八年级数学下册---分式知识点总结

合集下载

分式的基本概念八年级下册

分式的基本概念八年级下册分式的基本概念八年级下册分式作为数学中一个基本的概念，是我们在中学阶段时需要掌握的关键知识点之一。

下面我们来一步一步地了解分式的基本概念。

1. 分式的定义分式是两个整数a和b的比，用a/b表示。

其中a叫做分子，b叫做分母。

分式通常写作x = a/b，成为分数或有理数。

可以看出，分子和分母是分式中两个重要的部分。

2. 分式的意义以一个例子来说明分式的意义：假设你要将一个蛋糕均匀地分成4份，那么每份的大小就是蛋糕的1/4。

这里，1/4就是一个典型的分式，它表达了蛋糕的一部分数量与整个蛋糕数量之间的比例关系。

因此，分式可以用来描述整体与部分之间的数量关系。

3. 分式的化简有时候，一个分式不是最简形式，我们需要将其化简。

化简分式的方法是将分子和分母同时除以它们的公因数，使它们互质。

例如，对于分式8/12，我们可以发现它们的公因数是4，于是我们可以将分子和分母同时除以4，得到新的分式2/3。

4. 分式的乘法两个分数的乘积是将分子相乘，分母相乘的结果。

例如，分数2/3和3/4的乘积是2/3 × 3/4 = 6/12。

然后，我们需要将结果化简，得到最简形式，即1/2。

5. 分式的除法两个分数的除法是将被除数的分子和分母分别乘以除数的倒数的分子和分母。

例如，分数2/3和3/4的除法是2/3 ÷ 3/4 = 2/3 × 4/3 = 8/9。

同样，我们需要将结果化简，得到最简形式。

6. 分式的加减法两个分数的加减法是将它们的分母相同，然后将分子相加或相减的结果。

例如，分数2/3和3/4的加法是2/3 + 3/4 = 8/12 + 9/12 = 17/12。

同样，我们需要将结果化简，得到最简形式。

7. 小数和分数的转换分数可以转化成小数，小数也可以转化成分数。

分式转化成小数可以通过手工计算或使用计算器完成。

小数转化成分式则可以将其写成a/b 的形式，其中a为小数部分的数字，b为1后面接上小数点后位数的数量。

八年级下册认识分式知识点

八年级下册认识分式知识点八年级下学期，学习数学的同学们将进入一个全新的学科知识领域——分式。

分式在中学数学中是一个非常重要的知识点，掌握好它对于以后的学习和生活都有很大的帮助。

在本文中，我将介绍并总结一些八年级下册中我们需要掌握的分式知识点。

一、分式的定义分式是指用一个分数形式来表示的除法运算式。

分式中，分数线表示了分子和分母的关系，一般情况下分子表示一部分，分母表示总数。

例如，2/3 表示了两个单位在三个单位中所占的比值。

二、分式的简化分式的简化指的是将分式中的分子和分母同时约去它们的最大公因数的过程。

这个操作的目的是为了使得分式的表达式更加简洁明了，并便于计算和理解。

例如，分式15/30 就可以简化为1/2。

三、分式的四则运算分式的四则运算包括加、减、乘、除。

分式的加减需要先将两个分子和分母分别找到相同的公因数，然后在相加或相减。

分式的乘法直接将两个分数相乘并在分子和分母上分别约去它们的最大公因数。

而分式的除法就是转变成分式的乘法，即将除数的倒数作为乘数，并将分母分别约去最大公因数。

四、分式方程分式方程指的是以分式为未知量的方程。

分式方程的解题方法和一般的方程解题方法相同，但需要注意分母为零的情况。

一般情况下，解分式方程需要先通分，然后将分子同一边，分母同一边，并将其约去最大公因数。

五、分式的应用分式在数学、物理、化学等各个学科中都有着广泛的应用。

其中，比例和百分数问题是分式应用的最典型的例子。

另外，分式也在一元二次方程的求解、圆的面积和周长计算、机器的效率计算等许多实际问题中都有重要的应用。

六、分式的常见错误在学习和应用分式的过程中，我们需要注意避免一些常见的错误。

第一个错误是不将分数约分，这样做会导致计算过程复杂和容易出错。

第二个错误是在分式运算中，将分子、分母的数值和分式的符号混淆，并计算错误。

最后一个错误是忘记检查分母为零的情况，这也会导致计算错误。

以上是本文对于八年级下册分式的认知和总结，希望能够帮助到大家更好地理解和掌握这一知识点。

关于初二数学下册必备知识点归纳

关于初二数学下册必备知识点归纳初二数学下册必备知识点归纳第一章分式1、分式及其基本性质分式的分子和分母同时乘以(或除以)一个不等于零的整式，分式的只不变。

2、分式的运算(1)分式的乘除乘法法则：分式乘以分式，用分子的'积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

(2)分式的加减加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减;。

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

3、整数指数幂的加减乘除法。

4、分式方程及其解法。

第二章反比例函数1、反比例函数的表达式、图像、性质。

图像：双曲线。

表达式：y=k/x(k不为0)性质：两支的增减性相同;2、反比例函数在实际问题中的应用。

第三章勾股定理1、勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。

2、勾股定理的逆定理：如果一个三角形中，有两个边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

第四章四边形1、平行四边形。

性质：对边相等;对角相等;对角线互相平分。

判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形;两组对角分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形;一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形。

推论：三角形的中位线平行第三边，并且等于第三边的一半。

2、特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形(1)矩形性质：矩形的四个角都是直角;矩形的对角线相等;矩形具有平行四边形的所有性质判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形;推论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

(2)菱形性质：菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角;菱形具有平行四边形的一切性质判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形;四边相等的四边形是菱形。

(3)正方形：既是一种特殊的矩形，又是一种特殊的菱形，所以它具有矩形和菱形的所有性质。

初二数学分式知识点

初二数学分式知识点一、引言分式是初中数学中的重要概念，它在代数运算、方程求解以及后续的高中数学学习中都扮演着关键角色。

本文旨在总结初二数学中分式的基本概念、性质、运算规则以及应用实例，帮助学生掌握分式相关知识点。

二、分式的定义1. 分式：形如 \(\frac{a}{b}\) 的代数式，其中 \(a\) 称为分子，\(b\) 称为分母，\(b \neq 0\)。

2. 条件：分母不能为零，因为除以零没有定义。

三、分式的基本性质1. 等值变换：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个非零数，分式的值不变。

2. 符号规则：分式的符号由分子和分母的符号决定，分子分母同号结果为正，异号结果为负。

3. 约分：通过找出分子和分母的最大公约数并约去，简化分式。

4. 通分：将多个分式转化为具有相同分母的分式，便于进行加减运算。

四、分式的运算规则1. 加减法：- 同分母分式相加减：分子相加减，分母不变。

- 异分母分式相加减：先通分，再按照同分母分式进行加减。

2. 乘法：- 分式的乘法：分子乘分子，分母乘分母。

3. 除法：- 分式的除法：将除数的分式取倒数，然后进行乘法运算。

4. 乘方：- 分式的乘方：分子和分母分别取方。

五、分式的解方程1. 一元一次方程：通过移项和化简分式，求解未知数。

2. 一元二次方程：在解一元二次方程时，要注意分式的化简和检验根。

六、分式的应用题1. 比例问题：利用分式表示比例关系，解决实际问题。

2. 工作问题：通过分式方程解决工作效率和工作时间的问题。

3. 浓度问题：使用分式计算溶液的稀释和浓缩。

七、常见题型与解题技巧1. 化简求值：熟练掌握分式的化简方法，准确求出分式的值。

2. 分式方程：注意检验解的有效性，避免出现除以零的情况。

3. 应用题：理解题意，找出等量关系，建立分式方程求解。

八、总结分式是初中数学的重要内容，掌握分式的性质和运算规则对于提高数学成绩至关重要。

通过不断的练习和应用，可以加深对分式概念的理解，提高解题能力。

分式典型知识点与例题总结

人教版八年级下册分式全章知识点和典型例习题知识点回顾知识点一：分式形如的式子叫做分式。

知识点二：分式B A 的值1.当时,分式有意义;2.当时,分式无意义;3.当时,分式的值为0;4.当时,分式的值为1;5.当时, 分式的值为正;6.当时,分式的值为负; 知识点三：分式的基本性质用式子表示知识点四：分式中的符号法则用式子表示知识点五：分式的约分约去分子、分母的最大公因式，使分式变成最简分式或者整式 1.最大公因式= 。

2.当分式的分子和分母为多项式时，知识点六：分式的通分把异分母分式变成同分母分式的过程。

1.最简公分母= 。

2.当分式的分子和分母为多项式时，知识点七：分式的乘除法法则（用式子表示）乘法法则：用式子表示除法法则：用式子表示知识点八：回顾因式分解总步骤：一提二套三分组1. 提公因式：套平方差公式： 2 . 公完全平方和：式完全平方差：知识点九：分式的加减法法则加法法则：减法法则：知识点十：分式的混合运算先再最后再。

知识点十一：整数指数幂七大公式1.同底数幂的乘法2.同底数幂的乘法3.幂的乘方4.积的乘方5.分式的乘方法则6.0指数幂7.负整数指数幂知识点十二：科学计数法1.绝对值大于1数都可表示成2. 绝对值小于1数都可表示成其中101<≤a 。

知识点十三：分式方程 1. 概念 2. 解法:①去分母:② ③知识点十四：分式方程解应用题的步骤、、、、【例题】下列有理式中是分式的有(1)－3x ；(2)yx ；(3)22732xy y x -；(4)x 81-；(5)35+y ； (6)112--x x ；(7)π12--m ； (8)5.023+m ；【练习】1、在下列各式ma m x xb a x xa,),1()3(,43,2,3222--÷++π中，是分式的有个2.找出下列有理式中是分式的代号(1)－3x ；(2)yx ；(3)22732xyy x -；(4)－x 81；(5) 35+y ； (6)112--x x ；(7) π-12m ； (8)5.023+m .二．分式的值【例题】 1.当a 时，分式321+-a a 有意义；2.当_____时,分式4312-+x x 无意义；3.若分式33x x --的值为零，则x = ；4.当_______时,分式534-+x x 的值为1；5.当______时,分式51+-x 的值为正；6.当______时分式142+-x 的值为负.【练习】1．①分式36122--x x 有意义，则x ；②当x_____时，分式1x x x-- 有意义；③当x ____时分式x x 2121-+有意义；④当x_____时,分式11x x +-有意义；⑤使分式9x 1x 2-+有意义的x 的取值范围是； 2.当x = 3时，分式bx a x +-无意义，则b ______ 3. ①若分式11x x -+的值为零，则x 的值为；②若分式)1x )(3x (1|x |=-+-，则x 的值为_________________； ③分式392--x x 当x __________时分式的值为0；④当ｘ= ＿时，分式22943x x x --+的值为0；⑤当a=______时,分式2232a a a -++ 的值为零；4.当x __ 时，分式x -51的值为正.5.当x=_____时,分式232x x --的值为1.6.若分式231-+x x 的值为负数，则x 的取值范围是__________。

数学八下分式

数学八下分式
八年级下册数学课程中有关分式的主题主要包括分式的运算、分式的化简、分式方程等内容。

以下是八年级下册数学中关于分式的一些常见知识点：
1. 分式的乘法和除法：学习如何进行分式的乘法和除法运算，包括分子乘法、分母乘法、分子除法和分母除法等。

2. 分式的加法和减法：掌握分式的加法和减法运算规则，包括通分、合并同类项等操作。

3. 分式的化简：学习如何化简分式，包括约分、提取公因式、分子分母同乘同除等方法，使分式的表达更简洁。

4. 分式方程：解决涉及分式的方程，包括一元一次分式方程和一元二次分式方程等，掌握解题的方法和技巧。

5. 分式的应用：了解分式在实际问题中的应用，如物品分配、比例关系、时间速度等问题，通过分式运算解决实际生活中的计算问题。

八年级下册数学中的分式知识是数学学习中的重要内容，需要通过练习和实践来加深理解和掌握。

建议学生多做练习题，加强对分式运算规则的理解和掌握，提高解决问题的能力和技巧。

北师大版八年级下册数学第五章分式与分式方程(知识点)

第五章分式与分式方程知识点1：分式的概念1、分式的定义：一般地，用A,B表示两个正式，A÷B可以表示成AB的形式。

如果B中含有字母，那么称AB为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母。

分式需要满足的三个条件：（1）是形如AB的式子；（2）A,B都整式；（3）分母B中必须含有字母。

分式有意义的条件：分母不能为0.分式无意义的条件：分母等于0.分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0.知识点2：分式的性质2、分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

字母表示：AB =A·CB·C，AB=A÷CB÷C(C≠0，其中A,B,C均是整式)运用条件：（1）分子和分母要同时做“乘法（或除法）”运算；（2）“乘（或除以）”的对象必须是同一个不等于0的整式。

3、分式的符号法则法则内容：分式的分子、分母与分式本身的符号同时改变其中两个，分式的值不变。

字母表示：AB =−A−B=−−AB=−A−B知识点3：分式的约分与通分4、分式的约分约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分，即A·CB·C =AB（C为整式且C≠0）.约分的方法：如果分式的分子、分母都是单项式，那么直接约去分子、分母的公因式；如果分式的分子、分母中至少有一个多项式，那么先分解因式，再约去分子、分母的公因式。

最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。

5、分式的通分通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

用字母表示：将AB 和CD通分，AB=A·DB·D，CD=B·CB·D（分母都为B·D）。

通分的步骤：（1）将所有分式的分母化为乘积的形式，当分母为多项式时，应进行因式分解；（2）确定最简公分母，即各分母的所有因式的最高次幂的积；（3）将分子、分母同乘一个因式，使分母变为最简公分母。

华东师大版八年级数学下册知识点总结(填空版A4)

华东师大版八年级数学下册知识点总结第16章分式一、分式及其基本性质1、分式的概念：分母中有的有理式叫做分式. 和整式通称为有理式.2、分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个的整式，分式的值不变。

3、分式的运算法则；；=⨯=÷=⨯ba d cb a dc b a )()(为整数n ba n =；=+cb c a ；=+dc b a 。

二、分式方程1、分式方程：里含有未知数的方程叫做分式方程.2、解分式方程的一般方法：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.三、零指数幂与负整指数幂1、任何不等于零的数的零次幂都等于________2、任何不等于零的数的-n （n 为正整数）次幂，等于这个数_____________. 即a 0=___(a ≠0) a −n =________(a ≠0 ，n 为正整数) 四、科学计数法1.对于绝对值大于10的数，用科学计数法表示为_________________的形式，其中__________________。

2.对于绝对值小于1的数，用科学计数法表示为__________________的形式，其中__________________。

n 值确定方法____________________________________________________________________________。

第17章函数及其图像一、平面直角坐标系1、和_______上的点不属于任何象限；2、坐标轴上的点的特征：点P (x ，y )在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数；点P (x ，y )在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数3、平面直角坐标系各象限内的点的坐标特征（1）点A （x ，y ）位于第_____象限，x___0，y___0; （2）点B （a ，b ）位于第_____象限，a___0，b___0; （3）点C （c ，d ）位于第_____象限，c___0，d___0; （4）点D （m ，n ）位于第_____象限，m___0，n___0;4、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P (x ，y )在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y __________ 点P (x ，y )在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y ___________________ 5、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x 轴的直线上的各点的__________相同,位于平行于y 轴的直线上的各点的_________相同. 6、关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征关于x 轴对称的两点：_____________________，故____点坐标为___________；关于y 轴对称的两点：_____________________，故____点坐标为___________；关于原点对称的两点：______________________，故____点坐标为___________； *7、关于直线y = x 和直线y = - x 对称的点的坐标的特征点P （x ，y ）关于直线y = x 的对称点为)(1x y P ，，点P （x ，y ）关于直线y = -x 的对称点为)(2x y P --，。

完整版)华师大版八年级下册数学知识点总结

完整版)华师大版八年级下册数学知识点总结八年级华师大版数学（下）第16章分式16.1 分式及基本性质一、分式的概念1.分式的定义：如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子叫做分式。

2.对于分式概念的理解，应把握以下几点：1）分式是两个整式相除的商。

其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；3）分母不能为零。

3.分式有意义、无意义的条件1）分式有意义的条件：分式的分母不等于 0；2）分式无意义的条件：分式的分母等于 0.4.分式的值为 0 的条件：当分式的分子等于 0，而分母不等于 0 时，分式的值为 0.即，使 A=0，B≠0 的条件是。

5.有理式整式和分式统称为有理式。

整式分为单项式和多项式。

分类：有理式单项式整式多项式分式ABAB单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；多项式：由几个单项式的和组成的代数式。

二、分式的基本性质1.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

用式子表示为：A·M/B=A·M/B·M/M=A·M·1/B·M，其中M（M≠0）为整式。

2.通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。

确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。

（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。

3.约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

八年级下册数学的分式知识点整理

八年级下册数学的分式知识点整理八年级下册数学的分式知识点整理在平时的学习中，大家最不陌生的就是知识点吧！知识点就是“让别人看完能理解”或者“通过练习我能掌握”的内容。

为了帮助大家掌握重要知识点，下面是店铺精心整理的八年级下册数学的分式知识点整理，欢迎大家分享。

1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。

2.分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0;分式无意义的条件：分式的分母等于0。

3.分式值为零的`条件：分式AB =0的条件是A=0，且B≠0.(首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。

)4.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变。

用式子表示为 (其中A、B、C是整式 )，5.分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个式子的最简公分母。

几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。

求最简公分母时应注意以下几点：(1)“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂选取指数最大的;(2)如果各分母的系数都是整数时，取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;(3)如果分母是多项式，一般应先分解因式。

6.分式的约分：和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。

约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。

(1)约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分;分子、分母是多项式时，通常将分子、分母分解因式，然后再约分;(2)找公因式的方法：① 当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式;②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。

人教版八年级下册数学知识点归纳

人教版八年级下学期数学知识点归纳第十六章分式分式1. 分式：如果A 、B 表示两个整式，并且分母中含有字母，那么式子BA叫做分式。

（分母含有未知数的代数式称为分式） 2. 分式有意义的条件：分母不为零。

(即BA中B ≠0) 3. 分式值为零的条件：○1分子为零 ○2分母不为零 (即BA中A=0且B ≠0) 4. 分数的基本性质：分式的分子与分母同乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。

用式子表示为：或（C ≠0）5. 最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫最简分式。

)找公因式的方法：将分子、分母分解因式后○1取分式的分子、分母中系数的最大公约数、相同字母的最低次幂、相同因式的最低次幂的积，作为分子、分母的公因式．．．。

约分化简方法：○1将分子、分母分解因式 ○2 约去公因式6. 通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。

通分方法：○1把各个分式的分母进行因式分解 ○2找出各分式的最简公分母 ○3用分式的性质把各个异分母分式化为同分母分式找最简公分母的方法：取各分式分母中系数（系数都取正数）的最小公倍数、所有字母的最高次幂、所有因式的最高次幂的乘积，作为最简公分母。

分式的运算1. 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的乘积作为积的分子，分母的乘积作为分母。

表达式：b d bda c ac •=分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。

2. 分式除法法则：分式除以分式，等于把除式颠倒分子、分母后与被除式相乘，再将所得结果约分。

/表达式：b c b d bda d a c ac÷=•=3. 乘除与乘方的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除。

4. 分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。

C B C A B A ⋅⋅=C B CA B A ÷÷=nn n b a ba =)(即:()0b c b ca a a a±±=≠异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减。

八年级下册数学分式知识点

八年级下册数学分式知识点分式是初中数学重要的知识点之一，也是学习高中数学和其他学科的基础。

在八年级下册数学教学中，分式作为一个重要的知识点，将持续出现。

一、分式的概念分式是指一个数可以表示为非整数的两个整数的比值，分子和分母。

分式一般写作a/b，其中a为分子，b为分母。

分子表示分式的被除数，分母表示除数。

例如，7/3是一个分式，其中7是分子，3是分母。

二、分式的化简化简分式是指将分式化为最简整数形式。

最简整数形式是指分子和分母不含公因数（除了1）的分式。

取出分子和分母的公因数，并将其约掉，即可将分式化简为最简整数形式。

例如，将12/20化简为最简整数形式，步骤如下：- 取出公因数，得到12=2×2×3, 20=2×2×5- 约掉公因数2×2，得到12/20 = 3/5三、分式的四则运算分式的四则运算是指分式间的加、减、乘、除运算。

1. 加减运算若要对分式进行加减运算，则需要先将分式化为通分分式，即将分母相同的分式合并到一起。

例如，将2/3和1/4相加，步骤如下：- 将2/3表示为8/12，将1/4表示为3/12- 将8/12和3/12相加，得到11/122. 乘法运算若要对分式进行乘法运算，则将分式的分子、分母分别相乘即可。

例如，将2/3和3/4相乘，步骤如下：- 分子相乘，得到2×3=6- 分母相乘，得到3×4=12- 将6/12化简为最简整数形式，得到1/23. 除法运算若要对分式进行除法运算，则需要将除数的分子和分母调换位置，再将被除数与调换后的除数相乘。

例如，将3/4除以2/5，步骤如下：- 将除数调换位置得到5/2- 将3/4和5/2相乘，得到15/8四、分式的应用分式在实际生活和工作中有广泛的应用，如商业折扣、物品配方、工作效率计算等。

例如，某商场举办打折活动，若某商品原价为60元，打8折后价格为多少？- 打八折后，商品价格为60×0.8=48元- 商品的打折折扣为原价和打折后价格的比值，即8/10或4/5五、分式的重要性学习分式对于初中数学知识和高中数学知识的学习来说，都具有重要的作用。

八年级数学下册知识点总结-分式精华版

分式专项训练1.分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式。

分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零。

2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

（0≠C ）3.分式的通分和约分：关键先是分解因式4.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。

分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。

分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd±±±=±=±= 混合运算:运算顺序和以前一样。

能用运算率简算的可用运算率简算。

5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即)0(10≠=a a ；当n 为正整数时，nn a a 1=- （)0≠a6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数)（1）同底数的幂的乘法：m n m n a a a+∙=；（2）幂的乘方：()m n mn a a=; （3）积的乘方：()n n n ab a b =；（4）同底数的幂的除法：m n m n a a a -÷=( a ≠0)；（5）商的乘方：()nn n a a b b=；(b ≠0) 7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。

解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

解分式方程的步骤：(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方;a c ac a c a d ad b d bd b d b c bc ∙=÷=∙=()nn n a a b b =A A C B B C ∙=∙A A C B B C ÷=÷程；(4)验根．增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。

八年级数学《分式》知识点

八年级数学《分式》知识点一、分式的概念形如 A/B（A、B 是整式，B 中含有字母且 B 不等于 0）的式子叫做分式。

其中 A 叫做分子，B 叫做分母。

理解分式的概念时，需要注意以下几点：1、分式的分母中必须含有字母。

例如：5/x 是分式，而 5/3 就不是分式，因为它的分母 3 是常数。

2、分母的值不能为 0。

如果分母 B 的值为 0，那么分式就没有意义。

3、分式是两个整式相除的商，其中分子是被除式，分母是除式。

4、整式和分式统称为有理式。

二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不等于 0。

即：对于分式 A/B，当B≠0 时，分式有意义。

例如：对于分式 2/（x 1)，要使其有意义，则x 1≠0，即x≠1。

三、分式的值为 0 的条件分式的值为 0 时，需要同时满足两个条件：1、分子等于 0，即 A ＝ 0。

2、分母不等于 0，即B≠0。

例如：对于分式（x 2)／（x ＋ 1)，当 x 2 ＝ 0 且 x ＋1≠0 时，分式的值为 0。

由 x 2 ＝ 0 得 x ＝ 2，又因为 x ＋1≠0，即x≠ 1，所以当 x ＝ 2 时，该分式的值为 0。

四、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。

即：A/B ＝ A×M/B×M，A/B ＝ A÷M/B÷M（M 为不等于 0 的整式）例如：将分式 2x/（3y)的分子分母同时乘以 2，得到 4x/（6y)，分式的值不变。

利用分式的基本性质，可以进行分式的约分和通分。

五、约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。

约分的关键是确定分子和分母的公因式。

确定公因式的方法：1、系数：取分子和分母系数的最大公约数。

例如：在分式 8x/12 中，8 和 12 的最大公约数是 4，所以分子分母同时除以 4 进行约分。

2、字母：取分子和分母相同字母的最低次幂。

例如：在分式 x²y/xy²中，相同字母是 x 和 y，x 的最低次幂是 1，y 的最低次幂是 1，所以公因式是 xy，约分后为 x/y。

八年级下数学知识点归纳大全

八年级下数学知识点归纳大全一、分式1. 分式的概念- 分式就像是分数的“升级版”。

如果A、B表示两个整式，A÷B就可以写成(A)/(B)的形式，这里B要是含有字母的整式，而且B不能等于0哦，这样的式子就是分式啦。

比如说(x)/(x + 1)就是分式，而(3)/(5)是分数不是分式，因为分母没有字母。

2. 分式的基本性质- 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。

这就好比给分式“化妆”，只要按照规则来，它的“本质”不会变。

例如(a)/(b)=(ac)/(bc)(c≠0)。

3. 分式的运算- 分式的乘除：分式相乘，分子乘分子，分母乘分母；分式相除，就把除式的分子分母颠倒位置后再相乘。

就像一群小分式在玩乘法和除法的游戏，按照规则就能算出结果。

- 分式的加减：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，要先通分，把它们变成同分母分式，然后再按照同分母分式加减的方法计算。

这就好比把不同的小伙伴拉到同一个“队伍”里，然后再进行计算。

二、反比例函数1. 反比例函数的概念- 一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=(k)/(x)(k为常数,k≠0)的形式，那么y是x的反比例函数。

想象一下，x和y就像两个调皮的小孩，它们的乘积是个固定的数（k），但是x越大，y就越小，就像跷跷板一样。

2. 反比例函数的图象和性质- 反比例函数的图象是双曲线。

当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k <0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。

可以把图象想象成两个弯弯的“手臂”，k的正负决定了这两个“手臂”在哪个象限跳舞。

3. 反比例函数的应用- 在实际生活中，比如压力一定时，压强和受力面积的关系就可以用反比例函数来表示。

这就像我们在雪地里走路，脚面积越大，压强越小，就不容易陷进去，这里压强和受力面积就是反比例关系。

分式方程知识点及练习(学)

八年级数学下册分式方程【分式方程的概念】分式的中含有的方程叫做分式方程【分式方程的解法】（1）基本思想：把分式方程转化成为整式方程。

（2）步骤：<1> 去分母：方程两边都乘以最简公分母，化为整式方程。

<2> 解这个整式方程。

<3> 验根：把求出的整式方程的根代入最简公分母。

如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

解分式方程要检验，方法是将求出来的未知数的值代入，看它是不是，如果是，说明它是，要舍去。

练习1、分式方程1111112-=+--x x x 去分母时，两边都乘以 2、下列关于x 的方程中，不是分式方程的是（）A ．xx ππ= B ．6510-=x x C ．4132=+x x D ．n x m n x =-π 3．如果11-x 与11+x 互为相反数，则x ＝． 4．方程xx 3403440=-的解是． 5．当x=时，分式x x --424的值与45--x x 的值相等． 6．若分式方程52)1()(2-=--x a a x 的解为x=3，则a 的值为． 7．如果方程xx x --=+-21321有增根，那么增根是． 8.某煤厂原计划x 天生产120吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，因此提前2天完成任务，列出方程为（）A ．31202120-=-x xB ．32120120-+=x xC ．31202120-=+xx D ．32120120--=x x 9.若关于x 的方程1011m x x x --=--有增根，则m 的值是（）． A ．3 B ．2 C ．1 D ．－1二、解下列分式方程132+=x x 13132=-+--x x x 21111x x =--43122x x x -=--11322x x x-=---【拓展】1、如果26910x x ++=，那么9x的值是（） A 、6 B 、-6 C 、-3 D 、32、已知12x x +=，221x x+的值3、若分式2211111x x x ++--与的值相等，求x 的值列分式方程——基本步骤：① 审—仔细审题，找出等量关系。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第十六章分式
1.分式的定义:如果A 、B 表示两个整式,并且B 中含有字母，那么式子B
A 叫做分式。

分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零。

2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

（0≠C )
３.分式的通分和约分：关键先是分解因式
4．分式的运算:
分式乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为分母。

分式除法法则:分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

分式乘方法则:分式乘方要把分子、分母分别乘方。

分式的加减法则：同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减。

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式,然后再加减,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd
±±±=±=±= 混合运算:运算顺序和以前一样。

能用运算率简算的可用运算率简算。

５. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1, 即)0(10
≠=a a ；当ｎ为正整数时,n n a a 1=- （)0≠a
6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂.(m,n 是整数)
（１)同底数的幂的乘法:m n m n a a a
+•=; （２)幂的乘方：()m n mn a a
=;
(3)积的乘方：()n n n ab a b =; （4）同底数的幂的除法：m n m n a a a -÷=( ａ≠0)；
（5)商的乘方：()n
n n a a b b
=；(ｂ≠０）７. 分式方程:含分式,并且分母中含未知数的方程——分式方程。

解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母),把分式方程转化为整式方程。

解分式方程时,方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

解分式方程的步骤：
(1)能化简的先化简（2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程;（3)解整式方程;(4)验根. 增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为０，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。

分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为０,则整式方程的解是原分式方程的解;否则，这个解不是原分式方程的解。

列方程应用题的步骤是什么? (1）审；（2）设；(3)列；(4）解；(5)答.
;a c ac a c a d ad b d bd b d b c bc •=÷=•=()n
n n a a b b =A A C B B C •=•A A C B B C ÷=÷
应用题有几种类型;基本公式是什么？基本上有五种： (1)行程问题:基本公式:路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题. （2）数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法. (3)工程问题基本公式:工作量=工时×工效. (4）顺水逆水问题v v v 顺水水流静水＝＋、v v v 顺水水流静水＝-
8.科学记数法:把一个数表示成n a 10⨯的形式（其中101<≤a ,n 是整数）的记数方法叫做科学记数法.
用科学记数法表示绝对值大于１0的n 位整数时,其中１０的指数是1-n
用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时，其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个０)
一、选择题
1．下列式子是分式的是( ）
ﻩA ．2x B.x 2 ﻩC.πx D ．2
y x + 2．下列各式计算正确的是（）
A ．11--=b a b a B.ab b a b 2= C ．()0,≠=a ma na m n Ｄ．a
m a n m n ++= 3．下列各分式中，最简分式是（）
A.()()y x y x +-73 B ．n m n m +-22 C ．2222ab b a b a +- D ．222
22y
xy x y x +-- ４.化简2
293m m m --的结果是（） A.3+m m B ．3+-m m C.3-m m D.m
m -3 5．若把分式
xy y x +中的x 和ｙ都扩大2倍,那么分式的值( ) ﻩA ．扩大２倍 B.不变 C.缩小２倍 D.缩小4倍
6．若分式方程x
a x a x +-=+-321有增根，则ａ的值是( ） A.1 Ｂ.０ C ．—1 Ｄ.—2
７.已知4
32c b a ==,则c b a +的值是（ ) A ．54 Ｂ. 47 C.1 D.4
5 ８.一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行10０千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?设江水的流速为ｘ千米/时,则可列方程( ）
A.
x x -=+306030100 B.30
6030100-=+x x C ．x x +=-306030100 D.306030100+=-x x ９．某学校学生进行急行军训练,预计行６０千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快20% ，结果于下午4时到达,求原计划行军的速度。

设原计划行军的速度为x ｋｍ/h,，则可列方程（ )
Ａ.
1%206060++=x x B. 1%
206060-+=x x Ｃ. 1%2016060++=）（x x Ｄ. 1%2016060-+=）
（x x 10.已知 k b a c c a b c b a =+=+=+，则直线2y kx k =+一定经过( ） A.第一、二象限 B.第二、三象限 C ．第三、四象限 D.第一、四象限
二、填空题
1１.计算2323
()a b a b --÷= ．
12．用科学记数法表示—0.000 000 0３1４＝． 13.计算22142
a a a -=-- . 14.方程3470x x
=-的解是 . １5.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据9162536,,,,5122132中得到巴尔末公式,从
而打开了光谱奥秘的大门。

请你尝试用含你n 的式子表示巴尔末公式．
１６.如果记 221x y x =+ =f(x ），并且f （1)表示当x=1时y 的值,即f(１）=2211211
=+；f(12)表示当x ＝12时y 的值,即ｆ(12)＝22
1()12151()2
=+;……那么ｆ(1）＋f(２)＋f(12)+f(3)＋f(13)＋…+f （n)+f(1n
)= (结果用含n 的代数式表示）．三、解答题
1７．计算： (1))2(216322b a a bc a b -⋅÷ ; （2）93234962
22-⋅+-÷-+-a a b a b
a a ． 18.解方程求x :
（1)114112=---+x x x ; (2）0(,0)1
m n m n mn x x -=≠≠+.
１9．(7分)有一道题：
“先化简,再求值:22241()244
x x x x x -+÷+-- 其中，x=—３”. 小玲做题时把“x ＝—3”错抄成了“x=3”,但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
20.(8分)今年我市遇到百年一遇的大旱,全市人民齐心协力积极抗旱。

某校师生也活动起来捐款打井抗旱,已知第一天捐款480０元，第二天捐款６0００元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多5０人,且两天人均捐款数相等,那么两天共参加捐款的人数是多少？
21．(8分)一辆汽车开往距离出发地１80千米的目的地,出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶,一小时后以原来的１.5倍匀速行驶,并比原计划提前４0分钟到达目的地.求前一小时的行驶速度.
22.(9分）某市从今年1月1日起调整居民用天燃气价格，每立方米天燃气价格上涨25％．小颖家去年12月份的燃气费是９6元．今年小颖家将天燃气热水器换成了太阳能热水器，5月份的用气量比去年12月份少１0m³，5月份的燃气费是90元．求该市今年居民用气的价格．
参考答案
一、选择题BCABC ＤＤＡDB 二、填空题 1１、46a b 12、83.1410--⨯ 13、12
a + 14、30 15、22(2)(2)4n n ++- 16、12
n - 三、解答题 17、（1)234a c -；(2)2
3(2)
a b --．１８、(１）1x =为增根，此题无解;（２）m x n m
=-.１９、解:原式计算的结果等于24x +,所以不论ｘ的值是＋3还是—3结果都为13
20、解:设第一天参加捐款的人数为x 人,第二天参加捐款的人数为（x+6）人,则根据题意可得:480060005
x x =+解得:20x =,经检验,20x =是所列方程的根,所以第一天参加捐款的有20人,第二天有26人，两天合计46人．
21、解:设前一小时的速度为xkm/小时,则一小时后的速度为1．５xkm ／小时,由题意得:1801802(1)1.53
x x x ---=，解这个方程为182x =，经检验，x=182是所列方程的根,即前前一小时的速度为１８2．
22、解:设该市去年居民用气的价格为ｘ元/ m³,则今年的价格为(1+25%)x 元/ ｍ³根据题
意,得10%)251(9096=+-x
x 解这个方程,得x ＝2.4．经检验,x =２．4是所列方程的根．２.4×(1＋25%）=3 (元)。

所以，该市今年居民用气的价格为3元/ m³．。