高斯定理 安培环路定律
合集下载
10-4高斯定理和环路定理
B
o
R
B d l 0 I
l
dl
l
二、安培环路定理
1. 安培环路定理的表述
B dl 0 ?
l
表述: 在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任一
闭合路径的积分的值，等于 0 乘以该闭合路径所 包围的各电流的代数和. 表达式: 注意 电流 I 正负的规定 ： I 与 L 成右螺旋时， 为正；反之为负.
定理表达式中B是闭合积分环路上各点的
总磁感应强度,是由空间所有电流共同激发的
L
闭合环路不包围的电流对 B dl 没有贡献
该定理可用于求解对称性磁场的B分布
与静电场的高斯定理的应用相似
B dl 0 说明磁场不是保守场,而是非保守场,也叫涡旋场
L
定理只适用于稳恒电流的磁场
对称性分析 选择合适的高斯面 根据定理求解
二、安培环路定理的应用
1.分析磁场的对称性：根据电流的分布来分析；
一个重要结论: 若 Idl1 和 Idl2 关于某个面为镜象对称,则 此对对称电流元在该面上产生的合磁场 必与该面垂直
2. 选取合适的闭合积分路径和积分回路的绕向
过场点 积分路径上各点B大小相等, B//dl 规则曲线
m2 （2）计算 单位：韦伯(wb) 1Wb=1T·
a . dS垂 直B
b. dS跟B成角
d m B dS
d m B cosdS
c. 通过任一曲面的 磁通量
B dS
m B dS
S
B
dS dS n 源自B例 如图载流长直导线的电流为 I , 试求通过矩 形面积的磁通量.
23 磁场的高斯定理和安培环路定理讲解
0I 4
4
0I
面时，立体角趋近于4
2019/5/19
5
P2
P1
B dl B dl B dl 0I
(L)
p1
p2
( L1 )
( L2 )
如果，安培环路与载流回路 不套连，则环绕它一周立体 角回到原值，积分为 0
运用叠加原理，推广到多个 载流回路
2019/5/19
7
安培环路定理 重要特例
无限长载流直导体磁场
无限长
B 0I 2 R
载流圆线圈磁场
Bx
0 IR 2
2(R2 x2 )32
2019/5/19
8
Bx
0 IR 2
2(R2
x2
3
)2
安培环路定理应用举例
无限长圆柱形载流导体磁场 载流长直螺线管内的磁场 载流螺绕环的磁场
证明：
单个电流元Idl的磁感应线：以dl方向为轴线的一系列同心圆， 圆周上B 处处相等；
dB 0 Idlsin 4 r 2
2019/5/19
17
考察任一磁感应管(正截面为 dS) ， 取 任 意 闭 合 曲 面 S ， 磁 感
应管穿入S一次，穿出一次。
dS1 cos1 dS2 cos2 dS 磁感应管的特性
磁场如何处理？
2019/5/19 1
§3 安培环路定理 载流线圈与磁偶极层的等价性 安培环路定理的表述和证明 磁感应强度是轴矢量 安培环路定理应用举例
2019/5/19
2
引理：闭合载流线圈产生的磁场正比于 线圈回路对场点所张的立体角的梯度
2019/5/19
7.5-6.磁通量 磁场的高斯定理 安培环路定理
(1)
B dl 20 I
L1
(2)
(3) (4)
B dl 0 I B d l I 0
L3 L2
L2
I
2I
L1 L 3 L4
18
B dl 0 I
L4
B dl 0
L
④ 穿过 L 的电流： 对 B 和 LB dl 均有贡献 不穿过 L 的电流： 对 L 上各点 B 有贡献 对 LB dl 无贡献 B : 与空间所有电流有关
B
I
1
2
b
c
a
线密绕： B外 0 作矩形安培环路如图，规定
d
b c d a LB dl a B dl b B dl c B dl d B dl B cos ab 0 0 0 Bab 无限长直螺
I
l
l
r
与 I 成右螺旋
0 I 0 I B dl rd d 2π r 2π 0 I 2 l B dl 2 0 d 0 I
12
电流在回路之外
d
B1
I
B2 0 I 0 I B2 dl2 r2d d 2 r2 2π dl 2 dl1 B1 dl1 B2 dl2 0 r1 r2
1. 闭合 2. 互不相交 3. 与载流回路互相套联
4
二 磁通量 磁场的高斯定理
磁通量 通过磁场中某一给定面的磁感应线的总 条数叫做通过该面的磁通量。
S B
N B S
5
s
面积元范 围内B 视 为均匀
s
B
B dl 20 I
L1
(2)
(3) (4)
B dl 0 I B d l I 0
L3 L2
L2
I
2I
L1 L 3 L4
18
B dl 0 I
L4
B dl 0
L
④ 穿过 L 的电流： 对 B 和 LB dl 均有贡献 不穿过 L 的电流： 对 L 上各点 B 有贡献 对 LB dl 无贡献 B : 与空间所有电流有关
B
I
1
2
b
c
a
线密绕： B外 0 作矩形安培环路如图，规定
d
b c d a LB dl a B dl b B dl c B dl d B dl B cos ab 0 0 0 Bab 无限长直螺
I
l
l
r
与 I 成右螺旋
0 I 0 I B dl rd d 2π r 2π 0 I 2 l B dl 2 0 d 0 I
12
电流在回路之外
d
B1
I
B2 0 I 0 I B2 dl2 r2d d 2 r2 2π dl 2 dl1 B1 dl1 B2 dl2 0 r1 r2
1. 闭合 2. 互不相交 3. 与载流回路互相套联
4
二 磁通量 磁场的高斯定理
磁通量 通过磁场中某一给定面的磁感应线的总 条数叫做通过该面的磁通量。
S B
N B S
5
s
面积元范 围内B 视 为均匀
s
B
麦克斯韦方程组推导过程
麦克斯韦方程组是电磁学中描述电场和磁场的基本方程组，由詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪中期推导出来。
这个方程组总共包含四个方程，分别是高斯定律、高斯磁定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
下面是麦克斯韦方程组的推导过程：1.高斯定律（电场的高斯定理）：高斯定律描述了电场的源和汇，即电荷和电场的关系。
我们从库仑定律出发，该定律描述了电荷之间的相互作用。
设一个正电荷Q位于原点，电场E为其造成的电场强度。
现在我们考虑一个半径为r的闭合球面S，它将原点包围。
根据高斯定律，电场通过球面的总通量等于包围在球心的电荷量的比例。
即，Φ(E) = ∮(E·dA) = (1/ε₀) * Q其中，Φ(E)表示电场E通过球面S的通量，∮(E·dA)表示电场E 的面积积分，ε₀是真空中的电介质常数（电容率）。
2.高斯磁定律：高斯磁定律指出，不存在孤立的磁荷（单极磁荷）。
这意味着磁场线总是形成闭合回路，没有类似电荷的单一起点或终点。
因此，对于任何闭合曲面S，磁场B通过曲面的通量为零。
即，Φ(B) = ∮(B·dA) = 0其中，Φ(B)表示磁场B通过曲面S的通量，∮(B·dA)表示磁场B的面积积分。
3.法拉第电磁感应定律：法拉第电磁感应定律描述了磁场随时间变化时，电场的感应效应。
考虑一个线圈或导体回路，它的边界为曲面S。
当磁场B通过这个曲面的通量随时间变化时，将会在回路内部产生电动势（电压）。
该电动势大小与通量变化率成正比。
法拉第电磁感应定律的数学表达式为：∮(E·dl) = -(dΦ(B)/dt)其中，∮(E·dl)表示沿着闭合回路的电场E的线积分，dl表示回路的微小线段，-(dΦ(B)/dt)表示磁场B通过曲面S的通量随时间的变化率。
4.安培环路定律：安培环路定律描述了电流通过闭合回路时，磁场的环绕效应。
假设我们有一个闭合回路C，其中有电流I通过。
8-4 稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理
距离为r，磁感应强度的大小：
B 0I 2r
由几何关系得：
B
o I d r
L
B r P dl
dl • cos rd
B • dl B cosdl Br d
L
L
L
2 0 0 2
I r d 0I
r
2
2
d
0
0I
上页 下页 返回 退出
如果沿同一路径但改变绕
行方向积分：
B • dl B cos( ) d l
上页 下页 返回 退出
三、安培环路定理的应用
应用安培环路定理的解题步骤： (1)分析磁场的对称性；
(分2)易过于场计点算选：择B适的当量的值路恒径定，，使B与得dlB的沿夹此角环处路处的积相
等,一般为900或00 ； (3)求出环路积分；
(4)用右手螺旋定则确定所选定的回路包围电流的 正负，最后由磁场的安培环路定理求出磁感应强
B
B
B
0 2
Ir R2
在圆柱形载流导线内部， 磁感应强度和离开轴线
的距离r成正比！
o
R
r
上页 下页 返回 退出
2.载流长直螺线管内的磁场
设螺线管（密绕）长度为l,共有N匝。
管内中间部分的磁场可以看 成是无限长螺线管内的磁场，因 此是均匀磁场。
管内磁感应线是一系列与轴 线平行的直线。
I
管外磁场很弱，可以忽略不计。
B d l Bdl cos 0
B dl B 2r 0I
当ｒ>Ｒ时
B 0 I 2 r
I I
I R r
B
上页 下页 返回 退出
1.长直圆柱形载流导线内外的磁场
I
设圆柱电流呈轴对称分布， 导线可看作是无限长的，磁场对 圆柱形轴线具有对称性。
B 0I 2r
由几何关系得：
B
o I d r
L
B r P dl
dl • cos rd
B • dl B cosdl Br d
L
L
L
2 0 0 2
I r d 0I
r
2
2
d
0
0I
上页 下页 返回 退出
如果沿同一路径但改变绕
行方向积分：
B • dl B cos( ) d l
上页 下页 返回 退出
三、安培环路定理的应用
应用安培环路定理的解题步骤： (1)分析磁场的对称性；
(分2)易过于场计点算选：择B适的当量的值路恒径定，，使B与得dlB的沿夹此角环处路处的积相
等,一般为900或00 ； (3)求出环路积分；
(4)用右手螺旋定则确定所选定的回路包围电流的 正负，最后由磁场的安培环路定理求出磁感应强
B
B
B
0 2
Ir R2
在圆柱形载流导线内部， 磁感应强度和离开轴线
的距离r成正比！
o
R
r
上页 下页 返回 退出
2.载流长直螺线管内的磁场
设螺线管（密绕）长度为l,共有N匝。
管内中间部分的磁场可以看 成是无限长螺线管内的磁场，因 此是均匀磁场。
管内磁感应线是一系列与轴 线平行的直线。
I
管外磁场很弱，可以忽略不计。
B d l Bdl cos 0
B dl B 2r 0I
当ｒ>Ｒ时
B 0 I 2 r
I I
I R r
B
上页 下页 返回 退出
1.长直圆柱形载流导线内外的磁场
I
设圆柱电流呈轴对称分布， 导线可看作是无限长的，磁场对 圆柱形轴线具有对称性。
8-4 磁场高斯定理和安培环路定理
µ0 NI ≈ µ 0 nI B= 2π r
例3 无限大平面电流的磁场分布 r j －面电流密度矢量
Bz
By = 0
Bx = 0
Bx=0
By=0
l B
j
安培环流定理：2lB = µ 0 jl 安培环流定理：
B=
µ0 j
2
j
无限大均匀平面电流两侧的磁场是均匀磁 大小相等，方向相反。 场，大小相等，方向相反。
∫
L
ab
bc
cd
da
= B内 ab
N = µ0 ab I l
由安培环路定理
r ⊗ ⊗ ⊗ ⊗⊗ ⊗ ⊗ ⊗⊗ ⊗
N n= l
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
c d
均匀场
b
B内
a
B = µ 0 nI
环形螺线管
. . . . .
. . . .. . .. . . . .
R
.
r . . .
..
. . . . .
.. . . . ...
.
I
∫ l B . dl µ I =∫ 2π r
o
=
∫l B r dϕ
∫0
2 π
ϕ =µ o I rd 2π
d ϕ =µ o I
结束
返回
3. 若改变积分绕行方向
∫ l B . dl = ∫l B cosα dl
=
µoI B= 2 r π l I O B r dϕ dl
∫l B cos(π θ )dl θ = ∫ l B cos dl
r r B⋅ dS = 0 ∫
S
高斯定理的积 分形式
穿过任意闭合曲面S的总磁通必然为零， 穿过任意闭合曲面 的总磁通必然为零，这就 的总磁通必然为零 高斯定理。 是稳恒磁场的高斯定理 是稳恒磁场的高斯定理。
磁场的高斯定理和安培环路定理
. . . . . . . . ..
第4节
. . . .. . .. B . ∮H ·dl = 2rH = NI . . . . . H = NI/2r， r . . . . R 1 . . B = o NI/2r . . R 2 . . .. . 环管截面 r R， . .. . . ... B o NI/2R = o n I 解：1、环管内：
第八章
I
R
r B
R
r
第4节
第八章
直线电流的磁力线
I
I B
第4节
例8-5 求通电螺绕环的磁场分布。设环管 的轴线半径为 R，环上均匀密绕 N 匝线圈， 线圈中通有电流 I，管内磁导率为 o 。
第八章
I
I
. . . . . . ..
. . . .. . .. . . R1 R2
..
. . . ...
第八章
第4节
第八章
通电螺线管的模型
I
第4节
思考题： 如果通电螺线管的磁力线如下所示，图 中环路积分 ∮H ·dl = ？
第八章
I
L
I
二、磁场的安培环路定理 1、真空中 根据闭合电流产生的磁场公式，即安 培 — 拉普拉氏定律，可证明真空中磁场 B 沿闭合回路 L 的积分，即环流为： ∮L B ·dl =μoΣI 此式称为真空中磁场的安培环流定理，式 中ΣI 是闭合回路 L 所包围的所有闭合电流 I 的代数和。 物理意义：磁场 B 是有旋场，非保守场
第八章
I
R
o dS
B
Io
r
第4节
2、r＞R ∮H ·dl =∮H dl = 2rH ΣIo = I H = I /2r ，B = oI /2r 上式表明，从导线外部看， 磁场分布与全部电流 I 集中 在轴线上相同。 μ I B H 2 πR I μ 0I 2 R π 2 πR 0 r 0
高斯定理安培环路
在恒定电流的磁场中，磁感应强度 B 沿任何 闭合路径L的线积分（环路积分）等于路径L 所包围的电流强度的代数和的 0 倍
I
n
L
B d l 0 I n
n
B ：空间所有电流共同产生的
：与L套连（铰链）的电流
n
I2
I ：正向穿过以L为边界的任 意曲面的电流的代数和。
2013/9/7 DUT 常葆荣
cd da
i
b
B
P
a
B dl B dl
a c
b
d
2 Bab 0 abi
B 0i / 2
推广：有厚度的无限大平面电流 • 在外部 • 在内部
2013/9/7
c
x
d B'
B 0 jd / 2 B 0 jx
d
j
25
DUT 常葆荣
小面元的分割依照磁场的分布
d dS = Bldr
SABCD
dS =
R
0
B1ldr +
R
B2ldr
D
C
0 Il (1 2 ln 2) 4
2013/9/7 DUT 常葆荣 20
例题 求：均匀密绕无限长直螺线管内 的磁场（已知 n 、I） 解：对称性分析—— 管内垂轴 平面上任意一点 B 垂直平面 —— 与轴平行！
S
B dS E
S
4、非均匀磁场、闭合曲面 、非均匀电场、闭合曲面
B E
dS
n
e
m
2013/9/7
S
dS
5 DUT 常葆荣
规定：面元法线正方向 由闭合面内指向面外 dS
13-3磁场的基本特征高斯定理和安培环路定理
B 0I0I 0I 8R1 4R1 8R2
36
例8 通电导体的形状是：在一半径为R的无限长
的导体圆柱内，在距柱轴为 d 远处，沿轴线方
向挖去一个半径为 r 的无限长小圆柱。如图。
导为体J内均匀通过电流，电流密度
J
求：小圆柱空腔内一点的磁感强度
分析：由于挖去了一个小圆柱， 使得电流的分布失去了对轴线的 对称性，所以无法整体用安培回 路定理求解。
例1：求无限长载流圆柱体磁场分布。
解：圆柱体轴对称，以轴上一点为 I
圆心取垂直轴的平面内半径为 r 的
圆为安培环路
L B d l 2 π r B0
I
dl ''
B 0I
r R
2 πr
B
dB
dl '
rBdl0IR r2 2 B2 π 0R Ir2 rR
由安环定理有 2πrB0 Ii
i
30
解得
2πrB0 Ii
i
0 Ii
B i 2πr
若场点在圆柱内，即 r < R
包围的电流为 Ii Jπr2
i
则磁感强度为 B0Jπr2 0Jr
2πr 2
若写成矢量式为
B
0
Jr
2
J I S
IR
J
r
B
31
解得
特殊形状电流产生的
fI
场的叠加， 即
B B a b B b c B c d B d e B ef
R1 R2
eI
b
I
由毕萨拉定律得到各电流的磁感强度分别是
Bbc
1 0I
03磁场中的高斯定理-安培环路定理概述
I4 I3 I2
I1
L
I2
I1
I3
练习：求左图中环路 L的环流 B dl 。
L
L
B d l 0 ( I1 2 I 2 )
13
定理说明：
特例：以无限长载流直导线为例。
长直导线周围的B 线为一系列的 同心圆，选取路径方向与 B 线相同；
B
左边: B d l
11.3 磁场的高斯定理
1
一. 磁感应线 磁感应线（B线）：
（1） 磁感应线上任一点的切线方向 都与该点的磁感应强度B的方向一致。 （2） 垂直通过单位面积的磁感应线条数等于该处 磁感应强度B 的大小。
B
dm B dS
dm
dS
B
2
磁感应强度大小为磁感线的面密度。
条形磁铁周围的磁感应线
H ab I c nabI , H nI
ab
ab
H nI 2.管内真空中 真空中 r 1 作环路 abcda ; 在环路上应用介 质中的安培环路定理，同理有： B 0 H 0 nI 38
I r 1 0 I H1 r B1 r 2 2 2R1 2R1 同理 R1 r R1 I B r 2 0 I 2 H2 2r 2r R2 r H 3 0 B3 0
15
当空间有多个无限长直电流时，利用磁场的叠加原理：
B d l ( B j ) dl
L L j
将积分与求和号交换
B j dl 0
j L
I
i
i
i表示环路内的电流。
由此可得：
L
B d l 0 I
I1
L
I2
I1
I3
练习：求左图中环路 L的环流 B dl 。
L
L
B d l 0 ( I1 2 I 2 )
13
定理说明：
特例：以无限长载流直导线为例。
长直导线周围的B 线为一系列的 同心圆，选取路径方向与 B 线相同；
B
左边: B d l
11.3 磁场的高斯定理
1
一. 磁感应线 磁感应线（B线）：
（1） 磁感应线上任一点的切线方向 都与该点的磁感应强度B的方向一致。 （2） 垂直通过单位面积的磁感应线条数等于该处 磁感应强度B 的大小。
B
dm B dS
dm
dS
B
2
磁感应强度大小为磁感线的面密度。
条形磁铁周围的磁感应线
H ab I c nabI , H nI
ab
ab
H nI 2.管内真空中 真空中 r 1 作环路 abcda ; 在环路上应用介 质中的安培环路定理，同理有： B 0 H 0 nI 38
I r 1 0 I H1 r B1 r 2 2 2R1 2R1 同理 R1 r R1 I B r 2 0 I 2 H2 2r 2r R2 r H 3 0 B3 0
15
当空间有多个无限长直电流时，利用磁场的叠加原理：
B d l ( B j ) dl
L L j
将积分与求和号交换
B j dl 0
j L
I
i
i
i表示环路内的电流。
由此可得：
L
B d l 0 I
磁的高斯定理和安培环路定理
m B dS 0
S
3. 磁场的高斯定理（磁通连续原理） (Gauss law of magnetic field ) 通过任意闭合曲面的 磁通量恒为零。
B dS 0
S
此式说明磁场是无源场, 磁感应线是闭合曲线，磁 单极即磁荷不存在。
真空中稳恒磁场的安培环路定理
第三节
Gauss theorem and Ampere circuital theorem in magnetic field
磁场的高斯定理 ( Gauss law of magnetic field ) 1.磁感应线(magnetic induction line)
① 磁感应线上每一点的 切线方向 ：该点磁感应强 度 B 的方向。
L
3.多根导线穿过安培环路：
d 1 d 2 d 0 i
L L L
4.环路不在一个平面内，这时把 d 分解到平
行与导线的平面 d 和垂直于导线的平面d L d L ( d + d ) d d
S
稳恒磁场
m B dS 0
S
静电场是有源场，电力线 有起始、终点
磁场是无源场，磁力 线无头无尾(闭合曲线)
E d 0
L
B d 0 I内
L
静电场是保守力场 ，是无 旋场，可引入“电势”概念
磁场是非保守力场 , 是 涡旋场 , 不可引入“势能 ”概念
成立的条件—— B 是常矢，面是平面。
en
θ
θ
en
B
通过任意闭合曲面S 上的的磁通量 φm：
11-4磁场的高斯定理和安培环路定理
单根导线产生的磁场
所有电流 的总场
L
L
Bn dl 0 I n
B1 dl 0 I1
L Bn1 dl 0 Bnk dl 0
L
任意回路
L
B dl 0 I i
i
穿过回路 的电流
7
在理解这个定理时，应注意以下几个问题 （1） 定理中的B是安培环路L上任意一点的磁感 应强度，它是由空间所有电流共同产生的。定理中 的 Ii则是安培环路L所包围的电流的代数和。 （2）矢量B的环路积分不恒等于零，说明稳恒磁 场不是保守力场，而是有旋场，所以在磁场中不 能引入势能(标量势)的概念。 （3）定理只适用于稳恒电流的磁场。由于稳恒电 流是闭合的，所以对于不闭合的有限长的载流导线， 安培环路定理不适用；
dl ' o dl ' ' 做 PO 垂线，取对称的长直 电流元，其合磁场方向平行于电流平面。无数对 称元在 P点的总磁场方向平行于电流平面。
电流平面无限大，故与电流平面等距离的各点
B 的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。 16
作一安培回路如图： bc和 da两边被电流平面 等分。ab和cd 与电流平
B dl 0
根据安培环路定理，该安培环路一定包围电流。 由此可得结论：磁感应线总是与产生它的电流回 10 路套连在一起的。
3. 安培环路定理的应用 例1：求无限长载流圆柱体磁场分布。 解：圆柱体轴对称，以轴上一点为 I
圆心取垂直轴的平面内半径为 r 的 圆为安培环路
B dl 2πrB 0 I
8
边长为2a的正方形闭合回路 CDEFC，所通电流为I。现仅讨 论CD段，取中心处于其中点且 与其垂直的半径为r的圆为安培 环路，CD段所激发的磁场在圆 上各点的磁感应强度为 0 Ia BCD 2r (a 2 r 2 )1/ 2 BCD的方向与圆周相切，与电流的方向成右螺旋 关系。沿此圆周的环路积分为 0 Ia BCD dl 2 2 1/2 0I
稳恒磁场2b-安培环路定理
∑I
i
i
说明
2、I内
1、它只适用于稳恒电流 有正、负,与L成右手螺旋关系为正,反之为负
3、B 是全空间电流的贡献,
r r 但只有I内对环流 B ⋅ dl 有贡献。 L v v 4、 Bi ⋅dl ≠ 0 说明磁场为非保守场，称为涡旋场。
∫
∫
磁高斯定理的微分形式 利用数学的高斯定理
Φ B = ∫∫ B ⋅ d S = 0
∫
v v ∫ B ⋅ dl = ∫l Bdl cosθ
l
v dl 若环路与电流成右手螺旋关系，积分>0，即I>0 若环路与电流成反右手螺旋关系，积分<0，即I<0
μ0 I μ0 I =∫ rdφ = ∫l dφ = μ 0 I l 2π r 2π
.
I r
d φ
B
θθ
dl
3)任意环路 v v v v v l ∫l B ⋅ dl = ∫l B ⋅ (dl //v+ dv⊥ ) v v = ∫ B ⋅ dl // + ∫ B ⋅ dl ⊥ = 0 + μ 0 I
S
∫
S
无源场
பைடு நூலகம்
3.2 安培环路定律 v v v v E ⋅ dl = 0 ∫l B ⋅ dl = ? ∫
l
I L r
※无限长载流直导线的磁场 B 1)圆形环路 v v μ0I v v μ0 I B ⋅ dl = μ 0 I =∫ dl = ⋅ 2πr ∫ B ⋅ dl = ∫ Bdl 2πr 2πr 2)环路为垂直于直导线面内任意闭合曲线
教科书 p368 习题
5. 7. 16. 20. 28
l l
I dl B H dl dl
磁场高斯定理 安培环路定理
l
Amperian loop
µ0 NI ∴B = 2πr
磁场不均匀
B
µ0 NI B= 2π r
o
R1
R2
r
o
R1
R2
r
若 R1、R2 >> R2 − R1 N n= 2π R1
则:
B = µ0nI
当 2R >> d 时，螺绕环内可视为均匀场 。
已知： 例题 已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分 ， 无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。 布，求“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。 解： 首先分析对称性 电流分布——轴对称 电流分布 轴对称 磁场分布——轴对称 磁场分布 轴对称
r<R r>R
I
R
r<R 0 B = µ0 I r>R 2π r
µ0I B 2πR
r
O
R
无限大平板电流的磁场分布。 例题 无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体 薄平板垂直于纸面放置， 薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外 的电流通过，面电流密度（ 的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直 的单位长度的电流）到处均匀。 的单位长度的电流）到处均匀。大小为 j 。 解：视为无限多平行长 直电流的场。 直电流的场。 分析求场点p的对称性 垂线， 做 po 垂线，取对称的 长直电流元， 长直电流元，其合磁场 方向平行于电流平面。 方向平行于电流平面。
r r (3)要求环路上各点 B大小相等，B的方向与环路方向 要求环路上各点 r大小相等， r 一致，目的是将: B ⋅ dl = µ0 ∑ I 写成 B = µ0 ∑ I 一致，目的是将 ∫L r ∫ dl 的方向与环路方向垂直， 或 B 的方向与环路方向垂直， r r r r B ⊥ dl , cosθ = 0 ∫ B ⋅ dl = 0
Amperian loop
µ0 NI ∴B = 2πr
磁场不均匀
B
µ0 NI B= 2π r
o
R1
R2
r
o
R1
R2
r
若 R1、R2 >> R2 − R1 N n= 2π R1
则:
B = µ0nI
当 2R >> d 时，螺绕环内可视为均匀场 。
已知： 例题 已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分 ， 无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。 布，求“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。 解： 首先分析对称性 电流分布——轴对称 电流分布 轴对称 磁场分布——轴对称 磁场分布 轴对称
r<R r>R
I
R
r<R 0 B = µ0 I r>R 2π r
µ0I B 2πR
r
O
R
无限大平板电流的磁场分布。 例题 无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体 薄平板垂直于纸面放置， 薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外 的电流通过，面电流密度（ 的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直 的单位长度的电流）到处均匀。 的单位长度的电流）到处均匀。大小为 j 。 解：视为无限多平行长 直电流的场。 直电流的场。 分析求场点p的对称性 垂线， 做 po 垂线，取对称的 长直电流元， 长直电流元，其合磁场 方向平行于电流平面。 方向平行于电流平面。
r r (3)要求环路上各点 B大小相等，B的方向与环路方向 要求环路上各点 r大小相等， r 一致，目的是将: B ⋅ dl = µ0 ∑ I 写成 B = µ0 ∑ I 一致，目的是将 ∫L r ∫ dl 的方向与环路方向垂直， 或 B 的方向与环路方向垂直， r r r r B ⊥ dl , cosθ = 0 ∫ B ⋅ dl = 0
195 磁场的高斯定理和安培环路定理
SB cosdS 0
磁场高斯定理
S B d S 0
物理意义：通过任意闭合曲面的磁通量必等于零
（故磁场是无源的.）
19–5 磁场的高斯定理和安培环路定理 第十九章 稳恒磁场
形面例积的如磁图通载量流. 长直导线的解电流先为求IB,
试求通过矩 ，对变磁场
B
给出dΦ 后积分求Φ
B 0I
Φ
B
S
B
en
S
dΦ B dS
dΦ BdS cos
s
Φ s BdS
单位 1Wb 1T 1m2
19–5 磁场的高斯定理和安培环路定理 第十九章 稳恒磁场
B dS1
1 B1
S
B2
2
dS2
dΦ1 B1 dS1 0
dΦ2 B2 dS2 0
L
B
dl
DA B
dlABBμ内0Ld内lI
i
BC
B
dl
CD B外 dl
B lAB 0 B lCD 0 μ0 n lAB I
B
1 2
0nI
CB D
证毕！
B A B
L
L
L
如果回路L与L绕向刚好相反, 则
H dl Hdl I
L
L
19–5 磁场的高斯定理和安培环路定理 第十九章 稳恒磁场
上面关系可推广到任意闭合路径(圆、四方形、三角形、不规
则图形等），以及闭合回路中包含多根载流导线的情形。
安培环路定律: 磁场强度H沿任意闭合回路的线积分
磁场高斯定理
S B d S 0
物理意义：通过任意闭合曲面的磁通量必等于零
（故磁场是无源的.）
19–5 磁场的高斯定理和安培环路定理 第十九章 稳恒磁场
形面例积的如磁图通载量流. 长直导线的解电流先为求IB,
试求通过矩 ，对变磁场
B
给出dΦ 后积分求Φ
B 0I
Φ
B
S
B
en
S
dΦ B dS
dΦ BdS cos
s
Φ s BdS
单位 1Wb 1T 1m2
19–5 磁场的高斯定理和安培环路定理 第十九章 稳恒磁场
B dS1
1 B1
S
B2
2
dS2
dΦ1 B1 dS1 0
dΦ2 B2 dS2 0
L
B
dl
DA B
dlABBμ内0Ld内lI
i
BC
B
dl
CD B外 dl
B lAB 0 B lCD 0 μ0 n lAB I
B
1 2
0nI
CB D
证毕！
B A B
L
L
L
如果回路L与L绕向刚好相反, 则
H dl Hdl I
L
L
19–5 磁场的高斯定理和安培环路定理 第十九章 稳恒磁场
上面关系可推广到任意闭合路径(圆、四方形、三角形、不规
则图形等），以及闭合回路中包含多根载流导线的情形。
安培环路定律: 磁场强度H沿任意闭合回路的线积分
13-3 磁场中的高斯定理和安培环路定理(南京信息工程大学 大学物理)
=
m0I 2p r
19
例2 无限长载流圆柱面的磁场
教练习：求同轴Bv的的两分筒布状。导线通有等值反向的电流I,
L1
r
IR
L2 r
m0I B
理 2π R 物o R r
(1) r > R2 , B = 0
R2
(2)
R1
<
r
<
R2 ,
B
=
m0I 2pr
I
R1
rI
学 ò 解
0<r <R,
Bv
×
d
v l
=
0
l
R
oR r
电场、磁场中典型结论的比较
长直线
长 直
内
圆
柱外
面
长 直
内
圆
电荷均匀分布
飞 E
=
l 2pe 0 r
徐 E = 0
电流均匀分布
B
=
m0I 2p r
B=0
byE
=
l 2pe 0 r
E
=
lr 2pe 0 R 2
B
=
m0I 2p r
B
=
m 0 Ir 2p R 2
17
案柱 外
体
E
=
l 2pe 0 r
B
dj
I1
多电流情况
I2
I3
byL
Bv = Bv1 + Bv2 + Bv3
飞 Ñò L Bv ×d lv = m0(I2 - I3 ) 徐以上结果对任意形状
的闭合电流（伸向无限远 的电流）均成立.
L
L 与 I 成右螺旋
Ñò L Bv × dlv = m0 I
高斯定理和安培环路定理
r R 时在圆柱面内做一圆周
B cos dl B dl B 2r 0
L L
dI ' dI
P
B0
例 无限大平面电流的磁场．有一无限大的导体平面，均匀地 流着自下而上的面电流．设其电流线密度(垂直于电流线的单 位长度上的电流)为a,求距平面为d的任一点的磁感应强度B．
(1)设闭合曲线L在垂直于无限长载流导线的平面内，电流I穿 过L. 设闭合回路 L为圆形回路（ L 与 I 成右螺旋）
载流长直导线的磁感强 度为 0I B 2π R 0I l B d l 2 π R d l 0I l B d l 2 π R l d l
l
I
R R
L
r
2 π rB 0 I
0 r R
2 π rB
B
0I
2π r
B
2 π r l B d l 0 π R 2 I
I
.
dI
dB
0r
R
2
2
I
B
0 Ir
2π R
2
B
B 的方向与 I 成右螺旋
0 r R,
B
0 Ir
B dl μ 0 Ii
L
内
—— 安培环路定律
恒定电流的磁场中，磁感应强度沿一闭合路径 L 的线积分 等于路径 L 包围的电流强度的代数和的 μ 0 倍
安培环路定理
n B dl 0 Ii i 1
一闭合路径的积分的值，等于 0 乘以该闭合路径 所包围的各电流的代数和.
回路绕向化为逆时针时则对任意形状的回路设闭合回路l为圆形回路l与i不成右螺旋安培环路定律恒定电流的磁场中磁感应强度沿一闭合路径l的线积分等于路径l包围的电流强度的代数和的环路上各点的磁场为所有电流的贡献安培环路定理一闭合路径的积分的值等于乘以该闭合路径所包围的各电流的代数和
磁场中的高斯定理和安培环路定律
写成
L Bdl cos B dl 0 I
B 0 I
dl
要求环路上各点 B 大小相等，B 的方向
与环路方向一致， B // dl , cos 1 22
或 Bdl , cos 0
环路要经过所研究的场点。
五、解题方法
1.场对称性分析； 2.选取环路； 3.确定环路内电流的代数和 I ； 4.应用环路定理列方程求解。
2.环流
Bdl
只与环路内的电流有关，
而与环路外电流无关。
3. B为环路上一点的磁感应强度，它与环路内外电流
都有关。
若
Bdl 0
并不一定说明环路上各点的 B 都为 0。
若
B dl 0 环路内并不一定无电流。
4.环路定理只适用于闭合电流或无限电流，
16
例2：利用安培环路定律计算载流无限长直导线外一点 的磁感应强度。
由于环路上各点的 B 大小相等； 且 B // dl ；θ=0
B dl
L
0 I 2r
2r
0 I
B
Ir
L
I 向下时为负值。
13
当L B环 d路l 为 任0 意I形左状边时=：右边定理成立I。
LB dl LBdlcos
由于 Bdlcos Brd
2 0I rd
0 2r
0I
d r
L
θ
B
dl
当电流不在环路内时
r
选择如图所示的环路
b c d a
B dl ( )B dl
a
b
c
d
24
其中
c a
B dl B dl 0,
m dm B dS
/2
n
规定闭合面的外法线方向为正
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
b
c
d
a
B dl l
a B dl b B dl c B dl d B dl
Ba ab 0 Bd cd 0
由于环路内没有包围任何电流，按安培环路定理
B dl 0 l
Ba Bd Bb Bc
管内任一点的B与轴线上的B相同，即均匀场！
场强大小 选择安培环路如图所示： B沿闭合回路的环流为：
例题1 ：长直密绕载流螺线管，单位长度上电流匝数 为 n ，求螺线管内的磁感应强度分布。
I B
解： 对称性分析 管内磁感应线平行于管轴 管外靠近管壁处磁场为零 原因：无漏磁！
性质：匀强磁场
螺线管内任取安培环 路如图，cd段位于轴 线上：
ab I
d
c
B
由于螺线管无限长，则 Ba = Bb，Bc = Bd 。
μ0 I
若电流方向相反
只要积分环路符合右手螺旋法
则，都有
I
B dl l
μ0 I
而当电流走向 和 环路方向与右手螺旋方向相背时
B dl l
μ0I
2. 无限长直线电流，任意积分回路
l B dl l B cosθdl
B方向的投影
0I1 cos dl
l 2 r
0I1 rd
l 2 r
得
B dl l
S B dS 0
磁感应线闭合 无自由“磁荷” 磁场是无源场
二 安培环路定理的应用
1. 条件 若电流分布具有高度对称性时，磁场分布也具有 高度对称性。此时才可以应用安培环路定理计算 磁感应强度的分布。
2. 关键
利用安培环路定理求磁感应强度的关健：根据磁 场分布的对称性，选取合适的闭合环路。
3. 环路选取原则
l B dl l Bdl 2 rB
根据安培环路定理：
B dl l
μ0 I
0
I R2
r2
得
B
0 I 2 R2
r
B
0
I
2 R
o
I R
I
r
r
R
讨论 长直载流圆柱面。已知I、R
l B dl Bdl 2 rB
I
0 r R
B dl l
0
I
rR
R
0I B
2R
0 r R
所以
B
μ0 I1
I1 d
I2 r
dl
I3
如果环路内还有其它无限长直线电流,
根据叠加原理，可知
B dl
l
μ0 (I1 I2 I3)
3. 回路不环绕电流
l B4 dl
l
0 I4 2 r4
cos 4 dl4
a
l
0 I4 2 r4
r4 d 4
I4
b
0I4
2
4 0
d4
0 I 4 2
0
4 d4 0
l B dl l Bdl 2 rB
根据安培环路定理
B dl lБайду номын сангаас
μ0 NI
B 0 NI
2 r
I Amperian loop
B
o R1 R2 r
若 R1、R2 R2 R1
n N
2 R1
则
B
μ 0
nI
B 0 NI 2 r
I
例题3 已知I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分布，求 “无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。
0
I內i
i
① 安培环路定理揭示了磁场的基本性质之一，磁场 是有旋场，是非保守场，不能引入势能的概念。
② 磁感应强度是环路上一点的磁感应强度，不是其 它点的，环路上一点的磁感应强度是由环路内、 外电流共同产生的，但磁感应强度的环流只与环 路内的电流有关。
与环路铰链的电流才对环流有贡献。
回路与电流铰链
可见，电流若不在安培环路内，由它激发的磁场在 这个环路上的环流就是零。
5. 安培环路定理
在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度沿任意 闭合曲线的环流, 等于穿过该闭合曲线的所有电流 强度的代数和的μ0倍。
B dl L
0
I內i
i
与环路成右手螺旋关系的电流取正, 反之取负。
6. 说明：
B dl l
通电螺线管的磁感应线 I
2 磁通量（magnetic flux）
S
B均匀
B⊥S
B
S nˆ B均匀
B
m BS 1 2
m B dS 3 4
S dS nˆ
B
m BS
m B dS 0
S
dS
nˆ
B
一般曲面
闭合曲面
3 磁场中的高斯定理
穿过任意闭合曲面的磁通量为零。
m B dS 0 S
1. 无限长直线电流，同心圆积分回路
根据电流的走向，按右手螺旋方向取一条同心圆 积分环路 —— 安培环路（Amperian loop）
磁场具有轴对称性，环路上各
点的磁场都在切线方向，且大 小处处相同。
II
l
B dl
l
μ 0
I
2πr
dl
cos
0
μ 0
I
2πr
l
dl
μ 0
I
I dl
即
B dl l
——高斯定理 ——这是无磁单极子的必然结果。
高斯定理反映了稳恒磁场的基本性质之一： 磁场是无源场。
8.4 安培环路定理
对任何矢量场基本性质的研究，就是考察它的 通量和环流。
一 安培环路定理
静电场的环流为零 E dl 0 l ——说明静电场是保守场；
稳恒磁场的环流如何呢？ B dl ? l
解： 首先分析对称性
电流分布——轴对称
I R
磁场分布——轴对称
r
dS1
dB
dB2 dB1
O
P
dS2
电流及其产生的磁场呈轴对称分布
作积分回路如图 r > R
则B沿该闭合回路的环流为：
l B dl l Bdl 2 rB
根据安培环路定理：
B dl l
μ0 I
得
B
μ 0
I
2πr
I R
r
B
如图示，当 r 时R 作积分回路如图 则B沿该闭合回路的环流为
(1) 环路要经过所研究的场点；
(2) 环路的长度便于计算；
(3) 要求环路上各点磁感应强度的大小相等，方 向与环路方向一致（相同或相反），或者与环路 垂直。
目的:
将
L B dl 0 I
写成
B 0 I dl
或磁感应强度的方向与环路方向垂直，
B dl , cos 0 L B dl 0
l B dl
I
B
a
b
d
c
b
c
d
a
a B dl b B dl c B dl d B dl Bab
根据安培环路定理： l B dl Bab μ0nabI
所以，长直载流螺线管内的磁场： B μ0nI
例题2 已知：I 、N、R1、R2，求密绕载流螺绕环内 的磁场分布。
解：由对称性， 取同心圆安培环路
与2匝电流铰链
③ 环路定理只适用于闭合电流或无限电流. 有限 电流不适用环路定理，只能用毕奥—萨伐尔定 律。
静电场
l E dl 0
电场有保守性，它是 保守场，或有势场
E dS 1
S
0
qi
电场线起于正电荷 止于负电荷
静电场是有源场
稳恒磁场
Bdl l
0
Ii
磁场没有保守性，它是 非保守场，或无势场