应用概率统计期末复习题及答案

第七章课后习题答案

7.2 设总体12~(12,4),,,

,n X N X X X 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之

差的绝对值大于1的概率. 解:由于~(12,4)X N ,

~(0,1)X N

7.3 设总体~(0,0.09),X N 从中抽取10n =的简单随机样本，求1021 1.44i i P X =⎧⎫

>⎨⎬⎩⎭

∑.

解：由于~(0,0.09),X N 所以~(0,0.09),i X N 故

~(0,1)0.3

i i X X N σ

--=

所以

10

2

21

()

~(10)0.3i

i X χ=∑

所以{}1010222

11 1.441.44()160.10.3

0.09i i i i X P X P P χ==⎧⎫⎧⎫>=>=>=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∑∑

7.4 设总体2

~(,),X N μσ12,,

,n X X X 为简单随机样本, X 为样本均值，2S 为样

本方差，问2

X U n μσ⎛⎫

-= ⎪⎝⎭

服从什么分布？

解：

2

22X X X U n μσ⎛⎫⎛⎫-=== ⎪⎝⎭,由于2

~(,)X N μσ，

~(0,1)X N

，故2

2

~(1)X U χ⎛⎫=。

7.6 设总体2~(,),X N μσ2

~(,)Y N μσ且相互独立，从,X Y 中分别抽取

1210,15n n ==的简单随机样本，它们的样本方差分别为22

12,S S ，求2212(40)P S S ->。

解： 22

22211

2

1

2

22(40)(4)4S P S S P S S P S ⎛⎫

->=>=> ⎪⎝⎭

由于2~(,),X N μσ2

~(,)Y N μσ且相互独立

所以

2

1

2

2

~(101,151)

S

F

S

--，又由于

0.01

(9,14) 4.03

F=

即()40.01 P F>=

第八章课后习题答案

8.1 设总体X 的密度函数为(1)

,

()010,

C x x C f x C x C 为已知，θθθθ-+⎧>=>>⎨

≤⎩

。

12,,

,n X X X 为简单随机样本,（1）求θ的矩估计量。（2）求θ的极大似然估计量。

解：（1）(1)

[1(1)]()()C

C

C

E X xf x dx x C x

dx C

x dx θθθ

θμθθ+∞

+∞

+∞

-+-+==

==⎰

⎰

⎰

故X

X C

θ=

-。 （2） 似然函数 取对数

方程两侧对θ求导得

1

ln ln ln n

i i d L n

n C x d θθ==+-∑ 令

1

ln ln ln 0n

i i d L n

n C x d θθ==+-=∑ 得 1

ln ln n

i

i n

x n C

θ==-∑

即极大似然估计量为1

ln ln n

i

i n

X

n C

θ==

-∑

8.4 设总体X 的密度函数为10,()00,

x

x e x f x x α

αλλα--⎧>⎪=⎨

≤⎪⎩

其中0α>是已知常

数，0λ>是未知参数，12,,

,n X X X 为简单随机样本,求λ的极大似然估计量。

解：似然函数 取对数

方程两侧对λ求导得

1

ln n i i d L n x d α

λλ==-∑

令

1

ln 0n i i d L n x d α

λλ==-=∑ 得 1

n

i i n

x α

λ==∑

即极大似然估计量为1

n

i

i n

X

αλ==

∑

8.6 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（单位：h ）分别为

6.0，5.7,5.8,6.5,

7.0,6.3,5.6,6.1,5.0

设干燥时间2

~(,),T N μσ就下面两种情况μ的置信度为0.95的双侧置信区间。 （1）0.6()h σ= （2）σ未知

解：由已知可得2

6,0.574,0.33x s s ===

（1）由于0.6σ=，9n =，0.05α=，0.025 1.96z =

取统计量~(0,1)X Z N =

所以μ

的置信区间为2

2

(X z X z α

α

-+

即0.60.6(6 1.96,6 1.96)(5.608,6.392)33

-⨯

+⨯= （2）σ未知，9n =，0.05α=，0.574s =

故取统计量2

~(1)T t n α=

- ，0.025(8) 2.306t =

所以置信区间为2

2

(((X t n X t n αα--+- 8.8 随机的抽取某种炮弹9发做实验。求得炮口速度的样本标准差11(/)S m s =，设炮

口速度服从正态分布2

(,),N μσ求炮口速度的均方差2

σ的置信度为0.95的双侧置信区

间。