第15讲数学竞赛考试试题选讲

第十五讲数学竞赛试题选讲例1 计算：（1+3+5+…+1989）-（2+4+6+…+1988）（1988年北京市小学数学奥林匹克邀请赛试题）解法1：原式=[（1989+1）÷2]2-（1988÷2）×（1988÷2+1）=9952-994×995=995×（995-994）=995．解法2：去括号，得原式=1+3+5+…+1989-2-4-6-…-1988=1+（3-2）+（5-4）+…+（1989-1988）=995．说明：解法1是应用两个常见的公式：前n个奇数的和1+3+5+…+（2n-1）=n2．前n个偶数的和2+4+6+…+2n=n×（n+1）．解法2是采用适当分组的方法转化为相同加数的加法问题，即将低级运算（加法）转化为高级运算（乘法）．例2计算：1+2+3+4…+99+100+99+…+4+3+2+1解：运用加法的交换律与结合律，得原式=（1+99）+（99+1）+（2+98）+（98+2）+…+（50+50）+100=100×100=10000．说明：由本例可以推广为一般公式：1+2+3+…+（n+1）+n+（n-1）+…+3+2+1=n2．例3计算：1×2+2×3+3×4+…+100×101分析根据题目数据的特点，把各加数作如下恒等变形：1×2=（1×2×3）÷3；2×3=（2×3×4-1×2×3）÷3；3×4=（3×4×5-2×3×4）÷3；…100×101=（100×101×102-99×100×101）÷3；然后运用拆项对消的方法即可计算出和式的结果．解：原式=[1×2×3+（2×3×4-1×2×3）+（3×4×5-2×3×4）+…+（100×101×102-99×100×101）]÷3=[1×2×3+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+100×101×102-99×100×101]÷3=100×101×102÷3=343400．说明：本题可以推广为一般公式：1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=n×（n+1）×（n+2）÷3．例4计算：解：因为111111111=9×12345679，于是有（由乘法结合律）例5在下面各数之间，填上适当的运算符号和括号，使等式成立：10 6 9 3 2=48（1994年北京市小学生“迎春杯”决赛试题）解：填法不唯一．下面给出几种常见的填法：10×6-（9-3）×2=48；（10+6）×（9-3×2）=48；10+6×（9-3）+2=48；10×（6+9）÷3-2=48；（10+6）×（9-3）÷2=48．说明：在欧美流行一种数学游戏：试用4个给定的自然数经过四则运算的结果等于24．本例与这种游戏是类似的，它们对于发展学生的数学思维是十分有益的．例6右图中六个小圆圈中的三个分别填有15、26、31三个数．而这三个数分别等于和它相邻的两个空白圆圈里的数的和，那么，填在三个空白圆圈里的数中，最小的一个数是______．解：设15与26之间的圆圈里的数是a，26与31之间的圆圈里的数是b，15与31之间的圆圈里的数是c，依题意，有a+b=26，b+c=31，a+c=15；于是可知2（a+b+c）=26+31+25，即 a+b+c=36；因此，最小数是： a=36-31=5．b、c、d、e、f、g、h是0、1、2、…、9中的8个不同整数且a≠分析本题可转化为如下数字迷：解：先确定g=0，c=9．假设竖式加法中，十位数字g≠0或者个位数字h+4≥10，则百位上的数字b=f，不合题意．因此，可以推断g=0且h+4＜10．于是c=9．≠a，则取a=8，而f≠0=g且f=b+1，故有f+9＞10，于是e=6；其次应该使百位数字b尽可能大，由b与f是相邻自然数，则取b=4、f=5；最后令个位数字d尽可能大，则取d=7，故有h=3．这样就得到A的最大值为：8497+6503=15000．类似地，要使A尽可能小，依次取a=3、e=1，b=4、f=5，d=6、h=2．这样就得到A的最小值为：3496+1502=4998．例8如右图，AB、CD、EF、MN互相平行，则右图中梯形的个数与三角形的个数相差多少？解：首先计算右图中三角形的个数．由于所有三角形都以O点为顶点；且以AB或CD或EF或MN上的线段为底的三角形各有：4+3+2+1=10（个）．因此，图中一共有三角形：10×4=40（个）．其次计算上图中梯形的个数．由于从AB、CD、EF、MN中任意选出两条为上、下底时各有梯形：4+3+2+1=10（个）．而从4条线段中选出两条线段的不同选法有（4×3）÷2=6（种），所以，上页图中一共有梯形10×6=60（个）．于是上页图中梯形个数与三角形个数相差60-40=20（个）．例9如下图（1），由18个边长相等的正方形组成的长方形ABCD中，包含“*”在内的长方形及正方形一共有多少个？分析本题是有条件限制的几何图形的计数问题，为了不重不漏，必须适当分类计算．解：按照竖直方向上线段的长度分三类进行计数：①高是1个单位长度（如上图（2））时，实质上是计算在底边AB上包含线段EF的线段数．为了方便起见，又分四种情况讨论：1°包含AFF′A′的长方形有AFF′A′、AGG′A′、ABB′A′，共3个；2°包含MFF′M′的长方形（不在1°中的）有MFF′M′、MGG′M′、MBB′M′，共3个；3°包含NFF′N′的长方形（不在1°、2°中的）有NFF′N′、NGG′N′、NBB′N′，共3个；4°包含EFF′E′的长方形及正方形（不在1°、2°、3°中的）有EFF′E′、EGG′E′、EBB′E′，共3个．总计包含“*”的长方形及正方形有：3×4=12（个）．②高是2个单位长度（如下图（1））时，类似情况（1），总计包含“*”的长方形及正方形有：3×4=12（个）．③高是3个单位长度（如上图（2））时，总计包含“*”的长方形及正方形也有：3×4=12（个）．综上所述，长方形ABCD中包含“*”的长方形及正方形一共有：12×3=36（个）．例10如右图，在5×8的长方形中，挖去一个1×4的长条（阴影部分）．请把它划分成两部分，使它们能拼成一个正方形．解：从长方形ABCD中挖去阴影部分后剩下的面积是5×8-4=36．由此可知，拼成的正方形的边长是6．根据这一要求，并且考虑分成的两部分如何拼合，就会得出如下用虚线表示的划分（如下图（1）所示）：用上述划分后拼成的正方形如上图（2）．例11用6个1×2的长方形拼成一个2×6的长方形（如右图），一共有多少种不同的拼法．分析研究用1×2的长方形拼成2×n的长方形的方法，从简单情况入手，逐次讨论：①当n=1时，显然只有1种拼法；②当n=2时，2×2的长方形有下图（a）及图（b）两种不同的拼法；③当n=3时，2×3的长方形的拼合问题分两类（如下图（c）及图（d））：图（c）即转化为2×1的长方形拼合问题，由①可知，仅有一种拼法；上图（d）即转化为2×2的长方形拼合问题，由②可知仅有2种拼法．于是2×3的长方形的拼法一共有：1+2=3（种）；④当n=4时，2×4的长方形的拼合问题亦分为两类（如图（e）及图（f））：图（e）即转化为2×2长方形拼合问题，图（f）即转化为2×3长方形拼合问题，由②和③可知，2×4长方形的拼合方法一共有：2+3=5（种）；⑤当n=5时，类似③、④的情况两类拼法，2×5的长方形的拼法一共有：3+5=8（种）；⑥当n=6时，2×6的长方形的拼法一共有：5+8=13（种）．说明：上述解决问题的方法常称为归纳递推的方法，今后还要专门介绍．例12某车间原有工人不少于63人．在1月底以前的某一天调进了若干工人，以后，每天都再调1人进车间工作．现知该车间1月份每人每天生产一件产品，共生产1994件．试问：1月几号开始调进工人？共调进了多少工人？解：因为原有工人不少于63人，并且1994=63×31+41，1994=64×31+10，1994＜65×31，所以，这个车间原有工人不多于64人，即这个车间原有工人63人或64人．这个车间原有工人1月份完成产品是63×31=1953或64×31=1984（件）．于是可知，余下的41件或10件产品应该表示为连续自然数之和．据已知，不能是1月31日调进工人，设第一天调进x名工人，共调入n天，那么显然2≤n≤8．事实上，九个连续自然数之和最小为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45＞41．经检验，当n=2时x=20，并且有：20+21=41；当n=4时x=1，并且有：1+2+3+4=10．答：从1月30日开始调进工人，共调进工人21名；或者从1月28日开始调进工人，共调进工人4人．说明：本题是用于考查学生掌握连续自然数求和及解决实际问题的能力．习题十五1．计算：1-2+3-4+5-6+…-98+992．计算：88888×88888÷（1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1）3．计算：11×12+12×13+13×14+…+50×515．试在15个8之间适当的位置填上适当的运算符号+、-、×、÷，使运算结果等于1986：888888888888888=1986．6．在右图中所示的三角形三边之长互不相等，现在要将1，2，3，4，5，6这六个数分别填入三个顶点及每条边的中点的圆圈内，如果要使每条边上的三个数字之和都等于10，那么符合上述条件的不同填法一共有多少种？8．下图（1）中每个小方格都是正方形，那么下图（1）中大大小小的正方形一共有多少个？9．将上页图（2）分割成四个形状和大小相同的图形，然后将分得的四个图形拼合成一个正方形．第15讲数学竞赛考试试题选讲10．某工厂11月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作，直到月底，总厂还剩工人240人．如果月底统计总厂工人的工作量是8070个工作日（1人工作1天为1个工作日），且无1人缺勤．那么，这月由总厂派到分厂工作的工人共___人．习题十五解答1．50．2．123454321．3．43760．4．243．5．（答案不惟一）8888÷8+888-88÷8-8÷8-8÷8=1986．6．6种．7．1089．8．70．9．分法不惟一；右图即为一种分法10．60．11 / 11。