大学物理13章习题详细答案

习题13

13-3．如习题13-3图所示，把一块原来不带电的金属板B 移近一块已带有正电荷Q 的金属板A ，平行放置。设两板面积都是S ，板间距为d ，忽略边缘效应，求：(1)板B 不接地时，两板间的电势差。(2)板B 接地时，两板间的电势差。

[解] (1)两带电平板导体相向面上电量大小相等符号相反，而相背面上电量大小相等符号相同，因此当板B 不接地，电荷分布为

因而板间电场强度为

S

Q E 02ε=

S

Qd

Ed U 0AB 2ε=

= 电势差为

(2) 板B 接地时，在B 板上感应出负电荷，电荷分布为 故板间电场强度为 S

Q E 0ε=

电势差为 S

Qd

Ed U 0AB ε=

= 13-4 两块靠近的平行金属板间原为真空。使两板分别带上面电荷密度为σ0的等量异号电荷，这时两板间电压为U 0=300V 。保持两板上电量不变，将板间空间一半如图习题13-4图所示充以相对电容率为εr =5的电介质，试求

（1） 金属板间有电介质部分和无电介质部分的E,D 和板上的自由电荷密度σ； （2） 金属板间电压变为多少？电介质上下表面束缚电荷面密度多大？

13-5．如习题13-5图所示，三个无限长的同轴导体圆柱面A 、B 和C ，半径分别为R A 、R B 、R C 。圆柱面B 上带电荷，A 和C 都接地。求B 的内表面上线电荷密度λ1和外表面上线电荷密度λ2之比值λ1/λ2。

[解] 由A 、C 接地 BC BA U U = 由高斯定理知 r E 01I 2πελ-=

r

E 02

II 2πελ= 因此 A

B B

C 21ln :ln

:R R R R =λλ 13-6．如习题13-6图所示，一厚度为d 的无限大均匀带电

导体板，单位面积上两表面带电量之和为σ。试求离左表面的距离为a 的点与离右表面的距离为b 的点之间的电势差。 [解] 导体板内场强0=内E ，由高斯定理可得板外场强为 故A 、B 两点间电势差为

13-7．为了测量电介质材料的相对电容率，将一块厚为 1.5cm 的平板材料慢慢地插进一电容器的距离为2.0cm 的两

B A

-Q/2

Q/2

Q/2Q/2

A B -Q

Q

II

I Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

B

A

平行板中间。在插入过程中，电容器的电荷保持不变。插入之后，两板间的电势差减小到原来的60％，求电介质的相对电容率。

[解] 设两平行板间距离为d ，介质板厚度为d '，插入前电容器电势差为U ，插入后为U '，电容器上面电荷密度为σ

插入介质板前电容器内场强0

εσ=

E ，电势差0εσd Ed U ==

插入介质板后，电容器内空气中场强仍为E ，介质内场强r

0εεσ

='E 两板间的电势差

已知U .U 600='，因此有 解此方程得

13-8．半径都是R 的两根无限长均匀带电直导线，其线电荷密度分别为λ+和λ-，两直导线平行放置，相距为d (d >>R )。试求该导体组单位长度的电容。

[解] 可用叠加原理及高斯定理计算两导线间垂直连线上任意点P 的场强。

如图所示，过P 分别做两个长为L ，与两条直导线共轴的闭合圆柱面作为高斯面。根据高斯定理分别计算每条线上电荷产生的场强。

所以 r

E 012πελ

=

同理 ()

r d E -=

022πελ

根据叠加原理，P 点总场强为 两条线间电压为 故单位长度电容

13-9．一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半径分别为R 1=2cm ，R 2 =5cm ，其间充满相对电容率为εr 的各向同性均匀电介质，电容器接在U =32V 的电源上(如习题13-9图所示)。试求距离轴线R =3.5cm 的点A 处的电场强度和点A 与外筒间的电势差。 [解] 由

Q =⋅⎰⎰S D d L L r D λπ=⋅⋅2

因此 r

D πλ2=

r E r 02επελ=

因此 1

2r 0ln 2R R U

επελ=

所以 1

-1

2

r 01

2r 0r 0A m 998ln 21ln 212⋅====

V R R R U

R R R U R E επεεπεεπελ

R

r P

d

R

⎰⎰==2

22d d AR R R

R R

r E r E U =12.5 V

13-10．置于球心的点电荷+Q 被两同心球壳所包围，大球壳为导体，小球壳为电介质，相对电容率为εr ，球壳的尺寸如习题13-10图所示。试求以下各量与场点矢径r 的关系：(1)电位移D ；(2)电电场强度度E ；(3)极化强度P ；(4)束缚电荷激发的电电场强度度E '；(5)面电荷密度σ；(6)电能密度ωe 。 [解] (1) 由有介质的高斯定理

Q =⋅⎰⎰S D d 1

(2) 由静电场的性能方程 E D r 0εε=得 (3) 由 ()ΕP 1r 0-=εε得 (4) 在电介质内 E E E '+=0

所以r e E E E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-='114r 200επεr Q

在其它位置0='E

(5) 由束缚电荷 ()2112n P P ⋅-='σ，在电介质中

在导体中，自由电荷 n D ⋅=σ (6) 由 DE w 2

1

=

得 13-11．一电容为C 的空气平行板电容器，接端电压为U 的电源充电后随即断开。试求把两个极板间距增大至n 倍时外力所作的功。 [解] 断开电源后Q 不变，电容由原来的d

S

C 0ε=，变为nd

S

C 0ε=

'

外力所做的功即相当于系统静电能的改变量

由于Q 不变，C n C '=，所以nU U ='

因此222

1

U n C W '=

' 即外力做功()12

1

2-=n CU A

13-12．球形电容器由半径为R 1的导体球和与它同心的导体球壳构成，壳的内半径为R 2，其间充有两层均匀电介质，分界面的半径为r ，内外层电介质的相对电容率分别为εr 1和εr 2。已知内球带电量为-Q ，试求：(1)各介质表面上的束缚面荷密度σ'；(2)电容器的静电能和电场总能量。

[解] (1) 1R

D '-=

π 2

r1014r Q E '

-=επε r

D '-=

π 2

r202

4r Q E '-=επε 1

R r ='时

，