线性系统理论 2009-2010试题

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线性系统理论大作业

目录题目一 (2)（一）状态反馈加积分器校正的输出反馈系统设计 (2)(1)建立被控对象的状态空间模型，并判断系统性质 (2)(2)状态反馈增益矩阵和积分增益常数的设计 (4)(3)全维观测器设计 (6)(4)如何在闭环调速系统中增加限流环节 (8)（二）二次型最优全状态反馈控制和按负载扰动前馈补偿的复合控制系统设计 (8)(1)线性二次型最优全状态反馈设计 (8)(2)降维观测器设计 (13)题目二 (15)(1)判断系统是否存在最优控制律 (15)(2)非零给定点的最优控制设计和仿真分析 (16)(3)权矩阵的各权值对动态性能影响分析 (17)题目一（一）状态反馈加积分器校正的输出反馈系统设计 (1)建立被控对象的状态空间模型，并判断系统性质1)画出与题目对应的模拟结构图，如图1所示：图1原始系统结构图取状态变量为1x =n ，2x =d I ，3x =d u ，控制输入u=c u1222212333375375111T Le la la la s s s C x x T GD GD C x x x x RT T RT K xx u T T ⎧=-⎪⎪⎪=--+⎨⎪⎪=-+⎪⎩将已知参数代人并设输出y=n=1x ，得被控对象的状态空间表达式为L x Ax Bu ET y Cx=++=其中，237500039.768011=-3.696-17.85727.05600-588.235100T ela lala s C GD C A RT T RT T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，000=023529.41s s B K T ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2375-30.4880=000GD E ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，[]100C = 2)检查被控系统的结构性质判断系统能控性、能观性、稳定性程序如下：A=[0 39.768 0;-3.696 -17.857 27.056;0 0 -588.235]; B=[0;0;23529.41];C=[1 0 0]; Qc=ctrb(A,B); Qo=obsv(A,C); L=length(A); if rank(Qc)==Ldisp('系统是状态完全能控'); elsedisp('系统是状态不完全能控'); endif rank(Qo)==Ldisp('系统是状态完全能观'); elsedisp('系统是状态不完全能观'); enddisp(eig(A))%利用A 的特征值判断系统稳定性运行结果：系统是状态完全能控系统是状态完全能观 1.0e+02 *-0.0893 + 0.0820i -0.0893 - 0.0820i -5.8823 + 0.0000i由于矩阵A 全部特征值均具有负实部，因此系统渐近稳定。

2010年信号与系统A卷答案

四川大学期末考试试题（闭卷）A 卷答案（2009——2010学年第二学期）1 True or False Question (10 points)（1）[]sin(3/4)x n n = is aperiodic(非周期的) .( T )（2） The Fourier transform of an aperiodic discrete-time signal is periodic (T ) and continuous.(T ) （3） An LTI system with frequency function j t H j e 0()ωω= has linear phase(线性相位). (T)（4） e st is the eigenfunction(特征函数) of LTI systems.(F)（5） The continuous-time Fourier transform of a real-even signal is a real-even function. (T ) （6） The discrete-time Fourier transform of a real-even signal is an imaginary-odd function. ( F) （7） If the ROC (收敛域)of the Laplace transform X (s ) includes the unit circle of s -plane （s 平面）,then ==()()s j X j X s ωω.(F)（8） If x (t ) is real and if X (s ) has a pole （极点）at s = s 0 , then X (s ) also has a pole at the point0-s s =. ( F)（9） A discrete-time LTI system is stable if and only if the ROC of its system function H (z ) includesthe unit circle of z -plane. (T )2 Blank Filling (20 points)（1） (1)*()t t δδ--=(1)t δ-.(2 points)（2） I f12[]{1,2,3},[]{1,2,3,4}x n x n ==↑↑, and 12[][][]y n x n x n =*, then the maximumlength of y [n ] is 6 . (2 points)（3） If the spectrum-density （谱密度）function of an aperiodic continues-time signal x (t ) is1()1X j j ωω=+, then the magnitude （幅度）of frequency response is （相位）of frequency response is arctg ω-. (3 points)（4） Expansion in the time domain corresponding to compressing （Compressing,Expansion ）in the frequency domain. (2 points)（5） If ()()Fx t X j ω←−→, then 0()cos Fx t t ω←−→00[()][()]2X j X j ωωωω-++. (2 points)（6） If ()()F x t X j ω←−→, then the inverse Furious transform （傅里叶反变换） of 0[()]X j ωω- is 0()j tx t eω. (2 points)（7） Consider an LTI system with unit impulse response [][],||1n h n a u n a =<. The frequency response of the system is 11jweα--. The system is a lowpass (highpass, lowpass or bandpass)filter. (4 points)（8） Suppose 1()x t and 2()x t are band limited to 1ω, 2ω respectively, that is11()0,||X j ωωω=≥, 22()0,||X j ωωω=≥. Under the sampling theorem, the minimumsampling frequency (最小采样频率)is or 12122()2()2s s f ωωωωωπ+==+ .(3 points)3. Calculation(70 points)3.1 (15 points) Let x (t ) be the input to an LTI system with unit impulse response h (t ), whereand 2()()()()tx t eu t h t u t -==.Calculating the output of the system y (t ) by use of convolution integral equation （卷积公式）, but not Fourier T ransform or Laplace T ransform. 解：2()()()()()t t y t x h t d e u u t d τττττττ--∞-∞=-=-⎰⎰当0t <时 ()0y t =当0t ≥时 2201()(1)2t ty t ed eττ--==-⎰3.2 (15 points) Suppose we are given the following information about a signal x (t ):a. x (t ) is real and odd.b. x (t ) is periodic （周期）with period T = 2 and has Fourier coefficients k a .c. 0k a = for ||1k > .d.22|()|1x t dt =⎰Specify two different signals that satisfy these conditions. 解：因x (t ) 为实、奇函数，因此可得. k k a a -=-且00a =，又因当||1k >时0k a = ，因此不为零的傅里叶级数为11-a a 与根据parseval 方程2201|()|||T k k x t dt a T+∞=-∞=∑⎰22221101|()|||||2x t dt a a -=+⎰，222101|()|2||2x t dt a =⎰，211||4a =所以，112a j = 或112a j =-，与此对应的112a j -=-或112a j -=111()sin()22j tj tx t jejet πππ-=-+=-211()sin()22j tj tx t jejet πππ-=-=3.3 (15 points) Consider a continuous-time ideal lowpass filter S whose frequencyresponse is()10c cHj ，，ωωωωω⎧<⎪=⎨>⎪⎩The input to this filter is a signal ()0sin tx t tωπ=, and the output of the filter is ()y t .Please answer the following questions:a. Calculate ()X j ω.解：0||1()||0X j ωωωωω<⎧=⎨≥⎩b. When 0c ωω<，determine ()y t .0sin ()ty t t ωπ= c. When 0c ωω>，determine ()y t .sin ()c ty t tωπ=d. In the case b or c, which will result in distortion(失真) in output ？C3.4 (15 points) The input x (t ) and output y (t ) of a causal （因果）LTI system are related through the block-diagram representation （方框图表示） shown in Fig. 1a. Determine the system function H (s ) and its ROC.b. Determine a differential equation （微分方程） relating y (t) and x (t ).c. Is the system stable （稳定）? 解：a.221()()()()Z s X s Z s Z s s s=-+，246()2()()()Y s Z s Z s Z s ss=+-消去中间变量Z(s) 可得22246()()21s s Y s X s s s +-=+-，故22246()21s s H s s s +-=+-因极点为1-±R e ()2s >- b. 微分方程为：2222()()()()2()246()d y t dy t d x t dx t y t x t dtdtdtdt+-=+-C. 因收敛域不包含ωj 故系统不稳定。

信号与线性系统分析试卷(含答案11.04.28,09级期中考试试卷)

−1
0
2
f1 (τ )
f 2 (−τ )
1
−1
2
3
0
1 τ
C
、信号 e
−2
−2( t −1)
ε (t − 1)
的频谱为（、 −2e+ jω
−2
）。
C
A
e 、 2+ jω
B
、 2e+ jω
− jω
D
、 −2e+ jω
−2
4
、若 f (t ) ↔ F ( jω ) ，则 f (at − b) 的傅里叶变换为（
5
分
1 + jω 0.5(0.5 + jω ) 0.25 0.25 = + = 0.5 + 1 + j 2ω 0.5 + jω 0.5 + jω 0.5 + jω
5
分
解法二：时域法
ic (t ) = C uc (t ) = duc (t ) dt
1 1 h(t ) = δ (t ) + e−0.5t u (t ) 2 4
5
2π 2π 1 2 2 1 2
、 Sa(ω + 4π ) * Sa(ω − 4π ) C、 Sa (ω + 4π ) 注： f (t ) = g (t ) ↔ 2Sa(ω )
A
2 1 2
、 Sa (ω − 4π ) D、 Sa (ω + 4π ) + Sa (ω − 4π )
B
2
f 2 (t ) = cos(4π t ) ↔ π [δ (ω + 4π ) + δ (ω − 4π )]
c d
− jωt d

2009系统工程考试A卷参考答案

试卷编号：（2011 至2012 学年第 1 学期）课程名称：系统工程学考试时间： 120 分钟课程代码： 1202129 试卷总分： 100 分考试形式：闭卷学生自带普通计算器: 允许一、填空题（本大题共9小题，每空0.5分，总计10分）1. （整体）思想和（联系）思想是科学系统思想的核心与实质。

2. 霍尔三维结构模型包括时间维，知识维和（逻辑维），在霍尔原著中，知识维本叫（专业维），是（T.L.Satty ）教授把它修改成知识维。

3. 切克兰德方法论中的根底定义包含了两个意思，一是（在系统所有影响要素中找出关键要素），二是（在多种解决方法中寻求共识）4. GERT随机网络的输入侧有（异或）、（或）和（与）型三种。

5. 控制系统有（开环）控制系统和（闭环）控制系统两种。

6. 信息的价值包括（完全信息）和（抽样信息）两类。

7. 马尔柯夫预测模型主要是通过（状态转移概率）来进行预测。

8. 一般情况下，在数字计算机上产生均匀随机数的方式有三种，一是外部供给，二是（通过一个随机物理过程在内部产生），三是（利用数学递推公式在内部产生）。

9. 一般认为（逻辑推理法）、（实验法）和（模型法）是人们认识和探索客观世界的三种基本方法。

二、判断题（本大题共10小题，每小题1分，总计10分）1. 系统整体观告诉我们，系统的整体功能要大于各要素功能之和。

（错）2. 霍尔的管理矩阵是由时间维和逻辑维组成。

（错）3. 模型能否把原型的本质或主要特征反映出来，是判断模型是否有效的关键。

（对）4. 网络模型是用网络图来描述系统的组成元素及元素之间相互关系的，它是一种物理模型（错）5. 每个要素都是良好的，作为整体的系统才能具备良好的性能。

（错）6. 系统动力学中正反馈回路具有“内部稳定器”的作用。

（错）7. 可达矩阵相同的网络模型其邻接矩阵肯定相同。

（错）8. 美国Bell电话公司在开发微波通讯系统中，正式提出了SE概念。

（对）9. GERT网络图中，有5种节点符号。

2010年中国人民公安大学824信号与线性系统考研试题

中国人民公安大学2010年硕士研究生初试笔试科目
试题（信号与线性系统、自动控制原理）
信号与线性系统（75分）
1、（15分）产生直流电源的一种方法是将交流信号进行全波整流。

其具体做法是将交流信号()t x 通过一个具有()()t x t y =的系统。

（1）若()t t x ωcos =，画出输入、输出波形。

求输入和输出的基波周期。

（2）若()t t x ωcos =，求输出()t y 的傅里叶级数。

（3）输入信号和输出信号中的直流分量各是多少？
2、（15分）某LTI 系统，当输入信号为()()t e t x t ε31-=时，系统的零状态响应为()t y 1；
当输入信号为()()()⎰∞-+=t d x dt
t dx t x ττ1123时，系统的零状态响应为()()()t e t y t y t ε2124-+-=；试求系统的单位冲激响应()t h 。

3、（15分）已知某离散时间系统的单位函数响应
())()1()()2(2
1)(21k k k k h k k εεδ---+=。

（1）写出系统的差分方程；
（2）画出系统模拟图；
（3）若()()k k e k ε3=，且()(),11,00==zi zi y y 求全响应()k y 。

4、（15分）已知图1所示系统中0>K ，且)(2)(t e t r =，试确定系统中使)(s H 稳定的K 值范围及)(s H 结构。

线性系统理论第一章(习题)

若 li 是 A 的特征值，试证 [1 li li 2 li n -1 ]T 是属于 li 的特征向量。 1—2 若 li 是 A 的一个特征值，试证 f (li ) 是矩阵函数 f (A) 的一个特征值。 1—3 试求下列矩阵的特征多项式和最小多项式
é l1 1 0 0 ù ê ú ê 0 l1 1 0 ú ê ú ê ú ê 0 0 l1 0 ú ê ú ê 0 0 0 l1 ú ë û é l1 1 0 0 ù ê ú ê 0 l1 0 0 ú ê ú ê ú ê 0 0 l1 0 ú ê ú ê 0 0 0 l1 ú ë û é l1 1 0 0 ù ê ú ê 0 l1 0 0 ú ê ú ê ú ê 0 0 l1 1 ú ê ú ê 0 0 0 l1 ú ë û
y =
t
ò0 g(t - t )u(t )d t
若脉冲响应 g 由图 1—12(a)给定。试问，由图 1—12(b)所示的输入而激励的输出为何？ g(t) 1 1 (a) 图 1—12 脉冲响应和输入作用 1—12 试求图 1—13 所示系统的动态方程式(略)
29
u(t) 1 2 t 1 2 (b) t
n >m
试证，给定初始状态 x(m ) = x0 下，时刻 n 的状态为 x(n )=F(n, m )x(0) 。若 A 与 n 无关，则
F(n, m ) 为何？
1—27 证明 x(n + 1) = A(n )x(n ) + B(n )u(n ) 的解为
n -1
x(n ) = F(n, m )x(m ) +
1 ù ú s+3ú 5s + 1 úú s + 2 úû
的实现，并画出其模拟图。 1—25 设{ A , B , C , D }和{ A , B , C , D }是两个线性时不变系统，其维数不一定相同。证明当且仅当

第一篇线性系统理论习题答案

⎡ s +1 ⎢s2 + s +1 ⎢ −1 = [1 0 1]⎢ 2 ⎢s + s +1 ⎢ 0 ⎢ ⎣
9－7 设有三维状态方程
⎡0 ⎤ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣1 ⎥ ⎦
1 s + s +1 s 2 s + s +1
2
0
⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎡0 ⎤ s 2 + 2 s 1⎥ = 3 0 ⎥ ⎢ ⎢ s −1 ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎢ ⎣1⎥ ⎦ s − 1⎥ ⎦
⎡ R M ⎤ ⎡ R −1 ∵⎢ ⎥×⎢ ⎣0 T ⎦ ⎣ 0
− R −1 MT −1 ⎤ ⎡ R −1 ⎥=⎢ T− ⎦ ⎣ 0
⎡R M ⎤ ∴⎢ ⎥ ⎣0 T ⎦
9－10 解
−1
⎡ R −1 =⎢ ⎣ 0
− R −1 MT −1 ⎤ ⎥ T −1 ⎦
−1
对可控标准形 A 和 b ，计算 ( sI − A) b
+
v2
& 2 = x1 + y = x1 − C 2 x
写成矩阵形式为
1 1 x2 + U R2 R2
图 9－1 RLC 网络
⎡ R1 − & x ⎡ 1 ⎤ ⎢ L1 ⎢x ⎥=⎢ ⎣ &2 ⎦ ⎢ 0 ⎢ ⎣
⎤ ⎡ 1 ⎤ 0 ⎥ x ⎡ ⎤ ⎢ L ⎥ ⎥ ⎢ 1 ⎥ + ⎢ 1 ⎥U − 1 ⎥ ⎣ x2 ⎦ ⎢ − 1 ⎥ ⎢ R2 C 2 ⎥ ⎦ ⎣ R2 C 2 ⎥ ⎦
x1 ， x 2 有下列关系存在 x1 = x1 + x 2 x 2 = − x1 − 2 x 2
试求系统在 x 坐标中的状态方程。解 ①
&1 = x & = x2 x &2 = & & = −2 x1 − 3 x 2 + u x x

线性系统理论习题答案

《线性系统理论》作业参考答案1-1 证明：由矩阵úúúúúúûùêêêêêêëé----=--121000001000010a a a a A n n nL M O M M M L L L则A 的特征多项式为nn n n n n n n n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a a a A I +++==+--++--=--++--=+--=--------+-----L L L M O MM ML LL L M O M M M L L L L M O MMM L L L112114322111321121)1()1(00001001)1()1(000010001000010001l l l l l l ll l l l l l l l l ll 若i l 是A 的特征值，则00001000010001)(1112121=úúúúúúûùêêêêêêëé+++=úúúúúúûùêêêêêêëéúúúúúúûùêêêêêêëé+--=-----n n i n i n i i i in n ni i i i i a a a a a a A I L M M L M O M M M L L L l l l l l l l l l u l 这表明[]Tn ii i121-l l l L 是i l 所对应的特征向量。

2009级系统仿真A卷

10在MATLAB中，求解李亚普洛夫方程的命令是（），其格式为（）。
得
分
二、简答（每小题6分，共30分）
1试列举MATLAB中的step命令的四种格式，并简要说明该命令的功能和每一种格式中各参数的意义。
2试列举MATLAB中的initial命令的三种格式，并简要说明该命令的功能和每一种格式中各参数的意义。
3请用四阶龙格-库塔算法，应用MATLAB语言编写一个程序，计算由状态空间方程dx/dt=Ax+Bu表示的线性系统的单位阶跃相应。
得
分
四、已知系统的状态空间方程为：，试用下列Simulink模块组合成该系统的Simulink仿真模型，并写出K1，K2，K3的值各应为多少（不能直接连线，要自己把模块画下来组合后再连线）。（10分）
湘潭大学2012年上学期2009《系统仿真》课程考试试卷
（A卷）适用年级专业2009本部自动化、2009兴湘自动化
考试方式开卷考试时间120分钟
学院专业班级
学号姓名
题
号ห้องสมุดไป่ตู้
一
二
三
四
五
总分
阅卷
教师
得
分
………………………………………………………………………………………………………………
得
分
一、填空（每小题2分，共20分）
1（）控制理论主要以拉氏变换和（）变换为数学工具。
2（）控制理论以线性代数为数学工具，用（）方程描述系统内部的动力学性能。
3（）年，美国的（）公司开发了MATLAB，其意思是矩阵实验室。
4 MATLAB里除了直接在命令行输入命令的方式来进行计算外，还有两种方式可用，即（）文件和（）函数。
5一般的，一个n阶连续单输入单输出线性动态系统用微分方程可表示成（

线性系统理论试卷(1)

一、给定多项式矩阵如下：22121()12s s s s D s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦++++=++ 1. 计算矩阵的行次数，判断系统是否行既约？2. 计算矩阵的列次数，判断系统是否列既约？3. 寻找单模矩阵，将多项式矩阵()D s 化为史密斯型。

方法1、进行初等变换成二、设系统的传递函数矩阵为右MFD 1()()N s D s -，其中：210()21s D s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=+-+，()11N s s s ⎡⎤⎣⎦=-+ 试判断{}(),()N s D s 是否右互质；如果不是右互质，试通过初等运算找出其最大右公因子。

最大右公因子进行列变换可得()0R s ⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、给定()G s 的一个左MFD 为：121010()1121s s G s s s s -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-+=+-+ 试判断这个MFD 是否是最小阶的；如果不是，求出其最小阶MFD 。

四、确定下列传递函数矩阵的一个不可简约左MFD：2110()1022s ss G s s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦+=+++五、给定系统的传递函数矩阵为223(1)(2)(1)(2)()31(1)(2)(2)s s s s s s G s s s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦+++++=+++++ 试计算出相应的评价值，并写出其史密斯--麦克米伦型。

六、给定传递函数矩阵如下：22221156()125343s s s s s G s s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦+-++=++++ 试定出其零、极点，并计算出其结构指数。

七、给定系统的传递函数矩阵如下：22211154()143712s s s s G s s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦+-++=++++ 试求出一个控制器型实现。

八、确定下列传递函数矩阵()G s 的一个不可简约的PMD22141()14332s s s s G s s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦++-=++++九、给定系统的传递函数矩阵如下：12243011()22121s s s s G s s s s s -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++-+=+++试设计一个状态反馈K,使得状态反馈系数的极点为：12λ*=-， 23λ*=-， 4,542j λ*=-±。

中国人民公安大学信号与线性系统、自动控制原理考研真题

˅㋏㒳Ǆ
Aˊ㒓ᗻǃ䴲㒓ᗻ Cˊ䴲㒓ᗻᅮᐌ
B. 㒓ᗻ䴲ᯊব D. 㒓ᗻᅮᐌ
2ˊ㋏㒳ⱘࡼᗕᗻ㛑ࣙᣀ˄
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Aˊ〇ᅮᗻǃᑇ〇ᗻ
B.ᑇ〇ᗻǃᖿ䗳ᗻ
Cˊᖿ䗳ᗻǃ〇ᅮᗻ
D. 〇ᅮᗻǃ‫⹂ޚ‬ᗻ
3ˊ೼ r(t) t 1(t) ԰⫼ϟˈϔ䰊㋏㒳ⱘ〇ᗕ䇃Ꮒ ess ˄
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Aˊ0 Cˊᓔ⦃๲Ⲟⱘ‫צ‬᭄
B. f D. ϡ⹂ᅮ
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K : 0 o f ᯊⱘ䯁⦃㋏㒳ḍ䔼䗍ˈᑊ⹂ᅮ䯁⦃㋏㒳〇ᅮⱘ K ؐ㣗ೈǄ
4ˊ˄12 ߚ˅ Ꮖⶹ᳔ᇣⳌᓔ⦃㋏㒳ⱘᇍ᭄ᐙ乥⏤䖯⡍ᗻ 20 lg G( jZ) བ೒ 2 ᠔冫Ǆ
⹂ᅮᓔ⦃㋏㒳Ӵ䗦ߑ᭄ G(s) Ǆ㸹㒬ᇍ᭄乥⥛⡍ᗻৢˈ߽⫼ᇍ᭄乥⥛߸᥂߸ᅮ䯁 ⦃㋏㒳ⱘ〇ᅮᗻǄ
4．以下各式为离散系统的差分方程，其中（
）所描述的系统为线性的、
非时变的、无记忆的。
A． y(k) = 5ke(k))
B. y(k) = 5e(k) sin(5k + π ) 5
C． y(k + 1) = 5e(k) + 5
D. y(k) = 5e(k)
5．某信号的象函数 F (s) = 1 − 3 e−3s ，其原函数 f (t) = （
（2）若输入 e2 (t) = δ (t)，求响应 y2 (t)。
5、（15 分）已知离散系统差分方程为 y(k + 2) − 0.7 y(k + 1) + 0.1y(k) = 7e(k) − 2e(k + 1) ，
D. y(k) 3>e(k)@2
5ˊֵো f (t) t 1(t 3) ⱘᢝ᱂ᢝᮃবᤶ F (s) ˄
˅Ǆ

南航江驹线性系统理论习题

1-11 若系统的系统矩阵 S ( s ) 为
2s 1 s ( s 1) 2s 1 s ( s 1) 2
0 0 0 1 0 s 2 ( s 1) s( s 2) s S (s) 0 0 ( s 2) 1 0 0 1 0
1 0 x 0 0
0 1 1 0
0 0 5 0
0 0 0 0 x u, 0 1 6 1
y 1 0 0 1 x
将系统进行标准结构分解。 2-6 判断下列系统的输出可控性，输出函数可控性和输入函数可观测性
0 1 0 （1） A 0 0 1 , 3 2 1 0 1 0 （2） A 1 2 0 , 0 0 3 0 1 0 （3） A 1 2 0 , 0 0 3 0 1 0 （4） A 1 2 0 , 0 0 3
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i 1
n
1-14 若图 1-11 两个反馈链接的子系统，其传递函数阵分别为
1 s 1 G1 ( s ) 0
1 s 2 , s 1 s 2
1 s 3 G2 ( s ) 1 s 1
2-13 给定单变量线性定常系统
y 0 1 x
Ax bu , y cx x
已知 ( A, b) 为可控，问是否存在 C 使得 ( A, C ) 总是可观测。请加以论证，并举例说明之。 2-14 已知系统的传递阵为
( s 3) 1 s 1 ( s 2)( s 1) （1） G ( s ) ( s 2) 1 s 1 ( s 3)( s 1)

线性系统理论试题

江西理工大学考试试卷试卷编号：1112021120B一、（15分）考虑如图1的质量弹簧系统。

其中，m 为运动物体的质量，k 为弹簧的弹性系数，h 为阻尼器的阻尼系数，f 为系统所受外力。

取物体位移为状态变量x 1，速度为状态变量x 2，并取位移为系统输出y ，外力为系统输入u ，试建立系统的状态空间表达式。

图1二、（20分）考虑如图2所示系统：图2（a ）给出这个系统状态变量的实现；（b ）判断系统的能控性班级学号姓名三、（15分）矩阵A 是22⨯的常数矩阵，关于系统的状态方程式= xAx ，有 1(0)1⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x 时，22t t e e --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x ；2(0)1⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x 时，2t t e e --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x 。

试确定状态转移矩阵(,0)t Φ和矩阵A 。

四、（15分）试求下列系统的能观性分解⎢⎢⎢⎣⎡=∙101x 412- bu Ax u x +=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤-100301 [1=y 1- ]cx x =1五、(20分）（1）利用Lyapunov 第一方法判断系统平衡点0x =的稳定性（10分）111222124sin 331x xx x x xx e x =+-=-++（2）取Q I =，通过求解Lyapunov 方程判断系统平衡点0x =的稳定性（10分）1153x x ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦六、有两个能控能观的单输入—单输出系统： 1S ：111104310u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∙[]1112x y = 2S ：2222U x x +-=∙22x y =（1）按图把1S 、2S 串联，针对[]12x x x =推导状态方程。

（2）判断以上系统的能控性和能观性。

（3）把串联系统的连接顺序颠倒过来，再推算系统的状态方程及能控、能观性。

（4）求1S 、2S 及串联系统的传递函数矩阵，并对（2）和（3）讨论。

华中科技大学2009年硕士研究生入学考试《信号与线性系统》824

2009年招收硕士研究生入学考试自命题试题考试科目及代码：信号与线性系统 824一. 填空题(每小题3分，共30分)1.系统)1cos()()1(2)(+++=t t x t t y 是（）（说明因果/非因果性，时变/非时变性，线性/非线性）。

2.函数dt t t e dt dt f t ⎰+∞∞---+=)9()]([)(2δδ的化简结果是（）3.有一个LTI 系统，某输入)(x t 和输出)(t y 满足方程τττd x e t y t)2()()t (-=⎰∞---，该系统的单位冲激响应为（）。

4序列,]4[][k ∑+∞-∞=-=k n n x δ其傅里叶级数系数=ka( ).5.已知)()(ωj X t x ↔，且)]2()([2)]()2()[2()(--+-++=t u t u t u t u t t x ，则)(|)(|2=⎰+∞∞-ωωd j X6.序列∑=nl lnba的单边z 变换为（）7.实周期信号1|a |,)()4/(||<=∑+∞-∞=其中t jk k k e at x π，其平均功率为（）8.若已知傅里叶变换对,||,0||0,1)()0(sin ][⎩⎨⎧≤≤≤≤=↔<<=πωωππωW W e X W n Wnn x j 则图1所示频谱函数的傅里叶逆变换为)(][=n y 。

9.已知信号,4sin )(ttt x ππ=则对)2(t x 进行采样的最大抽样周期为（）。

10.一连续时间信号⎩⎨⎧>≤-=1||,01|||,|1)(t t t t x ，如果以0.5S 的取样间隔对其取样，则得到的离散时间序列为)(][x =n 。

二．判断题（每小题2分，共10分）1.任意两个系统级联时，只要关注的是整个系统的单位冲激响应，那么，它们的级联次序是无关紧要的。

（）2. 无记忆系统一定是因果系统.( )3. 在频域具有周期性的信号在时域也一定具有周期性。

【理论】北航线性系统理论完整版答案

【关键字】理论1-1 证明：由矩阵可知A的特征多项式为若是A的特征值，则所以是属于的特征向量。

1-7 解：由于，可知当时，，所以系统不具有因果性。

又由于，所以系统是时不变的。

1-8 解：容易验证该系统满足齐次性与可加性，所以此系统是线性的。

由于而，故，所以系统是时变的。

又因为而，故，所以系统具有因果性。

1-11 解：由题设可知，随变化的图如下所示。

随变化的图如下所示。

从上述两图及所描述的系统，分析如下：当，且即时，有；当时，；当时，有；当时，有；当时，有；综上所示，该松弛系统在上述输入而激励的输出为：1-15 解：由上述齐次方程，可得两线性无关的解向量为：，所以即其基本矩阵为；状态转移矩阵为：1-17 证明：由题设我们可知故，得证。

1-19 证明：由题设可知：由上式可推出又由及习题1-17的结论可推出由以上两个结论，我们可得到所以得证。

即得证。

1-20 解：设其等价变换为，则可知: 由于P 是非奇异矩阵，所以。

1-24 解：易知，其中为严格真有理函数矩阵，进行下列计算：，则所以因此，可得一个实现如下：其模拟图如下所示。

1-25 证明：由题设知同理可知若要使得两系统零状态等价，则要满足，即满足，得证。

2-2 解： a,由题设可知：[]315 1 7- 1 1 1-7- 1 1 1- 1 0 1 1- 10 0 1 B A AB B 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=rank rank ，所以系统可控； 30 2 2 8- 14- 8-1- 3- 2-4 4 2 1 2 1 1- 10 2=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡rank CA CA C rank ，所以系统可观。

b,[]x c c c y u x x 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=•由题设可知：[]30 1 0 1 1 0 1 0 1 1 01 A B 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==rank B rank rankB ，所以系统可控；（1）若0321===c c c ，则系统不可观；（2）若321c c c ，，中至少有一个不等于零，则3 2 CA CA C 321132113212≠⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡c c c c c c c c c c c rank rank ，所以系统不可观；总之，该系统不可观。

(完整word版)《线性系统理论》试卷及答案

R C 2《线性系统理论》试卷及答案1、（20分）如图所示RLC 网络,若e(t ）为系统输入变量r （t)，电阻R 2两端的电压为输出量y(t),选定状态变量为 x 1（t)=v 1（t ），x 2(t ）=v 2(t)，x 3（t)=i （t)要求列写出系统的状态空间描述。

2、(15分)求出下面的输入输出描述的一个状态空间描述。

y （4)+4y （3）+3y （2）+7y （1）+3y=u (3）+ 2u （1）+ 3u3、（15分）计算下列线性系统的传递函数。

[]210X 13101X y -⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦=4、(10分）分析下列系统的能控性.0111X X u a b •⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦5、（10分）分析下列系统的能观性。

[]1110a X X y Xb •⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦6、（15分)判断下列系统的原点平衡状态x e 是否大范围渐近稳定。

12221123x x x x x x==--7、（15分）已知系统的状态方程为221012000401X X u •--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦试确定一个状态反馈阵K,使闭环极点配置为λ1*=—2、λ2*=-3、λ3*=—4.答案：1、（20分）如图所示RLC 网络，若e （t ）为系统输入变量r （t ）,电阻R 2两端的电压为输出量y （t ），选定状态变量为 x 1(t)=v 1（t)，x 2(t ）=v 2（t ）,x 3（t)=i （t ）要求列写出系统的状态空间描述。

2、（15分）求出下面的输入输出描述的一个状态空间描述。

列出向量表示形式解出解出解出r x x x L R x x x rx LR x x x xx x C R x x x C xC x r x R x L L LL⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--=-=+=+==++1321113211311132122222112211333113000xy x xLy （4）+4y (3）+3y （2)+7y (1）+3y=u （3）+ 2u （1)+ 3u[]得出了状态空间表达式列出向量表示形式，就求导，有选取状态变量令有令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+----=========⎩⎨⎧++==++++++++=++++++===43211025233375y ~y ~x y ~x y ~...y ~x y ~x y ~3y ~2y ~y ~3y ~7y ~3y ~4y ~u 3734p 1y ~3734p 32p y d/dtp 4214321(4)43(2)22(1)1(3)4(1)21(1)(3)(1)(2)(3)(4)2342343x x x x x x x y ux x x x x x x x y u p p p u p p p p(完整word 版)《线性系统理论》试卷及答案3、(15分）计算下列线性系统的传递函数.[]Xy u X 10103112X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=[][][]计算得出传递函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-------=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=----1021131)3)(2(110)()(21131)3)(2(13112)()()(1010311210103112X 1111s s s s B A Is C s G s s s s s s A Is BA Is C s G CB A Xy u X(完整word 版)《线性系统理论》试卷及答案4、（10分）分析下列系统的能控性。