高二数学期末期末复习卷2

（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）若 ， 是曲线 上两点，求 的值．
21．已知椭圆 的左右两个焦点分别是 ， ，焦距为2，点 在椭圆上且满足 ， ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）不垂直 轴且不过点 的直线 交椭圆 于 、 两点，如果直线 、 的倾斜角互补，证明：直线 过定点．
22．已Biblioteka Baidu 是椭圆C： 的一个焦点，点 在椭圆C上．
【点睛】
关键点睛：本题考查双曲线渐近线的求解，解题的关键是根据题意得出OA⊥F1B，从而得出直线F1B方程，求出点B坐标，利用 建立关系.
16．
【分析】
求出椭圆方程，设出 的坐标，利用椭圆中的结论： ， ， ，结合直线 的斜率之和为 进行运算.
【详解】
因为椭圆的离心率为 ，所以 ，
又 ， ， ，
所以 ， ， ，
18．（1） ； ；（2） .
【分析】
（1）利用直线参数方程消去参数即得直线的普通方程，曲线极坐标方程两边同时乘以 ，利用 ， 即得曲线的直角坐标方程；
（2）根据点 坐标写直线 的参数方程，代入曲线 的直角坐标方程得关于t的一元二次方程，利用韦达定理求 的值即可.
【详解】
解：（1）由 ，消去参数 得 ，
期末复习卷2
一、单选题
1．已知直线(3k－1)x＋(k＋2)y－k＝0，则当k变化时，所有直线都通过定点( )
A．(0,0)B．( ， )C．( ， )D．( ， )
2．如果平面直角坐标系内的两点 关于直线 对称，那么直线 的方程为（）
A． B． C． D．
3．直线 与圆 相交于M，N两点，若 ．则 的取值范围是（）
设 ，
在直角 中， ， ，得
所以
令 ，得
又由 ，得
所以
所以 ，即
所以
所以离心率的取值范围是
故选：C
【点睛】
解决本题的关键是由几何关系证明四边形 为矩形得出 ，再由对勾函数的性质得出离心率的取值范围.
13．4
【分析】
由双曲线 可知其渐近线方程为 ，从而可求出 的值
【详解】
解：由双曲线 可得其渐近线方程为 ，
所以 .
故答案为-2
【点睛】
解析几何小题若能灵活利用一些二级结论，能使问题的求解更简便，计算量更小，本题 等三个结论均可利用设而不求点差法证出.
17．（1） （2）在 轴上存在一定点 ，使 的值为常数
【解析】
试题分析:（1）设圆标准方程 ,根据条件列方程组得 ，解方程组可得 （2）以算代证，即确定定点 ，使 的值为常数：先设 ，根据直线交点表示点M,N坐标（用直线 的斜率表示），利用向量数量积表示 ，根据恒等条件可得
8．D
【分析】
根据 为 中点， 为 中点，可得 ，即 ，设 ， ，利用双曲线定义可求得t的表达式，根据勾股定理可得a，b，c的关系，即可求得离心率.
【详解】
在三角形 中， 为 中点， 为 中点，
则 ，且 斜率为 ，
则 ，
设 ， ， ，则 ，
又 ，则 ，又 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
故选：D.
9．B
【分析】
19．已知 是抛物线 ： 的焦点， 是抛物线上一点，且 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）直线 与抛物线 交于 ， 两点，若 （ 为坐标原点），则直线 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.
20．在平面直角坐标系中，曲线 的参数方程为 （ ， 为参数），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 经过点 ，曲线 的极坐标方程为 ．
因为双曲线 的渐近线方程为 ，
所以 ，所以 ，
故答案为：4
14．
【分析】
求出线段AB的中垂线方程，与直线 联立，可得圆心坐标，根据两点间距离公式求出半径，可得圆 的方程．
【详解】
因为 ,AB中点为(0，－4)，所以AB中垂线方程为y+4=－2x，即2x+y+4=0，
解方程组 得
所以圆心C为(－1，－2).根据两点间的距离公式，得半径
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线 与椭圆C分别相交于A，B两点，且 (O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围．
参考答案
1．C
【解析】
直线方程变形为 ，则直线通过定点 ，故选C．
2．A
【分析】
由求得 ，线段AB的中点为 ，进而得到 ，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】
由题意，两点 ，可得 ，
A． B． C． D．
4．直线y=x+b与曲线 有且只有一个交点，则b的取值范围是（）
A． B．-1<b≤1或
C．-1≤b<1D．非以上答案
5．设抛物线 的准线与 轴交于点 ，若过点 的直线 与抛物线有公共点，则直线 的斜率的取值范围是（）
A． B． ， C． ， D． ，
6．已知倾斜角为 直线 经过抛物线 的焦点 ，且与抛物线相交于 两点.弦 的长为（）
C． D．
9．如图，已知椭圆 的左､右焦点分别为 ， 为椭圆 上一点， ，直线 与 轴交于点 ，若 ，则椭圆 的离心率为（）
A． B．
C． D．
10．一束光线从点 射出，经x轴上一点C反射后到达圆 上一点B，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
11．如图，已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2，4)，圆 ，过圆心 的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则 的最小值为
解法二：（Ⅰ）同解法一；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A(0,2)，B（0，-2）
设 ，由已知得，点 在圆 上且异于点
，且
直线 的方程为
当 时，
点 的坐标为( )同理：点 的坐标为( )
设 ，则
=
=
当 时， 为常数，与P点无关.
即在 轴上存在一定点 ，使 的值为常数
点睛：
解析几何证明问题，一般解决方法为以算代证，即设参数，运用推理，将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，然后直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到证明．
A．36B．42
C．49D．50
12．设椭圆 的右焦点为F，椭圆C上的两点 ，且满足 ， ，则椭圆C的离心率的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．设双曲线 的渐近线方程为 ，则 的值为_______．
14．已知圆 经过点 ， ，且圆心在直线 上，则圆 的方程为______.
15．已知双曲线C: =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若 ， ，则双曲线C的渐近线方程为_____.
由图得 .
故选：C.
【点睛】
解题的关键在于求圆关于 轴的对称圆圆心 ，进而将问题转化 求解.
11．B
【分析】
设拋物线的标准方程，将点代入拋物线方程，求得拋物线方程，设出直线方程并与抛物线方程联立，根据韦达定理可得 ，则 ，由焦半径公式以及基本不等式，即可求得结果.
【详解】
设抛物线方程为
由抛物线过定点 得 ，抛物线方程 ，焦点为 ，
即直线 的普通方程为 ；
由 得 ，
∵ ， ，∴ ，
即曲线 的直角坐标方程 ；
（2）依题意，设直线 的参数方程为 （ 为参数），
代入 得 ，设点 对应的参数为 ，点 对应的参数为 ，则 ， ，且 在 轴上方，有 ， ．
故 ，
即 的值为 .
【点睛】
思路点睛：
参数方程法研究直线与曲线交于两点求弦长、距离、面积等问题时，将直线的参数方程代入曲线的一般方程得到关于t的一元二次方程，再利用韦达定理计算求解即可.
【详解】
，
， 为准线与 轴的交点），设过 点的直线 方程为 .
与抛物线有公共点，
方程组 有解，
即 有解.
△ ，即 .
，
故选：C.
6．B
【分析】
根据条件写出直线 的方程 ，与抛物线 联立，求得 ，再利用抛物线的定义，由 求解.
【详解】
因为直线过抛物线 的焦点 ，且倾斜角为 ，
所以直线 的方程为： ，
与抛物线 联立得： ，
试题解析： 解法一：（Ⅰ） 圆 与直线 相切于点
圆 的圆心在 轴上
设圆 的方程为 ，则
，
解得
圆 的方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A(0,2)，B（0，-2）
又由已知可得直线 的斜率存在且不为0，
设直线 的方程为 ，
是圆 的直径，
的直线方程为
联立 ，解得： ，
同理可求
设 ，则
当 时， 为常数，与 无关.
即在 轴上存在一定点 ，使 的值为常数
设椭圆的左焦点 ，由椭圆的对称性结合 ，得到四边形 为矩形，设 ， ，在直角 中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到 ，再根据 ，得到 的范围，然后利用双勾函数的值域得到 的范围，然后由 求解.
【详解】
如图所示：
设椭圆的左焦点 ，由椭圆的对称性可知，四边形 为平行四边形
又 ，即
所以平行四边形 为矩形
所以
线段AB的中点为 ，
因为两点 关于直线 对称，则 ，
所以直线方程为 ，整理得 ．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了中点公式，点关于直线的对称问题，以及直线方程的求解及应用，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
3．A
【分析】
可通过将弦长转化为弦心距问题，结合点到直线距离公式和勾股定理进行求解
【详解】
如图所示，设弦 中点为D，圆心C(3,2),
A． B． C． D．
7．已知双曲线 的左右焦点分别为 ，若双曲线上一点P使得 ，求 的面积（）
A． B． C． D．
8．已知点 是双曲线 ： ( ， )的左支上一点， 、 分别是双曲线的左、右焦点，且 ， 与两条渐近线相交于 、 两点(如图所 示)，点 恰好平分线段 ，则双曲线 的离心率为（）
A． B．
（Ⅰ）求圆 的方程；
（Ⅱ）求证：在 轴上必存在一个定点 ，使 的值为常数，并求出这个常数.
18．在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
（2）已知点 的直角坐标为 ，过点 作直线 的垂线交曲线 于 、 两点（ 在 轴上方），求 的值．
易知 ，
当直线 过点 时， ，当直线 过点 时， ，
当直线 与半圆相切时， ， ，由图可知
∴ 的取值范围是 或 ．
故选：B
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，解题时要注意曲线是半圆，因此直线过 点时与半圆有两个交点，直线与半圆相切时，也只有一个公共点，这是易错点．
5．C
【分析】
根据抛物线方程求得 点坐标，设过 点的直线 方程与抛物线方程联立消去 ，根据判别式大于等于0求得 的范围.
由题可得 ，代入点P的横坐标 可得 ，则有 ，解得 ，即可由此求出离心率.
【详解】
设 的坐标为 ，由 ，可得 ，
代入点P的横坐标 ，有 ，可得 ，
则有 ，得 ，
则椭圆C的离心率为 .
故选：B.
10．C
【分析】
做出圆 关于 轴的对称圆，进而根据图形得 即可求解.
【详解】
解：如图，圆 的圆心 ，
其关于 轴的对称圆的圆心为 ，
因此，所求的圆C的方程为 .
故答案为：
15．
【分析】
由题可得F1B所在直线方程为 ，联立直线F1B和OB方程可得点B坐标，再利用 即可建立关系求解.
【详解】
， ，∴OA为Rt△F1F2B的中位线，∴OA⊥F1B.
又∵OA所在直线斜率为 ，∴F1B所在直线方程为 ，
联立 ，解得B ，
则 ，
整理得 ， ，∴双曲线C的渐近线方程为 .
16．已知椭圆 ： 的离心率为 ，三角形 的三个顶点都在椭圆 上，设它的三条边 、 、 的中点分别为 、 、 ，且三条边所在直线的斜率分别 、 、 ，且 、 、 均不为 . 为坐标原点，若直线 、 、 的斜率之和为 ，则 ______.
三、解答题
17．已知圆 过点 ，且与直线 相切于点 ， 是圆 上一动点， 为圆 与 轴的两个交点（点 在 上方），直线 分别与直线 相交于点 .
所以 ，
所以 ，
故选：B
7．C
【分析】
先根据双曲线方程得到 ， ， ，设 ， ，可得， . 由 ，在 根据余弦定理可得: ，即可求得答案.
【详解】
，所以 ， ， ，
在双曲线上，设 ， ，
①
由 ，在 根据余弦定理可得:
故 ②
由①②可得 ，
直角 的面积
故选：C.
【点睛】
思路点睛：
在解决椭圆或双曲线上的点与两焦点组成的三角形问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义进行处理，结合双曲线的定义、余弦定理和三角形的面积公式进行求解，要注意整体思想的应用.
弦心距 ，又 ，
由勾股定理可得 ，
答案选A
【点睛】
圆与直线的位置关系解题思路常从两点入手：弦心距、勾股定理．处理过程中，直线需化成一般式
4．B
【分析】
作出曲线 ，它是单位圆的右半个圆，作出直线 ，求出直线过半圆直径两端点时的 值，及直线与半圆相切时的 值可得结论．
【详解】
作出曲线 ，它是单位圆的右半个圆，作出直线 ，如图，
圆的标准方程为 圆心为 ，半径 ，
由于直线过焦点，可设直线方程为 ，设
，
又
，
时等号成立，
的最小值为 ，故选B.
【点睛】
本题主要考查抛物线的方程与性质，以及直线与抛物线的位置关系、利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式 求最值，要注意应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”.
12．C
【分析】