随机信号处理教程 第3章 随机过程的功率谱密度
随机信号的功率谱密度课件
出端信噪比之比。即：
F
( Si / N i )
( So / N o )
四、白序列（RND伪随机序列）
设随机序列Zn的自相关函数满足：
2 Z , RZ (k ) 0,
k 0 k 0
2 Z
或
RZ (k ) (k )
对于白序列其功率谱：
GZ ()
2 Z ,
jt
d
将上式代入信号平均功率表达式中得:
1 W lim T 2T lim 1 T 2T
T T T
f T (t , ) dt 1 2
jt F ( , ) e d ]dt T
2
T T
f T (t , )[
1 lim T 2T 1 lim T 2T 1 2
GN(), FN()
RN()
N0 N0/2
N0/2
0 (a) 功率谱密度
0 (b) 自相关函数
白噪声的自相关函数：
1 RN ( ) 2 N 0 j N0 2 e d 2 ( )
白噪声的相关系数 N ( )为:
C N ( ) RN ( ) RN () RN ( ) N ( ) C N (0) RN (0) RN () RN (0)
2/
低通限带白噪声
W , G N ( ) 0,
0 | | 0
otherwise
sin RN ( ) W cos 0
4.6 功率谱估值的经典法
谱估值的基本问题是已知随机过程X(t)或Xj某个 实现： , x
2 , x1 , x0 , x1 , x2 ,, xN 1 ,
第3章_随机过程的谱分析1.2.3
第3章 平稳随机过程的谱分析
x(t ) dt （3.1.2）
2
随机信号分析
则 x(t ) 的傅里叶变换存在，即
X X ( ) x(t )e jt dt
（3.1.3）
x(t ) 称为 X X ( ) 的反变换，即
1 x(t ) 2
X X ( )e jt d
（3.1.13）
第3章
平稳随机过程的谱分析
随机信号分析
两个结论：
1
Q A E[ X ( t )]
2
（3.1.14）
1 A . lim . 表示时间平均 式中 T 2T 若过程为广义平稳平稳
Q A E[ X ( t )] E[ X ( t )]＝RX (0)
第3章 平稳随机过程的谱分析
随机信号分析
S 0 ( 2 M c2 M 2 2 M 2 c2 2 c0 ) S X ( ) 2N 2 N 2 2 d 2 N 2 d 2 d 0
其中M<N.
（3.2.4）
若用复频率s来表示功率谱密度，那 么，对于一个有理函数，总能把它表示 成如下的因式分解形式：
第3章
平稳随机过程的谱分析
随机信号分析
3.1.1 简单回顾
1 付氏变换
随机信号的功率谱
单边功率谱
单边功率谱——实平稳过程的谱密度 SX (ω) 是偶函数， 实平稳过程的谱密度 是偶函数， 因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。 因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。
2 1 T − iω t lim 2 T → ∞ E ∫0 X ( t ) e d t , ω ≥ 0 T G X (ω ) = ω<0 0 ,
平均功率： 平均功率： (2)
P = R X (0) = a 2 2
a2 a2 E [ X 2 (t )] = E [ a 2 cos 2 (ω 0 t + Θ )] = − sin( 2ω 0 t ) 2 π X (t) 是非平稳过程
平均功率： 平均功率：
1 P = lim T → ∞ 2T
∫
T
−T
+∞ S X (ω ) = ∑ RX (m) e − jω m m = −∞ R (m) = 1 π S (ω ) e jω m d ω ∫−π X X 2π
常见的平稳过程的 相关函数及相应的谱密度 参见表7.1（P150） 参见表 （ ）
例2
已知平稳过程的相关函数为 R X (τ ) = e − a τ cos(ω 0τ ) ， 为常数， 其中 a > 0, ω0 为常数，求谱密度 SX (ω) . [解]
3 随机信号的带宽
随机信号的带宽——随机信号的功率谱所占据的频带宽度。 随机信号的功率谱所占据的频带宽度。 随机信号的带宽 随机信号的功率谱所占据的频带宽度 3dB带宽 3dB带宽 半功率带宽） （半功率带宽）
S(ω) ω
1 0.5
绝对带宽
S(ω) ω
1
等效噪声带宽
随机信号分析第3章-平稳性与功率谱密度
8
a) 一般在实际应用中，只要产生随机信号 的主要物理条件，在时间进程中不发生变化。 则此信号就可以认为是平稳的。例如：在电子 管中由器件的“颗粒效应”引起的散弹噪声， 由于产生此噪声的主要物理条件不变，所以此 噪声可以认为是平稳的。
b)另一方面，对于有些非平稳随机信号， 可以根据需要，如果它在观测时间段内是平稳 的，就可以在该时间段内把信号视作平稳的随 机信号来处理。
（5）若自相关函数 R( ) 关于 在原点连续， 则它是关于 处处连续。
看书上图3.3，P71
22
例 如图所示，随机信号X(t)与A(t)相加。 X(t) 与A(t)相互独立，且其中之一均值为零。试求 它们之和Y(t)的自相关函数与X(t)，A(t)的自相 关函数之间的关系。
解：Y (t) X (t) A(t)
13
联合广义平稳
定义：随机信号X (t),t T与Y(t),t T，如果
单个是广义平稳的，且其互相关函数存在，并
与两时刻 t1,t2 的绝对值无关，只与相对差
t1 t2有关，即 RXY (t1, t2 ) RXY (t , t) RXY ( )
则称X(t)与Y(t)具有联合广义平稳性。
cos(2t
2)
1 2
RX
(
)
cos(
)
所以，Y(t)广义平稳。
16
§3.3 广义平稳随机信号的相关函数
一、自相关函数与协方差函数
R( ) E X (t )X (t)
x1x2 f (x1, x2;t , t)dx1dx2
C( ) E X (t ) m X (t) m
R(t1,t2 ) R(t1 t,t2 t) 自相关函数平稳
第3章 随机过程及答案
互相关函数 R (t1 , t 2 ) E[ (t1 )(t 2 )]
式中 (t) 和 (t) 分别表示两个随机过程。 R(t1, t2)又称为自相关函数。
10
3.2 平稳随机过程 3.2.1 平稳随机过程的定义
12
数字特征：
E (t ) x1 f1 ( x1 )dx1 a
R( t1 , t 2 ) E[ ( t1 ) ( t1 )]
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; )dx1dx2 R( )
可见，（1）其均值与t 无关，为常数a ； （2）自相关函数只与时间间隔 有关。
P ( f ) 0
P ( f ) P ( f )
这与R()的实偶性相对应。
23
例题
[例3-2] 求随机相位余弦波(t) = Acos(ct + )的功率谱密度。 [解] 在[例3-1]中，我们已经考察随机相位余弦波是一个平稳 过程，并且求出其相关函数为
1 (t ) 2 (t )
n (t )
0
t
3
角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。
在一个固定时刻t1上，不同样本的取值{i (t1), i = 1, 2, …, n} 是一个随机变量，记为 (t1)。
样本空间
随机过程是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
S1 x1(t)
t
T /2
T / 2
x( t ) x( t )dt
aa R( ) R( )
《随机过程的功率谱密度》(25页)
2.5随机过程的功率谱密度
平稳随机过程: 维纳－辛钦定理
物理谱定义:
2.5随机过程的功率谱密度
傅里叶 变换对
2.5随机过程的功率谱密度
平稳随机过程:
2.5随机过程的功率谱密度
0
1
例2.已知功率谱密度为
2.5随机过程的功率谱密度
二、平稳随机序列的功率谱密度对于平稳随机序列X(n), 其功率谱密度
傅里叶 变换对
2.5随机过程的功率谱密度
Z变换形式:
性质: 实平稳随机序列的功率谱是实的、非负的偶函数。
2.5随机过程的功率谱密度
三、互功率谱密度及其性质
其中:
若X(t)及Y(t)联合平稳, 有
2.5随机过程的功率谱密度
性质:
2.5随机过程的功率谱密度
例、已知随机过程Z(t)=aX(t)+bY(t)，a、b为常数，X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，求: Z(t)的功率谱密度；X(t)、Y(t)不相关时Z(t)的功率谱密度；X(t)、Y(t)分别与Z(t)的互谱密度。
随机过程的联合分布和互相关函数
二、两随机过程的相互关系互相关函数:
互协方差函数:
随机过程的联合分布和互相关函数
随机过程的联合分布和互相关函数
独立
两随机过程的相互关系:
联合平稳的定义: 如果随机过程X(t),Y(t)平稳，且满足
随机过程的联合分布和互相关函数
性质:
随机过程的联合分布和互相关函数
第五讲：小 结
平稳随机过程严格平稳随机过程广义平稳随机过程平稳随机过程自相关函数性质
相关函数示意图
第五讲: 小 结
平稳随机过程相关系数相关时间
随机信号的功率谱密度
随机信号的功率谱密度估计和相关函数随机信号的功率谱密度估计和相关函数1．实验目的了解估计功率谱密度的几种方法，掌握功率谱密度估计在随机信号处理中的作用。
⒉实验原理随机信号的功率谱密度用来描述信号的能量特征随频率的变化关系。
功率谱密度简称为功率谱，是自相关函数的傅里叶变换。
对功率谱密度的估计又称功率谱估计。
1.线性估计法（有偏估计）：线性估计方法是有偏的谱估计方法，谱分辨率随数据长度的增加而提高。
包括自相关估计、自协方差法、周期图法。
2.非线性估计（无偏估计）：非线性估计方法大多是无偏的谱估计方法，可以获得高的谱分辨率。
包括最大似然法、最大熵法⒊实验任务与要求1. 所有功能均用matlab仿真。
2. 输入信号为：方波信号+n(t)，方波信号信号基频1KHz，幅值为1v，n(t)为白噪声。
3. 编写自相关估计法、自协方差法、周期图法、最大似然法、最大熵法的matlab 程序。
正确的运行程序。
4. 必须用图示法来表示仿真的结果。
对几种功率谱估计的方法进行比较分析，发现它们各自有什么特点？。
5. 按要求写实验报告。
4.Matlab程序如下：生成输入信号：clear;fs=1024;%设采样频率为1024n=0:1/fs:1;N=length(n);W=2000*pi;%因方波频率F=1000HZ所以角频率W=2000piX1n=square(W*n);%方波信号X2n=randn(1,N);%白噪声信号xn=X1n+X2n;%产生含有噪声的信号序列XNsubplot(3,1,1)plot(n,xn);xlabel('n')ylabel(‘输入信号’)%绘输入信号图（1）.周期图法：fs=4000;n=0:1/fs:1;N=length(n);W=2000*pi;x1n=square(W*n);x2n=randn(1,N);xn=x1n+x2n;subplot(3,1,1)plot(n,xn);Nfft=256;N=256;%傅里叶变换的采样点数256Pxx=abs(fft(xn,Nfft).^2)/N;f=(0:length(Pxx)-1)*fs/length(Pxx);subplot(3,1,2),plot(f,10*log10(Pxx)),%转成DB单位xlabel('频率/HZ'),ylabel('功率谱/db'),title('周期图法');（2）.相关函数法：fs=1000;n=0:1/fs:1;N=length(n);W=2000*pi;x1n=square(W*n);x2n=randn(1,N);xn=x1n+x2n;subplot(3,1,1)plot(n,xn);%输入信号m=-100:100[r,lag]=xcorr(xn,100,'biased')%求XN的自相关函数R，biased为有偏估计lag为R 的序列号subplot(3,1,2)hndl=stem(m,r);%绘制离散图，分布点从-100—+100set(hndl,'Marker','.')set(hndl,'MarkerSize',2);ylabel('自相关函数R(m)')%利用间接法计算功率谱k=0:1000;%取1000个点w=(pi/500)*k;M=k/500;X=r*(exp(-j*pi/500).^(m'*k));%对R求傅里叶变换magX=abs(X);subplot(3,1,3)plot(M,10*log10(magX));xlabel('功率谱的改进直接法估计')（3）.自协方差法：clear all;fs=1000;n=0:1/fs:3;P=2000*pi;y=square(P*n);xn=y+randn(size(n));%绘制信号波形subplot(211)plot(n,xn)xlabel('时间（s）')ylabel('幅度')title('y+randn(size(n))')ymax_xn=max(xn)+0.2;ymin_xn=min(xn)-0.2;axis([0 0.3 ymin_xn ymax_xn]) %使用协方差法估计序列功率谱p=floor(length(xn)/3)+1;nfft=1024;[xpsd,f]=pcov(xn,p,nfft,fs,'half'); %绘制功率谱估计pmax=max(xpsd);xpsd=xpsd/pmax;xpsd=10*log10(xpsd+0.000001); subplot(2,1,2)plot(f,xpsd)title('基于协方差的功率谱估计') ylabel('功率谱估计（db）') xlabel('频率（HZ）')grid on;ymin=min(xpsd)-2;ymax=max(xpsd)+2;axis([0 fs/2 ymin ymax])（4）.最大熵法fs=4000;n=0:1/fs:1;N=length(n);W=2000*pi;x1n=square(W*n);x2n=randn(1,N);xn=x1n+x2n;subplot(3,1,1)plot(n,xn);Nfft=256;%分段长度256[Pxx,f]=pmem(xn,14,Nfft,fs);%调用最大熵函数pmem，滤波器阶数14 subplot(2,1,2),plot(f,10*log10(Pxx)),title(' 最大熵法，滤波器14'),xlabel('频率HZ'),ylabel('功率谱db');（5）.最大似然法：fs=1000;n=0:1/fs:1;N=length(n);W=2000*pi;x1n=square(W*n);x2n=randn(1,N);xn=x1n+x2n;subplot(3,1,1)plot(n,xn);%估计自相关函数m=-500:500;[r,lag]=xcorr(xn,500,'biased');R=[r(501) r(502) r(503) r(504);r(500) r(501) r(502) r(503);r(499) r(500) r(501) r(502);r(498) r(499) r(500) r(501)]; [V,D]=eig(R);V3=[V(1,3),V(2,3),V(3,3),V(4,3)].'; V3=[V(1,4),V(2,4),V(3,4),V(4,4)].'; p=0:3;wm=[0:0.002*pi:2*pi];B=[(exp(-j)).^(wm'*p)];A=B;%最小方差功率谱估计z=A*inv(R)*A';Z=diag(z');pmv=1./Z;subplot(2,1,2)plot(wm/pi,pmv);title('基于最大似然的功率谱估计') ylabel('功率谱幅度（db）') xlabel('角度频率w/pi')5.设计思想随机信号的功率谱密度用来描述信号的能量特征随频率的变化关系。
随机信号分析_第三章_平稳随机过程的谱分析
A RX (t , t ) e j d
说明如果A<RX(t,t+τ)>绝对可积，那自 相关函数的时间平均与功率谱密度是傅 里叶变换对。
对于平稳随机过程，由于： A<RX(t,t+τ)>＝ A<RX(τ)>＝ RX(τ) 所以: j S X ( ) RX ( )e d
S X ( ) R X ( )e
0
j
d
0
Ae e
j
d Ae
e
j
d
1 1 A[ ] j j 2 A 2 2
例3.4 P203 设随机相位信号X(t)＝Acos(ω0t+θ)， 其中A, ω0为常数； θ为随机相位，在（0， 2π）均匀分布。可以计算初其自相关函 数RX(τ)=[A2cos (ω0τ)]/2, 求X(t)的功率谱 密度。 解：引入δ函数。 1 1 j ()e d 2 2
3.2.1 功率谱密度的性质
1. 功率谱密度的非负性。即： SX(ω)>=0 2. 功率谱密度是ω的实函数。即： SX(ω)= SX(ω)
3. 对于实随机过程来讲，功率谱密度是ω 的偶函数。即： SX(ω)＝ SX(－ω) 4. 功率谱密度可积。即：
S X ( )d
3.2.2 谱分解定理
满足上述条件的x(t)的傅利叶变换为：
Fx ( ) x(t )e
jt
dt
称为x(t)的频谱。为一复数，有 Fx(ω)= Fx(-ω)
Fx(ω)的傅利叶反变换为：
1 x(t ) 2
随机信号处理教程 第3章 随机过程的功率谱密度
T T
T T
T
T
x T (t ) Fx ( j , T )
yT (t ) Fy ( j , T )
两个随机过程的样本函数在(-T,T)内的互功率为 1 1 P (T ) x (t ) y (t )dt x (t ) y (t )dt (3.5.3) 2T 2T 根据巴塞伐定理，有 1 x (t ) y (t )dt 2 F ( j , T ) F ( j , T )dt (3.5.4) 由式(3.5.3)和式(3.5.4)得 F ( j , T ) F ( j , T ) 1 1 P (T ) x ( t ) y ( t ) dt dt (3.5.5) 2T 2 2T
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随机信号处理教程
第1章 概率论基础 第2章 随机过程 第3章 随机过程的功率谱密度 第4章 随机信号通过线性系统 第5章 窄带系统和窄带随机信号 第6章 随机信号通过非线性系统 第7章 马尔可夫过程
随机过程的谱密度与功率谱密度
随机过程的谱密度与功率谱密度随机过程是在时间上随机变化的过程，它在许多领域中都有广泛的应用。
在研究随机过程时，谱密度和功率谱密度是两个重要的概念。
一、谱密度谱密度是描述随机过程在频域上的性质的一种测量，它用来表示随机过程的频谱特性。
谱密度通常用符号S(f)表示，其中f是频率。
谱密度是随机过程各频率成分的功率平均值，即将随机过程在不同频率上的功率加权平均得到的值。
谱密度越大，表示在该频率上的成分越强。
对于离散随机过程，谱密度可以通过对其自相关函数进行傅里叶变换得到。
而对于连续随机过程，谱密度可以通过对其自相关函数进行傅里叶变换或拉普拉斯变换得到。
谱密度具有一些重要的性质，例如：1. 谱密度是非负的且对称的。
2. 谱密度在频率上的积分等于随机过程的方差。
3. 谱密度函数是随机过程的一种特征，不同的谱密度函数可以表示不同的随机过程。
二、功率谱密度功率谱密度是描述随机过程在频域上能量分布的一种测量，也可以理解为随机过程的平均功率。
功率谱密度通常用符号S(f)表示，其中f 是频率。
与谱密度类似，功率谱密度也可以通过随机过程的自相关函数进行傅里叶变换或拉普拉斯变换得到。
功率谱密度表示随机过程各频率成分的功率分布，即在不同频率上的功率值。
功率谱密度越大，表示在该频率上的功率越强。
功率谱密度具有一些重要的性质，例如：1. 功率谱密度是非负的。
2. 功率谱密度在频率上的积分等于随机过程的总功率。
3. 功率谱密度函数是随机过程的一种特征，不同的功率谱密度函数可以表示不同的随机过程。
三、谱密度与功率谱密度的关系谱密度和功率谱密度之间存在一定的关系。
对于连续随机过程，谱密度和功率谱密度可以通过以下关系进行转换：S(f) = |H(f)|^2 * P(f)其中，S(f)表示谱密度，H(f)表示系统的频率响应函数，P(f)表示功率谱密度。
这个关系说明了谱密度和功率谱密度之间的链接，它们在频域上描述了随机过程的特性。
结论谱密度和功率谱密度是研究随机过程的重要工具，它们在频域上描述了随机过程的特性。
四.随机过程的功率谱密度
d
2RX ( d 2
)
(1)n
d
2nRX ( d 2n
)
RX ( )e j0
SX ()
a 2 SX () 2SX ()
2nS X ()
S ( 0 )
例 已知零均值平稳过程X(t)的
S
X
(
)
4
6 2 52
4
,
求RX
(
)与DX
t
.
解：S X
()
4
6 2 5 2
4
( 2
6 2 1)( 2
4)
PXY
(T
)
1 2T
T
x(t) y(t)dt
T1ຫໍສະໝຸດ X* X(T
,
)
X
Y
(T
,
)d
2
2T
下面求平均功率
A PXY (T )
1
E[PXY (T )] 2
E[
X
* X
(T
,
)
X
Y
(T
,
)]d
2T
T ，得平均功率
PXY
lim A T
PXY (T )
lim 1
T 2
E[
X
* X
(T
通常用信号在其定义域内的总量来表示信号的大小， 称为信号的规范量。
一阶规范量，若模可积，即满足
x(t) dt
则一阶规范量定义为
否则定义为
x(t) x(t) dt
1
x(t) lim 1
T
x(t) dt
1 T 2T T
二阶规范量，若模可积定义为
否则定义为
x(t) x(t) 2 dt
随机过程的功率谱密度
随机过程的功率谱密度随机过程是一种具有随机变量的序列，其性质随时间变化。
功率谱密度是用来描述随机过程频谱特性的一种工具。
本文将介绍随机过程的基本概念，探讨功率谱密度的定义和计算方法，并讨论其在实际应用中的意义。
一、随机过程的基本概念随机过程是一种随时间变化的随机变量序列。
在随机过程中，每个时间点上的变量都是随机的，可以用数学统计的方法进行描述与分析。
随机过程常用于模拟与分析具有随机性的现象，如通信信号、股票价格等。
二、功率谱密度的定义功率谱密度是描述随机过程频谱特性的一种工具，用于表示随机过程在不同频率上的分布情况。
功率谱密度函数通常用符号S(f)表示，其中f为频率。
三、功率谱密度的计算方法计算功率谱密度可以使用多种方法，常见的有周期图法、自相关函数法和傅里叶变换法等。
下面分别介绍这些方法的基本原理：1. 周期图法周期图法是一种直观的计算功率谱密度的方法。
它通过对随机过程的重复实现进行频率分析，得到信号的谱图。
周期图法的实现过程包括样本采集、周期图的构建和谱估计等步骤。
2. 自相关函数法自相关函数法是一种基于信号的自相关函数计算功率谱密度的方法。
它通过计算随机过程与其自身在不同时间点上的相关性，得到功率谱密度函数。
自相关函数法的实现过程包括自相关函数的计算和功率谱密度的估计等步骤。
3. 傅里叶变换法傅里叶变换法是一种基于信号的傅里叶变换计算功率谱密度的方法。
它通过将时域信号转换到频域，得到信号的频谱分布。
傅里叶变换法的实现过程包括信号的傅里叶变换和功率谱密度的计算等步骤。
四、功率谱密度的实际应用功率谱密度在信号处理、通信系统设计、噪声分析等领域都有重要应用。
以下是一些典型的实际应用场景：1. 信号处理功率谱密度可以用于对信号进行频谱分析和滤波器设计。
通过分析信号的功率谱密度，可以了解信号的频率分布情况，并根据需求设计相应的滤波器，实现信号的去噪、增强等处理。
2. 通信系统设计功率谱密度可以用于对通信系统中的噪声进行分析和优化。
四.随机过程的功率谱密度
定义两随机过程的互功率为
1 PXY (T ) 2T 1 2T
T
T T
xT (t ) yT (t )dt x(t ) y (t )dt
T
应用帕塞瓦定理
1 PXY (T ) 2T
T
T
x(t ) y (t )dt
* XX (T , ) X Y (T , ) d 2T
1 2
2、功率谱密度是ω 的实函数。 3、对于实随机过程来说，功率谱密度是ω 的偶函数，即
S X ()＝S X (－)
截取函数 xT (t ) 为t的实函数，根据傅立叶变换的性质
* XX (T , ) X X (T , )
于是
* X X (T , ) X X (T , ) X X (T , ) 2
2S X ()
d n X( t ) dn t
2n S X ()
S ( 0 )
X(t )e j0 t
RX ( )e j0
例
已知零均值平稳过程X(t)的
6 S X ( ) 4 , 求RX ( )与DX t . 2 5 4
2
6 2 6 2 解：S X ( ) 4 2 5 4 ( 2 1)( 2 4) A B 2 2 1 4 6 2 6 6 2 24 A 2 | 2 1 2, B 2 | 2 4 8 4 3 1 3
2
随机过程的平均功率
2 E X ( T , ) X 1 T 1 d 2 lim E x ( t ) dt lim T 2T T 2 T 2T
功率谱密度
1 P lim T 2T
1 E x ( t ) dt T 2
四随机过程的功率谱密度概况PPT课件
向量范数
定义1. 对于 n维向量R空 n中间 任意一x个 , 向量 若存在唯一x一 R与 个 x对 实应 数，且满足
( 1 )( 正 )x 定 0 , 且 x R 性 n ,x 0 x 0 ;
( 2 )( 齐 ) 次 x x ， 性 x R n , R ;
(3 )(三角 )x 不 yx 等 y， 式 x ,y R n . 则称 x为向x的 量范. 数
2
信号s(t)的总能量为 E s2(t)dt
根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的 能量等于频域内信号的能量。即
E s2(t)dt2 1 S()2d
其中 S ( ) 2 称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。
有限能量信号：
在的条件
s2(t)dt 是能量谱密度存
随机信号的功率4ຫໍສະໝຸດ 功率谱密度可积，即SX()d
功率谱密度与自相关函数
功率谱密度的表达式为
SX()Tli mEXX2(TT,)2
其中
XX(T, ) xT(t)ejtdt
X X(T ,)2X X(T ,)X X *(T ,)
功率谱密度可表示为
S X ( ) T li m E 2 1 T T Tx(t1)ej t1d t1 T Tx(t2)ej t2d t2 T li m 2 1 T T T T TEx (t1 )x (t2 )ej t1 e j t2d t1 d t2
样本函数x(t)不满足绝对可积的条件，但功率是有限的
Plim1 T x(t)2dt T 2T T 因此，可以研究随机过程的功率谱。
样本函数x(t)的截取函数
xT
(t)
x(t) 0
t T 其他
x(t)
-T
T
第三章随机过程的功率谱密度
3.2.2 功率谱密度的性质 1. 功率谱密度为非负实函数，即 证明: 根据功率谱密度定义
2. 功率谱密度函数为 的偶函数,即
证明 : 由功率谱与自相关函数的关系 同理
3. 平稳随机过程的功率谱密度是可积函数,即
证明: 对于平稳随机过程有 平稳随机过程的均方值有限 平稳随机过程的功率谱密度可积,即
，本题中
则自相关函数具有如下形式
显然 因此 所以自相关函数为
§3.3 平稳随机过程的自相关函数时 间和等效功率谱带宽
• 自相关函数反映随机过程在不同时刻的关 联程度。
自相关时间从数量上直 观描述随机过程的在时
间上关联范围。
• 功率谱密度函数描述随机过程的平均功率 沿频率轴的分布。
等效功率带宽从数量上 直观描述随机过程在频
• 由于 和 具有随机性， 、 和 也 具有随机性；
• 为消除单一样本的随机性，采取样本的统计 平均来得到随机过程 和 的互功率。
将时间范围扩展至 ，即
设
互功 率谱密度
则
3.4.2 互功率谱的物理意义 设实随机过程 ，它由两随机过程 和 相加： 自相关函数为
对自相关函数取时间平均
则 的功率谱密度为
求 的自相关函数，自相关时间和等效带宽。 解：由自相关函数与功率谱关系有
图 3-17 例3-4
§3.4 联合平稳过程的互功率谱密度
• 自相关函数反映随机过程在不同时刻的关
联程度。
功率谱密度函数
• 互相关函数反映多个随机过程在不同时刻
的关联程度。
互功率谱密度函数
3.4.1 互功率谱
• 随机过程的样本函数不满足傅立叶存在的 绝对可积和能量可积条件。
谱线；
零带宽上有限
第三章电子讲义：随机信号分析
第三章随机信号分析知识结构-随机过程的基本概念和统计特征-平稳随机过程与各态历经性-平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度-高斯过程及其应用-随机过程通过线形系统教学目的-了解随机信号的概念和基本分析方法；-掌握随机过程数字特征、平稳随机过程的相关函数与功率谱密度的关系及其计算-掌握平稳随机过程通过线性系统的性质和相应计算。
教学重点-随机过程的基本概念和数字特征-自相关函数与功率谱密度的关系（即维纳-辛钦定理）-平稳随机过程通过线形系统教学难点-各态历经性的理解-随机过程的自相关函数的性质-维纳-辛钦定理教学方法及课时-多媒体授课（4学时）（2个单元）备注（在上课之前最好让学生复习一下“概率论”）单元四（2学时）§3.1 引言（随机信号的范畴和基本分析方法）本节知识要点：研究随机信号的意义和基本方法随机过程是信号和噪声通过通信系统的过程，因此，分析与研究通信系统，总离不开对信号和噪声的分析。
通信系统中遇到的信号，通常总带有某种随机性，即它们的某个或几个参数不能预知或不可能完全预知（如能预知，通信就失去意义）。
我们把这种具有随机性的信号称为随机信号。
通信系统中还必然遇到噪声，例如自然界中的各种电磁波噪声和设备本身产生的热噪声、散粒噪声等，它们更不能预知。
凡是不能预知的噪声就统称为随机噪声，或简称为噪声。
从统计数学的观点看，随机信号和噪声统称为随机过程。
因而，统计数学中有关随机过程的理论可以运用到随机信号和噪声分析中来。
其基本分析方法主要是通过分析其基本的数字特征，如均值、方差、相关函数等来实现的。
§3.2 随机过程的基本概念本节知识要点：随机过程概念及其基本数字特征1、随机过程的一般概念通信过程中的随机信号和噪声均可归纳为依赖于时间参数t的随机过程。
这种过程的基本特征是，它是时间t的函数，但在任一时刻观察到的值却是不确定的，是一个随机变量。
或者，它可看成是一个由全部可能实现构成的总体，每个实现都是一个确定的时间函数，而随机性就体现在出现那一个实现是不确定的。
数字信号处理 随机信号的功率谱密度
Rn ( )
0
2
e 0
对 Rn ( ) 作傅氏变换，得噪声的功率谱为：
Sn
(
)
1
1
2 02
如图9.13（a）所示，若信号 r(t) Asin(t )
相位正玄波，则
Rr
(
)
1 2
A2
cos
若r(t)与n(t)互相统计独立，则：
是随机
Rx ( ) Rr ( ) Rn ( )
Sx () S0
(9 91)
求其自相关函数。
解：用（9－89）式得：
Rx (
)
1
2
S
x
(
)e
j
d
S0 e j d
2
S0 ( )
Rx (0) E x2
可见白噪声在 0时，其自相关函数为无穷大；而在 0 时R，x ( ) 0 ，即表明x(t)在 t1 t2时x(t1)与x(t2)是不相关得。
积分都是随机变量，其平均功率需用总集平均才能求得， 即
lim
T
E
1 2T
T T
x
2
(t
)dt
lim
T
1 2T
T E x2 (t) dt
T
其功率的谱定义式为：
S
x
(
)
lim
T
1 2T
E
Fx (,T ) 2
(9 87)
9.5.2 功率谱的性质
数xT(t)如下式所示：
x(t )
随机信号的功率谱密度
1 RX (τ ) = 2π
∫
∞
−∞
S X (ω )e jωτ d ω
功率谱密度性质
1.非负 非负 2.实函数 实函数 3.实随机过程， 3.实随机过程，偶函数 实随机过程 4.可积 可积
S X (ω ) ≥ 0
S X (ω )＝S X (－ω )
∫
∞
−∞
S X (ω )dω < ∞
互谱密度性质
0 < P平均 < ∞
功率谱
S X (ω ) = lim
1 2 E[ X T (ω ) ] T →∞ 2T
功率谱函数的关系、 与自相关函数的关系、推导
互谱密度
定义
S XY ω）＝ lim （ 1 * E X X (T , ω ) X Y (T , ω ) T →∞ 2T
性质
与互相关函数的关系
功率谱估值
周期图法
又
N 1 lim 平稳随机序列与自相关函数关系为 S（ω）= N →∞ E{ ∑N X (n)e− jwn } X 2 N + 1 n =− 2
S（ω）= ∑ R X (n)e − jwn X
n =− N
N
当 X (n) 为各态历经序列时，可去掉上式 为各态历经序列时， 中的统计均值的计算 1 2 ˆ S X (ω ) = X N (ω ) N
1.对称性 对称性
* * S XY (ω ) = SYX ( −ω ) = SYX (ω ) = S XY (−ω )
2.奇偶性 Re[ S XY (ω )] = Re[ SYX (−ω )] = Re[ SYX (ω )] = Re[ S XY (−ω )] 奇偶性 Im[ S XY (ω )] = Im[ SYX (−ω )] = − Im[ SYX (ω )] = − Im[ S XY (−ω )] 3.正交，互谱密度为零 正交， 正交 4.不相关，且 mX , mY ≠ 0 则有 S XY (ω ) = SYX (ω ) = 2π mX mY δ (ω ) 不相关， 不相关 5. S XY (ω ) ≤ S X (ω ) SY (ω )
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T
x
y
xy
T
3.5 联合平稳随机过程的互功率谱密度
为了求出两个随机过程 X (t ) 、Y (t) 的互功率，须将式(3.5.5) 扩展为对所有样本取统计平均，得 F ( j , T ) F ( j , T ) 1 1 E X (t )Y (t )dt E dt (3.5.6) 2T 2T 2 式(3.5.6)两边取极限（令T→∞），得 E[ F ( j , T ) F ( j , T )] 1 1 lim E[ X (t )Y (t )]dt lim dt (3.5.7) 2T 2 2T 式(3.5.7)的左边即是随机过程 X (t ) 、 Y (t) 的互功率 P 1 P lim E[ X (t )Y (t )]dt (3.5.8) 2T Y (t ) 因此，定义两个随机过程 X (t ) 、 的互功率谱密度(简称 为互谱密度)为 E[ F ( j , T ) F ( j , T )] S ( ) lim (3.5.9) 2T 于是有 1 P S ( )d 2 (3.5.10)
2
x(t ) dt
1 x (t )dt 2
2
Fx j d
2
度
3.1功率谱密度函数
一个随机过程的样本函数 x(t ) ，尽管它的总能量是无限的， 但它的平均功率却是有限的。因此，对于这类函数，研究 它的能量谱没有意义的、研究其平均功率谱才有意义。 首先我们把随机过程的一个样本函数 x(t ) 任意截取一段， 长度为2T并记为 x (t ) 。称 x (t ) 为 x(t ) 的截短函数，如图3.1所 示。于是有 x(t ) tT x (t ) tT (3.1.6) 0 对于持续时间有限的 x (t ) 而言，傅立叶变换是存在的，为 F j, T x t e dt xt e dt (3.1.7) 1 x t F j , T e d (3.1.8) 2 根据巴塞伐定理，有 1 (3.1.9) x (t )dt x (t )dt 2 F j,T d 上式两端除2T，得 F j, T 1 1 x (t )dt d
j X X
j X X
3.3 维纳-辛钦定理
由于随机过程的自相关函数BX ( )是 的偶函数，从S X ( ) 的定义也可看出 它也是 的偶函数，于是式(3.3.10)和(3.3.11)又可写成 S X ( ) 2 BX ( ) cosd 0 (3.3.12) 1 BX ( ) S X ( ) cos d (3.3.13) 0 根据前面我们对确知信号的讨论，对照现在的 S X ( ) 的定义，可知 S X ( ) 是随机过程 X (t )的功率谱密度，它是从频率这个角度描述随机过程统 计特性的重要的数字特征。 当 0 时，式(3.3.10)成为 1 B X (0) S X ( )d 2 (3.3.14) 式(3.3.14)是随机过程 X (t ) 的平均功率，那么，式(3.3.14)右边的被 积函数 S X ( ) 当然也就是功率谱密度函数了。这又从另一个角度证实 了 S X ( ) 的物理意义。 根据以上的讨论， S X ( ) 应分布在-∞到+∞的频率范围内，这种对正、 负频率都有意义的谱密度叫做双边谱密度。
功率谱密度函数 平稳随机过程功率谱密度的性质 维纳-辛钦定理 平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱带宽 联合平稳随机过程的互功率谱密度 白噪声与色噪声
5
6
3.1功率谱密度函数
如果一个确知信号 x(t ) ，在 t 满足狄氏条件，且 绝对可积，即满足 那么 x(t ) 的傅里叶变换存在， Fx j x(t )e jt dt Fx j 也称为确知信号x(t ) 的频谱。 根据巴塞伐(Parseval)定理，有 其中。 Fx j Fx j Fx j 式(3.1.5)左端表示信号 x(t ) 的总能量。因此，等式右端 积分中的被积函数 Fx j 2相应地称为的 x(t ) 的能量谱密
3.4平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱带宽
x1 (t )
x2 (t )
t
t
(a)
(b )
图3.3 X (t) 和 X
1
2
(t )
的样本函数曲线
BX 2 ( )
BX1 ( )
k1
0
k1
k2
0
k2
(a)
X (t ) 图3.4X (t) 和
1 2
(b )
的自相关函数
3.4平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱带宽 图3.3表示二个平稳随机过程 X (t) 及 X (t) 实现的记录，设它 们具有相同的数学期望和相同的均方值，即
2
3
4
功率谱 密度为 非负函 数
功率谱密度 为 的实函 数
功率谱密度 为 的偶函 数
功率谱密度 为可积函数
3.3 维纳-辛钦定理
维纳-辛钦定理：平稳随机过程的自相关函 数和功率谱密度函数是一傅立叶变换对。 即 S ( ) B ( )e d (3.3.1) 1 B ( ) S ( )e d (3.3.2) 2 它揭示了从时间角度描述随机过程 X (t ) 的统 计规律和从频率角度描述 X (t ) 的统计规律之 间的联系。
若随机过程X (t ) 和 Y (t ) 正交， 则有
S XY ( ) 0 SYX ( ) 0
若随机过程X (t ) Y (t ) 不相关， 和 X (t )和 Y (t ) 且 的均 值分别为常 mY 数 mX 、 ，则
S XY ( ) SYX ( ) 2mX mY ( )
1 2 1 1
k1 k2
1 2
1
2
1
2
X
X
(3.4.3) 式(3.4.3)告诉我们，无论怎样的随机过程，它的自相关 时间与等效带宽的乘积恒为 1 。
4
k f
S X (0) BX (0) 1 2 BX (0) 2S X (0) 4
3.5 联合平稳随机过程的互功率谱密度
设 X (t ) 、 Y (t) 为两个平稳随机过程，仿照3.1中的方法， 对 X (t ) 、Y (t) 的样本函数 x(t) 、 y(t) 分别取截短函数 x (t ) 、y (t ) 为 t T x (t ) x (t ) 其它 0 (3.5.1) t T y (t ) y (t ) 其它 0 (3.5.2) 则 x (t ) 、y (t ) 的傅立叶变换存在，所以有为
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第1章 概率论基础 第2章 随机过程 第3章 随机过程的功率谱密度 第4章 随机信号通过线性系统 第5章 窄带系统和窄带随机信号 第6章 随机信号通过非线性系统 第7章 马尔可夫过程
第3章 随机过程的功率谱密度
1 2 3 4
T T
T
T
jt
T
x
T
jt
T
jt
T
x
2 T
T
2
2
T
x
2T
T
2
T
2
2
x
2T
3.1功率谱密度函数
表示随机过程 X (t )在单位频带内在单位电阻上消耗的平均 功率，即随机过程的平均功率沿频率轴的分布，称之为随 机过程 X (t )的功率谱密度函数，简称为功率谱密度，记为 2 E [ F ( j , T ) ] X S X ( ) lim T (3.1.13) 2T 功率谱密度 S ( ) 是从频率角度描述随机过程X (t ) 的统计特 性的最主要的数字特征。 ) X (t的均方值为常数，则 ) 当随机过程X (t为宽平稳时，此时 有
T X Y T
T X Y T T T
XY
T
XY
T
T
X
Y
XY
T
XY
XY
3.5 联合平稳随机过程的互功率谱密度
1
2
3
4
* S XY () SYX () * SYX () S XY ()
Re[ S XY ( )] Re[ S XY ( )] Re[ SYX ( )] Re[ SYX ( )] Im[ S XY ( )] Im[ S XY ( )] Im[ SYX ( )] Im[ SYX ( )]
1 2
X 1 (t ) X 2 (t )
2 X 12 (t ) X 2 (t )
但是二者有一个显然的区别，那就是二者的起伏频繁程度 不同，X (t) 起伏频繁程度低，而 X (t) 起伏较频繁。这个区别， 揭示了二者的自相关性不同，也就是说，二者在后继时间 上的取值受先行时间上的取值的波及关系不一样。所谓波 及，就是随机过程在先行点上的取值有尾迹(由于系统惯 性影响)，它波及后继点，使得后继点上的取值要受先行 时间点上取值的影响。这种波及的大小，表现在自相关函 B ( ) 数 上，如图 3.4所示。
T Fx ( j , T )
yT (t ) Fy ( j , T )
两个随机过程的样本函数在(-T,T)内的互功率为 1 1 P (T ) x (t ) y (t )dt x (t ) y (t )dt (3.5.3) 2T 2T 根据巴塞伐定理，有 1 x (t ) y (t )dt 2 F ( j , T ) F ( j , T )dt (3.5.4) 由式(3.5.3)和式(3.5.4)得 F ( j , T ) F ( j , T ) 1 1 P (T ) x ( t ) y ( t ) dt dt (3.5.5) 2T 2 2T