布尔代数

6-4 布尔代数

一、复习分配格，有界格，有补格

二、布尔格

定义6-4.1 一个有补分配格称为布尔格。

三、布尔代数

由于布尔格中，每个元素a都有唯一的补元a，因此可在A上定义一个一元运算—补运算“”。

这样，布尔格可看作具有两个二元运算和一个一元运算的代数结构，习惯上称它为布尔代数，记为。

定义6-4.2 由布尔格，可以诱导一个代数系统，这个代数系统称为布尔代数。

举例：253页例1

布尔代数中补运算的性质

定理6-4.1 对于布尔代数中任意两个元素a,b∈A，必定有

①()a a

=

②a b a b

∨=∧

③a b a b

∧=∨

后两式称为格中德·摩根律。

四、布尔代数中运算的性质

前已指出，布尔代数是有补分配格。对任意a,b,c∈A，有

① 是格，≤为A上的偏序关系，运算∨，∧满足

(A-1) a∨b=lub{a,b}， a∧b=glb{a,b}

(A-2) a≤b⇔a∨b=b⇔a∧b=a

(A-3) a∨a=a， a∧a=a （等幂律）

(A-4) a∨b=b∨a， a∧b=b∧a （交换律）

(A-5) (a∨b) ∨c=a∨(b∨c)，

(a∧b)∧c=a∧(b∧c) （结合律）

(A-6) a∨ (a∧b)=a，a∧ (a∨b)=a （吸收律）

② 是分配格，满足

(B-1) a∨ (b∧c)=(a∨b) ∧ (a∨c)，

a∧ (b∨c)=(a∧b) ∨ (a∧c) （分配律）

(B-2) (a∨b=a∨c)∧(a∧b=a∧c)⇒b=c

(B-3) (a∨b) ∧ (b∨c) ∧ (c∨a)=(a∧b) ∨ (b∧c) ∨ (c∧a)

③ 是有界格，满足

(C-1) 0≤a≤1

(C-2) a∨0=a，a∧a=a （幺律）

(C-3) a∨1=1，a∧0=0 （零律）

④ 是有补格，满足

(D-1) 1,0

∨=∧=（互补律）

a a a a

(D-2) 10,01==

⑤ 是有补分配格，满足 (E-1)()a a = (E-2) a b a b ∨=∧，a b a b ∧=∨ （德·摩根律）

(E-3) a ≤b ⇔a’ ∨b=1⇔a ∧b’=0⇔b’≤a’

注意，上述公式并非都是独立的，可从中选出一些公式作为基本公式，用它们推出其余的公式，而且可以用基本公式定义布尔代数。

五、布尔代数的同构

定义6-4.3 具有有限个元素的布尔代数称为有限布尔代数。

定义6-4.4 设和是两个布尔代数，如果存在着A 到B 的双射f ，对于任意的a,b ∈A ，都有 ()()()

()()()()()

f a b f a f b f a b f a f b f a f a ∨=∨∧=∧=

则称和同构。

对于有限布尔代数，有以下结论：对于每一正整数n ，必存在含有2n

个元素的布尔代数；反之，任一有限布尔代数，它的元素个数必为2的幂次。对于元素个数相同的布尔代数都是同构的。

定义6-4.5 设是一个格，且具有全下界0，如果有元素a 盖住0，则称元素a 为原子。 原子在偏序图中是那些紧位于零元之上的元素。

举例：1、

上图所示格中，a 和b 都是原子，这说明原子不是唯一的。

显然，在格中若有原子a,b 且a ≠b ，则必有a ∧b=0。

2、254页例2

定理6-4.2 设是一个具有全下界的有限格，则对任何一个非零元素b （即不等于全下界0的元素）至少存在一个原子a ，使得a ≤b 。

二元布尔代数其哈斯图是链的唯一布尔代数。

引理6-4.1 在一个布尔格中，0b c ∧=当且仅当b ≤c 。

引理6-4.2 设是一个有限布尔代数，若b 是A 中任意非零元素， a ，a 1，a 2，…，a k 是A 中满足a i ≤b 的所有原子(1，2，…，k )，则

b=a 1∨a 2∨…∨a k

引理6-4.3 (原子表示定理) 设是一个有限布尔代数，若b 是A 中任意非零元素， a ，

a1，a2，…，a k是A中满足a i≤b的所有原子(1，2，…，k)，则b=a1∨a2∨…∨a k是将b表示为原子的并的唯一形式。

定理6-4.3 (斯通(Stone)定理) 设是由有限布尔格所诱导的一个有限布尔代数，

S是布尔格中的所有原子的集合，则和幂集代数同构。

本定理说明了，能够用布尔代数的各原子，完全确定该布尔代数，并且可用布尔集合代数表示这一布尔代数。

由本定理可直接得到下面推论：

推论6-4.1 有限布尔格的元素的个数必定等于2n

，其中n是该布尔格中所有原子的个数。

由此又可推出，若两个有限布尔代数中的集合有相同的基数，则它们的原子集合也有相同的基数。于是该二个布尔代数是同构的。因此可得到如下推论：

推论6-4.2 任何一个具有2n

个元素的有限布尔代数都是同构的。

布尔代数B

n

为了书写方便，用B n表示具有n个元素的布尔代数，即B n=。根据推论6-4.1可知，n必为2的方幂。因此，“最小”的布尔代数即是二元布尔代数B2=，其中A={0，1}。B2的运算表如表6-4.1所示。