大学应用物理第三章习题答案

第三章 能量定理和守恒定律
3-5一圆锥摆的摆球在水平面上作匀速圆周运动。

已知摆球质量为m ，圆半径为R ，摆球速率为v ，当摆球在轨道上运动一周时，作用在摆球上重力冲量的大小为多少？
解 一周内作用在摆球上重力冲量的大小为 2P R
I m gdt m g t m g
πυ
=
=∆=⎰
3-6用棒打击质量为0.3Kg 、速率为20m/s 的水平飞来的球，球飞到竖直上方10 m 的高度。

求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为0.02s ，求球受到的平均冲力。

解 因球飞到竖直上方过程中，只有重力作功，由机械能守恒定律得 2
212
m g h m υ=
2υ=
由冲量的定义可得棒给予球的冲量为 21I m j m i υυ=+ 其冲量大小为
()7.32I N S =
=⋅
球受到的平均冲力为 t F I ⋅=__
()N t
I F 366
__
==
3-7质量为M 的人，手里拿着一个质量为m 的球，此人用与水平线成θ角的速度0v 向前跳去。

当他达到最高点时，将物体以相对人的速度μ水平向后抛出，求由于物体的抛出，跳的距离增加了多少?（假设人可视为质点）
解 把人与物视为一系统，当人跳跃到最高点处，在向左抛物的过程中，满足动量守恒，故有 ()()0c o s M m M m υθυυμ+=+-
式中v 为人抛物后相对地面的水平速率，μ-v 为抛出物对地面的水平速率，得 0c o s
m M m
υυθμ=++
人的水平速率的增量为
0cos m M m
υυυθμ∆=-=
+
而人从最高点到地面的运动时间为 0sin t g
υθ=
所以，人跳跃后增加的距离为 ()0sin m x t M m g
υθ
υμ∆=∆=
+
3-8 一质量为m ＝2kg 的物体按()m t x 22
13
+=的规律作直线运动，求当物体由m x 21=运动到
m x 62=时，外力做的功。

解 由22
13
+=t x ，可得
2
32dx t dt
υ=
=
当物体在m x 21=处时，可得其时间、速度分别为
22
123
1+=
t ()s t 01=
()2
1
13002
m s
υ-=
⨯=⋅
当物体在m x 62=处时，可得其时间、速度分别为
22
163
2+=
t ()s t 22=
()2
1
23262
m s
υ-=
⨯=⋅
则外力做的功为 ()2
2
21113622
W m m J υυ=
-
=
3-9求把水从面积为250m 的地下室中抽到街道上来所需作的功。

已知水深为1.5m ，水面至街道的距离为5m 。

解 将地下室中的水抽到街道上来所需作的功为 ⎰
+=1
00
h h h sghdh W ρ
()012
1221h h h gs +=ρ
(
)
5.1525.1508.9100.12
12
3
⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=
()J 6
10
23.4⨯=
3-10如图所示，一个质量M ＝2kg 的物体，从静止开始，沿着四分之一的圆周，从A 滑到B ，在B 处时速度的大小是6m/s 。

已知圆的半径R ＝4m ，求物体从A 到B 的过程中，摩擦力所作的功。

解 以物体和地球为一系统，物体滑动过程中，受重力作功和摩擦力作功，由功能原理可得摩擦力所作的功为
2
1(0)2
f W m m gR υ=+
- ()2
142.42f W m gR m J υ
=-+
=-
3-11最初处于静止的质点受到外力的作用，该力的冲量为s N ⋅00.4，在同一时间间隔内，该力所作的功为J 00.2，问该质点质量是多少？
3-10题图
3-9题图
解 由于质点最初处于静止，因此，初动量00=p ，初动能00=k E ，根据动量定理和动能定理分别有 p p p p I =-=∆=0 k k k k E E E E W =-=∆=0 而 m
I
m
p
mv
E k 222
12
2
2
=
=
=
所以 kg W
I
E I
m k
00.4222
2
==
=
3-12 如图所示，A 球的质量为m ，以速度u 飞行，与一静止的小球B 碰撞后，A 球的速度变为1v 其方向与u 方向成090，B 球的质量为5m ，它被撞后以速度2v 飞行，2v 的方向与u 成θ (5
3arcsin =θ)角。

求：
(1)求两小球相撞后速度12υυ、的大小； (2)求碰撞前后两小球动能的变化。

解 取A 球和B 球为一系统，其碰撞过程中无外力作用，由动量守恒定律得 水平： 25cos m u m υθ= （1） 垂直： 2105sin m m υθυ=- （2） 联解（1）、（2）式，可得两小球相撞后速度大小分别为 134u υ=
214
u υ=
碰撞前后两小球动能的变化为 2
2
2
32
7214321
mu mu u m E KA
-
=-⎪⎭⎫
⎝⎛=∆
2
2
32504521
mu u m E KB
=-⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⨯=∆ 3-13 一质量为10g 、速度为1
200-⋅s m 的子弹水平地射入铅直的墙壁内0.04m 后而停止运动，若墙壁的阻力是一恒量，求墙壁对子弹的作用力。

解 以子弹为研究对象，子弹在水平地射入铅直的墙壁内后，在水平方向上只受墙壁的阻力作用，则有
2
2
00
112
2
x f dr m m υυ⋅=
-
⎰
2
0102
f x m υ=-
()2
3
05102m f N x
υ=-
=-⨯
3-14一质量为m 的质点在x-y 平面内运动，其位置矢量为tj b ti a r ωωsin cos +=，其中a ，b 和ω均是正常数 试证明该质点对于坐标原点角动量守恒。

解 由tj b ti a r ωωsin cos +=可得
3-12题图
sin cos dr a ti b tj dt
υωωωω=
=-+
(
)
tj b ti a m dt
dv m
ma F ωωωω
sin cos 2
2
--===
()[
]
r m tj ti a m F 2
2
sin cos ωωωω
-=+-=
即质点在运动过程中，只受向心力作用，且向心力对坐标原点的力矩为零，所以该质点对于坐标原点角动量守恒。

3-15在光滑的水平面上有—木杆，其质量kg m 0.11=，长cm l 40=，可绕通过其中点并与之垂直的轴转动。

一质量为g m 102=的子弹，以s m v /1022⨯=的速度射入杆端，其方向与杆及轴正交。

若子弹陷入杆中，试求所得到的角速度。

解 以子弹和木杆为一系统，根据角动量守恒定律 ()/212ωωJ J J +=
/222
12221222ω⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛l m l m l v l m
()(
)1
212/
1.2936-⋅=+=
s
rad l
m m v
m ω
3-16 一质量为kg 0.20的小孩，站在一半径为m 00.3、转动惯量为2450m kg ⋅的静止水平转台的边缘上，此转台可绕通过转台中心的竖直轴转动，转台与轴间的摩擦不计。

如果此小孩相对转台以100.1-⋅s m 的速率沿转台边缘行走，问转台的角速率有多大?
解 由相对角速度的关系，小孩相对地面的角速度为 010R
υ
ωωωω=+=+
以小孩和转台为一系统，由于系统初始是静止的，根据系统的角动量守恒定律，有 ()010100=++ωωωJ J
2
0000J m R R υωω⎛⎫
++
= ⎪⎝
⎭
()1
201052.9--⋅⨯-=s rad ω
式中负号表示转台的方向与人对地面的转动方向相反。

3-17 一质量为m 的地球卫星，沿半径为E R 3的圆轨道运动，E R 为地球的半径。

已知地球的质量为E m ，求：(1)卫星的动能；(2)卫星的引力势能；(3)卫星的机械能
解 （1）卫星与地球之间的万有引力提供卫星作圆周运动的向心力，由牛顿定律可得 ()
2
2
33E E
E m m
G
m
R R υ
=
则 2
12
6E k E
m m E m G
R υ=
=
（2）取与卫星、地球相距无限远（∞→r ）时的势能为零，则处在轨道上的卫星所具有的势能为
3-15题图
E
E P R m m G
E 3-=
（3）卫星的机械能为 E
E E
E E
E P K R m m G
R m m G
R m m G
E E E 636-=-=+=
3-18如图所示，一质量为m 的子弹在水平方向以速度v 射入竖直悬挂的靶内，并与靶一起运动，设靶的质量为M ，求子弹与靶摆动的最大高度。

解 取子弹和靶为一系统，子弹与靶棒碰撞过程中无水平外力作用，由动量守恒定律得 ()1m m M υυ=+ （1） 子弹与靶在摆动过程中，只有重力作功，机械能守恒，则由机械能守恒定律得
()()2
112
m M m M gh υ+=+ （2）
联解（1）、（2）式可得子弹与靶摆动的最大高度为 ()
2
2
2
2m h g m M υ
=
+
3-19 如图所示，质量为m 的钢球。

系在长为l 的绳子的—端，绳子的另一端固定。

把绳拉到水平位置后，再把球由静止释放，球在最低点与—质量为M 的钢块作完全弹性碰撞，问碰撞后钢球能达多高?
解 球由静止释放过程中，只有重力作功，由机械能守恒定律得
2
112
m g l m υ=
1υ=
（1）
以球和钢块为一系统，球在最低点与钢块作完全弹性碰撞中，无水平方向外力作用，则有
12m m M V υυ=-+ （2） 2
2
2
1211122
2
m m M V υυ=
+
（3）
2212m m g h υ= （4）
联解（1）、（2）、（3）、（4）可得钢球能达到的高度为 ()()2
2m M l
m M h +-=
3-20长为l 质量为0m 的细棒可绕垂直于一端的水平轴自由转动。

棒原来处于平衡状态。

现有一质量为m 的小球沿光滑水平面飞来正好与棒下端相碰(设碰撞完全弹性)使杆向上摆到0
60=θ。

如图所示，求小球的初速度。

解 取小球和棒为一系统，小球与棒碰撞过程中，外力对转轴力矩为零，则由角动量守恒定律得
2
0013m l J m l m l m l υωυωυ=-=
- （1）
又小球与棒碰撞为完全弹性碰撞，则有
2
2
2
011122
2
m m J υυω=
+
（2）
棒在摆动过程中，只有重力作功，机械能守恒，则由机械能守恒定律得
()0
02
60cos 12
21-=l g
m J ω
（3）
联解（1）、（2）、（3）可得小球的初速度为
0υ=
3-21 如图所示，在光滑的水平面上有一轻质弹簧（其劲度系数为k ），它的一端固定，另一端系一质量为1m 的滑块。

最初滑块静止时，弹簧呈自然长度0l ，今有一质量为2m 的子弹以速度0υ沿水平方向并垂直于弹簧轴线射向滑块且留在其中，滑块在水平面内滑动，当弹簧被拉伸至长度l 时，求滑块速度的大小和方向。

解 设子弹嵌入滑块后的共同速度为A v ，由动量守恒定律得 ()2012A m m m υυ=
+
再由机械能守恒定律得
()()()2
2
2
120121112
2
2
A B
m m k l l m m υυ+=
-+
+ 可解得当弹簧被拉伸至长度l 时，滑块速度的大小为
B υ=
由角动量矩守恒得
()0201
2s i n B l m l m m υυθ=+
()()
212
020
2
2
20a r c s i n m m l l k v m l v m
l +-
-=
θ。