晶体的周期性结构(2)(倒格矢)

体心立方
a1
a2
a3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a ˆ ˆ ˆ a1 ( i j k ) 2 a ˆ ˆ ˆ a 2 ( i j k ) 2 a ˆ ˆ ˆ a 3 ( i j k ) 2
k
2 ˆ ˆ b1 (j k) a j 2 ˆ ˆ b2 ( i k ) a i 2 ˆ ˆ b3 ( i j) a
l
• 理想的无限大晶体具有平移周期性，这样的物 理量满足 F (r R l ) F (r ) • 实际的晶体都是有限大小的， 并不满足严格的 平移对称性 F (r Rl ) F (r)
• 对于实际的有限大小的晶体， 在进行理论分析 时，如果表面和界面效应可以忽略， 通常可以 通过引入波恩-卡曼边界条件，将其简化成一 个具有平移对称性的无限大的理想晶体。即将 整个晶体作为一个大的原胞，通过平移形成一 个具有严格平移对称性的理想晶体（即假设无 穷多个同样大小的晶体首尾相连）。
F e
k k
ikr
• 其逆变换，或F(r)的Fourier系数为
Fk 1 V

V
F (r )e ikr dr
因为： F (r N1 a1 N 2 a2 N 3 a3 ) F (r) 波矢量 k 必须满足下面的关系：
Ni ai k 2 li , ( li是任意整数， i 1, 2,3 ）
1st Brillouin zone: 2D
倒、正对应
• 实空间和倒空间 • 正格子(Bravais)和倒格子(reciprocal lattice) • WS原胞和Brillioun区(倒空间的WS原胞)
正、倒对应关系
• 互为正格子、倒格子
a 2 a3 b1 2 a1 (a 2 a 3 ) a 3 a1 b 2 2 a1 (a 2 a 3 ) a1 a 2 b 3 2 a1 (a 2 a 3 )
数学上，点阵Fourier变换
• 电荷密度、势能等满足迭加原理的物理量，如
V (r) V原子 r Rl
l
• 晶体具有平移周期性，这样的物理量也满足 • 一个周期性变化的量，可以展开成Fourier级 数 iK r
F (r ) FK h e
h
h
F (r R l ) F (r)
晶体的周期性结构（2）: 倒格矢 （倒空间，reciprocal space)
• 对布拉伐格子中所有的格矢Rl，满足
K h R l 2m,
e
iK h R l
1
m为整数
的全部端点Kh的集合，构成该布拉伐格子的倒格子。布拉 伐格子也称为正格子(director lattice) • 或者说，倒空间内所有满足上述关系的矢量Kh所定义格子就 是布拉伐格子Rl的倒格子 • 对应的关系——倒空间分析技术（X射线衍射）的基础—— 知道Kh，就知道Rl
b a
2/b
2/a
2 ˆ b1 i a 2 ˆ b2 j b
重要的例子
• 简单立方结构：sc • 面心立方结构：fcc • 体心立方结构：bcc
简单立方：Simple cubic (sc)
a1 aˆ i a aˆ j
2
ˆ a 3 ak
k
a3
a2 a1
j
i
2 ˆ b1 i a 2 ˆ b2 j a 2 ˆ b3 k a
bi a j 2 ij
• 那确实可以满足上述关系，确实可以满足Kh所 有的段点为格点（即有可用基矢和整数表示的 平移周期性）
• bi就是倒格子基矢
• 如果确定了正格子基矢，倒格子基矢就不是任 意的。利用矢量关系 a (b c) b (c a) c (a b)
• 和
a 2 a3
a3
a2
• 从a*b关系，就有
b1 a2 a3 ,
a1 b1 a1 a2 a3
2 /
就可以得到
a 2 a3 b1 2 a1 (a 2 a 3 ) a 3 a1 b 2 2 a1 (a 2 a 3 ) a1 a 2 b 3 2 a1 (a 2 a 3 )
1 FK F (r ' )e i ( K r ' K R ) dr ' V V 1 iK h R l F (r ' )e iK h r ' dr ' e V V
h h l h
FK eiK
h
h R l
• 即: FK (1 eiK h Rl ) 0 h
面心立方
a ˆ ˆ a1 ( j k ) 2 a ˆ ˆ a1 (k i ) 2 a ˆ ˆ a 3 (i j) 2
k
a1
a2
j
a3
i
2 ˆ ˆ ˆ b1 (i j k ) a 2 ˆ ˆ ˆ b2 (i j k ) a 2 ˆ ˆ ˆ b3 (i j k ) a
F (r N1 a1 N 2 a2 N 3 a3 ) F (r)
N1 a1 , N 2 a2 , N 3 a3 是将整个晶体作为一个大的原胞，通过
平移形成的具有严格平移对称性的理想晶体的基矢量。
• 对于满足波恩-卡曼周期性边界条件的物理量， 可以展开成Fourier级数
F (r )
b 2 b3 a1 2 b1 (b 2 b 3 ) b 3 b1 a 2 2 b1 (b 2 b 3 ) b1 b 2 a 3 2 b1 (b 2 b 3 )
波恩-卡曼边界条件
• 电荷密度、势能等物理量满足迭加原理，如
V (r) V原子 r Rl
• 对于满足波恩-卡曼周期性边界条件的物理量，
F (r N1 a1 N 2 a2 N 3 a3 ) F (r )
可以展开成Fourier级数：
F (r )
ikr F e k k
1 ik r Fk F ( r ) e dr, V ( N )
是原胞的体积， N N1 N 2 N 3是原胞的总数， k是满足波恩-卡曼周期性边界条件的波矢量
b 2 b3 a1 2 b1 (b 2 b 3 ) b 3 b1 a 2 2 b1 (b 2 b 3 ) b1 b 2 a 3 2 b1 (b 2 b 3 )
二维倒格矢
ˆ a2 k b1 2 ˆ (a1 a 2 ) k ˆ a1 k b 2 2 ˆ (a1 a 2 ) k
l1 l2 l3 k b1 + b2 + b3 N1 N2 N3
• 对于布里渊区中许可波矢 k 的求和可化为对 k 的连续积分
kBZ

V (.....) (2 )3
3 (....) d k
由于沿倒格矢 bi 方向相邻 k 值之间的距离为k i K空间每一许可k 值占据的体积为
bi , Ni
FKh 0,
e
iK h R l
1
倒格子基矢 • 对正格子: R l l1a1 l2a 2 l3a3 • 有: K h .Rl l1K h a1 l2K h a2 l3K h a3 2m
• 如果: K h h1b1 h2b 2 h3b3
• 且:
ˆ a3 k
倒空间中的布拉伐格子
• 倒格矢
K h h1b1 h2b2 h3b3
• 倒格子原胞体积
(2 ) b1 (b 2 b 3 )
*
3
Reciprocal lattice: 2维
a1 a ˆ i a bˆ j
2
ˆ a2 k b1 2 a1 a 2 ˆ a1 k b 2 2 a1 a 2
点阵Fourier级数
• 对于满足理想无限大晶体平移对称性的物理量：
F (r R l ) F (r)
可以展开成Fourier级数：
F (r ) FK h e
h
iK h r
K h h1b1 h2b2 h3b3
其中b1, b2 ,b3 ,是倒格矢的基矢，h1, h2 , h3是任意整数
• 其逆变换，或F(r)的Fourier系数为 1 iK h r FK h F (r )e dr V V
因为F(r)= F(r+Rl)，有
FK h 1 V

V
F (r )e
iK h r
1 dr V

V
F (r R l )e iK h r dr
• 作变量替换，r'=r+Rl，就有
Real lattice
Reciprocal lattice
真实空间 sc fcc bcc
倒格子空间 sc bcc fcc
布里渊区——倒空间的原胞
• 倒空间中的Wigner-Seitz原胞 • 为什么引入布里渊区？ • 边界面，高对称
第一Brillioun区：1D
a
b 2
a
第一Brillioun区：2D
• 由此可知，满足波恩-卡曼周期性边界条件的 波矢量k只能取下面这样的值：
k l1 l l b1 + 2 b 2 + 3 b3 N1 N2 N3
其中b1, b2 ,b3 ,是倒格矢的基矢， l1, l2 , l3是任意整数
• 对于有限大小的理想晶体，波矢量k是不连续的， 只能取 分立值。对于无限大的理想晶体，波矢量k是连续的。
* (2 )3 (2 )3 k1 (k 2 k 2 ) N1 N 2 N3 N V
因此K空间单位体积内有
V (2 )3 个不同波矢量。
由于N很大，
对于布里渊区中许可波矢 k 的求和可化为对 k 的连续积分。