3-8.曲率及其应用

一、正文编写思路及特点：

思路：首先复习弧微分的相关知识，然后导出曲率概念。 特点：通过介绍生活中的实际现象，引出“弯曲程度”这一概念，使得抽象概念具体化，学生更容易接受。

二、授课部分

（一）复习引入

曲线的弧微分和曲线的凹凸性（弯曲方向）

（二）新课讲授 1、曲率的概念

曲线的弯曲程度对于工程学来说有着非常重要的作用，那么曲线的弯曲程度到底跟哪些因素相关呢？观察下图：

（1）图1中，12M M 与23M M 弧长相等，23M M 的切线转角β比12

M M 的切线转角α大，23M M 比12M M 弯曲程度大。

（2）图2中，12M M 与12N N 的切线转角相等，12N N 比12M M 弧长短，12N N 比12M M 弯曲程度大。

总结：曲线的弯曲程度与转角成正比与弧长成反比。 据此，我们给出曲率的定义。 当C 上的动点从M 移到M ′时，切线转过了角度Δα（称为转角），而所对应的弧增量Δs =

M M '.

定义1：若将单位弧段上切线转角的大小称为M M '的平均曲率，记为k ，则

k =

s

α

∆∆. 将上述平均曲率当Δs →0（即M ′→M ）时的极限，即

k =0

lim

s ∆→s α∆∆=d d s

α

称为曲线C 在点M 处的曲率。

特别的，对于直线，倾角α始终不变，故Δα=0，从而k =0，即“直线不弯曲”。

对于圆，设半径为R ，由图4知，任意两点M ，M '处圆之切线所夹的角Δα等

于中心角MDM '∠，而MDM '∠=s

R

∆，于是

s α∆∆=s R s ∆∆=1

R

，故 k =0

lim

s ∆→s α∆∆=1

R

. 图4

即圆上任一点处的曲率都相等且等于其半径的倒数。若半径无限增大，则曲率就无限趋近于零。从这个意义上看，直线是半径为无穷大的圆。

2、曲率的计算方法

（1）一般曲线方程曲率计算公式

设曲线方程为()y f x =，且()f x 具有二阶导数.由于tan y α'=，

2csc 41)cos 1(2csc 21)(2

cos )cos 1(sin 4222

t a t a t dt

dx dx dy dt d dx y d t t a t a dx dy -=--=

==-= 故得曲率

2csc 41)

2

cot 1(2csc 412

3

24

t a t t a k =+= 令,3

π

=

t 得

a

k 21=

向学生简单介绍曲率在工程技术上的一些应用

（四）曲率的一些简单应用

（1）曲率圆与曲率半径

设光滑曲线C 上点M 处的曲率为k （k≠0）.在C 上点M 作法线，

并在凹向一侧取点D ，使得R k

DM ==1

,以D 为圆心，R 为半径作

圆，⊙D 为曲线C 在点M 处的曲率圆,圆心D 称为C 在点M 处的曲率中心,R 称为C 在点M 处的曲率半径，如图5所示.

图5

故曲线y=f(x)在点M 的曲率圆有下列性质: (1)在点M 处的曲率与曲线的相同;

(2)在点M 处与曲线相切,且在切点附近有相同凹凸性.

由性质(2)还可知道,点M 处曲率圆的圆心位于曲线在该点的法线上.

小结：对于曲线)(x f y =在点0x 处，圆心为),(b a ，半径为R 的曲率圆的计算公式为

)()]([1)(02

00x f x f x f b '''++

=

)

(}

)]([1{)()]([1)

(02

32002

000x f x f R x f x f x f x a '''+=

'''+'-=

（2）曲率的应用实例

(选讲)例3 用圆柱形铣刀加工一弧长不大的椭圆形工件，该段弧的中点为椭圆长轴的顶点，该椭圆的方程为（单位为mm ）

22

2214050

x y += 应选用多大直径的铣刀，可得较好的近似效果？（二级）

解 顶点坐标为)50,0(，将方程改写为

216004

5

x y -=

则 32

1,000=

''='==x x y y 代入曲率半径公式可得32=R （mm ）

所以，应选用直径为64mm 的铣刀，可得较好的近似效果.

例4 某工件内表面的型线为y=0.4x 2,现要用砂轮磨削内表面,问应选多大直径的砂轮?（二级）

解 为使磨削时不会多磨掉不应磨去的部分,砂轮半径应不超过抛物线上各点处曲率半径的最小值，如图6所示.

图6

对于y=0.4x 2,有y′=0.8x,y″=0.8.曲率半径最小,应是曲率最大,而

k=

()3

22

0.810.8x ⎡⎤+⎣⎦

.

当x=0时，k 取最大值0.8,即顶点处曲率最大,因而有

R=1

k

=1.25, 故砂轮直径不得超过2.50单位长.

三、能力反馈部分（考查学生对曲线曲率求法的掌握情况）

（1）计算抛物线y=4x -x 2在它顶点处的曲率.（一级）