圆基本概念和性质
圆的基本概念与性质
圆的基本概念与性质圆是几何学中的一个基本概念，在我们的日常生活中也经常出现。
对于圆的概念和性质，我们需要进行深入的探究。
本文将从圆的定义、圆的性质以及圆相关的计算方法等方面进行阐述。
一、圆的定义圆是由一个平面上的所有到一个固定点的距离都相等的点组成的图形。
这个固定点称为圆心，用O表示；到圆心距离相等的点与圆心之间的距离称为半径，用r表示。
圆的边界称为圆周，圆周上的任意两点与圆心之间的距离都相等。
二、圆的性质1. 圆的直径与半径圆的直径是指通过圆心的一条线段，它的两个端点都在圆上。
直径的长度等于半径的两倍，即d=2r，其中d代表直径的长度。
2. 圆的周长圆的周长是圆周的长度，通常用C表示。
周长的计算公式为C=2πr，其中π是一个数学常数，取近似值3.14。
3. 圆的面积圆的面积是指圆所包围的区域的大小，通常用A表示。
面积的计算公式为A=πr²，即圆的面积等于半径的平方乘以π。
4. 圆的弧长圆的弧长是圆周上一部分的长度，通常用L表示。
弧长的计算公式为L=2πr，其中r是弧所对应的半径，即弧长等于弧所对应的圆心角的度数除以360度再乘以周长。
5. 圆的扇形面积圆的扇形是由一个圆心角和与其所对应的弧组成的图形，通常用S 表示。
扇形的面积计算公式为S=πr²θ/360°，其中θ是圆心角的度数，r 是半径。
6. 圆的切线与法线圆上的切线是与圆周只有一个交点的直线，切线的斜率等于半径的斜率。
圆上的法线是与切线垂直，并通过圆心的直线。
三、圆的应用圆在日常生活中具有广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 圆形运动：物体在圆周上做匀速运动时，我们可以利用圆的性质来计算物体的位移、速度、加速度等。
2. 圆的建筑：许多建筑设计中都会使用圆形的建筑物，比如圆形剧场、圆形广场等，给人以艺术美感。
3. 圆的通信：在无线通信中，天线辐射出的信号范围就是一个圆形的区域，我们可以通过圆的性质来计算信号的传播距离与强度。
圆的基本概念与性质
圆的基本概念与性质圆是几何学中基础而重要的概念之一。
它是一个平面内所有到一个固定点距离相等的点的集合。
本文将探讨圆的基本概念和性质，以加深对圆的理解。
一、圆的定义与符号圆可以用数学语言进行准确的描述。
形式化地说，给定一个平面上的点O和一个固定的正实数r，那么以点O为圆心，以r为半径的所有点构成的集合就是圆。
我们用符号"O"表示圆心，用字母"r"表示半径。
圆的符号可以用如下形式表示：⚪O。
二、圆的特性1. 圆心与半径圆心是圆的核心，用来确定圆的位置。
半径是圆心到圆上任意一点的距离，用于度量圆的大小。
2. 直径与周长圆的直径是通过圆心的任意两点之间的距离，它是圆的最长的一条线段。
直径的长度等于圆的半径的两倍。
圆的周长是圆上一点返回到该点所经过的路径的长度，也被称为圆的周长。
周长的长度可以用公式C = 2πr来计算，其中π是一个无限不循环小数，近似值为3.14159。
3. 弧度与弧长在圆上取定一个角度为θ（弧度），对应于圆的周长为L（弧长）。
则弧长可以通过圆的周长与圆心角的度数之间的关系来计算：L =θ/360°× 2πr。
4. 弧与扇形将圆上两个点间的弧与圆心连线围成的部分，称为弧。
弧还可以进一步扩展为圆的扇形，其由圆心、圆上两点及所包围的弧组成。
三、圆的性质1. 圆的对称性圆在平面上具有对称性。
对于圆上的任意一点P，如果存在关于圆心O的一条直线l，使得直线l上的每一点与点P关于圆心O都对称，那么点P是圆的一个对称点。
2. 切线与法线圆的切线是与圆仅有一点相切的直线，这个点就是切点。
切线与半径的夹角为90°，称为切线的法线。
切线的斜率为切点处的切线与圆心之间的直线的斜率的负倒数。
3. 圆的内切与外切如果两个圆相切于一点，且一个圆完全包含在另一个圆内部，那么这两个圆是内切的关系。
如果一个圆与另一个圆外部的两个点相切，那么这两个圆是外切的关系。
圆的概念与性质
圆的概念与性质圆是几何学中最基本也是最重要的图形之一。
它具有独特的概念与性质，对于几何学研究和实际生活应用都具有重要的意义。
一、圆的概念圆可以通过平面上的一点（圆心）和与这个点距离相等的所有点构成，这个相等的距离称为圆的半径。
圆的边界称为圆周，圆周上的所有点到圆心的距离都相等。
二、圆的性质1. 圆心和半径：圆心是圆的核心位置，半径是从圆心到任意一个点的距离。
所有半径的长度都相等。
2. 直径：直径是通过圆心的一条线段，且两个端点都在圆上。
直径是圆的最长线段，其长度等于半径的两倍。
3. 弧长：弧长是圆上的一段弧对应的圆周长度。
弧长和圆的半径以及所对应的圆心角有关。
4. 弧度：弧度是弧长和半径之间的比值。
一个完整圆的弧长等于2π倍的半径。
角度和弧度之间的转换关系是180°=π弧度。
5. 扇形：扇形是由圆心、圆周上的两个点以及连接这两个点的弧段所构成的图形。
6. 弦：弦是连接圆周上的两个点的线段。
7. 切线：切线是与圆周只有一个交点的直线，切线与半径的夹角是直角。
8. 正切线：正切线是过圆上一点并且与该点的切线垂直相交的直线。
9. 圆的面积：圆的面积是指圆所包围的平面区域。
圆的面积公式是πr²，其中r为圆的半径。
三、圆的应用1. 圆在建筑设计中的应用：圆形的建筑物，例如圆形剧场、圆形体育馆等，不仅美观而且具有良好的音响效果和观看体验。
2. 圆在交通规划中的应用：交通圆环的设计可以提高交通效率，减少交通事故的发生。
3. 圆在制造业中的应用：例如车轮、电机转子等，圆形的设计可以提高工作效率和产品的稳定性。
4. 圆在数学研究中的应用：圆的概念和性质是数学研究中的基础，广泛应用于数学的各个分支，如几何学、代数学等。
总结：圆是几何学中的基本图形，具有独特的概念和性质。
圆的应用广泛存在于我们的生活中，不仅美观而且具有很多实际价值。
对于几何学的学习和实际应用，深入理解圆的概念和性质是非常重要的。
圆的基本概念与性质
圆的基本概念与性质圆是我们生活中常见的几何图形之一，它具有许多独特的特点和性质。
作为一位初中数学特级教师，我将为大家介绍圆的基本概念和一些重要的性质，并通过实例和分析来说明它们的应用。
一、圆的基本概念圆是由平面上到一个固定点的距离等于定长的点的集合。
这个固定点称为圆心，定长称为半径。
圆的符号通常用大写字母O表示圆心，小写字母r表示半径。
例如，我们可以用O(r)来表示半径为r的圆。
二、圆的性质1. 圆的周长和面积圆的周长是圆的边界上所有点到圆心的距离之和。
我们知道，圆的周长公式是C=2πr，其中π是一个无理数，约等于3.14。
这个公式告诉我们，圆的周长与半径成正比，半径越大，周长也越大。
圆的面积是圆内部所有点到圆心的距离之和。
圆的面积公式是A=πr²。
这个公式告诉我们，圆的面积与半径的平方成正比，半径越大，面积也越大。
2. 圆的切线和弦圆上的切线是与圆相切且只有一个交点的直线。
切线与半径垂直，切点在切线上的两条半径相等。
圆内的弦是连接圆上任意两点的线段。
弦的长度小于或等于圆的直径，且直径是圆的最长弦。
3. 圆的相交关系当两个圆的圆心距离小于两个圆的半径之和时，这两个圆相交。
当两个圆的圆心距离等于两个圆的半径之和时，这两个圆相切。
当两个圆的圆心距离大于两个圆的半径之和时，这两个圆相离。
三、圆的应用举例1. 圆的周长和面积的计算假设一个圆的半径为5cm，我们可以使用周长公式C=2πr来计算它的周长。
代入半径r=5，得到C=2π×5≈31.4cm。
同样，我们可以使用面积公式A=πr²来计算它的面积。
代入半径r=5，得到A=π×5²≈78.5cm²。
2. 圆的切线和弦的应用在建筑设计中，我们经常需要确定一个圆的切线或弦的位置。
例如，如果我们要在一个圆形花坛周围铺设一条环形步道，我们可以通过确定切线的位置来确定步道的宽度和形状。
另外，如果我们要在一个圆形游泳池内部建造一个桥梁，我们可以通过确定弦的位置来确定桥梁的长度和位置。
圆的概念与基本性质
圆的概念与基本性质圆是我们生活中常见的一种几何形状，具有独特的概念和性质。
在本文中，我们将探讨圆的定义、基本要素以及一些与圆相关的重要性质。
一、圆的定义和基本要素圆可被定义为平面上所有与中心点距离相等的点的集合。
中心点通常用字母O表示，半径用字母r表示。
以O为中心，r为半径所得的圆称为圆O。
二、圆的基本性质1. 圆的直径圆的直径是指穿过圆心，且两个端点都落在圆上的线段。
直径的长度等于半径的两倍，即直径d=2r。
2. 圆的周长圆的周长是指圆周上所有点到圆心的距离之和。
如果圆的半径为r，那么它的周长C等于2πr，其中π是一个无理数，约等于3.14。
3. 圆的面积圆的面积指的是圆内部的部分。
其面积S可以由半径r的平方乘以π计算得到，即S = πr²。
4. 弧圆上的一段弧可以看作是圆周上一段弯曲的部分。
弧是圆的重要元素之一，可以用弧长来描述。
弧长表示的是弧的长度。
5. 弦圆上的两个点间的线段被称为弦。
圆上的每个弦都有一个对应的弧，而且每一个弧都有一个对应的弦。
6. 切线若一条直线与圆只有一个交点，且与该点的切线垂直于半径，则称该直线为圆的切线。
7. 弦切角对于圆上的弦和切线，它们夹角的一半被称为弦切角。
弦切角是圆的重要性质之一，可用于求解与圆相关的问题。
三、圆的重要性质1. 圆的任意直径都相等根据圆的定义，圆上任意两点到圆心的距离相等，因此圆的任意直径必然相等。
2. 圆的半径与切线垂直圆的半径与任何切线相交的角度都是90度（垂直），这一性质能够应用于解决一些相关的几何问题。
3. 两条相交弦的乘积相等如果在圆内，两条弦相交于一点，则与弦相交的第一条弦的两段乘积等于第二条弦两段乘积，即AM*MB=CM*MD（详见图1）。
4. 切线与半径的关系圆上一点到切线的距离等于该点到切点的半径的长度（详见图2）。
这些是圆的一些重要概念和性质，通过对圆的定义、基本要素和性质的了解，我们可以更好地理解圆的几何特征和数学规律，应用于实际问题求解之中。
圆的概念及性质知识点梳理
圆的概念及性质知识点梳理一、圆的基本概念 1. 圆的定义：圆是由平面上到一定点的距离相等的所有点组成的集合。
2. 圆的符号表示：以大写字母O表示圆心，小写字母r表示半径，圆可以表示为O(r)。
3. 圆的元素：圆心、半径、直径。
二、圆的性质 1. 对称性： a. 圆心对称：圆内任意一点都可以通过圆心的对称变换到另外一个点。
b. 直径对称：圆内任意一点都可以通过圆的直径对称变换到另外一个点。
2. 圆与直线的关系： a. 圆与直线的交点：一条直线与圆相交的点数可能为0、1、2个。
b. 切线：一条直线切圆的条件是直线与圆有且仅有一个交点。
c. 弦：一条直线与圆有两个交点，这两个交点与圆心连接形成的线段称为弦。
3.圆与角的关系： a. 圆心角：圆内的两条半径所对应的角称为圆心角，圆心角的度数等于弧度的两倍。
b. 弧度：弧长等于半径的弧对应的角的度数称为弧度。
c. 弧度制与度数制转换：弧度 = 度数× π / 180。
4. 圆与面积的关系： a. 圆的面积公式：圆的面积等于半径的平方乘以π，即A = πr^2。
b. 圆周长与面积的关系：半径一样的两个圆，周长较大的圆面积也较大。
5. 圆与体积的关系：a. 圆柱的体积公式：圆柱的体积等于底面积乘以高，即V = πr^2h。
b. 圆锥的体积公式：圆锥的体积等于底面积乘以高再除以3，即V = (1/3)πr^2h。
c. 球体的体积公式：球体的体积等于(4/3)πr^3。
三、圆的应用 1. 圆的几何应用： a. 轮胎：轮胎通常采用圆形设计，便于车辆转向和行驶。
b. 钟表：钟表上的指针转动的轨迹是一个圆弧。
2. 圆的物理应用： a.运动：物体在做圆周运动时，其运动轨迹是一个圆。
b. 电子：电子的轨道运动也是一个圆形的。
c. 光学：光学中的透镜和曲率半径有关，曲率半径越小，透镜越强。
3. 圆的数学应用： a. 数学公式：圆的周长和面积的计算公式是数学中的基本公式之一。
圆的基本概念与性质
圆的基本概念与性质圆是几何中的一种基本图形，具有独特的性质和特点。
本文将介绍圆的基本概念和性质，探讨其在数学和日常生活中的应用。
一、圆的基本概念圆是由一个平面内距离中心固定点相等的所有点构成的集合。
其中，固定点称为圆心，距离圆心的长度称为半径。
圆由圆心和半径唯一确定。
二、圆的性质1. 圆的直径圆的直径是连接圆上任意两点，并通过圆心的线段。
直径的长度等于圆半径的2倍。
2. 圆的周长圆的周长是指圆上任意两点之间的距离，也可以理解为圆的边界长度。
周长的计算公式为C=2πr，其中C表示周长，r表示半径。
3. 圆的面积圆的面积是指圆内部所有点组成的区域。
面积的计算公式为A=πr^2，其中A表示面积，r表示半径。
4. 弧圆上两点之间的部分称为圆弧。
弧对应的圆心角等于弧所夹的圆心角。
5. 弦圆上连接两点的线段称为弦。
如果弦通过圆心，则称为直径。
否则，称为弦。
6. 切线与圆相切且仅有一个切点的直线称为圆的切线。
切线与半径垂直。
7. 弦切角圆的内部一点与两条相交弦之间的角称为弦切角。
同弧切角相等。
三、圆的应用圆的概念和性质在数学中有广泛应用，也在日常生活中有所体现。
以下为几个常见的应用场景：1. 几何图形圆是许多其他几何图形的基础，例如圆柱体、圆锥体和圆环等。
了解圆的概念和性质，有助于我们更好地理解和应用这些几何图形。
2. 建筑设计在建筑设计中，圆形结构常常被运用。
圆形的建筑物可以提供良好的结构稳定性和美观性。
例如，圆形拱门和圆顶常常用于教堂和宫殿等建筑中。
3. 工程测量圆的性质在工程测量中有重要的应用。
通过测量圆的半径或直径，可以计算出工程中需要的其他参数，如周长、面积和体积。
4. 自然现象许多自然现象中都存在圆形，例如太阳、月亮、风旋涡等。
理解圆的概念和性质，有助于我们更好地解释和研究这些自然现象。
结语圆是几何学中的基本概念之一，具有独特的性质和广泛的应用。
通过了解圆的基本概念和性质，我们能够更好地理解几何学知识，并将其应用于实际生活中。
圆的基本概念与性质
圆的基本概念与性质圆是数学中的一个基本几何形状，它是平面上所有离一个特定点的距离都相等的点的集合。
圆的特性以及相关的性质在数学和几何学的研究中有着广泛的应用。
本文将介绍圆的基本概念、性质以及应用。
1. 圆的定义圆是由平面上所有距离一个固定点距离相等的点构成的图形。
该固定点叫作圆心，用O表示，它到圆上任一点的距离叫作半径，用r表示。
圆可以通过半径和圆心表示为“圆O(r)”。
2. 圆的性质圆有一些特点和性质，下面将列举一些重要的性质：(1) 圆上的任意两点与圆心连线的长度相等。
(2) 圆上任意一条线段被圆心分成两部分，其中一部分的长度就是另一部分的两倍。
(3) 圆上的任意一条弧所对的圆心角是不变的，即不依赖于弧的位置和大小。
(4) 圆的内切圆与外切圆的圆心在同一直径上。
(5) 圆的内切正多边形的边数越多，其形状越接近圆。
(6) 圆的内部所有点到圆心的距离都小于半径。
(7) 圆的外部所有点到圆心的距离都大于半径。
除了上述性质外，圆还有许多重要的应用。
3. 圆的应用圆的性质和特点在实际生活中有着广泛的应用，下面将介绍一些常见的应用场景：(1) 圆的计算：根据圆的半径或直径可以计算圆的周长和面积。
圆的周长可以通过公式C=2πr计算，其中π是一个常数，约等于3.14159。
圆的面积可以通过公式A=πr^2计算。
(2) 圆的测量：在实际测量中，圆的概念经常被用来描述和测量曲线的形状，如圆形的轮胎、圆形的盘子等。
(3) 圆的建模：在工程设计和物理学中，圆的性质被广泛用于建模和解决问题，如地球的形状可以近似看作一个圆球等。
(4) 圆的几何关系：圆和其他几何形状之间有着多种关系，如圆的切线、圆与直线的交点等，这些关系在解决几何问题中非常有用。
综上所述，圆是一个重要的几何形状，在数学和几何学中有着广泛的应用。
通过研究圆的定义和性质，我们可以理解和应用它在实际问题中的意义，从而更好地解决相关的数学和几何问题。
圆的基本概念与性质
圆的基本概念与性质圆是几何学中最基本的图形之一，它具有独特的形状和性质。
本文将对圆的基本概念和一些重要性质进行详细介绍。
一、圆的定义圆是由平面上距离一个固定点一定距离的所有点组成的集合。
这个固定点被称为圆心，而这个距离被称为半径。
二、圆的常用符号在几何学中，圆常用符号“O”表示圆心，用字母“r”表示半径。
因此，一个圆可以用符号“O(r)”表示。
三、圆的性质1. 圆的对称性由于圆的定义是以一个固定点为中心，所有距离这个点相等的点的集合，因此圆具有天然的对称性。
任意一条直径将圆分成两个等边的半圆，半圆上的所有点与圆心的距离相等。
2. 圆的直径、半径和弦在圆中，直径是通过圆心并且两端点都在圆上的线段；半径是从圆心到圆上的任意一点的线段，它等于圆的半径；弦是圆上连接两个点的线段，不经过圆心。
3. 圆的周长和面积圆的周长定义为圆上的一条完整弧所对应的长度，可以用公式C =2πr来计算，其中C表示周长，r表示半径。
圆的面积定义为圆内所有点所组成的区域的大小，可以用公式A = πr²来计算，其中A表示面积，r表示半径。
4. 圆的切线和法线圆上的切线是与圆相切的直线，它只与圆在切点相交。
切线与半径构成的夹角为90度。
法线是与切线垂直的直线，它通过切点并与切线垂直相交。
5. 圆的弧度制和度数制圆的弧度制是一种用弧长比半径的面度来度量角度的方式。
一个圆的弧长等于半径的弧度数。
度数制是人们常见的度量角度的方式，一个圆被等分为360度，1度等于圆的1/360。
四、圆的相关定理和应用1. 圆上的三角形圆上的三角形是指三个顶点都在圆上的三角形。
它有很多特殊性质，如圆上的两条弧所对应的角相等，半径与割线所包围的弧所对应的角相等等。
2. 切线定理和切割定理切线定理指的是切线与半径的关系，即切线的平方等于切点处外切圆的半径与切点到圆心的距离之积。
切割定理指的是弦分割定理和切线分割定理，它们描述了切线和弦所分割的弧长和线段之间的关系。
圆的基本概念与性质
圆的基本概念与性质圆是几何学中的一种基本图形，具有独特的性质和各种重要的应用。
本文将对圆的基本概念和性质进行介绍，以及相关的推论和应用。
一、圆的定义与基本概念圆是平面上一组点，这些点到确定的一点（圆心）的距离相等，这个固定的距离称为半径。
在几何学中，常用字母O表示圆心，r表示半径。
圆用圆周符号"⌒"表示。
二、圆的性质1. 圆的直径与半径关系圆的直径是圆上任意两点的距离，是半径的两倍。
即：直径d =2r。
2. 圆的周长与半径关系圆的周长是圆周上的长度，记作L。
根据圆的性质，周长与半径之间有以下关系：L = 2πr，其中π取近似值3.14。
3. 圆的面积与半径关系圆的面积是圆内部的区域，记作S。
圆的面积与半径之间存在以下关系：S = πr²。
4. 圆的切线与半径的垂直关系切线是与圆周相切的直线，当切线与半径相交时，相交点处的角是直角。
5. 圆的弧长与圆心角的关系弧长是圆周的一部分长度，圆心角是对应的弧所对的圆心角。
弧长与圆心角之间的关系为：弧长= rθ，其中θ表示弧度。
三、圆的推论和应用1. 圆内接正多边形的性质内接正多边形的每条边都刚好与圆的圆周相切，圆心角等于多边形内角，有利于解决多边形相关问题。
2. 圆锥的截面当平面与一个圆锥相交时，截面形状可以是圆、椭圆、抛物线或双曲线。
这些形状都与圆相关，具有重要的几何性质。
3. 圆的应用于几何问题在实际生活和工程中，圆的应用十分广泛。
例如，建筑中的圆形拱门和圆顶，汽车的轮胎和转向半径计算，钟表的指针运动轨迹等。
4. 圆的应用于数学问题圆也是许多数学问题的基础，如三角函数的单位圆定义、圆的投影和旋转、圆的表示与方程等。
总结：圆是几何学中重要的基本图形，具有独特的性质和广泛的应用。
掌握圆的基本概念，了解圆的性质与推论，有助于解决与圆相关的几何和数学问题。
通过对圆的深入学习和应用，我们能更好地理解和利用几何学的知识。
圆的基本概念
圆的基本概念圆是几何学中的一种基本形状，它具有许多独特的特性和重要的应用。
本文将介绍圆的基本概念、性质和应用，以及与圆相关的一些重要定理和公式。
一、圆的定义圆是由平面上距离中心固定距离的所有点构成的图形。
其中，距离中心最远的点称为圆的边界，也称为圆周；距离中心的长度称为圆的半径，用字母r表示；直径是通过圆心并且两端点都在圆周上的线段，直径的长度是半径长度的两倍。
二、圆的性质1. 圆上的任意两点与圆心的距离相等。
2. 圆的直径是圆周长的两倍。
3. 圆的面积公式为S = π * r²，其中π是一个常数，约等于3.14。
4. 圆的周长公式为C = 2 * π * r。
5. 在圆内任取一点A，与圆心连线，得到线段OA。
以OA为半径，做圆心在圆上作弦AB，与OA所关的扇形和三角形OAB的面积之和等于全圆的面积。
三、圆的重要定理1. 切线定理：如果一条直线与圆相切于点T，那么切线的斜率等于与圆心连线的斜率。
2. 弧长定理：弧所对的圆心角的大小等于弧长与半径的比值。
3. 弦长定理：弦所对的两个圆心角的大小相等。
四、圆的应用1. 圆在几何图形的构建中具有重要作用，可以通过给定的半径和圆心画出一个确定的圆。
2. 圆的应用广泛，例如建筑设计中的圆形窗户和圆形拱门，以及机械工程中的圆锥和齿轮系统。
3. 圆的性质在计算机图形学和计算机编程中被广泛应用，例如设计和绘制圆形图标、圆形按钮等。
总结：圆作为几何学中的基本形状，具有着丰富的性质和重要的应用价值。
通过对圆的定义、性质和定理的理解，我们可以更好地认识和应用圆形图形。
在实际生活和工作中，我们经常会遇到和使用圆，因此深入理解圆的基本概念对我们的学习和工作具有重要意义。
通过不断学习和探索，我们可以更好地利用圆的特性，将其应用于各个领域，促进我们的创新和发展。
圆的基本概念与性质
圆的基本概念与性质圆是几何学中重要的图形之一，具有独特的形态和性质。
本文将介绍圆的基本概念以及与圆相关的性质，旨在帮助读者更好地理解和应用圆的知识。
一、圆的基本概念圆是平面上的一个封闭曲线，它的每个点到圆心的距离都相等。
二、圆的性质1. 圆心和半径圆心是圆上所有点的中心点，通常用字母“O”表示。
半径是从圆心到圆上任意点的距离，通常用字母“r”表示。
圆心和半径是圆的两个重要元素。
2. 直径直径是通过圆心的一条直线段，它的两个端点在圆上。
直径是圆的最长线段，长度等于半径的两倍。
3. 弦弦是圆上连接两个点的线段。
弦可以是直径，也可以是除了直径以外的线段。
4. 弧弧是圆上的一部分，它是由两个端点和连接这两个点的圆弧组成。
弧的长度可以是圆周长度的任意部分。
5. 圆周角圆周角是圆上位于圆心的角，它的两条边是以圆心为顶点的两条弧。
圆周角的度数是圆上所占有的弧的度数。
6. 切线切线是与圆只有一个公共点的直线。
切线与半径的夹角是90度。
7. 弦切角弦切角是一条直线与弦相交所形成的角。
夹在圆上同一弧的两个弦上的切角，称为弦切角。
8. 弦弧关系对于圆上的弦和弧，如果弦的长度与它所夹的圆心角相等，则这个弦所对应的圆周弧的长度也相等。
这是弦和弧之间的一个重要的关系。
9. 圆的面积圆的面积由半径决定，面积的大小等于π乘以半径的平方，其中π是一个固定的无理数，约等于3.14159。
10. 圆的周长圆的周长由半径决定，周长等于半径乘以2π，即2πr。
总结圆的基本概念与性质对于几何学的学习和应用具有重要意义。
掌握了圆的基本概念，我们能够准确理解圆的形态和特点；而掌握了圆的性质，我们能够灵活应用这些性质解决与圆相关的问题。
因此，加深对圆的基本概念与性质的理解与掌握，有利于我们在几何学中取得更好的学习成果。
圆的基本性质与计算公式(知识点总结)
圆的基本性质与计算公式（知识点总结）圆是几何学中的重要概念，具有许多特殊的性质和计算公式。
本文将从不同的角度来总结和介绍圆的基本性质和计算公式，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、圆的基本概念和性质1. 定义：圆是由平面上任意一点到一个固定点的距离等于常数的所有点的集合。
2. 圆心：固定点称为圆心，通常用字母O表示。
3. 半径：圆心到圆上任意一点的距离称为半径，通常用字母r表示。
4. 直径：通过圆心的一条线段，两个端点在圆上的线段称为直径，直径等于半径的两倍。
5. 弦：在圆上任意两点之间的线段称为弦，圆的直径也是一种特殊的弦。
6. 弧：在圆上两点之间的一段弧，圆心夹的角称为圆心角，它等于所对圆弧的一半。
7. 切线：与圆相切于圆上一点的直线称为切线，切线与半径的夹角为90度。
二、圆的计算公式1. 圆的周长：周长即圆的周长，用C表示，由于圆是一个闭合曲线，所以其周长是所有弧长的总和。
周长计算公式为C = 2πr，其中π取近似值3.14。
2. 圆的面积：面积是圆所包围的平面区域，用A表示，计算公式为A = πr²。
3. 弧长：弧长是指圆上一段弧的长度，用字母L表示。
弧长的计算公式为L = 2πr(θ/360)，其中θ表示圆心角的度数。
4. 扇形面积：扇形是由圆心和两个弧上的点组成的区域，扇形面积即扇形所包围的平面区域，用字母S表示。
扇形面积的计算公式为S = 0.5πr²(θ/360)，其中θ表示圆心角的度数。
5. 弓形面积：弓形是由圆上的弧和圆心到弧的两条切线组成的区域，弓形面积即弓形所包围的平面区域，用字母A表示。
弓形面积的计算公式为A = 0.5r²(θ/360 - sinθ)，其中θ表示圆心角的度数。
三、应用举例1. 例题一：已知一个圆的半径为6cm，求其周长和面积。
解：周长C = 2πr = 2π × 6 ≈ 37.68 cm，面积A = πr² = π × 6² ≈ 113.04 cm²。
圆的概念与性质
圆的概念与性质圆是几何学中一种基本的二维图形，被广泛应用于数学、物理和工程领域。
本文将从圆的定义、性质以及应用等方面进行探讨。
一、圆的定义圆是由平面上离给定点距离相等的所有点组成的集合。
给定平面上的一个点为圆心，以该点为中心，以一个确定的长度为半径做直线，与平面上的点交于一或两点，这一或两点离圆心的距离为半径长，称其为圆。
二、圆的基本性质1. 圆心和半径在圆中，圆心是一个关键概念。
圆心可用于确定圆的位置，并将圆分割为内部和外部两部分。
圆心对称性是圆的独特性质之一，即圆上的任意两点与圆心的距离相等。
2. 弧和弧长圆上的弧是由圆周上的两点所确定的一部分，它可以是一段弧或者是圆上的整个弧。
弧长是指弧所对应的圆周的长度。
可以通过已知的圆的半径和弧度来计算弧长。
3. 圆的直径和周长圆的直径是通过圆心的直线，其两个端点都在圆上。
直径的长度是圆周长度的两倍，即d=2r，其中d为直径，r为半径。
圆的周长是指圆周的长度，通常用C表示，其计算公式为C=2πr。
4. 圆的面积圆的面积是指圆内部的平面区域的大小，通常用A表示。
圆的面积的计算公式为A=πr^2，其中r为半径。
三、圆的应用圆具有许多实际应用，以下列举几个常见的应用场景：1. 圆的几何应用在建筑、设计和工程领域，圆常常用于绘制弧线、圆形或圆弧结构，如建筑的圆顶、桥梁的拱形等。
圆形的地基也可以增强结构的稳定性。
2. 圆的运动学应用在物理学和工程中，圆用于描述旋转和循环运动。
例如，轮胎的旋转和车轮在行驶过程中的循环运动均可以使用圆来解释和计算。
3. 圆的几乎的普遍性圆是自然界中最常见的形状之一。
在生物学和天文学中，圆形的结构和形态被广泛观察。
例如，太阳、行星、水滴和许多生物体的细胞结构都具有圆形特征。
4. 圆的数学应用圆具有丰富的数学应用，与圆相关的数学概念如三角函数、圆周率等，都在数学研究和实际问题中发挥着重要的作用。
例如，三角函数中的正弦函数和余弦函数可以通过圆的投影和观察来定义和计算。
圆的基本概念与性质
圆的基本概念与性质圆是几何学中的基本图形之一，它具有独特的性质和特点。
本文将介绍圆的基本概念和性质，并以简明扼要的方式展示出来。
1. 圆的定义圆是由平面内到一个定点距离等于该定点到平面内所有点的距离的所有点组成的集合。
这个定点称为圆心，到圆心距离等于半径的线段称为半径，圆上的任一线段都等于半径的长度。
2. 圆的元素（1）圆心：圆心是圆的核心点，通常用大写字母O表示。
（2）半径：半径是从圆心到圆上任意一点的线段，通常用小写字母r表示。
（3）直径：直径是通过圆心并且两端点处于圆上的线段，直径的长度是半径的两倍，通常用小写字母d表示。
（4）弦：弦是圆上任意两点之间的线段。
（5）弧：弧是圆上两点之间的一段曲线。
3. 圆的性质（1）圆是由无数个点组成的闭合曲线。
（2）圆的直径是圆中最长的线段，且等于半径的两倍。
（3）圆的半径在圆上任一点都是垂直于切线的。
（4）圆上任意两条弦所对应的圆心角相等。
（5）切线与半径的夹角是直角。
（6）对于同一个圆，如果两条弧的夹角相等，则它们所对应的弦的长度也相等。
4. 圆的重要定理（1）圆的半径平分弦和弧。
（2）在圆上，两条弦和它们所夹的弧所对应的圆心角相等。
反之，两条弦所对应的圆心角相等，则它们所夹的弧也相等。
（3）在圆上，两条相等的弧所对应的圆心角也相等。
（4）在圆上，夹在同一弧上的两个圆心角互补（合为180度）。
（5）在圆内，夹在同一弧上的两个角互为补角（合为90度）。
总结圆作为几何学中基本的图形之一，具有许多重要的性质和定理。
通过对圆的基本概念的理解和对其性质的掌握，我们能更好地应用它们解决实际问题。
对于进一步学习几何学和进行相关研究，圆的基本概念与性质是必不可少的基础知识。
圆的基本概念与性质
圆的基本概念与性质圆是几何学中的重要概念，具有独特的性质。
本文将详细介绍圆的基本概念以及一些常见的性质，以帮助读者更好理解和掌握圆这一几何形状。
一、圆的定义圆是由平面内与一定点之间的距离都相等的所有点的集合构成的几何图形。
二、圆的要素1. 圆心：圆心是圆上所有点到该点的距离相等的点。
通常用字母O 表示圆心。
2. 半径：半径是圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。
3. 直径：直径是通过圆心的一条线段，两个端点在圆上。
直径的长度是半径的两倍，即d=2r。
三、圆的性质1. 圆的周长：圆的周长是圆上一周的长度，通常用字母C表示。
由于圆上任意两点之间的距离都是一样的，所以圆的周长可由半径或直径表示。
周长公式为：C=2πr或C=πd。
2. 圆的面积：圆的面积是圆内部的所有点的集合。
用字母A表示。
根据圆的性质，圆的面积可由半径或直径表示。
面积公式为：A=πr²或A=π(d/2)²。
3. 圆的弧长：圆的弧是圆上两点之间的一段弧，圆弧长度即为弧长。
弧长与圆心角的大小有关，公式为：L=2πr × (θ/360°)，其中θ为圆心角的度数。
4. 圆的扇形面积：扇形是由圆心、圆上两点以及与圆心连线的弧所围成的图形。
扇形的面积是圆的一部分面积。
扇形面积与圆心角的大小有关，公式为：S=πr² × (θ/360°)。
5. 圆的切线：切线是与圆相切且仅切于圆上一个点的直线。
切线与半径垂直，相切点就是切线与圆的唯一公共点。
6. 圆的切点：切点是切线与圆相交的点。
由于切线仅与圆相交于一个点，所以切点也是圆上的唯一点。
7. 圆的弦：弦是圆上两点之间的线段。
弦的长度可以小于、等于或大于直径。
直径是弦的特殊情况，即直径是连接圆上任意两点的弦。
8. 圆与直线的关系：直线可以与圆有三种不同的关系：相离、相切和相交。
如果直线与圆没有相交点,则称直线与圆相离；如果直线只有一个切点,则称直线与圆相切；如果直线与圆有两个相交点,则称直线与圆相交。
圆的概念与性质
圆的概念与性质圆是几何学中常见的一个基本图形，有着丰富的性质和应用。
本文将为您介绍圆的概念、性质以及在实际生活中的应用。
一、圆的概念圆是由平面中与一个确定点距离相等的所有点组成的集合。
该确定点称为圆心，与圆心距离相等的距离称为半径。
以圆心为原点，以半径长度为半轴的线段构成的曲线称为圆的周长，用C表示。
圆的周长与直径的比值称为圆周率，用π表示，其值约为3.14159。
二、圆的性质1. 圆的内外点关系：圆内的任意点到圆心的距离小于半径，而圆外的任意点到圆心的距离大于半径。
2. 圆的直径与半径：直径是连接圆上两个点且经过圆心的线段，它的长度是半径的两倍。
3. 圆的切线与半径：切线是与圆仅有一个交点的直线，该交点与圆心连线垂直。
切线与半径的关系是垂直关系。
4. 圆的弦与半径：弦是圆上任意两点之间的线段，弦的中点与圆心连线垂直。
弦和半径的关系是垂直关系。
5. 圆的弧与扇形：圆的弧是两个端点在圆上的弧线，可以用弧长来表示。
扇形是由圆心、圆上的两个点以及所对应的圆心角组成的区域。
6. 圆的面积：圆的面积可以用半径或者直径来计算，其公式为πr²或者π(d/2)²，其中r为半径，d为直径。
三、圆的应用圆在生活中有着广泛的应用，以下列举几个常见的例子：1. 圆的运动轨迹：许多自然界中的运动都以圆形轨迹进行，比如行星绕太阳的轨道以及地球自转产生的地球日等。
2. 圆形建筑物：圆形的建筑物在设计上具有良好的稳定性和视觉效果，比如宫殿中的圆形大厅、圆形会议室等。
3. 轮胎和车轮：轮胎和车轮的形状往往为圆形，这是为了减少摩擦力，提高行驶的平稳性。
4. 交通信号灯：交通信号灯上的圆形灯表示停止，该形状的选择是因为圆形视觉上相对于其他形状更容易辨认和传达信息。
综上所述，圆作为几何学中的一个基本图形，具有独特的概念和性质。
了解圆的性质和应用能够帮助我们更好地理解几何学知识并应用于实际生活中。
无论是在设计、建筑还是科学研究领域，对圆的理解和运用都起着重要的作用。
圆的基本概念与性质
圆的基本概念与性质圆是数学中的基本几何形状之一，它有着独特的性质和重要的应用价值。
本文将介绍圆的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和应用这一几何形状。
一、基本概念圆是由平面上的一点到另一点的距离相等的所有点构成的集合。
这两个点分别称为圆心和半径，圆心用O表示，半径用r表示。
记作圆O(r)。
圆由无数不重叠的点组成，其中任意两点之间的距离都相等。
这个相等的距离称为圆的半径，用r表示。
除此之外，圆还有一些特殊位置的点，如直径的中点、切点等等。
二、性质1. 圆的直径圆的直径是任意通过圆心的线段，它的两个端点在圆上。
直径的长度是半径的两倍，即直径d=2r。
2. 圆的周长圆的周长是所有点到圆心的距离之和，也称为圆周长。
根据圆的定义可知，圆的周长是一个封闭曲线，没有起点和终点。
圆的周长公式是C=2πr，其中π是一个常数，约等于3.14159。
3. 圆的面积圆的面积是圆内部的所有点构成的区域，常用符号A表示。
圆的面积公式是A=πr²。
可以看出，圆的面积与半径的平方成正比。
4. 圆的弧圆上的一段弧被称为圆弧。
圆弧的弧度是圆心角所对应的弧长与圆的半径之比。
常用符号θ表示，弧长用s表示，半径用r表示。
弧长与半径的关系为s=rθ。
5. 圆的扇形圆上的一个扇形是由圆心、两个半径和它们所确定的圆弧构成的。
扇形的面积是圆的面积乘以圆心角所占的比例，即A=πr²(θ/360°)。
6. 圆的切线切线是与圆只有一个交点且与圆相切的直线。
切线与半径垂直，垂直于半径的直线被称为半径的切线。
切线的斜率等于半径在该点处的斜率的负倒数。
三、应用举例圆作为一种基本的几何形状，在生活和工作中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用举例：1. 圆形建筑物和构件：例如圆形的钟楼、塔楼和拱顶等，圆形结构在建筑中具有稳定性和美观性。
2. 圆形交通设施：例如圆形的环形交叉口、交通岛和转盘等，圆形交通设计有助于交通流畅和减少交通事故。
初中数学：有关圆的概念及性质
初中数学：有关圆的概念及性质一、圆的基本概念及性质(1)圆的有关概念①圆:平面. 上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径.②弧:圆. 上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧.③弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.(2)圆的有关性质①圆是轴对称图形:其对称轴是任意一条过圆心的直线:圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
②垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.③弧、弦、圆心角的关系:在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有-组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.推论:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等;直径所对的圆周角是直角: 90”的圆周角所对的弦是直径.④三角形的内心和外心确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定一个圆.⑥:三角形的外心:三角形的三个顶点确定-一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.三角形的内心:和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.2.与圆有关的角(1)圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角:顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.(3)圆心角与圆周角的关系:同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的- -半.(4)圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形.圆内接四边形对角互补，它的一一个外角等于它相邻内角的对角.圆的性质1、圆是轴对称图形,对称轴是任意一条过圆心的直线。
2、垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并粗平分弦所对的弧。
垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并平分弦对的弧。
圆的基本概念与性质
圆的基本概念与性质圆作为几何学中的基本形状之一，具有许多独特的概念和性质。
本文将介绍圆的基本概念，包括定义、要素和符号表示，并探讨圆的性质，如周长、面积、切线和弦的性质等。
1. 圆的定义圆是由平面上到一点的距离都相等的点构成的集合。
这个点被称为圆心，到圆心距离相等的点被称为圆上的点，这些点构成圆环。
圆通常用字母O表示，圆上的点用大写字母A、B、C等表示。
2. 圆的要素圆有以下两个重要的要素：- 圆心：圆上所有点到圆心的距离都相等。
- 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段称为半径。
半径的长度决定了圆的大小。
3. 圆的符号表示为了更便于描述和讨论圆的性质，常用以下符号表示圆的要素：- 圆心用字母O表示；- 半径用字母r表示。
若需要指定一个具体的圆，可以使用O(圆心坐标)x, y和r来表示。
4. 圆的性质圆具有许多独特的性质，下面将介绍其中一些：4.1 周长圆的周长是圆上任意两点间的弧长，它的长度公式如下：周长= 2πr其中π取近似值3.14159，r为半径长度。
周长是圆的重要属性，它决定了圆的边界长度。
4.2 面积圆的面积是圆内部的区域，它的计算公式如下：面积= πr^2其中π取近似值3.14159，r为半径长度。
圆的面积与半径的平方成正比，所以半径越大，面积也越大。
4.3 切线圆上任意一点处的切线与半径垂直。
这意味着切线与半径的夹角为90度。
切线是圆的重要特性，它在许多应用中起着重要的作用。
4.4 弦在圆上任意连接两点的线段称为弦。
圆的性质之一是：如果两条弦的长度相等，它们与圆心的距离也相等。
这可以用来解决一些几何问题。
总结：圆是几何学中一个重要的形状，具有许多独特的概念和性质。
本文介绍了圆的定义、要素和符号表示，并探讨了圆的性质，如周长、面积、切线和弦的性质。
了解圆的基本概念和性质对于理解几何学和解决相关问题非常重要。
通过学习和应用这些知识，我们可以更好地理解和利用圆形。
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_O_A图1 C D 北辰教育学科教师辅导学案学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师：授课类型 T 圆的基本概念 C 圆的基本概念 T 圆的对称性授课日期及时段年 月 日 00:00--00:00教学内容—————圆的基本概念知识结构一、圆的基本概念：1、圆的概念：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合。
如图，把线段OA 绕着端点O 在平面内旋转1周，端点A 运动所形成的图形叫做圆.其中，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径.记作⊙O ，读作“圆O ”.2、 2、圆的半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置。
3、圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合。
4、点与圆的位置关系：点P 与圆心的距离为d ，半径为r,则点在直线外⇔r d >；点在直线上⇔r d =； 点在直线内⇔r d <。
注意：这里是等价关系，即由左边可以推出右边，由右边也可以推出左边。
二、圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系1、弦：连接圆上任意两点的线段，如图1上弦AB ；直径是一条特殊的弦，并且是圆中最大的弦；从圆心到弦的距离叫做弦心距。
2、直径：经过圆心的弦，如图1上弦CD 。
3、圆心角：顶点在圆心的角，如图2上：∠AOB 。
4、圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，如图3上：∠BAC 。
3、 5、同心圆：圆心相等、半径不同的两个圆。
图24、 6、等圆：半径相同、圆心不同的两个圆。
5、 7、等弧：能够互相重合的弧。
同圆或等圆的半径相等。
注意：半圆（或直径）所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径。
8、圆的任意一条直径的两个端点吧圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆。
大于半圆 的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
题型1：1、概念辨析：判断下列说法是否正确？（1）直径是弦； （ √ ） （2）弦是直径； （ × ） （3）半圆是弧，但弧不一定是半圆； （ √ ） （4）半径相等的两个半圆是等弧； （ √ ） （5）长度相等的两条弧是等弧； （ × ） （6）半圆是弧； （ √ ） （7）弧是半圆． （ × ）2、如图，在Rt ABC △中，直角边3AB =，4BC =，点E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则点E 在圆A 的_________，点F 在圆A 的_________．解题思路：利用点与圆的位置关系，答案：外部，内部2、如图，扇形OAB 的半径OA ＝3，圆心角∠AOB ＝90°，点C 是弧AB 上异于A 、B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E ，连接DE ，点G 、H 在线段DE 上，且DG ＝GH ＝HE ． （1）求证：四边形OGCH 是平行四边形（1）连结oc ，交de 于m ， ∵四边形odce 是矩形 ∴om ＝cm ，em ＝dm 又∵dg=he∴em －eh ＝dm －dg ，即hm ＝gm ∴四边形ogch 是平行四边形3、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，半径OC ⊥AB ，过CO 的中点D 作DE ∥AB 交⊙O 于点E ，连接EO ，则∠EOC 的度数为_____度． 答案：60通过半径相等，把条件转化到Rt△ODE 中，OD=OE ，利用特殊直角三角形的性质求解解：∵OD=OC=OE ，OC⊥AB，DE∥AB，∴在Rt△ODE 中，∠E=30°，∴∠EOC=90°-30°=60°图34、已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一圆上．解：连接MD、ME．∵BD、CE是△ABC的高，∴∠BEC＝∠BDC＝90°．在Rt△BEC中，M为BC的中点，∴ME=1/2BC,同理MD=1/2BC,∴MB=ME=MC∴点B、C、D、E在以点M为圆心，1/2BC为半径的圆上。
2、如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC，过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P，若AB=2，∠AOE=30°，则PE的长度为_____．答案：解析：由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由AB与OC平行，得到一对内错角相等，等量代换可得出∠OAC=∠BAC，由OE垂直于AB，利用垂径定理得到AE=EB，且∠OAC=∠BAC=30°，在直角三角形APE中，设PE=x，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得到AP=2x，由AE的长，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为PE的长．解：∵OA=OC，∴∠OAC=∠C，∵AB∥OC，∴∠CAB=∠C，∴∠OAC=∠BAC，∵OE⊥AB，∠AOE=30°，∴AE=BE=AB=1，∠OAE=60°，∴∠OAC=∠BAC=30°，在Rt△APE 中，设PE=x ，则有AP=2x ，根据勾股定理得：AP 2=PE 2+AE 2，即（2x ）2=x 2+1， 解得：x=或x=-（舍去），则PE=．故答案为：—————圆的对称性知识结构一、 圆的对称性。
1、 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．2、 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，如图1 。
3、在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组都分别相等。
4、圆心角的度数与它所对的弧的度数相等如图2。
5、圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
6垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。
二、 典型例题分析图2图11． 下列图形中，哪些能使用垂径定理，为什么？（D ）E EE E E EE E E EE E解析：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。
满足两个条件，缺一不可。
2、如图，点A 、B 、C 是⊙O 上的三点，AB ∥OC ，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交AC 于点P ，若AB=2，∠AOE=30°，则PE 的长度为_____．答案：解析：由OA=OC ，利用等边对等角得到一对角相等，再由AB 与OC 平行，得到一对内错角相等，等量代换可得出∠OAC=∠BAC，由OE 垂直于AB ，利用垂径定理得到AE=EB ，且∠OAC=∠BAC=30°，在直角三角形APE 中，设PE=x ，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得到AP=2x ，由AE 的长，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即为PE 的长． 解：∵OA=OC， ∴∠OAC=∠C， ∵AB∥OC， ∴∠CAB=∠C， ∴∠OAC=∠BAC，∵OE⊥AB，∠AOE=30°， ∴AE=BE=AB=1，∠OAE=60°，∴∠OAC=∠BAC=30°，在Rt△APE 中，设PE=x ，则有AP=2x ，根据勾股定理得：AP 2=PE 2+AE 2，即（2x ）2=x 2+1， 解得：x=或x=-（舍去），则PE=．第8题故答案为：综合练习一. 选择题。
1. ⊙O 中，弦AB 所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB 的距离OC 为（ ） A.B. 1C.D.2. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，如果，则AE 的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 53. 如图，⊙O 的弦AB 垂直于直径MN ，C 为垂足，若OA ＝5cm ，下面四个结论中可能成立的是（ ）A. B. C. D.4. 下列命题中正确的是（ ）A. 圆只有一条对称轴B. 平分弦的直径垂直于弦C. 垂直于弦的直径平分这条弦D. 相等的圆心角所对的弧相等 5. 如图，已知AD ＝BC ，则AB 与CD 的关系为（ ）A. AB ＞CDB. AB ＝CDC. AB ＜CDD. 不能确定 二. 填空题。
6. 半径为6cm 的圆中，有一条长的弦，则圆心到此弦的距离为___________cm 。
7. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 厘米．8. 如图，∠A ＝30°，则B ＝___________。
9. 过⊙O 内一点M 的最长的弦为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长为___________。
10. ⊙O 的半径为10cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝12cm ，CD ＝16cm ，则AB 和CD 的距离为___________。
11. ⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，∠DEB＝60°，则CD ＝___________。
三. 解答题。
12. 如图，⊙O 的直径为4cm ，弦AB 的长为，你能求出∠OAB 的度数吗？写出你的计算过程。
第5题第11题。