的等腰三角形条件：∠ABC=2∠C；辅助线1：作BD平分∠ABC；辅助线2：∠CAD=∠C；辅助线3：延长CB至点D，使DB=ABDB=DC，AB=AD=DC，AD=AC例1、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D，E分别在边AC，BC上，∠C=2∠BAE，EA 平分∠BED，BE=5，CD=12，求CE的长.例2、如图，在正方形ABCD中，E为CD的中点，点F在CE上，且∠BAF=2∠DAE，求证：EF=CF.例3、如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，点F在边AB上，点G 在边AC上，CD=CG，FD⊥BC于D，且FD平分∠BFG，FD=kDG，探究AB与AC之间的数量关系，并证明.(用含k 的式表示)练习题1、如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，对角线AC、BD相交于点O，若AB=AC=5，BC=6，∠ADB=2∠CBD，求AD的长．2、如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，连接AC，BD，AB＝AC，并且∠ADB＝2∠CBD，若AD＝5，BC＝8，求AB的长．。
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九年级数学中考总复习资料--------数与式实数与代数式1、数的分类及概念：整数和分数统称有理数（有限小数和无限循环小数），像√3，π，0.101001∙∙∙叫无理数；有理数和无理数统称实数。
实数按正负也可分为：正整数、正分数、0、负整数、负分数，正无理数、负无理数。
2、实数和数轴上的点是一一对应的．2．（1）互为倒数的积为1；（2）互为相反数的和为0,商为-1；（3）绝对值是距离，非负数。
3、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数．若a 、b 互为相反数，则a+b=0，1-=ab （a 、b ≠0） 4、绝对值：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离 去绝对值法则：正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零； 负数的绝对值是它的相反数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a数轴：①定义（三要素：原点、正方向，单位长度）；②点与实数的一一对应关系。
(2)性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。
5、近似数和有效数字：测量的结果都是近似的；利用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位；对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。
6、科学记数法；一般地，一个大于10的数可以表示成ａ×10 n 的形式,其中 1≤a ﹤10，n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。
7、整指数幂的运算：()()m m mmn n m n m n m b a ab a a a a a ⋅===⋅+,, （a ≠0） 负整指数幂的性质：pp p a a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛==-11 零整指数幂的性质：10=a （a ≠0）正数的任何次幂为正数；负数的奇次幂为负数，负数的偶次幂为正数8、实数的开方运算：()a a a a a =≥=22;0)(9、实数的混合运算顺序10、无理数的错误认识：⑴无限小数就是无理数如1．414141···(41 无限循环）；（2；（3）两个无理数的和、差、积、商也还（4）无理数是无限不循环小数，所以无法在数轴上表示出来，这种说法错误，每一个轴上把它找出来，其他的无理数也是如此．11、实数的大小比较：(1).数形结合法(2).作差法比较(3).作商法比较整式1、代数式的有关概念．(1)代数式是由运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子．(2)求代数式的值的方法：①化简求值，②整体代入2、整式的有关概念(1)单项式：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式．(2)多项式：几个单项式的和，叫做多项式(3)多项式的降幂排列与升幂排列(4)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类顷．3、整式的运算(1)整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接．整式加减的一般步骤是：(2)如果遇到括号．按去括号法则先去括号：括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉。
括号里各项都不变符号，括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉．括号里各项都改变符号．(3)合并同类项： 同类项的系数相加，所得的结果作为系数．字母和字母的指数不变．4、乘法公式(1).平方差公式:()()22b a b a b a -=-+(2).完全平方公式: ,2)(222b ab a b a +±=±5、因式分解(1).多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．(2).分解因式的常用方法有：提公因式法和运用公式法分式1．分式：整式A 除以整式B ，可以表示成A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称A B 为分式．注：（1）若B ≠0，则A B 有意义；（2）若B=0，则A B 无意义；（2）若A=0且B≠0，则A B =02．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．3．约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分．4．通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．5．分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加（2）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算．6．分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．7．分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．8．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值．二次根式(1)二次根式 )0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O ．(2)算术平方根：)0(≥a a ； 平方根：±)0(≥a a(3)最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．（4）同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．（5）分母有理化：化去分母中的根号。
2．二次根式的性质);0()(2≥=a a a⎩⎨⎧<-≥==);0(),0(||2a a a a a a )0;0(≥≥⋅=b a b a ab)0;0(>≥=b a b a b a3．二次根式的运算(1)二次根式的加减去分母 分式方程 整式方程 )0(02≠=++a c bx ax )04(24222,1≥--±-=ac b a ac b b x ac b42-=∆①先把各个二次根式化成最简二次根式；②再把同类二次根式分别合并(2)二次根式的乘法(3)二次根式的除法------------方程和不等式方程基本概念有：方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程组（1）．一元一次方程：最简方程ax=b(a ≠0)；解法。
（2）二元一次方程的解有无数多对。
（3）二元一次方程组：①代入消元法；②加减消元法。
（4）一元二次方程的求根公式：常用方法①因式分解法； ②公式法； ③开平方法； ④配方法。
根的判别式； 当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根。
（5）分式方程： ；分式方程必须要检验。
应用题也不例外。
（6）列方程（组）解应用题:①审题；②设元（未知数）；③用含未知数的代数式表示相关的量；④寻找相等关系列方程(组)；⑤解方程及检验；⑥答案。
不等式.（1）不等号：＞、＜、≥、≤、≠。
（2）一元一次不等式：ax ＞b 、ax ＜b 、ax ≥b 、ax ≤b 、ax ≠b(a ≠0)。
（3）不等式的性质：⑴a>b ←→a+c>b+c ⑵a>b ←→ac>bc(c>0) ⑶a>b ←→ac<bc(c<0)（4）一元一次不等式组：⑷（传递性）a>b,b>c →a>c ⑸a>b,c>d →a+c>b+d.（用文字怎么叙述？）（5）一元一次不等式的解、解一元一次不等式。
（乘除负数要变方向，但要注意乘除正数不要要变方向）（6）一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组（在数轴上表示解集） ------线、三角形、四边形有关性质定理推论1 过两点有且只有一条直线。
2 两点之间线段最短。
3 同角或等角的补角相等。
4 同角或等角的余角相等。
5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。
9 同位角相等，两直线平行。
10 内错角相等，两直线平行。
11 同旁内角互补，两直线平行。
12 两直线平行，同位角相等。
13 两直线平行，内错角相等。
14 两直线平行，同旁内角互补。
15 定理三角形两边的和大于第三边。
16 推论三角形两边的差小于第三边。
17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°。
18 推论1 直角三角形的两个锐角互余。
19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
21 全等三角形的对应边、对应角相等。
22 边角边公理(SAS)：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
23 角边角公理( ASA)：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
24 推论(AAS)：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
25 边边边公理(SSS)：有三边对应相等的两个三角形全等。
26 斜边、直角边公理(HL) ：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上。
29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）。
31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。
32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。
33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。
35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形。
36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半。
38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。
39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合。
42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形。
43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
44 定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
45 逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
46勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
47 勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
48 定理四边形的内角和等于360°。