2.圆的方程与位置关系-讲义版

课程主题：圆的方程与位置

【知识点】

一、圆的方程形式

（1）圆的标准方程：)0()()(2

22>=-+-r r b y a x ，其中（,a b ）是圆心坐标，r 是圆的半径；

（2）圆的一般方程：02

2=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ），圆心坐标为(,)22

D E

-

-，半径为2242

D E F

r +-=

．

注:①确定圆的方程需要有三个互相独立的条件，通常也用待定系数法；

②圆的方程有三种形式，注意各种形式中各量的几何意义，使用时常数形结合充分运用圆的平面几何知识；

③圆的直径式方程：1212()()()()0x x x x y y y y --+--=，其中1122(,),(,)A x y B x y 是圆的一条直径的两端点．

二、点、线、圆与圆的位置关系 （一）点与圆：

点00(,)P x y 与圆2

2

2

()()x a y b r -+-=的位置关系：

（1）点在圆内⇔2

2

2

()()x a y b r -+-< (2)点在圆上⇔2

2

2

()()x a y b r -+-= (3)点在圆外⇔2

2

2

()()x a y b r -+-= （二）直线与圆:

1．直线l ：0(,Ax By C A B ++=不全为0），圆C ：2

2

2

()()x a y b r -+-=， 圆心到直线的距离为d ，直线与圆的位置关系的判断方法：

（1）几何法：d r >⇔直线与圆相离；d r =⇔直线与圆相切；d r <⇔直线与圆相交．

（2）代数法：联立直线方程和圆的方程，组成方程组，消元后得到关于x （或关于y ）的一元二次方程，设其判别式为∆，则0∆<⇔直线与圆相离；0∆=⇔直线与圆相切；0∆>⇔直线与圆相交． 2．若点00(,)P x y 为圆上一点，则过点P 的切线方程为

.0220000=+⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++F y y E x x D y y x x 或2

00))(())((r b y b y a x a x =--+-- 课程类型： 1对1课程 ☐ Mini 课程 ☐ MVP 课程

3．直线被圆截得弦长的求法：

（1）几何法：运用弦心距d 、半径r 及弦的一半构成直角三角形，计算弦长AB =222r d - （2）代数法：用一般的弦长公式AB 2

12(1)k x +-． （三）圆和圆的位置关系：

设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1，r 2，|O 1O 2|为圆心距，则两圆位置关系如下：

①|O 1O 2|>r 1+r 2⇔两圆外离； ②|O 1O 2|=r 1+r 2⇔两圆外切； ③| r 1-r 2|<|O 1O 2|< r 1+r 2⇔两圆相交； ④| O 1O 2 |=| r 1-r 2|⇔两圆内切； ⑤0<| O 1O 2|<| r 1-r 2|⇔两圆内含．

【课堂演练】

题型一 圆的方程

例1 圆222460x y x y ++--=的圆心和半径分别是（ ） A ．(1,2)-11 B ．(1,2)11C ．(1,2)--11 D ．(1,2)-11

练1 圆心在y 轴上，半径为1，且过点()1,2的圆的方程是（ ） A ．()2

221

x y +-=

B ．()2

2

21x y ++=

C ．()22

31x y +-=

D ．()2

2

31x y ++=

练2 下列方程中圆心在点(2,3)P -，并且与y 轴相切的圆是（ ） A ．22(2)(3)4x y -++= B ．22(2)(3)4x y ++-= C ．22(2)(3)9x y -++= D ．22(2)(3)9x y ++-=

练3 已知一个圆的圆心坐标标为)3,2(-，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则该圆的标准方程是（ ） A ．13)3()2(2

2

=-++y x B ．52)3()2(2

2=-++y x

C ．52)3()2(2

2

=++-y x D ．13)3()2(2

2

=++-y x

例2 圆心在y x =-上且过两点(2,0)，(0,4)-的圆的一般方程为 ．

练4 已知圆经过点()2,3A -和()2,5--两点，若圆心在直线230x y --=上，求圆的方程．

练5 已知圆经过点()1,1A 和()2,2B -两点，若圆心在直线10x y -+=上，求圆的方程．

例3 求经过直线0=+y x 与圆08422

2=--++y x y x 的交点，且经过点)2,1(--P 的圆的方程．

练6 求过点()()()1,03,00,1A B C -、、的圆的方程．

练7 求过直线240x y ++=和圆2

2

2410x y x y ++-+=的交点，且满足下列条件之一的圆的方程． （1）过原点；（2）有最小的面积．

题型二 点与圆的位置关系

例4 点(1,2-a a )在圆2

2

240x y y +--=的内部，则a 的取值范围是（ ） A ．11a -<<

B ．01a <<

C ．115

a -<<

D ．1

15

a -

<< 练8 点P 2

(,5)m 与圆22

24x y +=的位置关系是（ ）

A ．在圆内

B ．在圆外

C ．在圆上

D ．不确定