第二讲 Part3 离散傅里叶变换_难点

第三讲 Part3 DFT 的理论难点

1、抽样定理

连接离散信号与连续信号的桥梁。

()(){

()()j t a a j j n

s

n X j x t e dt

X e x nT e

ω

ω∞

-Ω-∞

∞

-=-∞

Ω==

⎰∑

根据频域卷积定理推导 ()

()()()

{1()()()()()2j j j j j y n x n h n Y e X e H e X e H e d πωωωθωθπ

θ

π--==*=⎰ 得到：1

()()j a

s k s

X e X

j jk T ω

∞

=-∞

=

Ω-Ω∑

2、FT 中的待研究的理论难点与关键之处

2．1 DFT 与DTFT 的关系

两种论述方法：

方法1：书P119-P120的论述；请同学看书后，上黑板叙述推演相关的过程。 方法2：书P121，连续频谱的抽样也必然使原来的时域信号变成周期的。

2.2 DFT 的()X k 是“()x n 的傅里叶变换”的某种程度上的近似。 用DFT 对连续信号和离散信号进行谱分析的基本原理和方法

2.2.1 怎样理解DFT 对FT 的近似？

由于用DFT 对连续信号做频谱分析的过程中隐含了频域和时域的两个周期延拓，又由于信号时宽和带宽的制约关系，因此，做DFT 得到的()N X k ，及由()N X k 做IDFT 得到的

()N x n 都是对原()a X j Ω及()a x t 的某种近似。

如果s T 选得足够小，则式1

()|()s j a T a

s l s

X e X

j jl T ω

ω∞

=Ω=-∞

=

Ω-Ω∑ 中将避免或大大减轻

频域的混叠。

如果N 选得足够大，一方面可以减轻式()()*()j j j a X e X e D e ω

ω

ω

=的窗口效应，另一方面也会减轻式()(),0,1, (1)

l x n x

n lN n N ∞

=-∞

=

+=-∑的时域混叠。

结论：在这两个条件均满足的情况下，上述的近似误差将减小到可接受的程度，从而

使()N x n 和()N X k 都是()a x t 和()a X j 的极好近似。

如何理解上述的陈述与结论？

DFT 对连续信号进行谱分析必然是近似的，其近似程度与信号带宽、采样频率和截取长度有关？

课本2之P123 “DFT 的图形解释”。

2.2.2另外一种近似的解释（西交大）：

设连续信号()a x t 持续时间为p T ，最高频率为c f 。（符合爆振信号的特点） 信号()a x t 的频谱分析是2()[()]()j ft a a a X jf FT x t x t e dt π∞

--∞

==

⎰

，

对()a x t 以采样间隔为s T 采样得()()a s x n x nT =，设有N 个采样点，s t nT = 并对()a X jf 作零阶近似，得到：1

20

()()s

N j fnT s

a

s

n X jf T x nT e

π--==∑

对f 的连续周期函数()a X jf 在区间[0,]s f 上等间隔采样N 点，采样间隔为F 。 参数,,,s p f T N F 满足关系式1

s s

f F N NT =

=

，另有s p NT T = 所以有1p

F T =

而且f kF =，代入得到：21

()(),01N j

kn N

s

a

s

n X jkF T x nT e

k N π--==≤≤-∑

令()(),()()a a s X k X jkF x n x nT ==，则有21

()()[()]N j kn N

a s s n X k T x n e

T DFT x n π--===∑

反过来，逆变换有1

()[()]a s

x n IDFT X k T =

结论1：()a X k 看不到()a X jf 的全部频谱特性，只能看到N 个离散采样点的谱特性，这就是所谓的栅栏效应。

结论2: 如果()a x t 持续时间无限长，进行截断处理，则会产生频率混叠和泄漏现象，使谱分析产生误差。 2.2.3

02/2/()()()()()()..................................................()()()*()s

s s

a a a N t nT j j j a a a T NT x t x n x n d n x n x n FT DTFT DTFT DFT DFS

x j X e X e D e ωωωππ=Ω=Ω=−−−−→−−−→−−−→−−→←−−−−Ω−−−−→−−−→s 周期延拓

抽样截短取一个周期周期延拓卷积抽样()()N X k X k −−−−→−−−−−→←−−−−周期延拓取一个周期

抽样定理：()s x nT 与()x t 的关系？()j X e ω

和()X j Ω的关系。

此乃数字信号处理中的基本问题。

()()j t a a X j x t e dt ∞

-Ω-∞

Ω=⎰，这里2f πΩ=为角频率，()a X j Ω为频谱密度。

()()j j n

s

n X e x nT e

ω

ω∞

-=-∞

=

∑

/1

()()|()s j s T a

s k s

X e X j X

j jk T ω

ω∞

Ω==-∞

=Ω=

Ω-Ω∑，本式的推导见P116-P117，即周期延拓

相对频率Ω，周期为2/2s s s T f ππΩ==； 相对圆频率ω，周期为2π。

变成周期的方法是将()a X j Ω在频率轴上以s Ω为周期移位后再叠加，并除以s T ，这种现象