第二章 章末检测(A)

第二章 平面向量(A)

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．与向量a ＝(1，3)的夹角为30°的单位向量是( )

A ．(12，32)或(1，3)

B ．(32，12

)

C ．(0,1)

D ．(0,1)或(32，1

2

)

2．设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，1

2

)，则下列结论中正确的是( )

A ．|a |＝|b |

B ．a ·b ＝2

2

C ．a －b 与b 垂直

D ．a ∥b

3．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4等于( ) A ．(－1，－2) B ．(1，－2) C ．(－1,2) D ．(1,2)

4．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →

＝c ，则a ＋b ＋c 的模等于( ) A ．0 B ．2＋ 2 C. 2 D ．22 5．若a 与b 满足|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则a ·a ＋a ·b 等于( ) A.12 B.32 C ．1＋3

2

D ．2 6．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )

A ．－12a ＋32b B.12a －32b

C.32a －12b D ．－32a ＋12

b 7．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，

c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3

8．向量BA →＝(4，－3)，向量BC →

＝(2，－4)，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰非直角三角形 B ．等边三角形 C ．直角非等腰三角形 D ．等腰直角三角形

9．设点A (1,2)、B (3,5)，将向量AB →按向量a ＝(－1，－1)平移后得到A ′B ′→

为( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,7)

10．若a ＝(λ，2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则λ的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫103，＋∞ B.⎣⎡⎭

⎫10

3，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，103 D.⎝

⎛⎦⎤－∞，103 11．在菱形ABCD 中，若AC ＝2，则CA →·AB →

等于( ) A ．2 B ．－2

C ．|AB →

|cos A D ．与菱形的边长有关

12．如图所示，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是( )

A.P 1P 2→·P 1P 3→

B.P 1P 2→·P 1P 4→

C.P 1P 2→·P 1P 5→

D.P 1P 2→·P 1P 6→ 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案

13．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 14．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝________.

15．已知非零向量a ，b ，若|a |＝|b |＝1，且a ⊥b ，又知(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则实数k 的值为________．

16. 如图所示，半圆的直径AB ＝2，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P

为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →

的最小值是________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)已知a ，b ，c 在同一平面内，且a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c ；

(2)若|b |＝5

2

，且(a ＋2b )⊥(2a －b )，求a 与b 的夹角．

18．(12分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时，

(1)c ∥d ；(2)c ⊥d.

19．(12分)已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝1

2

，求：

(1)a 与b 的夹角；

(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值．

20．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →

＝0，求t 的值．

21．(12分)已知正方形ABCD ，E 、F 分别是CD 、AD 的中点，BE 、CF 交于点P .求证： (1)BE ⊥CF ； (2)AP ＝AB .

22．(12分)已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→

|＝1. 求证：△P 1P 2P 3是正三角形．

第二章 平面向量(A )

答案

1．D 2.C

3．D [根据力的平衡原理有f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，∴f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝(1,2)．]

4．D [|a ＋b ＋c |＝|AB →＋BC →＋AC →|＝|2AC →|＝2|AC →

|＝2 2.]

5．B [由题意得a ·a ＋a ·b ＝|a |2＋|a ||b |cos 60°＝1＋12＝3

2，故选B.]

6．B [令c ＝λa ＋μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧

λ＋μ＝－1λ－μ＝2， ∴⎩

⎨⎧

λ＝12μ＝－32

，

∴c ＝12a －3

2b .]

7．C [∵a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，∴8a －b ＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a －b )·c ＝30，∴(6,3)·(3，x )＝18＋3x ＝30.∴x ＝4.]

8．C [∵BA →＝(4，－3)，BC →

＝(2，－4)， ∴AC →＝BC →－BA →

＝(－2，－1)， ∴CA →·CB →＝(2,1)·(－2,4)＝0，

∴∠C ＝90°，且|CA →|＝5，|CB →|＝25，|CA →|≠|CB →

|.

∴△ABC 是直角非等腰三角形．]

9．B [∵AB →＝(3,5)－(1,2)＝(2,3)，平移向量AB →后得A ′B ′→，A ′B ′→＝AB →

＝(2,3)．] 10．A [a·b ＝－3λ＋10<0，∴λ>103.当a 与b 共线时，λ－3＝2

5，∴λ＝－65.此时，a 与b 同向，

∴λ>10

3.]

11．B [

如图，设对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB →＝AO →＋OB →. CA →·AB →＝CA →·(AO →＋OB →

)＝－2＋0＝－2，故选B.]

12．A [根据正六边形的几何性质．

〈P 1P 2→，P 1P 3→〉＝π6，〈P 1P 2→，P 1P 4→

〉＝π3，

〈P 1P 2→，P 1P 5→〉＝π2，〈P 1P 2→，P 1P 6→

〉＝2π3

.

∴P 1P 2→·P 1P 6→<0，P 1P 2→·P 1P 5→＝0，

P 1P 2→·P 1P 3→＝|P 1P 2→|·3|P 1P 2→

|cos π6＝32|P 1P 2→|2，

P 1P 2→·P 1P 4→＝|P 1P 2→|·2|P 1P 2→|·cos π3

＝|P 1P 2→

|2.比较可知A 正确．]

13．－1

解析 ∵a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，∴a ＋b ＝(1，m －1)．