3-8.曲率及其应用

一、正文编写思路及特点：
思路：首先复习弧微分的相关知识，然后导出曲率概念。

特点：通过介绍生活中的实际现象，引出“弯曲程度”这一概念，使得抽象概念具体化，学生更容易接受。

二、授课部分
（一）复习引入
曲线的弧微分和曲线的凹凸性（弯曲方向）
（二）新课讲授 1、曲率的概念
曲线的弯曲程度对于工程学来说有着非常重要的作用，那么曲线的弯曲程度到底跟哪些因素相关呢？观察下图：
（1）图1中，12M M 与23M M 弧长相等，23M M 的切线转角β比12
M M 的切线转角α大，23M M 比12M M 弯曲程度大。

（2）图2中，12M M 与12N N 的切线转角相等，12N N 比12M M 弧长短，12N N 比12M M 弯曲程度大。

总结：曲线的弯曲程度与转角成正比与弧长成反比。

据此，我们给出曲率的定义。

当C 上的动点从M 移到M ′时，切线转过了角度Δα（称为转角），而所对应的弧增量Δs =
M M '.
定义1：若将单位弧段上切线转角的大小称为M M '的平均曲率，记为k ，则
k =
s
α
∆∆. 将上述平均曲率当Δs →0（即M ′→M ）时的极限，即
k =0
lim
s ∆→s α∆∆=d d s
α
称为曲线C 在点M 处的曲率。

特别的，对于直线，倾角α始终不变，故Δα=0，从而k =0，即“直线不弯曲”。

对于圆，设半径为R ，由图4知，任意两点M ，M '处圆之切线所夹的角Δα等
于中心角MDM '∠，而MDM '∠=s
R
∆，于是
s α∆∆=s R s ∆∆=1
R
，故 k =0
lim
s ∆→s α∆∆=1
R
. 图4
即圆上任一点处的曲率都相等且等于其半径的倒数。

若半径无限增大，则曲率就无限趋近于零。

从这个意义上看，直线是半径为无穷大的圆。

2、曲率的计算方法
（1）一般曲线方程曲率计算公式
设曲线方程为()y f x =，且()f x 具有二阶导数.由于tan y α'=，
2csc 41)cos 1(2csc 21)(2
cos )cos 1(sin 4222
t a t a t dt
dx dx dy dt d dx y d t t a t a dx dy -=--=
==-= 故得曲率
2csc 41)
2
cot 1(2csc 412
3
24
t a t t a k =+= 令,3
π
=
t 得
a
k 21=
向学生简单介绍曲率在工程技术上的一些应用
（四）曲率的一些简单应用
（1）曲率圆与曲率半径
设光滑曲线C 上点M 处的曲率为k （k≠0）.在C 上点M 作法线，
并在凹向一侧取点D ，使得R k
DM ==1
,以D 为圆心，R 为半径作
圆，⊙D 为曲线C 在点M 处的曲率圆,圆心D 称为C 在点M 处的曲率中心,R 称为C 在点M 处的曲率半径，如图5所示.
图5
故曲线y=f(x)在点M 的曲率圆有下列性质: (1)在点M 处的曲率与曲线的相同;
(2)在点M 处与曲线相切,且在切点附近有相同凹凸性.
由性质(2)还可知道,点M 处曲率圆的圆心位于曲线在该点的法线上.
小结：对于曲线)(x f y =在点0x 处，圆心为),(b a ，半径为R 的曲率圆的计算公式为
)()]([1)(02
00x f x f x f b '''++
=
)
(}
)]([1{)()]([1)
(02
32002
000x f x f R x f x f x f x a '''+=
'''+'-=
（2）曲率的应用实例
(选讲)例3 用圆柱形铣刀加工一弧长不大的椭圆形工件，该段弧的中点为椭圆长轴的顶点，该椭圆的方程为（单位为mm ）
22
2214050
x y += 应选用多大直径的铣刀，可得较好的近似效果？（二级）
解 顶点坐标为)50,0(，将方程改写为
216004
5
x y -=
则 32
1,000=
''='==x x y y 代入曲率半径公式可得32=R （mm ）
所以，应选用直径为64mm 的铣刀，可得较好的近似效果.
例4 某工件内表面的型线为y=0.4x 2,现要用砂轮磨削内表面,问应选多大直径的砂轮?（二级）
解 为使磨削时不会多磨掉不应磨去的部分,砂轮半径应不超过抛物线上各点处曲率半径的最小值，如图6所示.
图6
对于y=0.4x 2,有y′=0.8x,y″=0.8.曲率半径最小,应是曲率最大,而
k=
()3
22
0.810.8x ⎡⎤+⎣⎦
.
当x=0时，k 取最大值0.8,即顶点处曲率最大,因而有
R=1
k
=1.25, 故砂轮直径不得超过2.50单位长.
三、能力反馈部分（考查学生对曲线曲率求法的掌握情况）
（1）计算抛物线y=4x -x 2在它顶点处的曲率.（一级）。