分层抽样要求
抽样的方案有哪些内容和要求
抽样的方案有哪些内容和要求抽样的方案有哪些内容和要求摘要：抽样是市场调研和数据分析中常用的方法之一，它可以帮助我们从大量数据中获取有意义的信息。
本文将介绍抽样的概念和原理，以及常见的抽样方案，包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样、整群抽样、多阶段抽样和方便抽样。
针对每种抽样方案，我们将详细描述其内容和要求，并分析其适用性和局限性。
关键词：抽样、市场调研、数据分析、简单随机抽样、系统抽样、分层抽样、整群抽样、多阶段抽样、方便抽样一、简单随机抽样1. 内容和要求：简单随机抽样是最基本、最常用的抽样方法。
在简单随机抽样中，每个样本都有等概率被选中，且各个样本之间相互独立。
抽样的过程需要满足以下要求：- 总体中的每个个体都有被选中的可能性；- 每个个体被选中的概率相等。
2. 适用性和局限性：简单随机抽样适用于总体规模较小且每个个体之间没有明显差异的情况。
然而，当总体规模庞大或者个体之间存在差异时，简单随机抽样的效果可能不尽如人意。
此外，简单随机抽样可能导致样本的分布与总体分布偏差较大，从而影响分析结果的准确性。
二、系统抽样1. 内容和要求：系统抽样是一种定期抽取样本的方法，它基于某种规律或者系统地选取样本。
抽样的过程需要满足以下要求：- 选择一个起始点，如第一个个体；- 根据设定的间隔，选择之后的个体作为样本。
2. 适用性和局限性：系统抽样适用于总体中个体的排列具有一定规律的情况，例如按时间顺序排列的数据。
然而，如果总体中存在某种规律的循环性或周期性，使用系统抽样可能导致样本的偏差。
因此，在进行系统抽样时需要注意个体之间的相关性，以确保样本的代表性。
三、分层抽样1. 内容和要求：分层抽样是将总体分为若干个层次，然后从每个层次中抽取样本的方法。
抽样的过程需要满足以下要求：- 将总体划分为若干个层次，每个层次具有一定的相似性；- 从每个层次中独立选择样本。
2. 适用性和局限性：分层抽样适用于总体中存在明显的层次结构，每个层次中的个体具有相似的特征。
系统抽样分层抽样
练习:将全班同学按学号编号,制作相应的卡片号签,放入同一个箱子里均匀搅 拌,从中抽出15个号签,就相应的15名学生对看足球比赛的喜爱程度(很喜爱、 喜爱、一般、不喜爱、很不喜爱）进行调查。分析并说明整个抽签过程中每 个同学被抽到的概率是相等的。
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2、用随机数表法进行抽取
（1）随机数表是统计工作者用计算机生成的随机数，并 保证表中的每个位置上的数字是等可能出现的。
N
（3）确定各层应该抽取的个体数。各层的 抽取数之和应等于样本容量。对于不能取整的 数，求其近似值。
（4）按(3)中确定的数目在各层中随机抽取 个体,合在一起得到容量为n的样本.第12页/共18页 Nhomakorabea注:
(1)分层抽样适用于总体由差异明显的几 部分组成的情况，每一部分称为层，在每一层 中实行简单随机抽样。这种方法较充分地利用 了总体己有信息，是一种实用、操作性强的方 法。而且更具代表性。
(2)分层抽样的一个重要问题是总体如何分 层,分多少层，这要视具体情况而定。总的原则 是：层内样本的差异要小，而层与层之间的差异 尽可能地大，否则将失去分层的意义。
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例2、一个单位的职工有500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人， 50岁以上的有95人。为了了解该单位职工年龄与身体状况的有关指标，从中抽 取100名职工作为样本，应该怎样抽取？
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分层抽样的抽取步骤： （1）总体与样本容量确定抽取的比例。 （2）由分层情况，确定各层抽取的样本数。 （3）各层的抽取数之和应等于样本容量。 （4）对于不能取整的数，求其近似值。
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4．三种抽样方法的比较
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5．课堂练习
分层抽样
２ ３
４００ ７５０
４ １５００
５０
３５
１５
０
20
３０
２５
１０
３０
２５
解: N = 200+400+750+1500=2580 nh =10( h=1,2,3,4) 各层的层权及抽样比为：
N1 200 W1 0.07018 N 2850 N 400 W2 2 0.14035 N 2850 N 750 W3 3 0.26316 N 2850 N 4 1500 W4 0.52632 N 2850
三、符号说明
关于第h层的记号如下：
第二节 估计量
一．总体均值的估计 (一)简单估计量的定义 对于分层样本,对总体均值Y 的估计是通过对各层的Yh 的估计, 按层权 Wh 加权平均得到的。 公式为:
1 ˆ ˆ Yst WhYh N h 1
L
ˆ N Y hh
h 1
L
如果得到的是分层随机样本,则总体均值 Y 的简单估 计为:
f1 n1 10 0.05 N1 200
n2 10 f2 0.025 N2 400 f3 f4 n3 10 0.013 3 N3 750 n4 10 0.006 7 N4 150 0
各层样本均值及样本方差为：
1 y1 y1i 39.5 n1 i 1 y2 105 y3 165 y4 24
y 15180 300 9856 250 / 550 1)简单估计量的定义 总体比例P的估计为:
L
pst Wh ph
h 1
(二)估计量的性质 如果定义 1, 第i个单元具有所考虑的特征 Yi , 其他 i=1,2 … N 0
分层抽样技术方案
贵阳市花溪区孟关林场森林资源二类调查分层抽样技术方案为保证孟关林场第三次森林资源二类调查的质量，按照《贵阳市花溪区第三次森林资源二类调查技术方案》的要求，依据《贵州省森林资源规划设计调查技术工作细则》（以下简称《细则》），以及贵阳市森林资源“二类调查”技术方案，结合我场实际特制定本方案。
一、调查总体划分和细班调查精度要求（一）依据《贵阳市花溪区第三次森林资源二类调查技术方案》要求，国有孟关林场辖区范围内的森林资源作副总体，对区划有蓄积的有林地、疏林地细班，采用分层抽样调查方法控制副总体蓄积精度，在95可%靠性条件下，精度达90以%上。
（二）细班调查采用卫星遥感影像图进行现地勾绘，采用角规辅助样地结合目测调查进行蓄积调查，细班调查精度达级，即平均胸径误差不大于10，%平均高度误差不大于10，%细班面积误差不大于5%，每公顷蓄积误差不大于，其它调查因子的调查精度详见《细则》（页）。
（三）细班调查范围：林场经营管理的所有森林、林木和林地；“一环”、“二环”林带；绿色通道树种、面积、株数；库、河流域森林面积、蓄积等。
二、调查内容1、查清林场林业用地面积及使用权属；2、查清林场森林、林木蓄积和权属；3、森林分类经营区划和林种区划；4、对森林生物量进行调查；5、森林、林木生长量和消耗量及消耗结构；6、森林更新状况；7、森林生态环境，森林景观资源；8、石漠化类型、成因及坡度大于或等于25度坡耕地面积和分布；三、总体蓄积抽样调查技术方案根据《贵阳市花溪区第三次森林资源二类调查技术方案》要求，孟关林场进分层行分层抽样控制蓄积精度，分层抽样精度三90%。
（一）、分层抽样精度标准分层抽样精度三90%。
分层对象：有蓄积的有疏林地细班。
（二）、分层因子本次调查以细班调查的平均每公顷蓄积量大小来分层。
分层的依据是：细班调查的平均每公顷蓄积最大、最小区间；细班调查蓄积稳定情况；细班调查蓄积变动情况；总体林相情况等因素综合考虑，划分3层。
分层抽样遵循的原则
分层抽样遵循的原则分层抽样是一种常用的抽样方法，其主要原则有以下几点：1.统一目标群体：分层抽样的前提是将总体划分为不同的层次，每个层次内部具有相似的特征。
在确定分层抽样的原则时，首先需要确立一个明确的目标群体，并将其划分为不同的层次。
2.确定合适的层次：分层抽样需要依据目标群体的特征和研究目标来确定合适的层次划分。
划分的层次应能充分反映总体的特征，并能够与研究目标相关联。
例如，在对一个城市的居民进行问卷调查时，可以将其划分为不同的层次，如年龄、性别、教育程度等。
3.合理确定每层的样本量：在分层抽样中，每个层次都需要确定相应的样本量。
样本量的确定应考虑到研究目标的要求、总体规模、层次特征等因素。
通常情况下，较小的层次可能需要较多的样本量，以保证统计结果的可靠性。
4.保证层次内的代表性：每个层次内的样本应该能够充分代表该层次的特征。
这就要求在每个层次内进行抽样时，要采用随机抽样的方法，确保样本的代表性。
随机抽样可以通过抽签、使用随机数表等方法实现。
5.确保跨层次的差异性：分层抽样的目的是充分利用总体内不同层次的差异性。
因此，在确定每个层次样本量时，应考虑到不同层次之间的差异。
例如，如果一些层次的样本量太小，可能无法反映整体样本的特征。
6.调整和控制抽样误差：在进行分层抽样时，可能会产生一些误差，如抽样误差、非抽样误差等。
为了减小抽样误差，可以采用多阶段抽样、分组抽样等方法进行调整和控制。
例如，可以在每层内进行分组抽样，然后再对不同层次的样本进行抽样，以增加样本的多样性。
总之，分层抽样的原则是在确定目标群体的基础上，根据总体特征划分合适的层次，并根据每个层次的特征确定相应的样本量。
同时，还需要保证样本的代表性、跨层次的差异性，以及控制抽样误差。
这样可以较好地反映总体的特征，提高研究的可靠性和有效性。
2.1.3分层抽样
2．1.3分层抽样考点学习目标核心素养分层抽样的概念理解分层抽样的概念数学抽象分层抽样的使用条件和操作步骤掌握分层抽样的使用条件和操作步骤，会用分层抽样法进行抽样逻辑推理、数学运算问题导学(1)什么叫分层抽样？(2)分层抽样适用于什么情况？(3)分层抽样时，每个个体被抽到的机会是相等的吗？1．分层抽样的概念一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．2．分层抽样的特点(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．(2)更充分地反映了总体的情况，使样本具有较强的代表性．(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是n N.3．分层抽样中分层原则(1)层内样本的差异要小，各层之间样本的差异要大．(2)分层后总体中的每个个体互不重叠，也不遗漏．4．抽样比(1)分层抽样也称“按比例抽样”，这里的“按比例”是指：①样本中第n层的个体数总体中第n层的个体数＝样本容量总体容量；②总体中第m层的个体数总体中第n层的个体数＝样本中第m层的个体数样本中第n层的个体数.(2)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性是相等的，与层数、分层情况无关．■名师点拨如果总体的个数为N，样本容量为n，N i为第i层的个体数，则第i层抽取的个体数n i＝n ·N i N ，每个个体被抽到的可能性是n i N i ＝1N i ·n ·N i N ＝n N.判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)系统抽样时，将总体分成均等的几部分，每部分抽取一个，符合分层抽样，故系统抽样就是一种特殊的分层抽样．( )(2)在分层抽样时，每层可以不等可能抽样．( )(3)在分层抽样的过程中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数及分层有关．( ) 解析：(1)因为分层抽样是从各层独立地抽取个体，而系统抽样各段上抽取时是按事先定好的规则进行的，各层编号有联系，不是独立的，故系统抽样不同于分层抽样．(2)分层抽样时，每层仍然要等可能抽样． (3)与层数及分层无关． 答案：(1)× (2)× (3)×(2020·江西省临川第一中学期末考试)为创建文明城市，共建美好家园，某市教育局拟从3 000名小学生，2 500名初中生和1 500名高中生中抽取700人参与“城市文明知识”问卷调查活动，应采用的最佳抽样方法是( )A ．简单随机抽样法B ．分层抽样法C ．系统抽样法D ．简单随机抽样法或系统抽样法解析：选B.根据题意，所有学生明显分成互不交叉的三层，即小学生，初中生，高中生，故采用分层抽样法．故选B.分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行( )A ．每层等可能抽样B ．每层可以不等可能抽样C ．所有层按同一抽样比等可能抽样D ．所有层抽取个体数量相同解析：选C.保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽样．一个班共有54人，其中男同学、女同学之比为5∶4，若抽取9人参加教改调查会，则每个男同学被抽取的可能性为________，每个女同学被抽取的可能性为________．解析：男、女每人被抽取的可能性是相同的，因为男同学共有54×59＝30(人)，女同学共有54×49＝24(人)，所以每个男同学被抽取的可能性为530＝16，每个女同学被抽取的可能性为424＝16.答案：16 16分层抽样的判断某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户．为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本，记作①；某学校高一年级有18名女排运动员，要从中选出4人调查学习负担情况，记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是( )A ．①用简单随机抽样法，②用系统抽样法B ．①用分层抽样法，②用简单随机抽样法C ．①用系统抽样法，②用分层抽样法D ．①用分层抽样法，②用系统抽样法【解析】 ①因家庭收入不同其社会购买力也不同，宜用分层抽样的方法．②因总体个数较小，宜用简单随机抽样法．【答案】 B判断一个抽样方法是不是分层抽样的条件(1)看它是否具有分层抽样的特点，如总体中个体差异是否明显．(2)是否按照相同比例从各层中抽取．至于各层内用什么方法抽样是灵活的，可采用简单随机抽样，也可采用系统抽样．(3)在分层抽样中，无论哪一层的个体，被抽中的机会都是相等的，体现了抽样的公平性．(2018·高考全国卷Ⅲ)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．解析：因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较大差异，所以需按年龄进行分层抽样，才能了解到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价．答案：分层抽样分层抽样中的有关计算(1)某单位共有老、中、青年职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为________．(2)某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：高一年级高二年级高三年级泥塑 a b c 剪纸xyz其中x ∶y ∶z ＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的35，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取________人．【解析】 (1)设该单位老年职工人数为x ，由题意得3x ＝430－160，解得x ＝90.则样本中的老年职工人数为90×32160＝18.(2)法一：因为“泥塑”社团的人数占总人数的35，故“剪纸”社团的人数占总人数的25，所以“剪纸”社团的人数为800×25＝320；因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为y x ＋y ＋z ＝32＋3＋5＝310，所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×310＝96.由题意知，抽样比为50800＝116，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96×116＝6.法二：因为“泥塑”社团的人数占总人数的35，故“剪纸”社团的人数占总人数的25，所以抽取的50人的样本中，“剪纸”社团中的人数为50×25＝20.又“剪纸”社团中高二年级人数比例为y x ＋y ＋z ＝32＋3＋5＝310，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为20×310＝6.【答案】 (1)18 (2)6分层抽样中有关计算的方法(1)抽样比＝样本容量n 总体容量N ＝该层抽取的个体数该层的个体数.(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．对于分层抽样中求某层个体数，或某层要抽取的样本个体数，都可以通过上面两个等量关系求解．1．为了调查城市PM2.5的情况，按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组，相应的城市数分别为8，16，24.若用分层抽样的方法抽取12个城市，则应抽取的中型城市数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选 B.根据分层抽样的特点可知，抽样比例为1248＝14，则应抽取的中型城市数为16×14＝4.2．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，则应抽取超过45岁的职工为________人．解析：抽样比为25∶200＝1∶8，而超过45岁的职工有80人，则从中应抽取的个体数为80×18＝10.答案：10分层抽样的设计与应用一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人．为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？【解】 用分层抽样来抽取样本，步骤如下：(1)分层，按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为100500＝15，则在不到35岁的职工中抽取125×15＝25(人)；在35岁至49岁的职工中抽取280×15＝56(人)；在50岁及50岁以上的职工中抽出95×15＝19(人)．(3)在各层分别按系统抽样或随机数法抽取样本． (4)汇总每层抽样，组成样本．分层抽样的操作步骤第一步，计算样本容量与总体的个体数之比．第二步，将总体分成互不交叉的层，按比例确定各层要抽取的个体数． 第三步，用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取相应数量的个体． 第四步，将各层抽取的个体合在一起，就得到所取样本．在100个产品中，有一等品20个，二等品30个，三等品50个，现要抽取一个容量为30的样本，请说明抽样过程．解：先将产品按等级分成三层：第一层，一等品20个；第二层，二等品30个；第三层，三等品50个．然后确定每一层抽取的个体数，因为20∶30∶50＝2∶3∶5，所以应在第一层中抽取产品6个，在第二层中抽取产品9个，在第三层中抽取产品15个．再分别给这些产品编号并贴上标签，用抽签法或随机数表法在各层中抽取，取到一等品6个，二等品9个，三等品15个，这样就通过分层抽样得到了一个容量为30的样本．三种抽样方法的选择及应用为了考察某学校的教学水平，将抽取这个学校高三年级的部分学生本学年的考试成绩进行统计分析，为了全面反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查(已知该学校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同)：①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班任意抽取20人，考察他们的学习成绩；②每个班都抽取1人，共计20人，考察这20个学生的成绩；③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中共抽取100名学生进行考察(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人)．根据上面的叙述，回答下列问题：(1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？(2)上面三种抽取方式中各自采用何种抽样方法？【解】(1)三种抽取方式中，其总体都是高三全体学生本学年的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本学年的考试成绩．第一种抽取方式中，样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式中，样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式中，样本为所抽取的100名学生本学年的考试成绩，样本容量为100.(2)三种抽取方式中，第一种方式采用的是简单随机抽样法；第二种方式采用的是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种方式采用的是分层抽样法和简单随机抽样法．选择抽样方法的思路(1)判断总体是否由差异明显的几部分组成，若是，则选用分层抽样；否则，考虑用简单随机抽样或系统抽样．(2)判断总体容量和样本容量的大小．当总体容量较小时，采用抽签法；当总体容量较大、样本容量较小时，采用随机数表法；当总体容量较大、样本容量也较大时，采用系统抽样．某单位有2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各岗位中的人数情况如下表所示：管理技术开发营销生产合计老年40404080200 中年80120160240600 青年40160280720 1 200 合计160320480 1 040 2 000(2)若要开一个有25人参与的讨论单位发展与薪金调整方案的座谈会，则应怎样抽选出席人？(3)若要抽20人调查对某运动会筹备情况的了解程度，则应怎样抽样？解：(1)用分层抽样法，并按老年职工4人，中年职工12人，青年职工24人抽取．(2)用分层抽样法，并按管理岗位2人，技术开发岗位4人，营销岗位6人，生产岗位13人抽取．(3)用系统抽样法，对全部2 000人随机编号，号码为0001～2000，每100号分为一组，从第一组中用简单随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加100，200，…，1 900，所得到的号码对应的20人即为要抽取的人．1．(2020·贵州省铜仁市第一中学期末考试)某高校有男学生3 000名，女学生7 000名．为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生300名，女学生700名进行调查，则这种抽样方法是()A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法解析：选D.总体由男生和女生组成，比例为3 000∶7 000＝3∶7，所抽取的比例也是3∶7，这种抽样方法是分层抽样法．故选D.2．(2020·广西钦州市期末考试)某中学共有1 000名学生，其中高一年级350人，该校为了了解本校学生视力情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽出一个容量为100的样本进行调查，则应从高一年级抽取的人数为()A．20 B．25C．30 D．35解析：选D.高一年级抽取的人数为3501 000×100＝35.故选D.3．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人进行某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案．使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，3，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，3，…，270，并将整个编号平均分为10段．如果抽得的号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④36，62，88，114，140，166，192，218，244，270. 关于上述样本的下列结论中，正确的是( ) A ．②③都不能为系统抽样 B ．②④都不能为分层抽样 C ．①④都可能为系统抽样 D ．①③都可能为分层抽样解析：选D.系统抽样又名“等距抽样”，做到等距的有①③④，但只做到等距还不一定是系统抽样，还应做到10段中每段要抽1个，检查这一点只需看第一个元素是否在1～27 范围内，结果发现④不符合，同时，若为系统抽样，则分段间隔k ＝27010＝27，④也不符合这一要求，所以可能是系统抽样的为①③，因此排除A ，C ；若采用分层抽样，一、二、三年级的人数比例为4∶3∶3，由于共抽取10人，所以三个年级应分别抽取4人、3人、3人，即在1～108范围内要有4个编号，在109～189和190～270范围内要分别有3个编号，符合此要求的有①②③，即它们都可能为分层抽样(其中①③在每一层内采用了系统抽样，②在每一层内采用了简单随机抽样)，所以排除B.4．某校高一年级有900名学生，其中女生400名．按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．解析：设应抽取的男生人数为x ，则x 900－400＝45900，解得x ＝25.答案：25[A 基础达标]1．为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样解析：选C.我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理，故选C.2．(2020·黑龙江省哈尔滨市第六中学期末考试)某校共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，用分层抽样抽取一个容量为20的样本，则应抽取的后勤人员人数是() A．3 B．2C．15 D．4解析：选A.因为160人抽取20人，所以抽取的比例为20160＝18，因为后勤人数为24，所以应抽取24×18＝3.故选A.3．(2020·河北省枣强中学期末考试)某中学高二年级共有学生2 400人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高二年级共有女生()A．1 260 B．1 230C．1 200 D．1 140解析：选D.设女生总人数为x人，由分层抽样的方法，可得抽取女生人数为80－42＝38(人)，所以802 400＝38x，解得x＝1 140.故选D.4．(2020·河北省石家庄市期末考试)某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中取一个容量为36的样本，则老年人、中年人、青年人依次抽取的人数是()A．7，11，19 B．7，12，17C．6，13，17 D．6，12，18解析：选D.由题意，老年人27人，中年人54人，青年人81人的比例为1∶2∶3，所以抽取人数：老年人：16×36＝6，中年人：26×36＝12，青年人：36×36＝18.故选D.5．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为() A．100 B．150C．200 D．250解析：选A.抽样比为703 500＝150，该校总人数为1 500＋3 500＝5 000，则n5 000＝150，故n＝100.6．(2020·四川省遂宁市期末考试)已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为________．解析：某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为200×2 0003 500＋2 000＋4 500＝40.答案：407．某校对全校共1 800名学生进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，已知女生比男生少抽了20人，则该校的女生人数应是________．解析：设抽取的女生人数为x，则x＋(x＋20)＝200，解得x＝90，则抽取的女生人数为90，抽取的男生人数为200－90＝110，据此可知该校的女生人数应是1 800×90200＝810.答案：8108．(2020·湖南省张家界市期末联考)我国古代数学算经十书之一的《九章算术》中有一“衰分”问题“今有北乡八千七百五十人，西乡七千二百五十人，南乡八千三百五十人，凡三乡，发役四百八十七人，则西乡遣____________人”．解析：今有北乡八千七百五十人，西乡七千二百五十人，南乡八千三百五十人，凡三乡，发役四百八十七人，则西乡遣487×7 2508 750＋7 250＋8 350＝145(人)．答案：1459．某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作为样本，用系统抽样法将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．(1)若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是多少？ (2)若用分层抽样法，则应从40岁以下年龄段的职工中抽取多少名？解：(1)由分组可知，分段的间隔为5.又第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.(2)由题意知，40岁以下年龄段的职工人数为200×50%＝100.若用分层抽样法，则应从40岁以下年龄段的职工中抽取40200×100＝20(名)．10．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．解：(1)设登山组人数为x ，游泳组中，青年人、中年人、老年人所占比例分别为a 、b 、c ，则有x ×40%＋3xb 4x ＝47.5%，x ×10%＋3xc4x ＝10%，解得b ＝50%，c ＝10%，故a＝100%－50%－10%＝40%，即游泳组中，青年人、中年人、老年人所占比例分别为40%、50%、10%.(2)游泳组中，抽取的青年人人数为200×34×40%＝60(人)；抽取的中年人人数为200×34×50%＝75(人)；抽取的老年人人数为200×34×10%＝15(人)．即游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数为60人，75人，15人．[B能力提升]11．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是()A．4 B．5C．6 D．7解析：选C.四类食品的种数比为4∶1∶3∶2，则抽取的植物油类的种数为20×110＝2，抽取的果蔬类的种数为20×210＝4，二者之和为6种，故选C.12．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．解析：由分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的有50件，则乙设备生产的有30件，所以在4 800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品总数为4 800×35＋3＝1 800(件)．答案：1 80013．某单位有工程师6人、技术员12人、技工18人．要从这些人中抽取一个容量为n 的样本，如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，那么不用剔除个体；如果样本容量增加一个，那么在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本容量n.解：依题意，知总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的抽样比是n36，抽取工程师的人数为n 36×6＝n 6，技术员的人数为n 36×12＝n 3，技工的人数为n 36×18＝n2，所以n 应是36的约数且是6的倍数，即n ＝6，12，18. 当样本容量为n ＋1时，系统抽样的间隔为35n ＋1.因为35n ＋1必须为整数，所以n 只能取6，即样本容量n ＝6.14．(选做题)为了对某课题进行讨论研究，用分层抽样的方法从三所高校A ，B ，C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人)．(2)若从高校B 相关人员中选2人作专题发言，应采用什么抽样法，请写出合理的抽样过程．解：(1)分层抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的，所以有x 54＝13⇒x ＝18，3654＝y3⇒y ＝2.故x ＝18，y ＝2. (2)总体容量和样本容量较小，所以应采用抽签法，过程如下： 第一步，将36人随机编号，号码为1，2，3，…，36； 第二步，将号码分别写在相同的纸片上，揉成团，制成号签；第三步，将号签放入一个不透明的容器中，充分搅匀，依次不放回地抽取2个号码，并记录上面的编号；第四步，把与号码相对应的人抽出，即可得到所要的样本．。
2.1.3分层抽样
3．分层抽样
当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本 充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各 部分所占的比例进行抽样.其中所分成的各部分叫做层.
由于分层抽样的要求不同，各层的抽样的样本容量也不相同， 所以，应当按照实际情况，合理地将样本容量分配到各个层， 以确保抽样的合理性，研究时可以根据不同的要求来分层抽样. 分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况， 每一部分称为层，在每一层中实行简单随机抽样 . 这种方法较 充分地利用了总体己有信息，是一种实用、操作性强的方法. 分层抽样的一个重要问题是一个总体如何分层 .分层抽样中 分多少层，要视具体情况而定 .总的原则是：层内样本的差异要 小，而层与层之间的差异尽可能地大，否则将失去分层的意义.
中的个体编号； （2）将整个的编号均衡地分段，确定分段间隔k. N N ； n 是整数时， k n （3）第一段用简单随机抽样确定起始号码l； （4）按照规则抽取样本：l,l＋k,l＋2k,…,l+(n-1)k.
N 不是整数时，从N中剔除一些个体，使得其为整数为止； n
分层抽样的抽取步骤：
（1）总体与样本容量确定抽取的比例； （2）由分层情况，确定各层抽取的样本数； （3）各层的抽取数之和应等于样本容量； （4）对于不能取整的数，求其近似值；
4．三种抽样方法的比较
5．课堂练习
一个电视台在因特网上就观众对其某一节目 的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为 12000人，其中持各种态度的人数如下所示： 很喜爱 2435 喜爱 4567 一般 3926 不喜爱 1072
打算从中抽取60人进行详细调查，如何抽取？
； 岩棉厂家 小苏拉请太医诊治壹下。”“怎么又病咯？前些日子不是才请过太医吗？”“回大总管，兴许是夜里受咯凉„„”“你们这些奴才都是怎么伺候 的主子？全都不好好当差，让主子三天两头地生病，你们壹各各的，是不是都皮痒咯？”“回大总管，吟雪知错咯，以后壹定改正，还请大总管 尽快请太医吧，怕是我家主子快要熬不住呢。”“这会儿知道着急咯？早干啥啊去咯？”“求求大总管咯，吟雪该怎么处罚全听您的处置，只是 我家主子烧得都有些说胡话咯。”“知道咯，你先回去等着信儿吧。”吟雪壹听大总管的话，明摆着是托辞，这要是回咯怡然居，还得等到啥啊 时候啊！丫鬟眼瞧着都不太认人咯，这么重的病若是给延误咯诊治可是该如何是好？况且刚刚大总管那些话，分明是在找她的茬儿。不知道以前 方公公怎么对付的苏培盛，反正吟雪可是第壹次与他打交道，还是小心谨慎为上。于是吟雪赶快追咯壹句：“多谢大总管咯。”吟雪壹边说着感 谢的话，壹边递上壹锭摸二两重的银子。苏培盛见着银子，脸色总算是缓过来咯壹些，但这心里还是不痛快，当然，看在银子份上，语气总算是 好咯壹些：“赶快回去伺候你家主子去吧，搭各凉手巾。就是请太医也得需要功夫啊，太医也不是从天上就能掉下来的。”“有劳大总管咯，吟 雪知道是这各理，这就先替我家主子谢谢您咯。”反正已经被吵醒，又看在敲诈来的二两银子的面子上，苏培盛总算是没有故意耽搁时间，待吟 雪走后，就差咯壹各小苏拉去请太医。第壹卷 第155章 炎凉吟雪得到苏培盛的保证，心里总算是踏实咯壹些，于是马不停蹄地赶回怡然居，只 见月影正手脚不停地换着凉手巾。只是壹各凉手巾才敷咯壹会儿，就被滚烫的额头给捂热咯，现在只有月影壹各人，忙得团团转。吟雪见状，赶 快又去绞咯壹各凉手巾递给月影，她再将被捂热的手巾放到冷水盆里。两各人轮番上阵，总算是不至于手忙脚乱。可是她们左等不到右等不到， 太医怎么还不来呢？两各人心急如焚，也没有办法，只能是干着急。开始冰凝还只是发热，慢慢地，她开始有些神志不清地说起胡话来，无非是 “鸳鸯”、“画眉”之类的胡言乱语，月影吓得都哭出咯声来，吟雪急得没法子，于是决定再去苏总管那里走壹趟，怕不是他收咯银子不给办事 吧？结果吟雪才刚壹出房门，就见方公公头前带路，领着壹各约摸四十来岁的男子进咯院子。今天来应诊的是太医院的张太医。张太医是王府的 座上客，经常出入王府为各院主子诊治，但是为年侧福晋出诊，这还是第壹次。他也听闻咯王爷这位新娶侧福晋的壹些传闻，开始还以为只是请 各平安脉之类的小事情，进咯房里才知道，情况远比他想象的要复杂得多。虽然隔着屏风，可是侧
04第四章 分层抽样
W S 1 =∑ h h nh N h
L
2
2
1 2 Wh S h = 2 ∑ N h
L
S N h (N h nh ) h ∑ nh h
L
2
可见,在分层抽样中,总体均值估计量的方差只与各层 内的方差有关,而同层间方差无关.而总体方差又是由 层内方差与层间方差两部分构成的.所以,估计量的方 差小于总体方差. 2,总体总和估计量的方差 有了总体均值估计量的方差,就可推导出总体总和估计 量的方差:
第 h 层的总体均值;
1 yh = nh
2 h
∑y
hi
第 h 层的样本均值; 第 h 层的总体方差;
1 Nh S = (Yhi Yh ) 2 ∑ N h 1 i =1
1 nh s = ∑ ( yhi yh ) 2 nh 1 i =1
2 h
L Nh
第 h 层的样本方差.
Y = ∑∑ y hi 为总体总量;
此时:
l L ( y ) = ∑ W 1 f h s = ∑ Wh s h 1 ∑ W s 2 V st h h h h nh nh N h h h L 2 2 2
1 = 2 N
2
s N h ( N h nh ) h ∑ nh h
L
L
2
s V (Yst ) = N V ( y st ) = ∑ N h ( N h n h ) h nh h
h
L
为各层内成数方差的平均.
(二)最优分配 1,一般情形 在分层随机抽样中,在给定的费用条件下,使估计量的方 差达到最小,或在精度要求(常用方差表示)一定条件下, 使总费用最小的各层样本量的分配称为最优分配. 在分层随机抽样中,费用函数可能是简单线性的,也可能 是其它复杂形式,这里主要考虑简单线性的费用函数:
必修3——分层抽样
起始部分用 总体个体 简单随机抽 数较多 样
各层抽样时 用简单随机 抽样或系统 抽样 总体由差 异明显的 几部分组 成
每个个 体被抽 到的可 能性相 同
(3)在第1段用简单随机抽样确定起始个体的编 号l(l≤k)； (4)按照一定的规则抽取样本.将起始编号l加 上间隔k得到第2个个体编号l+k，再加上k得到 第3个个体编号l+2k，这样继续下去，直到获 取整个样本.
探究：
某地区共有24300名中小学学生，其中高中生
2400人，初中生10900人，小学生11000人，此
探究：某地区中小学生人数的分布情况如下
表所示(单位：人) 学段 小学 初中 城市 357000 226200 县城 221600 134200 农村 258100 11290
高中
112000
43300
6300
请根据上述数据，设计一个样本容量为总体 个体数量的1‰的抽样方案.
分析：共有9层，在各层抽取的个体数等于本 层个体总数乘以1‰后四舍五入取整，在各层 抽取的数目如下： 学段 小学 初中 高中 城市 357 226 112 县城 222 134 43 农村 258 11 6
地教育部门为了了解本地区学生的近视情况及
其形成原因，准备抽取1%的学生进行调查，
你认为应当怎样抽取样本？
分层抽样
一般地，当已知总体由差异明显的几部 分组成，在抽样时，将总体分成互不交叉的 层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽 取一定数量的个体，将各层取出的个体合在 一起作为样本，这种抽样的方法就叫做分层 抽样.
在各层用系统抽样方法抽取个体，合在一起 形成所需样本.
探究： 简单随机抽样、系统抽样和分层抽样各有其 特点和适用范围.请对这三种抽样方法进行 比较，说说它们各自的优缺点.
分层抽样操作方法
分层抽样操作方法分层抽样是一种常用的抽样方法，用于从总体中选择适当的样本，以保证样本与总体在某些重要特征上的相似性。
在实际应用中，分层抽样被广泛用于市场调研、社会调查、医学研究等领域。
本文将从分层抽样的定义、目的、操作方法、优缺点等方面展开讨论。
1. 分层抽样的定义分层抽样是在总体被划分为若干层次或子总体的基础上，按照一定比例从每一层中独立地进行随机抽样的方法。
每一层次或子总体被称为一个层，在每个层中都必须有明确的边界和成员，所有层的并集应与总体完全重合，即总体中的每个个体都应属于某一层次。
2. 分层抽样的目的分层抽样的目的在于保证样本在某些重要特征上与总体的相似性。
通过将总体划分为若干层次，可以更加有效地利用样本资源，提高样本的代表性。
此外，分层抽样还可以减少在分析和研究过程中的误差，提高结果的可靠性。
3. 分层抽样的操作方法（1）确定总体的层次划分：首先需要根据研究问题和目的确定总体划分的层次。
层的划分应该是相互独立、不重叠且全面的。
（2）确定每个层次的样本量：根据每个层次在总体中所占比例的大小确定各层样本的数量。
一般情况下，样本量应与各层的比例相当，以保证样本的代表性。
（3）随机抽取样本：在每个层中，根据所需样本量的比例，从每个层中抽取样本。
抽样方法可以采用随机抽样、系统抽样、整群抽样等。
（4）样本调整：在实际抽样过程中，可能会遇到一些特殊情况，例如层内变异较大、某些层样本容量不足等。
可以通过样本调整的方法来调整样本，以增加样本的代表性。
4. 分层抽样的优缺点（1）优点：a) 提高样本的代表性：通过分层抽样，可以保证样本在某些重要特征上与总体的相似性，从而提高样本的代表性。
b) 减小误差：通过合理划分层次和样本量的分配，可以减小误差，提高结果的可靠性。
c) 提高效率：分层抽样能够更加有效地利用样本资源，减少样本的数量，提高抽样效率。
（2）缺点：a) 设计复杂：分层抽样需要在设计阶段就对总体划分层次，并确定每个层的样本量。
简单随机抽样,系统抽样,分层抽样 (2)
课 题 简单随机抽样，系统抽样，分层抽样 教学目标1.正确理解三种抽样方法的一般步骤和方法2.正确理解三中抽样方法间的区别和联系；重点、难点三种抽样方法概念的理解 2能够灵活应用三种抽样的方法解决统计问题。
考点及考试要求综合题考点一、简单随机抽样的概念一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本（n ≤N ）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本。
【说明】简单随机抽样必须具备下列特点：（1）简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N 是有限的。
（2）简单随机样本数n 小于等于样本总体的个数N 。
（3）简单随机样本是从总体中逐个抽取的。
（4）简单随机抽样是一种不放回的抽样。
（5）简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为Nn 。
思考:下列抽样的方式是否属于简单随机抽样？为什么？（1）从无限多个个体中抽取50个个体作为样本。
（2）箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行质量检验后，再把它放回箱子。
抽签法和随机数表法 1、抽签法的定义。
抽签法就是把总体中的N 个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n 次，就得到一个容量为n 的样本。
【说明】抽签法的一般步骤：（1）将总体的个体编号。
（2）连续抽签获取样本号码。
思考:你认为抽签法有什么优点和缺点：当总体中的个体数很多时，用抽签法方便吗？2、随机数表法的定义：利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样，叫随机数表法，这里仅介绍随机数表法。
【说明】随机数表法的步骤： （1）将总体的个体编号。
（2）在随机数表中选择开始数字。
（3）读数获取样本号码。
【例题精析】例1：人们打桥牌时，将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌，这时按次序搬牌时，对任何一家来说，都是从52张牌中抽取13张牌，问这种抽样方法是否是简单随机抽样？[分析] 简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本，而这里只是随机确定了起始张，其他各张牌虽然是逐张起牌，但是各张在谁手里已被确定，所以不是简单随机抽样。
分层抽样
答：在分层抽样时，不到35岁、35～49岁、50岁以上的三个 年龄段分别抽取25人、56人和19人。
练习
一个电视台在因特网上就观众对其某一节目 的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为 12000人，其中持各种态度的人数如下所示：
例、一个单位的职工有500人，其中不到35岁的有125人， 35～49岁的有280人，50岁以上的有95人。为了了解该单位 职工年龄与身体状况的有关指标，从中抽取100名职工作为 样本，应该怎样抽取？
分析：这总体具有某些特征，它可以分成几个不同的部 分：不到35岁；35～49岁；50岁以上，把每一部分称为一个 层，因此该总体可以分为3个层。由于抽取的样本为100，所 以必须确定每一层的比例，在每一个层中实行简单随机抽样。
分层抽样
当总体由差异明显的几部分组成时， 为了使样本充分地反映总体的情况，常 将总体分成互不交叉的层，然后按照各 层所占的比例进行抽样。
分层抽样的实施步骤：
(1) 根据已有信息,将总体分成互不相交的层;
（2）根据总体中的个体数N与样本容量n确 定抽样比:k= nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
N
（3）确定各层应该抽取的个体数。各层的 抽取数之和应等于样本容量。对于不能取整的 数，求其近似值。
； 优游 ；
在沙丘顶上列队，一大排地立起身子，把它们光滑的背甲对着同一个方向，在太阳还没有升起的时候，会有一阵清风从这个方向吹来，抚过沙丘的表面，最后，吹到小虫的身体。风缓缓地、软软地、悄悄地轻拂着，小虫长时间一动不动，在它们的背甲上就悄悄地凝起了水珠，这是晨风带来的 仅有的一点湿润，水珠
分层抽样
某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户， 中等收入家庭 280 户，低收入家庭 95 户，为了 调查社会购买力的某项指标，要从中抽取 1 个 容量为100户的样本，则采用（ ）抽样 方法；某校大一有12名女排运动员，要从中抽 取3人调查学习负担情况，则采用（ ） 抽样方法。
为了调查某产品的销售情况，销售部门从下属 的 92家销售连锁店中抽取30家了解情况。若采 用系统抽样法，则抽样间隔和随机剔除的个数 分别是（ ）（ ）。
系统抽样的效果会受个体编号的影响， 而简单随机抽样的效果不受个体编号的 影响。
二、步骤：
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本。 （1）先将总体的N个个体排序，进行连续编号； （2）确定分段间隔 k，对编号进行分段，当N/n是整数时，取 k=N/n；当N/n不是整数时，从N中剔除一些个体，使得其为整 数为止。 （3）在第1段用简单随机抽样确定第一个样本编号l（l≤k）；
三、步骤
（1）确认目标总体。 （2）决定样本数。 （3）确定分层的特征，如年龄、性别等。 （4）将总体分成若干个不可重叠的部分，即分层后， 同一层内部的单位尽可能是同质的，不同层之间的单 位尽可能是异质的。 （5）根据一定的方式确定各层应抽取的样本量。 （6）分别采用简单随机抽样或者系统抽样的方式从 各层中抽取相应的样本。
分层随机抽样、分群随 机抽样、系统随机抽样
15五年制电商
§3.2.2、分层随机抽样技术 一、概念
分层随机抽样，又称为分层抽样、 类型随 机 抽 样 ， 就是先将总体按一定标准划分为 若干层，然后在各层中随机抽取样本的一 种方式，通过对总体进行分层，可保证样 本的代表性。 分层抽样的抽样误差≤简单随机抽样的抽样 误差。
13级：2.1.2系统、分层抽样
系统抽样说明 (1)、适用于总体中个体数较大且个体差异不 明显的情况 （2）、剔除多余个体及第一段抽样都用简单随 机抽样，因而与简单随机抽样有密切联系 （3）、是等可能抽样，每个个体被抽到的可能 性相等 （4）系统抽样所得样本的代表性和具体的编号 有关；而简单随机抽样所得样本的代表性与个体 的编号无关，如果编号的个体特征随编号的变化 呈现一定的周期性，可能会使系统抽样的代表性 很差；
注意：
1 、分层抽样适用于总体由差异明显的几 部分组成的情况，每一部分称为层，在每一 层中实行简单随机抽样。
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2 、分层抽样中分多少层，要视具体情况 而定。总的原则是：层内样本的差异要小， 而层与层之间的差异尽可能地大，否则将失 去分层的意义。 练习：选择合适的抽样方法进行抽样
(1)有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂 生产的有9个，从中抽取10个 分层抽样
(1)将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层．
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(2)、按照样本容量的比例随机抽取各乡镇 应抽取的样本． 300×3/15＝60(人)，300×2/15＝40(人)， 300×5/15＝100(人)，300×2/15＝40(人)， 300×3/15＝60(人)，因此各乡镇抽取的人数 分别为60人、40人、100人、40人、60人． (3)、将300人组到一起，即得到一个样本．
（1）抽样 过程中每个 个体被抽到 的可能性相 等 （2）每次 抽出个体后 不再将它放 回，即不放 回抽样
将总体平均分成 在起始部分 总体中 几部分，按预先 时采用简单 个体较 制定的规则在各 随机抽样 多 部分抽取 总体由 各层抽样时 差异明 将总体分成几层， 采用简单随 显的几 机抽样或系 部分组 分层进行抽取 统抽样 成
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分层抽样和系统抽样解读
（2）计算各层个数与总体的个数的抽样比；
（3）按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本 个数；
（4）在每层进行抽样.
注： （1）分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的
情况 （2）分层：将相似的个体归入一类，即为一层，分层
要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏 的原则
练习2、某公司在甲乙丙丁四个地区分别有150个、120个、180个、 150个销售点，公司为了调查产品销售情况，需从这600 个销售点抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①； 在丙地区中有20个特大型销售点中抽取7个调查其销售收 入售后服务等情况，记这项调查为②，则完成这两项调查 采用的方法依次是（ B ） A.分层抽样，系统抽样 B.分层抽样，简单随机抽样 C.系统抽样，分层抽样 D.简单随机抽样，分层抽样
思考：某单位有职工500人，其中35岁以下——125人；
35～49岁——280人；50岁上——95人；为了解该单位
职工身体状况的某项指标，要抽一个100人的样本，应
该怎样抽取？
解：（析：指标与年龄有关，个体差异明显，宜采用分层抽样）
500：100=5：1
各层均抽取1/5即可
125/5=25； 280/5=56；，在样本中的代表 也应该多，这样样本才具有更好的代表性。
（4）分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在 各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数 量的比与这层个体数量与总体容量的比相等.
例1：某地农田分布在山地、丘陵、平原、洼 地不同的地形上，要对这个地区的农作物产 量进行调查，应当采用什么抽样方法？
解：由于不同类型的农田之间的产量有较大 差异，应当采用分层抽样的方法，对不同类 型的农田按其占总数的比例来抽取样本.
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比较定额抽样，与分层抽样有何区别？
①分类②确定每类抽选比例③主观抽样
第四章 分层抽样
2．分层抽样不仅能对总体指标进行推算， 而且能对各层指标进行推算。
有时调查的目的不仅要推算总体指标，可能 还要推算各层的指标。
第四章 分层抽样
在不重复抽样下，根据前一章公式可知
2 xi
1
fi
（第 i层单位数占总体
单位数的比重）
则：
Xˆ
K
Wi xi
第四章 分层抽样
二、分层抽样简单估计的抽样标准误
如果我们对总体方差 进2 行分解，可得
2
2 i
2 P
即
总体方差=平均层内方差+层间方差
我们知道，纯随机抽样的抽样误差，是按总体 方差计算的，对于分层抽样，由于对各层而言 是全面调查，故层间不存在抽样误差问题。所 以，其抽样方差等于平均层内方差。
二、使用场合与分层原则
第四章 分层抽样
根据分层抽样的特点，分层除了可以提供子总 体指标和便于调查的组织实施外，通常，使用分 层抽样的主要目的是为了提高估计的精度。为充 分利用分层抽样的特点，在一项抽样调查项目中 ，往往反复使用分层抽样方法。
在对层进行具体划分时，通常考虑如下原则：
1．层内单元具有相同性质。
通常按调查对象的不同类型进行划分。这时， 分层抽样能够对每一类的目标量进行估计。
第四章 分层抽样
2．使层间单元的差异尽可能大。从而达到提 高抽样估计精度的目的。
3．既按类型又按层内单元标志值相近的原则 进行多重分层，同时达到实现估计层值以及提 高估计精度的目的。
4．抽样组织实施的方便。通常按行政管理机 构设置进行分层。
通常用于分层的指标有行政区划、地理位置、 海拔高度、行业、经济发达程度、企业规模、 家庭收入水平、性别等。
第四章 分层抽样
例如，对全国范围汽车运输的抽样调查，调查 目的不仅要推算全国货运汽车完成的运量，还要 推算不同经济成分（国有、集体、个体）汽车完 成的运量。为组织的方便，首先将货运汽车总体 按省分层，由各省运输管理部门负责省内的调查 工作；各省再将省内拥有的汽车按经济成分分层 ；为提高抽样效率，再按吨位对汽车分层。
3．适合于调查标志在各单位的分布差异大 的总体。
当总体内部层界越明显，越适合分层抽样，效 果也越好。此外，还可与其他抽样组织形式（整 群、等距）结合，提高抽样效果。
(二)作用
第四章 分层抽样
1．分层抽样的抽样效率较高，也就是说分层 抽样的估计精度较高。
与简单随机样本比较，分层样本在总体中的 分布更为均匀，不会出现偏于某一部分的不平 衡情况，在实际工作中受欢迎。
又如，某高校对学生在宿舍使用电脑的情况进 行调查，根据经验，本科生和研究生拥有电脑 的状况差异较大，因此，在抽样前对学生按本 科生和研究生进行分层是有必要的。
第四章 分层抽样
第二节 分层抽样的简单估计
一、层和总体体参数的估计量。
设Xij为第i层第j个单位的标志值（i=1，2…k， j=1，2…Ni）， 为xi 层内样本均值， 为X层i 均值 ， 为样x本均值， 为总体X 均值， 为层总X iT值，
为总体总X T值，则有：
（即总体分为k层，第i层有Ni个单位，ΣNi=N）
ni
xi xij ni
Ni
X i Nij Ni
K ni
x xij
ni
K
ni
xi
n
第四章 分层抽样
X
K
Ni
K
Ni xi
用以分层的标志通常有两类：
①与调查标志密切相关的标志。
②调查标志本身的过去资料。
第四章 分层抽样
2．分层抽样对层而言是全面调查，对层 内单位而言是非全面调查。
所以，分层抽样的样本代表性高低，取决于层 内样本对层的代表性，与层间差异无关。因此， 分层抽样要求尽量扩大层间差异，缩小层内差异。 即尽量将层内差异转化为层间差异。为此，要选 好分层标志。并适当增加分层数。
例如，一次全国性抽样调查，若以省为层， 则调查后既可得到有关全国的数据，又可得到 各省的数据，这一点大受各级政府领导的欢迎 ，也便于部门统计。
可使我们获得关于总体内部较多的信息。
第四章 分层抽样
3．层内抽样方法可以不同，而且便于抽样工 作的组织。
例如，某项全国范围的大型抽样调查，要编 制全国范围的抽样框往往是一件非常困难的事 ，但如果抽样按行政区划或行业分层后，可以 调动各级主管部门的积极性，分头编制抽样框 并实施抽样的组织和调查工作。为了组织调查 的方便，各层可以根据层内的特点，分别采用 不同的抽样方法。
其随机性体现在：层内各单位有相同被抽 中的机会（一般情况下），层与层之间相互 独立。（对层而言是全面调查）
二、特点：
第四章 分层抽样
1．分层抽样要求事先对总体有较多的了解。
不仅要求知道总体单位数N和具体名录，而且 要求掌握至少一个可用以分层的标志的全面资 料。即对于某一标志而言。总体N个单位的特 征都是可知的。
Xˆ
i
K
N Ni xi
N
记为xst
Xˆ T
K
Ni xi
NXˆ
容易证明，Xˆ是 的X 无偏估计量。
第四章 分层抽样
E Xˆ
E
K
Ni
xi
N
K
N
i
E
xi
N
K
E Ni xi N X
进一步可得 Xˆ也T 是 X的T 无偏估计量。
如果令 Ni N Wi
N
Ni
X iT X ij Ni X i j 1
K Ni
X T xij Ni xi
第四章 分层抽样
上面六个式子中，只有 x和i 可x 通过样本资料计
算，其余四个都需要估计。在简单估计下，各 估计量为：
Xˆ i xi
Xˆ iT Ni xi
Xˆ
K
Ni
第四章 分层抽样
第四章 分层抽样
本章重点： ①分层抽样的概念及特点 ②抽样标准误差的计算 ③抽样数目在各层的分配
第四章 分层抽样
第一节 分层抽样概述
一、概念：
先将总体各单位划分为若干组（层），然后 从各组中按随机原则分别抽取一定数目的单位 构成样本，以样本观测结果推断各组的数量特 征和总体数量特征的一种抽样组织形式。