2021考研数学三真题及答案解析(全)

(B)连续且取极小值.
(C)可导且导数为 0.
(D)可导 lim f (x)= lim ex 1 1 f (0) ，故 f (x) 在 x 0 处连续；
x0
x0 x
因为 lim x0
f
(x) f (0) = lim
x0
x0
e
x 1 x x0
1
lim
x0
【答案】D.
【解析】
P(A
|
A
B)
P(A(A B)) P(A B)
P( A)
P( A) P(B) P(AB)
P(A
|
A
B)
P(A(A B)) P(A B)
P( AB) P(A B)
P(B) P(AB) P(A) P(B) P(AB)
(A)若 P( A | B) P( A) ，则 P( A | B) P( A) .
(B)若 P( A | B) P( A) ，则 P( A | B) P( A)
(C)若 P( A | B) P( A | B) ，则 P(A | B) P(A) . (D)若 P( A | A B) P( A | A B) ，则 P( A) P(B) .
1 1 | E A | 1 2 1 ( 1)( 3)
1 1
令上式等于零，故特征值为 1， 3 ， 0 ，故该二次型的正惯性指数为 1，负惯性指数为 1.故应选 B.
(6)设
A
(1,2 ,3,4 )
为
4
阶正交矩阵，若矩阵
B
=
1T 2T
，
1 1 ， k
表示任意常数，
T 3
1
则线性方程组 Bx 的通解 x
(B)等价无穷小.
(C)高阶无穷小.
(D)同阶但非等价无穷小.
【答案】C.
【解析】因为当
x
0
时，
(e x2
t3
0
1)dt
2x(ex6
1)
2x 7 ，所以
(e x2
t3
1)dt
是
x7
高阶无穷小，正
0
确答案为 C.
(2)函数
f
(
x)=
e
x
x
1
,
x
0
,在
x
0处
1, x 0
(A)连续且取极大值.
(A)2 3 4 k1 .
(B)1 3 4 k2 .
(C)1 2 4 k3 .
(D)1 2 3 k4 .
【答案】D.
【解析】因为 A (1,2,3,4 ) 为 4 阶正交矩阵，所以向量组 1,2 ,3,4 是一组标准正交向量
组，则
r(B)
3
，又
B 4
=
21TT
4
0
，所以齐次线性方程组
(A) 2, 0 .
(B)1,1 .
(C) 2,1 .
(D)1, 2 .
【答案】B.
【解析】 f (x1, x2 , x3 ) (x1 x2 )2 (x2 x3 )2 (x3 x1)2 2x22 2x1x2 2x2 x3 2x1x3
0 1 1
所以
A
1 1
2 1
1 0
，故特征多项式为
(A) dx dy .
(B) dx dy .
(C) dy .
(D) dy .
【答案】C.
【解析】 f1(x 1, e x) e x f2(x 1, e x) (x 1) 2 2x(x 1)
①
f1
(x,
x2
)
2
xf
2
(
x,
x
2
)
4x
ln
x
2x
②
1
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x 0 x 1
分别将
0 1
1 3
0 1
，
0 0
1 0
2 1
.
【答案】C.
【解析】
1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0
(
A,
E
)
2 1
1 2
1 5
0 0
1 0
0 1
0 0
1 2
3 6
2 1
1 0
0 1
0 0
1 0
3 0
2 3
1 2
0 1
1 0 0
(F
,
P)
,则
e
x
1 x2
x
1 2
，故
f
(0)
1 2
，正确答案为
D.
(3)设函数 f (x) ax b ln x (a 0) 有两个零点，则 b 的取值范围是 a
(A) (e, ) .
(B) (0, e) .
(C) (0, 1 ) . e
(D) ( 1 , ) . e
【答案】A.
【解析】令
f
(x)
ax
b ln
2021考研数学三试卷解析
2021 考研数学真题及答案解析
数学（三）
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）
(1)当 x 0 时，
(e x2
t3
1)dt
是 x7
的
0
(A)低阶无穷小.
2
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1 0 0 1 0 1
(A)
0
1
0
，
0
1
3 .
0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 0 0
(B)
2
1
0
，
0
1
0
.
3 2 1 0 0 1
1 0 0 1 0 1
(C)
2 3
1 2
0 1
，
0 0
1 0
3 1
.
1 0 0 1 2 3
(D)
Bx
0
的通解为
k 4
.而
3T
B(1
2
3)
=
21TT
(1
2
3)
1
1
3T
1
，故线性方程组
Bx
的通解
x 1 2 3 k4 ，其中 k 为任意常数.故应选 D.
1 0 1
(7)已知矩阵
A
2 1
1 2
15 ，若下三角可逆矩阵 P 和上三角可逆矩阵 Q ，使 PAQ 为对角
矩阵，则 P ， Q 可以分别取
P
2 3
1 2
0 1
;
1 0 1 1 0 0
0
F 0
E
1
0 0
1 0 0 1 0
3
0
0
0
0 1
0 1
0 0
1 0 0 1 0
0 0 1 3 1
Λ Q
，则
Q
1 0 0
0 1 0
1
3 1
.故应选
C.
(8)设 A ， B 为随机事件，且 0 P(B) 1，下列命题中不成立的是
x
0
，
f
(x)
a
b x
，令
f
(x)
0
有驻点
x
b a
，f
b a
a
b a
b
ln b a
0
，
从而 ln b 1，可得 b e ，正确答案为 A.
a
a
(4)设函数 f (x, y) 可微， f (x 1, e x) x(x 1) 2 ， f (x, x2) 2x2 ln x ，则 df (1,1)
y
0
，
y
1
带入①②式有
f1(1,1) f2(1,1) 1 ， f1(1,1) 2 f2(1,1) 2
联立可得 f1(1,1) 0 ， f2(1,1) 1 ， df (1,1) f1(1,1)dx f2(1,1)dy dy ，故正确答案为 C.
(5)二次型 f (x1, x2 , x3 ) (x1 x2 )2 (x2 x3 )2 (x3 x1)2 的正惯性指数与负惯性指数依次为