高一数学二倍角的正弦余弦正切
人教版高中数学必修4-3.1《二倍角的正弦、余弦、正切公式》参考课件
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结论
(1) 2
2
(2) 4 2 2
例6 化简:
(1) sin400 (tan 100 3) (2)
解: (1) 原式
sin400
(
sin100 cos 100
例4
sin2 sin2
1 cos 2 1 cos 2
(
)
A tan B cot C sin
1 2sin2
D sin2
解:
原式
s in 2 s in 2
1 (1 2sin2 ) 1 (2cos 2 1)
s in 2 s in 2
(sin5 cos5)2 | sin5 cos5 | (sin5 cos5)
sin2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2
2cos 2 1 1 2sin2
tan
2
1
2 tan tan2
例5 用二倍角公式化简: (0 )
13
13
A 第一象限角
B 第二象限角
C 第三象限角
D 第四象限角
解
:
sin
12 13
, cos
5 13
,
sin2 2sin cos 2 12 ( 5 ) 120 0
13 13 169
cos 2 cos2 sin2 ( 5 )2 (12)2
(1 sin2 ) sin2 1 sin2 sin2 1 2sin2 cos 2 1 2sin2
sin2 2sin cos cos 2 cos2 sin2 2cos2 1
高一数学二倍角的正余弦、正切2
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13 13 169
cos2 cos2 sin2 (12)2 ( 5 )2 119
13 13 169
tan 2 sin 2 120 119 120 cos2 169 169 119
1、应用公式求三角函数值
练习.1、已知: cos
4 5
,
作业
1、(课外作业)P265练习A 2、3 P265习题A
2、复习本单元内容,写出总结提纲
再见
; https:///gushiyaowen/ 股市最新消息 ;
死不死の目标又是陆陆,气得对方声称请律师请媒体.余岚相信她说得出做得到,唯一庆幸の是自己妹子早早就离开了,相信她与这场纠纷无关.“算了,你去问问都有哪些媒体...你说什么?热点追踪の女主持?!”靠,她没听错吧?“你确定?”得到对方肯定の回答,余岚惊得呆了呆,随即反 应过来在田间飞奔回家找车子.那群白痴!余岚飞奔途中碰见同村の人开车经过,她忙截停并迅速打开车门坐进去.“小余,赶紧送我进云岭.”“岚姐,你急急忙忙去云岭干嘛?要不要帮忙?”车主是村里の一对年轻情侣,他们家の长辈在余总手下工作两家交情颇深.小俩口正在田间四处兜 风.“周家那群白痴把热点追踪の名记招来了,那群蠢货!一群大老爷们欺负一个外地女孩の事一旦传出去再被记者添油加醋,以后谁敢来这穷乡僻壤旅游?没人来以后大家就等着吃老本吧!”余岚抓狂了,首次在外人面前情绪失控.车里の小情侣被她の反应吓了一跳,“呃,岚姐,淡定淡 定...”“我怎么淡定?我辛辛苦苦搞宣传拉关系搞有机蔬菜为了什么?好不容易有些成绩可他们干了什么?正事没干过专在后方给我捣乱!”余岚气得眼前发黑,额边青筋微突.“好,你们姓周の最能耐是吧?以后休想再从我手中赚到一毛钱!”她目露狠色,咬着牙槽放出话来.在这一刻, 颇有其母の几分威严与气势.一向冷静の女人突然发火是很恐怖の,车内两人噤若寒蝉,不敢多劝.眼看车子即将来到东江桥,旁边却呼地飞速驶来一辆豪华小车恰巧也来到桥边,一个打弯抢了他们の道.靠,小余急忙刹车,待对方过了他才诅咒连连继续上路.“咦?那不是云大少の车吗?”副驾 の女孩惊讶道.“好像是,”小余也认出来了,“糟了岚姐,被他抢先了.”“由他去.”余岚瞥来一眼,余气未消,“梅林、下棠同气连枝,梅林の名声坏了,下棠村逃得了吗?”窝里争权很正常,外在名声要是没了他们还争个锅铲?一荣皆荣,一损皆损,姓云の肯定也收到风声赶着去补锅.余岚情 绪恢复稳定,思忖着等会儿该怎么说怎么做.并且一边琢磨,这些姓周の成事不足败事有余,经常帮着云家拖余家の后腿,她迟早要把他们挤出梅林村...此刻の云岭村里,常在欣来到紧闭不开の院门前敲了敲,扬声问:“有人在家吗?”吗字刚落,院门咔地一下开了,露出一张娴雅恬静の熟悉笑 脸.“欣姐,你来了.”陆羽温然笑道.“别叫得那么熟,”常在欣没好气地往里边瞧了一眼,看见四只大狼狗对她虎视眈眈,“把它们拴好,我同事有人怕狗.”“哦,你们先进来坐.”陆羽大开院门让她们进来,自己带着四只汪返回屋里取出狗绳,将它们拴在那间小空屋门前の桃树上,然后回屋里 沏茶端茶点.常在欣向外边招招手,“把车开到这边来.”门前の平地很宽敞,停放两辆车完全没问题.车里有很多资料,本地民风不咋滴,她得防着点.一群人搬着摄影工具涌进陆宅庭院,对里边の空旷清幽感叹不已.他们没进屋,把工具摆在一边像在采访似の,然后大家进凉亭纳凉休息.第169部 分“大家趁现在整理一下资料,吃过饭就走.”“这么快?”陆羽端了茶出来,他们已经在凉亭里开始忙碌起来,“话说你这次出来好多人.”“两个组当然多.”不必陆羽倒茶,常在欣自己拎起茶壶给同事们分别倒了,“他们处理昨天高速路の车灾忙到现在,刚好碰见我们返程.方医生是出来旅 游の,目击整场灾事所以一起走.”难怪这么多人.陆羽再端出两碟饼干给大家垫肚子,为免影响同事们の工作效率,两人来到一棵桃树下聊家常.“你帮我们订餐了?”“订了,就隔壁の餐厅.”“可以叫外卖吗?我们就在这儿吃.”太多资料不方便离开,更不方便拿去餐厅做.“行.”陆羽忙给 休闲居那边打电筒,周定康の情况她只字不问,安心等老卓の结果.院里有些泥土被挖松了,“你要在院里种菜?”常在欣一边喝茶一边打量房子和庭院.“先前种の,事情发生之后我就拔了,免得被撵出去便宜了别人.”“嗤,小气鬼.”常在欣对她不争气の行为相当鄙夷,不过,“你倒是好眼光, 选了这么一个地方.”环顾四周,想起一路上看见の风景,环境超好の.要不是有事忙她铁定过来住一阵子.“地方好有什么用?人不好住得不安稳.”常在欣笑了下,仿佛一点儿都不惊讶.“他们欺软怕硬惯了,瞧,卓律师一吼他们立马蔫吧.”说到这个,常在欣探究の目光打量着陆羽,眸里难得 露出满意之色,“居然主动出击维护自己の权益,嗯,不错,谁教の?”以前小丫头就像一个糯米团子谁都能搓两下,偏偏她年少轻狂以为凭才华能打倒一切魑魅魍魉而不屑一顾.要不师长们舍不得她为俗世之事烦恼帮她摆平,她早就被人摆平了.文老整天说她还小还小,不必着急成长...唉,常 在欣能理解他们の护犊之心,却不赞同他们の做法.可惜在那个群体里她一个外人没有发言权.陆羽沉吟片刻,说道:“林师兄.”他现在没提,以后一定会提,她提前说出来而已.常在欣一听,脸色变了,白她一眼,语气酸溜溜の.“看不出来,原来你们感情挺好の嘛.”陆羽知道她喜欢林师兄,不 禁嫣然,“是呀,他就像...”突然之间,听见外边哒哒哒の跑步声,有人来了.“陆陆!”一道人影闯入门口,神色略有些惶恐看着陆羽和一名打扮干练の女白领.不用猜,余岚一眼便认出那女白领是谁,她来迟了吗?“余岚?你怎么来了?”陆羽惊讶地望出来.“哈哈,陆陆,我能和 你聊聊吗?”余岚力持镇定讪然一笑,指指外边の平地,“很快の.”跟常记说是没用の,她不谈人情,眼里只有真相.“行,”陆羽看常在欣一眼,“你们先忙.”常在欣意味深长地瞅余岚一眼,眼神似笑非笑地点点头.来到平地外,隔着两辆车估计距离安全了.“陆陆,我求求你,别把事情闹大好 吗?”余岚恳求道.刚下车时她和云少说好分工合作,一个去休闲居摆平律师,一个来堵陆陆の嘴.陆羽看着她,“把事情闹大の人不是我,是周定康.”她一开始就说悔约可以了,是周定康一出比一出热闹,她完全是受害者好吗?总盼着她这个受害者妥协原谅,干嘛不直接劝加害者消停?“我知
高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式课件新人教A版必修
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2
sin
2
2
cos2 sin2
=2
2=
cos
=右边.
1 2cos sin 1 sin
22
所以 tan( π - )= cos . 4 2 1 sin
题型四 易错辨析 [例 4] 化简: 1 sin - 1 sin (θ∈(0,π)).
错解:原式= sin2 cos2 +2sin cos - sin2 cos2 2sin cos
2
= 1 (cos 2Acos 2B-sin 2Asin 2B+cos 2Acos 2B+sin 2Asin 2B) 2
=cos 2Acos 2B=右边,所以等式成立.
(2)cos2θ(1-tan2θ)=cos 2θ.
证明:(2)法一 左边=cos2θ(1- sin2 ) cos2
=cos2θ-sin2θ=cos 2θ=右边. 法二 右边=cos 2θ=cos2θ-sin2θ =cos2θ(1- sin2 )=cos2θ(1-tan2θ)=左边.
1 tan2 π
解:原式= 12 =-2·
12 =-2×
1
tan π
2 tan π
tan π
12
12
6
= 2 =-2 3 . 3 3
题型二 利用二倍角公式给值求值
[例 2] 已知 sin( π -x)= 5 ,0<x< π ,求 cos2x 的值.
4 13
4
cos
π 4
x
解:因为 0<x< π ,所以 π -x∈(0, π ).
cos 2
名师点津
对二倍角公式的理解 (1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义.
二倍角的正弦、余弦、正切公式
![二倍角的正弦、余弦、正切公式](https://img.taocdn.com/s3/m/56736d186c175f0e7dd1370d.png)
5 2 12 所以 cos 2 1 sin 2 1 ( ) 13 13
2
sin4 sin[ (2 )] 2 sin2 cos2 2
5 12 120 2 ( ) 13 13 169
理解公式的推导方法
S(α+β)
β=α
S2α
C2α
作 商
C(α+β)
作 商
T(α+β) β=α
T2α
返回
作业
教材P137面习题3.1 A组14、15、
18、19(2)(4)题
tan 2的值.
例5. 已知 tan 2, 求 sin 2 , cos 2 ,
tan 2的值.
2 tan sin 一般地: 2 1 tan2 2 1 tan cos 2 2 1 tan
万能公式 2 tan tan 2 2 1 tan
公式中角有什么特点?
cos 1 sin
2 2
cos2 cos sin
2 2
(1 sin ) sin
2 2
公式左端的角是右端 角的二倍
1 2 sin
2
灵活运用公式
sin 2 2 sin cos
cos2 cos2 sin 2 2 1 2sin 2 2cos 1
两倍角的正弦、余弦、 正切公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin tan tan tan 1 tan tan
二倍角的正弦、余弦、正切公式
![二倍角的正弦、余弦、正切公式](https://img.taocdn.com/s3/m/466fb595dd88d0d233d46a83.png)
归纳小结
(1)二倍角公式是和角公式的特例,体现了 二倍角公式是和角公式的特例, 二倍角公式是和角公式的特例 将一般化归为特殊的基本数学思想方法。 将一般化归为特殊的基本数学思想方法。 (2)二倍角公式与和角、差角公式一样,反 二倍角公式与和角、 二倍角公式与和角 差角公式一样, 映的都是如何用单角α的三角函数值表示 映的都是如何用单角 的三角函数值表示 复角( 的三角函数值, 复角(和、差、倍)的三角函数值,结合 前面学习到的同角三角函数关系式和诱导 公式可以解决三角函数中有关的求值、 公式可以解决三角函数中有关的求值、化 简和证明问题。 简和证明问题。
化简 sin 50 (1 + 3 tan10 )
o o
cos10o + 3 sin 10o o 解: 原式 = sin 50 ⋅ o cos10 o o 2 sin 40 = sin 50 ⋅ o cos10 o o 2 sin 40 = cos 40 ⋅ o cos10 o sin 80 = =1 o cos10
[例2]若270°<α<360°, 化简:
1 1 + 2 2
求值
1 1 + cos 2α 2 2
(1)cos80°cos40°cos20° (2)sin10°sin30°sin50°sin70°
例3
1+sin2 −cos2 θ θ 求 : 证 = tanθ 1+sin2 +cos2 θ θ
2
1 + 2 sin θ cos θ − (1 − 2 sin θ ) 证明: 证明:左边 = 2 1 + 2 sin θ cos θ + ( 2 cos θ − 1)
同样对于正切也有这样的结论
二倍角公式-高一数学(北师大版2019必修第二册)
![二倍角公式-高一数学(北师大版2019必修第二册)](https://img.taocdn.com/s3/m/8ad512d3c9d376eeaeaad1f34693daef5ff7135e.png)
a
4
4
(3) cos a
3
2__c_o_s_2__a6__
-1;
3a
2
3a 2
例1 已知tana 1,求tan 2a的值.
2
3.注意公式的各种变化,如: 4.注意公式的逆用:
例2 求下列各式的值:
(1)sin15 cos15 ; (2)cos2 - sin2 ;
8
8
2tan 22.5 (3) 1 - tan2 22.5 ;
cos 2a = cos(a + a) = cos a cos a – sin a sin a = cos2a – sin2a ;
tan 2a = tan(a + a)
利用 sin2a + cos2a = 1,cos2a 还可变为 cos 2a = cos2a – ( 1 - cos2a ) = 2cos2a - 1; cos 2a = ( 1- sin2a ) - sin2a = 1 - 2sin2a .
二倍角公式
sin 2a 2sina cosa ; S2α cos 2a cos2 a - sin2 a; C2α cos 2a 2cos2 a - 1;
cos 2a 1 - 2sin2 a;
tan 2a
1
2 tan a - tan2 a
.
T2α
练习1: 填空:
2a 2a
a
小结
1、二倍角正弦、余弦、正切公式
,且
,
2、注意正用 、逆用、变形
恒等变换的重要应用
. 求函数 y sin2 x + 2sin x cos x + 3cos 2 x 的周期,最大值和最小值. 分析:解析式化简到怎样的形式可解决问题?
5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修一
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2
2
即 cos 2α=cos α-sin α;tan(α+α)=
,即 tan 2α=
.
-
-
2.根据同角三角函数的基本关系sin2α+cos2α=1,能否只用sin α
或cos α表示cos 2α?
提示:cos 2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1;
=
+
+
-
=sin +cos +sin -cos =2sin .
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改
正?你如何防范?
提示:在去根号时,对 sin±cos的符号未加以讨论,导致化简
错误.
正解:原式= + + -
+
=
+
=
.
D.
)
探究三 利用倍角公式化简、证明
【例 3】 化简:
-
-
+
.
分析:首先切化弦,然后利用二倍角公式统一角,最后化简得结
果.
解:方法一:
原式=
-
-
·
=-
.
2.将本例变为“已知 sin
又 sin
二倍角的正弦、余弦、正切公式
![二倍角的正弦、余弦、正切公式](https://img.taocdn.com/s3/m/77ca66aad1f34693daef3e21.png)
α ≠ π + kπ , α ≠ π + kπ 2 4 2
k ∈Z
运用这些公式要注意如下几点: 运用这些公式要注意如下几点: (1)公式S2α、C2α中,角α可以是任意角;但公式 公式S 可以是任意角; 公式 kπ π π T2α只有当 α ≠ kπ + 且α ≠ + (k ∈ Z) 时 2 2 4 才成立,否则不成立。 才成立,否则不成立。 当α= =
= a2 + b2 ( sin x cosϕ + cos xsinϕ)
= a2 + b2 sin( x +ϕ) = a2 + b2 cos( x −θ )
练习
把下列各式化为一个角的三角函数形式
(1) 2 ( sinα + cosα )
3 1 (2) sinα − cosα 2 2
2 π 6 π (3) sin − x + cos − x 4 4 4 4
(2)sinα + cosα
3 1 (1) sinα + cosα 2 2
(3)asin x + b cos x
化 函数形式
asin x +bcos x
asin x +bcos x
2 2
为一个角的三角
a b = a +b sin x + cos x 2 2 a2 + b2 a +b a cosϕ = a2 + b2 令 b sinϕ = a2 + b2
π
π
4、 (1)求 数 = sin x + cos x的 域 函 y 值 .
(2)函数y = 3sin2x + 3 3cos2x +1 的最小 值是 对 应的x值是 ;最大值 是
人教版高中数学必修1《二倍角的正弦、余弦、正切公式》PPT课件
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明确目标
发展素养
1.能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导 1.通过公式的推导,培
出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
养逻辑推理素养.
2.能利用二倍角公式进行化简、求值、证明. 2.借助运算求值,提升
3.熟悉二倍角公式的常见变形,并能灵活应用. 数学运算素养.
• (一)教材梳理填空 • 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式:
x.
(2)证明:因为左边=33- +44ccooss
2A+2cos22A-1 2A+2cos22A-1
=11- +ccooss 22AA2=22csions22AA2=(tan2A)2=tan4A=右边,
所以33- +44ccooss
2A+cos 2A+cos
44AA=tan4A.
• [方法技巧]
解:原式= 2- 2+ 4cos2α2= 2- 2+2cosα2= 2- = 2-2cosα4= 4sin2α8. 因为 3π<α<4π,所以38π<α8<π2,所以 sinα8>0,故原式=2sinα8.
4cos2α4
•试分析该解题过程是否正确.若不正确,错在何处?并写 出正确的解题过程. •提示:错误,原因是运用倍角公式从里到外去掉根号时, 没有顾及角的范围而选择正、负号,导致错误.
正解如下:
因为 3π<α<4π,所以32π<α2<2π,34π<α4<π,38π<α8<π2,则 cosα2>0,cosα4<0,cosα8>0.
所以原式= 2- 2+ 4cos2α2= 2- 2+2cosα2= 2- 4cos2α4
= 2+2cosα4= 4cos2α8=2cosα8.
高一数学(两倍角公式(1))
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幂 式 升 公
复习巩固
1− cos 2α sin α = 2 幂 式 降 公 1 + cos2a 2 cos a = 2 2tanα 3、 α = tan2 2 1− tan α
2
题型一: 题型一:利用二倍角公式求值
例1 求下列各式的值: (1)sin15° cos15° (2) cos
C 的值. 求 tan 2 的值
44 117
题型二: 题型二:给值求值问题
1 例4、已知 sin α + cos α = 且0 < α < π , 3 求 sin 2α 和 cos 2α的值
1+sin2α=(sinα+cosα)2 + = +
题型二: 题型二:三角函数式恒等变形
cos x 例5、求函数f ( x) = 的值域. x π cos( + ) 2 4
小结作业
作业: 作业:
19,B组 (1) P138:14,15, 19,B组:2 ) P138: (2)《学海导航》第4课时 ) 学海导航》 课时
α
α
倍等等,这里蕴含着换元的思想. 倍等等,这里蕴含着换元的思想.
题型二: 题型二:给值求值问题 ,4 < α < 2 的值. 求 sin 4α, 4α, tan 4α 的值. cos 例2 已知
5 sin 2α = 13
π
π
题型二: 题型二:给值求值问题
4 ABC中 例3 在△ABC中,cos A = , tan B = 2, 5
1 1 2 2 例6、已知函数f ( x) = cos x- sin x 2 2 +1- 3sinxcosx,求f(x)的单调增区间.
小结作业
5.5.1二倍角的正弦余弦正切公式(第三课时))课件高一上学期数学人教A版(2019)
![5.5.1二倍角的正弦余弦正切公式(第三课时))课件高一上学期数学人教A版(2019)](https://img.taocdn.com/s3/m/c1f5bf31f4335a8102d276a20029bd64793e6260.png)
C(α + β)
C2α
的
旋
转
S(α – β)
S(α + β)
S2α
对
称
性
T(α – β)
T(α + β)
T2α
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布置作业
同步练习
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结束语
谢谢观看!
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知识点回顾
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
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知识点回顾
问题1 二倍角的正弦、余弦、正切公式
探究1:由S(α±β),C(α±β),T(α±β)是否能推导出sin2α, cos2α,tan2α的公式?
令β=α
S(α±β)
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探究新知识
探究1:由S(α±β),C(α±β),T(α±β)是否能推导出sin2α, cos2α,tan2α的公式?
令β=α
C(α±β)
新课引入
探究新知识
探究1:由S(α±β),C(α±β),T(α±β)是否能推导出sin2α, cos2α,tan2α的公式?
令β=α
T(α±β)
新课引入
探究新知识
探究2.思考:把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sinα或cosα形式的式子呢?
推导:由sin2α+ cos2α=1, 变形式:cos2α= cos2α-sin2α=1-sin2α-sin2α=1-2sin2α; cos2α= cos2α-sin2α=cos2α-(1- cos2α)=2cos2α-1;
人教版A2019-必修第一册
第五章 三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式 (第三课时)
二倍角的正弦、余弦、正切公式(高中数学)
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θ=2 3, 23
所以sin
2θ+cos
θ2=4, 2 3
即 1+2sin θ2cos θ2=43,
所以 sin θ=13,
所以 cos 2θ=1-2sin2θ=1-2×132=79.
答案:13
7 9
3.cos
1π2-sin
π 12cos
1π2+sin
1π2的值为________.
解析:原式=cos21π2-sin21π2
左边 -右边=0,右边=1;③分析法,从要证明的等式出发,一步 步寻找等式成立的条件.
1.若 α 为第三象限角,则
1+cos 2α- cos α
1-cos sin α
2α=________.
解析:因为 α 为第三象限角,所以 cos α<0,sin α<0,
所以 1+cos 2α- 1-cos 2α= 2cos2α- 2sin2α
=ccooss 22αα=1.
(2)证明:法一:左边=csoinsπ4π4++αα-csionsπ4π4--αα=
sinπ4+αcosπ4-α-sinπ4-αcosπ4+α cosπ4+αcosπ4-α
=cosisnπ4π4++ααs-inπ4π4++αα
=12sinsinπ2+2α2α=2csions 22αα=2tan 2α=右边. 所以等式成立.
1.已知 x∈-π2,0,cos x=45,则 tan 2x=(
)
A.274
B.-274
C.274
D.-274
解析:选 D.由 cos x=45,x∈-π2,0, 得 sin x=-35, 所以 tan x=-34, 所以 tan 2x=1-2tatnanx2x=12-×--34342 =-274,故选 D.
高中数学第五章三角函数二倍角的正弦余弦正切公式课件新人教A版必修第一册
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基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)二倍角的正弦、余弦公式的适用范围是任意角.( √ ) (2)存在角α,使得sin 2α=2sin α成立.( √ ) (3)对于任意的角α,cos 2α=2cos α都不成立.( × ) (4)对于任意角α,总有tan 2α=12−ttaann2αα.( × )
= sin θ + cos θ 2 + sin θ − cos θ 2 =|sin θ+cos θ|+|sin θ-cos θ| =-(cos θ+sin θ)+cos θ-sin θ =-2sin θ.
(2)证明:3+cos 4α-4cos 2α=8sin4α.
证明:左边=3+2cos22α-1-4cos2α =2(cos22α-2cos2α+1) =2(cos 2α-1)2 =2(1-2sin2α-1)2 =8sin4α =右边 所以等式成立.
3
(3)cos41π2-sin41π2=___2____.
解=c析os:21π原2-式si=n2(1πc2os21π2-sin21π2)(cos21π2+sin21π2) =cosπ6= 23.
题型 2 给值求值
例2 (1)已知sin(θ-π4)=232,则sin 2θ的值为(
)
A.79
B.-79
题型 1 给角求值 例1 求下列各式的值: (3)cos 20°·cos 40°·cos 80°.
解析:原式=2 sin 20° cos 20° cos 40° cos 80°
2 sin 20°
=2 sin 40° cos 40° cos 80°
4 sin 20°
=2 sin 80° cos 80°
A.2sin θ
高中数学 第1部分 第三章 3.1 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课件 新人教A版必修4
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2.在二倍角公式 T2α 中,α≠kπ+π2且 α≠kπ±π4(k∈Z).
[例 1] 求下列各式的值:
(1)sin
π 12
cos
π 12
=cos(4×360°+60°)
=cos 60°=12. (3)原式=tan(2×150°)=tan 300°=tan(360°-60°)
=-tan 60°=- 3.
(4)原式=cossi1n01°-0°co3ss1in0°10°=2(12cossin1100°-°co2s31s0in°10°)
=4(sin
[一点通] 这类三角函数求值问题常有两种解题途径:一是对 题设条件变形,将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数 名靠拢;另一种是对结论变形,将结论中的角、函数名向题设条 件中的角、函数名靠拢,以便将题设条件代入结论,即解题过程 既要结合已知条件,又要增强目标意识.
4.已知 sin α= 55,则 sin4α-cos4α 的值为
cos2
1π2)=-cos
π6=-
3 2.
答案:B
2.填空: (1)2sin 37.5°·cos 37.5°=________; (2)sin2 67.5°-cos2 67.5°=________; (3)1-tatnan72.57°.5°=________.
解析:(1)原式=sin (2×37.5°)=sin 75°=
6+ 4
2;
(2)原式=-cos 135°=cos 45°= 22;
(3)原式=12tan 15°=12tan(60°-45°)
常用三角函数二倍角公式
![常用三角函数二倍角公式](https://img.taocdn.com/s3/m/3da8e42f24c52cc58bd63186bceb19e8b9f6ec4d.png)
常用三角函数二倍角公式三角函数的二倍角公式是指将角度的大小加倍后,与原来角度的三角函数之间的关系。
常用的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数,它们的二倍角公式如下:1.正弦函数的二倍角公式:sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)2.余弦函数的二倍角公式:cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)3.正切函数的二倍角公式:tan(2θ) = (2tan(θ)) / (1 - tan²(θ))下面我们来逐一介绍这些二倍角公式的推导和应用。
1.正弦函数的二倍角公式的推导:要求sin(2θ),我们可以使用正弦函数的和差角公式:sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)将A和B都取为θ,我们有:sin(2θ) = sin(θ + θ) = sin(θ)cos(θ) + cos(θ)sin(θ) = 2sin(θ)cos(θ)这个二倍角公式在解决许多几何问题和三角方程时非常有用。
2.余弦函数的二倍角公式的推导:同样地,我们要求cos(2θ),可以使用余弦函数的和差角公式:cos(A ± B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)将A和B都取为θ,我们有:cos(2θ) = cos(θ + θ) = cos(θ)cos(θ) - sin(θ)sin(θ) = cos²(θ) - sin²(θ)这个二倍角公式常用于计算积分、证明等数学问题。
3.正切函数的二倍角公式的推导:我们要求tan(2θ),可以将tan(2θ)表示为sin(2θ)除以cos(2θ):tan(2θ) = sin(2θ) / cos(2θ)然后,我们将sin(2θ)和cos(2θ)用sin(θ)和cos(θ)来表示:sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)将这两个式子代入前面的tan(2θ)等式中,可以得到:tan(2θ) = (2sin(θ)cos(θ)) / (cos²(θ) - sin²(θ))这个二倍角公式在三角方程、极限计算等问题中经常使用。
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课 题:47二倍角的正弦、余弦、正切(3)教学目的:要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明,增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力 教学重点:二倍角公式的应用教学难点:灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式 授课类型:新授课 课时安排:1课时教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:一、复习引入: 二倍角公式:αααcos sin 22sin =;)(2αS ααα22sin cos 2cos -=;)(2αCααα2tan 1tan 22tan -=;)(2αT 1cos 22cos 2-=αααα2sin212cos -=)(2αC ' 22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 二、讲解新课:1.积化和差公式的推导sin(α + β) + sin(α - β) = 2sin αcos β⇒ sin αcos β =21[sin(α + β) + sin(α - β)] sin(α + β) - sin(α - β) = 2cos αsin β ⇒ cos αsin β =21[sin(α + β) - sin(α - β)] cos(α + β) + cos(α - β) = 2cos αcos β ⇒ cos αcos β =21[cos(α + β) + cos(α - β)] cos(α + β) - cos(α - β) = - 2sin αsin β⇒ sin αsin β = -21[cos(α + β) - cos(α - β)] 2.和差化积公式的推导若令α + β = θ,α - β = φ,则2φ+θ=α,2φ-θ=β 代入得: )sin (sin 21)]22sin()22[sin(212cos 2sin φ+θ=φ-θ-φ+θ+φ-θ+φ+θ=φ-θφ+θ∴2cos2sin 2sin sin φ-θφ+θ=φ+θ 2sin2cos 2sin sin φ-θφ+θ=φ-θ 2cos2cos 2cos cos φ-θφ+θ=φ+θ 2sin2sin 2cos cos φ-θφ+θ-=φ-θ 3.半角公式α+α-±=αα+±=αα-±=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sinαα-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan证:1︒在 α-=α2sin 212cos 中,以α代2α,2α代α 即得: 2sin 21cos 2α-=α ∴2cos 12sin 2α-=α 2︒在 1cos 22cos 2-α=α 中,以α代2α,2α代α 即得:12cos 2cos 2-α=α ∴2cos 12cos 2α+=α 3︒以上结果相除得:α+α-=αcos 1cos 12tan 24︒2tan 2cos2sin2cos2sin2)2sin 21(1sin cos 12αααααααα==--=- 2tan 2cos2sin12cos 212cos2sin2cos 1sin 2αααααααα==-+=+4.万能公式2tan 12tan2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan2sin 2222ααααααααα-=+-=+=证:1︒2tan 12tan22cos 2sin 2cos 2sin21sin sin 222α+α=α+ααα=α=α 2︒2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1cos cos 222222α+α-=α+αα-α=α=α 3︒2tan 12tan22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 222α-α=α-ααα=αα=α 三、讲解范例:例1已知5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ+θ,求3cos 2θ + 4sin 2θ 的值解:∵5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ+θ ∴cos θ ≠ 0 (否则 2 = - 5 )∴53tan 1tan 2-=-θ+θ 解之得:tan θ = 2∴原式572122421)21(3tan 1tan 24tan 1)tan 1(3222222=+⨯⨯++-=θ+θ⨯+θ+θ-= 例2已知π<α<π2,0<β<π-,tan α =31-,tan β =71-,求2α + β解:43tan 1tan 22tan 2-=α-α=α ∴1tan 2tan 1tan 2tan )2tan(-=βα-β+α=β+α 又∵tan2α < 0,tan β < 0 ∴π<α<π2223,02<β<π- ∴π<β+α<π22 ∴2α + β = 47π例3已知sin α - cos α = 21,π<α<π2,求2tan α和tan α的值解:∵sin α - cos α = 21 ∴212tan 12tan 12tan 12tan2222=α+α--α+α化简得:032tan 42tan 2=-α+α∴722121642tan±-=+±-=α ∵π<α<π2 ∴π<α<π22 ∴02tan <α即722tan --=α374725727410724)72(1)72(22tan12tan2tan 22-=++=----=-----=α-α=α 例4已知cos α - cos β = 21,sin α - sin β = 31-,求sin(α + β)的值解:∵cos α - cos β = 21,∴212sin 2sin 2=β-αβ+α- ①sin α - sin β =31-,∴312sin 2cos 2-=β-αβ+α- ②∵02sin ≠β-α ∴232tan -=β+α- ∴232tan =β+α∴13124912322tan 12tan 2)sin(2=+⨯=β+α+β+α=β+α 例5求证:sin3αsin 3α + cos3αcos 3α = cos 32α 证:左边 = (sin3αsin α)sin 2α + (cos3αcos α)cos 2α= -21(cos4α - cos2α)sin 2α + 21(cos4α + cos2α)cos 2α = -21cos4αsin 2α +21cos2αsin 2α +21cos4αcos 2α +21cos2αcos 2α= 21cos4αcos2α + 21cos2α = 21cos2α(cos4α + 1)=21cos2α2cos 22α = cos 32α = 右边 ∴原式得证 四、课堂练习:1已知α、β为锐角,且3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0求证:α+2β=2π证法1:由已知得3sin 2α=cos2β ①3sin2α=2sin2β ②①÷②得tan α=)22tan()22cos()22sin(2sin 2cos βπβπβπββ-=--=∵α、β为锐角∴0<β<2π,0<2β<π,-π<-2β<0, ∴-2π<2π-2β<2π∴α=2π-2β,α+2β=2π证法2:由已知可得: 3sin 2α=cos2β 3sin2α=2sin2β∴cos (α+2β)=cos α·cos2β-sin α·sin2β =cos α·3sin 2α-sin α·23sin2α =3sin 2αcos α-sin α·3sin αcos α=0又由α+2β∈(0,23π) ∴α+2β=2π证法3:由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧==βαβα2sin 2sin 32cos sin 322∴sin (α+2β)=sin αcos2β+cos αsin2β =sin α·3sin 2α+23cos α·sin2α =3sin α(sin 2α+cos 2α)=3sin α①②又由②,得3sin α·cos α=sin2β ③ ①2+③2,得9sin 4α+9sin 2αcos 2α=1∴sin α=31,即sin (α+2β)=1又0<α+2β<23π∴α+2β=2π评述:一般地,若所求角在(0,π)上,则一般取此角的余弦较为简便;若所求角在(-2π,2π)上,则一般取此角的正弦较为简便;当然,若已知条件与正切函数关系比较密切,也可考虑取此角的正切2在△ABC 中,sin A 是cos (B +C )与cos (B -C )的等差中项, 试求(1)tan B +tan C 的值(2)证明tan B =(1+tan C )·cot (45°+C ) (1)解:△ABC 中,sin A =sin (B +C )∴2sin (B +C )=cos (B +C )+cos (B -C ) ∴2sin B cos C +2cos B sin C =2cos B cos C ∵cos B cos C ≠0 ∴tan B +tan C =1(2)证明:又由上:tan β=1-tan C =(1+tan C )·CCtan 1tan 1+-=(1+tan C )·tan (45°-C )=(1+tan C )·cot (45°+C )3求值:140cos 40cos 2)40cos 21(40sin 2-︒+︒︒+︒解:原式=︒+︒︒+︒=︒+︒︒︒+︒40cos 80cos 80sin 40sin 40cos 80cos 40cos 40sin 240sin 360tan 20cos 60cos 220cos 60sin 2=︒=︒︒︒︒= 五、小结 通过这节课的学习,要掌握推导积化和差、和差化积公式(不要另外,要注意半角公式的推导与正确使用 六、课后作业:1如果|cos θ|=51,25π<θ<3π,则sin 2θ的值等于( ) 515D. 515C. 510B. 510A.--2设5π<θ<6π且cos2θ=a ,则sin 4θ等于( )21D. 21C. 21B. 21A.aa a a --+---+-3已知tan76°≈4,则tan7°的值约为( )158D. 178C.417B. 417A.+- 4tan12π-cot 12π的值等于 5已知sin A +cos A =1,0<A<π,则tan6A= 已知tan α、tan β是方程7x2-8x+1=0的两根,则tan2βα+=7设25sin 2x+sin x-24=0且x是第二象限角,求28已知cos2θ=32,求sin 4θ+cos 4θ的值 9求证.2tan cos 1cos 2cos 12cos 4cos 14sin xx x x x x x =+⋅+⋅+参考答案:1C 2D 3A -23 52-3 6-221734 8 1811 9 x x x x x x cos 1cos 2cos 12cos 4cos 14sin +⋅+⋅+xx x x x cos 1cos 2cos 12cos 2tan +⋅+⋅= x x x x cos 1cos 2cos 12sin +⋅+=x x x cos 1cos tan +⋅=x x cos 1sin +=.2tan x = 七、板书设计(略) 八、课后记:。