立体几何中的常见模型化方法
立体感不好？高考数学立体几何十类常见图形一步建系
立体感不好？高考数学立体几何十类常见图形一步建系
在高考试题中，立体几何是必考试题，在解答题中立体几何必有一题，且出题的模式相对比较稳定，题目的难度属于中等或中偏下，但是从近几年的试题分析来看，立体几何题的得分情况不容乐观，得分率比较低。
参加高考阅卷的老师反映，很多学生一步也没做。
新教材的立体几何的讲解偏重于向量法，正确的建立直角坐标系，成为解题的关键，本文列举了几种常见的几何模型，在这几个几何模型下，给出常见的建系方案！
一、棱柱
①长方体，正方体等
天然拥有三条棱两两垂直的优势，直接建系
完成建系
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②正三棱柱
依靠侧棱垂直于底面，底面一个内角是60°，作出直角，建立坐标系
完成建系
动态展示
③横置正三棱柱
完成建系
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二、棱锥
①侧面与底面垂直的棱锥
依靠侧面与底面垂直，在根据侧面三角形的特殊性，先证明一条线垂直于底面，充当z轴
一步建系
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②正三棱锥
一步建系
动态展示
③底面矩形四棱锥（顶点射影在中心）
依靠矩形相邻两边互相垂直
一步建系
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④底面菱形四棱锥（顶点射影在中心）
依靠菱形对角线互相垂直
一步建系
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⑤正四棱锥
以上两个做法均可
三、棱台
以三棱台为例
一步建系
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高中数学中的常用几何模型及构造方法大全
高中数学中的常用几何模型及构造方法大全一、全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转1、对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
2、对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
3、旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题4、旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
5、自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称6、共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
二、模型变换说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
1、中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
立体几何四个重要模型
立体几何四个重要模型广州市第六十五中学朱星如模型1：在棱长为a 的正面体ABCD 中：1.求证它是一个正三棱锥。
证明：即证顶点A 在底面BCD 的中心H 的连线与底面垂直。
取BC 的中点E，BD 的中点F，连CF，DE 相交于点H，则H 是三角形BCD 的中心，且H 是CF，DE 的一个三等分点，连AH，由BC ⊥DE，BC ⊥AE，AE 交DE=E,AE,DE 的平面AED 内，得BC ⊥平面AED，由此得BC ⊥AH，即AH ⊥BC。
（1）同理：AH ⊥BD。
（2）由BC 交BD=B，BC，BD 在平面BCD 内及（1）（2）得：AH ⊥平面BCD。
所以四面体ABCD 是正三棱锥。
2.设E、F、S、T 分别是BC、BD、AD、AC 的中点，求证：四边形EFST 是正方形。
证明：由于E、F、S、T 分别是BC、BD、AD、AC 的中点，故有ST 12DC EF，ST EF，所四边形EFST 是平行四边形。
同理：SF 12AB TE ，DC=AB ，所以四边形EFST 是菱形。
仿题1可证DC ⊥平面ABH，故DC ⊥AB,故有四边形EFST 是正方形。
注;由此可得到相对的两棱所成角为90o 。
3.设E、S 分别是BC、AD 的中点，求证：ES ⊥BC，ES ⊥AD，并求ES 的长。
证明：可证BC ⊥平面AED，从而BC ⊥ES；可得AD ⊥平面BCS，从而AD ⊥ES。
在直角三角形SBE 中，SB=32a,BE=12a,从而，2222ES SB BE =-=4.求任何一条棱与它相交的面所成角的正弦值。
解：只要求AB 与平面BCD 所成的角。
AH ⊥平面BCD，∴AB 与平面BCD 所成的角是ABH ∠。
22333323BH DE ==⨯=，在直角三角形ABH 中，2263AH AB BH =-=，故6sin 3AH ABH AB ∠==。
5.求相邻两个面的夹角的余弦值。
解：只要求二面角A-BD-C 的平面的余弦值。
立体几何问题的模型化处理
立体几何问题的模型化处理立体几何学涉及空间几何结构和形状的研究，是几何学的重要组成部分，最初发源于希腊数学家 Euclid，是今天几何学学科内容的基础。
立体几何涉及圆等、椭圆、球等多种几何体的形状、体积、表面积等参数的测量，这些参数的计算需要深入的数学理论。
传统的立体几何问题由人力解决，但随着科学技术的发展，计算机和相关软件的进步，立体几何问题可以通过模型化处理来解决。
模型化处理是指使用数学建模和计算机软件，结合实际需求，建立立体几何问题的数学模型，将所有参数和步骤都统一到一起。
从而建立出几何体的数学模型，使用计算机求解，从而解决几何问题。
具体来讲，模型化处理的立体几何问题的流程可以分为以下几个步骤：首先，构建立体几何问题，在计算机平台上实现把问题从实际中抽象化，建立几何问题的数学模型；其次，利用数学建模方法，根据实际问题的要求，定义各种参数，建立立体几何问题的数学模型，使用计算机求解，从而解决几何问题；再者，根据模型的要求，计算机会计算出所有相关参数，包括体积、表面积等；最后，根据计算出的结果，对立体几何问题进行实际应用，使用计算机解决实际问题，得出最终的结果。
立体几何问题的模型化处理，有助于提高此学科的研究水平，为实际应用提供可靠的数学模型和计算结果，可以用于工程计算和科学研究。
除了正常的立体几何问题外，随着计算机科学的发展，计算机可以用于更多形式的几何问题，包括虚拟和超现实几何。
例如，三维绘图软件用于设计，游戏引擎可以实现虚拟环境，像3D打印机等产品可以将虚拟环境转换为实际物件，这些应用都需要立体几何问题的模型化处理。
因此，立体几何问题的模型化处理是几何学领域一个重要的研究课题，它不仅涉及到理论数学，而且关联到计算机科学、数值计算等多学科，也有助于探索数学研究的新发现和前沿研究。
总之，立体几何问题的模型化处理可以更好地实现几何学的概念，提高几何学的研究水平，为实际应用提供可靠的数学模型和计算结果，为科学技术发展和数学研究做出重大贡献。
立体几何问题的模型化处理
91D 图1D 图2中学立体几何的的基础是对空间点、线、面、体的各种位置关的讨论和研究.高考中也常以棱柱、棱锥等简单的几何体为载体，考查空间中的线线关系、线面关系、面面关系及其相关量的计算与证明.然而，在教学中，如何使学生的空间想象能力有进一步的提高，更上一个台阶，是摆在广大数学教师面前的一大难题。
笔者根据自己的教学实践摸索出“构造模型法”帮助学生突破思维定势，寻找解题的突破口，提高解题能力.常见的模型有正方体模型、长方体模型、“三节棍”模型等. 1 构造正方体模型解题当问题没有给出具体的图形，只是给出了相关点、线、面的关系（如平行、垂直等），要判断某些元素的位置关系时、通常可考虑构造正方体模型，把这些线、面变成正方体中的线段或某一个面，进而加以解决.例1 对于直线,m n 和平面α，下面问题中的真命题是 A ，如果,m n αα⊂⊄，,m n 是异面直线，那么//n α B ，如果,m n αα⊂⊄，,m n 是异面直线，那么n 与α相交 C ，如果m α⊂，//n α，,m n 共面，那么//m n D ，如果//,//m n αα，,m n 共面，那么//m n 分析：构造正方体，如图1，对于A ，设α为平面ABCD ，m 为AB ，n 为1C C 则n α⊥，A 错.对于B ，设α为平面ABCD ，m 为AB ，n 为11A D ，则//n α，B 错.对于D ，设α为平面ABCD ，m 为11A B ，n 为11B C ，此时m 与n 相交于1B ，D 错. 于是选C 。
事实上，这个不难验证.例2 由空间上一点O 出发的四条射线，两两所成的角都相等，求这个角.解：先构造一个正方体，如图2，正方体的中心O 到四个顶点A 、B 、C 、D 连线所夹的角相等，则AOD ∠就是所求的角. 设正方体的棱长为a ，则2OA OD a ==，101A 图31A 图4D 图52221,cos 23OA OD AD AD AOD OA OD +-=∠==-⋅则所求的角为1arccos3π-. 评注：这个例子是把一个正四面体内接于一个正方体中，因此，在立体几何中一般能用“正四面体”解决的问题都可用“正方体”模型解决.正四面体的体积是它外接“正方体”体积的13，并可由这个模型推导出正四面体的体积312V a =（a 为四面体的棱长）. 例3 已知平面α及以下三个几何体， （1）长、宽、高均不相等的长方体；（2）底面为平行四边形，但不是菱和矩形的四棱锥； （3）正四面体问这三个几何体在平面α上的射影可以为正方形吗？ 请加以说明.分析：对于（1），只要将长方体底面绕较短的边旋转抬起到一定高度可使其在底面（即水平面α）上的射影可变为正方形.对于（2）与（3）的判断，须借助构造正方体方能判断. 对于（2），如图3，在正方体1111ABCD A BC D -中，分别 在1BB 、1DD 上取E 、F ，使得11111,33BE BB D F D D ==， 则四棱锥11A AEC F -符合条件.对于（3），把正四面体11A BC D -放在正方体ABCD -1111A B C D 中，如图4，即可得其在底面α上的射影为正方形.评注：对于（2）、（3）如果没有一个正方体作为载体，很难想象它们的射影可以得出一个正方形.例4 已知PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=，PA AC BC ==，求AB 与PC 所成的角.解：构造一个正方体，如图5，PC 与AB 两异面直线所成的角为DB 与AB 所成的角，而ABD ∆是等边三角形，得PC 与AB 成60角. 评注：此题为巧建“正方体”模型快速求解两111 11A 图6ABCDE F图7异面直线所成的角，也可用正方体模型来快速判定 两直线的位置关系，如异面、平行、相交. 2 构造长方体模型解题在某些类似的问题中，当用正方体模型解决不了 时，可考虑构造长方体模型.例5过球O 的球面上一点P 作球的两两垂直的三条弦PA 、PB、PC ，且PA =PB =PC =O 的半径.分析：构造长方体，以P 为顶点的三条棱PA 、PB 、PC 两两垂直，球O 就是这个长方体的外接球，对角线PD就是球O 的直径，设半径等于R，则有2R =2R =评注：从同一点出发的三条棱两两互相垂直，其长度分别为,,a b c ，就可以构造长方体模型，外接球的直径就是对角线的长，所以2R 例6 已知四面体的四个面都是边长分是5、6、7的全等三角形，求这个四面体的体积. 分析：若按常规思路，这个问题的解答很繁.通过分析已知条件，构造长方体1111ABCD A BC D -，如 图6，其中四面体11D AB C 符合条件。
立体几何平行证明题常见模型及方法
立体几何平行证明题常见模型及方法 证明空间线面平行需注意以下几点：①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。
②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。
③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。
平行转化：线线平行 线面平行 面面平行；类型一：线面平行证明（中位线法，构造平行四边形法，面面平行法）（1） 方法一：中位线法 以锥体为载体变式 3 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=5，AC=BC=2，∠C=90°，点D 是A 1C 1的中点. 求证：BC 1//平面AB 1D ；方法2：构造平行四边形法 例1如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形， E 、F分别为AB SC ,的中点．证明○1EF ∥平面SAD ○2BF ∥平面SDEFS CD变式1：若E 、F 分别为AD SB ,的中点．证明EF ∥平面SCD变式2 若E 、F 分别为SD B ,A 的中点．证明EF ∥平面SCB例2 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点.设F 是棱AB 的中点,证明：直线EE 1//平面FCC 1 方法3：面面平行法 （略） 举一反三 1 如图，已知AB ⊥平面A C D ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点.(1) 求证：//AF 平面BCE ；(2) 求证：平面BCE ⊥平面CDE ； 2 如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，侧(左)视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)求出该几何体的体积；(2)若N 是BC 的中点，求证：AN ∥平面CME ；(3)求证：平面BDE ⊥平面BCD.3直四棱柱ABCD －A1B1C1D1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB∥DC ，AB ＝2AD ＝2DC ＝2，E 为BD1的中点，F 为AB 中点．(1)求证EF ∥平面ADD1A1；（2）求几何体DD1AA1EF 的体积。
高中立体几何解题模型
高中立体几何解题模型一、引言立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的图形和形体。
高中立体几何解题模型是指在高中阶段，通过建立适当的模型来解决立体几何问题。
本文将介绍高中立体几何解题模型的基本原理、常见方法和实例应用。
二、基本原理高中立体几何解题模型的基本原理是将现实世界中的三维问题转化为数学问题，通过建立适当的数学模型来解决。
这需要运用几何知识和数学方法，包括平面几何、向量、坐标系等。
在建立模型时，需先确定问题所涉及的空间图形类型（如球体、圆柱体、棱锥等），并了解其性质和特点。
然后，在具体问题情境下，根据已知条件和要求，选择合适的变量进行表示，并建立相应方程或不等式组。
三、常见方法1. 平面投影法平面投影法是一种常用于求解棱柱、棱锥等空间图形表面积和体积的方法。
它利用平行投影将三维图形投影到平面上，从而简化问题的求解。
以求解棱柱体的表面积为例，可以将棱柱体展开成一张平面图，并计算各个面的面积，最后将其相加即可得到总表面积。
2. 截面法截面法常用于求解球体、圆锥体等空间图形的体积。
它通过在空间中截取一个或多个平行于底面的截面，并计算这些截面的面积和高度来求解体积。
以求解球体的体积为例，可以通过选择一个与球心重合的直径作为截面，然后计算每个截面的半径和高度，最后利用圆锥体的体积公式进行计算。
3. 向量法向量法是一种常用于求解空间图形之间关系和性质的方法。
它利用向量的性质和运算，建立坐标系或向量方程来描述图形之间的关系。
以求解两直线之间夹角为例，可以利用向量内积公式计算两个直线所对应向量之间的夹角。
四、实例应用1. 棱柱表面积问题已知一个棱柱体的底边是一个等边三角形，边长为a，高度为h，求其表面积。
解：首先，我们可以将棱柱体展开成一个平面图。
根据展开图可知，棱柱体的表面积由两个底面和三个侧面组成。
底面的面积为等边三角形的面积，即√3/4 * a^2。
侧面的面积可以通过计算矩形的长和宽得到，其中长为h，宽为a。
八个超强模型——彻底解决立体几何的外接球和内切球问题
八个超强模型——彻底解决立体几何的外接球和内切球问题摘要本文介绍了八个超强模型，这些模型可以用来彻底解决立体几何中的外接球和内切球问题。
每个模型都具有独特的特点和优势，能够有效地求解球的外接和内切问题，为立体几何的研究提供了有力的工具和方法。
引言在立体几何中，外接球和内切球问题是非常常见的问题。
求解这些问题通常需要借助一些数学模型和方法。
本文介绍了八个超强模型，这些模型在解决外接球和内切球问题方面表现出色。
模型一：球心法线模型该模型基于球的法线方程，通过求解法线方程的交点来得到球心坐标。
利用该模型可以快速准确地求解外接球和内切球的球心坐标。
模型二：点坐标向量模型该模型利用点的坐标向量来表示球心坐标，通过计算坐标向量的运算得到球心坐标。
该模型适用于各种类型的球体，求解效果良好。
模型三：坐标平移模型该模型基于坐标平移的概念，通过平移球心坐标来求解外接球和内切球的球心坐标。
该模型简单易懂，适用于多种立体几何结构。
模型四：线段接触模型该模型利用线段的接触点来求解外接球和内切球的球心坐标。
通过求解线段接触点的几何关系，可以得到球心坐标。
该模型适用于特定的立体几何结构。
模型五：平面交线模型该模型基于平面交线的概念，通过求解平面交线的方程来得到球心坐标。
该模型对于立体几何结构较复杂的情况下求解效果较好。
模型六：圆心半径模型该模型通过求解球的圆心和半径来得到球心坐标。
该模型适用于已知球的圆心和半径的情况下求解。
模型七：曲线拟合模型该模型通过对曲线进行拟合来得到球心坐标。
该模型适用于曲线较为复杂的情况下求解。
模型八：图像处理模型该模型利用图像处理的方法来得到球心坐标。
通过处理球体的图像，可以得到球心坐标。
该模型适用于图像处理技术较为成熟的情况下求解。
结论本文介绍了八个超强模型，这些模型可以用来彻底解决立体几何中的外接球和内切球问题。
每个模型都有其独特的特点和优势，能够有效地求解球的外接和内切问题。
这些模型为立体几何的研究提供了有力的工具和方法，有助于推动该领域的发展。
#立体几何问题的模型化处理
1D图1立体几何问题的模型化处理广西王强芳湖北曾详红中学立体几何的的基础是对空间点、线、面、体的各种位置关的讨论和研究.高考中也常以棱柱、棱锥等简单的几何体为载体，考查空间中的线线关系、线面关系、面面关系及其相关量的计算与证明.然而，在教学中，如何使学生的空间想象能力有进一步的提高，更上一个台阶，是摆在广大数学教师面前的一大难题。
笔者根据自己的教学实践摸索出“构造模型法”帮助学生突破思维定势，寻找解题的突破口，提高解题能力.常见的模型有正方体模型、长方体模型、“三节棍”模型等.1 构造正方体模型解题当问题没有给出具体的图形，只是给出了相关点、线、面的关系（如平行、垂直等），要判断某些元素的位置关系时、通常可考虑构造正方体模型，把这些线、面变成正方体中的线段或某一个面，进而加以解决.例1对于直线,m n和平面α，下面问题中的真命题是A，如果,m nαα⊂⊄，,m n是异面直线，那么//nαB，如果,m nαα⊂⊄，,m n是异面直线，那么n与α相交C，如果mα⊂，//nα，,m n共面，那么//m nD，如果//,//m nαα，,m n共面，那么//m n分析：构造正方体，如图1，对于A，设α为平面ABCD，m为AB，n为1C C则nα⊥，A错.对于B，设α为平面ABCD，m为AB，n为11A D，则//nα，B错.对于D，设α为平面ABCD，m为11A B，n为11B C，此时m与n相交于1B，D错.于是选C。
事实上，这个不难验证.例2 由空间上一点O出发的四条射线，两两所成的角都相等，求这个角.解：先构造一个正方体，如图2，正方体的中心O到四个顶点A、B、C、D连线所夹的D图21A图31A图4角相等，则AOD∠就是所求的角.设正方体的棱长为a，则OA OD==，2221,cos23OA OD ADAD AODOA OD+-=∠==-⋅则所求的角为1arccos3π-.评注：这个例子是把一个正四面体内接于一个正方体中，因此，在立体几何中一般能用“正四面体”解决的问题都可用“正方体”模型解决.正四面体的体积是它外接“正方体”体积的13，并可由这个模型推导出正四面体的体积312V a=（a为四面体的棱长）.例3 已知平面α及以下三个几何体，（1）长、宽、高均不相等的长方体；（2）底面为平行四边形，但不是菱和矩形的四棱锥；（3）正四面体问这三个几何体在平面α上的射影可以为正方形吗？请加以说明.分析：对于（1），只要将长方体底面绕较短的边旋转抬起到一定高度可使其在底面（即水平面α）上的射影可变为正方形.对于（2）与（3）的判断，须借助构造正方体方能判断.对于（2），如图3，在正方体1111ABCD A B C D-中，分别在1BB、1DD上取E、F，使得11111,33BE BB D F D D==，则四棱锥11A AEC F-符合条件.对于（3），把正四面体11A BC D-放在正方体ABCD-1111A B C D中，如图4，即可得其在底面α上的射影为正方形.评注：对于（2）、（3）如果没有一个正方体作为载体，很难想象它们的射影可以得出一个正方形.例4 已知PA⊥平面ABC，90ACB∠=，PA AC BC==，求AB与PC所成的角.D 图51 11A 图 6解：构造一个正方体，如图5，PC 与AB 两异面直线所成的角为DB 与AB 所成的角，而ABD ∆是等边三角形，得PC 与AB 成60角.评注：此题为巧建“正方体”模型快速求解两 异面直线所成的角，也可用正方体模型来快速判定 两直线的位置关系，如异面、平行、相交. 2 构造长方体模型解题在某些类似的问题中，当用正方体模型解决不了 时，可考虑构造长方体模型.例5过球O 的球面上一点P 作球的两两垂直的三条弦PA 、PB 、PC ，且PA =PB =PC =O 的半径.分析：构造长方体，以P 为顶点的三条棱PA 、PB 、PC 两两垂直，球O 就是这个长方体的外接球，对角线PD 就是球O 的直径，设半径等于R，则有2R =R =评注：从同一点出发的三条棱两两互相垂直，其长度分别为,,a b c ，就可以构造长方体模型，外接球的直径就是对角线的长，所以2R 例6 已知四面体的四个面都是边长分是5、6、7的全等三角形，求这个四面体的体积. 分析：若按常规思路，这个问题的解答很繁.通过分析已知条件，构造长方体1111ABCD A B C D -，如 图6，其中四面体11D AB C 符合条件。
立体几何问题的模型化处理
立体几何问题的模型化处理立体几何问题的模型化处理立体几何是数学中的一个重要分支，研究的是三维空间中的图形、形状和体积等性质。
在实际生活和工程应用中，我们经常会遇到各种立体几何问题，如计算物体的体积、表面积、寻找最优解等。
为了解决这些问题，模型化处理是一种常用的方法。
模型化处理是将实际问题抽象成数学模型的过程。
在立体几何问题中，我们可以通过建立几何模型来描述和分析问题。
下面我将介绍一些常见的立体几何问题，并讨论如何进行模型化处理。
首先，计算物体的体积是一个常见的立体几何问题。
例如，我们想要知道一个长方体的体积，可以通过建立一个数学模型来解决。
假设长方体的长、宽、高分别为L、W和H，那么它的体积V可以用以下公式表示：V = L * W * H。
通过将实际问题转化为数学模型，我们可以直接使用公式计算出长方体的体积，而无需进行复杂的实际测量。
其次，寻找最优解也是立体几何问题中常见的一个方面。
例如，我们希望在一定的条件下找到一个具有最大体积的长方体。
这个问题可以通过建立一个优化模型来解决。
假设长方体的长、宽、高分别为x、y和z，且满足一定的约束条件，如表面积不超过A，那么我们可以建立以下优化模型：最大化体积V = x * y * z，同时满足约束条件：2(x*y + x*z + y*z) ≤ A。
通过求解这个优化模型，我们可以找到具有最大体积的长方体的尺寸。
除了计算体积和寻找最优解，立体几何问题还涉及到计算表面积、判断两个图形是否相交等。
对于这些问题，我们可以通过建立相应的几何模型来进行模型化处理。
例如，计算一个球体的表面积可以使用公式：A = 4πr^2，其中r是球体的半径。
判断两个图形是否相交可以通过建立它们的几何模型，并进行相应的计算和比较。
总之，立体几何问题的模型化处理是解决这类问题的一种有效方法。
通过将实际问题抽象成数学模型，我们可以利用数学工具和方法进行计算和分析，从而得到准确的结果。
模型化处理不仅可以提高问题的解决效率，还可以减少实际测量和试验的成本和风险。
(完整版)第六讲立体几何模型化思想.ppt
(2)连 OG 并延长交 AC 于 M，连接 QM，QO，由 G 为△AOC 的重心， 得 M 为 AC 中点． 由 Q 为 PA 中点，得 QM∥PC. 又 O 为 AB 中点，得 OM∥BC. 因为 QM∩MO＝M，QM 平面 QMO， MO 平面 QMO，BC∩PC＝C， BC 平面 PBC，PC 平面 PBC， 所以平面 QMO∥平面 PBC. 因为 QG 平面 QMO， 所以 QG∥平面 PBC.
例题一．客观题 1.（2014•广东）若空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4，满足 l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4， 则下列结论一定正确的是（ ） A．l1⊥l4 B．l1∥l4 C．l1 与 l4 既不垂直也不平行 D．l1 与 l4 的位置关系不确定
解：在正方体中，若 AB 所在的直线为 l2，CD 所在的直线为 l3，AE 所在的直线为 l1， 若 GD 所在的直线为 l4，此时 l1∥l4， 若 BD 所在的直线为 l4，此时 l1⊥l4， 故 l1 与 l4 的位置关系不确定， 故选：D
三棱锥 A-BCD 的三条侧棱两两相等（即为等腰四面体），所以把它扩展为长方
体，它也外接于球，设三棱锥 A-BCD 三条棱为
，长方体的棱长为
，
则 ，
，且此长方体的面对角线的长分别为:2， ， 体对角线的长为球的直径， 2
答案为②④⑤
变式训练 1.已知正三棱锥 P-ABC 中,E,F 分别是 AC,PC 的中点,
在三棱锥
中，
，且
.
①不含直角的底面 ABC 是锐角三角形；
②直角顶点 O 在底面上的射影 H 是△ABC 的垂心；
③体积
V=
；
④外接球半径
R=
；
常用几何模型总结
常用几何模型总结全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型：说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
几何最值模型对称最值(两点间线段最短)对称最值(点到直线垂线段最短)说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。
立体几何解答题常考模型归纳总结(九大题型)(原卷版)-高中数学
立体几何解答题常考模型归纳总结 高考立体几何解答题常考模型主要包括柱体、锥体、球体、旋转体、多面体等。
这些模型常涉及体积、表面积的计算，截面问题，以及与其他几何体的组合或相交问题。
此外，空间位置关系，如平行、垂直的判断与证明，也是常考内容。
空间角的计算，包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等，同样是高考立体几何的重要考点。
最后，空间距离的计算，如点到平面的距离、两平行平面间的距离等，也是解答题中常见的考查点。
掌握这些模型的基本性质和解题方法，对于提高高考立体几何的解题能力至关重要。
题型一：非常规空间几何体为载体【典例1-1】（2024·河南濮阳·模拟预测）如图，侧面11BCC B 水平放置的正三棱台11111,24ABC A B C AB A B -==(1)求证：1AA ^平面11BCC B ；(2)求直线AB 和平面1ACB 所成角的正弦值．【典例1-2】（2024·云南昆明·三模）如图，在三棱台111ABC A B C -中，上、下底面是边长分别为2和4的正三角形，1AA ^平面ABC ，设平面11AB C I 平面=ABC l ，点,E F 分别在直线l 和直线1BB 上，且满足EF l ^，1EF BB ^．(1)证明：^EF 平面11BCC B ；(2)若直线EF 和平面ABC 【变式1-1】（2024·天津和平·二模）如图，三棱台111ABC A B C -中，ABC V 为等边三角形，1124AB A B ==，1AA ^平面ABC ，点M ，N ，D 分别为AB ，AC ，BC 的中点，11A B AC ^．(1)证明：1CC ∥平面1A MN ；(2)求直线1A D 与平面1A MN 所成角的正弦值；(3)求点D 到平面1A MN 的距离．【变式1-2】（2024·河南周口·模拟预测）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 与平面11ABC D 都是边长为2的菱形，11120BCD BC D °Ð=Ð=，侧面11BCC B(1)求平行六面体1111ABCD A B C D -的体积；(2)求平面11BCC B 与平面11CDD C 的夹角的余弦值.题型二：立体几何存在与探索性问题【典例2-1】如图1，ABC V 是边长为3的等边三角形，点,D E 分别在线段,AC AB 上，且1,2AE AD ==，沿DE 将ADE V 翻折到PDE △的位置，使得PB 2.(1)求证：平面PDE ^平面BCDE ；(2)在线段PB 上是否存在点M ，使得//EM 平面PCD ，若存在，求出PM MB的值；若不存在，请说明理由.【典例2-2】（2024·广东·一模）如图所示，四边形ABCD 是圆柱底面的内接四边形，AC 是圆柱的底面直径，PC 是圆柱的母线，E 是AC 与BD 的交点，608AB AD BAD AC Ð===o ，，.(1)记圆柱的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为 2V ，求 12V V ；(2)设点F 在线段AP 上，且存在一个正整数k ，使得PA kPF PC kCE ==，，若已知平面FCD 与平面PCDk 的值.【变式2-1】在ABC V 中，90ABC Ð=°，6AB BC ==，D 为边AB 上一点，2AD =，E 为AC 上一点，//DE BC ，将ADE V 沿DE 翻折，使A 到A ¢处，90DA B ¢Ð=°.(1)证明：A B ¢^平面A DE ¢；(2)若射线DE 上存在点M ，使l =uuuu r uuu r DM DE ，且MC 与平面A EC ¢所成角的正弦值为15，求λ.【变式2-2】（2024·甘肃张掖·模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD为菱形，且60,DAB PAD Ð=o V 是边长为2的等边三角形，且平面PAD ^平面,ABCD O 为AD 中点.(1)求证：OB ^平面PAD ；(2)在线段PC 上是否存在点M ，使二面角M BO C --的大小为60o ，若存在，求PM PC的值，若不存在，请说明理由.题型三：立体几何折叠问题【典例3-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，在矩形ABCD 中，2AB =，BC =ABD △沿矩形的对角线BD 进行翻折，得到如图2所示的三棱锥A BCD -，且AB CD ^.(1)求翻折后线段AC 的长；(2)点M 满足2AM MD =uuuu r uuuu r ，求CM 与平面ABD 所成角的正弦值.【典例3-2】（2024·山东·模拟预测）如图，在菱形ABCD 中，60BAD Ð=°，E 是AD 的中点，将ABE V沿直线BE 翻折使点A 到达点1A 的位置，F 为线段1AC 的中点.(1)求证：DF ∥平面1A BE ；(2)若平面1A BE ^平面BCDE ，求直线1A E 与平面1A BC 所成角的大小.【变式3-1】（2024·河南驻马店·二模）在如图①所示的平面图形中，四边形ACDE 为菱形，现沿AC 进行翻折，使得AB ^平面ACDE ，过点E 作//EF AB ，且12EF AB =，连接,,FD FB BD ，所得图形如图②所示，其中G 为线段BD 的中点，连接FG .(1)求证：FG ^平面ABD ；(2)若2AC AD ==，直线FG 与平面BCD ，求AB 的值.【变式3-2】在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，2AD BC ==，60DAB Ð=°，M 为AB 中点，将AMD V ，BMC △沿MD ，MC 翻折，使A ，B 重合于点E ，得到三棱锥M CDE -．(1)求ME 与平面CDE 所成角的大小；(2)求二面角M DE C --的余弦值．题型四：立体几何作图问题【典例4-1】（2024·河南信阳·模拟预测）长方体1111ABCD A B C D -中，123,2AB AA AD CE ED ===uuu r uuu r .(1)过E 、B 作一个截面，使得该截面平分长方体的表面积和体积.写出作图过程及其理由.(2)记（1）中截面为a ，若a 与（1）中过D 点的长方体的三个表面成二面角分别为,,q j w ，求222cos cos cos q j w ++的值.【典例4-2】（2024·高三·河北承德·期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，,,O E F 分别是,,BD PA BC 的中点．(1)证明：//OE 平面PBC ；(2)若平面a 经过点,,F D E ，且与棱PB 交于点H ．请作图画出H 在棱PB 上的位置，并求出PH HB的值．【变式4-1】（2024·辽宁大连·一模）如图多面体ABCDEF 中，面FAB ^面ABCD ，FAB V 为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，EF BC ∥，且334EF BC ==，H ，G 分别为CE ，CD 的中点．(1)证明：BF AD ^；(2)求平面BCEF 与平面FGH 所成角的余弦值；(3)作平面FHG 与平面ABCD 的交线，记该交线与直线AD 交点为P ，写出AP AD的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）．【变式4-2】如图，已知底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，平面MNGH 与直线PB 和直线AC 平行，点E 为PD 的中点，点F 在CD 上，且:1:2DF FC =.(1)求证：四边形MNGH 是平行四边形；(2)求作过EF 作四棱锥P ABCD -的截面，使PB 与截面平行（写出作图过程，不要求证明）.截面的定义：用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形.【变式4-3】（2024·北京·三模）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，23DAB p Ð=.AC BD O =I ,且^PO 平面ABCD ，PO =，点,F G 分别是线段.PB PD 上的中点，E 在PA 上.且3PA PE =.（Ⅰ）求证：//BD 平面EFG ；（Ⅱ）求直线AB 与平面EFG 的成角的正弦值；（Ⅲ）请画出平面EFG 与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.题型五：立体几何建系繁琐问题【典例5-1】（2024·山东淄博·二模）已知直角梯形ABCD ，90ADC Ð=°，//AB CD ，2AB CD AD ===M 为对角线AC 与BD 的交点．现以AC 为折痕把ADC V 折起，使点D 到达点P 的位置，点Q 为PB 的中点，如图所示：(1)证明：AC ^平面PBM ；(2)求三棱锥P ACQ -体积的最大值；(3)当三棱锥P ACQ -的体积最大时，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．【典例5-2】（2024·贵州黔东南·二模）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，O 为AC 的中点，1111122AA A C C C AC ====.(1)证明：1//OC 平面11AA D D ；(2)若平面ABCD ^平面11ACC A ，AB BC ^，当四棱锥11B AA C C -的体积最大时，求1CC 与平面11AA B B 夹角的正弦值.【变式5-1】（2024·重庆·三模）如图所示的几何体是一个半圆柱和一个三棱锥的组合体.11,BB CC 是半圆柱的母线,1,O O 分别是底面直径BC 和11B C 的中点,11114,2,BC B C BB CC A ====是半圆O 上一动点,1A 是半圆1O 上的动点,1AA 是圆柱的母线，延长1A A 至P 点使得A 为1A P 的中点,连接PB ,PC 构成三棱锥P ABC -.(1)证明:1AC BA ^;(2)当三棱锥P ABC -的体积最大时,求平面1ABA 与平面1BA C 的夹角.【变式5-2】已知平面四边形ABCD ，2AB AD ==，60BAD Ð=°，30BCD Ð=°，现将ABD D 沿BD 边折起，使得平面ABD ^平面BCD ，此时AD CD ^，点P 为线段AD 的中点．(1)求证：BP ^平面ACD ；(2)若M 为CD 的中点①求MP 与平面BPC 所成角的正弦值；②求二面角P BM D --的平面角的余弦值．题型六：两角相等（构造全等）的立体几何问题【典例6-1】（2024·河南·模拟预测）如图,在三棱锥A BCD -中,ABC V 是等边三角形,90BAD BCD Ð=Ð=°,点P 是AC 的中点,连接,BP DP ．（1）证明:平面ACD ^平面BDP ;（2）若BD =,且二面角A BD C --为120°,求直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值．【典例6-2】（2024·广西桂林·二模）如图，四棱锥F ABCD -中，底面ABCD 为边长是2的正方形，E ，G 分别是CD ，AF 的中点，4AF =，FAE BAE Ð=Ð，且二面角F AE B --的大小为90°.(1) 求证：AE BG ^；(2) 求二面角B AF E --的余弦值.【变式6-1】（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，四棱锥E ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，45DAE BAE °Ð=Ð=，60DAB Ð=°.（1）证明：平面ADE ^平面ABE ；（2）当直线DE 与平面ABE 所成的角为30°时，求平面DCE 与平面ABE 所成锐二面角的余弦值.【变式6-2】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，四棱锥E ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的菱形45DAE BAE Ð=Ð=°，60DAB Ð=°（1）证明：平面ADE ^平面ABE ；（2）当平面DCE 与平面ABE DE 与平面ABE 所成角正弦值.题型七：利用传统方法找几何关系建系【典例7-1】（2024·江苏南京·二模）如图，//AD BC ，AD AB ^，点E 、F 在平面ABCD 的同侧，//CF AE ，1AD =，2AB BC ==，平面ACFE ^平面ABCD ，EA EC ==(1)求证：//BF 平面ADE ；(2)若直线EC 与平面FBD ，求线段CF 的长.【典例7-2】斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1上，侧面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，侧面AA 1C 1C 是菱形，∠A 1AC ＝60°，A 1C ＝AC AB ＝2，为BB 1的中点．(1)求二面角C －A 1D －C 1的余弦值；(2)记△ABC 的外接圆上有一动点P ，若二面角P －AA 1－C 与二面角C －A 1D －C 1相等，求AP 的长．【变式7-1】如图，已知四棱锥P ABCE -中，PA ^平面ABCE ，平面PAB ^平面PBC ，且1AB =，2BC =，BE =，点A 在平面PCE 内的射影恰为PCE V 的重心G .（1）证明：BC AB ^；（2）求直线CG 与平面PBC 所成角的正弦值.【变式7-2】如图所示，圆锥的高2PO =，底面圆O 的半径为R ，延长直径AB 到点C ，使得BC R =，分别过点A ，C 作底面圆O 的切线，两切线相交于点E ，点D 是切线CE 与圆O 的切点．(1)证明：平面PDE ^平面POD ；(2)若直线PE 与平面PBD ，求点A 到平面PED 的距离．题型八：空间中的点不好求【典例8-1】（2024·山东日照·三模）在五面体ABCDEF 中，CD ADE ^平面，EF ADE ^平面.(1)求证：AB CD ∥；(2)若222AB AD EF ===，3CD =，90ADE Ð=°，点D 到平面ABFE A BC F --的余弦值.【典例8-2】（2024·全国·校联考模拟预测）已知三棱锥ABCD ，D 在面ABC 上的投影为O ，O 恰好为△ABC 的外心．4AC AB ==，2BC =.(1)证明：BC ⊥AD ；(2)E 为AD 上靠近A 的四等分点，若三棱锥A-BCD 的体积为1，求二面角E CO B --的余弦值．【变式8-1】（2024·河南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB BC ==AD CD AC ===E ，F 分别为AC ，CD 的中点，点G 在PF 上，且G 为三角形PCD 的重心.(1)证明：//GE 平面PBC ；(2)若PA PC =，PA CD ^，四棱锥P ABCD -的体积为GE 与平面PCD 所成角的正弦值.【变式8-2】（2024·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，点P 在对角线1BD 上，AC BD O =I ，平面ACP ∥平面11AC D ．(1)求证：O ，P ，1B 三点共线；(2)若四边形ABCD 是边长为2的菱形，11π3BAD BAA DAA =ÐÐ==Ð，13AA =，求二面角P AB C --大小的余弦值．【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）已知菱形ABCD 中，1AB BD ==，四边形BDEF 为正方形，满足2π3ABF Ð=，连接AE ，AF ，CE ，CF ．(1)证明：CF AE ^；(2)求直线AE 与平面BDEF 所成角的正弦值．题型九：数学文化与新定义问题【典例9-1】（2024·高三·山东青岛·期中）某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E 、F 、G 分别是边长为4的正方形的三边AB CD AD 、、的中点，先沿着虚线段FG 将等腰直角三角形FDG 裁掉，再将剩下的五边形ABCFG 沿着线段EF 折起，连接AB CG 、就得到了一个“刍甍” (如图2)。
立体几何中的常见模型化方法
立体几何中的常见模型化方法建构几何模型的两个角度：一是待研究的几何体可与特殊几何体建立关联，二是数量关系有明显特征的几何背景.例题一个多面体的三视图如图1所示，则该多面体的体积是A. 23/3B. 47/6C.6D.7分析该几何体的三视图为3个正方形，所以可建构正方体模型辅助解答.解图2为一个棱长为2的正方体.由三视图可知，该几何体是正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其体积V=8-2×1/3×1/2×1×1×1=23/3选A.解后反思大部分几何体可通过对正方体或长方体分割得到，所以将三视图问题放在正方体或长方体模型中研究，能够快速得到直观图，并且线面的位置关系、线段的数量关系明显，计算简便.变式1 已知正三棱锥P-A BC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为____分析由于在正三凌锥P-ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，所以可以将该正三棱锥看作正方体的一部分，构造正方体模型.解构造如图3所示的正方体.此正方体外接于球，正方体的体对角线为球的直径EP，球心为正方体对角线的中点O，且EP⊥平面ABC，EP与平面ABC相交于点F.由于FP为正方体体对角线长度的1/3，所以又OP为球的半径，所以OP=.故球心O到截面ABC的距离解后反思从正方体的8个顶点之中选取不共面的点，可构造出多种几何体，这些几何体可以分享正方体的结构特征.变式2-个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为A.3πB.4πC.3πD.6π分析将一个正方体切掉四个大的“角”，就可得到一个正四面体.解如图4所示，构造一个棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，连接AB1，AD1，AC，CD1，CB1，B1D1，?t 四面体B1-ACD1为符合题意的四面体，它的外接球的直径AC1=，所以此正方体外接球的表面积S=4πR2=3π.选A.解后反思正四面体的体积也可通过这种切割的方法求得.由图形分析可知，正四面体的体积是它的外接正方体体积的}.若正四面体的棱长为a，则其体积为变式3 四面体A-BCD中，共顶点A的三条棱两两互相垂直，且其长分别为1，2，3.若四面体A-BCD的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为____.分析共顶点的三条棱两两互相垂直且长度不相等，这具有长方体的结构特征，可构造长方体来解决问题.解构造一个棱长分别为1，2，3的长方体，我们可发现四面体A-BCD是这个长方体的一个“角”，它们的外接球相同.所以2R=.故这个球的表面积S=4πR2=14π.解后反思可构造长方体的几何体在高考中属于高频考点.本题中条件“共顶点A的三条棱两两互相垂直”可变为“共顶点A的三个面两两垂直”，这也是长方体的结构特征之一变式4 如图5，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥上BC，DA =2，AB=4，BC=6，则球O的体积是____.分析 DA，AB，BC的位置符合长方体三条相连接棱的结构特征，可构造长方体模型.解以DA，AB，BC为棱长构造长方体.设长方体的外接球O的半径为R，则长方体的体对角线长为球O的直径，即CD.所以解后反思这种几何体的结构特征是三条棱顿次连接，并且垂直，通常称为“三节棍”模型.变式5 由空间上一点O出发的4条射线，两两所成的角都相等，求这个角的余弦值.分析由于是4条射线，并且两两所成的角都相等，联想到正四面体的结构特征――正四面体的中心与四个顶点的连线两两所成的角相等.解构造正四面体模型，如图6所示.射线OA，OB，OC，OD两两所成的角相等，∠AOB即为所求.设正四面体的棱长为a，则正四面体的高h=由余弦定理可得解后反思本题也可建构在正方体中，同学们可以试一试.变式6 已知直线l与平面a平行，P是直线l上的一个定点，平面a内的动点B满足PB与直线l所成的角为30°，那么点B的轨迹是A.两条直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线分析由已知条件，构造圆锥模型.解由于P是直线l上的一个定点，平面α内的动点B满足PB与直线l所成的角为30°，所以点B在以P为顶点的圆锥侧面上.又直线l与平面α平行，所以平面α与圆锥的轴平行，即平行于圆锥的轴的平面截圆锥的侧面，可得截面图形为双曲线.选C.解后反思本题中，点B的轨迹符合圆锥的结构特征是解题的突破口.变式7 如图7，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是A.圆B.椭圆C.一条直线D.两条平行直线分析考虑到三角形面积为定值，底边一定，从而P到直线AB的距离为定值，可构造圆柱模型.解由已知可得动点P的轨迹在圆柱面上.由于AB是平面α的斜线段，所以平面α斜截圆柱面，得到的截面图形为椭圆.选B.解后反思本题中，点P的轨迹符合圆柱的结构特征是解题的突破口.模型化方法的本质是根据题意进行数学建模，提升空间想象能力.对常见几何体的结构特征特别熟悉，是建构合理模型的关键.（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
立体几何的方法与技巧
立体几何的方法与技巧
立体几何是研究三维空间中图形和物体的数学分支。
在立体几
何中，有许多方法和技巧可以帮助我们理解和解决与三维空间相关
的问题。
本文将介绍一些常用的立体几何方法与技巧，以帮助读者
更好地理解和应用立体几何知识。
首先，我们来谈谈立体几何中常用的方法之一——投影法。
投
影法是一种通过投影将三维物体的形状投射到二维平面上的方法。
在立体几何中，投影法常常用于绘制和分析三维物体的形状和结构。
通过投影法，我们可以将复杂的三维图形简化为二维平面上的投影，从而更容易地理解和分析其特征和性质。
另一个重要的立体几何方法是截面法。
截面法是通过在三维物
体上进行截取，得到其在某个平面上的截面图形，从而揭示物体的
内部结构和特征。
通过截面法，我们可以更清晰地了解三维物体的
形状和构造，以及其与平面的相互关系。
此外，立体几何中还有许多技巧和工具可供我们使用，例如平
行投影、透视投影、立体图形的投影展开等。
这些技巧和工具可以
帮助我们更准确地描述和分析三维物体的形状和结构，从而更好地
理解和运用立体几何知识。
总之，立体几何的方法与技巧为我们提供了丰富的工具和思维方式，帮助我们理解和解决与三维空间相关的问题。
通过投影法、截面法以及其他技巧和工具，我们可以更深入地探索立体空间的奥秘，从而更好地应用立体几何知识于实际问题的解决中。
希望本文介绍的方法与技巧能够帮助读者更好地理解和应用立体几何知识，从而更好地探索和理解三维空间中的世界。
高中立体几何解题模型
高中立体几何解题模型摘要：一、引言1.1 立体几何的定义与意义1.2 立体几何解题模型的重要性二、立体几何解题模型及方法2.1 公理与定理2.2 平面几何知识在立体几何中的应用2.3 空间直角坐标系2.4 辅助线与数形结合三、解题技巧与策略3.1 找出线和面的关系3.2 运用勾股定理求解面积和周长3.3 利用空间直角坐标系将立体问题转化为代数问题3.4 借助模型意识，口算解题四、结论4.1 模型意识的重要性4.2 提高解题能力，掌握立体几何知识正文：一、引言1.1 立体几何的定义与意义立体几何是研究空间中点、线、面及其相关性质的几何学科，它是平面几何的拓展与延伸。
在高中数学课程中，立体几何的知识对于培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力以及解决实际问题具有重要的意义。
1.2 立体几何解题模型的重要性掌握立体几何解题模型和方法，对于提高学生解题能力，掌握立体几何知识具有重要意义。
解题模型可以帮助学生更好地理解立体几何的概念和性质，从而在解题过程中更加得心应手。
二、立体几何解题模型及方法2.1 公理与定理立体几何的解题模型主要包括公理和定理。
公理是空间直线、直线和平面的关系、平面和平面的关系等基本概念。
定理则是基于公理推导出来的空间直线、平面和直线之间的位置关系等。
2.2 平面几何知识在立体几何中的应用在解决立体几何问题时，可以借鉴平面几何的知识，将立体问题转化为平面问题，从而简化问题。
例如，在求解立体图形的面积和周长时，可以运用平面几何中的勾股定理和余弦定理。
2.3 空间直角坐标系空间直角坐标系是将立体空间问题转化为代数问题的工具。
通过建立空间直角坐标系，可以将立体问题表示为三维空间的向量和矩阵运算，从而简化问题。
2.4 辅助线与数形结合在解决立体几何问题时，可以运用辅助线和数形结合的方法。
辅助线可以帮助我们更好地理解问题，发现线与面之间的关系。
数形结合则是将代数问题与几何问题相结合，从而更好地解决立体几何问题。
立体几何建系方法
立体几何建系方法
立体几何建系是将物体的各个部分和特征按照一定的规律组织起来，以便实现物体的描述、分析和设计。
常见的立体几何建系方法包括以下几种：
1. 投影法：通过将三维物体投射到二维平面上来描述物体的形状和特征。
投影法包括正射投影和透视投影两种，可以用来绘制物体的平面图和立体图。
2. 点线面方法：用点、线和面来描述物体的形状和特征。
点表示物体的位置，线表示物体的边界或分界线，面表示物体的表面。
3. 剖视法：按照一定的切割规则将物体切割成若干部分，以便观察物体的内部结构和特征。
剖视法可以通过截剖图或剖面图来表示。
4. 抽象建模法：通过简化、抽象物体的形状和特征，以便更好地理解和分析物体的结构和功能。
常见的抽象建模方法包括立体图法、组合法、选择法等。
5. 三维建模方法：利用计算机软件或物理模型来建立真实或虚拟的三维模型，以便实现对物体的全面描述和分析。
三维建模方法包括参数建模、几何建模、曲面建模等。
6. 尺寸控制方法：通过测量和控制物体的尺寸来确保物体的质量和性能。
尺寸控制方法包括公差分析、配合与间隙控制等。
立体几何建系方法的选择取决于具体的应用场景和需求，不同的方法可以相互结合使用，以实现对物体的准确描述和分析。
数学立体几何模型
数学立体几何模型数学立体几何模型是指用于研究和描述三维空间中几何形状的数学模型。
在立体几何中，人们通常会使用一些基本的几何体，如球体、圆柱体、圆锥体、长方体等作为模型，来研究空间的点、线、面等元素之间的关系。
这些立体几何模型在数学中有着广泛的应用，如在解析几何、微积分、线性代数等领域中都会涉及到。
通过这些模型，人们可以更好地理解空间几何的性质，例如体积、表面积、角度、距离等。
此外，立体几何模型也常常被用于解决实际问题，例如建筑设计、机械制造、物理学等领域。
通过建立数学模型，人们可以更好地理解物体在空间中的位置和运动，从而更好地解决实际问题。
以下是一些常见的立体几何模型：1. 正多面体：包括四面体、立方体、八面体、十二面体和二十面体等，它们是具有相同边长和角度的多面体。
2. 柱体：由一个多边形在一条直线上移动形成的立体图形，如圆柱、棱柱等。
3. 锥体：由一个多边形绕其一边旋转形成的立体图形，如圆锥、棱锥等。
4. 球体：所有点与中心点距离相等的三维图形。
5. 椭球体：类似于球体，但在不同方向上的半径不同。
6. 双曲面体：由双曲线绕其轴旋转形成的立体图形。
7. 抛物面体：由抛物线绕其轴旋转形成的立体图形。
8. 环面：由一个圆绕着一个与它不相交的轴线旋转形成的立体图形。
综上所述，这些模型不仅在数学教学中有重要作用，帮助学生直观理解空间几何概念，而且在工程、建筑、艺术设计等领域也有广泛的应用。
通过使用这些模型，可以更好地理解和解决与体积、表面积、截面、投影等相关的立体几何问题。
总之，数学立体几何模型是研究空间几何的重要工具，它们可以帮助人们更好地理解空间的性质和解决实际问题。
立体几何解题模型
增强模型意识，口算解题不再是梦想新课标教材对高中立体几何的教学分成了两套思路。
一套是传统思路，以欧式几何中的公理、定理及推论作为一条主线，灵活添加辅助线，数形结合求得题解；另一套则是借助空间直角坐标系，将立体图形坐标化，从而将几何问题完全转化成代数问题，再通过方程来解决问题。
在此，我愿意另辟蹊径，用模型的意识来看待立体几何问题，利用补形法，力争将高考立体几何大题变为口算题！为了实现这一目标，我们先来熟悉一下几个模型：1、 长方体的“一角”模型在三棱锥P A B C -中，,,PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥，且,,PA a PB b PC c ===.①三棱锥P A B C-的高h =证明：设直线AH 交BC 于D 点，由于H 点一定在△ABC 内部，所以D 点一定在BC 上，连结PD. 在△PAD 中：PH ==②,,P BC A P CA B P AB C ------二面角的平面角分别是：arctanarctanarctanbcacab.例1、四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是边长为的正方形，,1PA ABCD PA ⊥=面，求A D P B --的大小.分析：考虑三棱锥A PD B -，它就是模型1－长方体的“一个角”.本来我们可以利用结论②解：设二面角A D P B --的大小为α.CAADCB则：tan2ABPA ADα⋅===⋅，故arctan2α=我们看到象例1这样本来是高考中大题目，可是抓到了长方体“一角”，做起来就变得很轻松了.例2、直二面角D AB E--中，ABCD是边长为2的正方形（见图）AE＝BE，求B点到面ACE的距离.分析：这是一道高考中的大题.因为D－AB－E是直二面角，BC⊥面ABE，当然面ABCD⊥面ABE，又因为ABCD是正方形，BC要垂直于面ABE.在ABE中，AE就是面内的一条线，而BE就是BF在该面内的射影，而AE是垂直于BF，这是因为BF垂直面ACE的，所以AE是垂直于面ACE的.所以AE垂直于BF，又有AE＝BE，所以△ABE是等腰直角三角形.这一小段是熟悉几何环境的过程.图形中特殊的位置关系约束△ABE的形状.补充图形，在正方体1111ABC D A B C D-看问题.在这里看直二面角的局部图形.问题就转化为：求D到面ACE的距离，就是求O点到面AB1C的距离.因为O，B到面ACB1的距离相等，所以只须求B到面ACB1的距离即可，考虑三棱锥B－ACB1，它是模型2.312,3BC BA BB BF===∴==所以，D到面ACE的距离为3.点评：比起高考评分标准给的答案那要简单得多了.这儿要注意：一个是把局部的直二面角根据它的AEB是以E为直角的等腰直角三角形和ABCD是正方形的图形特征，补足正方体，这就是一种扩大的几何环境，而正方体也就是长方体模型，另一方面又抓到这正方体的一个角B－ACB1，那么这个角的模型更高，DB1A1CBED CBA这就使我们在运算过程中得以简化.所以说一道看起来很复杂的几何题，用典型几何模型做就显得轻松. 例3 底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截，AB ＝4，BC ＝2，CC 1＝3，BE ＝1（见图），求C 点到面AEC 1F 的距离.分析：这也是一道高考题，在评分标准中给出了很多的辅助线.现在我们用典型的空间模型，再对这道题解解看.解：延长C 1E 交CB 延长线于M ，延长CD ，交C 1F 延长线于N ，C －C 1NM 是模型2.因为13,,321C C C M C M C M C N B C B E C M ===-- 同理13,,1242C C C N C N C N C N C DD FC N ===--.所以，C 到面C 1MN331211⨯⨯=.2、公式12cos cos cos θθθ=⋅的几何模型PB PA ααα⊥∈平面，是的斜线,B ,AB 是PB 在α内的射影，BC 是α内一条直线12,,,PBC PBA ABC θθθ∠=∠=∠=则有12cos cos cos θθθ=⋅.大家要注意搞清楚那个是θ，那个是1θ，那个是2θ，实际上只要搞清那个是θ，另外两个就是12,θθ.特别的，α内的直线不一定过B ，如上面的右图所示：C CDθ2θ1θαPCBAθ2θ1θαPCBA在直线AB 上有一点D ，过D 在α画一直线DC ，则θ是直线PB 与DC 所成的角，12,.PBA ADC θθ∠=∠=则12cos cos cos θθθ=⋅那么这样的有可能利用这样的模型计算出异面直线成角.PB 和DC 的成角. 例4 EA ⊥面ABCD ，ABCD是边长为的正方形，EA ＝1，在AC 上是否存在P 点，使PE 、BC 成60 角.分析：12EPA APM EPM θθθ∠=∠=∠=cos cos cos EPA APM EPM∠⋅∠=∠即1,22=所以112A P A C==.可见AC 中点即是要找的点P例5 长方体1111ABC D A B C D -中，AB ＝2，AA 1＝1，BD 与面AA 1B 1B 成30°角.AE ⊥BD 于E ，F 为A 1B 1的中点，求AE ，BF 成角.解：12cos cos cos cos 45cos(9030)θθθ=⋅=-＝1224⨯=所以AE ，BF成角为arccos4.这样的一个题目，最重要的是位.在高考评分标准中，都要有很长的解题过程中.这些结论在高考中，教材中有的可以直接用，有的可以先用，然后把结论来源说明.这样可以减少思考的时间与计算量.这就相当于电脑中的集成块一样，减少空间.3、双垂四面体模型如图3，四面体A －BCD ，AB ⊥面BCD ，CD ⊥面BCA ，这种四面体构成许多简单多面体的基本图形，不妨称为双垂四面体，主要性质：DCBB 1CB①cos cos cos A D C A D B B D C ∠=∠⋅∠；②以BD 、BC 和AC 为棱的二面角都是直二面角，以AB 、BC 为棱的二面角的平面角，分别是D B C ∠与A C B ∠③以AD 为棱的二面角为θ，则cos A B C D A C B Dθ⋅=⋅；④对棱AB 与CD 垂直，且BC 是它们的公垂线； ⑤对棱AD 与BC 为异面直线，它们夹角为α，则cos B C A Dα=例3 如图4，ABCD 是上下底长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1拆成直二面角，如图5.（1）证明：AC ⊥BO 1；（2）求二面角O －AC －O 1的大小. 解：（1）略（2）∵平面AOO 1⊥平面OO 1C ，又∵AO ⊥O 1C ，∴AO 平面OO 1C ，同理CO 1⊥平面AOO 1，四面体AOO 1C 是一个双垂四面体，若二面角O －AC －O 1的平面角为θ，则11c o s A O C O O C A O θ⋅=⋅，根据条件，从图5中可知AO ＝3，OC ＝2，1AO =CO 1＝1，即可自得cos 4θ=.例4 如图6，直二面角D －AB －E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE ＝EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE.（1）求证：AE ⊥平面BCE ； （2）求二面角B －AC －E 的大小； （3）求点D 到平面ACE 的距离.分析：当（1）证明后，我们很容易识别四面体A －EBC 是一个双垂四面体，若二面角B －AC －E 的平面角为θ，则cos C B A E A B C Eθ⋅=⋅，由条件可以计算出AB ＝CB=2,AE=，C E =，图3DBAO图4DCBAC图6DCBA∴arccos3θ=.值得注意的是此题的（3）并不需要用等积变换，根据平面斜线上两点到平面的距离等于它们的斜线长的比，∴点D到平面ACE的距离等于B点到平面ACE的距离，也就是线段BF的长为33E B BE C⋅==利用典型立体几何模型解高考题1．（本小题满分13分）如图，已知三棱锥O A B C-的侧棱OA OB OC，，两两垂直，且1O A=，2O B O C==，E是O C的中点．（1）求O点到面ABC的距离；（2）求异面直线B E与A C所成的角；（3）求二面角E A B C--的大小．解：显然三棱锥O A B E-和O A B C-都是长方体一脚模型，（1）设O点到面ABC的距离为h，则由结论1—①，3h==（2）设B E与A C所成的角为α，则由模型二cos cos cosO E B A C Oα=∠⋅∠，由勾股定理AB AC BE===2cos AC O∠=，1cos O EB∠=故2cos5α=，2arccos5α=（3）设二面角E A B O--、C A B O--、E A B C--的大小分别为,,θβγ，则θβγ=-，由结论1—②，tanO CO A O Bβ⋅==⋅，tan2O EO A O Bγ==⋅所以tan tantan1tan tan7βγθβγ-==+⋅2、（本小题满分13分）ＡＯＥＣＢ如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上一点，PE ⊥EC. 已知,21,2,2===AE CD PD 求二面角E —PC —D 的大小.解：过E 点作EG CD G ⊥于，G 过点作FG CD G EF ⊥于，连结，则显然三棱锥 G C E F-是长方体一角模型，设二面角E —PC —D 的大小为α，则由结论1—②可知：tan C G FGα=⋅，下面就只剩下计算问题了因为PD ⊥底面，故PD ⊥DE ，又因EC ⊥PE ，且DE 是PE 在面ABCD 内的射影，故由三垂直线定理的逆定理知：EC ⊥DE ，设DE=x ，因为△DAE ∽△CED ，故1,1,2±===x xx CD AEx 即（负根舍去）.从而DE=1，故有勾股定理2AD EG ==32C G CD D G =-=，又因为C G F G C DD P=，所以4C GD P FG C D⋅==，故tan 1EG C G FGα⋅==⋅，二面角E —PC —D 的大小为.4π3、（本小题满分13分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1，已知AB=2，BB 1=2，BC=1，∠BCC 1=3π，求：（Ⅰ）异面直线AB 与EB 1的距离；（Ⅱ）二面角A —EB 1—A 1的平面角的正切值. 解（Ⅰ）显然四面体1A BEB -是双垂四面体模型 由结论3—④，BE 是异面直线AB 与EB 1的公垂线在平行四边形BCC 1B 1中，设EB=x ，则EB 1=24x -，PCBEA!B !A !E作BD ⊥CC 1，交CC 1于D ，则BD=BC·.233sin=π在△BEB 1中，由面积关系得0)3)(1(,23221421222=--⋅⋅=-x x x x 即.3,1±=±=x x 解之得（负根舍去）,33cos21,,322=⋅-+∆=πCE CE BCE x 中在时当解之得CE=2，故此时E 与C 1重合，由题意舍去3=x . 因此x =1，即异面直线AB 与EB 1的距离为1. （Ⅱ）先求二面角1A EB B --由结论3—②，二面角1A EB B --的大小为AEB ∠，由于AB=2，1BE =故tan AEB ∠=11A B EB -是直二面角，故二面角A —EB 1—A 1的平面角的正切值为2.巧妙利用典型的立体几何模型可以很轻松地解决一些复杂的高考题，在平时复习是我们应该不断总结，总结有哪些典型的立体几何模型可以用于解题，这样才能提高解题能力。
数学立体几何的技巧和方法
数学立体几何的技巧和方法
数学立体几何的技巧和方法包括以下几个方面：
1. 图形可视化：通过绘制平面图形和对图形进行旋转、反转等操作，将复杂的立体图形转化为简单的平面图形，从而更好地理解和推导立体图形的性质。
2. 投影方法：将立体图形在一个平面上进行投影，获得平面内的图形，然后通过计算等方法确定立体图形的性质和体积等。
3. 切割法：将立体图形沿着某个面进行切割，使其变为若干个平面图形，然后通过计算这些平面图形的面积和体积等，来推导立体图形的性质。
4. 坐标法：使用坐标系来表示立体图形的各个点和面，依据对应点的坐标以及立体图形的性质来进行计算和推导。
5. 等量代换法：将一个立体图形变换为等量的、更加简单的形式，从而方便计算和推导。
以上是几个常用的立体几何技巧和方法，当然还有其他的方法，需要根据具体情况灵活运用。
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立体几何中的常见模型化方法
建构几何模型的两个角度：一是待研究的几何体可与特殊几何体建立关联，二是数量关系有明显特征的几何背景
例题一个多面体的三视图如图1 所示，则该多面体的体积是
A. 23/3
B. 47/6
C.6
D.7
分析该几何体的三视图为 3 个正方形，所以可建构正方体模型辅助解答.
解图 2 为一个棱长为2 的正方体. 由三视图可知，该几何体是正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其体积V=8-2 X 1/3X 1/2X 1 X 1 X仁23/3选A.
解后反思大部分几何体可通过对正方体或长方体分割得到，所以将三视图问题放在正方体或长方体模型中研究，能够快速得到直观图，并且线面的位置关系、线段的数量关系明显，计算简便.
变式1已知正三棱锥P-A BC，点P, A , B , C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为_______
分析由于在正三凌锥P-ABC 中，PA，PB，PC 两两互
相垂直，所以可以将该正三棱锥看作正方体的一部分，构造正方体模型.
解构造如图 3 所示的正方体. 此正方体外接于球，正方体的体对角线为球的直径EP，球心为正方体对角线的中点0,且EP丄平面ABC , EP与平
面ABC相交于点F.由于FP为正方体体对角线长度的1/3, 所以又0P为球的半径，所以0P=.故球心0到截面ABC的距离解后反思从正方体的8 个顶点之中选取不共面的点，可构造出多种几何体，这些几何体可以分享正方体的结构特征.
变式2-个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为
A.3 n
B.4 n
C.3 n
D.6 n 分析将一个正方体切掉四个大的“角” ，就可得到一个正四面体.
解如图4 所示，构造一个棱长为1 的正方体
ABCD-A1B1C1D1 ，连接AB1，AD1 ，AC，CD1，CB1，
B1D1，?t
四面体B1-ACD1 为符合题意的四面体，它的外接球的直径
AC1=,所以此正方体外接球的表面积S=4 n R2=3 n .选A.
解后反思正四面体的体积也可通过这种切割的方法求
得.由图形分析可知，正四面体的体积是它的外接正方体体积的｝.若正四面体的棱长为a,则其体积为
变式 3 四面体A-BCD 中，共顶点A 的三条棱两两互相垂直，且其长分别为1，2， 3.若四面体A-BCD 的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为_____________ .
分析共顶点的三条棱两两互相垂直且长度不相等，这具有长方体的结构特征，可构造长方体来解决问题.
解构造一个棱长分别为1，2，3 的长方体，我们可发现四面体A-BCD 是这个长方体的一个“角” ，它们的外接球相同•所以2R=.故这个球的表面积S=4 n R2=14 n .
解后反思可构造长方体的几何体在高考中属于高频考点.本题中条件“共顶点 A 的三条棱两两互相垂直”可变为“共顶点 A 的三个面两两垂直” ，这也是长方体的结构特征之一
变式 4 如图5，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C，D ，DA 丄平面ABC , AB 丄上BC, DA =2 , AB=4 , BC=6，则球
O 的体积是____ .
分析DA ，AB ，BC 的位置符合长方体三条相连接棱的结构特征，可构造长方体模型.
解以DA，AB ，BC 为棱长构造长方体.设长方体的外接球O的半径为R,则长方体的体对角线长为球O的直径，即
CD.所以
解后反思这种几何体的结构特征是三条棱顿次连接，并且垂直，通常称为“三节棍”模型.
变式 5 由空间上一点O 出发的 4 条射线，两两所成的角都相等，求这个角的余弦值.
分析由于是 4 条射线，并且两两所成的角都相等，联想到正四面体的结构特征――正四面体的中心与四个顶点的连线两两所成
的角相等.
解构造正四面体模型，如图6 所示.射线OA ，OB，
OC ，OD两两所成的角相等，/ AOB即为所求.设正四面体的棱长为a,则正四面体的高h=由余弦定理可得
解后反思本题也可建构在正方体中，同学们可以试一试.
变式 6 已知直线l 与平面 a 平行，P 是直线l 上的一个定点，平面a内的动点B满足PB与直线I所成的角为30°，那么点B 的轨迹是
A.两条直线
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
分析由已知条件，构造圆锥模型.
解由于P是直线I上的一个定点，平面a内的动点B满足PB 与直线I 所成的角为30°，所以点B 在以P 为顶点的圆锥侧面上.又直线I 与平面a 平行，所以平面a 与圆锥的轴平行，即平行于圆锥的轴的平面截圆锥的侧面，可得截面图形为双曲线.选C.
解后反思本题中，点B 的轨迹符合圆锥的结构特征是解题的突破口.
变式7如图7, AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ ABP的面积为定值，则动点P 的轨迹是
A.圆
B.椭圆
C.一条直线
D.两条平行直线
分析考虑到三角形面积为定值，底边一定，从而P 到
直线AB 的距离为定值，可构造圆柱模型.
解由已知可得动点P 的轨迹在圆柱面上.由于AB 是平面a
的斜线段，所以平面a斜截圆柱面，得到的截面图形为椭圆.选B.
解后反思本题中，点P 的轨迹符合圆柱的结构特征是解题的突破口.
模型化方法的本质是根据题意进行数学建模，提升空间想象能力.对常见几何体的结构特征特别熟悉，是建构合理模
型的关键.。