回归分析的基本思想及其初步应用课件

其中 x ＝1ni＝n1xi， y ＝1ni＝n1yi，( x ， y )称为样本点的中心．
(3)解释变量和预报变量 线性回归模型与一次函数模型的不同之处是增加了随机误差项e， 因变量y由 自变量x 和 随机误差e 共同确定，即自变量x只解 释部分y的变化，在统计中，我们也把自变量x称为解释变量，因变 量y称为预报变量．
程．(重点) 2．回归模型的选择，特别是非线性回归模型．(难点、易错点)
自学导引
1．回归分析
回归分析是对具有 相关关系 的两个变量进行统计分析的一种常
用方法．
2．线性回归模型
(1)由散点图易发现，样本点散布在某一条直线附近，而不是一
条直线上，不能用一次函数y＝bx＋a描述它们之间的关系，因
此用线性回归模型y＝bx＋a＋e来表示，其中a、b为未知参数，
解 (1)散点图如图．
(2) x ＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2， y ＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.
(3)求线性回归方程的步骤： ①先把数据制成表，从表中计算出 x ， y ， x12＋x22＋…＋x2n，x1y1＋x2y2＋…＋xnyn 的值； ②计算未知参数a^，b^； ③写出线性回归方程^y＝b^x＋a^.
2．线性回归分析 (1)由线性回归方程给出的是一个预报值而非精确值． (2)随机误差的主要来源 ①线性回归模型与真实情况引起的误差； ②省略了一些因素的影响产生的误差； ③观测与计算产生的误差． (3)残差分析是回归分析的一种方法． (4)用相关指数R2来刻画回归效果． R2越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2 越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．
差.
n
(yi－y^ i)2
称为残差平方和
i＝1
利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为 残差 ，横 残差图 坐标可以选为样本编号 ，或 身高数据 ，或体重估计值
等，这样作出的图形称为残差图
残差 图法
残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选 用的模型比较适合，这样的带状区域的宽度越窄， 说明模型拟合精度越高
名师点睛 1．线性回归方程
(1)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据散点图确定 两个变量之间是否存在相关关系，然后利用最小二乘法求出回 归直线方程． (2)求线性回归方程^y＝b^x＋a^的关键是求未知参数a^和b^，其中b^ 可借助于计算器求出，因为a^＝ y －b^ x ，即 y ＝b^ x ＋a^，所以点 ( x ，y )一定满足线性回归方程，即回归直线一定过点( x ，y )．
题型一 求线性回归方程 【例1】 某班5名学生的数学和物理成绩如下表：
学生
学科
A B CDE
数学成绩(x) 88 76 73 66 63
物理成绩(y) 78 65 71 64 61
(1)画出散点图； (2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程； (3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩． [思路探索] 先利用散点图分析物理成绩与数学成绩是否线性相关， 若相关再利用线性回归模型求解．
e为
随机误．差
(2)对参数 a 和 b 的估计，由《数学必修 3》可知：最小二乘法估 计a^和b^就是未知参数 a、b 的最好估计，其计算公式为
n
n
xi－ x yi－ y xiyi－n x y
i＝1
b^ ＝
i＝1
＝
，a^ ＝ y －b^ x ，
n
xi－ x 2
n
x2i －n x 2
i＝1
i＝1
1．1 回归分析的基本思想及其初步应用
【课标要求】 1．了解随机误差、残差、残差分析的概念； 2．会用残差分析判断线性回归模型的拟合效果； 3．掌握建立回归模型的步骤； 4．通过对典型案例的探究，了解回归分析的基本思想方法
和初步应用．
【核心扫描】 1．利用散点图分析两个变量是否存在相关关系，求线性回归方
3．建立回归模型的基本步骤 (1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报 变量． (2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间 的关系(如是否存在线性关系等)． (3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系， 则选用线性回归方程)． (4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数． (5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大 或残差呈现不随机的规律性等)．若存在异常，则检查数据是否 有误，或模型是否合适等．
4．非线性回归分析 (1)非线性相关关系：样本点分布在某一条曲线的周围，而不是 一条直线附近．我们就称这两个变量之间不具有线性相关关系 而是非线性相关关系． (2)非线性回归方程线性化 ①y＝axn(其中a，x，y均为正值)(幂函数型函数) lg y＝lg a＋n lg x，令u＝lg y，v＝lg x，b＝lg a， 则u＝nv＋b，图象为一直线． ②y＝cax(a＞0，c＞0)(指数型函数) lg y＝x lg a＋lg c，令u＝lg y，b＝lg c，d＝lg a， 则u＝dx＋b，图象为一直线．
残差平
n
残差平方和为
(yi－y^ )2，残差平方和
越小
，模型
i＝1
方和
拟合效果越好
n
yi－y^ i2
i＝1
相关指 R2＝1－
，R2 表示 解释 变量对 预报 变量变
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数 R2
n
yi－ y 2
i＝1
化的贡献率，R2 越接近于 1，表示回归的效果越好
想一想：回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实 值吗？为什么？ 提示 不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是 个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除 了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食，是否喜欢运动 等．
试一试：下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的线性回归方程必 过( ).
x1234 y1357
A．点(2,3)
B．点(1.5,4)
C．点(2.5,4)
D．点(2.5,5)
提示 选 C.线性回归方程必过样本点的中心( x ， y )，即(2.5,4)．
3．刻画回归效果的方式
残差
数据点和它在回归直线上相应位置的差异(yi－y^i)是随机 误差．称e^i＝yi－y^i 为残差，e^i 称为相应于点(xi，yi)的残