函数及其应用单元检测卷

第二单元 函数及其应用单元能力检测

时间：120分钟 分值：150分

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设a ∈⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

－1，1，12，3，则使函数y ＝x a 的定义域是R ，且为奇函数的所有a 的值是( )

A ．1,3

B ．－1,1

C ．－1,3

D ．－1,1,3

2．下列四类函数中，具有性质“对任意的x ＞0，y ＞0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )

A ．幂函数

B ．对数函数

C ．指数函数

D ．余弦函数

3．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，则汽车离开A 地的距离x (千米)与时间t (小时)之间的函数表达式是( )

A ．x ＝60t

B ．x ＝60t ＋50t

C ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧

60t (0≤t ≤2.5)，

150－50t (t >3.5) D ．x ＝⎩⎪

⎨⎪⎧

60t (0≤t ≤2.5)，

150(2.5

4．具有性质：f ⎝⎛⎭⎫

1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：

①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1

x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧

x (0

0(x ＝1)，－1

x (x >1).

其中满足“倒负”变换的函数是( )

A ．①②

B ．①③

C ．②③

D ．只有①

5．函数y ＝f (x )与y ＝g (x )有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x ，

有f (x )＋f (－x )＝0，g (x )·g (－x )＝1，且x ≠0，g (x )≠1，则F (x )＝2f (x )

g (x )－1

＋f (x )( )

A ．是奇函数但不是偶函数

B ．是偶函数但不是奇函数

C ．既是奇函数又是偶函数

D ．既不是奇函数也不是偶函数 6．已知函数f (x )＝|2x －1|，a ＜b ＜c ，且f (a )＞f (c )＞f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )

A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0

B ．a ＜0，b ≥0，c ＞0

C ．2－

a ＜2c D ．2a ＋2c ＜2

7．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )

A.[]2－2，2＋2

B.()2－2，2＋2 C ．[1,3] D ．(1,3) 8．函数y ＝2x －x 2

9．已知f (x )是奇函数，且f (2－x )＝f (x )，当x ∈[2,3]时，f (x )＝log 2(x －1)，则f ⎝⎛⎭⎫

13＝( )

A ．log 27－log 23

B ．log 23－log 27

C ．log 23－2

D ．2－log 23

10．已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－(x －1)2＋1，则满足f [f (a )]＝1

2

的实数a 的个数

为( )

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡相应位置)

11．设f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

lg x ，x >0，

10x ，x ≤0，则f (f (－2))＝________.

12．若函数y ＝f (x )(x ∈R)满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，则函数y ＝f (x )

的图象与y ＝log 4x 的图象的交点个数为________．

13．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．

14．若函数f (x )＝x －4

mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．

15．设函数f (x )＝2|x ＋1|－|x －

1|，则使f (x )≥22的x 的取值范围是________．

16．已知函数f (x －1)为奇函数，函数f (x ＋3)为偶函数，f (0)＝1，则f (8)＝________.

17．给出定义：若m －12

2

(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，

记作{x }＝m ，在此基础上给出下列关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个命题：

①函数y ＝f (x )的定义域为R ，值域为⎣⎡⎦

⎤0，12； ②函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦

⎤－12，1

2上是增函数； ③函数y ＝f (x )是周期函数，最小正周期为1；

④函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝k

2

(k ∈Z)对称．

其中正确命题的序号是________．

三、解答题(本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(12分)已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，满足f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )＋2，当x >0时，f (x )>2. (1)求证：f (x )在R 上是增函数；

(2)当f (3)＝5时，解不等式：f (a 2－2a －2)<3.

19.(12分)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在区间[－2,2]上的最大值、最小值分别是M 、m ，集合A ＝{x |f (x )＝x }．

(1)若A ＝{1,2}，且f (0)＝2，求M 和m 的值；

(2)若A ＝{1}，且a ≥1，记g (a )＝M ＋m ，求g (a )的最小值． 20．(13分)某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．

为了便于结算，设每辆自行车的日租金为x (元)(x 只取整数)，要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用)．

(1)求函数y ＝f (x )的解析式及其定义域；

(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？