2018年全国高中数学联赛A卷及解答
2018全国高中数学联合竞赛试题及解答[A卷]
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2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.。
【数学竞赛】2018年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(附答案)
|T,n2按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格T，第一行是1,2,,n.例如：=⎢894⎥.题号一2018年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷（考试时间：2018年6月30日上午9:00—11:30）二总分9101112得分评卷人复核人注意：1.本试卷共12小题，满分150分； 2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；3.书写不要超过装订线；4.不得使用计算器.一、填空题（每题8分，共64分，结果须化简）1.设三个复数1,i,z在复平面上对应的三点共线，且z|=5，则z=.2.设n是正整数，且满足n5=438427732293，则n=.3.函数f(x)=|sin(2x)+sin(3x)+sin(4x)|的最小正周期=.4.设点P,Q分别在函数y=2x和y=log x的图象上，则|PQ|的最小值=2.5.从1,2,,10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s2≤1的概率=.6.在边长为1的正方体ABCD-A B C D内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC相切，则小球11111半径的最大值=.7.设H是△ABC的垂心，且3HA+4HB+5HC=0，则cos∠AHB=.⎡123⎤8.把1,2,n3⎢⎥⎢⎣765⎥⎦设2018在T100的第i行第j列，则(i,j)=.二、解答题（第9—10题每题21分，第11—12题每题22分，共86分）9.如图所示，设ABCD是矩形，点E,F分别是线段AD,BC的中点，点G在线段EF上，点D,H关于线段AG的垂直平分线l对称.求证:∠HAB=3∠GAB.D HCE lG FA B213 2 π 210．(1) M ( x 0 , y 0 ) 处的切线方程 x 0 x - y 0 y = 1 ．(3 分)b 2y 0 , x 0 + y ⎪ ， B ( x 2 , y 2 ) = x 0 -y 0 , b a -b ⎭0 010. 设 O 是坐标原点，双曲线C : x 2 y 2 - a 2 b 2= 1(a > 0,b > 0) 上动点 M 处的切线交 C 的两条渐近线于 A , B两点.（1）求证: △AOB 的面积 S 是定值；（2）求 △AOB 的外心 P 的轨迹方程.11. （1）求证：对于任意实数 x , y , z 都有 x 2 + 2 y 2 + 3z 2 ≥3( xy + yz + zx ) .（2）是否存在实数k >试证明你的结论.3 ，使得对于任意实数 x , y , z 下式恒成立？x 2 + 2 y 2 + 3z 2 ≥ k ( x y + yz +zx )12. 在正 2018 边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色. 求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.参考答案和评分标准一、填空题（每题 8 分，共 64 分）1 2 3 45 6 7 84 - 3i 或 - 3 + 4i 1 + ln(ln 2) ln 21 154 - 65 -6 6(34,95)二、解答题（第 9—10 题每题 21 分，第 11—12 题每题 22 分，共 86 分） 9．由 E , F 分别是 AD , BC 的中点，得 EF // AB ⊥ AD ．(3 分) 设 P 是 E 关于 l 的对称点，则 EP // AG ⊥ l ，故四边形 AEPG 是等腰梯形． (8 分) 进而 ∠PAG = ∠EGA = ∠GAB ， ∠APG = ∠GEA ，从而 AP ⊥ HG ． (13 分) 再由 HP = DE = EA = PG ，得 ∠HAP = ∠PAG = ∠GAB ． (18 分) 因此， ∠HAB = 3∠GAB ．(21 分)a 2⎛ a b ⎫ ⎛ a - b ⎫ ⎪ ⎪与渐近线方程联立，得 A ( x 1, y 1 ) = x ⎝ a + b a b ⎭ ⎝ a x 0上述两式相乘，得P的轨迹方程为a2x2-b2y2=1(a2+b2)2．11故x2+2y2+3z2≥3(xy+yz+zx)．22，∑x(2017-x)=2M．当且仅当每个x=1008或1009时，N取得最小值C10092018-⨯1008=2C3．(16分)从而，S=1x y-x y=ab是定值．21221(2)由(1)可设A(λa,λb),B(a,-b),P(x,y)，λ为非零常数．λλ由P A=PO=PB，得(x-λa)2+(y-λb)2=x2+y2=(x-a)2+(y+b)2．(9分) (12分) (15分)λλ从而有ax+by=λ(a2+b2)，ax-by=1(a2+b2)．22λ(18分) (21分)411．(1)由均值不等式，1x2+3y2≥3xy，x2+3z2≥3xz，y2+3z2≥3y z．2222 (2)x2+2y2+3z2-k(xy+yz+zx)=(x-k y-k z)2+(2-k2)y2+(3-k2)z2+(k2-k)y z22442(8分) (14分)上式≥0恒成立当且仅当2-k2≥0且(k2-k)2≤4(2-42k24)(3-k2)．4(18分)化简得k≤22且k3-6k2+24≥0．显然，k=2>3满足要求．(22分) 12．设N是此图形中三边颜色都相同的三角形数目，M是此图形中三边颜色不全相同的三角形数目，x是以第i个顶点为端点的红色线段数目，则有iM+N=C320182018i i(10分) ii=1321009N=2C3是可以取到的，例如把线段i→i±j mod2018(1≤i≤2018,1≤j≤504)染成红1009色，其它线段染成蓝色．(22分)。
2018年全国高中数学联赛试题
D和 J分 别为 Δ/BCr的 外接 阈 姒町 和 BC∶ 的中点 ,F为 乙犭 BC的 内 ,则 DF⊥ JC.(笞 饿时泔将 国画在笛 卷纸上 冫
J与 BCJ的 交点 ,Ⅳ 在线段 EF~⒈ ,满 足 ⅣB⊥ 彳 L的 切点 ,σ 为 彳 B。 切I囚 在 /B边 ˇ
证 明 :希 BⅣ 哀 E″
:
;
In。
过点FG,O的 弦,扭 oB的 外接圆 交抛物线于点P(不 同 于点o,/,B)。 若PF 伊B,求 丨 PFl的 所有可能值。 平分乙
(本 趑满分 ⒛ 分)在 平面直角坐标系豸 勿 中,设 /B是 抛物线
/=仙 的
2018年 全国高中数学联合竞赛加试试题 《 A卷 冫
-、 (本 题满分 00分 )设 刀 是正貉数 ,〃 I,曰 2,¨ Ⅱ %。 DlⅡ 2,¨ 、 慨,彳 ,B均 为 1「
⒛18年 全 国高中数学联合竞赛一试试题 (A卷 )
-、 填空题 :本 大题共
1。
8小 题 ,每 小题 8分 ,满 分 “ 分 。
设集合 /=[,2,3,… ,991,B=仫 豸 u∈
/l,c=伽 |2丌 ∈彳 B∩ C的 元 刂 卜贝
素个数为_⊥____・ 2.设点 平 面 α的距离为 雨 ,点 g在 平面 α上 ,使 得 直 线 Pg与 α所成角
(本 履满分 m分 冫 三、 设″ ,七 ,胛 是
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2018年全国高中数学联赛天津赛区预赛试题+答案
x3 − 17x − 18 = 0
−4 < x1 < −3 4 < x3 < 5.
1
x2
2 arctan x1 + arctan x2 + arctan x3 .
解析
x1, x2, x3
x3 − 17x − 18 = (x − x1)(x − x2)(x − x3)
x1 + x2 + x3 = 0, x1x2 + x2x3 + x3x1 = −17, x1x2x3 = 18
14. A, B
F1, F2 O
x2 − y2 = 1 4
1 |OA| · |OB| = |OF1|2
2 F1, F2, A, B
.
第6页
解析 1
AB
√
|OA| = |OB| = 5 = |OF1|
AB
.
AB
y = kx + b
x2
−
1 (kx
+
b)2
=
1
4
A, B AB
(1, 2), (1, −2) x
.................................................................... 5
1 x1 ∈ (−4, −3) x3 ∈ (4, 5)
x2 = −x1 − x3 ∈ (−2, 0).
f (x) = x3 − 17x − 18
f (0) = −18 < 0, f (−1) = −2 < 0, f (−2) = 8 > 0
=
(x1 +x2 ) (1−x1 x2 )
+
2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
{}{}{}{}∈⎢,3⎥，即OQ∈[1,3]，6⨯6=36种，从而abc+def为奇数的概率为722018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2018A1、设集合A=1,2,3, ,99，集合B=2x|x∈A，集合C=x|2x∈A，则集合B C 的元素个数为◆答案：24★解析：由条件知，B C=2,4,6, ,48，故B C的元素个数为24。
2018A2、设点P到平面α的距离为3，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于300且不大于600，则这样的点Q所构成的区域的面积为◆答案：8π★解析：设点P在平面α上的射影为O，由条件知tan∠OQP=OP⎡3⎤OQ⎣3⎦所以区域的面积为π⨯32-π⨯12=8π。
2018A3、将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abc+def是偶数的概率为◆答案：9 10★解析：先考虑abc+def为奇数时，abc，def一奇一偶，①若abc为奇数，则a,b,c为1,3,5的排列，进而d,e,f为2,4,6的排列，这样共有6⨯6=36种；②若abc为偶数，由对称性得，也有119=，故所求为1-=6!1010102018A4、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2y2+a2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别是F,F，12椭圆C的弦ST与U V分别平行于x轴和y轴，且相交于点P，已知线段PU,PS,PV,PT的长分别为1,2,3,6，则∆PF F的面积为12★解析：由对称性，不妨设点 P x , y在第一象限，则 x = PT -PS 即 P 2,1 。
进 而 可 得 U2,2 ， S 4,1 ， 代 入 椭 圆 方 程 解 得 ： a 2 = 20 ， b 2 = 5 ， 从 而 2 2[ ]◆答案： π - 2,8 - 2π ][ ] [ ][ ] 所以 π - 2 < x < 8 - 2π ，即不等式的解集为 π - 2,8 - 2π ] ⎩bx 2 - 2bx = 0◆答案： 15()2 = 2 ，y 0 =PV - PU2= 1( ) ( ) ( )S ∆PF 1F2=1 1F F ⨯ y = ⨯ 2 15 ⨯ 1 = 15 。
2018年全国高中数学联赛辽宁赛区预赛试题+答案
a
9
8
7
6
5
4
3 21
4，3 4， 3 3， 2 3， 2
b
1，2 1， 2 1 1
2，1 2， 1 1
1
共 20 种情况。 同时，每个数码组 (a,b) 中的二个数码填上三个数位，有
C
2 3
种情况。
故 n2
C
2 3
(2
C
2 9
20) 156 . 综上， n n1 n2
165 .
【考点】 排列组合问题 .
，故
和
中必有一个小于
的距离最小值的二倍， 则 A 为平行于
的
直线与
的切点，解得
故答案为： 9．若正实数 x、y 满足
，故 的最小值为
.
，则 y 的最大值为 _____.
【答案】 【解析】【详解】
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设
,则
.令
，则
故
，因此 y 的最大值为 .
故答案为 :
10．四面体 ABCD中，已知
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二、填空题 6．设 、b 均为实数， 复数 为纯虚数，则 +b=_____. 【答案】 【解析】【详解】
与
的模长相等， 且
由题设知
，且
为纯虚数，故
.因此
或
解得
或
，故
.
故答案为：
7．在 △ ABC中，角 A、B、C的对边分别为 、b、c.若 【答案】 1009 【解析】【详解】
. ，求
的最大值和最小
.
当
时取等号，故 M 的最大值为 .
要使 M 取最小值，只需考虑
2018年全国高中数学联赛A卷真题word版
一试一、填空题1. 设集合{}99,,3,2,1 =A ，{}A x x B ∈=2，{}A x x C ∈=2，则CB 的元素个数为 . 2. 设点P 到平面α的距离为3，点Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于︒30且不大于︒60， 则这样的点Q 所构成的区域的面积为 .3. 将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是偶数的概率为 .4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别是21,F F ，椭圆C 的弦ST与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P .已知线段PT PV PS PU ,,,的长分别为6,3,2,1， 则21F PF ∆的面积为 .5. 设()x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]1,0上严格递减，且满足()()22,1==ππf f ，则不等式组()⎩⎨⎧≤≤≤≤2121x f x 的解集为 .6. 设复数z 满足1=z ，使得关于x 的方程0222=++x z zx 有实根，则这样的复数z 的和为 .7. 设O 为ABC ∆的外心，若AC AB AO 2+=，则BAC ∠sin 的值为 .8. 设整数数列1021,,,a a a 满足1103a a =，5822a a a =+，且{}9,,2,1,2,11 =++∈+i a a a i i i ， 则这样的数列的个数为 .二、解答题9. 已知定义在+R 上的函数()x f 为()⎪⎩⎪⎨⎧--=,4,1log 3x x x f .9.90>≤<x x ，设c b a ,,是三个互不相同的实数，满足()()()c f b f a f ==，求abc 的取值范围.10. 已知实数列 ,,,321a a a 满足：对任意正整数n ，有()12=-n n n a S a ，其中n S 表示数列的前n 项和. 证明：（1）对任意正整数n ，有n a n 2<；（2）对任意正整数n ，有11<+n n a a .11. 在平面直角坐标系xOy 中，设AB 是抛物线x y 42=的过点()0,1F 的弦，AOB ∆的外接圆交抛物线 于点P （不同于点B A O ,,）.若PF 平分APB ∠，求PF 的所有可能值.二试一、设n 是正整数，B A b b b a a a n n ,,,,,,,,,2121 均为正实数，满足i i b a ≤，A a i ≤，,,,2,1n i =且ABa a ab b b n n ≤ 2121. 证明：()()()()()()111111112121++≤++++++A B a a a b b b n n .二、ABC ∆为锐角三角形，AC AB <，M 为BC 边的中点，点D 和E 分别为ABC ∆的外接圆上弧BAC和弧BC 的中点.F 为ABC ∆的内切圆在AB 边上的切点，G 为AE 与BC 的交点，N 在线段EF 上， 满足AB NB ⊥.证明：若EM BN =，则FG DF ⊥.三、设m k n ,,是正整数，满足2≥k ，且n kk m n 12-<≤.设A 是{}m ,,2,1 的n 元子集. 证明：区间⎪⎭⎫⎝⎛-1,0k n 中的每个整数均可表示为a a '-，其中A a a ∈',.四、数列{}n a 定义如下：1a 是任意正整数，对整数1≥n ，1+n a 是与∑=ni ia1互素，且不等于n a a ,,1 的最小正整数. 证明：每个正整数均在数列{}n a 中出现.ED。
2018年全国高中数学联赛辽宁省初赛参考答案及评分标准
令 1 x(1 4x) (1 2x) 2x ，两边平方，整理可得：
(1 3x)(8x2 8x 1) 0 .
此方程有根 x 1 ， x 1
3
2
2 . 又因为 1
4
2
2 4
2 3
，且
x
1 3
是增根，故 x0
1 2
2 是 f (x) 的最大 4
值点.
因此，
f
(
x0
)
1
16
2
是M
的最小值.
. . .(25 分)
又直线 OQ 与圆相切，设直线 OQ 的方程是 y k2 x ，
同理有：
(x02 r2 )k22 2x0 y0k2 y02 r2 0 ，
则 k1, k2 是方程
(x02 r2 )x2 2x0 y0x y02 r2 0
的两实根，因此，
k1 k2
y02 r 2 x02 r 2
若M0为
f
(
x)
在
[0，2 3
]
上的最大值，则
M
0
为
M
的最小值.
由于
f (0)
f
(2) 0 ，则 3
f (x) 在 (0，2) 内 3
取到最大值，因此在 f (x0 ) 0 的 x0 处取到.
. . .(20 分)
由于
f (x) 2
1 x 2 x(1
x)
1 x(1 4x) (2x 1)
2x ，
又 DE // BC ，所以 AQP DEP
QP EP QA ED
. . .(15 分)
因此 BC QP EP ，故 ST QA ED
DE BC EP ST EP (ES ET ) EP ES EP ET EM 2 EN 2 ．
2018年湖南省高中数学联赛A及参考答案
2018年湖南省高中数学联赛（A ）卷试题参考答案与评分细则一、填空题(本题满分70分，每小题7分)1.已知},,{321a a a B A = ，当B A ≠时，),(B A 与),(A B 视为不同的对，则这样的),(B A 对的个数有____________个．解:由集合B A ,都是B A 的子集，B A ≠且},,{321a a a B A = ．当φ=A 时，B 有1种取法；当A 为一元集时，B 有2种取法；当A 为二元集时，B 有4种取法；当A 为三元集时，B 有7种取法．故不同的),(B A 对有26743231=+⨯+⨯+(个)．2.32ax >+的解集是(4，b )，则实数a =，b =．解：方法一：设2,则,且t x t t ==∈，则不等式2302at t -+<的解集为（，所以2，是方程2302at t -+=的两根，即12,32,2a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得18a =，b =36．方法二：设1232y y ax ==+，由不等式32ax >+的解集是(4，b )，可得两函数1232y y ax ==+在同一坐标系中的图象．设两函数图象的交点为A ，B，则(4,2),(A B b ，所以3242a =+32ab =+．解得18a =，b =36．3.从-3，-2，-1，0，1，2，3，4八个数字中，任取三个不同的数字作为二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)的系数，若二次函数的图象过原点，且其顶点在第一象限或第三象限，这样的二次函数有_____个?解：可将二次函数分为两大类：一类顶点在第一象限；另一类顶点在第三象限，然后由顶点坐标的符号分别考查．∵图象过坐标原点，∴c =0．∴二次函数可写成f (x )=ax 2+bx 的形式．又∵f (x )=a (x +a b 2)2-a b 42，∴其顶点坐标是(-a b 2，a b 42)．若顶点在第一象限，则有-a b 2>0，-ab 42>0．故a <0，b >0．因此，这样的二次函数有A 13·A 14=12个．若顶点在第三象限，则有-a b 2<0，-ab 42<0．故a >0,b >0．这样的二次函数有A 24=12个．由加法原理知，满足条件的二次函数共有A 13·A 14+A 24=24个．4.已知n 为正整数，若16610322-+-+n n n n 是一个既约分数，那么这个分数的值等于．解：)2)(8()2)(5(16610322-+-+=-+-+n n n n n n n n ，而当n -2=±1时，若(n +8，n +5)=(n +5，3)=1，则16610322-+-+n n n n 是一个既约分数，故当n =3时，该分数是既约分数．∴这个分数为118．5.函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________．解3sin ,[0,]()sin ,(,2]x x f x x x πππ∈⎧=⎨-∈⎩，作出其图像，可知有两个交点时的k 的范围为31<<k ．6.设实数a ，b 满足不等式|||||)(|||b a a b a a +-<+-，则a ，b 的正、负符号分别为___________.解：由已知得⇒+-<+-22|)|()](|[|b a a b a a ).(||||.)(||2)().(||22222b a a b a a b a b a a a b a b a a a +<+⇒+++-<+++-，由于x x ≥||，因此立得).(||||).(0b a a b a a a +<+--⇒<，约去-a 得ba b a +<+-||00>->⇒>+∴a b b a ，a 为负数且b 为正数．7.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 中点，F 为CC 1中点，异面直线EF 与AC 1所成角的余弦值是___________.解：设正方体棱长为1，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系，则E (1，12，0)，F (0，1，12），A (1，0，1)，C 1(0，1，1)EF →＝(-1，12，12)，AC →1＝(-1，1，1)，∴cosθ＝11||||EF AC EF AC＝223．8.四次多项式432182001984x x kx x -++-的四个零点中有两个零点的积为-32，则实数k=．解:设多项式432182001984x x kx x -++-的四个根为1234,,,.x x x x 则由韦达定理，得1234121314232434123124134234123418,,200, 1984.x x x x x x x x x x x x x x x x k x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++++=⎪⎨+++=-⎪⎪=-⎩设123432,62,x x x x =-=则故123462()32()200.x x x x +-+=-又121234344,18,14.x x x x x x x x +=⎧+++=∴⎨+=⎩故12341234()()86.k x x x x x x x x =++++=9.(|x |＋||1x －2)3的展开式中的常数项为．解：.)||1||()2||1|(|63x x x x -=-+∴.20)||1()||()1(333634-=-=x x C T 10.在半径为R 的球内作内接圆柱，则内接圆柱全面积的最大值是．解：设内接圆柱底面半径为Rsinα，则高为2Rcosα，则全面积为2222222(sin )2sin 2cos 2(sin sin 2)(1cos22sin 2)(1))(1R R R R R R R παπααπααπααπαϕπ+⨯=+=-+=+-≤+其中1tan 2ϕ=，等号成立的条件是22παϕ=+，故最大值为2(1R π+.二、解答题(本题满分80分，每小题20分)11.已知抛物线C 1的顶点(2-1，1)，焦点(2-34，1)，另一抛物线C 2的方程y 2-ay +x +2b ＝0，C 1与C 2在一个交点处它们的切线互相垂直，试证C 2必过定点，并求该点的坐标．解:C 1的p ＝12，方程(y -1)2＝x -(2-1)，即y 2-2y -x +2＝0．设交点为(x 0，y 0)，则C 1的切线方程为y 0y -(y +y 0)-12(x +x 0)+2＝0.，即2(y 0-1)y -x -2y 0-x 0+22＝0．同理可得，C 2的切线方程为y 0y -12a (y 0+y )+12(x +x 0)+2b ＝0，即(2y 0-a )y +x -ay 0+x 0+4b ＝0．.....................................................5分由题意知二者垂直，从而可得1(-1)+2(y 0-1)(2y 0-a )＝0，整理得4y 02-2(a +2)y 0+2a -1＝0．①由y 02-2y 0-x 0+2＝0和y 02-ay 0+x 0+2b ＝0，相加得：2y 02-(a +2)y 0+2b +2＝0，②①-②×2得：2a -1-4b -22＝0，可得4b ＝2a -1-22．③.................................................10分代入C 2方程整理即可得：2y 2-2ay +2x +2a -1-22＝0，即2y 2+2x -22-1-2a (y -1)＝0，.................................................15分取方程组⎩⎨⎧=-=--+010122222y x y ，解得(2-12，1)．即对任何满足③的a 、b ，点(2-12，1)在曲线C 2上，即C 2过定点，该定点的坐标为(2-12,1)．.............................................................20分12.如图，在凸四边形ABCD 中，M 为边AB 的中点，且MC=MD .分别过点C 、D 作边BC 、AD 的垂线，设两条垂线的交点为P .过点P 作PQ ⊥AB 于Q .求证:∠PQC =∠PQD .证明：如图，联结PA 、PB ，分别取PA 、PB 的中点E 、F ，联结EM 、ED 、FM 、FC .则四边形PEMF 为平行四边形..................................................5分从而，∠PEM =∠PFM.由ME=21BP=CF,MF=21AP=DE,MD=MC 所以，△DEM ≌△MFC ..................................................10分即，∠DEM =∠MFC.所以，∠PED =∠DEM-∠PEM=∠MFC-∠PFM=∠PFC.又，∠PED =2∠PAD,∠PFC =2∠PBC,得∠PAD=∠PBC.由于∠PQA=∠PDA=90o ,∠PQB=∠PCB=90o ,则P 、Q 、A 、D 和P 、Q 、B 、C 分别四点共圆..................................................15分故∠PQD=∠PAD ，∠PQC=∠PBC,所以，∠PQC=∠PQD..................................................20分{}2221212122221*221221(121)2(13)13213132********k k k k k k k k k mn m mm m m k k S k S S a k k S m a S S L L N S m L m ------+--+-+---+--+=∈-+-+ ＝．＝＝＝假设存在正整数，使得恰好为数列中的一项，又由（）知，数列中的每一项都为正数，故可设（），则＝，变形得到(3-L )3m -1=(L -1)(m 2-1)①．.................................................15分∵m ≥1，L ≥1，3m -1＞0，∴L ≤3．又L ∈N *，故L 可能取1，2，3．当L =1时，(3-L )3m -1＞0，(L -1)(m 2-1)=0，∴①不成立；当L =2时，(3-2)3m -1=(2-1)(m 2-1)，即3m -1=m 2-1．若m =1，3m -1≠m 2-1，21222221121(*2)3172()(1)11223222322033333m m m m m m m m m T m N m m m m m m m T T -+--∈≥-+++---++-+⨯+--=≤<令＝，，则=．因此，1=T 2＞T 3＞…，故只有T 2=1，此时m =2，L =2=a 2．当L =3时，(3-3)3m -1=(3-1)(m 2-1)．∴m =1，L =3=a 3．。
2018年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题+答案
△CDF ∼ △EBF
CP ∥ AE .
∠F DP = ∠F BA
CD DP =
BE AB
DF CD
=
⃝3
FB BE
DF DP =
F B AB
⃝3 10 ⃝4 15
⃝4
△AF B ∼ △P F D, ∠AF B = ∠P F D A F P
20
12.
20
a1, a2, · · · , an
√ a1
+
b + 5a a + b = 8.
ab
|(a + i)(2 + i)| =
b−i 2−i
a+b=
.
(2a
−
1)2
+
(a
+
2)2
=
( 2b
+
1 )2
+
( b
−
2 )2
⇒
(b
+
5a)(b
−
5a)
=
24.
5
5
b + 5a = 12
b + 5a = 6
b − 5a
b − 5a = 2
b − 5a = 4
+
4a3
+·Fra bibliotek··
+
k2ak+1
≥
√ a1
+
4a2
+
·
·
·
+
(k
+
1)2ak+1.
10 分 ⃝1
[√ ( a2
)2
+
(√a3)2
2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
2,
4,
6,,
48
，
故 B C 的元素个数为 24 ． 2. 设点 P 到平面 的距离为 3 ，点 Q 在平面 上，使得直线 PQ 与 所成
角不小于 30 且不大于 60 ，则这样的点 Q 所构成的区域的面积为
．
答案：8 ．
解：设点 P 在平面 上的射影为 O ．由条件知，OP OQ
tan
OQP
3, 3求的区域面积为 32 12 8 ．
3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 a, b, c, d , e, f ，则 abc + def 是偶数的
概率为
．
答案： 9 ． 10
在[9,) 上严格递减，且 f (3) 0, f (9) 1，故结合图像可知
a (0, 3) ， b (3, 9) ， c (9, ) ，
并且 f (a) f (b) f (c) (0, 1) ．
…………………4 分
由 f (a) f (b) 得 1 log3 a log3 b 1，
注意到 f ( 2) f () 1, f (8 2) f (2) f (2) 2 ，
所以 1 f (x) 2 f ( 2) f (x) f (8 2) ，
而1 2 8 2 2 ，故原不等式组成立当且仅当 x [ 2, 8 2] ． 6. 设复数 z 满足 z 1，使得关于 x 的方程 zx2 2zx 2 0 有实根，则这样
证明： (1) 约定 S0 0 ．由条件知，对任意正整数 n ，有
1
an
(2Sn
2018年全国高中数学联赛
2018年全国高中数学联赛山东预赛试题解析一、填空题(每小题8分，共80分)1.若复数z 满足|z －1|+|z －3－2i|=22，则|z |的最小值为 . 【解析】答案：1.设z =x +y i ，则|z －1|+|z －3－2i|=22的几何意义为点P (x ，y )到点A (1，0)，B (3，2)的距离之和为22，因为|AB |=22，从而点P 在线段AB 上，从而：|OP |≥1.即当z =1时有最小值|z |=1. 2.在正三棱锥S —ABCD 中，已知二面角A —SB —D 的正弦值为63，则异面直线SA 与BC 所成的角为 . 【解析】答案：60°.A —SB —D 的二面角等于A —SD —B 的二面角，设底面的中心为O ，取AD 的中点M ，连接SO 、SM 、OM ，过点O 作OE ⊥SM 于E ，易证OE ⊥平面SAD ，过点E 作EP ⊥SD 于点P ，连接OP ，从而：A —SD —B 的二面角为∠EPO .设底面边长为2a ，侧棱长为2b ，于是：OM =a ，SO =4b 2－2a 2，OD =2a ， 所以：OE =a 4b 2－2a 24b 2－a 2，OP =2a ·4b 2－2a 22b ，所以：sin ∠OPE =OE OP =2b 4b 2－a 2=63，解得：a =b .于是：△SAD 为正三角形，从而：直线SA 与BC 所成的角为60°.OP MDEC SA3.函数f (x )=[2sin x ·cos x ]+[sin x +cos x ]的值域为 (其中[x ]表示不超过x 的最大整数). 答案：{－1，0，1，2}.【解析】 f (x )=[sin2x ]+⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4，当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4时，[sin2x ]=0，⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=1，此时f (x )=1； 当x =π4时，[sin2x ]=1，⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=1，此时f (x )=2； 当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，[sin2x ]=0，⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=1，此时f (x )=1； 当x =π2时，[sin2x ]=0，⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=1，此时f (x )=1； 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，[sin2x ]=0，⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=0，此时f (x )=0； 当x =3π4时，[sin2x ]=－1，⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=0，此时f (x )=－1； 当x ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π时，[sin2x ]=0，⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=0，此时f (x )=0； 当x =π时，[sin2x ]=0，⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=－1；此时f (x )=－1； 其他区间按此方法讨论.4.在△ABC 中，∠BAC =60°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，且有AD →=14AC →+tAB →，若AB =8，则AD = . 答案：6 3.【解析】易知t =34，从而：AC =24，AD 2=116×242+916×82+316×8×24=108，从而：AD =6 3.5.甲、乙两人轮流掷一枚硬币至正面朝上或者朝下，规定谁先掷出正面朝上为赢：前一场输者，则下一场先掷，若第一场甲先掷，则甲赢得第n 场的概率为 . 【解析】答案：P n =12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13n . 设甲赢得第n 场的概率为P n ，则P n +1=23(1－P n )+13P n ，P 1=23，解得：P n =12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13n . 6.若直线6x －5y －28=0交椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0，且a ，b 为整数)于A 、C ，设B (0，b )为椭圆的上顶点，而△ABC 的重心为椭圆的右焦点F 2，则椭圆的方程为 . 【解析】设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，依题意知：⎩⎨⎧x 1+x 2=3c ，y 1+y 2+b =0，联立椭圆方程和直线方程：⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2+y 2b 2=1，6x －5y －28=0，得：⎩⎨⎧x 1+x 2=336a 236a 2+25b 2=3c ①，y 1+y 2=－280b 236a 2+25b 2=－b ②，①÷②可得：2a 25b 2=c b， 即：2a 2=5bc ，两边平方，并有c 2=a 2－b 2可得：4a 4－25a 2b 2+25b 4=0，解得：a 2=5b 2或者a 2=54b 2，7.设a 、b ∈R ，则max{|a +b |，|a －b |，|1－b |}的最小值为 . 【解析】答案：12.max{|a +b |，|a －b |，|1－b |}=max{|a |+|b |，|1－b |}≥|a |+|b |+|1－b |2≥|a |+12≥12. 当且仅当a =0，b =12时等号成立.8.已知a 、b ∈Z ，且a +b 是方程x 2+ax +b =0的一个根，则b 的最大可能值为 . 【解析】答案：9.将a +b 代入方程可得：(a +b )2+a (a +b )+b =0，整理可得：b 2+(3a +1)b +2a 2=0，显然a 、b 中至少有一个为负数，欲求b 的最大值，则a <0，b >0. 视b 为主元，解得：b =－(3a +1)－(3a +1)2－8a 22=－(3a +1)－a 2+6a +12，其中：a ≥22－3或者a ≤－(22+3)，因为b ∈Z ，从而：a 2+6a +1=m 2，m ∈Z ， 即：a 2+6a +1－m 2=0有整数解.=36－4(1－m 2)=4(m 2+8)为完全平方数，令m 2+8=n 2，其中：n ∈Z ，所以：(n +m )(n －m )=8=2×4=(－2)×(－4)，解得：⎩⎨⎧n =±3，m =±1，a =0或－6，b =－1或9，于是b max = 9，此时a =－6.9.设集合A 、B 满足A ∪B ={1，2，…，10}，若A ∩B = ，若集合A 的元素个数不是集合A 的元素，集合B 元素个数不是集合B 的元素，则满足条件的所有集合A 的个数为 . 【解析】令|A |=k ，则|B |=10－k ，k ≠5，否则5∈A ∩B ，从而由题意可知：k ∈B ，10－k ∈A ，此时A 中剩余的k －1个元素有C k －18种选择，且剩余的9－k 个元素必定属于集合B .于是，满足题意的集合A 的个数为m =∑k =19C k －18－C 5－18=28－70=256－70=186个.10.设f (n )为最接近4n 的整数，则∑k =120181f (k )= . 【解析】答案：28867.用[n ]表示与4n 最接近的整数，则：当n ∈[1，8]时，[n ]=1，f (n )=1，其中n =1，2，…，8；故∑k =181f (k )=8， 当n ∈[9，48]时，[n ]=2，f (n )=2，其中n =9，10，…，48，故∑k =9481f (k )=20；当n ∈[49，168]时，[n ]=3，f (n )=3，其中：n =49，50，…，168，故∑k =491681f (k )=40； 当n ∈[169，440]时，[n ]=4，f (n )=4，其中n =169，170，…，440，故∑k =1694401f (k )=68； 当n ∈[441，960]时，[n ]=5，f (n )=5，其中：n =441，…，960，故∑k =4419601f (k )=104； 当n ∈[961，1848]时，[n ]=6，f (n )=6，其中n =961，…，1848，故∑k =96118481f (k )=148. 当n ∈[1849，2018]时，[n ]=7，其中n =1849，…，2018，故∑k =184920181f (k )=1707， 综上：∑k =120181f (k )=8+20+40+68+104+148+1707=28867. 事实上，当k ≤4n ≤k +1时，若n 4∈[k 4，k 4+2k 3+3k 2+2k ]时，[n ]=k ，当n 4∈[k 4+2k 3+3k 2+2k +1，(k +1)4]时，[n ]=k +1. 因为当n 4∈[k 4，k 4+2k 3+3k 2+2k ]，则n 4－k 4∈[0，2k 3+3k 2+2k ]<(k +1)4－n 4∈[2k 3+3k 2+2k +1，4k 3+6k 2+4k +1]； 而当n 4∈[k 4+2k 3+3k 2+2k +1，(k +1)4]时，(k +1)4－n 4∈[0，2k 3+3k 2+2k ]<n 4－k 4∈[2k 3+3k 2+2k +1，4k 3+6k 2+4k +1]； 于是：当n 4∈[k 4+2k 3+3k 2+2k +1，(k +1)4]时，[n ]=k +1； 当n 4∈[(k +1)4，(k +1)4+2(k +1)3+3(k +1)2+2(k +1)]时，[n ]=k +1，即当n 4∈[k 4+2k 3+3k 2+2k +1，(k +1)4+2(k +1)3+3(k +1)2+2(k +1)]时，[n ]=k +1，此时共有(k +1)4+2(k +1)3+3(k +1)2+2(k +1)－(k 4+2k 3+3k 2+2k )=4k 3+12k 2+16k +8=4(k +1)(k 2+2k +2)个数，于是：∑k 4－2k 3+3k 2－2k +1k 4+2k 3+3k +2+2k1f (k )=4(k 2+1)， 所以：∑k =120181f (k )=∑k =164(k 2+1)+∑i =184920181f (i )=388+1707=28867. 二、解答题(本大题共4小题，共70分)11.已知圆O ：x 2+y 2=4与曲线C ：y =3|x －t |，A (m ，n )，B (s ，p )(m ，n ，s ，p ∈N*)为曲线C 上的两点，使得圆O 上的任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值k (k >1)，求t 的值.【解析】答案：t =43.取圆上的点C (2，0)，D (－2，0)，E (0，2)，F (0，－2)，依题意有：⎩⎨⎧(2－m )2+n 2(2－s )2+p 2=(2+m )2+n 2(2+s )2+p 2=ms，m 2+(2－n )2s 2+(p －2)2=m 2+(2+n )2s 2+(2+p )2=np，于是：OA →=tOB →，所以，点A 、B 、O 三点共线.由阿波罗尼斯圆的性质：OA ·OB =R 2=4，且OA =Rλ，OB =Rλ，其中λ>1，则OA <OB ，所以：OA <2；因为：m 2+n 2=OA 2=4λ2，又m 、n ∈N*，从而：OA 2=4λ2∈N*，(1)若OA 2=4λ2=1，则λ=2，此时：m 2+n 2=1，必有mn =0，因为m 、n ∈N*，不符合题意；(2)若OA 2=4λ2=2，则λ=2，此时：m 2+n 2=2，得：m =n =1，s =p =2，直线AB 的方程为y=x ，则点A (1，1)，B (2，2)在曲线C 上，代入解得：t =43.(3)若OA 2=4λ2=3，此时：m 2+n 2=3，无正整数解，不合题意.综上：t =43.12.已知数列{a n }满足：a 1=π3，0<a n <π3，sin a n +1≤13sin3a n (n ≥2)， 求证：sin a n <1n. 证明：由于0<a n <π3，于是：sin a n ∈⎝⎛⎭⎫0，12， 当n =1时，有sin a 1=12<1；当n =2时，sin a 2∈⎝⎛⎭⎫0，12<12成立； 设当n =k 时，有sin a k <1k， 则当n =k +1时，sin a k +1≤13sin3a k =13(3sin a k －4sin 3a k )，令f (x )=3x －4x 3，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12， 则f ′(x )=3－12x 2>0，即f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12单调递增， 于是：sin a k +1≤13sin3a k =13(3sin a k －4sin 3a k )≤1k －43k k，所以只需证明：1k －43k k <1k +1(k ≥2) 即可. 即证明：3k －43k<k k +1， 平分后整理可得：15k 2+8k －16>0，即证明对任意k ≥2有：(3k +4)(5k －4)>0，显然成立.于是：对任意n ∈N*，有sin a n <1n. 13.实数a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2=λ(λ>0)，试求f =min{(a －b )2，(b －c )2，(c －a )2}的最大值.【解析】由i 对称性，不妨设a ≥b ≥c ， 从而：a －b >a －c >0，于是有：f =min{(a －b )2，(b －c )2，(c －a )2}=min{(a －b )2，(b －c )2}≤(a －b )(b －c )≤⎣⎡⎦⎤(a －b )+(b －c )22=(a －c )24≤λ2.当且仅当b =0，a =－c =2λ2时等号成立. 14.证明对所有的正整数n ≥4，存在一个集合S ，满足如下条件： (1)S 由都小于2n－1的n 个正整数组成；(2)对S 的任意两个不同非空子集A 、B ，集合A 中所有元素之和不等于集合B 中所有元素之和.【解析】当S ={20，21，22，…，2n －1}时满足题意.法一、证明：用|T |表示集合T 中的元素个数，M (A )表示集合A 中的元素之和. 当n =4时，若|A |=1，则M (A )={1，2，4，8}； 若|A |=2，则M (A )={3，5，9，6，10，12}， 若|A |=3，则M (A )={7，11，13，14}， 若|A |=4，则M (A )={15}，即集合S 的15个子集，其和值也有15个，每个子集的和值各不相同， 所以：当A ≠B 时，总有M (A )≠M (B ). 故：当n =4时，S ={1，2，4，8}满足题意；假设当n =k 时，集合S ={20，21，22，…，2k －1}满足题意， 此时集合S 的2k －1个非空子集有2k －1个不同的值，其集合为{1，2，…，2k －1}，则当n =k +1时，集合S 的2k 个子集的和值组成的集合为{1，2，3，…，2k －1，2k ，2k +1，…，2k +2k －1}，即：{1，2，3，…，2k －1，2k ，…，2k +1－1}，所以当n =k +1时，集合S 的2k +1－1个子集有2k +1－1个不同的值. 综上：集合S ={20，21，22，…，2n －1}总是满足题意.法二、不妨假设a 1<a 2<…<a m ，b 1<b 2<…<b t ，且对任意的i ，j ，a i ≠b j ，b t <a m ， 根据题意只需证明：∑i =1m 2a i≠∑j =1t2b j即可.若不然，设∑i =1m2a i=∑j =1t2bj ，则：2a m<∑i =1m2a i=∑j =1t 2bj ，所以：1<2b 1－a m+2b 2－a m+…+2b t －a m≤12+122+…+12t －m =1－12t －m +1<1，矛盾. 从而：集合S ={20，21，…，2n －1}的任意的两个子集之和不同. 所以：存在满足题意的集合S ={20，21，…，2n －1}.。