人教版高中数学选修1-1椭圆专题

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数学：2.1.1《椭圆及其标准方程》PPT课件(新人教版选修1-1)

例3 的标准方程
3 5 已知椭圆经过两点(− 2 , 2 )与( 3, 5)
,求椭圆
解：设椭圆的标准方程则有
新疆王新敞
奎屯
x2 y 2 + = 1(m > 0, n > 0, m ≠ n) m n
5 3 2 (− ) ( )2 2 + 2 =1 n m 2 ( 3) ( 5)2 + =1 n m
2 2 2
2 2
)x
2
+ a y = a (a - c
2 2
2
)
x
a2
b2
2.椭圆的标准方程椭圆的标准方程 y
F1 O
2 2
y
F1
F2
x
O F2
x
y 2 x 2 = 1 + = 1 2 2 2 2 a b 平方和的形式）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1；方（1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是；在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0 a>b>0；（2）在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0；程 (3)焦点在大分母变量所对应的那个轴上；焦点在大分母变量所对应的那个轴上；焦点在大分母变量所对应的那个轴上都有特定的意义，（4）a、b、c都有特定的意义，
x2 + y2 = 1 解：(1)所求椭圆的标准方程为 4 2 y x2 （２）所求椭圆的标准方程是 + =1 100 36
.
求椭圆标准方程的解题步骤：求椭圆标准方程的解题步骤：（1）确定焦点的位置；）确定焦点的位置；（2）设出椭圆的标准方程；）设出椭圆的标准方程；的值，（3）用待定系数法确定、b的值，）用待定系数法确定a、的值写出椭圆的标准方程. 写出椭圆的标准方程

人教A版高中数学选修1-1课件：2.1.2椭圆的简单几何性质.pptx

B1（0,-b）、B2（0，b）（2）长轴：线段A1A2 短轴：线段B1B2
y
4 B2
3 2
长轴长:2a;长半轴长:a
A1
1
A2
短轴长:2b;短半轴长:b
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2
（3）六个特殊点：四个顶点，两个焦点。
-3
-4 B1
Hale Waihona Puke 短轴端点、中心、焦点构成一直角Δ，且三边长为a,b,c
y2 b2
1(a
b
0)
（1）由图知：-a≤x≤a;-b≤y≤b
（2）由方程：x2 a2
1
x2 a2
y2 1
y2 b2
b2
-a≤x≤a -b≤y≤b
by
a
椭圆位于直线x=±a和直线
-a
O
x
y=±b围成的矩形区域内。
-b
椭圆的几何性质.swfk
2、对称性
（1）由图知：关于x、y轴成轴对称，关于原点成中心对称。
y
0
x
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
y
x 0
|x|≤a,|y|≤b
|x|≤b,|y|≤a
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对
（a,0称）。,(0,b)
（b,0）,(0,a)
(c,0)
(0,c)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a2=b2+c2
e c a
题型一、椭圆的几何性质的简单应用
A. 2 2
B. 2 1 2
C .2 2 D. 2 1
椭圆的第二定义

人教课标版高中数学选修1-1《椭圆及其标准(第1课时)》名师课件

详解: AF1 F1B AF2 BF2 20 又 AF2 BF2 12. AB 8
点拨:椭圆定义可双向运用,即若 PF1 PF2 2a2a F1F2 ,则点p的运动轨
迹的椭圆.反之,椭圆上任意一点到椭圆两焦点距离之和必为2a.因此,解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题,应先考虑是否能够使用椭圆定义求解.
（2）列式:设点 Px, y 是椭圆上任意一点,有椭圆定义可得: PF1 PF2 2a 即: x c2 y2 x c y2 2a
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测
探究二:椭圆的标准方程建立与推导
活动一推导过程
（3）化简:上式化简可得
x2 a2
y2 a2 c2
1 .由a>c得 a2
2.1.1 椭圆及其标准方程
（第1课时）
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测
1.已知点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) ,则 P1P2 x1 x2 2 y1 y2 2
2.我们预习本课的椭圆标准方程的两种形式是怎样的?
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知识回顾问题探究课堂小结随堂检测
知识梳理
1.平面内点M到两定点 F1, F2的距离和为常数, 即 MF1 MF2 2a
当 2a F1F2 时,点M的轨迹是椭圆; 当 2a F1F2 时,点M的轨迹是一条线段| F1F2 | ; 当 2a F1F2 时,点M的轨迹不存在.
2.椭圆
x2 a2
求出b,从而得到方程.
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测
重难点突破
1.推导椭圆的标准方程是本节学习的一个关键环节.应重点理解下述方面: 一是如何建立坐标系才能使椭圆的方程比较简单; 二是在方程的推导过程中无理方程的化简,这类方程的化简方法: (1)方程中只有一个根式时,需将它单独留在方程的一侧,把其他项移到另一侧; (2)方程中有两个根式时,需将它们放在方程的两侧,并使其中一侧只有一个根式,然后两边平方．

人教版-高中数学选修1-1 椭圆

1. 根据下列条件，求椭圆的标准方程。
① 长轴长和短轴长分别为8和6，焦点在x轴上 ② 长轴和短轴分别在y轴，x轴上，经过P(-2,0)， Q(0,-3)两点. ③一焦点坐标为（－3，0）一顶点坐标为（0，5） ④两顶点坐标为（0，±6），且经过点（5，4） ⑤焦距是12，离心率是0.6，焦点在x轴上。
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0)
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
长半轴长为a, 短半轴长为b.
a>b
c e a
a2=b2+c2
例1已知椭圆方程为9x2+25y2=225,
它的长轴长是：
10 。短轴长是：
范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率 a、b、c的关系
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称 (a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
o c
B1 (0,-b)
根据前面所学有关知识画出下列图形
x y 1 （1） 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2
x2 y2 1 （2） 25 4
y
4 3 B 2 2 1
A1
A2 x
A1
A2 x
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
123 4 5
B1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4
2. 已知椭圆的一个焦点为F（6，0）点B，C是短轴的两端点，△FBC是等边三角形，求这个椭圆的标准方程。

人教A版高中数学选修1-1 专题2-1-2椭圆的简单的几何性

椭圆的简单几何性质---------学习要点椭圆的简单几何性质： 1.范围（1）椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b（2）椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a2.对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点（1）椭圆的顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ）（2）线段A 1A 2，B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4．离心率（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比22c a，即ac 称为椭圆的离心率，记作e （10<<e ），22221()b e a a==-c e 越接近于0 （e 越小），椭圆就越接近于圆;e 越接近于1 （e 越大），椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。

（2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e ，（0＜e ＜1）的点的轨迹为椭圆。

（e dPF =||） ①焦点在x 轴上：12222=+by a x （a ＞b ＞0）准线方程：c a x 2±=②焦点在y 轴上：12222=+b x a y （a ＞b ＞0）准线方程：ca y 2±=小结一：基本元素（1）基本量：a 、b 、c 、e 、（共四个量），特征三角形（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）（3）基本线：对称轴（共两条线） 5．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<.（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b ⇔+>.6.几何性质（1）焦半径（椭圆上的点与焦点之间的线段）：c a MF c a +≤≤-（2）通径（过焦点且垂直于长轴的弦）ab AB 22=（3）焦点三角形（椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形）：2tan221θ⋅=∆b S F MF 其中θ=∠21MF F7直线与椭圆的位置关系：(1)判断方法:联立直线方程与椭圆方程消y(或x)得到关于x 的一元二次方程，根据判别式∆的符号判断位置关系：没有交点相离有一个交点相切相交有两个交点⇔⇔<∆⇔⇔=∆⇔⇔>∆000 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=+012222C By Ax b y a x 消y 得：()()022*********=-+++B b C a ACx a x B b A a ()222222222122222212B b A a B b C a x x B b A a AC a x x +-=+-=+联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=+012222C By Ax b y a x 消x 得：()()022*********=-+++A a C b BCy b y B b A a ()222222222122222212B b A a A a C b y y B b A a BC b y y +-=+-=+(2)弦中点问题:斜率为k 的直线l 与椭圆),0,0(12222n m n m ny m x ≠>>=+交于两点(3)),(),(2211y x B y x A 、）（00,y x M 是AB 的中点，则：022y x m n k AB⋅-=(4)弦长公式：221221)(y y x x AB -+-=）（]4)[(1212212x x x x k -++=）（第二部分：椭圆常考题型解题方法典例一、椭圆定义相关题目例1、已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．【自主解答】方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα．因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈．说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α，0cos 1>-α，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，αsin 12=b ．(3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0．例2、以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须用点直线对称就可解决．【自主解答】如图所示，焦点为()031，-F ，()032，F ．F 的坐标为（－9，6），直线2FF 的方程为032=-+y x ．解方程组⎩⎨⎧=+-=-+09032y x y x 得交点M 的坐标为（－5，4）．所求椭圆的长轴：562221==+=FF MF MF a ， ∴53=a ，又3=c ，∴()3635322222=-=-=c a b ．因此，所求椭圆的方程为1364522=+y x ．例3、已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．【自主解答】（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221m x x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =．说明：对比直线与椭圆和直线与圆的位置关系问题及有关弦长问题的解题方法？．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式．例4、已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．【自主解答】如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径，即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+y x ．例5、已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程．分析：“设而不求”法【自主解答】方法一：设所求直线方程为)4(2-=-x k y ．代入椭圆方程，整理036)24(4)24(8)14(222=--+--+k x k k x k ①设直线与椭圆的交点为),(11y x A ，),(22y x B ，则1x 、2x 是①的两根， ∴14)24(8221+-=+k k k x x ∵)2,4(P 为AB 中点， ∴14)24(424221+-=+=k k k x x ，21-=k ． ∴所求直线方程为082=-+y x ．方法二：（点差法）设直线与椭圆交点),(11y x A ，),(22y x B ． ∵)2,4(P 为AB 中点，∴821=+x x ，421=+y y ．又∵A ，B 在椭圆上，∴3642121=+y x ，3642222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x ，即0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ． ∴21)(4)(21212121-=++-=--y y x x x x y y ．∴直线方程为082=-+y x ．方法三：（数形结合）设所求直线与椭圆的一个交点为),(y x A ，另一个交点)4,8(y x B --． ∵A 、B 在椭圆上，∴36422=+y x ①。

人教版高中数学高二选修1-1 椭圆及其标准方程

2.1.1 椭圆及其标准方程问题导学一、椭圆的定义及应用活动与探究1(1)椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．4D ．10(2)已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为______．迁移与应用设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |＝______．椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1，F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识，对于求焦点三角形的面积，若已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C 把|PF 1||PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|及余弦定理求出|PF 1||PF 2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．二、椭圆的标准方程及应用活动与探究2求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)； (3)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142．迁移与应用1．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是__________．2．两焦点坐标分别为(3,0)和(－3,0)且经过点(5,0)的椭圆的标准方程为__________．(1)利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤可总结如下：①由焦点坐标确定方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，还是y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)；②运用定义、平方关系等求出a ，b ． (2)当焦点不确定时，可设方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，且A ≠B )，这样可以避免讨论．三、焦点三角形问题活动与探究3如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．迁移与应用已知P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．四、与椭圆有关的轨迹问题活动与探究4(1)已知圆x 2＋y 2＝9，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，点M 在PP ′上，并且PM →＝2MP ′→，求点M 的轨迹．(2)已知在△ABC 中，|BC |＝6，周长为16，那么顶点A 在怎样的曲线上运动？迁移与应用如图，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)，Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．解决与椭圆有关的轨迹问题，一般有两种方法： (1)定义法用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．(2)相关点法有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．用相关点法求轨迹方程的步骤：①设所求轨迹上的动点P (x ，y )，再设具有某种运动规律f (x ，y )＝0上的动点Q (x ′，y ′)；②找出P ，Q 之间坐标的关系，并表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝φ1x ，y ，y ′＝φ2x ，y ；③将x ′，y ′代入f (x ，y )＝0, 即得所求轨迹方程．答案：课前·预习导学【预习导引】1．距离之和常数两个定点两焦点间的距离 |MF 1|＋|MF 2|＝2a预习交流1 (1)提示：当2a ＝|F 1F 2|时，点M 的轨迹是线段F 1F 2；当2a ＜|F 1F 2|时，点M 的轨迹不存在．(2)提示：B2．x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0) F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c )a2＝b2＋c2预习交流2(1)提示：相同点：它们都有a＞b＞0，a2＝b2＋c2，焦距都是2c，椭圆上的点到两焦点距离的和均为2a．方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母不相等．不同点：两类椭圆的焦点位置不同，即焦点所在坐标轴不同，因此焦点坐标也不相同，焦点在x轴上的椭圆两焦点坐标分别为(－c,0)和(c,0)，焦点在y轴上的椭圆两焦点坐标分别为(0，－c)和(0，c)．当椭圆焦点在x轴上时，含x2项的分母大；当椭圆焦点在y轴上时，含y2项的分母大．(2)提示：534(4,0)，(－4,0)课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1(1)思路分析：求出a→|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|→求出P到另一个焦点的距离A解析：点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝10,10－5＝5．(2)思路分析：结合图形，利用定义求第三边．6解析：由已知a2＝16，a＝4．从而由椭圆定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，∴△AF1B的周长为|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝16．又知三角形有两边之和为10，∴第三边的长度为6．迁移与应用43解析：由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝43．活动与探究2思路分析：(1)由已知可得a，c的值，由b2＝a2－c2可求出b，再根据焦点位置写出椭圆的方程．(2)利用两点间的距离公式求出2a ，再写方程；也可用待定系数法．(3)利用待定系数法，但需讨论焦点的位置．也可利用椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0， A ≠B )直接求A ，B 得方程．解：(1)由题意可知椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝4，2a ＝10，所以a ＝5，b ＝a 2－c 2＝25－16＝3．所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1．(2)(方法一)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆的定义知2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，所以a ＝6．又c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝42．所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1．(方法二)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以可设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧18a 2＋16b 2＝1，a 2＝b 2＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝32.所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1．(3)(方法一)若椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．同理可得：焦点在y 轴上的椭圆不存在．综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．(方法二)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )．将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．迁移与应用1．(3,4) 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >k －3，k －3>0，解得3＜k ＜4．2．x 225＋y 216＝1 解析：易知c ＝3，a ＝5，则b 2＝a 2－c 2＝16．又椭圆的焦点在x 轴上， ∴所求椭圆的方程为x 225＋y 216＝1．活动与探究3 思路分析：由余弦定理和椭圆定义分别建立|PF 1|，|PF 2|的方程，求出|PF 1|，|PF 2|后，再求△PF 1F 2的面积．解：由已知a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos 120°，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|，① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4，即|PF 2|＝4－|PF 1|，② 将②代入①解得|PF 1|＝65．∴12PF F S ∆＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335，即△PF1F2的面积是353．迁移与应用解：在椭圆x225＋y29＝1中，a＝5，b＝3，c＝4，则|F1F2|＝8，|PF1|＋|PF2|＝10．①由余弦定理，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos 60°＝64．②①2－②得|PF1||PF2|＝12．∴S＝12|PF1|·|PF2|·sin 60°＝12×12×32＝33．活动与探究4(1)思路分析：先设出M的坐标(x，y)，用x，y表示出点P的坐标代入圆方程即可．解：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x0＝x，y0＝3y．因为P(x0，y0)在圆x2＋y2＝9上，所以x20＋y20＝9．将x0＝x，y0＝3y代入圆方程，得x2＋9y2＝9．即x29＋y2＝1．又y≠0，所以点M的轨迹是一个椭圆，且除去(3,0)和(－3,0)两点．(2)思路分析：利用椭圆的定义解决，最后要注意检验．解：由|AB|＋|BC|＋|AC|＝16，|BC|＝6，可得|AB|＋|AC|＝10＞6＝|BC|，故顶点A在以B，C为焦点，到两焦点距离的和等于10的一个椭圆上运动，且除去BC 直线与椭圆的两个交点．迁移与应用解：由题意知M 在线段CQ 上，从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |．又M 在AQ 的垂直平分线上，连接AM ，则|MA |＝|MQ |， ∴|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5＞|AC |＝2．∴M 的轨迹是以C (－1,0)，A (1,0)为焦点的椭圆，且2a ＝5， ∴a ＝52，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝214．∴M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1，即4x 225＋4y 221＝1．当堂检测1．设P 是椭圆22=12516x y +上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 答案：D 解析：由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ． ∵a 2＝25，∴2a ＝10． ∴|PF 1|＋|PF 2|＝10．2．椭圆22=1167x y +的焦点坐标为( ) A ．(－4,0)和(4,0) B ．(0，)和(0) C ．(－3,0)和(3,0) D ．(0，－9)和(0,9)答案：C 解析：由已知椭圆的焦点在x 轴上，且a 2＝16，b 2＝7， ∴c 2＝9，c ＝3．∴椭圆的焦点坐标为(－3,0)和(3,0)．3．已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．无法确定答案：A解析：由题意得|PF1|＋|PF2|＝2a(a为大于零的常数，且2a＞|F1F2|)，|PQ|＝|PF2|，∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PQ|＝2a，即|F1Q|＝2a．∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆．4．已知P是椭圆22=12516x y+上一点，F1，F2为焦点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积是______．答案：16解析：由椭圆定义知：|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，①又∵∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝36．②①2－②得|PF1|·|PF2|＝32．∴S＝12|PF1|·|PF2|＝16．5．已知椭圆22=1259x y+上一点M到左焦点F1的距离为6，N是MF1的中点，则|ON|＝______．答案：2解析：设右焦点为F2，连接F2M，∵O为F1F2的中点，N是MF1的中点，∴|ON|＝12|MF2|．又∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝6，∴|MF2|＝4，∴|ON|＝2．。

人教版高二数学选修1-1《椭圆及标准方程、几何性质》

椭圆及标准方程、几何性质一、椭圆定义及标准方程【知识要点】 1. 椭圆的定义第一定义：平面内,到两定点21,F F 距离之和等于定长（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆. 第二定义：平面内与一定点F 和一条定直线)(l F l ∉的距离之比是常数))1,0((∈e e 的点的轨迹叫椭圆. 2. 椭圆的方程(1)标准方程: )0(12222>>=+b a b y a x 或 )0(12222>>=+b a by a y(2)一般方程：),0,0(122B A B A By Ax ≠>>=+ 【基础训练】1．已知点)2,0(1-F ,)2,0(2F ，动点P 满足621=+PF PF ，则动点P 的轨迹是（） A.椭圆B.双曲线C.线段D.射线2．已知椭圆192522=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（） A.2B.3C.4D.53．到两定点)0,2(),0,2(B A -的距离之和为8的动点的轨迹方程为。

4．两个焦点的坐标分别为)0,2(),0,2(-，并且经过)3,2(的椭圆的标准方程是。

【典例精析】例1．【标准方程的识别】方程13522=++-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的范围是（）A.53<<-mB.51<<mC.13<<-mD.43<<-m 例2．【求标准方程】根据下列条件分别求出椭圆的的方程. (1)和椭圆364922=+y x 有相同的焦点,经过点)3,2(-Q .(2)中心在原点,焦点在x 轴上,从一个焦点看短轴的两端点的视角为直角且这个焦点到长轴上较近的顶点的距离为510-.例3．（2011全国）在平面直角坐标系中，椭圆C 的中心为原点，焦点21,F F 在x 轴上，离心率为22 过点1F 的直线l 交C 于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为。

人教A版高中数学选修1-1课件高二2.1.2.1椭圆的简单几何性质.pptx

还是在短轴上吗？
提示：椭圆的焦点在椭圆的长轴上.
2.能否用a和b表示椭圆的离心率e?
提示：可以，由于 e 又c , c a2 b2 ,
a
故ec
a
a2 b2 a
1
b2 a2
.
3.椭圆16x2+9y2=144的长轴长是_______;短轴长是_______;离
心率是_______.
【解析】先将椭圆16x2+9y2=144化为标准形式
F（1__0_,__-_c__）_,F（2 _0__,_c__）_ |F1F2|=__2_c_
顶点
焦点在x轴上
A1(_-_a_,_0_)_,A2（——a,—0—）—; B（1—0—,—-—b）—,B2—(—0—,b—)—
焦点在y轴上
A（1_0_,_-_a_）_,A2—(—0,—a—)—; B1(—-—b—,0—)—,B2—(b—,—0—)—
【想一想】通过本题中求离心率的过程，你掌握了哪种分析问题的思想方法？提示：由于题设条件图形特征强，a，b，c相对于e的关系复杂，因此我们在分析问题时要借助于图形来寻找与e有关的量的关系，即要注重数形结合的方法分析和解决问题.
【规范解答】利用椭圆几何性质求解最值问题
【典例】(12分)（2012·淄博高二检测）中心在原点,焦点在
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线 x 3a 上一点，△F2PF1是底
2
角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
（A） 1
2
（B）2
3
（C）3
4
（D）4
5
2.已知B1，B2为椭圆短轴的两个端点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若四边形B1F1B2F2为正方形，则椭圆的离心率为______. 3.A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．

人教版A版高中数学选修1-1：椭圆及其标准方程_图文

y2 a2

x2 b2
1
焦点为(0,-c)，(0,c)焦距为2c。
练一练：（口答）
知
1、如果椭圆 x 2 y 2 1 上一点P到焦点F1的距离等于
识应
100 36
用
6，则点P到另一个焦点F2的距离是。
技
2、动点P（x,y)，若满足 (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 10 则P点的轨迹方程是。
y2 a2

x2 b2
1
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). y
设M(x, y)是椭圆上任意一
M
点，椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) .
a2 cx a (x c)2 y2 两边再平方，得 a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2
整理得 (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 )
由椭圆定义可知 2a 2c,即a c, 所以
a2 c2 0,设a2 c2 b2 (b 0),
所得方程： x2 y2 1 25 9
2、（1）若│F1F2│=7，且│MF1│+│MF2│=9。依照
上面结论不计算过程直接说出M的轨迹方程。
（2）若│F1F2│=10，且│MF1│+│MF2│=26。
3、用符号语言表达出椭圆的定义，猜想椭圆的标准方程。
观
察定义：已知平面内两个定点F1，F2，│F1F2│＝2C，

人教A版高中数学选修1-1课件《2.1椭圆椭圆的简单几何性质(1)》

同前
同前
同前
例1已知椭圆方程为16x2+25y2=400,
它的长轴长是：。短轴1长0是：。
焦距是：。6 离心率等于：。
焦点坐标是：。(顶3,点0坐) 标是：。
8
3 5
(5, 0) (0, 4)
外切矩形的面积等于：。 80
解题的关键：1、将椭圆方程转化为标
准方程
x2 y 2 1 明确a、b
25 16
2、确定焦点的位置和长轴的位置
练习1. 已知椭圆方程为6x2+y2=6
它的长轴长是：。2 短6 轴长是：。
焦距是：.离2心5率等于：。焦点坐标是：。(0顶,点5坐) 标是：。
外切矩形的面积等于：。 4 6
2
30
6
(0, 6)
(1, 0
答案： x2 y 2 1 9
x2 y2 1 9 81
分类讨论的数学思想
小结：
本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系，这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌握数与形的联系。在本节课中，我们运用了几何性质，待定系数法来求解椭圆方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。
2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆
[3]e与a,b的关系:
e
c

a
a2 b2 1 b2

人教版A版高中数学选修1-1：2.1.2 椭圆的简单几何性质(1)

焦点的位置范围
顶点轴长焦点
焦点在x轴上 __－__a_≤_x_≤__a_ _且__－__b_≤__y≤__b__
_A_1_(_－__a_，__0_)、__A__2(_a_，__0_) _B_1_(_0_，__－__b_)、__B__2(_0_，__b_)
焦点在y轴上 __－__b_≤_x_≤__b_ _且__－__a_≤__y≤__a__
练习：
说出下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标。
（1）x2+4y2=64；（2）4x2+y2=16
（五）作业：
1、P49习题A组3；
2、求适合下列条件的椭圆的方程：
（1）焦点在x轴上，长半轴长9，短轴长为4 （2）焦点在y轴上，焦距为8，短轴长为6
_A_1_(_0_，__－__a_)、__A__2(_0_，__a_) _B_1_(_－__b_，__0_)、__B__2(_b_，__0_)
短轴长＝_2_b_，长轴长＝_2_a_
_F_1_(_－__c_，_0_)_、__F_2_(_c_，__0_) _F__1(_0_，__－__c_)_、__F_2_(0_，__c_)
因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a 10,2b 8
焦点坐标分别是
四个顶点坐标是
F1(3,0), F2(3,0)
A1(5,0), A2 (5,0), B1(0,4), B2 (0,4)
外切矩形面积为80
变式训练1：若椭圆方程变为25x2+16y2=400呢？
（三）例题精讲：
例2.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，
A1
y
B2
O
x
A2
B1
图2.1 8

高中数学新人教版选修1-1 2.1.1《椭圆及其标准方程》课件 (共20张PPT)

焦点位置的判定项的分母大，焦点就在那个轴上；反过来，焦点在哪
个轴上，相应的那个项的分母就越大.
椭圆标准方程的求法：一定焦点位置；
二设椭圆方程；
三求a、b的值.
作业：
一. 人教版选修P42 1,2
二. 思考题
方程Ax2+By2=1什么时候表示椭圆？什么时候表示焦点在x轴上的椭圆？什么时候表示焦点在y轴上的椭圆？
PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，求线段PD中点M 的轨迹方程。轨迹是什么图形？
解：设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为 x0, y0 辅
则
xx0,
yy0 2助y点 Nhomakorabea则
P法
P (x 0 ,y 0 )在圆 x 2 y 2 4 上 M
x
x02 y02 4
0D
将x0 x, y0 2y代入上述方程
M
F1
F2
导入新课：
绘图纸上的三个问题
1．视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？ 2．改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ 3．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
探究：
|MF1|+ |MF2|＞|F1F2| 椭圆 |MF1|+ |MF2|=|F1F2| 线段 |MF1|+ |MF2|＜|F1F2| 不存在
神舟六号在进入太空后，先以远地点347公里、近地点200公里的椭圆轨道运行，后经过变轨调整为距地343公里的圆形轨道.
数学实验
❖ [1]取一条细绳，
❖ [2]把它的两端固定在板上的两点F1、F2
❖ [3]用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形

人教课标版高中数学选修1-1《椭圆的简单几何性质(第1课时)》名师课件

知识回顾问题探究课堂小结随堂检测
探究二:椭圆中 a,b, c, e 的几何意义及相互关系 ★▲ 重难点
例1.求椭圆 25x2 y2 25的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标.
详解:把原方程化成标准方程:
y2 25
x2
1
即 a 5,b 1 ,所以c 25 1 2 6
因此,椭圆的长轴和短轴长分别是2a 10, 2b 2
例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程. （2）在x轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直且焦距为8. 详解:设椭圆的方程为 x2 y2 1(a b 0)
a2 b2
如图所示, A1FA2 为等腰三角形,OF是斜边A1A2 的中线(高), 且 OF c, A1A2 2b c b 4,a2 b2 c2 32 故所求椭圆的方程为 x2 y2 1
心率确定a,b,c时,常用到e c =
a
1
b2 a2
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测
探究二:椭圆中 a,b, c, e 的几何意义及相互关系 ★▲ 重难点
例3.已知椭圆的对称轴是坐标轴,O是坐标原点,F是一个焦点,A是一个顶点.若椭圆的长轴长是6,且 cosOFA 2 .求椭圆的方程.
（4）如图所示,在Rt
BF2O
中,
cos
BF2O
c a
,记 e c 则0<e<1,e越
a
大, BF2O 越小,椭圆越扁;e越小, BF2O 越大,椭圆越圆.
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测
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配套课后作业: 《椭圆的简单几何性质（第1课时）》基础型《椭圆的简单几何性质（第1课时）》能力型《椭圆的简单几何性质（第1课时）》探究型《椭圆的简单几何性质（第1课时）》自助餐

高中数学选修1-1 专题2.1 椭圆-高二数学(文)人教版

1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于_________(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距．椭圆的集合描述：设点M 是椭圆上任意一点，点F 1，F 2是椭圆的焦点，则由椭圆的定义，椭圆就是集合P ＝{M ｜|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，0＜|F 1F 2|＜2a }．2．椭圆的标准方程的推导过程如图，给定椭圆，它的焦点为F 1，F 2，焦距|F 1F 2|＝2c (c ＞0)，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于2a (a ＞c )．（1）建系：以经过椭圆两焦点F 1，F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ．那么焦点F 1，F 2的坐标分别为_________，_________．（2）列式：设M (x ，y )是椭圆上任意一点，由椭圆的定义得|MF 1|＋|MF 2|＝2a 22()x c y ++22()2x c y a -+=．（3）化简：上式整理可得222221x y a a c +=-．令222b ac =-，可得22221x y a b+=(a ＞b ＞0)． 3．椭圆的标准方程椭圆的标准方程有两种形式：（1）焦点落在x 轴上的椭圆的标准方程为22221x y a b+=(a ＞b ＞0)，焦点为F 1 (－c ，0)，F 2 (c ，0)，焦距为_________，且2a =_________，如图1所示；（2）焦点落在y 轴上的椭圆的标准方程为22221y x a b+=(a ＞b ＞0)，焦点为F 1 (0，－c )，F 2 (0，c )，焦距为_________，且2a =_________，如图2所示．图1 图2 图3注：椭圆方程中，a 表示椭圆上的点到两焦点的距离的和的一半，可借助于图3记忆．正数a ，b ，c 恰好构成一个直角三角形，其中a 是斜边，所以a ＞b ，a ＞c 且222a b c =+，其中c 是焦距的一半．对于图2中的椭圆，关系式a ＞b ，a ＞c 且222a b c =+也始终成立．4．椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的简单几何性质（1）范围易知222210y x b a =-≥，故221x a≤，即a x a -≤≤；同理b y b -≤≤．故椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框里．（2）对称性在方程中，以y -代替y 或以x -代替x 或以y -代替y 、以x -代替x ，方程都不改变，故椭圆关于x 轴、y 轴和原点都对称．原点为椭圆的对称中心，也称为椭圆的中心．（3）顶点椭圆与x 轴、y 轴分别有两个交点，这四个交点即为椭圆与它的对称轴的交点，叫做椭圆的顶点．其中x 轴上两个顶点的连线段称为椭圆的长轴，y 轴上两个顶点的连线段称为椭圆的短轴，长轴长为_________，短轴长为_________．说明：依据椭圆的四个顶点，可以确定椭圆的具体位置．（4）离心率椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的_________．离心率能够刻画椭圆的扁平程度．椭圆的扁平程度由离心率的大小确定，与椭圆的焦点所在的坐标轴无关，e 越大椭圆越扁，e 越小椭圆越圆．5．椭圆22221x y a b +=，22221y x a b+=(a ＞b ＞0)的几何性质比较标准方程22221x y a b +=(a ＞b ＞0) 22221y x a b+=(a ＞b ＞0) 图形范围 a x a -≤≤，b y b -≤≤ b x b -≤≤，a y a -≤≤对称性对称轴：x 轴、y 轴；对称中心：原点焦点左焦点F 1 (－c ，0)，右焦点F 2 (c ，0)下焦点F 1 (0，－c )，上焦点F 2 (0，c )顶点1212(,0),(,0),(0,),(0,)A a A a B b B b -- 1212(0,),(0,),(,0),(,0)A a A a B b B b --轴线段A 1A 2，B 1B 2分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长|A 1A 2|＝2a ，短轴长|B 1B 2|＝2b ，长半轴长为a ，短半轴长为b离心率e22c ce a a==(01)e << K 知识参考答案：1．常数2．(－c ，0) (c ，0) 3．2c b 2＋c 2 2c b 2＋c 24．2a 2b 离心率K —重点椭圆的定义、标准方程及简单几何性质K —难点椭圆标准方程的应用（以椭圆的标准方程为载体，与其他知识综合） K —易错忽略椭圆定义中的限制条件、焦点的位置、椭圆的范围而致错对椭圆的两种标准方程的理解对于方程221x y m n+=，①表示焦点在x 轴上的椭圆⇔0,0m n >>且m n >； ②表示焦点在y 轴上的椭圆⇔0,0m n >>且m n <； ③表示椭圆⇔0,0m n >>且m n ≠．对于方程221610x y m m+=+-，（1）若该方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为________________；（2）若该方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为________________；（3）若该方程表示椭圆，则实数m 的取值范围为________________．【答案】（1）(2，10)；（2）(－6，2)；（3）(－6，2)∪(2，10) ．【解析】（1）由题意可知60100610m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得210m <<，故实数m 的取值范围为(2，10)．（3）由题意可知60100610m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩，解得610m -<<且2m ≠，故实数m 的取值范围为(－6，2)∪(2，10)．【名师点睛】对于形如：Ax 2＋By 2＝1(其中A ＞0，B ＞0，A ≠B )的椭圆的方程，其包含焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况，当B ＞A 时，表示焦点在x 轴上的椭圆；当B ＜A 时，表示焦点在y 轴上的椭圆．椭圆的定义及其标准方程的应用椭圆的定义给出了一个结论：椭圆上的点P 到两焦点F 1，F 2的距离的和为常数2a ，则已知椭圆上一点到一焦点的距离就可以利用|PF 1|＋|PF 2|＝2a 求出该点到另一焦点的距离．已知F 1，F 2是椭圆22143x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上．（1）若点P 到焦点F 1的距离等于1，则点P 到焦点F 2的距离为________________；（2）过F 1作直线与椭圆交于A ，B 两点，则2ABF △的周长为________________；（3）若12120PF F =︒∠，则点P 到焦点F 1的距离为________________．【答案】（1）3；（2）8；（3）65．【解析】由椭圆的标准方程可知：24a =，23b =，故2a =，3b =，22431c a b =-=-=．（1）由椭圆的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝1，所以|PF 2|＝4－1＝3．（3）在12PF F △中，由余弦定理可得222211221121||||||2||||cos PF PF F F PF F F F PF =+-∠，即22211||||42||PF PF PF =++，由椭圆的定义可得12||||2PF PF a +=，两式联立解得1||5PF 6=．【名师点睛】在椭圆中，由三条线段1||PF ，2||PF ，12||F F 围成的三角形称为椭圆的焦点三角形，涉及椭圆的焦点三角形的问题，可结合椭圆的定义：12||||2PF PF a +=求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．同时应注意勾股定理、正弦定理、余弦定理等的灵活应用．由椭圆方程研究简单几何性质描点法画椭圆的步骤：①依据椭圆的范围变形方程，得到椭圆在第一象限内的图象对应的函数关系式； ②取点(x ，y )，列表、描点；③用平滑的曲线连接各点，即得到椭圆在第一象限内的图象； ④利用椭圆的对称性画出整个椭圆．求椭圆9x 2＋25y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．【答案】见解析．【解析】将椭圆的方程化为标准形式得221259x y +=，得a ＝5，b ＝3，则224c a b =-=．因此，长轴2a ＝10，短轴长2b ＝6，离心率45c e a ==．焦点为F 1(－4，0)和F 2(4，0)，顶点为A 1(－5，0)，A 2(5，0)，B 1(0，－3)，B 2(0，3)．将方程变形为2325(55)5y x x =±--≤≤，根据2325(05)5y x x =-≤≤可求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内一些点的坐标(x ，y )，列表如下：x 0 1 2 3 4 5 y32.942.752.41.8先描点，再用光滑曲线顺次连接这些点，得到椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆，如上图所示．【名师点睛】解决此类问题时，应先把椭圆方程化成标准形式，注意分清焦点的位置，这样便于写出a ，b 的值，再根据c 2＝a 2－b 2求出c ，进而求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．求椭圆的标准方程（1）定义法求椭圆的标准方程的步骤：①由焦点坐标确定方程形式；②由椭圆的定义求出a ；③由222b a c =-求出b ．（也可采用待定系数法进行求解，主要步骤可归纳为：先定型，再定量）．（2）利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程的步骤(通常采用待定系数法)：①确定焦点位置；②设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有222b a c =-，ce a=等．求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点分别为(0,2)-，(0,2)，且经过点(4,32)；（2）经过点2)，2,3)；（3）长轴长与短轴长的和为18，焦距为6；（4）经过点(3,0)，且离心率6e =；（5）经过点(3,2)M -，且与椭圆22194x y +=有相同的焦点；（6）经过点(1,2)N ，且与椭圆221126x y +=有相同的离心率．【答案】（1）2213632y x +=；（2）22184x y +=；（3）2212516x y +=或2212516y x +=；（4）22193x y +=或221279y x +=；（5）2211510x y +=；（6）221992x y +=或22163y x +=．【解析】（1）因为椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为22221(0)y x a b a b+=>>．方法1：由椭圆的定义知22222(40)(322)(40)(322)12a =-+++-+-=，所以6a =．又2c =，所以22232b a c =-=，所以所求椭圆的标准方程为2213632y x +=．方法2：因为所求椭圆过点(4,32)，所以2218161a b +=．又2224c a b =-=，联立解得236a =，232b =，所以所求椭圆的标准方程为2213632y x +=．方法2：设椭圆的一般方程为22001()Ax By A B A B >>+=≠,,．将点(2,2)，(2,3)代入一般方程，得421231A B A B +=⎧⎨+=⎩，解得18A =，14B =，所以所求椭圆的标准方程为22184x y +=．故所求椭圆的标准方程为2231264x y +=或2211262y x +=，即221992x y +=或22163y x +=．【名师点睛】（1）若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为22001()Ax By A B A B >>+=≠,,，从而避免讨论．（2）在椭圆的简单几何性质的应用中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件确定的椭圆方程可能有两个．（3）与椭圆22221x y a b +=有相同焦点的椭圆方程可设为222221(x y k a a k b k +=<--且2)k b <，与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>有相同离心率的椭圆方程可设为2222(0x y m m a b +=>，焦点在x 轴上)或2222(0y x n n a b+=>，焦点在y 轴上)．求椭圆的离心率离心率是椭圆的重要几何性质，也是高考命题的重点，求解方法一般有两种：①易求a ，c ，代入c e a =求解；易求b ，c ，由22e b c =+求解；易求a ，b ，由22a b e -=求解． ②列出含a ，c 的齐次方程，列式时常用公式22b a c =-代替式子中的b ，然后将等式两边同时除以a 的n 次方(一般除以a 或a 2)，从而利用ce a=转化为含e 的方程，解方程即可．但应注意01e <<．（1）设F 1，F 2是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF △ 是底角为30︒的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为________________；（2）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为________________．【答案】（1）34；（2）275-．【解析】（1）如图2，设直线32ax =交x 轴于D 点，因为21F PF △是底角为30︒的等腰三角形，则有122F F F P =，因为1230PF F ∠=︒，所以260PF D ∠=︒，230DPF ∠=︒，所以22211122P F DF F F ==，即31222a c c c -=⨯=，即322a c =，即34c a =，所以椭圆E 的离心率34c e a ==．图1 图2【名师点睛】在解一元二次方程时得出的根一般有两个，此时要根据椭圆的离心率(0,1)e ∈进行根的取舍，否则易产生增根．与椭圆有关的轨迹问题求解有关椭圆的轨迹问题，一般有如下两种思路：①首先通过题干中给出的等量关系列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹方程；②首先分析几何图形所揭示的几何关系，然后对比椭圆的定义，设出对应椭圆的标准方程，求出其中a ，b 的值，得到标准方程．如图1，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝36内有一点A (1，0)，点Q 为圆C 上一点，线段AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．图1 图2【答案】22198x y +=．【解析】如图2，连接MA ．由题意知点M 在线段CQ 上，从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |．又点M 在AQ 的垂直平分线上，则|MA |＝|MQ |，故|MA |＋|MC |＝|CQ |＝6．又A (1，0)，C (－1，0)，故点M 的轨迹是以(－1，0)，(1，0)为焦点的椭圆，且26a =，1c =，故3a =，222918b a c =-=-=．故点M 的轨迹方程为22198x y +=．直线与椭圆的位置关系（1）判断直线与椭圆的位置关系时，一般把二者方程联立得到方程组，判断方程组解的个数，方程组有几个解，直线与椭圆有几个公共点，方程组的解对应公共点的坐标．由直线与椭圆的公共点个数求参数的取值范围时，联立二者方程消元化为一元方程，对于二次方程依据判别式与0的大小关系求解．（2）求直线与椭圆的相交弦长时，可以先求出两个公共点的坐标，代入两点间距离公式，也可以联立方程消元为二次方程，利用根与系数的关系得到222212112()()1||AB x x y y k x x -+-=+-＝．已知直线:2l y x m =+，椭圆C ：22142x y +=．试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：（1）有两个不重合的公共点；（2）有且只有一个公共点；（3）没有公共点．【答案】（1）(32,32)-；（2）32m =±；（3）(,32)(32,)-∞-+∞．【解析】将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组222142y x mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2298240x mx m ++-= ①，判别式222(8)49(24)8(18)m m m ∆=-⨯-=--．（2）当0∆=，即32m =±时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解，这时直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．（3）当0∆<，即32m <-或32m >时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解，这时直线l 与椭圆C 没有公共点．【名师点睛】联立方程组后，消去x 还是消去y 都可以，这是不影响最终计算结果的．如图，已知斜率为1的直线l 过椭圆C ：22184y x +=的下焦点，交椭圆C 于A ，B 两点，则弦AB 的长等于________________．【答案】823【解析】设A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由椭圆方程知28a =，24b =，所以222c a b =-=，所以椭圆的下焦点F 的坐标为F (0，－2)，故直线l 的方程为y ＝x －2．将其代入22184y x +=，化简整理得23440x x --=，所以1243x x +=，1243x x =-，所以2222212121211282()()2()2()43AB x x y y x x x x x x -+-=-=+-=＝．【名师点睛】解决直线与椭圆的交点问题常常利用设而不求和整体代入的方法，解题步骤为：（1）设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)；（2）联立直线与椭圆的方程，消元得到关于x 或y 的一元二次方程；（3）利用根与系数的关系设而不求；（4）利用题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2，进而求解．忽略椭圆定义中的限制条件从而导致错误（1）已知F1，F2为两定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是A．椭圆B．直线C．圆D．线段（2）若方程22186x yk k+=--表示椭圆，则实数k的取值范围为________________．【错解】（1）由椭圆的定义知点M的轨迹是椭圆，故选A．（2）由8060kk->⎧⎨->⎩，可得68k<<，所以实数k的取值范围为(6，8)．【错因分析】（1）中忽略了椭圆定义中|F1F2|＜2a这一隐含条件；（2）中忽略了椭圆标准方程中a＞b＞0这一限制条件，当a＝b＞0时表示的是圆的方程．【正解】（1）虽然动点M到两个定点F1，F2的距离为常数6，但由于这个常数等于|F1F2|，故动点M的轨迹是线段F1F2，故选D．（2）由806086kkk k->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，可得68k<<且7k≠，所以实数k的取值范围为(6，7)∪(7，8)．【名师点睛】准确理解椭圆的定义，明确椭圆定义中的限制条件，才能减少解题过程中的失误，从而保证解题的正确性．忽略对椭圆焦点位置的讨论从而导致错误已知椭圆的标准方程为2221(0)36x ykk+=>，并且焦距为8，则实数k的值为________________．【错解1】因为2c＝8，所以c＝4，由椭圆的标准方程知a2＝36，b2＝k2，a2＝b2＋c2，所以36＝k2＋42，即k2＝20，又k＞0，故25k=．【错解2】因为2c＝8，所以c＝4，由椭圆的标准方程知a2＝k2，b2＝36，a2＝b2＋c2，所以k2＝36＋42，即k2＝52，又k＞0，故213k=．【错因分析】当椭圆的焦点位置不确定时，求椭圆的标准方程需要进行分类讨论，而错解中忽略了对椭圆的焦点位置的讨论，从而导致错误．【正解】因为2c＝8，所以c＝4，①当焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝36，b2＝k2，a2＝b2＋c2，所以36＝k 2＋42，即k 2＝20，又k ＞0，故25k =；②当焦点在y 轴上时，由椭圆的标准方程知a 2＝k 2，b 2＝36，a 2＝b 2＋c 2，所以k 2＝36＋42，即k 2＝52，又k ＞0，故213k =．综上，25k =或213．【名师点睛】涉及椭圆方程的问题，如果没有指明椭圆焦点所在的位置，一般都会有两种可能的情形，不能顺着思维定式，想当然地认为焦点在x 轴上或y 轴上去求解．忽略椭圆的范围从而导致错误设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率32e =，已知点3(0,)2P 到椭圆的最远距离为7【错解】由题意可设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则22222222314c a b b e a a a -===-=，故2214b a =，即2a b =．设椭圆上的点(,)x y 到点P 的距离为d ，则222222222331()(1)()3()43222y d x y a y y b b =+-=-+-=-+++，所以当12y =-时，2d 取得最大值，从而d 取得最大值，所以2243(7)b +=，解得21b =，24a =．故所求椭圆的标准方程为2214x y +=．【错因分析】错解中“当12y =-时，2d 取得最大值”这一步的推理是错误的，没有考虑椭圆方程中y 的取值范围，事实上，由于点(,)x y 在椭圆上，所以b y b -≤≤，因此在求2d 的最大值时，应分类讨论．【正解】由题意可设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则22222222314c a b b e a a a -===-=，故2214b a =，即2a b =．设椭圆上的点(,)x y 到点P 的距离为d ，则222222222331()(1)()3()43222y d x y a y y b b =+-=-+-=-+++，若12b <，则当y b =-时，2d 取得最大值，从而d 取得最大值，于是223(7)()2b =--，解得31722b =->，与12b <矛盾，故12b ≥，所以当12y =-时，2d 取得最大值，从而d 取得最大值，所以2243(7)b +=，解得21b =，24a =．故所求椭圆的标准方程为2214x y +=．【名师点睛】准确把握椭圆定义中的限制条件，是正确解题的前提，在求解时，应做到步步有依据，这样才能避免出错．1．已知椭圆221102x y m m +=--，焦点在y 轴上，若焦距为4，则m 等于A ．4B ．5C ．7D ．82．椭圆22145x y +=的一个焦点坐标是A ．(3,0)B ．(0,3)C ．(1,0)D ．(0,1)3．已知椭圆221416x y +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为5，则点P 到另一个焦点的距离为A ．2B ．3C ．5D ．74．若焦点在x 轴上的椭圆2212x ym+=的离心率为12，则m =A B ．32 C ．83D ．235．已知ABC △的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC △的周长l 是A ．B ．6C ．D ．126．离心率为23，长轴长为6的椭圆的标准方程是 A ．22195x y +=B ．22195x y +=或22159x y +=C ．2213620x y +=D ．2213620x y +=或2212036x y +=7．如果椭圆2218125x y +=上一点M 到此椭圆一个焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，O 是坐标原点，则ON 的长为 A ．2 B ．4 C ．8D ．328．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=︒，则C 的离心率为A B ．13C ．12D ．39．椭圆221167x y +=上横坐标为2的点到右焦点的距离为________________．10．已知椭圆2211612x y +=，则离心率e 等于________________．11．已知方程2213+2x y k k +=-表示椭圆，则实数k 的取值范围为________________．12．若椭圆22189x y k +=+的离心率13e =，则实数k 的值为________________．13．已知椭圆的中心在原点，焦点1F ，2F 在x 轴上，且过点(4,3)A -．若12F A F A ⊥，求椭圆的标准方程．14．已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率e ．15．已知椭圆22:14x C y +=，(2,0)A ，点P 在椭圆C 上，且OP PA ⊥，其中O 为坐标原点，则点P 的坐标为 A ．222(,3B ．252()3± C ．222(,3-D ．252()3± 16．已知12,F F 为椭圆22:14x C y +=的左，右焦点，点P 在C 上，123PF PF =，则12cos F PF ∠等于A ．34 B ．13- C ．35-D ．4517．椭圆2212516x y +=的左，右焦点分别为12,F F ，弦AB 过1F ，若△2ABF 的内切圆周长为π，,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则12y y -值为 A ．53 B ．103C ．203D 5 18．如果椭圆221369x y +=的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是A ．20x y -=B ．280x y +-=C ．23140x y +-=D ．240x y +-=19．椭圆221259x y +=的左焦点为1F ，P 为椭圆上的动点，M 是圆22(25)1x y +-=上的动点，则1PM PF +的最大值是________________．20．在平面直角坐标系xOy 中，点M 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P 、Q 两点．若MPQ △为锐角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是________________．21．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率3e =，焦距是．（1）求椭圆的方程；（2）若直线2(0)y kx k =+≠与椭圆交于C 、D 两点，5CD =，求k 的值．22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，椭圆的左、右焦点分别是1F 、2F ，点M 为椭圆上的一个动点，12MF F △面积的最大值为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）P 为椭圆上一点，1PF 与y 轴相交于Q ，且112F P FQ =．若直线1PF 与椭圆相交于另一点R ，求2PRF △的面积．23．（2018新课标全国Ⅰ文）已知椭圆222:14x y C a +=的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为A ．13 B ．12 C ．22D ．2324．（2018新课标全国Ⅱ文）已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．12-B ．2CD 125．（2017新课标全国III ）已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A BC ．3D ．1326．（2018新课标全国Ⅱ）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23 B ．12 C ．13D ．1427．（2017新课标全国I 文）设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞28．（2018浙江）已知点()0,1P ，椭圆224()1x y m m +=>上两点A ，B 满足2AP PB =，则当m =________________时，点B 横坐标的绝对值最大．29．（2017新课标全国I ）已知椭圆C ：22221()0x y a b a b +=>>，四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–12），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．30．（2018北京文）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>k 的直线l与椭圆M 有两个不同的交点A ，B ．（1）求椭圆M 的方程；（2）若1k =，求||AB 的最大值；（3）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ，D 和点71(,)44Q -共线，求k ．31．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为26，求直线l 的方程．32．（2018天津）设椭圆22221x y a b +=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B A的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅= （1）求椭圆的方程；（2）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．若AQ AOQ PQ=∠(O 为原点)，求k 的值．33．（2018天津文）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B||AB =（1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．34．（2018新课标全国Ⅰ）设椭圆22:12xC y+=的右焦点为F，过F的直线l与C交于,A B两点，点M的坐标为(2,0)．（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：OMA OMB∠=∠．35．（2018新课标全国Ⅲ文）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：2||||||FP FA FB =+．36．（2018新课标全国Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆22143x yC+=：交于A，B两点，线段AB的中点为()()10M m m>，．（1）证明：12k<-；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP FA FB++=0．证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差．1．【答案】D【解析】因为焦点在y 轴上，所以2100m m ->->，即610m <<，又2(2)(10)2m m ---=，所以8m =，故选D ．2．【答案】D3．【答案】B【解析】设所求距离为d ，由题意得4a =．根据椭圆的定义得25253a d d a =+⇒=-=，故选B ． 4．【答案】B【解析】由题椭圆2212x y m +=焦点在x 轴上，且离心率为12，故213222m e m -==⇒=．故选B ． 5．【答案】C【解析】如图，设椭圆的另外一个焦点为F ，由椭圆的方程知3a =，则ABC △的周长()()443l AB AC BC AB BF AC CF a =++=+++==．故选C ．6．【答案】B【解析】由题意知2635223a a b c e c a =⇒=⎧⎪⇒=⎨==⇒=⎪⎩x 轴上时，22195x y+=；当焦点在y 轴上时，22159x y +=．故选B ．7．【答案】C【解析】∵椭圆方程为2218125x y+=，∴9a=，根据椭圆的定义得2=18216MF-=，而ON是△12MF F的中位线，∴216822MFON===，故选C．8．【答案】D【解析】设2PF x=，因为212PF F F⊥，1230PF F∠=︒，所以1122,3PF x F F x==，又12122,2PF PF a F F c+==，所以23,23a x c x==，所以椭圆的离心率为3cea==，故选D．9．【答案】2.510．【答案】12【解析】由椭圆的方程可知222116,12,16124,4,2,2a b c a c e==∴=-=∴==∴=．11．【答案】{|32k k-<<且1}2k≠-【解析】由椭圆的定义知30,20,32,kkk k+>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩解得32k-<<且12k≠-．故实数k的取值范围为{|32k k-<<且1}2k≠-．12．【答案】0或178【解析】由题意得222219938c aa ca b=⇒=⇒=，即8998k+=或8899k+=，解得0k=或178．13．【答案】2214015x y+=．【解析】设椭圆的标准方程为22221(0)x ya ba b+=>>，焦点1(,0)F c-，2(),F c．∵12F A F A⊥，∴12F A F A⋅=，而1(4,3)F A c=-+，2(4,3)F A c=--，∴2(4)(4)30c c -+--+=，∴225c =，即5c =，∴1(5,0)F -，2()5,0F ． ∵2222122(45)3(45)31090410a AF AF =+=-+++--+=+=， ∴210a =，∴22222(210)515b a c =-=-=．∴所求椭圆的标准方程为2214015x y +=．14．【答案】5．15．【答案】A【解析】设(,)P x y ，由OP PA ⊥得OP PA ⊥，所以(,)(2,)OP PA x y x y ⋅=⋅--=2(2)0x x y --=，与椭圆方程2214x y +=联立，解得23x =（2x =舍去），此时23y =±，即点P 的坐标为22(,)33±，故选A ． 16．【答案】B【解析】由题意可知，1224123F F =-=12222344PF PF PF PF PF +=+==， 211,3PF PF ∴==，2222221212121231(23)1cos 22313PF PF F F F PF PF PF +-+-∴∠===-⋅⨯⨯，故选B ．17．【答案】A【解析】由椭圆的标准方程可得5,4,3a b c ===，因为2ABF △的内切圆周长为π，所以2ABF △的内切圆的半径为12，而三角形内切圆半径R 和周长L 与三角形的面积S 的关系为12S LR =，所以2ABF △的面积为1145522⨯⨯⨯=，而2ABF △的面积又等于12AF F △和12BF F △的面积之和，即1212121622y y F F y y -⋅=-，所以1212535,3y y y y -=-=，故选A ．18．【答案】B19．【答案】17【解析】圆22(25)1x y +-=的圆心为(0,5)C ，半径为1．由椭圆方程221259x y +=可知2225,9a b ==，所以5a =，左焦点为1(4,0)F -，右焦点为()24,0F ．故221222210104+(25)=16PC PF PC a PF PC PF CF +=+-=+-≤+=-，所以1max 1max ()()117PM PF PC PF +=++=． 20．【答案】6251-- 【解析】过点M 作MD y ⊥轴，垂足为点D ，∵△PQM 是锐角三角形，∴π4QMD PMD ∠=∠<，2b c a<，∴2π2cos cos 42MD ac QMD QM b ∠==>=，22ac a c <-，化为222ac a c >-，22ac a c <-，∴2210e e ->，210e e +-<，解得622e >，512e <，故该椭圆离心率的取值范围是6251 (,)22--．21．【答案】（1）2213xy+=；（2）3k=±．【解析】（1）由题意得222c=，所以22c=，又6ca=，所以23a=，21b=，所以椭圆方程为2213xy+=．22．【答案】（1）22143x y+=；（2）157．【解析】（1）由已知条件得12cea==，1232c b bc⋅⋅==又222a b c=+，∴2a=，3b=1c=．∴椭圆C的方程为22143x y+=．（2）由112F P FQ=，知Q为1F P的中点，设()0,Q y，则()1,2P y，又P在椭圆上，所以可代入求得34y=，∴直线PF的方程为3(1)4y x=+．由223(1)4143y xx y⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y可得276130x x+-=，设11(),P x y，22(),R x y，则1267x x+=-，12137x x=-，∴1267y y+=，122728y y=-，∴22 1212121152()427PRFS c y y c y y y y=⋅⋅-=⋅+-=△．23．【答案】C【解析】由题可得2c=，因为24b=，所以2228a b c=+=，即22a=，所以椭圆C的离心率222e==，故选C．24．【答案】D25．【答案】A【解析】以线段12A A为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r a=，圆的方程为222x y a+=，直线20bx ay ab-+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即22d aa b==+，整理可得223a b=，即2223()a a c=-即2223a c=，从而22223cea==，则椭圆的离心率263cea===，故选A．26．【答案】D【解析】因为12PF F△为等腰三角形，12120F F P∠=︒，所以2122PF F F c==，由AP3得23tan PAF∠=所以2sin13PAF∠=，212cos13PAF∠=由正弦定理得2222sinsinPF PAFAF APF∠=∠，所以2221313π531211sin()3221313ca c PAF==+-∠⨯-⨯，所以4a c=，14e=，故选D．27．【答案】A【解析】当03m<<时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足120AMB∠=，则tan603ab≥=33m≥，得01m<≤；当3m>时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足120AMB∠=，则tan 603a b ≥=，即33m ≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞，故选A ． 28．【答案】5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =得122x x -=，1212(1)y y -=-，所以1223y y -=-，因为A ，B 在椭圆上，所以22114x y m +=，22224x y m +=，所以22224(23)4x y m +-=，所以224x +22324()m y -=，与22224x y m +=对应相减得234m y +=，2221(109)44x m m =--+≤，当且仅当5m =时取最大值．29．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析．（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t 24t -，（t ，24t -）．则221242421t t k k ---++==-，得2t =，不符合题设，从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）．将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=，由题设可知2216(41)0k m ∆=-+>．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841km k -+，x 1x 2=224441m k -+．而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=．由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=，即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++，解得12m k +=-，当且仅当1m >-时0∆>，于是l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--，所以l 过定点（2，1-）． 30．【答案】（1）2213x y +=；（26；（3）1k =．【解析】（1）由题意得222c =，所以2c =，又6c e a ==，所以3a =，所以2221b a c =-=，所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②，又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+，由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=，则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+，又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+，所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-，4471(,)44QD x y =+-，因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =．31．【答案】（1）2214x y +=，223x y +=；（2）①(2,1)，②532y x =+．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为0000()x yx x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以002,1x y ==．因此点P 的坐标为(2,1)．②因为三角形OAB 26，所以21 26AB OP ⋅=，从而27AB =．设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得22000001,22448(2)x y x x ±-=，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P 的坐标为1022．综上，直线l 的方程为532y x =-+．32．【答案】（1）22194x y +=；（2）111228或．【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知有2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得，FB a =，2AB b =，由62FB AB ⋅=，可得ab =6，从而a =3，b =2，所以椭圆的方程为22194x y +=．33．【答案】（1）22194x y +=；（2）12-．【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由22||13AB a b =+=，从而3,2a b ==，所以椭圆的方程为22194x y +=．（2）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =．易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y ，可得1294x k =+．由215x x =2945(32)k k +=+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-．当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意．所以k 的值为12-．34．【答案】（1）222y x =-+或222y x =-；（2）证明见解析．（2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则122,2x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--．由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--．将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=．所以21221222422,2121x x x k k k x k -+==++，则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+．从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠．综上，OMA OMB ∠=∠．35．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=．两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=．由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m =-，由题设得302m <<，故12k <-．（2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，．由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，，3||=2FP ．于是222211111||(1)(1)3(1)242x xFA x y x =-+=-+-=-，同理2||=22x FB -，所以1214()32FA FB x x +=-+=，故2||=||+||FP FA FB ．36．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，公差为32128或32128-．（2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=．由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =．于是222211111||(1)(1)3(1)242x x FA x x y =-+=-+-=-，同理2||22x FB =-，所以121||||4()32FA FB x x +=-+=，故2||||||FP FA FB =+，即||,||,||FA FP FB 成等差数列．设该数列的公差为d ，则1122212112||||||||||()422FB FA x x x x x x d =-=-=+-．①将34m =代入34k m =-得1k =-，所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=，故121212,28x x x x +==，代入①解得||28d =，所以该数列的公差为28或28-．。

人教版A版高中数学选修1-1：椭圆及其标准方程

y2 b2
1 ，（a b 0）.
焦点在y轴 :
y2 a2

x2 b2
1 ，（a b 0）.
例1 练习例2 小结
课后练习：
①推导椭圆焦点在y轴上的标准方程 ②习题8.1 3. ⑴ , ⑷
谢谢大家！
代入相应的标准形式…
思路二：待定系数法
判断出焦点所在坐标轴，设出相应方程… 列方程组，求a、b的值…
例1 练习例2 小结
课堂小结：
1. 椭圆定义
平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于|F1F2|) 的点的集合．
P={M | |MF1|＋|MF2|=2a }． 2.两种标准方程
焦点在x轴
： x2 a2
∴ a2＝25，c2＝16．∴ b2=a2－c2=9．
∴ 所求椭圆的标准方程为
例1 练习例2 小结
练习：
动点M到两个定点A（0，- 6）、B（0，6）的距离的和是20，求动点M的轨迹方程。
解： M到两焦点距离的和等于20 ，也就是2a=20
又由两个焦点的坐标得c= 6
∴ a2＝100，c2＝36． ∴ b2=a2－c2=64．
y2 x2
∴ 所求椭圆的标准方程为
1
100 64
例1 练习例2 小结
(2)两个焦点的坐标分Байду номын сангаас是A(0,－2)、B(0,2)，并且椭
圆经过点C (- 3 ,5 )的椭圆方程.
22
y
思路一：直接法
已知A、B、C三点坐标，
2B C
2a=|AC|+|BC|=…
C=2
O
x
b2 =a2－c2…
-2 A

高中数学人教A版选修1-1课件：2.1.1《椭圆及其标准方程》

(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
（问题：下面怎样化简？）
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
移项，再平方
(x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2
即：a2 cx a (x c)2 y2
焦点坐标
相 a、b、c 的关系同点焦点位置的判断
平于面常内数到（两大个于定F1F点2）F椭系1的，圆数点F2方为的的距轨程正离迹有加的特相和等点连
y 分母较大焦点y 定
P
右边数“1”F2记心P间
F1 O F2
x
O
x
F1
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
F1 -c , 0，F2 c , 0
条件的点都在曲线上（完备性）。
(证明一般省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明)
2.如何求椭圆的方程？
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
yy y
y
M
F1 O O OF2 x x x
y
M
F2
O
x
O
x
F1
方案一
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：“对称”、“简洁”
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
“天宫一号”与“神八” 将实现两次对接
压扁
椭圆的定义自己动手试试看:取出课前准备好的一条定长为6cm的细绳，把它的两端固定在画板上的F 1 和F 2 两点，用铅笔尖把细绳拉紧,使铅笔尖在图板上缓慢移动,仔细观察, 你画出的是一个什么样的图形呢?

高中数学人教版选修1-1：2.1.2-3 椭圆的简单几何性质课件(共9张PPT)教学课件

(第三课时)
一、知识回顾
1.点与椭圆的位置关系
点P在椭圆上
x02 a2
+
y02 b2
=1
点P在椭圆内
x02 a2
Hale Waihona Puke +y02 b2
<1
点P在椭圆外
x02 a2
+
y02 b2
>1
2.点与椭圆的位置关系
相交相切相离
两个一个 0个
△>0 △=0 △<0
3.弦长公式
∣ A B ∣ =1 + k 2 ∣ x 1 - x 2 ∣ =1 + k 2 × ( x 1 + x 2 ) 2 - 4 x 1 x 2 或 ∣ A B ∣ =1 + ( k 1 ) 2 ∣ y 1- y 2 ∣ =1 + ( k 1 ) 2× ( y 1+ y 2 ) 2- 4 y 1 y 2
焦点在x轴上的椭圆的标准方程中，准线方程为：x = ± a 2
l
c
M
d
F
四、精典例题例1
解: (1)
四、精典例题解: (2)
四、精典例题例2
解: (1) (2)
四、精典例题
五、巩固提升课堂作业第43页习题2.1B组第3题
当你的才华还撑不起你的野心时，你就该努力。心有猛虎，细嗅蔷薇。我TM竟然以为我竭尽全力了。能力是练出来的，潜能是逼出来的，习惯是养成的，我的成功是一步步走出来的。不要因为希望去坚持，要坚持的看到希望。最怕自己平庸碌碌还安慰自己平凡可贵。
二、新知探究
点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到
定直线l: x= 2 5 的距离的比是常数 4 ，求

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1、过椭圆22
:184
x y C +=上一点00(,)P x y 向圆22:4O x y +=引两条切线,,,PA PB A B 为切点，直线AB 与x 轴、y 轴交于,M N 两点．
（1）若0PA PB ⋅=，求P 点坐标；（2）求直线AB 的方程（用00,y x 表示）；（3）求△MON 面积的最小值．（O 为原点）。

2、椭圆12
222=+b y a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点. （1）求
2211b a +的值；（2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤2
2，求椭圆长轴的取值范围
3、椭圆2
214
x y +=的焦点为12,F F ，点M 在椭圆上，120MF MF ⋅=，则M 到y 轴的距离为：
4、如下图所示，探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和12a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122a c a c +=+；②1122a c a c -=-；③1212c a a c =；④
1212
c c a a <.其中正确式子的序号是( )
A 、①③
B 、②③
C 、①④
D 、②④ 5、已知P 是以12,F F 为焦点的椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上的一点，若120PF PF ⋅=，121tan 2
PF
F ∠=，则此椭圆的离心率为________
6、直线:0l x y -=与椭圆2
212
x y +=相交,A B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面积的最大值为
7、椭圆E 经过点(2,3)A ，对称轴为坐标轴，焦点12,F F 在x 轴上，离心率12
e =
(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠12F AF 的角平分线所在直线的方程．
8、如图，已知平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(3,0)F ，右顶点为
(2,0)D ，设点1(1,)2
A （1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程；
（3）过原点O 的直线交椭圆于点,B C ，求△ABC 面积的最大值。

9、已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于,A B 两点，OA OB +与(3,1)a =-共线.
（1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且(,)OM OA OB R λμλμ=+∈，证明22λμ
+为定值.
10、已知椭圆22221(y x a b a b
+=>>0)的左、右焦点分别为1(0)F c -,、2(0)F c ,,若椭圆上存在一点P 使1221
sin PFF sin PF F a c =,∠∠则该椭圆的离心率的取值范围为 .
11、已知实数y x ,满足12
42
2=+y x ,求x y x -+22的最大值为：最小值为：
12、如图，把椭圆22
12516
x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=
________________
13、椭圆19
162
2=+y x 上的点到直线l:09=-+y x 的距离的最小值为_________
14、椭圆19
162
2=+y x 的内接矩形的面积的最大值为。