如何学习图论

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8.8 图着色 Graph Coloring
DEFINITION The chromatic number(色数) of a graph is the least number of colors needed for a coloring of this graph, denoted by (G )
四色定理 THE FOUR COLOR THEOREM The chromatic number of a planar graph is no greater than four.
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8.8 图着色 Graph Coloring
五色定理(Heawood,1890)：用５种颜色可以给 任何简单连通平面图着色。 证明：对结点数v用归纳法 a)当v＝1，2，3，4，5时显然成立。 b)设v＝k时成立，现考察v＝k+1 已知必存在结点u，使deg(u)≤5，在图G中 删去u，得到G-{u}，由归纳假设知G-{u}可以 用5种颜色着色。
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（2）对5及与5不相邻的结点1着蓝色； （3）对3和与3不相邻的结点4、8着红色,对7和与 7不相邻的结点2、6着黄色，着色完毕。
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例：大学中 7 门考试，以下课程中有公共学生， 12；13；14；17；23；24；25；27；34；36； 37；45；46；56；57；67；问如何在尽可能少 的时间段里安排 7 门考试并使得没有学生在同 一时间里有两门考试。 1 时间段 课程 7 2 1 1 3 6 2 2，6
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韦尔奇—鲍威尔（Welch.powell）图着色法： 例：用韦尔奇—鲍威尔法对图着色 （ 1 ）将图中结点数依照度数的递减次序进行排 列； 上图根据结点度数以递减排列次序为： ５ ３ ７ １ ２ ４ ６ ８ (6) (5) (5) (4) (4) (4) (3) (3)
若v1与v3属于顶点集H所导出子图的同一个 连通分支中，那么v2与v4将分别属于结点集F 所导出子图的两个不同连通分支中。在包含 v2的连通分支中将红色和紫色对调，对u着 G-{u} 红色。
v2 v3 v4 v5
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v1 u
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Example: Try to find a coloring of the graph, including the infinite region.
G-{u} v2 v3 v4 v5
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v1 u
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若v1与v3属于顶点集H所导出子图的两 个不同的连通分支中，将v1所在分图中 的蓝色和绿色对调，在u上着绿色。
G-{u} v2 v3 v4 v5 v1 u G-{u} v2 v3 v4 v5
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v1 u
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8.8 图着色 Graph Coloring
例：
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例：
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设G*是连通平面图G的对偶图， n*,m*,r* 和 n,m,r 分别为 G* 和 G 的顶 点数，边数和面数，则 1. n*=r 2. m*=m 3. r*=n 4. 设 G* 的顶点 v i * 位于 G 的面 R i 中，则 dG*(vi*)=deg(Ri)。
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8.8 图着色 Graph Coloring
将u加入到G-{u}中，若deg(u)<5，必可对 u正常着色，得到一个最多是五色的图G。
G-{u} u
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将u加入到G-{u}中，若deg(u)=5。 令H为G-{u}中绿色和蓝色的顶点集合， F为G-{u}中红色和紫色的顶点集合。
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DEFINITION A coloring(着色)of a simple graph is the assignment of a color to each vertex of the graph so that no two adjacent vertices are assigned the same color.
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பைடு நூலகம்
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3 ，5
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4，7 15
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8.8 图着色 Graph Coloring
思考：Kn的色数是多少？
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