随机信号处理教程 第3章 随机过程的功率谱密度
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功率谱密度函数 平稳随机过程功率谱密度的性质 维纳-辛钦定理 平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱带宽 联合平稳随机过程的互功率谱密度 白噪声与色噪声
5
6
3.1功率谱密度函数
如果一个确知信号 x(t ) ，在 t 满足狄氏条件，且 绝对可积，即满足 那么 x(t ) 的傅里叶变换存在， Fx j x(t )e jt dt Fx j 也称为确知信号x(t ) 的频谱。 根据巴塞伐(Parseval)定理，有 其中。 Fx j Fx j Fx j 式(3.1.5)左端表示信号 x(t ) 的总能量。因此，等式右端 积分中的被积函数 Fx j 2相应地称为的 x(t ) 的能量谱密
1 2 1 1
k1 k2
1 2
1
2
1
2
X
X
(3.4.3) 式(3.4.3)告诉我们，无论怎样的随机过程，它的自相关 时间与等效带宽的乘积恒为 1 。
4
k f
S X (0) BX (0) 1 2 BX (0) 2S X (0) 4
3.5 联合平稳随机过程的互功率谱密度
设 X (t ) 、 Y (t) 为两个平稳随机过程，仿照3.1中的方法， 对 X (t ) 、Y (t) 的样本函数 x(t) 、 y(t) 分别取截短函数 x (t ) 、y (t ) 为 t T x (t ) x (t ) 其它 0 (3.5.1) t T y (t ) y (t ) 其它 0 (3.5.2) 则 x (t ) 、y (t ) 的傅立叶变换存在，所以有为
T T
T
T
jt
T
x
T
jt
T
jt
T
x
2 T
T
2
2
T
x
2T
T
2
T
2
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x
2T
3.1功率谱密度函数
表示随机过程 X (t )在单位频带内在单位电阻上消耗的平均 功率，即随机过程的平均功率沿频率轴的分布，称之为随 机过程 X (t )的功率谱密度函数，简称为功率谱密度，记为 2 E [ F ( j , T ) ] X S X ( ) lim T (3.1.13) 2T 功率谱密度 S ( ) 是从频率角度描述随机过程X (t ) 的统计特 性的最主要的数字特征。 ) X (t的均方值为常数，则 ) 当随机过程X (t为宽平稳时，此时 有
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随机信号处理教程
第1章 概率论基础 第2章 随机过程 第3章 随机过程的功率谱密度 第4章 随机信号通过线性系统 第5章 窄带系统和窄带随机信号 第6章 随机信号通过非线性系统 第7章 马尔可夫过程
第3章 随机过程的功率谱密度
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2
3
4
功率谱 密度为 非负函 数
功率谱密度 为 的实函 数
功率谱密度 为 的偶函 数
功率谱密度 为可积函数
3.3 维纳-辛钦定理
维纳-辛钦定理：平稳随机过程的自相关函 数和功率谱密度函数是一傅立叶变换对。 即 S ( ) B ( )e d (3.3.1) 1 B ( ) S ( )e d (3.3.2) 2 它揭示了从时间角度描述随机过程 X (t ) 的统 计规律和从频率角度描述 X (t ) 的统计规律之 间的联系。
X X X X
X
X
S X1 ( )
S X 2 ()
1
0
1
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(a)
(b )
图3.5 X (t ) 和X
1
2
(t )
的功率谱密度函数
3.4平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱带宽 综上所述，对随机过程 X (t) 和 X (t) ，如果 X (t) 的起伏频繁程 度低，变化缓慢，而 X (t) 变化较快，这就使得 ， 而 f f ，即 X (t) 的自相关性强于 X (t) ，但 X (t) 的低频成分多， X (t ) 占有频带窄，而 高频成分多，占有较宽的频带。总的 来说，一个随机过程的自相关性的强弱与它所占有频带是 S ( ) B ( ) 为傅立叶变换对的当然结果。 成反比关系的，这是 与 这从下面的关系式也可看出。
T T
T T
T
T
x T (t ) Fx ( j , T )
yT (t ) Fy ( j , T )
两个随机过程的样本函数在(-T,T)内的互功率为 1 1 P (T ) x (t ) y (t )dt x (t ) y (t )dt (3.5.3) 2T 2T 根据巴塞伐定理，有 1 x (t ) y (t )dt 2 F ( j , T ) F ( j , T )dt (3.5.4) 由式(3.5.3)和式(3.5.4)得 F ( j , T ) F ( j , T ) 1 1 P (T ) x ( t ) y ( t ) dt dt (3.5.5) 2T 2 2T
3.4平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱带宽
x1 (t )
x2 (t )
t
t
(a)
(b )
图3.3 X (t) 和 X
1
2
(t )
的样本函数曲线
BX 2 ( )
BX1 ( )
k1
0
k1
k2
0
k2
(a)
X (t ) 图3.4X (t) 和
1 2
(b )
的自相关函数
3.4平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱带宽 图3.3表示二个平稳随机过程 X (t) 及 X (t) 实现的记录，设它 们具有相同的数学期望和相同的均方值，即
j X X
j X X
3.3 维纳-辛钦定理
由于随机过程的自相关函数BX ( )是 的偶函数，从S X ( ) 的定义也可看出 它也是 的偶函数，于是式(3.3.10)和(3.3.11)又可写成 S X ( ) 2 BX ( ) cosd 0 (3.3.12) 1 BX ( ) S X ( ) cos d (3.3.13) 0 根据前面我们对确知信号的讨论，对照现在的 S X ( ) 的定义，可知 S X ( ) 是随机过程 X (t )的功率谱密度，它是从频率这个角度描述随机过程统 计特性的重要的数字特征。 当 0 时，式(3.3.10)成为 1 B X (0) S X ( )d 2 (3.3.14) 式(3.3.14)是随机过程 X (t ) 的平均功率，那么，式(3.3.14)右边的被 积函数 S X ( ) 当然也就是功率谱密度函数了。这又从另一个角度证实 了 S X ( ) 的物理意义。 根据以上的讨论， S X ( ) 应分布在-∞到+∞的频率范围内，这种对正、 负频率都有意义的谱密度叫做双边谱密度。
T T xy T T T T T T x y
T
x
y
xy
T
3.5 联合平稳随机过程的互功率谱密度
为了求出两个随机过程 X (t ) 、Y (t) 的互功率，须将式(3.5.5) 扩展为对所有样本取统计平均，得 F ( j , T ) F ( j , T ) 1 1 E X (t )Y (t )dt E dt (3.5.6) 2T 2T 2 式(3.5.6)两边取极限（令T→∞），得 E[ F ( j , T ) F ( j , T )] 1 1 lim E[ X (t )Y (t )]dt lim dt (3.5.7) 2T 2 2T 式(3.5.7)的左边即是随机过程 X (t ) 、 Y (t) 的互功率 P 1 P lim E[ X (t )Y (t )]dt (3.5.8) 2T Y (t ) 因此，定义两个随机过程 X (t ) 、 的互功率谱密度(简称 为互谱密度)为 E[ F ( j , T ) F ( j , T )] S ( ) lim (3.5.9) 2T 于是有 1 P S ( )d 2 (3.5.10)
T X Y T
T X Y T T T
XY
T
XY
T
T
X
Y
XY
T
XY
XY
3.5 联合平稳随机过程的互功率谱密度
1
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4
* S XY () SYX () * SYX () S XY ()
Re[ S XY ( )] Re[ S XY ( )] Re[ SYX ( )] Re[ SYX ( )] Im[ S XY ( )] Im[ S XY ( )] Im[ SYX ( )] Im[ SYX ( )]
1 2
X
3.4平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱带宽 为了定量描述随机过程所占的宽窄，我们定义等效功率谱 带宽(简称等效带宽)为1 S ( )d B (0) 2 f (3.4.2) 2S ( 0 ) 2S ( 0 ) 它的概念，可见图3.5，图中有一虚线方框，其高为 S (0) ， 宽为 2 （ 2f ），定义式(3.4.2)规定这个方框面积等 于曲线 S () 下的面积。
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
x(t ) dt
1 x (t )dt 2
2
Fx j d
2
度
3.1功率谱密度函数
一个随机过程的样本函数 x(t ) ，尽管它的总能量是无限的， 但它的平均功率却是有限的。因此，对于这类函数，研究 它的能量谱没有意义的、研究其平均功率谱才有意义。 首先我们把随机过程的一个样本函数 x(t ) 任意截取一段， 长度为2T并记为 x (t ) 。称 x (t ) 为 x(t ) 的截短函数，如图3.1所 示。于是有 x(t ) tT x (t ) tT (3.1.6) 0 对于持续时间有限的 x (t ) 而言，傅立叶变换是存在的，为 F j, T x t e dt xt e dt (3.1.7) 1 x t F j , T e d (3.1.8) 2 根据巴塞伐定理，有 1 (3.1.9) x (t )dt x (t )dt 2 F j,T d 上式两端除2T，得 F j, T 1 1 x (t )dt d
X
1 lim T 2T
1 E [ X ( t )] dt E [ X ( t )] T 2
T 2 2
S X ( )d
上式说明：平稳随机过程的平均功率等于该过程的均方值， 它可以由随机过程的功率谱密度在全频域上的积分得到。
3.2平稳随机过程功率谱密度的性质
1
1 2
X 1 (t ) X 2 (t )
2 X 12 (t ) X 2 (t )
但是二者有一个显然的区别，那就是二者的起伏频繁程度 不同，X (t) 起伏频繁程度低，而 X (t) 起伏较频繁。这个区别， 揭示了二者的自相关性不同，也就是说，二者在后继时间 上的取值受先行时间上的取值的波及关系不一样。所谓波 及，就是随机过程在先行点上的取值有尾迹(由于系统惯 性影响)，它波及后继点，使得后继点上的取值要受先行 时间点上取值的影响。这种波及的大小，表现在自相关函 B ( ) 数 上，如图 3.4所示。
若随机过程X (t ) 和 Y (t ) 正交， 则有
S XY ( ) 0 SYX ( ) 0
若随机过程X (t ) Y (t ) 不相关， 和 X (t )和 Y (t ) 且 的均 值分别为常 mY 数 mX 、 ，则
S XY ( ) SYX ( ) 2mX mY ( )
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3.1功率谱密度函数
如果一个确知信号 x(t ) ，在 t 满足狄氏条件，且 绝对可积，即满足 那么 x(t ) 的傅里叶变换存在， Fx j x(t )e jt dt Fx j 也称为确知信号x(t ) 的频谱。 根据巴塞伐(Parseval)定理，有 其中。 Fx j Fx j Fx j 式(3.1.5)左端表示信号 x(t ) 的总能量。因此，等式右端 积分中的被积函数 Fx j 2相应地称为的 x(t ) 的能量谱密
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k1 k2
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X
X
(3.4.3) 式(3.4.3)告诉我们，无论怎样的随机过程，它的自相关 时间与等效带宽的乘积恒为 1 。
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k f
S X (0) BX (0) 1 2 BX (0) 2S X (0) 4
3.5 联合平稳随机过程的互功率谱密度
设 X (t ) 、 Y (t) 为两个平稳随机过程，仿照3.1中的方法， 对 X (t ) 、Y (t) 的样本函数 x(t) 、 y(t) 分别取截短函数 x (t ) 、y (t ) 为 t T x (t ) x (t ) 其它 0 (3.5.1) t T y (t ) y (t ) 其它 0 (3.5.2) 则 x (t ) 、y (t ) 的傅立叶变换存在，所以有为
T T
T
T
jt
T
x
T
jt
T
jt
T
x
2 T
T
2
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T
x
2T
T
2
T
2
2
x
2T
3.1功率谱密度函数
表示随机过程 X (t )在单位频带内在单位电阻上消耗的平均 功率，即随机过程的平均功率沿频率轴的分布，称之为随 机过程 X (t )的功率谱密度函数，简称为功率谱密度，记为 2 E [ F ( j , T ) ] X S X ( ) lim T (3.1.13) 2T 功率谱密度 S ( ) 是从频率角度描述随机过程X (t ) 的统计特 性的最主要的数字特征。 ) X (t的均方值为常数，则 ) 当随机过程X (t为宽平稳时，此时 有
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第1章 概率论基础 第2章 随机过程 第3章 随机过程的功率谱密度 第4章 随机信号通过线性系统 第5章 窄带系统和窄带随机信号 第6章 随机信号通过非线性系统 第7章 马尔可夫过程
第3章 随机过程的功率谱密度
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功率谱 密度为 非负函 数
功率谱密度 为 的实函 数
功率谱密度 为 的偶函 数
功率谱密度 为可积函数
3.3 维纳-辛钦定理
维纳-辛钦定理：平稳随机过程的自相关函 数和功率谱密度函数是一傅立叶变换对。 即 S ( ) B ( )e d (3.3.1) 1 B ( ) S ( )e d (3.3.2) 2 它揭示了从时间角度描述随机过程 X (t ) 的统 计规律和从频率角度描述 X (t ) 的统计规律之 间的联系。
X X X X
X
X
S X1 ( )
S X 2 ()
1
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(b )
图3.5 X (t ) 和X
1
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(t )
的功率谱密度函数
3.4平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱带宽 综上所述，对随机过程 X (t) 和 X (t) ，如果 X (t) 的起伏频繁程 度低，变化缓慢，而 X (t) 变化较快，这就使得 ， 而 f f ，即 X (t) 的自相关性强于 X (t) ，但 X (t) 的低频成分多， X (t ) 占有频带窄，而 高频成分多，占有较宽的频带。总的 来说，一个随机过程的自相关性的强弱与它所占有频带是 S ( ) B ( ) 为傅立叶变换对的当然结果。 成反比关系的，这是 与 这从下面的关系式也可看出。
T T
T T
T
T
x T (t ) Fx ( j , T )
yT (t ) Fy ( j , T )
两个随机过程的样本函数在(-T,T)内的互功率为 1 1 P (T ) x (t ) y (t )dt x (t ) y (t )dt (3.5.3) 2T 2T 根据巴塞伐定理，有 1 x (t ) y (t )dt 2 F ( j , T ) F ( j , T )dt (3.5.4) 由式(3.5.3)和式(3.5.4)得 F ( j , T ) F ( j , T ) 1 1 P (T ) x ( t ) y ( t ) dt dt (3.5.5) 2T 2 2T
3.4平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱带宽
x1 (t )
x2 (t )
t
t
(a)
(b )
图3.3 X (t) 和 X
1
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(t )
的样本函数曲线
BX 2 ( )
BX1 ( )
k1
0
k1
k2
0
k2
(a)
X (t ) 图3.4X (t) 和
1 2
(b )
的自相关函数
3.4平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱带宽 图3.3表示二个平稳随机过程 X (t) 及 X (t) 实现的记录，设它 们具有相同的数学期望和相同的均方值，即
j X X
j X X
3.3 维纳-辛钦定理
由于随机过程的自相关函数BX ( )是 的偶函数，从S X ( ) 的定义也可看出 它也是 的偶函数，于是式(3.3.10)和(3.3.11)又可写成 S X ( ) 2 BX ( ) cosd 0 (3.3.12) 1 BX ( ) S X ( ) cos d (3.3.13) 0 根据前面我们对确知信号的讨论，对照现在的 S X ( ) 的定义，可知 S X ( ) 是随机过程 X (t )的功率谱密度，它是从频率这个角度描述随机过程统 计特性的重要的数字特征。 当 0 时，式(3.3.10)成为 1 B X (0) S X ( )d 2 (3.3.14) 式(3.3.14)是随机过程 X (t ) 的平均功率，那么，式(3.3.14)右边的被 积函数 S X ( ) 当然也就是功率谱密度函数了。这又从另一个角度证实 了 S X ( ) 的物理意义。 根据以上的讨论， S X ( ) 应分布在-∞到+∞的频率范围内，这种对正、 负频率都有意义的谱密度叫做双边谱密度。
T T xy T T T T T T x y
T
x
y
xy
T
3.5 联合平稳随机过程的互功率谱密度
为了求出两个随机过程 X (t ) 、Y (t) 的互功率，须将式(3.5.5) 扩展为对所有样本取统计平均，得 F ( j , T ) F ( j , T ) 1 1 E X (t )Y (t )dt E dt (3.5.6) 2T 2T 2 式(3.5.6)两边取极限（令T→∞），得 E[ F ( j , T ) F ( j , T )] 1 1 lim E[ X (t )Y (t )]dt lim dt (3.5.7) 2T 2 2T 式(3.5.7)的左边即是随机过程 X (t ) 、 Y (t) 的互功率 P 1 P lim E[ X (t )Y (t )]dt (3.5.8) 2T Y (t ) 因此，定义两个随机过程 X (t ) 、 的互功率谱密度(简称 为互谱密度)为 E[ F ( j , T ) F ( j , T )] S ( ) lim (3.5.9) 2T 于是有 1 P S ( )d 2 (3.5.10)
T X Y T
T X Y T T T
XY
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T
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XY
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3.5 联合平稳随机过程的互功率谱密度
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* S XY () SYX () * SYX () S XY ()
Re[ S XY ( )] Re[ S XY ( )] Re[ SYX ( )] Re[ SYX ( )] Im[ S XY ( )] Im[ S XY ( )] Im[ SYX ( )] Im[ SYX ( )]
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X
3.4平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱带宽 为了定量描述随机过程所占的宽窄，我们定义等效功率谱 带宽(简称等效带宽)为1 S ( )d B (0) 2 f (3.4.2) 2S ( 0 ) 2S ( 0 ) 它的概念，可见图3.5，图中有一虚线方框，其高为 S (0) ， 宽为 2 （ 2f ），定义式(3.4.2)规定这个方框面积等 于曲线 S () 下的面积。
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x(t ) dt
1 x (t )dt 2
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Fx j d
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度
3.1功率谱密度函数
一个随机过程的样本函数 x(t ) ，尽管它的总能量是无限的， 但它的平均功率却是有限的。因此，对于这类函数，研究 它的能量谱没有意义的、研究其平均功率谱才有意义。 首先我们把随机过程的一个样本函数 x(t ) 任意截取一段， 长度为2T并记为 x (t ) 。称 x (t ) 为 x(t ) 的截短函数，如图3.1所 示。于是有 x(t ) tT x (t ) tT (3.1.6) 0 对于持续时间有限的 x (t ) 而言，傅立叶变换是存在的，为 F j, T x t e dt xt e dt (3.1.7) 1 x t F j , T e d (3.1.8) 2 根据巴塞伐定理，有 1 (3.1.9) x (t )dt x (t )dt 2 F j,T d 上式两端除2T，得 F j, T 1 1 x (t )dt d
X
1 lim T 2T
1 E [ X ( t )] dt E [ X ( t )] T 2
T 2 2
S X ( )d
上式说明：平稳随机过程的平均功率等于该过程的均方值， 它可以由随机过程的功率谱密度在全频域上的积分得到。
3.2平稳随机过程功率谱密度的性质
1
1 2
X 1 (t ) X 2 (t )
2 X 12 (t ) X 2 (t )
但是二者有一个显然的区别，那就是二者的起伏频繁程度 不同，X (t) 起伏频繁程度低，而 X (t) 起伏较频繁。这个区别， 揭示了二者的自相关性不同，也就是说，二者在后继时间 上的取值受先行时间上的取值的波及关系不一样。所谓波 及，就是随机过程在先行点上的取值有尾迹(由于系统惯 性影响)，它波及后继点，使得后继点上的取值要受先行 时间点上取值的影响。这种波及的大小，表现在自相关函 B ( ) 数 上，如图 3.4所示。
若随机过程X (t ) 和 Y (t ) 正交， 则有
S XY ( ) 0 SYX ( ) 0
若随机过程X (t ) Y (t ) 不相关， 和 X (t )和 Y (t ) 且 的均 值分别为常 mY 数 mX 、 ，则
S XY ( ) SYX ( ) 2mX mY ( )