材料力学弯矩

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第十九

讲

下一讲

学时：2学时

课题：第七章直梁的弯曲梁纯弯曲时的强度条件

目的任务：掌握梁的强度条件及其应用

重点:梁的强度条件及其应用

难点：梁纯弯曲时横截面上的正应力

教学方法：多媒体

作业：7-2、7-4

…

作业问题：题6-2

第七章直梁的弯曲

弯矩图：

（1）梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图为直线，并且在集中力作用处，弯矩发生转折；

在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变量为集中力偶的大小。

！

（2）梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致。

（3）梁的两端点若无集中力偶作用，则端点处的弯矩为0；若有集中力偶作用时，则弯矩为集中力偶的大小。

例7－5 图示简支梁，受集中力F P和集中力偶M0=F P l作用，试作此梁的弯矩图。

；例

梁纯弯曲时的强度条件

7.3.1梁纯弯曲(pure bending)的概念Concepts

纯弯曲——梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。

Q = 0，M = 常数。

:

7.3.2梁纯弯曲时横截面上的正应力Normal Stresses in Beams 1．梁纯弯曲时的变形特点Geometry of Deformation:

平面假设：

1）变形前为平面变形后仍为平面

2）始终垂直与轴线

中性层Neutral Surface：既不缩短也不伸长（不受压不受拉）。

中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。

!

中性轴Neutral Axis：中性层与横截面的交线。

变形时横截面是绕中性轴旋转的。

2．梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律

纯弯曲时梁横截面上只有正应力而无切应力。

由于梁横截面保持平面，所以沿横截面高度方向纵向纤维从缩短到伸长是线性变化的，因此横截面上的正应力沿横截面高度方向也是线性分布的。

以中性轴为界，凹边是压应力，使梁缩短，凸边是拉应力，使梁伸长，横截面上同一高度各点的正应力相等，距中性轴最远点有最大拉应力和最大压应力，中性轴上各点正应力为零。

3．梁纯弯曲时正应力计算公式

.

在弹性范围内，经推导可得梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力为

式中，M为作用在该截面上的弯矩（Nmm）；y为计算点到中性轴的距离（mm）；

I z Moment of Area about Z-axis为横截面对中性轴z的惯性矩（mm4）。

在中性轴上y=0，所以=0 ；当y=y max时，=max。最大正应力产生在离中性轴最远的边缘处，

或

__________横截面对中性轴z的抗弯截面模量(mm3) !

计算时，M和y均以绝对值代入，至于弯曲正应力是拉应力还是压应力，则由欲求应力的点处于受拉侧还是受压侧来判断。受拉侧的弯曲正应力为正，受压侧的为负。

弯曲正应力计算式虽然是在纯弯曲的情况下导出的，但对于剪切弯曲的梁，只要其跨度L与横截面高度h之比L/h＞5，仍可运用这些公式计算弯曲正应力。

7.3.3惯性矩和抗弯截面模量

简单截面的惯性矩和抗弯截面模量计算公式

7.3.4梁纯弯曲时的强度条件

对于等截面梁，弯矩最大的截面就是危险截面，其上、下边缘各点的弯曲正应力即为最大工作应力，具有最大工作应力的点一般称为危险点。

梁的弯曲强度条件是：梁内危险点的工作应力不超过材料的许用应力。运用梁的弯曲强度条件，可对梁进行强度校核、设计截面和确定许可载荷。

例7－6 在例7－3中的简支梁，若选用D=100mm，d=60mm的空心圆形截面钢制造，已知梁的跨度l=3m，a=1m，b=2m，集中载荷F=25kN，许用正应力[]=200MPa。不计梁的自重，试校核该梁的强度。