大学应用物理第三章习题答案

第三章 能量定理和守恒定律

3-5一圆锥摆的摆球在水平面上作匀速圆周运动。已知摆球质量为m ，圆半径为R ，摆球速率为v ，当摆球在轨道上运动一周时，作用在摆球上重力冲量的大小为多少？

解 一周内作用在摆球上重力冲量的大小为 2P R

I m gdt m g t m g

πυ

=

=∆=⎰

3-6用棒打击质量为0.3Kg 、速率为20m/s 的水平飞来的球，球飞到竖直上方10 m 的高度。求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为0.02s ，求球受到的平均冲力。

解 因球飞到竖直上方过程中，只有重力作功，由机械能守恒定律得 2

212

m g h m υ=

2υ=

由冲量的定义可得棒给予球的冲量为 21I m j m i υυ=+ 其冲量大小为

()7.32I N S =

=⋅

球受到的平均冲力为 t F I ⋅=__

()N t

I F 366

__

==

3-7质量为M 的人，手里拿着一个质量为m 的球，此人用与水平线成θ角的速度0v 向前跳去。当他达到最高点时，将物体以相对人的速度μ水平向后抛出，求由于物体的抛出，跳的距离增加了多少?（假设人可视为质点）

解 把人与物视为一系统，当人跳跃到最高点处，在向左抛物的过程中，满足动量守恒，故有 ()()0c o s M m M m υθυυμ+=+-

式中v 为人抛物后相对地面的水平速率，μ-v 为抛出物对地面的水平速率，得 0c o s

m M m

υυθμ=++

人的水平速率的增量为

0cos m M m

υυυθμ∆=-=

+

而人从最高点到地面的运动时间为 0sin t g

υθ=

所以，人跳跃后增加的距离为 ()0sin m x t M m g

υθ

υμ∆=∆=

+

3-8 一质量为m ＝2kg 的物体按()m t x 22

13

+=的规律作直线运动，求当物体由m x 21=运动到

m x 62=时，外力做的功。

解 由22

13

+=t x ，可得

2

32dx t dt

υ=

=

当物体在m x 21=处时，可得其时间、速度分别为

22

123

1+=

t ()s t 01=

()2

1

13002

m s

υ-=

⨯=⋅

当物体在m x 62=处时，可得其时间、速度分别为

22

163

2+=

t ()s t 22=

()2

1

23262

m s

υ-=

⨯=⋅

则外力做的功为 ()2

2

21113622

W m m J υυ=

-

=

3-9求把水从面积为250m 的地下室中抽到街道上来所需作的功。已知水深为1.5m ，水面至街道的距离为5m 。

解 将地下室中的水抽到街道上来所需作的功为 ⎰

+=1

00

h h h sghdh W ρ

()012

1221h h h gs +=ρ

(

)

5.1525.1508.9100.12

12

3

⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=

()J 6

10

23.4⨯=

3-10如图所示，一个质量M ＝2kg 的物体，从静止开始，沿着四分之一的圆周，从A 滑到B ，在B 处时速度的大小是6m/s 。已知圆的半径R ＝4m ，求物体从A 到B 的过程中，摩擦力所作的功。

解 以物体和地球为一系统，物体滑动过程中，受重力作功和摩擦力作功，由功能原理可得摩擦力所作的功为

2

1(0)2

f W m m gR υ=+

- ()2

142.42f W m gR m J υ

=-+

=-

3-11最初处于静止的质点受到外力的作用，该力的冲量为s N ⋅00.4，在同一时间间隔内，该力所作的功为J 00.2，问该质点质量是多少？

3-10题图

3-9题图

解 由于质点最初处于静止，因此，初动量00=p ，初动能00=k E ，根据动量定理和动能定理分别有 p p p p I =-=∆=0 k k k k E E E E W =-=∆=0 而 m

I

m

p

mv

E k 222

12

2

2

=

=

=

所以 kg W

I

E I

m k

00.4222

2

==

=

3-12 如图所示，A 球的质量为m ，以速度u 飞行，与一静止的小球B 碰撞后，A 球的速度变为1v 其方向与u 方向成090，B 球的质量为5m ，它被撞后以速度2v 飞行，2v 的方向与u 成θ (5

3arcsin =θ)角。

求：

(1)求两小球相撞后速度12υυ、的大小； (2)求碰撞前后两小球动能的变化。

解 取A 球和B 球为一系统，其碰撞过程中无外力作用，由动量守恒定律得 水平： 25cos m u m υθ= （1） 垂直： 2105sin m m υθυ=- （2） 联解（1）、（2）式，可得两小球相撞后速度大小分别为 134u υ=

214

u υ=

碰撞前后两小球动能的变化为 2

2

2

32

7214321

mu mu u m E KA

-

=-⎪⎭⎫

⎝⎛=∆

2

2

32504521

mu u m E KB

=-⎪⎭

⎫ ⎝⎛⨯⨯=∆ 3-13 一质量为10g 、速度为1

200-⋅s m 的子弹水平地射入铅直的墙壁内0.04m 后而停止运动，若墙壁的阻力是一恒量，求墙壁对子弹的作用力。

解 以子弹为研究对象，子弹在水平地射入铅直的墙壁内后，在水平方向上只受墙壁的阻力作用，则有

2

2

00

112

2

x f dr m m υυ⋅=

-

⎰

2

0102

f x m υ=-

()2

3

05102m f N x

υ=-

=-⨯

3-14一质量为m 的质点在x-y 平面内运动，其位置矢量为tj b ti a r ωωsin cos +=，其中a ，b 和ω均是正常数 试证明该质点对于坐标原点角动量守恒。

解 由tj b ti a r ωωsin cos +=可得

3-12题图