(完整版)幂函数图象及其性质
2.3.1幂函数的图像和性质
§2.3幂函数
问题引入
我们先看几个具体问题:
(1) 如果回收旧报纸每公斤１元，某班每年卖旧报 yx 纸ｘ公斤，所得价钱ｙ是关于ｘ的函数 (2) 如果正方形的边长为ｘ，面积ｙ,这里ｙ是关于 2 ｘ的函数; yx (3) 如果正方体的边长为ｘ, 正方体的体积为ｙ, 3 这里ｙ是关于ｘ函数; yx (4)如果一个正方形场地的面积为ｘ, 这个正方形的 1 边长为ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数; y x2 (5)如果某人ｘ秒内骑车行驶了１ｋｍ,他骑车的平 1 均速度是ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数. yx １：以上各题目的函数关系分别是什么？
2、思想与方法
作业:
79页1 82页10
成功始于方法 巩固才能提高
y=x
定义域 值域 R R
y = x2
R [0，+∞） 偶函数
y=
R
x3
y x
[0，+∞） [0，+∞）
1 2
R
yx 0 U （0，+） ， 0 U （0，+） ，
奇函数
1
奇偶性 奇函数
奇函数
非奇非偶 函数
在（－∞,0] 在( －∞,0)， 在R上 上是减函数 在R上 在(0，+∞) (0, +∞）上是 是增函 单调性 ，在(0, +∞ 是增函 上是增函数 减函数 数 ）上是增函 数 数 公共点
在{x x 0}上是奇函数 奇偶性：
单调性： 在(0,)上是减函数
在(,0)上是减函数
如何画y x 和y x 的图像呢?
3
1 2
x y=x3 y=x1/2
… … …
-2 -8 /
-1 -1 /
幂函数图像与性质
证明: 任取x1, x2 [0,),且x1 x2 ,则
f (x1) f (x2)
x1
x2
(
x1
x2 )(
x1
x2 )
x1 x2
x1 x2 x1 x2
因为0 x1 x2 ,所以x1 x2 0, x1 x2 0,
所以f ( x1 ) f ( x2 ) 即幂函数f ( x) x在[0,)上的增函数.
(4)
1
y x2
(5)
y x1 (6) y x2
函数 y x的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
函数 y x2 的图像
定义域： R
值 域：[0,)
奇偶性：在R上是偶函数
单调性：在[0,)上是增函数 在(,0]上是减函数
6 α <0,在(0,+∞)上为减函数.
-1
(-1,-1)
-2
3、α为奇数时,幂函数为奇函
数,
-3
α为偶数时,幂函数为偶函
数.
-4
练习：利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）0.20.3-2与 0.30.3-2
(3) 2.5 5 与2.7 5
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数,
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
4.2简单幂函数的图象和性质课件
[解] (1)∵0.3>0， ∴y＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数．又52>13， ∴250.3>130.3. (2)∵－1<0， ∴y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，又－32<－35， ∴－23－1>－35－1.
此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比 较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭 桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．
[解] ∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜ m＜3.
∵m∈N*，∴m＝1，2.又函数的图象关于y轴对称， ∴m2－2m－3是偶数， 又22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数， ∴m＝1.
∴
a＋1
－13
<
3－2a
－13
，即f(x)＝x
－13
在(－∞，0)上是减函数，在
[跟进训练]
1
4．已知幂函数 f(x)＝xm2＋m(m∈N＋). (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调 性；
(2)若函数还经过(2， 2)，试确定 m 的值，并求满足 f2－a>fa－1 的实数 a 的取值范围．
[解] (1)∵m∈N＋，∴m2＋m＝m(m＋1)为偶数． 令m2＋m＝2k，k∈N＋，则f(x)＝2k x， ∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上fx为增函数．
若关于x的方程f(x)＝k有两
（x－1）3，x＜2.
个不同的实根，则实数k的取值范围是________.
(0，1) [作出函数图象如图所示，则当0<k<1时，关于x的方程
f(x)＝k有两个不同的实根．
]
4．比较下列各组数的大小 (1)2－13，1313；(2)0.20.5，0.40.3 [解] (1)由于幂函数 y＝x－13在0，＋∞上是减函数， 所以 2－13>3－13，又 3－13＝1313，所以 2－13>1313. (2)由于指数函数 y＝0.2x 在0，＋∞上是减函数，所以 0.20.5<0.20.3 由于幂函数 y＝x0.3 在0，＋∞上是增函数，所以 0.20.3<0.40.3，所 以 0.20.5<0.40.3.
幂函数
因为0 x1 x 2 , 所以x1 x2 0, x1
x2 0,
所以f ( x1 ) f ( x 2 ) 即幂函数f ( x ) x 在[0,)上的增函数 .
例3 若 m 4
1 2
3 2m ,
1 2
1 2
则求m的取值范围.
解: 幂函数f ( x) x 的定义域是(0, ) 且在定义域上是减函数, 0 3 2m m 4 1 3 m ,即为m的取值范围. 3 2
α<0
幂函数的图象及性质
对于幂函数，我们只讨论
1 =1，2，3， 2
，
-1时的情形。
五个常用幂函数的图像和性质
3 2 y x y x (1) (2) y x (3)
(4) y x
1 2
(5) y x
1
函数 y x 的图像
定义域： 值 域：
R R
奇偶性：在R上是奇函数
单调性：在R上是增函数
函数 y x 的图像
2
定义域：
R
值 域：[0, ) 奇偶性： 在R上是偶函数 单调性： 在[0,)上是增函数
在(,0]上是减函数
函数 y x
1
的图像
定义域：{x x 0} 值 域：{ y
y 0}
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数
单调性： 在(0,)上是减函数
y=x 2
2
1
(-1,1)
-4 -2
(1,1)
2
y=x-1
4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
练习：利用单调性判断下列各值的大小。 （1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3-2 与 0.30.3 -2
3.3 幂函数 课件(共48张PPT)高一数学必修第一册(人教A版2019)
(3) 在区间(0, )上,函数y x, y x2 , y x3 , y x 2单调递增, 函数y x1单调递减;
(4) 在第一象限内, 函数y x1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴 无限接近.
学习新知 例 证明函数f ( x) x是增函数.
证明：函数的定义域是[0, ). x1, x2 [0, ), 且x1 x2 ,
[0,+∞)递增
(-∞,0)和(0,+∞) 递减
图象
公共点
(1,1) ( R) (0,0) ( 0时)
①为偶数, y x是偶函 数. ②为—奇—数, y x是奇函 数.
3.3 幂函数
02 幂函数的图象 与性质
应用新知 1 幂函数的概念
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
本节我们利用这些知识研究一类新的函数．
学习新知
先看几个实例： (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付
的钱数P=t元，这里P是t的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
或
m＝0.
当
m＝2
时，f(x)＝
x
1 2
，图象过点(4,2)；
当
m＝0
时，f(x)＝
x
3 2
，图象不过点(4,2)，舍去．
综上，f(x)＝
x
1 2
.
能力提升 题型三：利用幂函数的单调性比较大小
【练习
3】已知幂函数
f(x)＝m2
2m
1
m 3
x2
的图象过点(4,2)．
2.3 幂函数图像与性质
（指数函数）
y x1
（幂函数）
y 3x
（指数函数）
1
y x2
（幂函数）
y 5x
（指数函数）
y5 x
（幂函数）
幂函数的图象及性质
对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3，1 ， 2
-1时的情形。
五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
2、在第一象限内， k >0,在
4
6 k <0,在(0,+∞)上为减函数.
-1
(-1,-1)
-2
3、k为奇数时,幂函数为奇函数,
k为偶数时,幂函数为偶函数.
-3
-4
4、幂函数图像不过第四象限。
例3
若m
4
1 2
23 4
3 4… 27 64 …
3 2…
1
y=x 2
x
函数 y x3 的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
值 域：[0,)
奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
4
3
2
1
(1,1)
-6
意
2、定义域与k的值有关系.
例1、下列函数中，哪几个函
数是幂函数？ 答案:(1)(4)
（1）y = 1
x2
（3）y=2x
（2）y=2x2
（4）y=
1 x
(5) y=x2 +2
幂函数的图像和性质
幂函数的图像和性质幂函数的图像和性质是指关于某一变量x的多项式形式为y=ax^n（a≠0）的函数，其中a是实数，n∈Z，称为幂函数。
由于幂函数有着独特的形式，它的图像和性质也有许多独特之处。
一、图像1. 对于任意实常数a>0，n>0，y=ax^n的图像是一条以原点为极坐标的曲线；2. 对于任意实常数a>0,n<0,y=ax^n的图像是一条以x轴上的无穷远点为极坐标的曲线；3. 对于任意实常数a<0,n>0,y=ax^n的图像是一条以y轴上的无穷远点为极坐标的曲线；4. 对于任意实常数a<0,n<0,y=ax^n的图像是一条以原点为极坐标的曲线。
二、性质（1）当n>0时，y=ax^n的图像在x轴上的对称轴是x=0，且函数值y随x的增加而不断增大，直至无穷大；（2）当n<0时，y=ax^n的图像在x轴上的对称轴是x=0，且函数值y随x的增加而不断减小，直至无穷小；（3）当n=0时，y=ax^n即为常数函数y=a，其图像是一条水平线；（4）当n>0时，y=ax^n在x轴上的渐近线是y=0，其图像开口向上；（5）当n<0时，y=ax^n在x轴上的渐近线是y=0，其图像开口向下；（6）对于任意实数m，y=ax^n的图像关于y=m的对称轴是x=(m/a)^(1/n)；（7）当n>0时，在y轴上截取y=ax^n的图像时，可以得到一段区间[0, +∞]，在这段区间内，函数值y 随x的增加而增大；（8）当n<0时，在y轴上截取y=ax^n的图像时，可以得到一段区间(-∞, 0]，在这段区间内，函数值y 随x的增加而减小；三、总结幂函数的图像和性质是指函数形式为y=ax^n（a≠0）的函数的图像和性质，其中a是实数，n∈Z。
幂函数的性质有：对称轴、渐近线、函数值随x的变化而变化等，此外，图像表明幂函数的变化趋势，可以直观地看出函数值y 随x的变化趋势，从而有助于理解函数的特点。
(完整版)幂函数的图像与性质(2)
【知识结构】1 •有理数指数幕 （1）幕的有关概念m①正数的正分数指数幕：a nv'a m (a 0,m> n N ,且n 1)；（三）幕函数 1、幕函数的定义形如y=x " （a € R ）的函数称为幕函数，m 1 1 a n m / ----- (amn aa②正数的负分数指数幕 0,m 、n N ,且n 1) ③0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义 注:分数指数幕与根式可以互化，通常利用分数指数幕进行根式的运算 （2）有理数指数幕的性质①a f a s =a r+s (a>0,r 、s € Q ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s € Q)；③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r € Q);. 例2 （1）计算: 3 "3 4 o 5 [(38)3(56).2 1 1 (0.008) 3(0.02) ' (0.32円 0.06250.254 1 a 3 8a 3b 2 2 (2)化简：4b 3 23 ab a 3 (a 3 23 b) . a 3 a 2 a 引Ja Va 变式: （1）（2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数） 2)1 2 1 b 2 ( 3a?b 1) (4a? b 予.其中x是自变量，a为常数注：幕函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幕函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。
例1.下列函数中不是幕函数的是（）A. y VxB. y X3 C y 2x D. y X1例2.已知函数f x m2m 1 x 5m 3，当m为何值时，f x :（1）是幕函数；（2）是幕函数，且是0, 上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；变式已知幕函数y （m2 m 1）x m 2m 3，当x （0，g）时为减函数，则幕函数y _______ -2. 幕函数的图像幕函数y= x a的图象由于a的值不同而不同.a的正负：a> 0时，图象过原点和（1,1），在第一象限的图象上升；aV0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立;3、幕函数的性质例3.比较大小:1 1—— 3 3 1 1 2 3 0 5(1)1.52,1.7 2(2)( 1.2) ,( 1.25) (3) 5.25 ,5.26 ,5.26 (4)0.5 ,3 ' ,log3 0.54.幕函数的性质及其应用幕函数y= x a有下列性质：(1)单调性：当a>0时，函数在(0,+^上单调递增;当aV0时，函数在(0,+^上单调递减.⑵奇偶性：幕函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断.m 22m 3例4.已知幕函数y x( m Z )的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值.例5•已知幕函数y x m 2(m N)的图象与x, y轴都无交点，且关于y轴对称，求m的值，并画出它的图象.变式：已知幕函数f(X)=X亦2m 3( m^ Z)为偶函数，且在区间(0, + X)上是单调减函数.(1)求函数f(x); (2)讨论F (x) =a f (x) 二的奇偶性.xf (x)5.规律方法(1).幕函数y=x a(a0,1)的图象(2).幕函数y x a(a q, p,q N」为最简分式)的图象6.性质:(1)幕函数的图象都过点;任何幕函数都不过象限；(2)当a 0时，幕函数在［0,)上当a 0时，幕函数在(0,)上；(3) 当 a 2,2 时, 幕函数是当 a 1,1,3,-时，幕函数3是.例6右图为幕函数y x在第一象限的图像，则a, b,c, dy」的大小关系是( )」x a(A) a b c d(B) b a d c y x b (C)a b d c(D) a d c b^^X^y x cO x例7若点错误!未找到引用源。
幂函数的性质与图像
⑥ k 0时， 在(0,)上是减函数。（双曲线型）
结论
幂函数 y xk （ k 为常数， k Q ）图像在第一象限的特点:
y xk
定点 线型
k 1
(1,1) ， (0,0) 举手型
k 1
(1,1) ， (0,0) 直线
0k 1
(1,1) ， (0,0) 眉毛型
k 0 (1,1)
直线
k0 (1,1)
双曲线
单调性 (0,)递增
(0,) 递增
(0,) 递增
当 k 0时，都过 (1,1) ， (0,0) ， (0,) 递增
(0,) 递减
四、巩固练习
1、分别作出下列函数在第一象限内的图像：
1
① y x3
一、幂函数的概念
一般地，函数 y xk （ k 为常数， k Q ）叫做幂函数。
注意：幂函数的底数是自变量x，系数是1，指数k是有理数。
例：下列各式中表示幂函数的有
1
A、 y 3x 2
B、 y xx
CEFH
2
C、 y x 3
E、 y 7 x4
F、 y x0.5 G、 y x 2
。
D、 y 2x H、 y x0
思考
能确定幂函数 y xk（ k 为常数，k Q ）的定义域么？
幂函数的性质是由 k 的取值决定的。
二、幂函数性质研究
研究几个熟悉的幂函数
f x x ， g x x1 ， h x x2 它们有什么特点？
例题
5
1.研究函数 y x3 的性质，并作第一象限内的图像。
2
2.研究函数 y x3 的性质，并作第一象限内的图像。
幂函数图像(课堂PPT)
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
12
(-2,4 4 )
3
(2,4) y x 2 =
y=x
2
(-1 1 ,1 (1 ) ,1)
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
x -2 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3y=x3 -27 -8 -1 0 1 8 27
-4
13
( 4 y x 3 ( y x 2
- - 6 - 4 2 2 4 6
- 在第一象限1 内， ( 当α>0时，图象随x增大而- 上升。
- 当α<0时，2 图象随x增大而下降
-3
-4
19
不管指数是多少( , 4 y x 3 ( -
图象都经过哪个
y x 2
定点?
3 y 1 y x 2
2
(
( 1 ( y x - - y= x0
- - 6 - 4 2 2 4 6
3 y
2
( 1 ( -
- - 6 - 4 2 2 4 6
-1
( x 0 1 2 - 4
-2
1
- y x 2 0
1 22
3
-4
14
( 4 y x 3 ( y x 2
3
y
2
( ( 1 ( - 1
- - 6 - 4 2 2 4 6
-1
(-
-2
-3
-4
15
( 4 y x 3 ( y x 2
3 y 1 y x 2
m2
舍去m1
22
例5. 利用单调性判断下列各值的大小。
幂函数图象及其性质--完整版
幂函数的图像与性质一、根式与有理数指数幂1、根式（1（2①②2（1③0（2①②③二、幂函数1、幂函数的定形如()ay x a R =∈的函数称为幂函数，其中x 是自变量，a 为常数 已知函数()()2531m f x m m x--=--，当m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数； （2）是正比例函数； （3）是反比例函数； （4）是二次函数；练习：已知函数221()(2)m m f x m m x +-=+，m 为何值时，()f x 是（1）正比例函数 （2）反比例函数（3）二次函数 （4）幂函数三、幂函数的图像幂函数ay x =的图象由于a 的值不同而不同． 1、幂函数ay x =的图象（部分图像）2、单调性：（只研究第一象限的单调性）当0a >时，图象过原点和()1,1，在第一象限的图象上升，故函数在第一象限单调递增；当0a <时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，故函数在第一象限单调递减； 3、幂函数的奇偶性 （1）当a 是整数如果a 是偶数，则幂函数的为偶函数 如果a 是奇数，则幂函数的为奇函数 （2）当a 是分数(,,,a q qy x a p q N p p*==∈为最简分式）的图象备注：当a 是分数时，幂函数的奇偶性没有统一性，由具体情况才能判断。
4、幂的大小与函数图像的关系 总结：在直线1x =右侧，图像越靠近x 轴，幂越小；练习、右图为幂函数y x α=在第一象限的图像，则,,,a b c d 的大小关系是（ ）()A a b c d>>>()B b a d c >>> ()C a b d c >>>()D a d c b >>>题型分析：一、求定义域 1、函数23-=x y 的定义域为 .2、函数y ＝（x 2－2x ）21－的定义域3、求函数25y x =的定义域练习：1、若a 21＜a21－，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥1B ．a ＞0C ．1＞a ＞0D ．1≥a ≥0 2、若21)1(－＋a ＜21)23(－－a ，求则a 的取值范围二、单调性1、函数y ＝52x 的单调递减区间为（ ）A ．（－∞，1）B ．（－∞，0）C ．［0，＋∞］D ．（－∞，＋∞） 下列函数在(),0-∞上为减函数的是（ ）A ．13y x = B ．2y x = C ．3y x = D ．2y x -=三、判断下列函数的奇偶性 1、已知幂函数23-=xy ，那么函数为A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．减函数 2、已知幂函数25y x = ，那么函数为A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．减函数 3、已知幂函数f(x)=x 322--m m（m ∈Z ）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数. （1）求函数f(x); （2）讨论F （x ）=a ）（）（x xf bx f -的奇偶性xOy ay x=by x = cy x=幂依次减小四、比较大小1、比较下列各组中两个数的大小： （1）535.1，537.1； （2）0.71.5，0.61.5； （3）32)2.1(－－，32)25.1(－－．练习：（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26--- （4）30.530.5,3,log 0.52、已知点在幂函数()f x 的图象上，点124⎛⎫- ⎪⎝⎭，，在幂函数()g x 的图象上．问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =； （３）()()f x g x <．综合训练1．在函数22031,3,,y y x y x x y x x===-=中，幂函数的个数为 ( ) A ．0B ．1C ．2D ．32、幂函数的图象都经过点（ ）A ．（1，1）B ．（0，1）C ．（0，0）D ．（1，0）3、幂函数25-=x y 的定义域为（ ）A ．(0,+∞)B ．[0,+∞)C ．RD ．(-∞，0)U (0,+∞)4．若幂函数()af x x =在()0,+∞上是增函数，则（ ）A ．a >0B ．a <0C ．a =0D ．不能确定 6．若幂函数()1m f x x -=在(0，+∞)上是减函数，则( )A ．m >1B ．m <1C ．m =lD ．不能确定 9、若四个幂函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝dx 在同一坐标系中的图象如右图，则a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ）A 、d ＞c ＞b ＞aB 、a ＞b ＞c ＞dC 、d ＞c ＞a ＞bD 、a ＞b ＞d ＞c10、当x ∈（1，＋∞）时，函数）y ＝ax 的图象恒在直线y ＝x 的下方，则a 的取值范围是 A 、a ＜1 B 、0＜a ＜1 C 、a ＞0 D 、a ＜0bx cx11、下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系..6543212132323123---======x y x y x y x y x y x y ）；（）；（）（；）；（）；（）（（A ） （B ） （C ） （D ） （E ） （F ）指数函数、对数函数、幂函数综合小练习1、函数41lg)(--=x xx f 的定义域为（ ） A ．(1，4) B ．(－∞，1)∪(4，＋∞) C ．[1，4) D ．(－∞，1]∪(4，＋∞) 2、以下四个数中的最大者是（ ）(A) (ln2)2(B) ln(ln2)(C) ln 2(D) ln23、设f (x )= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩则不等式f (x )>2的解集为（ ）(A)（1，2）⋃（3，+∞） (B)（10，+∞） (C)（1，2）⋃ （10 ，+∞）(D)（1，2） 4、设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ）A ．R Q P <<B ．P R Q <<C ．Q R P <<D ．R P Q <<5、已知c a b 212121log log log <<，则( )A ．c a b 222>>B ．cb a 222>> C ．abc222>> D ．bac222>> 6、函数12log (32)y x =-（ ） A.[1,)+∞ B. 23(,)+∞ C.23[,1] D. 23(,1]7、已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点 A ，且点A 的横坐标为2，则k （ ）A ．41-B ．41C ．21-D ．218、若函数()1(01)xf x a b a a =+->≠且的图像经过二、三、四象限，则一定有（ ）A ．010><<b a 且B ．01>>b a 且C ．010<<<b a 且D ．01<>b a 且 9、已知x x f 26log )(=，那么)8(f 等于（ ） （A ）34 （B ）8 （C ）18 （D ）21 10、函数y ＝lg|x| （ ）A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 11、函数3)4lg(--=x x y 的定义域是12、设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________13、若函数f(x) = 1222--+aax x 的定义域为R ，则a 的取值范围为___________.14、若函数)2(log )(22a a x x x f ++=是奇函数，则a = ．。
第四单元_第三节_幂函数的图像及其性质
像 及
正向逐渐上升；当 0时，幂函数 y x 的图
性
像沿 x 轴的正向逐渐下降。
质
函数性质：（1） x 1时， y 1。
（2）当 0 时，幂函数 y x 在 (0, ) 上单调增加；
当 0时，幂函数 y x 在 (0, ) 上单调减少。
作业布置 巩固练习
巩固练习
2.53 2.63
1
逐渐下降。
新课探究 启发解疑
图像性质
（1） x 1时， y 1。
（2）当 0时，幂函数 y x 在(0, ) 上单 调增加；当 0时，幂函数 y x 在(0, )上
单调减少。
温馨提示 小结反思
知识点小结
函 图像性质：（1）图像都经过点 (1,1) 。
数 图
（2）当 0 时，幂函数 y x 的图像沿 x 轴的
1 x2
，所以
y
x2的定义域为,0 (0, ) 。
列表如下：
x … 2 1 1 1 1 2 … 22
y…1
1
4
4
1
1
…
4
4
以表中的每一组 x ， y 的值为点的坐标， 描出相应的点，用光 滑的曲线联结这些 点，得到函数 y x2 的图像，如图所示。
新课探究 启发解疑
归纳提升
仿例 1、例 2 在同一坐标系中画出函数 y x3、 y x2 、y x 、
1
3.7 5 3.8 5
比较下列每组中两个数的大小：
（1）2.53和2.63； 答案
（2）3.7
1 5
和3.8
1 5
；
答案
1
1
7.53 7.63
1
1
（3）7.53 和7.63；
幂函数的性质与图像
幂函数的一般形式为y = x^n，其中n 是一个实数，x 是自变量，y 是因变量。
以下是幂函数的主要性质：
1.当n > 0 时，幂函数是增函数；当n < 0 时，幂函数是减函数。
2.当n 是偶数时，幂函数的图像关于y 轴对称；当n 是奇数时，幂函
数的图像关于原点对称。
3.当n > 1 时，幂函数的图像在第一象限和第三象限上都是上升的；当0
< n < 1 时，幂函数的图像在第一象限和第三象限上都是下降的。
4.当n > 1 时，幂函数的图像在x 轴正半轴上有一个水平渐近线，而在
x 轴负半轴上没有水平渐近线；当0 < n < 1 时，幂函数的图像在x 轴正半轴上没有水平渐近线，而在x 轴负半轴上有一个水平渐近线。
5.幂函数的导数为y' = nx^(n-1)，因此在n > 0 时，幂函数在定义域内处
处可导。
以下是一些常见幂函数的图像：。
幂函数性质图像 ppt课件
例3例 ：1.证明幂 f(x)函 x数 在 [0, )上是增 . 函
证 : 任 x 明 1 ,x 2 取 [ 0 , ) 且 , x 1 x 2 ,则
f(x1)f(x2)x1x2
(
x1
x2)(
x1
x2)
x1 x2
x1 x2 x1 x2
方法技巧:分子有理化
因 0 x 1 为 x 2 , 所 x 1 x 2 以 0 ,x 1 x 2 0 ,
1 2 3 2…Biblioteka y=x323 41
y=x 2
x
函数 y x3的图象
定义域： R 值 域： R
奇偶性：奇函数
单调性：在R上是增函数
1
函数 y x 2 的图象
定义域：[0,)
值 域：[0,)
奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
五个幂函数的性质:
1
yx y x2 y x3 y x 2
三、迁移运用
请同学们认真思考，在导学案上写出解答 过程，然后投影展示解答过程。
例1、已知幂y函f(数 x)的图像(过 2, 2点 ),
试求出这个函式 数 . 的解析
解:设所求的幂函数y为 x
函数的图像 (2,过2)点
这种方法 2 2, 即212 2
叫待定 系数法
1
2 所求的幂函数y为
1
x2
.
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
-6
-4
-2
2
4
6
幂函数的图象都通过点(1,1)
幂函数的性质与图像Ⅲ
(一)幂函数在第一象限内的图像规律
(1)图 过 点11) 像 定 (，
(2)当 > 0时 α ， 数 增 数 函 是 函 ， 像 抛 线 ； 图 是 物 型 (3)当 < 0时 α ， 数 减 数 函 是 函 ， 像 双 线 ． 图 是 曲 型
(二)幂函数的性质(奇偶性) 幂函数的性质(奇偶性)
作幂函数大致图像的一般步骤： 作幂函数大致图像的一般步骤：
(1) k确 图 是 曲 型 是 物 型 由 定 像 双 线 还 抛 线 (哪 抛 线 )； 种 物 型
(2)判断函数奇偶性，由奇偶性确定图像 所在象限．
练习
2 7 1 6
在下列各图中找到适当的表达式的序号： 在下列各图中找到适当的表达式的序号：
2
n m
1
二、例题举隅
例1、已知幂函数f ( x ) = x (m < 0，m ∈ Q )．
m
(1)求证：f ( x ) = x 在(0， ∞ )上是减函数； +
m
1 1 (2)利用(1)的结论判断 与 (a > b > 0，c > 0 ) a b 的大小关系．
c
c
1 1 x 1 例2、已知函数f ( x ) = ，g ( x ) = 和h( x ) = ． x x2 x2
1
0
1
(F )
(G )
(H )
(I )
(J )
思考题
1．幂函数f(x)= x ，f(x)= x ，f(x)=的图像如图所示， a,b,c,d的大小关系 在第一象限的图像如图所示，则a,b,c,d的大小关系 是（ D ） f(x)= x f(x)= x f(x)= x (A)a>b>c>d (B)d>b>c>a f(x)= x (C)d>c>b>a (D)b>c>d>a
幂函数图像与性质课件
x
1 2
=
1 的定义域是(0, )
x
且在定义域上是减函数,
0 3 2m m 4
1 m 3,
3
2
即m的取值范围是 m|
1 3
m
3 2
第十八页，课件共有20页
练习:
如果函数 f ( x) (m2 m 1)xm2 2m3
是幂函数，且在区间（0，+∞） 内是减函数，求满足条件的实数m
公共点
（1，1）
第十三页，课件共有20页
y x2
(-2,4)
y x3
4
(2,4)
3
y=x
2
(-1,1) 1
(1,1)
1
y x2
-4
-2
2
4
6
y x 1 (-1,-1) -1
-2
-3
第十四页，课件共有20页
1、所有幂函数在(0，+∞) 上都有定义，并且图象都 通过点(1,1).
2、在第一象限内，
y x 1
定义域 R
R
R [0，+∞） ，0 （0，+）
值域 R
[0，+∞）
R
[0，+∞） ，0 （0，+）
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 函数
奇函数
在R上 单调性 是增函
数
在（－∞,0]上 是减函数，
在(0, +∞）上是
增函数
在R上 是增函 数
在(0，+∞)上
是增函数
在( －∞,0)，(0, +∞）上是减 函数
(4)
1
y x2
(5)
y x1
第六页，课件共有20页
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幕函数的图像与性质1幕函数的定义形如y=x "(a € R )的函数称为幕函数，其中 x 是自变量，a 为常数 注：幕函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同， 幕函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。
例题、(1).下列函数中不是幕函数的是()A . y 仮B . y x 3 c . y 2x D . y x 1答案：C例2.已知函数f xm 2 m 1 x 5m 3，当m 为何值时，f x图像是上升曲线。
(1)是幕函数;(2)是幕函数，且是0,上的增函数；(3)是正比例函数；(4)是反比例函数; (5) 是二次函数; 简解：(1)(2) (3) m4 (4) m5(5) m 1变式训练: 已知函数fx m 22mm为何值时,在第一象限内它的2小简解：m m 02m 2m 3 解得：m 0U 3,小结与拓展：要牢记幕函数的定义，列出等式或不等式求解。
2.幕函数的图像幕函数y = x a 的图象由于a 的值不同而不同.a 的正负：a> 0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升;在第一象限的图象下降，反之也成立；aV 0,图象不过原点,1注：在上图第一象限中如何确定y=x 3, y=x 2, y=x , y x 2 , y=x -1方法：可画出x=x o ；当x o >l 时，按交点的高低，从高到低依次为y=x 3, y=x 2, 当0<x o <l 时，按交点的高低，从高到低依次为y=x -1, yy=xy=x 2 y=x 31y x?y=x -1定义域 R R R [0, ) x| x R 且x 0 值域R[0, )R[0, )y | y R 且 y 0奇偶性 奇 偶奇非奇非偶 奇单调性增x € [0 , )时，增；x € (,0]时，减增增x € (0,+ )时，减； x € (- ,0)时，减定点(1 , 1)例.比较大小:1 1_"T ~ 3 3 1 1 2 3 0 5(1)1.52,1.72 (2)( 1.2) ,( 1.25) (3)5.25 ,5.26 ,5.26 (4)0.5 ,3 . ,log 3 0.5解: (1 )••• y X 在[0,)上是增函数，1.5 1.71.52 1.721y=x ， y x 2， y=x -1 ；1 2 23x 2，y=x ， y=x 2，y=x 3 。
(2) •/ y3x在R上是增函数，1.21.25，二(1.2)3( 1.25)3(3) •/ y x1在(0,)上是减函数，5.25 5.26 , 5.25 1 5.26 1•...y 5.26x (是增函数，1 2 ,.•• 5.2615.26 2•综上，5.251 5.26 1 5.26 2(4) 00.53130.5 1 log3 0.5... log?30.5 0.530.55•幕函数的性质及其应用幕函数y= X a有下列性质：(1)单调性：当a>0时，函数在(0, + ^上单调递增；当a V 0时，函数在(0,+^上单调递减.(2)奇偶性：幕函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断.m2例3.已知幕函数y x 2m 3(m Z)的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称,求m的值.解：•••幕函数2m 2my x3(m Z)的图象与x轴、y轴都无交点，2 m2m3 0 -? • •1m 3 ；•/ m Z ,. (m22m3)Z，又函数图象关于原点对称，2 m2m 3是奇数，•••m0或m 2例7.已知点(血2)在幕函数f(x)的图象上，点2,-，在幕函数g(x)的图象上.问当x4为何值时有：(1) f (x) g(x) ; (2) f (x) g(x) ; (3) f (x) g(x).2变式：已知幕函数f(x)=x m 2m 3(m€ Z)为偶函数，且在区间(0, +8)上是单调减函数.(1)求函数f(x); (2)讨论F (x) =a、f (x) b—的奇偶性.xf (x)6•规律方法(1 ) •幕函数y= x a(a= 0,1)的图象（2）•幕函数y x a（a q, p,q N，-q为最简分式）的图象例1概念：一般地，我们把形如 _的函数称为幕函数，其中__________________ 是自变量，_________ 是常数；注意：幕函数与指数函数的区别.2•性质：（1）幕函数的图象都过点______________ ;任何幕函数都不过 ____________ 象限；（2）当a 0时，幕函数在［0,）上_________ ；当a 0时，幕函数在（0,）上__________________1（3）当a 2,2时，幕函数是______________ ；当a 1,1,3 -时，幕函数是_____________________3解: 由图像可知:应选(C).综合训练:2、幕函数的图象都经过点(像, (A) (C)例1、右图为幂函数y则a,b,c,d 的大小关系是(B)b (D)ax 在第一象限的图1.在函数y13，y3x 2, y x 2x,yX 0 中, 幕函数的个数为A . (1 , 1)B . (0, 1)(0, 0)D . ( 1,A . (0,+) B . [0,+)C . R D .(-,0)U (0,+)若幂函数f xx a 在 0,上是增函数，则()A . a >0B . a <0C . a =0D .不能确定若幕函数f xm 1 ”x 在(0,+8上是减函数，则()A . m >1B . m <1C . m =lD .不能确定d > c > b > a a > b > c > d C 、 d > c > a > ba >b > d > ca 、b 、cbX)4. 6. 9、若四个幕函数53、幕函数y x 2的定义域为bcX , y = Xax , y = 系a10、当x €( 1,+〜 时，函数)y = x 的图象恒在直线 y = x 的下方，则a 的取值范围是A 、a v 1B 、0 v a v 1C 、a > 0D 、a v 0二、填空题：_ 1 _ 112、 若(a + 1) 2 v (3a — 2)至，贝V a 的取值范围是 ____ ;313. 函数y x °的定义域为 ________________ .三、解答题：17下面六个幕函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系 .(1) y x 2; ( 2) y x 3;(3) y x 3;四：方向预测、胜利在望1— 5ADDDC61. (A) 函数f (x) Ig2. x 4(1, 4) B . [1 , 4)以下四个数中的最大者是(2(A) (l n2) —10AADDAx的定义域为(11—15 CADDB.5. A .(A) C . (_m ,)1)U (4, D . ( — a, 1] U (4 ,+s ) (B )设 f(x)=(B) l n(ln2)c x 12e ,x log 3(x 22, 1),x 2,(C) ln 2(D) In2则不等式f(x)>2的解集为((A) (C) (A )设丨 A. R Q P6.(1,(1 , P + a)2)log 2 3 , B.(3, (■ 10 , + a) Q log 3 2 , R P RQ C.(B) ( 10 , + a) (D) (1 , 2)log 2(log 3 2)，则( QP D. R7. (A)已知 log 1 b log 1 a log 1 c ，贝U ()2 2 2b acab ccA . 2 2 2B . 2 2 2C . 29. (A )函数y 、log ；(3x 2)的定义域是：()2b2aD .2c 2a 2bx122 3(4)y x ；(5)y x ；(6)yA [1,)B(3,)C[1,1]D(1,1]10.(A)已知函数y log 1 x与y~Akx的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则k ()1111A. -B. —C. —D. —442211. (B)若函数f (x)x a b1(a0且a 1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )A. 0 a1且b 0B.a1且b0C. 0 a1且b 0D.a1且b014.(A)已知f(x6)log 2! x,,那么f(8)等于( ) (A)- (B) 8(C) 181 (D)-32 15. (B)函数y= lg|x|( )A•是偶函数, 在区间(-(DO 0)上单调递增 B . 是偶函数，在区间(- O, 0)上单调递减C.是奇函数, 在区间(0, + O上单调递增 D . 是奇函数，在区间(0, + O上单调递减lg( 4 x) ..................16. (A) 函数y的定义域是x 3设g(x)xe ,x0.118. (A) 则g(g(：))ln x,x0.219. ( B)若函数f(x) = J2" 2ax a 1的定义域为R，则a的取值范围为 __________________________20. (B)若函数f(x) log a(x . x22a2)是奇函数，则a= __________________ .16. (- , 3) (3,4)1% 19.卜他20.。