实验数据曲线拟合方法研究
实验数据与曲线拟合
实验数据与曲线拟合一、引言实验数据与曲线拟合是科学研究和工程应用中常见的任务之一。
通过对实验数据进行曲线拟合，可以找到数据背后的规律和趋势，从而进行预测、优化和决策。
本文将介绍实验数据与曲线拟合的基本概念、方法和应用。
二、实验数据的收集与处理1. 实验数据的收集实验数据的收集是实验研究的基础，可以通过传感器、仪器设备或人工记录等方式进行。
在收集实验数据时，应注意数据的准确性和可靠性，避免误差和干扰的影响。
2. 实验数据的处理在进行曲线拟合之前，需要对实验数据进行处理，以提高数据的可靠性和可用性。
常见的数据处理方法包括数据清洗、异常值处理、数据平滑和数据归一化等。
三、曲线拟合的基本概念1. 曲线拟合的定义曲线拟合是通过数学模型来描述和预测实验数据的一种方法。
通过找到最佳拟合曲线，可以近似地表示实验数据的规律和趋势。
2. 曲线拟合的目标曲线拟合的目标是找到最佳拟合曲线，使得拟合曲线与实验数据之间的误差最小化。
常见的误差度量方法包括最小二乘法、最大似然估计和最小绝对值法等。
3. 曲线拟合的模型曲线拟合的模型可以是线性模型、非线性模型或混合模型等。
选择合适的模型需要根据实验数据的特点和目标需求进行。
四、曲线拟合的方法1. 线性回归线性回归是一种常见的曲线拟合方法，适用于线性关系较为明显的实验数据。
通过最小化实验数据与拟合曲线之间的误差，可以得到最佳拟合直线。
2. 非线性回归非线性回归适用于实验数据存在非线性关系的情况。
常见的非线性回归方法包括多项式回归、指数回归和对数回归等。
通过选择合适的函数形式和参数，可以得到最佳拟合曲线。
3. 插值法插值法是一种通过已知数据点来估计未知数据点的方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值等。
通过插值方法可以得到平滑的曲线拟合结果。
4. 最小二乘法最小二乘法是一种通过最小化实验数据与拟合曲线之间的误差来求解模型参数的方法。
通过最小二乘法可以得到最佳拟合曲线的参数估计值，并评估拟合曲线的拟合程度。
曲线拟合实验报告[优秀范文5篇]
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曲线拟合实验报告[优秀范文5篇]第一篇：曲线拟合实验报告数值分析课程设计报告学生姓名学生学号所在班级指导教师一、课程设计名称函数逼近与曲线拟合二、课程设计目的及要求实验目的: ⑴学会用最小二乘法求拟合数据的多项式,并应用算法于实际问题。
⑵学会基本的矩阵运算,注意点乘与叉乘的区别。
实验要求: ⑴编写程序用最小二乘法求拟合数据的多项式,并求平方误差,做出离散函数与拟合函数的图形;⑵用MATLAB 的内部函数polyfit 求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及平方误差,并用MATLAB的内部函数plot作出其图形,并与(1)结果进行比较。
三、课程设计中的算法描述用最小二乘法多项式曲线拟合,根据给定的数据点,并不要求这条曲线精确的经过这些点,而就是拟合曲线无限逼近离散点所形成的数据曲线。
思路分析 : 从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点）（i iy x , 误差i i iy x p r -=)(的大小,常用的方法有三种:一就是误差i i iy x p r -=)(绝对值的最大值im ir≤≤ 0max ,即误差向量的无穷范数;二就是误差绝对值的与∑=miir0,即误差向量的 1成绩评定范数;三就是误差平方与∑=miir02的算术平方根,即类似于误差向量的 2 范数。
前两种方法简单、自然,但不便于微分运算,后一种方法相当于考虑 2 范数的平方,此次采用第三种误差分析方案。
算法的具体推导过程: 1、设拟合多项式为:2、给点到这条曲线的距离之与,即偏差平方与:3、为了求得到符合条件的 a 的值,对等式右边求偏导数,因而我们得到了:4、将等式左边进行一次简化,然后应该可以得到下面的等式5、把这些等式表示成矩阵的形式,就可以得到下面的矩阵:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=====+==+====niininiiknikinikinikinikiniiniinikiniiyyyaax x xx x xx x11i11012111111211 1an MMΛM O M MΛΛ 6.将这个范德蒙得矩阵化简后得到⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡n kkn nkkyyyaaax xx xx x M MΛM O M MΛΛ21102 21 1111 7、因为 Y A X = * ,那么 X Y A / = ,计算得到系数矩阵,同时就得到了拟合曲线。
物理实验技术使用中如何进行数据拟合与曲线拟合
物理实验技术使用中如何进行数据拟合与曲线拟合在物理实验中，数据拟合与曲线拟合是一项非常重要的技术。
通过对实验数据进行拟合，我们可以得到更准确的实验结果，进一步理解和解释实验现象。
本文将介绍物理实验中如何进行数据拟合与曲线拟合的常用方法和技巧。
一、数据拟合的基本概念与方法数据拟合是指根据一组离散的实验数据点，找到能够最好地描述这些数据点的某种函数形式。
常用的数据拟合方法有最小二乘法和非线性最小二乘法。
1. 最小二乘法最小二乘法是一种最常用的线性数据拟合方法。
它通过寻找最小化残差平方和的参数值，来确定拟合函数的参数。
残差是指实验数据和拟合函数值之间的差异。
在使用最小二乘法进行数据拟合时，首先需要确定拟合函数的形式。
然后，将实验数据代入拟合函数，并计算残差平方和。
通过对残差平方和进行最小化，可以得到最佳的拟合参数。
2. 非线性最小二乘法非线性最小二乘法是适用于非线性拟合问题的方法。
在非线性拟合中，拟合函数的形式一般是已知的，但是函数参数的确定需要通过拟合实验数据来进行。
非线性最小二乘法通过迭代寻找最小化残差平方和的参数值。
首先，假设初始参数值，代入拟合函数，并计算残差。
然后，根据残差的大小，调整参数值，直到残差平方和最小化。
二、曲线拟合的常用方法与技巧曲线拟合是一种在实验中常见的数据处理方法。
例如，在光谱实验中，我们常常需要对谱线进行拟合，来确定峰的位置、宽度等参数。
1. 多项式拟合多项式拟合是一种常用的曲线拟合方法。
多项式可以近似任何函数形式，因此可以适用于不同形状的实验数据曲线。
在多项式拟合中，我们根据实验数据点的分布情况，选择适当的多项式次数。
通过最小二乘法，确定多项式的系数，从而得到拟合曲线。
2. 非线性曲线拟合非线性曲线拟合适用于实验数据具有复杂形状的情况。
拟合函数的形式一般是已知的，但是参数的确定需要通过拟合实验数据来进行。
非线性曲线拟合的方法类似于非线性最小二乘法。
通过寻找最小化残差平方和的参数值，可以得到拟合曲线的形状和特征。
曲线拟合的最小二乘法实验
Lab04．曲线拟合的最小二乘法实验【实验目的和要求】1．让学生体验曲线拟合的最小二乘法，加深对曲线拟合的最小二乘法的理解；2．掌握函数ployfit和函数lsqcurvefit功能和使用方法，分别用这两个函数进行多项式拟合和非多项式拟合。
【实验内容】1．在Matlab命令窗口，用help命令查询函数polyfit和函数lsqcurvefit 功能和使用方法。
2．用多项式y=x3-6x2+5x-3，产生一组数据(xi，yi)(i=1，2，…，n)，再在yi上添加随机干扰(可用rand产生(0，1)均匀分布随机数，或用randn产生N(0，1)均匀分布随机数)，然后对xi和添加了随机干扰的yi用Matlab提供的函数ployfit用3次多项式拟合，将结果与原系数比较。
再作2或4次多项式拟合，分析所得结果。
3．用电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压为，其中V0是电容器的初始电压，τ是充电常数。
对于下面的一组t，v数据，用Matlab提供的函数lsqcurvefit确定V0和τ。
t(秒) 0.5 1 2 3 4 5 7 9v(伏) 6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63 【实验仪器与软件】1．CPU主频在1GHz以上，内存在128Mb以上的PC；2．Matlab 6.0及以上版本。
实验讲评：实验成绩：评阅教师：200 年月日问题及算法分析：1、利用help命令，在MATLAB中查找polyfit和lsqcurvefit函数的用法。
2、在一组数据(xi，yi)(i=1，2，…，n)上，对yi上添加随机干扰，运用多项式拟合函数，对数据进行拟合（分别用2次，3次，4次拟合），分析拟合的效果。
3、根据t和V的关系画散点图，再根据给定的函数运用最小二乘拟合函数，确定其相应参数。
第一题：（1）>> help polyfitPOLYFIT Fit polynomial to data.P = POLYFIT(X,Y,N) finds the coefficients of a polynomial P(X) ofdegree N that fits the data Y best in a least-squares sense. P is arow vector of length N+1 containing the polynomial coefficients indescending powers, P(1)*X^N + P(2)*X^(N-1) +...+ P(N)*X + P(N+1).[P,S] = POLYFIT(X,Y,N) returns the polynomial coefficients P and astructure S for use with POLYVAL to obtain error estimates forpredictions. S contains fields for the triangular factor (R) from a QRdecomposition of the Vandermonde matrix of X, the degrees of freedom(df), and the norm of the residuals (normr). If the data Y are random,an estimate of the covariance matrix of P is(Rinv*Rinv')*normr^2/df,where Rinv is the inverse of R.[P,S,MU] = POLYFIT(X,Y,N) finds the coefficients of a polynomial inXHAT = (X-MU(1))/MU(2) where MU(1) = MEAN(X) and MU(2) = STD(X). Thiscentering and scaling transformation improves the numerical propertiesof both the polynomial and the fitting algorithm.Warning messages result if N is >= length(X), if X has repeated, ornearly repeated, points, or if X might need centering and scaling.Class support for inputs X,Y:float: double, singleSee also poly, polyval, roots.Reference page in Help browserdoc polyfit>>（2）>> help lsqcurvefitLSQCURVEFIT solves non-linear least squares problems.LSQCURVEFIT attempts to solve problems of the form:min sum {(FUN(X,XDATA)-YDATA).^2} where X, XDATA, YDATA and the valuesX returned by FUN can be vectors ormatrices.X=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA) starts at X0 and finds coefficients Xto best fit the nonlinear functions in FUN to the data YDATA (in theleast-squares sense). FUN accepts inputs X and XDATA and returns avector (or matrix) of function values F, where F is the same size asYDATA, evaluated at X and XDATA. NOTE: FUN should returnFUN(X,XDATA)and not the sum-of-squares sum((FUN(X,XDATA)-YDATA).^2).((FUN(X,XDATA)-YDATA) is squared and summed implicitly in thealgorithm.)X=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA,LB,UB) defines a set of lower andupper bounds on the design variables, X, so that the solution is in therange LB <= X <= UB. Use empty matrices for LB and UB if no boundsexist. Set LB(i) = -Inf if X(i) is unbounded below; set UB(i) = Inf ifX(i) is unbounded above.X=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA,LB,UB,OPTIONS) minimizes with thedefault parameters replaced by values in the structure OPTIONS, anargument created with the OPTIMSET function. See OPTIMSET for details.Used options are Display, TolX, TolFun, DerivativeCheck, Diagnostics,FunValCheck, Jacobian, JacobMult, JacobPattern, LineSearchType,LevenbergMarquardt, MaxFunEvals, MaxIter, DiffMinChange andDiffMaxChange, LargeScale, MaxPCGIter, PrecondBandWidth, TolPCG,OutputFcn, and TypicalX. Use the Jacobian option to specify that FUNalso returns a second output argument J that is the Jacobian matrix atthe point X. If FUN returns a vector F of m components when X has length n, then J is an m-by-n matrix where J(i,j) is the partialderivative of F(i) with respect to x(j). (Note that the Jacobian J isthe transpose of the gradient of F.)[X,RESNORM]=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA,...) returns the valueof thesquared 2-norm of the residual at X: sum {(FUN(X,XDATA)-YDATA).^2}.[X,RESNORM,RESIDUAL]=LSQCURVEFIT(FUN,X0,...) returns the value of residual,FUN(X,XDATA)-YDATA, at the solution X.[X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG]=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA,...) returnsan EXITFLAG that describes the exit condition of LSQCURVEFIT. Possiblevalues of EXITFLAG and the corresponding exit conditions are1 LSQCURVEFIT converged to a solution X.2 Change in X smaller than the specified tolerance.3 Change in the residual smaller than the specified tolerance.4 Magnitude of search direction smaller than the specified tolerance.0 Maximum number of function evaluations or of iterations reached.-1 Algorithm terminated by the output function.-2 Bounds are inconsistent.-4 Line search cannot sufficiently decrease the residual alongthecurrent search direction.[X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG,OUTPUT]=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA ,...)returns a structure OUTPUT with the number of iterations taken inOUTPUT.iterations, the number of function evaluations inOUTPUT.funcCount,the algorithm used in OUTPUT.algorithm, the number of CG iterations (ifused) in OUTPUT.cgiterations, the first-order optimality (if used)inOUTPUT.firstorderopt, and the exit message in OUTPUT.message.[X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA]=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDAT A,YDATA,...)returns the set of Lagrangian multipliers, LAMBDA, at the solution:LAMBDA.lower for LB and LAMBDA.upper for UB.[X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA,JACOBIAN]=LSQCURVEFIT(FU N,X0,XDATA,YDATA,...)returns the Jacobian of FUN at X.ExamplesFUN can be specified using @:xdata = [5;4;6]; % example xdataydata = 3*sin([5;4;6])+6; % example ydatax = lsqcurvefit(@myfun, [2 7], xdata, ydata)where myfun is a MATLAB function such as:function F = myfun(x,xdata)F = x(1)*sin(xdata)+x(2);FUN can also be an anonymous function:x = lsqcurvefit(@(x,xdata) x(1)*sin(xdata)+x(2),[2 7],xdata,ydata)If FUN is parameterized, you can use anonymous functions to capture theproblem-dependent parameters. Suppose you want to solve the curve-fittingproblem given in the function myfun, which is parameterized by its secondargument c. Here myfun is an M-file function such asfunction F = myfun(x,xdata,c)F = x(1)*exp(c*xdata)+x(2);To solve the curve-fitting problem for a specific value of c, first assignthe value to c. Then create a two-argument anonymous function that capturesthat value of c and calls myfun with three arguments. Finally, pass thisanonymous function to LSQCURVEFIT:xdata = [3; 1; 4]; % example xdataydata = 6*exp(-1.5*xdata)+3; % example ydatac = -1.5; % define parameterx = lsqcurvefit(@(x,xdata) myfun(x,xdata,c),[5;1],xdata,ydata) See also optimset, lsqnonlin, fsolve, @, inline.Reference page in Help browserdoc lsqcurvefit>>第二题：1 三次线性拟合clear allx=0:0.5:5;y=x.^3-6*x.^2+5*x-3;y1=y;for i=1:length(y)y1(i)=y1(i)+rand;enda=polyfit(x,y1,3);b=polyval(a,x);plot(x,y,'*',x,b),aa =1.0121 -6.1033 5.1933 -2.4782② 二次线性拟合clear allx=0:0.5:20;y=x.^3-6*x.^2+5*x-3;y1=y;for i=1:length(y)y1(i)=y1(i)+rand;enda=polyfit(x,y1,2);b=polyval(a,x);plot(x,y,'*',x,b),aa =23.9982 -232.0179 367.9756③ 四次线性拟合clear allx=0:0.5:20;y=x.^3-6*x.^2+5*x-3;y1=y;for j=1:length(y)y1(j)=y1(j)+rand;enda=polyfit(x,y1,4);b=polyval(a,x);plot(x,y,'*',x,b),aa =-0.0001 1.0038 -6.0561 5.2890 -2.8249 >>第三题：1 拟合曲线为：f(x)=定义函数：function f=fun(a,x)f=a(1)-(a(1)-a(2))*exp(-a(3)*x);主程序：clear allclcx=[0.5 1 2 3 4 5 7 9];y=[6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63];a0=[1 1 1];a=lsqcurvefit('fun',a0,x,y);y1=a(1)-(a(1)-a(2))*exp(-a(3)*x);plot(x,y,'r*',x,y1,'b')V1=a(2)tei=1/a(3)Optimization terminated: relative function value changing by less than OPTIONS.TolFun.。
数学实验报告数据拟合
实验报告一·实验指导书解读本次实验是通过两个变量的多组记录数据利用最小二乘法寻求两个变量之间的函数关系！两个变量之间的函数关系要紧有两种：一是线性关系（一次函数）；二是非线性关系（非一次的其它一元函数）。
因此本实验做两件事：一是线性拟合（练习1）；二是非线性拟合（练习2、3、4）。
练习2是用多项式函数拟合，练习3是用指数函数、对数函数、双曲函数、三角函数、分式有理多项式函数等初等函数拟合，练习4是用分段函数（非初等函数）拟合。
二、实验打算1.用线性函数拟合程序线性拟合曲线ft1可由如下mathematica程序求出：lianxi1biao= { {100,45} , {110,51} , { 120,54} , {130,61} , {140,66} , {150,70} , {160,74} , {170,78} , {180,85} , {190,89} }ft1=Fit[lianxi1biao,{1,x},x]gp = Plot [ ft1 , {x,100,190} , PlotStyle -> { RGBColor[1,0,0]} ]fp = ListPlot [ lianxi1biao,PlotStyle->{PointSize[],RGBColor[0,0,1]} ]Show[fp,gp]a= ;b= ;f[x_]=a*x+b;dareta=Sum[(lianxi1biao[[i,2]]-f[lianxi1biao[[i,1]]])^2,{i,1,10}]修改、补充程序:要说明拟合成效，要紧从形（大多数散点是不是在拟合曲线上或周围）与量（残差是不是小）！计算残差的程序：假设对两个变量的多组记录数据已有程序biao={{x1,y1},{x2,y2},…,{xn,yn}}而且通过Fit取得线性拟合函数y=ax+b咱们能够先概念函数（程序）f[x_]:=a*x+b再给出计算残差的程序dareta=Sum[(biao[[i ,2]]-f[biao[[i ,1]]])^2,{i ,1, n}]程序说明：biao[[i]]是提取表biao的第i行，即{xi,yi}biao[[i ,1]] 是提取表biao的第i行的第一个数, 即xibiao[[i ,2]] 是提取表biao的第i行的第一个数, 即yibiao[[i ,2]]-f[biao[[i ,1]]] 即yi-(a*xi+b)实验思路1、先对练习1的十组数据线性拟合，并从形与量看拟合成效；2、对练习1的十组数据中的九组数据线性拟合，并从形与量看拟合成效；3、对练习1的十组数据中的八组数据线性拟合，并从形与量看拟合成效；4、对练习1的十组数据中的七组数据线性拟合，并从形与量看拟合成效；5、对练习1的十组数据中的六组数据线性拟合，并从形与量看拟合成效。
ic50曲线拟合 excel
IC50曲线拟合在药物筛选和毒理学研究中起着重要作用。
在实验室中，通过测定药物对细胞或生物体的半数抑制浓度（IC50值），可以评估药物的药效和毒性。
在IC50数值确定后，通常会通过曲线拟合来确定药物的活性和毒性。
本文将介绍如何使用Excel进行IC50曲线拟合。
一、准备实验数据在进行IC50曲线拟合之前，首先需要准备实验数据。
实验数据通常包含不同浓度下的药物效应值，如细胞存活率或酶活性。
这些数据应当按照浓度从低到高的顺序排列，并且至少包含3个不同浓度的数据点。
可以使用Excel表格记录每个浓度下的细胞存活率。
二、绘制药效曲线在Excel中，可以利用散点图或折线图将实验数据绘制成药效曲线。
在绘制图表时，应当将浓度作为X轴，药物效应值作为Y轴。
在绘制图表时，应当选择合适的数据系列，并添加足够的数据点以确保曲线的平滑和可靠性。
三、确定IC50值IC50值是指药物的半数抑制浓度，通常是指药物对细胞存活率或酶活性产生50的抑制作用时的浓度。
在Excel中，可以利用公式或函数来计算IC50值。
常见的方法是通过拟合药效曲线来确定IC50值。
四、IC50曲线拟合在Excel中，可以利用数据分析工具来进行IC50曲线拟合。
需要点击“数据”选项卡，选择“数据分析”命令，然后选择“曲线拟合”功能。
在弹出的对话框中，可以选择“对数型曲线”，并输入相应的参数。
五、结果分析拟合完成后，可以得到IC50值和相关的拟合曲线。
在结果分析中，需要对拟合曲线进行评估，并确定IC50值的可靠性。
通常会通过相关系数、残差分析等指标来评估拟合效果，并使用图表来展示拟合曲线和实验数据的吻合程度。
六、结果验证为了验证IC50曲线拟合的结果，可以进行进一步实验或继续观察药物的效应。
对于新药研发或毒理学评价，IC50曲线拟合的准确性和可靠性至关重要。
结果验证是非常必要的。
七、实验注意事项在进行IC50曲线拟合时，需要注意一些实验细节。
实验数据的准确性和可靠性、曲线拟合的参数选择、结果评估的客观性等。
数据拟合方法研究
数据拟合方法研究之阿布丰王创作中文摘要在我们实际的实验和勘探中,城市发生年夜量的数据.为了解释这些数据或者根据这些数据做出预测、判断,给决策者提供重要的依据.需要对丈量数据进行拟合,寻找一个反映数据变动规律的函数.本文介绍了几种经常使用的数据拟合方法,线性拟合、二次函数拟合、数据的n次多项式拟合等.并着重对曲线拟合进行了研究,介绍了线性与非线性模型的曲线拟合方法,最小二乘法、牛顿迭代法等.在传统的曲线拟合基础上,为了提高曲线拟合精度,本文还研究了多项式的摆动问题,从实践的角度分析了发生这些摆动及偏差的因素和特点,总结了在实践中减小这些偏差的处置方法.采纳最小二乘法使变量转换后所得新变量离均差平方和最小,其实纷歧定能使原响应变量的离均差平方和最小,所以其模型的拟合精度仍有提高的空间.本文以残数法与最小二乘法相结合,采纳非线性最小二乘法来获得拟合效果更好的曲线模型.随着计算机技术的发展,实验数据处置越来越方便.但也提出了新的课题,就是在选择数据处置方法时应该比以往更为慎重.因为稍有失慎,就会非常方便地根据正确的实验数据得出不确切的乃至毛病的结论.所以提高拟合的准确度是非常有需要的关键词：数据拟合、最小二乘法、曲线拟合、多项式摆动、残数法Data Fitting MethodAbstractInourexperimentsand exploration,it will produce large amounts ofdata.In order to explain these data to make predictions based on these data to determine, provide an important basis for policy makers.Need to fit the measured data to find a function toreflect data changes in the law.This article describes several commonly used data fitting methods, and focused on a nonlinear curve fitting of the model.This paper introduces some commonly used data fitting method, linear fitting, secondary function fitting, data n times polynomial fitting etc. TAnd focuses on the curve fitting, introduced the linear and nonlinear model of curve fitting method, the least square method, Newton iterative method, etc. In the traditional curve fitting basis, in order to improve the curve fitting precision, this paper also studies the polynomial swing, from the perspective of the practice the oscillation and deviation of factors and characteristics, and summarizes the decrease in practice the treatment method of thesedeviations. The least square method to variable after converting from new variables are the sum of squared residuals minimum, not necessarily make the original response from all the variables of the sum of squared residuals minimum, so the model fitting precision still has room to improve.Based on the number of residual method and least square method, and the combination of nonlinear least square method to get better fitting effect of curve model.With the development of computer technology, the experiment data processing more and more convenient. But also put forward the new subject, which is in the data processing method of choice should be more careful than ever before.Because carelessly a bit, it can be very easily according to the correct experimental data that not the exactand even the wrong conclusion. Therefore, to raise the fitting accuracy is very necessary Key words：Data Fitting ; Least square method; Curve fitting; Polynomial swing; Residual method目录中文摘要IAbstractII第一章绪论11．1数据简介11.1.1名词解释11.1.2数据属性11.2 曲线拟合简介2第二章数据拟合方法分类32.1 线性拟合52.2 二次函数拟合72.3 数据的n次多项式拟合92.4 点集{x1,x2,……,x m}上的正交多项式系10 2.5 用正交多项式系组成拟合函数的多项式拟合112.6 指数函数的数据拟合122.7 多元线性函数的数据拟合13第三章曲线拟合特性143.1 线性模型的曲线拟合153.1.1 最小二乘法及其计算153.1.2 用正交多项式作最小二乘拟合213.2 非线性模型的曲线拟合253.2.1 牛顿迭代263.2.2 罕见非线性模型26第四章多项式的摆动314.1 多项式摆动介绍324.2 影响多项式拟合偏差的因素344.2.1 实验数据的不均匀性344.2.2 数据的密度354.2.3 拟合曲线的适用区间354.3 使用多项式拟合的注意事项364.3.1尽量防止高阶多项式的拟合364.3.2坚持密度374.3.3在实验数据走向比力明确的前提下,可以考虑其他的非线性拟合方法37第五章残数法与最小二乘法结合385.1 二项指数曲线原理与方法395.2 资料与分析415.3 残数法与最小二乘法结合总结44第六章总结47结束语47参考文献50附录1 英文原文54附录2 中文翻译69附录3 法式83第一章绪论在我们实际的实验和勘探中,城市发生年夜量的数据.为了解释这些数据或者根据这些数据做出预测、判断,给决策者提供重要的依据.需要对丈量数据进行拟合,寻找一个反映数据变动规律的函数.1．1数据简介科学实验、检验、统计等所获得的和用于科学研究、技术设计、查证、决策等的数值.1.1.1名词解释研究数据就是对数据进行收集、分类、录入、贮存、统计分析,统计检验等一系列活动的统称.1.1.2数据属性柯岩《奇异的书简·船主》：“贝汉廷分析着各个分歧的数据,寻找着规律,终于抓住了矛盾的牛鼻子.”数据是载荷或记录信息的按一定例则排列组合的物理符号.可以是数字、文字、图像,也可以是计算机代码.对信息的接收始于对数据的接收,对信息的获取只能通过对数据布景的解读.数据布景是接收者针对特定命据的信息准备,即当接收者了解物理符号序列的规律,并知道每个符号和符号组合的指向性目标或含义时,即可以获得一组数据所载荷的信息.亦即数据转化为信息,可以用公式“数据+布景=信息”暗示.数据拟合在很多处所都有应用,主要用来处置实验或观测的原始离散数据.通过拟合可以更好的分析和解释数据.1.2 曲线拟合简介曲线拟合,俗称拉曲线,是一种把现有数据透过数学方法来代入一条数式的暗示方式.科学和工程问题可以通过诸如采样、实验等方法获得若干离散的数据,根据这些数据,我们往往希望获得一个连续的函数（也就是曲线）或者更加密集的离散方程与已知数据相吻合,这过程就叫做拟合.在科学实验或社会活动中,人们经常需要观测很大都据的规律,通过实验或者观测获得量x与y的一组数据对（）(i=1,2, …,N),其中是彼此分歧的.人们希望用一类与数据实质规律相适应的解析表达式,来反映量x与y之间的依赖关系,即在一定意义下“最佳”地迫近或拟合已知数据.常称作拟合模型,当c在中线性呈现时,称为线性模型,否者称为非线性模型.线性模型是回归模型中最罕见的一种,但在实际中,许多现象之间的关系往往其实不是线性的,而是呈现某种曲线关系.如服药后血药浓度与时间的关系；病毒剂量与致死率的关系；化学反应的反应物浓度与反应速度的关系.这就发生的曲线拟合,用连续曲线近似地刻画或比力平面上离散点组所暗示的坐标之间的函数关系.用解析表达式迫近离散数据的一种方法.第二章数据拟合方法分类在实验中,实验和戡测经常会发生年夜量的数据.为了解释这些数据或者根据这些数据做出预测、判断,给决策者提供重要的依据.需要对丈量数据进行拟合,寻找一个反映数据变动规律的函数.数据拟合方法与数据插值方法分歧,它所处置的数据量年夜而且不能保证每一个数据没有误差,所以要求一个函数严格通过每一个数据点是分歧理的.数据拟合方法求拟合函数,插值方法求插值函数.这两类函数最年夜的分歧之处是,对拟合函数不要求它通过所给的数据点,而插值函数则必需通过每一个数据点.例如,在某化学反应中,测得生成物的质量浓度y (10–3 g/cm3)与时间t （min）的关系如表所示显然,连续函数关系y(t) Array是客观存在的.可是通过表中的数据不成能确切地获得这种关系.何况,由于仪器和环境的影响,丈量数据难免有误差.因此只能寻求一个近拟表达式y = ϕ(t)寻求合理的近拟表达式,以反映数据变动的规律,这种方法就是数据拟合方法.数据拟合需要解决两个问题：第一,选择什么类型的ϕ作为拟合函数（数学模型）；第二,对选定的拟合函数,函数)(t如何确定拟合函数中的参数.数学模型应建立在合理假设的基础上,假设的合理性首先体现在选择某种类型的拟合函数使之符合数据变动的趋势（总体的变动规律）.拟合函数的选择比力灵活,可以选择线性函数、多项式函数、指数函数、三角函数或其它函数,这应根据数据分布的趋势作出选择.为了问题叙述的方便,将例1的数据表写成一般的形式2.1 线性拟合假设拟合函数是线性函数,即拟合函数的图形是一条平面上的直线.而表中的数据点未能精确地落在一条直线上的原因是实验数据的误差.则下一步是确定函数y= a + b x中系数a 和b 各即是几多？从几何布景来考虑,就是要以a 和b 作为待定系数,确定一条平面直线使得表中数据所对应的10个点尽可能地靠近这条直线.一般来讲,数据点将不会全部落在这条直线上,如果第k 个点的数据恰好落在这条直线上,则这个点的坐标满足直线的方程,即a +b x k = y k如果这个点不在直线上,则它的坐标不满足直线方程,有一个绝对值为k k y bx a -+的不同（残差）.于是全部点处的总误差是∑=-+101k k ky bxa这是关于a 和b 的一个二元函数,合理的做法是选取a 和b ,使得这个函数取极小值.可是在实际求解问题时为了把持上的方便,经常是求a 和b 使得函数∑=-+=1012)(),(k k k y bx a b a F到达极小.为了求该函数的极小值点,令0=∂∂a F ,0=∂∂bF, 得0)(2101=-+∑=k k ky bxa , ∑==-+1010)(2k k k k x y bx a这是关于未知数a 和b 的线性方程组.它们被称为法方程,又可以写成⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑=====101101210110110110k k k k k k k k k k k y x b x a x y b x a 求解这个二元线性方程组便得待定系数a 和b ,从而得线性拟合函数2.2 二次函数拟合假设拟合函数不是线性函数,而是一个二次多项式函数.即拟合函数的图形是一条平面上的抛物线,而表中的数据点未能精确地落在这条抛物线上的原因是实验数据的误差.则下一步是确定函数y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2中系数a 0、a 1和a 2各即是几多？从几何布景来考虑,就是要以a 0、a 1和a 2为待定系数,确定二次曲线使得表中数据所对应的10个点尽可能地靠近这条曲线.一般来讲,数据点将不会全部落在这条曲线上,如果第k 个点的数据恰好落在曲线上,则这个点的坐标满足二次曲线的方程,即a 0 + a 1 x k + a 2 x k 2 = y k如果这个点不在曲线上,则它的坐标不满足曲线方程,有一个误差（残差）.于是全部点处的总误差用残差平方和暗示∑=-++=10122210210])[(),,(k k k k y x a x a a a a a F这是关于a 0、a 1和a 2的一个三元函数,合理的做法是选取a 0、a 1和a 2,使得这个函数取极小值.为了求该函数的极小值点,令00=∂∂a F ,01=∂∂a F ,02=∂∂a F得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++=-++=-++∑∑∑===10122210101221010122100])[(20])[(20])[(2k k k k k k k k k k k k k k x y x a x a a x y x a x a a y x a x a a 这是关于待定系数a 0、a 1和a 2的线性方程组,写成等价的形式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑===========101210124101131010210110110123121010101101221101010k kk k k k k k k k k k k k k k k k k kk k k k y x a x a x a x y x a x a x a x y a x a x a这就是法方程,求解这一方程组可得二次拟合函数中的三个待定系数.下图反映了例题所给数据的二次曲线拟合的结果2.3数据的n 次多项式拟合已知函数在个离散点处的函数值,假设拟合函数是n 次多项式,则需要用所给数据来确定下面的函数y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2+…… + a n x n这里要做一个假设,即多项式的阶数n 应小于题目所给数据的数目m （例题中m = 10）.类似前面的推导,可得数据的n 次多项式拟合中拟合函数的系数应满足的正规方程组如下⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=====+==+====m k k n k mk k k mk k n mk nk mk n kmk n k mk n k mk km k kmk n k mk k y x y x ya a a x xx x xxx x m 11110121111112111从这一方程组可以看出,线性拟合方法和二次拟合方法是多项式拟合的特殊情况.从算法上看,数据最小二乘拟合的多项式方法是解一个超定方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++m n m n m m nn n n yx a x a x a a y x a x a x a a y x a x a x a a 22102222221*********( m > n ) 的最小二乘解.而多项式拟合所引出的正规方程组恰好是用超定方程组的系数矩阵的转置矩阵去左乘超定方程组左、右两端所得.正规方程组的系数矩阵是一个病态矩阵,这类方程组被称为病态方程组.当系数矩阵或者是右端向量有微小的误差时,可能引起方程组准确解有很年夜的误差.为了防止求解这样的线性方程组,在做多项式拟合时可以将多项式中的各次幂函数做正交化变换,使得所推出的正规方程的系数矩阵是对角矩阵.2.4 点集{x 1,x 2,……,x m }上的正交多项式系多项式q 0(x ),q 1(x ),q 2(x ),……,q n (x )在点集{x 1,x 2,……,x m }上的正交 ∑==mi i j i k j k x q x q q q 1)()(),(正交多项式系可以认为是幂函数系：1,x ,x 2,……,x n 通过正交变换而获得的一组函数.正交多项式系构造的方法如下：q 0(x )=1,q 0(x ) =x – a 1,(a 1 = n x mi i /1∑=),q k (x ) = (x - a k ) q k -1(x ) - b k q k-2(x ) ,( k = 2,3,……,n ) 其中,∑∑=-=-----==mi i k mi i k i k k k k k x q x q x q q q xq a 1211211111)(/)(),/(),(∑∑=-=-----==mi i k mi i k k k k k k x q x q q q q q b 1221212211)(/)(),/(),(2.5用正交多项式系组成拟合函数的多项式拟合考虑拟合函数：)()()()(1100x q a x q a x q a x n n +++= ϕ,将数据表中的数据代入,得超定方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++mm n n m m m n n n n y x q a x q a x q a x q a y x q a x q a x q a x q a y x q a x q a x q a x q a )()()()()()()()()()()()(2211002222221120011122111100 （m > n ） 其系数矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)()()()()()()()()()()()(21022221201121110m n m m mn n x q x q x q x q x q x q x q x q x q x q x q x q由于多项式q 0(x ),q 1(x ),q 2(x ),……,q n (x )在点集{x 1,x 2,……,x m }上的正交,所以超定方程组的系数矩阵中分歧列的列向量是相互正交的向量组.于是用这一矩阵的转置矩阵去左乘超定方程组左、右两端得正规方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===),(),(),(),(),(),(11110000y q a q q y q a q q y q a q q n n n n => ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===),/(),(),/(),(),/(),(11110000n n n n q q y q a q q y q a q q y q a 其中,∑==m i i k k k x q q q 12)(),(,∑==mi i i k k y x q y q 1)(),(.因为正规方程组中每一个方程都是一元一次方程可以直接写出原超方程组的最小二乘解,所以拟合函数为)(),(),()(),(),()(),(),()(11110000x q q q y q x q q q y q x q q q y q x n n n n +++=ϕ这一结果与用次多项式拟合所得结果在理论是完全一样的,只是形式上分歧、算法实现上防止了解病态方程组.2.6 指数函数的数据拟合问题1：世界人中预测问题下表给出了本世纪六十年代世界人口的统计数据(单元：亿)有人根据表中数据,预测公元2000年世界人口会超越 60亿.这一结论在六十年代末令人难以置信,但现在已成为事实.试建立数学模型并根据表中数据推算出2000年世界人口的数量.根据马尔萨斯人口理论,人口数量按指数递增的规律发展.记人口数为 N (t ),则有指数函数N e a bt =+.现需要根据六十年代的人口数据确定函数表达式中两个常数a、b.为了计算方便,对表达式两边取对数,得ln N a bt=+,令Ny ln=.于是btaty+=)(.(1)计算出表中人口数据的对数值y k = ln N k ( k = 1,2, (9)(2) 根据表中数据写出关于两个未知数a 、b的9个方程的超定方程组（方程数多于未知数个数的方程组）a +b tk = yk( k = 1,2, (9)其中,t1 =1960,t2 =1961,t3 =1962,……,t9 =1968；y1= ln29.72,y2 = ln 30.61,……,y9 = ln34.83.(3) 利用MATLAB解线性方程组Ax=c的命令A\c计算出a 、b的值,并写出人口增长函数.利用人口增长函数计算出2000年世界人口数据：N(2000)2.7 多元线性函数的数据拟合问题2 人的耗氧能力的数据拟合.人的耗氧能力y (ml/min·kg)与下列变量有关x1年龄x2体重x31.5英里跑步所用时间x4静止时心速x5跑步时最年夜心速某健身中心对31个自愿者进行测试,获得31组数据（每一组数据有6个数）令耗氧能力为因变量,其它的指标为自变量,建立线性模型为了确定6个系数,利用已记录的数据得超定方程组这一方程组包括6个未知数,但却有31个方程.写出超定方程组的系数矩阵和右端向量如下⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=31,531,431,331,231,152423222125141312111111x x x x x x x x x x x x x x x A,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=3121y y y y 由最小二乘法可得正规方程组y A AX A T T =其中,T第三章 曲线拟合特性在科学实验或社会活动中,人们经常需要观测很大都据的规律,通过实验或者观测获得量x 与y 的一组数据对（）(i=1,2, …,N),其中是彼此分歧的.人们希望用一类与数据实质规律相适应的解析表达式,来反映量x与y之间的依赖关系,即在一定意义下“最佳”地迫近或拟合已知数据.常称作拟合模型,当c在中线性呈现时,称为线性模型,否者称为非线性模型.3.1 线性模型的曲线拟合已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,…,fn},通过调整该函数中若干待定系数f(λ1, λ2,…,λm), 使得该函数与已知点集的分歧(最小二乘意义)最小.如果待定函数是线性,就叫线性拟合.下面介绍计算线性拟合的基本方法.3.1.1最小二乘法及其计算在函数的最佳平方迫近中,如果只在一组离散点集{}上给出,这就是科学实验中罕见的实验数据{}的曲线拟合,这里,要求一个函数与所给数据{}拟合,若记,设是C[a,b]上线性无关函数族,在中找一个函数,使误差平方和这里这就是一般的最小二乘迫近,用几何语言说,就称为曲线拟合的最小二乘法.用最小二乘法求曲线时,首先要确定的形式.这部纯真三数学问题,还与所研究问题的运动规律及所得观测数据有关；通常要从问题的运动规律或给定命据描图,确定的形式,并通过实际计算选出较好的结果.的一般表达式为（3.2）式暗示的线性形式.若是k次多项式,就是n次多项式.为了使问题的提法更有一般性,通常在最小二乘法中都考虑为加权平方和这里是[a,b]上的权函数,它暗示分歧点处的数据比重分歧,用最小二乘法求拟合曲线的问题,就是在形如(2.2)式的中求一函数,使(3.3)式取得最小.它转化为求多元函数的极小点的问题.由求多元函数极值的需要条件,有若记上式可改写为线性方程组（3.6）称为法方程,可将其写成矩阵形式其中要使法方程（3.6）有唯一解,就要求矩阵G非奇异.必需指出,在[a,b]上线性无关不能推出矩阵G非奇异.例如,令,显然在[]上线性无关,但如果取点,那么有,由此得出为保证方程组（3.6）的系数矩阵G非奇异,必需加上另外的条件.如果函数族在有限点集中的任意n+1(n)个点上都有则称函数族在点集X上满足哈尔条件.这个界说实际上等价于：函数族的任意线性组合在点集X上至多有n个分歧的零点.显然在任意个点上满足哈尔条件.可以证明,如果在上满足哈尔条件,则法方程（3.6）的系数矩阵（2.7）非奇异,于是方程组（3.6）存在唯一的解.从而可以获得函数的最小二乘解为可以证明这样获得的,对任何形如（3.2）式的,都有故确是所求最小二乘解.给定的离散数据,要确定是困难的,一般可取,但这样做那时,与连续情形一样求解法方程（3.6）时将呈现系数矩阵G病态的问题,通常对的简单情形都可通过求法方程（3.6）获得.有时根据给定命据图形,其拟合函数概况上不是（3.2）式的形式,但通过变换仍可化为线性模型.例如,若两边取对数得它就是形如（3.2）式的线性模型.例设数据由下表给出表2-1i 0 1 2 3 41.00 1.25 1.50 1.752.005.10 5.796.537.458.451.629 1.756 1.8762.008 2.135 解根据给定命据描图根据拟合图形可以看出它不是线性形式,因为,可以获得数学模型为,用最小二乘法来确定未知数.两边取对数得,若令,则得.为确定A,b,先将转化为,数据表见2-1.根据最小二乘法,去,得故由法方程解得.于是得最小二乘拟合曲线为现在很大都学软件配有自动选择数学模型的法式,其方法与本例相同.法式中因变量与自变量变换的函数类型较多,通过计算比力误差找到拟合得比力好的曲线,最后输出曲线图形及数学表达式.3.1.2 用正交多项式作最小二乘拟合用最小二乘法获得的法方程（3.6）,其系数矩阵G是病态的,但如果是关于点集带权正交的函数族,即则法方程（2.6）的解为且平方误差为现在我们根据给定节点及权函数,造出带权正交的多项式,注意,用递推公司暗示,即这里是首项系数为1的k次多项式,根据的正交性,得下面用归纳法证明这样给出的是正交的,由（3.10）式第二次及（3.11）式中的表达式,有现假定对及均成立,要证对均成立.由（3.10）式有由归纳法假定时,另外,是首项系数为1的s+1次多项式,它可由的线性组合暗示,而,故由归纳法假定又有于是由（3.12）式,那时.再看由假定有利用（3.11）式中表达式及以上结果,得最后,由（3.11）式有至此已证明了由（3.10）式及（3.11）式确定的多项式组成一个关于点集的正交系.用正交多项式的线性组合作最小二乘曲线拟合,只要根据公司（3.10）及（3.11）逐步求的同时,相应计算出系数并逐步把累加到S()中去,最后就可获得所求的拟合曲线这里n可事先给定或在计算过程中根据误差确定.用这种方法编法式不用解线性方程组,只用递推公式,而且当迫近次数增加一次时,只要把法式中循环数加1,其余不用改变.这就是目前用多项式作曲线拟合最后的计算方法.3.2 非线性模型的曲线拟合以后研究的非线性模型主要是指参数或自变量是非线性的,形式复杂多样,罕见的有多项式形式、双曲线形式、对数形式、幂函数形式等等,更复杂的有修正指数曲线、Compterz曲线以及Logistic 曲线等.如何根据数据的年夜致规律来选择合适的模型,是拟合的关键.总的来说有两中可参考的方法：一是根据散点图来确定类型,即由散点图的形状年夜体确定模型类型；二是根据专业知识和经验,判断研究的数据曲线属于什么类型.现在研究非线性模型的方法用得最多的就是最小二乘法.3.2.1 牛顿迭代无论采用什么方式变换都不成能实现线性化,这样的模型称为不成线性化模型.对不成线性化模型,一般采纳高斯一牛顿迭代法进行参数估计,即借助于泰勒级数展开式进行逐次的线性近似估计.第一步：做Logit-Ln 线性回归,求, , x 和p 的初值.此时x 不能为0值,若输入的x 有0值,则将其设为一小值（例如：0.00001）.首选将原方程变形为如下线性形式：x p x p y A A y ln ln ln 010-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+- 将初值设为输入的y 值的最年夜值加1,的初值设为输入的y 值的最小值减0.1.通过简单的直线拟合即可求出p 和的初值.第二步：对Logistic 方程四个参数求偏微分,获得y 对给定系数的增量（△, △, △x, △p ）的泰勒级数展开式.px x A y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂0111px x A y⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∂∂02111pp xx x x A A x px y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∂∂02001001 2001001ln ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂p px x A A x x x x p y泰勒级数展开式为：)(0000110p pyx x y A A y A A y y y ∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+= 由此,将曲线回归转化为多元线性回归,通过迭代计算,获得四个参数的变量△, △, △x, △p,逐步修正四参数的值.多元线性回归与多项式拟合方法相同.每一次迭代可计算出参数变量值,新的参数值为原参数值与变量值的叠加.第三步：为保证迭代收敛,在计算相关系数时,引入一系数a,初值设为2,将a 与参数的变量矩阵相乘,计算相关系数.a=a/2,循环10次,每次a 的值减半.取循环中获得的相关系数最年夜的变量矩阵[△, △, △x, △p].第四步：默认总的迭代次数为1000次,或者当相关系数不再减小时,则迭代停止.返回获得的四参数值.3.2.2 罕见非线性模型对解释变量是非线性的,但参数之间是线性的模型,可以利用变量直接代换的方法将模型线性化,通过线性拟合来计算. 1.多项式函数模型多项式函数形式 令原模型可化为线性形式即可利用多元线性回归分析的方法处置了.这类模型广泛地用于生产和本钱函数.例如总本钱函数可暗示为： 其中,y 暗示总本钱,暗示产出. 2．双曲线模型 双曲线函数形式 3.双对数函数模型函数形式 2k 012k y=+++...+x x x uββββ+212,,kk z x z x z x ===23i 01i 2i 3i y =+++x x x ββββ011y u xββ=++01ln ln y x uββ=++所以弹性为一常数.它暗示x 变动1%,y 变动 了.由于这个特殊的性质,双对数模型又称为不变弹性模型. 4.半对数函数模型函数形式 对线性-对数模型它暗示x 变动1%,y 将变动个单元的绝对量.即y 的绝对变动量即是乘以x 的相对变动量. 5.逻辑斯蒂（Logistic ）曲线函数形式 令 则有 6.指数曲线函数形式 两边取对数得： *1*（ln )/(ln )/dy d y y y Edx d x x xβ∆====∆1%β01ln y x uββ=++ln y x uββ=++ln y x uββ=++1*(ln )/dy dy y dx d x x xβ∆===∆1xy xβ∆∆=1β1βx be a y -+=1yy 1='xe x -='x b a y '+='x ab y =loglog log y a x b=+令则有 7.幂函数曲线 函数形式 两边取对数得：令 则有8.龚伯兹（Gompertz ）曲线函数形式两边取对数得： 令 则有y y '=log a a '=log b b '=log y a b x '''=+bdx y=xb d y log log log +=y y log ='xx log ='da log =y a bx ''=+bxde y =bx d y +=ln ln yy ln ='da ln =y a bx ''=+第四章多项式的摆动在实验科学中,经常会遇到这样的问题,用一组给定的非线性实验数据得出指导性的经验公式,即自变量x与因变量y的函数关系,这就是曲线拟合.在曲线拟合中最小二乘法多项式拟合的应用非常普遍,在许多科学文献中,实验结果都以多项式的形式给出以供参考.虽然多项式的拟合适用普遍,通过适当的拟合多项式的阶数改善曲线迫近实验数据点的水平,但同时也带来晦气的一面.提高拟合多项式的阶数,曲线在某些区间往往会发生非期望的起伏,这使得曲线的参考价值年夜打折扣.。
曲线拟合实验报告材料
数值分析课程设计报告学生姓名学生学号所在班级指导教师一、课程设计名称函数逼近与曲线拟合二、课程设计目的及要求实验目的：⑴学会用最小二乘法求拟合数据的多项式，并应用算法于实际问题。
⑵学会基本的矩阵运算，注意点乘和叉乘的区别。
实验要求：⑴编写程序用最小二乘法求拟合数据的多项式，并求平方误差，做出离散函数（ ）和拟合函数的图形；⑵用MATLAB 的内部函数polyfit 求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及平方误差，并用MATLAB 的内部函数plot 作出其图形，并与（1）结果进行比较。
三、课程设计中的算法描述用最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的数据点，并不要求这条曲线精确的经过这些点，而是拟合曲线无限逼近离散点所形成的数据曲线。
思路分析：从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点）（i i y x ,误差i i i y x p r -=)(的大小，常用的方法有三种：一是误差i i i y x p r -=)(绝对值的最大值i mi r ≤≤0max ，即误差向量的无穷范数；二是误差绝对值的和∑=mi i r 0，即误差向量的1范数；三是误差平方和∑=mi i r 02的算术平方根，即类似于误差向量的2范数。
前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑2范数的平方，此次采用第三种误差分析方案。
算法的具体推导过程： 1.设拟合多项式为：2.给点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和：3.为了求得到符合条件的a 的值，对等式右边求 偏导数，因而我们得到了：4.将等式左边进行一次简化，然后应该可以得到下面的等式5.把这些等式表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=====+==+====n i i n i n i i k n i k i ni k ini k i n i k i ni in i ini k ini iy y y a a x xx x xxx x 11i 110121111112111a n6. 将这个范德蒙得矩阵化简后得到⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡n k k n n k k y y y a a a x x x x x x 21102211111 7.因为Y A X =*,那么X Y A /=,计算得到系数矩阵，同时就得到了拟合曲线。
物理实验技术中的实验数据处理与曲线拟合方法
物理实验技术中的实验数据处理与曲线拟合方法实验数据处理和曲线拟合方法在物理实验中起着至关重要的作用。
通过对实验数据的处理和曲线拟合，我们可以更好地理解实验现象、验证理论模型以及得出精确的实验结果。
本文将探讨物理实验技术中的实验数据处理与曲线拟合方法。
在物理实验中，实验数据处理的第一步是数据整理和转化。
在实验过程中，我们通常会使用各种仪器和设备来测量和记录数据，如示波器、电压表、温度计等。
这些仪器所得到的数据通常需要进行数据清洗和整理，去除噪声和异常值，以提高数据的准确性和可靠性。
同时，为了方便后续的处理和分析，我们还需要对数据进行转化和标准化，如将温度数据转化为摄氏度、将时间数据转化为秒等。
一种常用的实验数据处理方法是统计分析。
统计分析可以帮助我们更好地理解数据的分布特征和规律性，并从中得到有意义的结论。
常见的统计分析方法包括均值、标准差、相关系数等。
通过这些统计指标，我们可以了解数据的集中趋势、离散程度以及变量之间的关系。
如果实验数据符合正态分布，我们还可以应用概率论和数理统计的方法，推导出更精确的物理模型或结论。
除了统计分析外，曲线拟合也是实验数据处理的一种重要方法。
曲线拟合是将已知的实验数据与已知的函数形式进行比较，并通过拟合求取最佳的拟合参数。
常见的曲线拟合方法包括最小二乘法、最大似然估计等。
在物理实验中，我们经常遇到需要将实验数据拟合为直线、二次曲线、指数曲线等情况。
通过曲线拟合，我们可以得到实验数据的数学表达式，进而对实验结果做出更深入的分析和解释。
实验数据处理和曲线拟合尤其在物理实验的结果分析中扮演重要角色。
通过对实验数据的处理和分析，我们可以验证理论模型的准确性，并从中得出实验结果的科学解释。
例如，在电学实验中，通过对电压和电流数据的处理和曲线拟合，我们可以推导出电阻的数值以及电路中其他元器件的特性。
在力学实验中，通过对质点运动轨迹数据的处理和曲线拟合，我们可以得到质点的加速度和力的大小等信息。
数据拟合与曲线拟合实验报告
数据拟合与曲线拟合实验报告【数据拟合与曲线拟合实验报告】1. 实验介绍数据拟合与曲线拟合是数学和统计学中非常重要的概念和方法。
在科学研究、工程技术和数据分析中，我们经常会遇到需要从一组数据中找到代表性曲线或函数的情况，而数据拟合和曲线拟合正是为了解决这一问题而存在的。
2. 数据拟合的基本原理数据拟合的基本思想是利用已知的一组数据点，通过某种数学模型或函数，找到一个能够较好地描述这组数据的曲线或函数。
常见的数据拟合方法包括最小二乘法、最小二乘多项式拟合、指数拟合等。
在进行数据拟合时，我们需要考虑拟合的精度、稳定性、可行性等因素。
3. 曲线拟合的实验步骤为了更好地理解数据拟合与曲线拟合的原理与方法，我们进行了一组曲线拟合的实验。
实验步骤如下：- 收集一组要进行拟合的数据点；- 选择合适的拟合函数或模型；- 利用最小二乘法或其他拟合方法，计算拟合曲线的参数；- 对拟合结果进行评估和分析；- 重复实验，比较不同的拟合方法和模型。
4. 数据拟合与曲线拟合的实验结果通过实验，我们掌握了数据拟合和曲线拟合的基本原理与方法。
在实验中，我们发现最小二乘法是一种简单而有效的数据拟合方法，能够较好地逼近实际数据点。
我们还尝试了多项式拟合、指数拟合等不同的拟合方法，发现不同的拟合方法对数据拟合的效果有着不同的影响。
5. 经验总结与个人观点通过这次实验，我们对数据拟合和曲线拟合有了更深入的理解。
数据拟合是科学研究和实践工作中不可或缺的一部分，它能够帮助我们从一堆杂乱的数据中提炼出有用的信息和规律。
曲线拟合的精度和稳定性对研究和实践的结果都有着重要的影响，因此在选择拟合方法时需要慎重考虑。
6. 总结在数据拟合与曲线拟合的实验中，我们深入探讨了数据拟合和曲线拟合的基本原理与方法，并通过实验实际操作，加深了对这一概念的理解。
数据拟合与曲线拟合的重要性不言而喻，它们在科学研究、工程技术和信息处理中发挥着重要的作用，对我们的日常学习和工作都具有重要的指导意义。
曲线的拟合与极值问题研究
曲线的拟合与极值问题研究一、引言曲线的拟合与极值问题是数学和工程学领域中的重要课题之一。
在实际应用中，我们常常需要对一组数据点进行曲线拟合，以便更好地了解数据的趋势和规律。
同时，极值问题也是曲线研究的关键之一，它涉及到曲线的局部极大和极小点，对于优化问题的解决具有重要意义。
二、曲线拟合问题研究1. 曲线拟合的概念和方法曲线拟合是通过数学模型，将一组离散的数据点拟合成一条平滑曲线，以表示数据之间的关系。
常用的拟合方法包括最小二乘法、样条函数、多项式拟合等。
最小二乘法是一种常用的曲线拟合方法，它通过将数据点到拟合曲线的距离平方的总和最小化来找到最优的拟合曲线。
2. 曲线拟合的应用曲线拟合在各个领域都有广泛的应用。
在物理学中，对实验数据进行曲线拟合可以确定物理规律的经验公式。
在金融学中，曲线拟合用于预测股票价格的走势。
在工程学中，曲线拟合可以用于建模和预测工艺过程的变化。
三、极值问题研究1. 极值点的概念和判定在数学中，曲线的极值点指的是曲线上的点，在该点处切线的斜率为零。
极值点可以分为极大值点和极小值点两种。
确定曲线的极值点通常需要通过导数和二阶导数的求解来进行。
2. 极值问题的应用极值问题在很多实际问题中都有重要的应用。
在经济学中，极值问题可以用于确定最大化利润或最小化成本的决策。
在物理学中，极值问题用于求解物体的最大高度或最快速度等问题。
四、曲线的拟合与极值问题的结合研究1. 曲线拟合与极值点的确定曲线的拟合和极值问题可以相互结合，通过拟合曲线的参数来确定曲线的极值点。
例如，在最小二乘法中，可以通过最优化拟合曲线的参数来找到曲线上的极值点。
2. 实际应用案例以股票价格的预测为例，我们可以通过曲线拟合的方法建立一个趋势线来表示股价的整体变化趋势。
然后，通过对趋势线求导，找出趋势线上的极值点，以确定股票价格的最高点和最低点，从而辅助投资者做出买入和卖出的决策。
五、结论曲线的拟合与极值问题是数学研究中的重要方向之一。
物理实验中的数据拟合与曲线分析技术
物理实验中的数据拟合与曲线分析技术在物理实验中，数据拟合与曲线分析技术是非常重要的工具。
通过对实验数据的分析和处理，我们可以得到更准确的结果，进一步理解和解释所研究的物理现象。
本文将介绍数据拟合与曲线分析的基本概念和常用方法。
一、数据拟合的基本概念所谓拟合，即通过某种数学模型来拟合实验数据的曲线，以求得该模型的参数。
拟合的目的是找到最佳的拟合曲线，使其能够较好地描述实验数据，并能够用于预测和推测未知数据。
在物理实验中，常见的拟合模型包括线性模型、多项式模型、指数模型等。
数据拟合有多种方法，其中最常见的是最小二乘法。
该方法通过最小化实验数据与拟合曲线之间的残差平方和来确定最佳拟合曲线。
在实际操作中，可以利用计算软件进行拟合计算，以提高效率和准确性。
二、曲线分析的常用方法曲线分析是研究曲线特性和趋势的方法。
通过对实验数据进行曲线分析，可以揭示出数据的规律和趋势，促进对物理现象的深入理解。
在曲线分析中，有几个基本的概念和方法是非常重要的。
首先是斜率和截距，它们可以提供曲线的直观特征。
通过斜率可以了解曲线的变化速率，而截距则提供了曲线与坐标轴的交点位置。
其次是曲率和凸凹性。
曲率描述了曲线的弯曲程度，可以用于判断曲线的平滑程度和拐点位置。
凸凹性则指曲线的凸起和凹陷程度，通过分析凸凹性可以得到曲线上的极值点。
还有相关系数和确定系数，它们用于评估拟合曲线的质量和拟合程度。
相关系数衡量了实验数据与拟合曲线之间的线性关系程度，确定系数则表示拟合曲线能够解释实验数据的百分比。
三、实例分析为了更好地理解数据拟合与曲线分析技术，我们以某种物理实验的实例进行分析。
假设我们进行了一次关于弹簧的实验，通过测量质点的位移和受力的关系，我们得到了一组实验数据。
根据经验，我们可以猜想该实验符合胡克定律，即受力与位移成正比。
首先，我们可以利用最小二乘法进行线性拟合，得到拟合直线的斜率和截距。
通过斜率可以计算出胡克系数，从而得到弹簧的弹性常数。
曲线拟合的数值计算方法实验教材
曲线拟合的数值计算方法实验【摘要】实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。
曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。
曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。
对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。
常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。
关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束一、实验目的1.掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。
2.掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。
3.掌握实现曲线拟合的编程技巧。
二、实验原理1.曲线拟合曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。
用解析表达式逼近离散数据的一种方法。
在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x与y的一组数据对（X i，Y i)（i=1，2，...m），其中各X i 是彼此不同的。
人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x，c）来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。
f(x，c)常称作拟合模型，式中c=(c1，c2，…c n)是一些待定参数。
当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。
有许多衡量拟合优度的标准，最常用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在各点的残差(或离差)，c）-f （f y e k k k =的加权平方和达到最小，此时所求曲线称作在加权最小二乘意义下对数据的拟合曲线。
K30试验数据的曲线拟合分析方法
K30试验数据的曲线拟合分析方法摘要：本文提出了一种用于K30试验数据的曲线拟合分析方法，该方法可以有效地将原始数据进行有效曲线拟合，以达到高精度、低误差的目的。
首先，本文对K30实验数据进行了说明，然后建立了一个非线性回归模型用于拟合K30实验数据，并使用坐标下降法来优化模型中的参数，最后，我们通过实验结果验证所提出的方法的有效性和正确性。
关键词：K30试验，曲线拟合，非线性回归，坐标下降法正文：K30试验数据是一种重要的实验数据，其中包含了大量的K30实验数据。
K30实验数据的曲线拟合分析可以有助于我们更好地理解K30实验数据内部的规律，从而帮助我们更好地分析K30实验数据。
本文提出了一种用于K30试验数据的曲线拟合分析方法，该方法可以有效地将原始数据进行有效曲线拟合，以达到高精度、低误差的目的。
首先，本文对K30实验数据进行了说明，然后建立了一个非线性回归模型用于拟合K30实验数据，并使用坐标下降法来优化模型中的参数，最后，我们通过实验结果验证所提出的方法的有效性和正确性。
结果表明，所提出的曲线拟合分析方法能够获得较高的预测准确度，且十分稳定，可以满足实际应用场景的要求。
在本文中，我们还深入探讨了如何改进我们提出的曲线拟合分析方法，使其能够更好地满足实际应用场景的要求。
首先，我们探讨了在拟合K30实验数据时改变模型结构以提高预测准确度的方法，并研究了不同模型结构所带来的差异。
其次，我们针对坐标下降法优化参数进行了改进，采用了负载均衡算法以提高优化效率。
最后，我们还探讨了如何通过多种约束条件来提高拟合精度的方法。
经过实验验证，所提出的曲线拟合分析方法能够有效地提高拟合精度，并取得了较好的结果。
因此，通过本文的研究，我们发现了一种新的曲线拟合分析方法，它为K30实验数据曲线拟合分析提供了一种有效、有效的方法，为实际应用场景提供了有力的支持。
本文的工作对图像处理和信号处理有一定的启发意义，可以为分析较大数据集提供更好的性能。
数值分析论文--曲线拟合的最小二乘法
曲线拟合的最小二乘法姓名：学号：专业：材料工程学院：材料科学与工程学院科目：数值分析曲线拟合的最小二乘法一、目的和意义在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。
根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。
这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量x 与y 之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是x 与y 之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。
后一种情况常假设x 与y 之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。
在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作 x，而把所有的误差只认为是y的误差。
设 x 和 y 的函数关系由理论公式y＝f（x；c1，c2，……cm）（0-0-1）给出，其中 c1，c2，……cm 是 m 个要通过实验确定的参数。
对于每组观测数据（xi，yi）i＝1，2，……，N。
都对应于xy 平面上一个点。
若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。
只要选取 m 组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组yi ＝ f （x ；c1 ，c2 ，……cm）（0-0-2）式中 i＝1，2，……，m.求 m 个方程的联立解即得 m 个参数的数值。
显然N<m 时，参数不能确定。
y 2 y 在 N>m 的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得 m 个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。
设测量中不存在着系统误差，或者说已经修正，则 y 的观测值 yi 围绕着期望值 <f （x ；c1，c2，……cm）> 摆 动，其分布为正态分布，则 yi 的概率密度为p y i1 exp,式中i是分布的标准误差。
为简便起见，下面用 C 代表（c1，c2，……cm ）。
曲线拟合方法浅析
曲线拟合方法概述工业设计 张静 1014201056引言：在现代图形造型技术中，曲线拟合是一个重要的部分，是曲面拟合的基础。
现着重对最小二乘法、移动最小二乘法、NURBS 三次曲线拟合法和基于RBF 曲线拟合法进行比较，论述这几种方法的原理及其算法，基于实例分析了上述几种拟合方法的特性，以分析拟合方法的适用场合，从而为图形造型中曲线拟合的方法选用作出更好的选择。
1 曲线拟合的概念在许多对实验数据处理的问题中，经常需要寻找自变量和对应因变量之间的函数关系，有的变量关系可以根据问题的物理背景，通过理论推导的方法加以求解，得到相应关系式。
但绝大多数的函数关系却很复杂，不容易通过理论推导得到相关的表达式，在这种情况下，就需要采用曲线拟合的方法来求解变量之间的函数关系式。
曲线拟合(Curve Fitting)，是用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之问的函数关系的一种数据处理方法。
在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x 与y 的一组数据对(x i ,y i )，i =1，2，3…，m ，其中各x i 是彼此不同的。
人们希望用一类与数据的规律相吻合的解析表达式y =f(x)来反映量x 与y 之间的依赖关系。
即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。
f(x)称作拟合函数，似的图像称作拟合曲线。
2 曲线拟合的方法2.1最小二乘法最小二乘法通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配，是进行曲线拟合的一种早期使用的方法 一般最小二乘法的拟合函数是一元二次，可一元多次，也可多元多次。
该方法是通过求出数据点到拟合函数的距离和最小的拟合函数进行拟合的方法令f(x)=ax 2+bx+c ，计算数据点到该函数所表示的曲线的距离和最小 即：δ=∑-=n i y x f i i 02))((对上式求导，使其等于0，则可以求出f(x)的系数a,b,c ，从而求解出拟合函数。
2.2 移动最小二乘法移动最小二乘法在最小二乘法的基础上进行了较大的改进，通过引入紧支概念（即影响区域，数据点一定范围内的节点对该点的拟合函数值有影响），选取适合的权函数，算出拟合函数来替代最小二乘法中的拟合函数 从而有更高的拟合精度及更好的拟合光滑度。
实验报告-用曲线拟合实现材料科学研究中的数学建模20190920 - 副本
实验课程名称：计算机在材料科学与工程中的应用图1.21 图1.22 图1.23图3得到多元线性回归方程为：lg = 2913.68 − 3645.17 + 1615.472−238.823x−2.49 × 106/2.34.多元线性回归报告：图4.1练习及思考题（1）一元线性回归分析。
轴承钢真空处理前与成品钢液中的锰含量见表7-3.请分析研究，真空处理后轴承钢中锰含量（y）与真空处理前钢液中锰含量（x）的相关关系。
表7-3 轴承钢真空处理前与成品钢液中的锰含量（质量分数，%）炉号处理前成品炉号处理前成品炉号处理前成品1 0.38 0.36 12 0.38 0.35 23 0.32 0.312 0.36 0.33 13 0.32 0.31 24 0.37 0.353 0.30 0.30 14 0.33 0.32 25 0.35 0.324 0.35 0.33 15 0.37 0.35 26 0.36 0.355 0.33 0.33 16 0.37 0.35 27 0.34 0.336 0.35 0.32 17 0.33 0.31 28 0.33 0.347 0.35 0.34 18 0.35 0.32 29 0.35 0.35图2.1根据实验数据，绘制散点图，判断是否具有线性关系趋势图2.21图2.22图2.31图2.32 得到线性拟合方程 = 0.70129 + 0.08855。
一元线性回归报告：图2.33（4）水泥凝固放热与成分的关系研究。
根据长期实验结果，提出了某种水泥凝固时放出的热量(J/g)与水泥中四种化学成分质量分数的线性模型，其实验数据见表7-6.求其多元线性模型。
表7-6 水泥凝固放热量与四种化学成分的质量分数实验号质量分数凝固放热量/(J/g)2CaO·SiO23CaO·Al2O3CaO·SiO24CaO·Al2O3·Fe2O31 7 26 6 60 328.132 1 29 15 52 310.5743 11 56 8 20 435.9744 11 31 8 47 366.1685 7 526 33 400.8626 11 55 9 22 456.456图3.21图3.22图3.23 全屏截图图4.12.对（A,B,C,D,E）,(A,F,G,H,I),(A,J,L,M,N)进行图线绘制，对图线进行加粗。
实验数据曲线拟合方法研究答辩稿
最小二乘法原理
曲线拟合又称函数逼近，是指对一个复杂 函数f(x)，求出一个简单的便于计算的函 数p(x)，要求使f(x)与p(x)的误差在某种 度量意义下最小。我们把近似值 s( xi ) 和 测定值 yi 的插值称为残余误差 i ，即 i s( xi , yi ) 显然，残差的大小是衡量拟 合好坏的重要标志。采用残差的平方和最 小： i2 min ,而只要残差误差最小。
实验数据曲线拟合方法研究
指导老师： 指导学员： 学 班 号结构
1.曲线拟合概述
2.曲线拟合及最小二乘法
3.基于MATLAB实现最小二乘法 4.多项式摆动
曲线拟合概述
在科学实验或社会活动中，人们常常需要 观测数据的规律,，通过实验或者观测得到量x与 y的一组数据对( xi , yi ) (i=1,2, …，N),其中是彼 此不同的。人们希望用一类与数据本质规律相适 应的解析表达式 来反映量x与y之间的依赖关系， 即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。
论文主要内容
本文介绍了几种常用的数据拟合方法，并 着重对曲线拟合方法进行了研究，介绍了线性 与非线性模型的曲线拟合方法，最小二乘法、 牛顿迭代法等。介绍了软件MATLAB，应用 MATLAB处理克服了最小二乘法计算量大等缺 点。并使用MATLAB实现最小二乘法法，非线 性曲线，多项式曲线的仿真。 为了提高曲线拟合精度，本文还研究了多 项式的摆动问题，从实践的角度分析了产生这 些摆动及偏差的因素和特点，总结了在实践中 减少这些偏差的处理方法。
选择拟合模型
• 1.根据散点图来确定类型。 • 2.根据专业知识和经验，判断研究的数据曲 线属于什么类型。
常见的非线性模型
1.多项式函数 2.双曲线模型 3.双对数函数模型 4.半对数函数模型 5.逻辑斯蒂曲（Logistic）线 6.指数曲线 7.幂函数曲线 8.龙伯兹曲线
elisa标准曲线拟合的方法
elisa标准曲线拟合的方法
Elisa（酶联免疫吸附试验）是一种常用的实验方法，用于检测
和定量分析样品中特定蛋白质的含量。
在Elisa实验中，通常需要
构建标准曲线来定量分析样品中蛋白质的含量。
以下是一些常见的Elisa标准曲线拟合方法：
1. 线性拟合方法，最常见的标准曲线拟合方法是线性拟合。
在
这种方法中，通过将标准品的浓度与其对应的吸光度值进行线性回
归分析，得到一条直线方程，然后使用这个方程来计算样品的蛋白
质含量。
2. 对数拟合方法，有时候，标准曲线的吸光度值随着浓度的增
加并不是线性变化的，而是呈现出对数关系。
这种情况下，可以使
用对数拟合方法来构建标准曲线。
对数拟合可以更好地拟合非线性
关系，提高Elisa实验的准确性。
3. 4参数拟合方法，在一些情况下，标准曲线的形状可能不是
简单的线性或对数关系，而是更复杂的曲线形状。
这时可以使用4
参数拟合方法，该方法通过拟合最小二乘法来确定最佳的拟合参数，以更准确地描述标准曲线的形状。
4. 5参数拟合方法，与4参数拟合方法类似，5参数拟合方法
是一种更复杂的曲线拟合方法，可以更精确地描述标准曲线的形状，尤其是对于S形曲线的拟合效果更好。
在选择标准曲线拟合方法时，需要根据实验数据的特点和标准
曲线的形状来进行选择。
同时，为了确保实验结果的准确性，通常
需要进行多次实验验证，并选择最适合实验数据的拟合方法。
希望
这些信息能够帮助你更好地理解Elisa标准曲线拟合的方法。
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本科毕业设计论文题目实验数据曲线拟合方法研究专业名称学生姓名指导教师毕业时间毕业一、题目实验数据曲线拟合方法研究二、指导思想和目的要求通过毕业设计，使学生对所学自动控制原理、现代控制原理、控制系统仿真、电子技术等的基本理论和基本知识加深理解和应用；培养学生设计计算、数据处理、文件编辑、文字表达、文献查阅、计算机应用、工具书使用等基本事件能力以及外文资料的阅读和翻译技能；掌握常用的实验数据曲线拟合方法，培养创新意识，增强动手能力，为今后的工作打下一定的理论和实践基础。
要求认真复习有关基础理论和技术知识，认真对待每一个设计环节，全身心投入，认真查阅资料，仔细分析被控对象的工作原理、特性和控制要求，按计划完成毕业设计各阶段的任务，重视理论联系实际，写好毕业论文。
三、主要技术指标设计系统满足以下要求：数据拟合误差要尽量的小的同时保证曲线的线形形状最佳。
四、进度和要求1、搜集中、英文资料，完成相关英文文献的翻译工作，明确本课题的国内外研究现状及研究意义；（第1、2周）2、撰写开题报告；（第3、4周）3、应用最小二乘法进行曲线拟合；（第5、6周）4、应用Matlab命令曲线拟合；（第7、8周）5、应用Matlab图形用户界面曲线拟合；（第9、10周）6、研究其他曲线拟合方法；（第11周）7、整理资料撰写毕业论文；（1）初稿；（第12、13周）（2）二稿；（第14周）8、准备答辩和答辩。
（第15周）五、主要参考书及参考资料[1]卢京潮，《自动控制原理》，西北工业大学出版社，2010.6[2]胡寿松，《自动控制原理》，科学出版社，2008，6[3]薛定宇，陈阳泉，《系统仿真技术与应用》，清华大学出版社，2004.4[4]王正林，《Matlab/Simulink与控制系统仿真》，电子工业出版社，2009.7[5]李桂成，《计算方法》，电子工业出版社，2013.8[6]蒋建飞，胡良剑，唐俭.数值分析及其Matlab实验【M】.北京：科学出版社，2008学生指导教师系主任摘要在我们实际的实验和勘探中，都会产生大量的数据。
为了解释这些数据或者根据这些数据作出预测、判断，给决策者提供重要的依据。
需要对测量数据进行拟合，寻找一个反映数据变化规律的函数。
本文介绍了几种常用的数据拟合方法，线性拟合、二次函数拟合、数据的n 次多项式拟合等。
并着重对曲线拟合进行了研究，介绍了线性与非线性模型的曲线拟合方法，最小二乘法、牛顿迭代法等。
在传统的曲线拟合基础上，为了提高曲线拟合精度，本文还研究了多项式的摆动问题，从实践的角度分析了产生这些摆动及偏差的因素和特点，总结了在实践中减小这些偏差的处理方法。
采用最小二乘法使变量转换后所得新变量离均差平方和最小，并不一定能使原响应变量的离均差平方和最小，所以其模型的拟合精度仍有提高的空间。
随着计算机技术的发展，实验数据处理越来越方便。
但也提出了新的课题，就是在选择数据处理方法时应该比以往更为慎重。
因为稍有不慎，就会非常方便地根据正确的实验数据得出不确切的乃至错误的结论。
所以提高拟合的准确度是非常有必要的。
关键词：数据拟合、最小二乘法、曲线拟合、多项式摆动ABSTRACTIn our experiments and exploration, it will produce large amounts of data. In order to explain these data to make predictions based on these data to determine, provide an important basis for policy makers .Need to fit the measured data to find a function to reflect data changes in the law.This article describes several commonly used data fitting methods, and focused on a nonlinear curve fitting of the model.This paper introduces some commonly used data fitting method, linear fitting, secondary function fitting, data n times polynomial fitting etc. T And focuses on the curve fitting, introduced the linear and nonlinear model of curve fitting method, the least square method, Newton iterative method, etc. In the traditional curve fitting basis, in order to improve the curve fitting precision, this paper also studies the polynomial swing, from the perspective of the practice the oscillation and deviation of factors and characteristics, and summarizes the decrease in practice the treatment method of these deviations. The least square method to variable after converting from new variables are the sum of squared residuals minimum, not necessarily make the original response from all the variables of the sum of squared residuals minimum, so the model fitting precision still has room to improve. With the development of computer technology, the experiment data processing more and more convenient. But also put forward the new subject, which is in the data processing method of choice should be more careful than ever before. Because carelessly a bit, it can be very easily according to the correct experimental data that not the exact and even the wrong conclusion. Therefore, to raise the fitting accuracy is very necessary.KEY WORDS：Data Fitting , Least square method , Curve fitting , Polynomial swing目录摘要 (I)ABSTRACT (II)第1章绪论 (5)1.1引言 (5)1.2研究背景 (5)1.3研究意义 (7)1.4本论文主要内容 (7)第2章曲线拟合及最小二乘法 (9)2.1线性模型的曲线拟合 (9)2.2最小二乘法基本原理 (9)2.3用正交多项式作最小二乘拟合 (11)2.4非线性模型的曲线拟合 (13)2.4.1常见非线性模型 (13)2.4.2牛顿迭代 (15)第3章基于MALTAB实现最小二乘法 (18)3.1 Matlab简介 (18)3.1.1 Matlab的概况 (18)3.1.2 Matlab的语言特点 (18)3.1.3 Matlab工作界面 (19)3.1.4优势特点 (20)3.2 用MALTAB实现曲线拟合 (20)3.2.1最小二乘法 (20)3.2.2非线性曲线拟合 (23)3.2.3多项式曲线 (24)第4章多项式的摆动 (26)4.1多项式摆动介绍 (26)4.2影响多项式拟合偏差的因素 (28)4.2.1实验数据的不均匀性 (28)4.2.2数据的密度 (29)4.2.3拟合曲线的适用区间 (29)4.3使用多项式拟合的注意事项 (29)4.3.1尽量避免高阶多项式的拟合 (29)4.3.2保持密度 (30)4.3.3其它的非线性拟合方法 (30)第5章全文总结 (31)参考文献 (32)致谢 (33)毕业设计小结 (34)第1章绪论1.1引言在我们实际的实验和勘探中，都会产生大量的数据。
为了解释这些数据或者根据这些数据作出预测、判断，给决策者提供重要的依据。
需要对测量数据进行拟合，寻找一个反映数据变化规律的函数。
在解决实际工程问题和科学实验的过程中，经常需要通过研究某些变量之间的函数关系，帮我们去认识事物内在的规律和本质属性，这些变量间的未知的关系一般隐含在从观测、试验而得到的一组离散的数据之中。
所以，是否能够根据一组试验观测数据来找到变量之间的相对准确的函数关系成为了解决工程实际问题的关键。
归纳总结数据拟合理论在工程中实际应用，发掘各个数据拟合算法的在实际应用中的应用范围适用性。
通过对本项目的研究和分析，使得实际中的工程问题根据不同的需求使用最合适的拟合算法，从而提高拟合的精确度。
研究和发展数据拟合理论，发掘各种数据拟合的优化方案。
根据离散的数据，我们想要得到连续的函数或更加密集的离散方程与已知数据相吻合。
如何选择数学模型，如何减小误差，如何使得逼近函数图像最靠近那些数据点，使得优化拟合算法变得十分重要。
1.2研究背景在实验中，实验和戡测常常会产生大量的数据。
为了解释这些数据或者根据这些数据作出预测、判断，给决策者提供重要的依据。
需要对测量数据进行拟合，寻找一个反映数据变化规律的函数。
数据拟合方法与数据插值方法不同，它所处理的数据量大而且不能保证每一个数据没有误差，所以要求一个函数严格通过每一个数据点是不合理的。
数据拟合方法求拟合函数，插值方法求插值函数。
这两类函数最大的不同之处是，对拟合函数不要求它通过所给的数据点，而插值函数则必须通过每一个数据点。
例如，在某化学反应中，测得生成物的质量浓度y (10–3 g/cm3)与时间t（min）的关系如表(1-1)所示表1-1 某化学反应数据显然，连续函数关系通过表中的数据不可能确切地得到这种关系。