立体几何中的常见模型化方法

立体几何中的常见模型化方法

建构几何模型的两个角度：一是待研究的几何体可与特殊几何体建立关联，二是数量关系有明显特征的几何背景

例题一个多面体的三视图如图1 所示，则该多面体的体积是

A. 23/3

B. 47/6

C.6

D.7

分析该几何体的三视图为 3 个正方形，所以可建构正方体模型辅助解答.

解图 2 为一个棱长为2 的正方体. 由三视图可知，该几何体是正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其体积V=8-2 X 1/3X 1/2X 1 X 1 X仁23/3选A.

解后反思大部分几何体可通过对正方体或长方体分割得到，所以将三视图问题放在正方体或长方体模型中研究，能够快速得到直观图，并且线面的位置关系、线段的数量关系明显，计算简便.

变式1已知正三棱锥P-A BC，点P, A , B , C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为_______

分析由于在正三凌锥P-ABC 中，PA，PB，PC 两两互

相垂直，所以可以将该正三棱锥看作正方体的一部分，构造正方体模型.

解构造如图 3 所示的正方体. 此正方体外接于球，正方体的体对角线为球的直径EP，球心为正方体对角线的中点0,且EP丄平面ABC , EP与平

面ABC相交于点F.由于FP为正方体体对角线长度的1/3, 所以又0P为球的半径，所以0P=.故球心0到截面ABC的距离解后反思从正方体的8 个顶点之中选取不共面的点，可构造出多种几何体，这些几何体可以分享正方体的结构特征.

变式2-个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为

A.3 n

B.4 n

C.3 n

D.6 n 分析将一个正方体切掉四个大的“角” ，就可得到一个正四面体.

解如图4 所示，构造一个棱长为1 的正方体

ABCD-A1B1C1D1 ，连接AB1，AD1 ，AC，CD1，CB1，

B1D1，?t

四面体B1-ACD1 为符合题意的四面体，它的外接球的直径

AC1=,所以此正方体外接球的表面积S=4 n R2=3 n .选A.

解后反思正四面体的体积也可通过这种切割的方法求

得.由图形分析可知，正四面体的体积是它的外接正方体体积的｝.若正四面体的棱长为a,则其体积为

变式 3 四面体A-BCD 中，共顶点A 的三条棱两两互相垂直，且其长分别为1，2， 3.若四面体A-BCD 的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为_____________ .

分析共顶点的三条棱两两互相垂直且长度不相等，这具有长方体的结构特征，可构造长方体来解决问题.

解构造一个棱长分别为1，2，3 的长方体，我们可发现四面体A-BCD 是这个长方体的一个“角” ，它们的外接球相同•所以2R=.故这个球的表面积S=4 n R2=14 n .

解后反思可构造长方体的几何体在高考中属于高频考点.本题中条件“共顶点 A 的三条棱两两互相垂直”可变为“共顶点 A 的三个面两两垂直” ，这也是长方体的结构特征之一

变式 4 如图5，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C，D ，DA 丄平面ABC , AB 丄上BC, DA =2 , AB=4 , BC=6，则球

O 的体积是____ .

分析DA ，AB ，BC 的位置符合长方体三条相连接棱的结构特征，可构造长方体模型.

解以DA，AB ，BC 为棱长构造长方体.设长方体的外接球O的半径为R,则长方体的体对角线长为球O的直径，即

CD.所以

解后反思这种几何体的结构特征是三条棱顿次连接，并且垂直，通常称为“三节棍”模型.

变式 5 由空间上一点O 出发的 4 条射线，两两所成的角都相等，求这个角的余弦值.

分析由于是 4 条射线，并且两两所成的角都相等，联想到正四面体的结构特征――正四面体的中心与四个顶点的连线两两所成

的角相等.

解构造正四面体模型，如图6 所示.射线OA ，OB，

OC ，OD两两所成的角相等，/ AOB即为所求.设正四面体的棱长为a,则正四面体的高h=由余弦定理可得

解后反思本题也可建构在正方体中，同学们可以试一试.

变式 6 已知直线l 与平面 a 平行，P 是直线l 上的一个定点，平面a内的动点B满足PB与直线I所成的角为30°，那么点B 的轨迹是

A.两条直线

B.椭圆

C.双曲线

D.抛物线

分析由已知条件，构造圆锥模型.

解由于P是直线I上的一个定点，平面a内的动点B满足PB 与直线I 所成的角为30°，所以点B 在以P 为顶点的圆锥侧面上.又直线I 与平面a 平行，所以平面a 与圆锥的轴平行，即平行于圆锥的轴的平面截圆锥的侧面，可得截面图形为双曲线.选C.

解后反思本题中，点B 的轨迹符合圆锥的结构特征是解题的突破口.

变式7如图7, AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ ABP的面积为定值，则动点P 的轨迹是

A.圆

B.椭圆

C.一条直线

D.两条平行直线

分析考虑到三角形面积为定值，底边一定，从而P 到

直线AB 的距离为定值，可构造圆柱模型.

解由已知可得动点P 的轨迹在圆柱面上.由于AB 是平面a

的斜线段，所以平面a斜截圆柱面，得到的截面图形为椭圆.选B.

解后反思本题中，点P 的轨迹符合圆柱的结构特征是解题的突破口.

模型化方法的本质是根据题意进行数学建模，提升空间想象能力.对常见几何体的结构特征特别熟悉，是建构合理模

型的关键.