3.1 质点运动的动量定理
合集下载
第3章动量定理
F
I to F t t to
t
Fdt
o
to
t
t
平均冲力与同段时间内变力等效。
第一篇
力学
思考
重 大 数 理 学 院
I p
例1：撑杆跳运动员从横杆跃 过,落在海棉垫子上不会摔伤， 如果不是海棉垫子，而是大 理石板，又会如何呢？
赵 承 均
例2：汽车从静止开始运动， 加速到20m/s。如果牵引力大， 所用时间短；如果牵引力小， 所用的时间就长。
[A]
第一篇
力学
例3.质量为 m 的小球，以水平速度 v 与固定的竖直壁作弹性碰撞，设 指向壁内的方向为正方向，则由于此碰撞，小球的动量变化为：
重 大 数 理 学 院
（A）mv （B）0 （C）2mv （D）-2mv
赵 承 均
m v v 2mv
[D]
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
③由①可知，小球所受重力和拉力的冲量为0，因此，拉力的冲量必然等 于小球重力冲量的负值，即：
2 mg I N mgT
第一篇
力学
z
mc mi
§3.2 质点系的动量定理 一、质点系
重 大 数 理 学 院
particle system
相互作用的质点构成的整体，称为质 点系。由运动的可迭加性质（亦即矢量的 性质），质点系的整体运动可以看做是各 个质点单独运动的迭加。 质心
第一篇
力学
讨论
重 大 数 理 学 院
动量与冲量的区别
①.动量是状态量；冲量是过程量； ②.动量方向为物体速度方向；冲量方向为作用时间内动量变化的方向。
冲量定理的使用
第3章动量
解：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，
y v2
O
30o
45ox
n
忽略重力 影响。由动 量定理 ： I P mv2 mv1 I x mv2 cos30 (mv1) cos 45 Fxt
I y mv2 sin 30 mv1 sin 45 Fyt
v1
代入已知数据，计算得到冲量和力的分量：
L Li ri mivi
内力矩和外力矩
质点受到外力的力矩称为外力矩，受到的质点系内其它质点施加 的力的力矩称为内力矩。
质 质点点系系M的的外角角动动量量ddLt对定时理间对微的同分变一形化参式率考。点，作用M于i 质M点i 系MM的i内 外i内 力 M矩M之ii外外和等ddL于ti ddLti
ti
第一篇 力 学
接下来化简等号左边力的求和形式
F1 F1外 F1内
F2 F2外 F2内
全部相加
FN FN外 FN内
(F1外 FN外 )
(F1内 FN内)
质点系的内力实际上是作用力与反作用力，所以内力求和为零。
t f
( F1外
FN外 )dt
pf
pi
ti
4 动量守恒只对惯性系成立，是物理学中最普遍、最基本的定律之一。
第一篇 力 学
例1、质量为m1的小球A以速度v0沿着x轴正方向运动，与另一质量为 m2的静止小球B在水平面内碰撞，碰后球A沿着y轴正方向运动，B的运 动方向与x轴成θ角度，如图所示。求
(1)碰撞后AB的速率为多少？
(2)若碰撞时间为Δt，求A受到的平均冲力？
z
利用动量定理
I P mv2 mv1
A y
O x
I
IT
IG
质点力学4
例1、一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点
h＝19.6 m处炸裂成质量相等的两块。其中一
块在爆炸后1秒钟落到爆炸点正下方的地面上，
设此处与发射点的距离S1＝1000 m，问另一 块落地点与发射点的距离是多少？（空气阻
力不计，g=9.8 m/s2)
y
解：知第一块方向竖直向下
v2
y
h
v1t1
1 2
gt12
1、质点角动量定理 L r p
dL d (r p) dr p r d p
dt dt
dt
dt
p mv
dr v dt
dp F dt
dL v mv r F dt
dL r F dt
令： M r F 为合外力对同一固定点的力矩
大小：M＝rFsin (为矢径与力之间的夹角)
I x mv2x mv1x I y mv2 y mv1y I z mv2z mv1z
平均力
F
t2 Fdt
t1
=
I
P
t2 t1 t t
例1、质量为2.5g的乒乓球以 10m/s的速率飞来，被板推 挡后，又以20m/s的速率飞 出。设两速度在垂直于板面 的同一平面内，且它们与板 面法线的夹角分别为45o和 30o，求：（1）乒乓球得到 的冲量；（2）若撞击时间 为0.01s，求板施于球的平均 冲力的大小和方向。
作业： 1.35、1.36、1.38
三、质心、 质心运动定律
1、质心：质点系的质量中心 质点系 N个质点 质量：m1 m2 m3 … mi … mN
位矢：r1, r2 , r3 , , ri , , rN
质心的位矢：
mi ri
(m为总质量)
rc i m
大学物理质点和质点系的动量定理
t1
I
O
F t2 t
O
I
t1 t2 t
t1
动量定理常应用于碰撞问题
F
t1 mv2 mv1 t2 t1 t2 t1
在△p一定时, △t 越小,则F越大
t2
Fdt
mv
mv1
F
mv2
注意
第三章 动量守恒和能量守恒
9/14
物理学
第五版
3-1 质点和质点系的动量定理 例 1 一质量为0.05kg、速率为10m/s的刚球,以与钢 板法线呈45º 角的方向撞击在钢板上,并以相同的速率和 角度弹回来.设碰撞时间为0.05s.求在此时间内钢板所受 到的平均冲力 F 解:由动量定理得 F t mv mv mv1 2 1 建立如图坐标系 x
t2
物体由于运动具有的机械效果 Objects with the mechanical effect because of moving 冲量(Impluse) (矢量Vector)
I
t1
Fdt
力对时间的累积效应
The time accumulation effects of forces
作用于质点系的合外力等于质点系动量随 时间的变化率. The combined external force acting on the mass point system is equal to the momentum variation rate of the mass point system with respect to time.
则
y
两边同乘以ydy， 则
2
y
1 3 1 d yv 2 y gdy ydy yv d yv gy yv 3 2 dt y yv 1 2 2 g y d y yv d yv v ( gy ) 2 0 0 3
I
O
F t2 t
O
I
t1 t2 t
t1
动量定理常应用于碰撞问题
F
t1 mv2 mv1 t2 t1 t2 t1
在△p一定时, △t 越小,则F越大
t2
Fdt
mv
mv1
F
mv2
注意
第三章 动量守恒和能量守恒
9/14
物理学
第五版
3-1 质点和质点系的动量定理 例 1 一质量为0.05kg、速率为10m/s的刚球,以与钢 板法线呈45º 角的方向撞击在钢板上,并以相同的速率和 角度弹回来.设碰撞时间为0.05s.求在此时间内钢板所受 到的平均冲力 F 解:由动量定理得 F t mv mv mv1 2 1 建立如图坐标系 x
t2
物体由于运动具有的机械效果 Objects with the mechanical effect because of moving 冲量(Impluse) (矢量Vector)
I
t1
Fdt
力对时间的累积效应
The time accumulation effects of forces
作用于质点系的合外力等于质点系动量随 时间的变化率. The combined external force acting on the mass point system is equal to the momentum variation rate of the mass point system with respect to time.
则
y
两边同乘以ydy， 则
2
y
1 3 1 d yv 2 y gdy ydy yv d yv gy yv 3 2 dt y yv 1 2 2 g y d y yv d yv v ( gy ) 2 0 0 3
质点系的动量定理 动量守恒定律
m(vx V ) MV = 0
解得
பைடு நூலகம்
vx =
m+M V m
设m在弧形槽上运动的时间为t，而m相对于M在水平方向移动距离为R， 故有 t M+m t R = ∫ vx dt = Vdt 0 m ∫0 于是滑槽在水平面上移动的距离
S = ∫ Vdt =
0 t
m R M+m
§3.动量守恒定律 / 二、注意几点及举例 动量守恒定律
若x方向 ∑ Fx = 0 , 则∑ mivi 0 x = ∑ mivix 方向 若y方向 ∑ Fy = 0 ,则∑ mivi 0 y = ∑ miviy 方向 4.自然界中不受外力的物体是没有的，但 自然界中不受外力的物体是没有的， 自然界中不受外力的物体是没有的 如果系统的内力 外力， 内力>>外力 如果系统的内力 外力，可近似认为动量 守恒。 守恒。 如打夯、 如打夯、火箭发 射过程可认为内力 内力>> 射过程可认为内力 外力， 外力，系统的动量守 恒。
Fdt＝(m＋dm)v－(mv＋dm0)＝vdm＝kdt v
则
F = kv = 200 × 4 = 8 ×102 N
一、动量守恒 由质点系的动量定理： 由质点系的动量定理：
∫ ( ∑ Fi外 )dt = P P0 = P
t t0
动量守恒条件： 动量守恒条件：
P P0 = 0
当 ∑ Fi外 = 0 时
第四节 质点系的动 量定理
一、质点系的动量定理 两个质点组成的质点系， 两个质点组成的质点系， 对两个质点分别应用 质点的动量定理： 质点的动量定理： t ∫t ( F1 + f12 )dt = m1v1 m1v10
0
3-1 动量与角动量
冲量是由作用力和力的作用时间两个因素共同决定的， 冲量是由作用力和力的作用时间两个因素共同决定的 ， 如果要使质点的运动状态发生一定的变化，若作用力小， 如果要使质点的运动状态发生一定的变化 ， 若作用力小 ， 则作用时间必定长，若作用力大，则作用时间必定短。 则作用时间必定长，若作用力大，则作用时间必定短。 为什么人从高处跳下，落地时要曲膝？ 为什么人从高处跳下，落地时要曲膝？
T = T′
张力作用的时间为∆ ， 张力作用的时间为∆t，则
T∆t = − mv − ( − mu)
m 2 ghBiblioteka mu v= = M +m M + m 18
T∆t = Mv − 0
由以上两式可以解得
例题7 柔软且质量均匀分布的绳子长度为L， 例题 柔软且质量均匀分布的绳子长度为 ，质量 为M。开始时手拿其上端竖直悬提着，并使其下端 。开始时手拿其上端竖直悬提着， 刚刚与桌面相接触，如图所示。 刚刚与桌面相接触，如图所示。现将绳子由静止释 试求当绳子下落到所剩长度为l时 放，试求当绳子下落到所剩长度为 时，绳子作用 于桌面上的力。 于桌面上的力。 解： 建立如图坐标系 绳子在下落过程中对桌面的 作用力表示为
§3-2 质点系动量定理和质心运动定理
一、质点系动量定理 一个由n个质点组成的 一个由 个质点组成的 质点系， 质点系，对于每个质点有
v F1 + v F2 + v Fn +
∑ ∑
n n i≠ 2
n
i ≠1
v d v f1i = m 1 v1 dt v d v f 2i = m 2v2 dt
LL
将n 个方程两边分别相加得
3
由牛顿第二定律得
u r v v dv d v v dp F = ma = m = (mv ) = dt dt dt
T = T′
张力作用的时间为∆ ， 张力作用的时间为∆t，则
T∆t = − mv − ( − mu)
m 2 ghBiblioteka mu v= = M +m M + m 18
T∆t = Mv − 0
由以上两式可以解得
例题7 柔软且质量均匀分布的绳子长度为L， 例题 柔软且质量均匀分布的绳子长度为 ，质量 为M。开始时手拿其上端竖直悬提着，并使其下端 。开始时手拿其上端竖直悬提着， 刚刚与桌面相接触，如图所示。 刚刚与桌面相接触，如图所示。现将绳子由静止释 试求当绳子下落到所剩长度为l时 放，试求当绳子下落到所剩长度为 时，绳子作用 于桌面上的力。 于桌面上的力。 解： 建立如图坐标系 绳子在下落过程中对桌面的 作用力表示为
§3-2 质点系动量定理和质心运动定理
一、质点系动量定理 一个由n个质点组成的 一个由 个质点组成的 质点系， 质点系，对于每个质点有
v F1 + v F2 + v Fn +
∑ ∑
n n i≠ 2
n
i ≠1
v d v f1i = m 1 v1 dt v d v f 2i = m 2v2 dt
LL
将n 个方程两边分别相加得
3
由牛顿第二定律得
u r v v dv d v v dp F = ma = m = (mv ) = dt dt dt
质点系动量定理和质心运动定理.pptx
由上式所确定的空间点称质点系的质量中心(质心).
在直角坐标系质心坐标为
xc
mi xi m
yc
mi yi m
zc
mi zi m
对由两个质点组成的质点系，有
xc
m1x1m2x2 m1m2
yc
m1y1m2y2 m1m2
第10页/共19页
x2 xc m1 xc x1 m2
y2 yc m1 yc y1 m2
质心必位于m1与m2的连线上，且质心与各质点距离与质点质量 成反比.
第11页/共19页
[例题3] 一质点系包括三质点，质量为
m2 2单和位
m3
3，单 位置位坐标各为
求质心坐标.
m 1 ( 1 , 2 )m ,2 ( 1 ,1 ) 和 m 3 ( 1 ,2 )
m1 1单位
[解] 质心坐标
xc
m1x1m2x2m3x3 m1m2m3
d p vd tS v
由动量定理
dp vS vF
dt
F表示留在燃烧室内的燃烧物质对排出物质的作用力
Fx Sv2
向下
火箭所受推力，也等于
Sv 2
向上
第5页/共19页
[内例有题质2]量如为图表m0示的传煤送卸带出以，水传平送速带度顶部与将车煤厢卸底入板静v0高止度车差厢为内h。，每开单始位时时车间
第8页/共19页
§3.7.2 质心运动定理
1.质心
质点系动量定理
而
vi
dri dt
i F i d dt(
mivi)
有
i i
F i ddt22(
miri)
F i md dt22(
m iri) m
§3.1 动量及动量定理
§3. 1质点和质点系的动量定理 作者：杨茂田
2. 变力的冲量
F F (t )
n t I lim Fi t Fdt t 0 i 1
t0
F
注： ☻矢量 I 与 F 方向相同；
☻冲量是过程量。
F
单位:牛顿 · (或 N· ) 秒 s
|I |
F
2
1
2
均冲力；
(2)物体末速度大小。
0.67
(解毕)
(t )
I 1.33 ( N S )
F
0 1 2
Chapter 3. 守恒定律52 3
§3. 1质点和质点系的动量定理 作者：杨茂田
插播录像……
Chapter 3. 守恒定律
§3. 1质点和质点系的动量定理 作者：杨茂田
二、质点系的动量定理
mv x mv x 0 Fx t t0 mv y mv y 0 Fy t t0
☻动量定理仅适用于惯性参照系，并注意定理左右两
端皆是相对于同一惯性参照系。
Chapter 3. 守恒定律
§3. 1质点和质点系的动量定理 作者：杨茂田
例 有一方向不变的冲力 作用在原来静止的物体
F
2
均冲力；
(2)物体末速度大小。
0
1
2
(t )
Chapter 3. 守恒定律
§3. 1质点和质点系的动量定理 作者：杨茂田
例 有一方向不变的冲力 作用在原来静止的物体
解 由于冲力方向不变，其 F I 1.33 0.67 ( N ) Δt 2 0 冲量方向也不变，则:
上，m=0.33kg：
t0
o
质点的动量定理
它的冲量 和摩擦力的冲量 FAf tA ，而摩擦力 FAf fFAN fmA g 。
根据质点的动量定理有
0 mAvA0 I FAf tA （a）
再以B为研究对象，B原来静止，设撞击后历时 tB 秒后停止，这段 时间内B的动量变化为零，而作用的冲量有：A对它的冲量和摩擦力
的冲量 FBf tA ，而 FBf f FBN f mB g，于是有 0 I FBf tB （b）
式（9-6a）就是质点的动量定理的积分形式，即质点的动量在某 一时间间隔内的改变等于质点上的作用力在同一时间内的冲量。
将式（9-6a）在直角坐标轴上投影，可得
mvx mv0x
t 0
Fxdt
Ix
t
mvy mv0y
0
Fy dt
I
y
mvz mv0z
t
0 Fzdt
Iz
（9-7）
Байду номын сангаас
若作用在质点上的力F恒等于零，则由式（9-6a）得
导数等于作用在该质点上的力。式（9-4）又可改写为
d(mv) Fdt dI （9-5）
若质点在初始时刻（ t 0 ）的速度为 v0 ，在t时刻的速度为 v ，
则将式（9-5）从0到t积分得
t
mv mv0
Fdt
0
（9-6a）
或
mv mv0 I
（9-6b）
当质点上作用有n个力时，前面公式中的力 F表示的是合力。
将上式在直角坐标轴投影，可得
（9-2）
Ix
t 0
Fx
dt
，I y
t 0
Fy
dt
，I z
t
0 Fzdt
（9-3）
比较质点系的动能定理和动量定理
比较质点系的动能定理和动量定理比较质点系的动能定理和动量定理质点系的动能定理和动量定理是物理力学中非常重要的定理，两者都与质点系的运动状态相关。
下面将对这两个定理进行比较。
一、动能定理动能定理是描述质点运动状态的重要定理，它与质点的动能有关。
动能定理可以表示为：ΔK=W，其中ΔK为质点在某段时间内的动能变化量，W为外力对质点做功。
动能定理的物理意义是：外力对质点做功的大小等于质点动能的变化量，即质点动能的增加等于外力对质点做的功，质点动能的减小等于质点对外界做的功。
二、动量定理动量定理是另一个描述质点运动状态的重要定理，它与质点的动量有关。
动量定理可以表示为：Δp=FΔt，其中Δp为质点在某段时间内的动量变化量，F为质点所受合外力，Δt为质点所受合外力作用的时间。
动量定理的物理意义是：质点所受合外力的作用使质点的动量发生变化，即质点动量的增加等于合外力对质点的作用，质点动量的减小等于质点对外界施加的作用。
三、两者的比较动能定理和动量定理都是物理力学中描述质点运动状态的重要定理，它们之间有以下几点不同：1. 方向：动能定理只涉及质点动能的变化，与动量的方向无关；而动量定理要考虑合外力的方向，与动量的方向有关。
2. 物理量：动能定理描述的是质点的动能变化，而动量定理描述的是质点的动量变化。
3. 计算方式：动能定理的计算只需知道外力对质点做功的大小，而动量定理的计算需要知道合外力的大小、方向和作用时间。
4. 应用场合：动能定理适用于质点在力学系统中的动能变化问题，而动量定理适用于描述质点受力作用后动量变化的问题。
总之，动能定理和动量定理都是描述质点运动状态的重要定理，在不同的物理场合中都有着重要的应用。
经典力学知识点总结
但对于一些大尺度现象（与地球的大小有关），则不能对两力的差距忽略不计，潮汐现象就是一个例子。
（带电粒子加速到光速）
2.3力学的单位制与量纲
一．基本量与导出量
凡是被选定并独立规定其单位的物理量均为基本量，其余都是导出量。
基本量在国际单位制中只有七个：长度、质量、时间（力学基本）、电流（电磁学）、热力学温度（热学）、物质的量（分子）、发光强度（光学）。
其他都是导出量。
二．单位制
长度：m
时间：s
任意两个质点间的相互作用（但若是可视为质点之物也适用）
G=6.6720*10^(-11)Nm^2/kg^2
2.重力
通常在地表把地球对对象的万有引力看作重力
但实际上地球实测的重力与此有一定区别（表观重力/视重），考虑其他力/运动的影响。（如离心力等）
3.引力质量和惯性质量
如前面所说惯性质量是为了比较不同物体在受到等大的力的作用下运动状态变化的程度（抵抗运动变化的能力）其本质只能通过测量加速度的改变情况来比较。
二．时间、空间的度量（T、L，两大基本物理量）
1．时间的测量
运用周期运动将时间进行等分，测量的精度取决于周期运动的稳定性。基本单位为（s）
2.长度的测量
比较法——采用自然长度（光于真空1/299792458s）。基本单位为（m）
三．参照物与坐标系
有些力学量是与参照系的选择有关的。由于绝对静止的空间并不存在，因此不指明参照系则研究毫无意义。
描述了质点的运动规律后，必须进一步研究质点作某种运动的起因。（质点运动与其受力之间的关系）
牛顿三定律（动力学基础），理论上可以解决机械运动的一切问题。
2.1牛顿第一定律
一．惯性和惯性定律
任何物体，如果没有受到其他物体的作用，就一直保持静止状态或匀速直线运动状态。——牛顿第一定律（惯性定律）
（带电粒子加速到光速）
2.3力学的单位制与量纲
一．基本量与导出量
凡是被选定并独立规定其单位的物理量均为基本量，其余都是导出量。
基本量在国际单位制中只有七个：长度、质量、时间（力学基本）、电流（电磁学）、热力学温度（热学）、物质的量（分子）、发光强度（光学）。
其他都是导出量。
二．单位制
长度：m
时间：s
任意两个质点间的相互作用（但若是可视为质点之物也适用）
G=6.6720*10^(-11)Nm^2/kg^2
2.重力
通常在地表把地球对对象的万有引力看作重力
但实际上地球实测的重力与此有一定区别（表观重力/视重），考虑其他力/运动的影响。（如离心力等）
3.引力质量和惯性质量
如前面所说惯性质量是为了比较不同物体在受到等大的力的作用下运动状态变化的程度（抵抗运动变化的能力）其本质只能通过测量加速度的改变情况来比较。
二．时间、空间的度量（T、L，两大基本物理量）
1．时间的测量
运用周期运动将时间进行等分，测量的精度取决于周期运动的稳定性。基本单位为（s）
2.长度的测量
比较法——采用自然长度（光于真空1/299792458s）。基本单位为（m）
三．参照物与坐标系
有些力学量是与参照系的选择有关的。由于绝对静止的空间并不存在，因此不指明参照系则研究毫无意义。
描述了质点的运动规律后，必须进一步研究质点作某种运动的起因。（质点运动与其受力之间的关系）
牛顿三定律（动力学基础），理论上可以解决机械运动的一切问题。
2.1牛顿第一定律
一．惯性和惯性定律
任何物体，如果没有受到其他物体的作用，就一直保持静止状态或匀速直线运动状态。——牛顿第一定律（惯性定律）
质点的角动量
i
ri p i ,
对于标号为i的质点，它不仅受到来自系统外的作用力，而且 还受到系统内其它质点的作用力（内力）
fi
j
f ij ,
利用质点的角动量定理 可得
d dt
d Li dt
ri Fi f i ,
i
i
Li
i
ri ( Fi f i )
r1 , 以角速度 1旋转，然后慢慢向下拉 离为 r2时，拉力对质点所做的
v
绳，求质点离圆心距
功。
选小孔为参考点，任意 时刻质点受力矩 M r f 0 , 质点的角动量守恒，因 而有：
o r f
f
mr 1 1 mr 2 2
2 2
根据动能定理，外力做功为
v
O
rห้องสมุดไป่ตู้m
若一个质量为m的粒子在半径为r的圆周上以速 v 运动，则它的动量为 P m v ,相对于圆心的 度 位置矢量 r 与粒子运动速度 v 互相垂直 ，角 动量大小为： L m rv m r 2
是质点运动的角速度
角动量的方向由右手螺旋法则判断，垂直于物体转动 所在的平面
2
1
4、推广到质点系情形
利用牛顿第三定律，我们还可以将质点角动量定律推广到质 点系的情况，得到质点系总角动量的时间变化率与合外力 矩的简单关系，即质点系的角动量定理。 我们定义质点系对给定参考点O的总角动量为系统内所有质 点对选定参考点O的角动量的矢量和，即 ：
L
i
Li
多个外力作用于同一个质点的合力矩等于各 力的力矩的矢量和，即如果
4_1质点和质点系的动量定理
p = p0
p =0
3–1 质点和质点系的动量定理 1 动量定理常应用于碰撞问题
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
∫ F=
mv2 mv1 = t 2 t1 t 2 t1
t1
t2
mv
Fdt
m v1
F
mv2
在 p 一定时 t 越小,则 F 越大 . 越小, 例如人从高处跳下,飞 例如人从高处跳下, 机与鸟相撞, 机与鸟相撞,打桩等碰 撞事件中, 撞事件中,作用时间很 短,冲力很大 .
�
∫
t
0
( F mg )dt = 0 mv0
3–1 质点和质点系的动量定理 1
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
F t mgt = m 2 gh
由此解得
F 1 = 1+ mg t
计算结果如下
2h 0.55 = 1+ g t
t
F / mg
10-1s 6.5
10-2s 56
10-3s 551
10-4s 5501
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
内力不改变质点系的总动量, 内力不改变质点系的总动量,但内力 做功却可以改变系统的总动能. 做功却可以改变系统的总动能
初始速度
v g 0 = v b 0 = 0 m b = 2m g 则
且方向相反 则
p0 = 0
推开后速度 v g = 2 v b 推开前后系统动量不变
(1)冲量的方向与动量增量的方向一致. (1)冲量的方向与动量增量的方向一致. 冲量的方向与动量增量的方向一致 (2)动量定理中的动量和冲量都是矢量, (2)动量定理中的动量和冲量都是矢量,常用的是 动量定理中的动量和冲量都是矢量 其在某个方向上的分量式. 其在某个方向上的分量式. 在碰撞或冲击问题中, 牛顿定律无法直接应用, (3) 在碰撞或冲击问题中, 牛顿定律无法直接应用, 而动量定理的优点在于避开了细节而只讨论过程的 总体效果. 总体效果. 动量定理仅适用于惯性系, (4) 动量定理仅适用于惯性系, 且与惯性系的选择 无关. 无关.
大学物理-第三章-动量守恒定律和能量守恒定律
20
★一对作用力与反作用力的功只与相对位移有关
f ji
ri
f ij
rij
rj
0
dW
jidWij
f
ji
dri
fij drj
f ji fij
fji f ji
(dd(rriidrrjj))
f ji
drij
S
S u
动量的相 对性和动量定 理的不变性
F(t)
t1 m
v1
光滑
v 2
m t2
参考系 t1 时刻 t2 时刻
动量定理
S系
S’系
mv1
mv2
m(v1 u) m(v2 u)
t2 t1
F (t )dt
mv2
mv1
5
例3-1: 作用在质量为1kg 的物体上的力 F=6t+3,如果物体在这
0＝m1(v1+v2)+m2v2
v2
m1v1 m1 m2
x
t 0
v2dt
m1 m1 m2
t 0
v1dt
L
t
0 v1dt
x m1L 0.8m m1 m2
负号表示船移动的方向与人前进的方向相反。
17
3-４ 动能定理
一、功的概念(work) 功率(power) 1、恒力的功
2、动能定理
2
1
或
F
dr
F
dr
1 2
mv22
质点动力学基本定理
张力冲量的各分量为
代入 ，可得
， ，
3．2．3动量定理应用举例
说明：（i）质点动量定理是矢量规律，因此，运用这规律去分析问题时要注意其矢量性。（ii）力的冲量是过程量，质点动量是状态量。（iii）由质点动量改变可以确定一段作用时间内合力的冲量，但是，仅此还不足以确定各个瞬时的作用力。（iv）在应用质点动量定理时，要注意参照系的选择。
根据曲线积分与路径无关的条件可知，此时必有
这样，积分与微分抵消，功的表达式就可以写成
利用直角坐标系中Del算符的形式，可将曲线积分与路径无关的条件 改写一下：
由比较可知
；
这样，曲线积分与路径无关的条件就变成： ，其中 叫做力 的势函数（potential function）。注意，并不是一般力都可以写这个样子！
由前面的推导可知，机械能守恒的条件是：质点所受到的外力为保守力，或者称为具势力，即 。
例1，保守力的判断。
例2，中心力场的势能。
Solution:
In this case,
3．3．5应用——引力场和引力势能
（1），引力场
牛顿的引力理论在解释行星的运动等方面取得了巨大成功。但同时也有一个问题困扰着牛顿及当时的科学家。由于行星之间无相互接触，人们无法理解它们之间的是如何进行相互作用的。直到牛顿去世后，人们才找到解释的答案：利用引力场的概念，即认为在空间任一点处都存在有引力，当一质量为 的质点放在空间引力场为 的点，则该质点就要受到力 的作用。换句话说，引力场定义为
直角坐标系：因为
，
所以，
极坐标系：
自然坐标系：
例如，弹簧所做的功。如图，物块所受的力随位置变换的关系为
其中 是相对于平衡位置（ ）的坐标， 是一恒正的常数，称为弹簧的力常数或弹性系数，这种力的规律称为胡克定律。
代入 ，可得
， ，
3．2．3动量定理应用举例
说明：（i）质点动量定理是矢量规律，因此，运用这规律去分析问题时要注意其矢量性。（ii）力的冲量是过程量，质点动量是状态量。（iii）由质点动量改变可以确定一段作用时间内合力的冲量，但是，仅此还不足以确定各个瞬时的作用力。（iv）在应用质点动量定理时，要注意参照系的选择。
根据曲线积分与路径无关的条件可知，此时必有
这样，积分与微分抵消，功的表达式就可以写成
利用直角坐标系中Del算符的形式，可将曲线积分与路径无关的条件 改写一下：
由比较可知
；
这样，曲线积分与路径无关的条件就变成： ，其中 叫做力 的势函数（potential function）。注意，并不是一般力都可以写这个样子！
由前面的推导可知，机械能守恒的条件是：质点所受到的外力为保守力，或者称为具势力，即 。
例1，保守力的判断。
例2，中心力场的势能。
Solution:
In this case,
3．3．5应用——引力场和引力势能
（1），引力场
牛顿的引力理论在解释行星的运动等方面取得了巨大成功。但同时也有一个问题困扰着牛顿及当时的科学家。由于行星之间无相互接触，人们无法理解它们之间的是如何进行相互作用的。直到牛顿去世后，人们才找到解释的答案：利用引力场的概念，即认为在空间任一点处都存在有引力，当一质量为 的质点放在空间引力场为 的点，则该质点就要受到力 的作用。换句话说，引力场定义为
直角坐标系：因为
，
所以，
极坐标系：
自然坐标系：
例如，弹簧所做的功。如图，物块所受的力随位置变换的关系为
其中 是相对于平衡位置（ ）的坐标， 是一恒正的常数，称为弹簧的力常数或弹性系数，这种力的规律称为胡克定律。
质点系的动量定理
t2
p2x p1x
X (e)dt
t1
t
(M m)v 0 F dt
0
t2
p2 y p1y
Y (e)dt
t
0 (mu) (N Mg mg) dt
0
(Mt1
m)v
F
t
F
m m
mu
N
t
(M
m)g
t
N
m m
(M
m)g
m m
解得：v
(M
Fm m)m
;
N (M m)g m u
本章将研究质点和质点系旳动量定理，建立了动量旳变化 与力旳冲量之间旳关系，并研究质点系动量定理旳另一主要形 式——质心运动定理。
3
§12-1 质点系旳质心 内力与外力
一.质点系旳质心 ⒈定义 质点系旳质量中心称为质心。
是表征质点系质量分布情况旳一
个主要概念。
⒉ 质心 C 点旳坐标公式
rC
mi
M
ri
p mvC1 mvC2 mvC3
px mvC1 sin mvC2 cos mvC3
PC2
5 2
l; AB
)
m[( 1 l sin 45 5 l cos 2l)
2
2
ml( 1 2 5 3 2) 2 2ml
2 2 2 10
8
py mvC1 cos mvC2 sin
在某一时间间隔内，质点系动量旳变化量等于作用在质点
系上旳全部外力在同一时间间隔内旳冲量旳矢量和。
14
⒉ 投影形式
dpx
dt
Xi (e )
dp y
dt
Yi (e)
dp z
质点的动量定理表达式
质点的动量定理表达式质点的动量定理是物理学中的一个重要定理，它描述了质点在外力作用下动量的变化规律。
动量定理的表达式为：一个质点的动量等于作用在它上面的外力的时间积分。
动量定理表达式为：p = F * t。
在这个表达式中，p表示质点的动量，F表示作用在质点上的外力，t表示外力作用的时间。
这个定理可以帮助我们理解质点在外力作用下的运动规律。
质点的动量是描述质点运动状态的物理量，它的大小和方向都可以发生变化。
当外力作用在质点上时，质点的动量会发生变化。
外力的大小和方向决定了动量的变化率。
如果外力是恒定的，那么质点的动量也会随时间线性变化。
如果外力是变化的，那么质点的动量变化会更加复杂。
动量定理的表达式可以帮助我们计算质点的动量变化。
通过测量外力的大小和方向以及作用时间的长短，我们可以计算质点的动量变化量。
这对于研究物体的运动以及物体之间的相互作用非常重要。
动量定理还可以用来解释一些实际问题。
比如，当一个汽车突然刹车时，乘坐在车内的人会向前倾斜。
这是因为突然的刹车会给乘坐者带来一个向前的冲击力，使得他们的动量突然改变。
根据动量定理，他们的身体会向前倾斜，以保持动量守恒。
动量定理还可以用来解释碰撞过程中的动量转移。
当两个物体发生碰撞时，它们之间会有一个相互作用力。
根据动量定理，这个相互作用力会改变物体的动量。
在碰撞过程中，动量的总和不变，只是发生了转移。
动量定理是牛顿力学中的一个基本原理，它可以帮助我们理解物体的运动和相互作用。
通过计算质点的动量变化，我们可以了解外力对质点的作用效果。
动量定理的表达式为p = F * t，它简洁地描述了动量和外力之间的关系。
这个定理在物理学研究和实际应用中都有着重要的作用。
质点系的动量定理
i
Fi
d dt
i
Pi
以 F 和 P 表F示系d统P的合外力和总动量，上式可写为：
dt
由此可得F“dt质点d系P的动微量分定形理式”：
t2
Fdt
P2
dP
P
积分形式
t1
P1
内力不改变系统的总动量，但会使系统内部动量重新分配。 只有外力才能改变系统的总动量。
的速度，动量和应是同一时刻的===动量之和。
2、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。
3、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程 ===中，往往可忽略外力（外力与内力相比小很多）— ======——近似守恒条件。
4、动量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某一方 ===向为零。）——部分守恒条件
5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。是比牛顿 ===定律更普遍的最基本的定律
离S1＝100米,问另一块落地点与发射点的距离是多少？ （空气阻力不计，g=9.8m/s2)
解：已知第一块方向竖直向下
h
v1t
'
1 2
gt
'2
t ' 1s 为第一块落地时间
v1 v1y 14 7m / s
y v2
h
v1 h S1
x
炮弹在最高点，vy
0, 到最高点用时为t
好触到水平桌面上，如果把绳
的上端放开，绳将落在桌面上。
试证明：在绳下落的过程中，
任意时刻作用于桌面的压力，
等于已落到桌面上的绳重力的
x
三倍。
证明：取如图坐标，设t 时刻已有x
o
长的柔绳落至桌面，随后的dt时间
运动质点的动能与动量定理
运动质点的动能与动量定理运动质点是物理学中一个重要的概念，它指的是在运动过程中，可以将其看作一个质点无视其形状和大小的理想模型。
在物理学中，我们经常使用动能和动量这两个概念来描述运动质点的特性。
动能是运动质点的一个重要属性，它指的是质点具有的能够引起运动的能力。
动能的大小与质点的质量和速度有关，通常用公式KE=1/2mv²来表示，其中KE表示动能，m表示质点的质量，v表示质点的速度。
从这个公式可以看出，速度越大，质量越大，质点的动能就越大。
动能是一个标量，具有物质的能量和与物质的质量有关的性质。
动量定理是描述运动质点在受力作用下的状态变化的一个重要原理。
根据动量定理，质点在受到力的作用下，会发生速度和方向的变化，使其动量发生变化。
动量定理可以用数学公式来表示，即F=Δp/Δt，其中F表示作用在质点上的力，Δp表示动量的变化量，Δt表示时间的变化量。
从动能和动量定理的描述可以看出，它们是互相关联的。
动量定理告诉我们，当外力作用在运动质点上时，质点的动量会发生变化。
而动能则描述了质点具有的能够引起运动的能力，动能的变化也意味着质点的状态发生了变化。
当质点的动量变化时，它的速度和方向也会随之改变，进而影响质点的动能。
在实际的物理实验中，我们经常通过测量质点的速度和质量来计算动能的大小。
例如，在弹道学实验中，可以通过测量炮弹的质量和发射速度来计算其动能。
通过测量质点在外力作用下的速度和方向的变化，我们可以推断质点所受的力的大小和方向。
动能和动量定理在物理学中有着广泛的应用。
在力学中，它们可以用来描述质点在受力作用下所发生的状态变化，如运动方程、碰撞问题等。
在能量守恒定律的应用中，动能也起到了重要的作用。
例如，在机械能守恒中，质点在受到其他形式能量转换的过程中，动能的大小会发生变化，但总能量的大小保持不变。
总之，运动质点的动能和动量定理是物理学中重要的概念。
动能描述了质点具有的能够引起运动的能力，动量定理描述了质点在受力作用下的状态变化。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
t1
t2
mv2z − mv1z = ∫ Fzdt
t1
第3章 动量与角动量
t2
(4)动量定理仅成立于惯性参照系。 (4)动量定理仅成立于惯性参照系。 动量定理仅成立于惯性参照系 (5) 在变力的整个作用时间内 ， 平均力的冲 在变力的整个作用时间内， 量等于变力的冲量
F
F
I = ∫ Fdt
t1 t2
r mv2
60
v F∆t
r mv1
2m cosα υ F= = 8.1×103 (N) ∆t
此打击力约为垒球自重的5900倍 此打击力约为垒球自重的5900倍！ 5900
8 第3章 动量与角动量
的速率从煤斗下面通过， [例2]一辆装煤车以 = 3m/s 的速率从煤斗下面通过，每秒落入 2]一辆装煤车以v 一辆装煤车以 车厢的煤为500kg。如果使车厢的速率保持不变，应 车厢的煤为 。如果使车厢的速率保持不变， 用多大的牵引力拉车厢？ 车厢与钢轨间的摩擦忽略不计) 用多大的牵引力拉车厢？ （车厢与钢轨间的摩擦忽略不计 v v 选取车厢和车厢里的煤的质量m 解：选取车厢和车厢里的煤的质量 ， dm 时间内落入车厢的煤的质量 落入车厢的煤的质量dm为 和 dt 时间内落入车厢的煤的质量 为 v m F 研究的系统。取水平向右为正。 研究的系统。取水平向右为正。
)=(状态量的增量 (过程量)=(状态量的增量) 过程量)=(状态量的增量)
(2) 矢量性： 冲量的方向与动量的增量方向相同 矢量性： (3) 动量定理的分量形式 冲量的任何分量等 于在它自己方向上 的动量分量的增量
6
mv2x − mv1x = ∫ Fxdt
t1
t2
mv2y − mv1y = ∫ Fydt
我们往往只关心过程中力的效果 ——力对时间和空间的积累效应。 力对时间和空间的积累效应。 力对时间和空间的积累效应
力在时间上的积累效应： 力在时间上的积累效应：
平动 转动
2
冲量 冲量矩
第3章 动量与角动量
动量的改变 角动量的改变
一、力的冲量
r ， 定义： 定义： 力 f 作用时间为 ∆t
r 则 f ∆t 称为力
微分形式
力F 的 元冲量
z
r mv1
r mv2
P+∆P v v ∫ Fdt = ∫ dP
• •
x O
r r 对一段有限时间有 I = ∆P t2 r r r 动量定理 m v 积分形式 ∫ Fdt = v2 − m 1
t1
5 第3章 动量与角动量
r F′
r F
y r mv1 r I r mv2
讨论 作用力的时间累积过程。 (1) 物理意义：质点动量的变化依赖于作用力的时间累积过程。 物理意义：质点动量的变化依赖于作用力的时间累积过程 合力对质点作用的冲量 质点动量矢量的变化
v ⇒ F ∆t
F
O
将积分用平均力代替
t
1
∆t
与角动量
一个质量为m=140g的垒球以 的垒球以v=40m/s的速率沿水平 例1 一个质量为 的垒球以 的速率沿水平 方向飞向击球手， 击后它以相同速率沿θ=600的仰角 方向飞向击球手，被 击后它以相同速率沿 飞出，求垒球受棒的平均打击力， 飞出，求垒球受棒的平均打击力，设球和棒的接触时间 为△t=1.2秒 秒
t
4
第3章 动量与角动量
r r r r 动量定理的 d(mv) = dP = Fdt = dI 微分形式 质点动量的增量等于合外力乘以作用时间的增量。 乘以作用时间的增量 质点动量的增量等于合外力乘以作用时间的增量。
r r ( F dt = v dvP )
t t0 v P
二、质点运动的动量定理 r d(mr) v 由牛顿第二定律 F= dt
r I
r f
I = f ∆t
r f
时间间隔内的冲量。 在 ∆ t 时间间隔内的冲量。 定义式: 定义式
r r I = f ∆t
Ns
6500万年前，小行星冲击地球 6500万年前， 万年前
单位:牛顿 秒 单位 牛顿·秒 牛顿
3
第3章 动量与角动量
若在∆ 间隔内物体受力 受力依次为 若在∆t 间隔内物体受力依次为 相应作用时间依次为 相应作用时间依次为 时间 则在∆ 则在∆t 间隔内力的冲量为
第3章 动量与角动量
§3.1 质点运动的动量定理 §3.2 质点系的动量定理 动量守恒定律 §3.3 质心 质心运动定理 §3.4 角动量定理 角动量守恒定律 §3.5 质心参考系
1 第3章 动量与角动量
§3.1 质点运动的动量定理
牛顿定律是瞬时的规律。 牛顿定律是瞬时的规律。 但在有些问题中， 但在有些问题中， 如：碰撞（宏观）、 碰撞（宏观）、 散射（微观） … 微观）
F dt = dp = vdm
dm / dt = 500kg ⋅ s
−1
dm ∴F = v = 500 × 3 = 1500 N dt
t 时刻系统的水平总动量： 时刻系统的水平总动量：
mv + dm 0 = mv
t + dt 时刻系统的水平总动量: mv + dmv = ( m + dm)v 时刻系统的水平总动量: dt 时间内水平总动量的增量： dp = (m + dm)v − mv = (dm)v 时间内水平总动量的增量： 由动量定理得： 由动量定理得：
r r r r f1 , f 2 , L f i L f n
∆t1, ∆t2 ,L∆ti L∆tn
r f 1 ∆ t1
r n r I = ∑ f i ∆t i
i =1
r r f 2 ∆t2 f ∆t 3 3r
r I
矢量 冲量 过程量
f4∆t4
若力的变化连续， 若力的变化连续，则
r t + ∆t r I = ∫ f dt
t2
mv2z − mv1z = ∫ Fzdt
t1
第3章 动量与角动量
t2
(4)动量定理仅成立于惯性参照系。 (4)动量定理仅成立于惯性参照系。 动量定理仅成立于惯性参照系 (5) 在变力的整个作用时间内 ， 平均力的冲 在变力的整个作用时间内， 量等于变力的冲量
F
F
I = ∫ Fdt
t1 t2
r mv2
60
v F∆t
r mv1
2m cosα υ F= = 8.1×103 (N) ∆t
此打击力约为垒球自重的5900倍 此打击力约为垒球自重的5900倍！ 5900
8 第3章 动量与角动量
的速率从煤斗下面通过， [例2]一辆装煤车以 = 3m/s 的速率从煤斗下面通过，每秒落入 2]一辆装煤车以v 一辆装煤车以 车厢的煤为500kg。如果使车厢的速率保持不变，应 车厢的煤为 。如果使车厢的速率保持不变， 用多大的牵引力拉车厢？ 车厢与钢轨间的摩擦忽略不计) 用多大的牵引力拉车厢？ （车厢与钢轨间的摩擦忽略不计 v v 选取车厢和车厢里的煤的质量m 解：选取车厢和车厢里的煤的质量 ， dm 时间内落入车厢的煤的质量 落入车厢的煤的质量dm为 和 dt 时间内落入车厢的煤的质量 为 v m F 研究的系统。取水平向右为正。 研究的系统。取水平向右为正。
)=(状态量的增量 (过程量)=(状态量的增量) 过程量)=(状态量的增量)
(2) 矢量性： 冲量的方向与动量的增量方向相同 矢量性： (3) 动量定理的分量形式 冲量的任何分量等 于在它自己方向上 的动量分量的增量
6
mv2x − mv1x = ∫ Fxdt
t1
t2
mv2y − mv1y = ∫ Fydt
我们往往只关心过程中力的效果 ——力对时间和空间的积累效应。 力对时间和空间的积累效应。 力对时间和空间的积累效应
力在时间上的积累效应： 力在时间上的积累效应：
平动 转动
2
冲量 冲量矩
第3章 动量与角动量
动量的改变 角动量的改变
一、力的冲量
r ， 定义： 定义： 力 f 作用时间为 ∆t
r 则 f ∆t 称为力
微分形式
力F 的 元冲量
z
r mv1
r mv2
P+∆P v v ∫ Fdt = ∫ dP
• •
x O
r r 对一段有限时间有 I = ∆P t2 r r r 动量定理 m v 积分形式 ∫ Fdt = v2 − m 1
t1
5 第3章 动量与角动量
r F′
r F
y r mv1 r I r mv2
讨论 作用力的时间累积过程。 (1) 物理意义：质点动量的变化依赖于作用力的时间累积过程。 物理意义：质点动量的变化依赖于作用力的时间累积过程 合力对质点作用的冲量 质点动量矢量的变化
v ⇒ F ∆t
F
O
将积分用平均力代替
t
1
∆t
与角动量
一个质量为m=140g的垒球以 的垒球以v=40m/s的速率沿水平 例1 一个质量为 的垒球以 的速率沿水平 方向飞向击球手， 击后它以相同速率沿θ=600的仰角 方向飞向击球手，被 击后它以相同速率沿 飞出，求垒球受棒的平均打击力， 飞出，求垒球受棒的平均打击力，设球和棒的接触时间 为△t=1.2秒 秒
t
4
第3章 动量与角动量
r r r r 动量定理的 d(mv) = dP = Fdt = dI 微分形式 质点动量的增量等于合外力乘以作用时间的增量。 乘以作用时间的增量 质点动量的增量等于合外力乘以作用时间的增量。
r r ( F dt = v dvP )
t t0 v P
二、质点运动的动量定理 r d(mr) v 由牛顿第二定律 F= dt
r I
r f
I = f ∆t
r f
时间间隔内的冲量。 在 ∆ t 时间间隔内的冲量。 定义式: 定义式
r r I = f ∆t
Ns
6500万年前，小行星冲击地球 6500万年前， 万年前
单位:牛顿 秒 单位 牛顿·秒 牛顿
3
第3章 动量与角动量
若在∆ 间隔内物体受力 受力依次为 若在∆t 间隔内物体受力依次为 相应作用时间依次为 相应作用时间依次为 时间 则在∆ 则在∆t 间隔内力的冲量为
第3章 动量与角动量
§3.1 质点运动的动量定理 §3.2 质点系的动量定理 动量守恒定律 §3.3 质心 质心运动定理 §3.4 角动量定理 角动量守恒定律 §3.5 质心参考系
1 第3章 动量与角动量
§3.1 质点运动的动量定理
牛顿定律是瞬时的规律。 牛顿定律是瞬时的规律。 但在有些问题中， 但在有些问题中， 如：碰撞（宏观）、 碰撞（宏观）、 散射（微观） … 微观）
F dt = dp = vdm
dm / dt = 500kg ⋅ s
−1
dm ∴F = v = 500 × 3 = 1500 N dt
t 时刻系统的水平总动量： 时刻系统的水平总动量：
mv + dm 0 = mv
t + dt 时刻系统的水平总动量: mv + dmv = ( m + dm)v 时刻系统的水平总动量: dt 时间内水平总动量的增量： dp = (m + dm)v − mv = (dm)v 时间内水平总动量的增量： 由动量定理得： 由动量定理得：
r r r r f1 , f 2 , L f i L f n
∆t1, ∆t2 ,L∆ti L∆tn
r f 1 ∆ t1
r n r I = ∑ f i ∆t i
i =1
r r f 2 ∆t2 f ∆t 3 3r
r I
矢量 冲量 过程量
f4∆t4
若力的变化连续， 若力的变化连续，则
r t + ∆t r I = ∫ f dt