2016考研数学：三个微分中值定理
多个函数多介值的微分中值定理及其应用
多个函数多介值的微分中值定理及其应用微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它描述了函数在一个闭区间上的平均斜率与某一点的瞬时斜率之间的关系。
这个定理在实际问题中有着广泛的应用，特别是在求解函数在某一点的导数时十分有用。
本文将介绍多个函数多介值的微分中值定理及其应用。
微分中值定理有三个形式：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和柯西-罗尔定理。
这个定理表明，在某些条件下，函数在一个闭区间上的平均斜率与某一点的瞬时斜率之间存在特定的关系。
1. 拉格朗日中值定理设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在一个点c ∈ (a, b)，使得f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}这里f'(c)表示函数f(x)在点c处的导数，而\frac{f(b) - f(a)}{b - a}则表示在闭区间[a, b]上的平均斜率。
这个定理的几何意义是：在一个闭区间上连续可微的函数中，必定存在至少一个点，这个点的瞬时斜率等于该区间上的平均斜率。
2. 柯西中值定理这个定理的几何意义是：在一个闭区间上连续可导的两个函数中，必定存在至少一个点，这个点的两个函数的导数的比值等于这两个函数在这个闭区间上的函数值之差的比值。
f'(c) = 0微分中值定理在实际问题中有着广泛的应用，下面将介绍几个典型的应用。
1. 确定函数在某一点的斜率微分中值定理可以用来确定函数在某一点的斜率。
通过拉格朗日中值定理，我们可以找到一个点使得它的瞬时斜率等于区间上的平均斜率。
这对于确定函数在某一点的变化率是非常有帮助的。
通过柯西中值定理，我们可以确定一个区间内函数的最大斜率和最小斜率。
因为柯西中值定理可以将两个函数的导数的比值与这两个函数的函数值的差的比值联系起来，从而可以确定函数在某一区间内的斜率情况。
微分中值定理可以帮助我们确定函数在某一区间内的凹凸性。
通过柯西-罗尔定理，我们可以确定在一个闭区间上连续可导的函数在两个端点相等的情况下，一定存在至少一个导数为0的点。
微分中值定理
f ( x )在[0， 1],[1,2]和[2， 上均满足Rolle定理的条件， 3]
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
若函数 f ( x ) 满足： (1) 在闭区间 [a , b] 上连续， (2) 在开区间 (a, b )内可导， 则在 (a, b )内至少存在一点ξ， 使 f (b) − f (a ) f ′(ξ ) = . b−a
在[ − 1,3]上连续 ,
在( −1,3)内可导,
且 f ( −1) = f ( 3) = 0,
∵ f ′( x ) = 2( x − 1), 取ξ = 1 ∈ ( −1, 3), 则 f ′(ξ ) = 0 .
几何解释:
在曲线弧 AB上至少有一 点C , 在该点处的切线是 水平的.
y
C
y = f ( x)
∵ f ′( x ) = 1 1− x
2
+ (−
1 1− x
2
) = 0.
∴ f ( x ) ≡ C , x ∈ ( −1, 1）
π π 又 ∵ f ( 0) = arcsin 0 + arccos 0 = 0 + = , 2 2 π π x ∈ ( −1,1） . 即 C = . ∴ arcsin x + arccos x = 2 2
例4 设 f ( x ) = x ( x − 1)( x − 2)( x − 3), 判断 f ′( x ) = 0 有几个实根. 证
∵ f (0) = f (1) = f (2) = f (3) = 0
则 ∃ξ1 ∈ (0，，使f ′(ξ1 ) = 0; 1) ∃ξ 2 ∈ (1， ，使f ′(ξ 2 ) = 0; 2) ∃ξ 3 ∈ (2， ，使f ′(ξ 3 ) = 0, 3) 即f ′( x ) = 0至少有 3个实根. 又f ′( x )是三次多项式，所以至多有三个零点. ∴ f ′( x ) = 0有 3个实根.
2016考研数学中值定理证明思路总结
2016考研数学中值定理证明思路总结中值定理这块一直都是很多考生的“灾难区”，一直没有弄清楚看到一个题目到底怎么思考处理，因此也是考研得分比较低的一块内容，如果考生能把中值定理的证明题拿下，那么我们就会比其他没做上的同学要高一个台阶，也可以说这是一套“拉仇恨”的题目。
下面小编就和大家来一起分析一下这块内容。
1.具体考点分析首先我们必须弄清楚这块证明需要的理论基础是什么，相当于我们的工具，那需要哪些工具呢?第一：闭区间连续函数的性质。
最值定理：闭区间连续函数的必有最大值和最小值。
推论：有界性(闭区间连续函数必有界)。
介值定理：闭区间连续函数在最大值和最小值之间中任意一个数，都可以在区间上找到一点，使得这一点的函数值与之相对应。
零点定理：闭区间连续函数，区间端点函数值符号相异，则区间内必有一点函数值为零。
第二：微分中值定理(一个引理，三个定理)费马引理：函数f(x)在点ξ的某邻域U(ξ)内有定义，并且在ξ处可导，如果对于任意的x∈U(ξ)，都有f(x)≤f(ξ) (或f(x)≥f(ξ) )，那么f'(ξ)=0。
罗尔定理：如果函数f(x)满足：(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ柯西中值定理：如果函数f(x)及F(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)对任一x∈(a,b)，F'(x)≠0那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立。
第三：积分中值定理：如果函数f(x) 在积分区间[a, b]上连续，则在[a, b]上至少存在一个点ξ，使下式成立加强版：如果函数f(x) 在积分区间[a, b]上连续，则在(a, b)上至少存在一个点ξ，使下式成立第四：变限积分求导定理：如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则积分变上限函数在[a,b]上具有导数，并且导数为：第五：牛顿--莱布尼茨公式：如果函数f(x) 在区间[a,b] 上连续，并且存在原函数F(x) ，则2.注意事项针对上文中具体的考点，佟老师再给出几点注意事项，这几个注意事项也是在证明题中的“小信号”，希望大家理解清楚并掌握：1. 所有定理中只有介值定理和积分中值定理中的ξ所属区间是闭区间。
(整理)考研数学微分中值讲义(卓越资料)
卓越考研内部资料（绝密）卓而优越则成卓越考研教研组汇编第三章 微分中值定理与导数的应用§3.1 微分中值定理A 基本内容一、罗尔定理 设函数()x f 满足（1）在闭区间[]b a ,上连续； （2）在开区间()b a ,内可导； （3）()()b f a f =则存在()b a ,∈ξ，使得()0='ξf几何意义：条件（1）说明曲线()x f y =在()()a f a A ,和()()b f b B ,之间是连续曲线；条件（2）说明曲线()x f y =在B A ,之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x 轴的切线条件（3）说明曲线()x f y =在端点A 和B 处纵坐标相等。
结论说明曲线()x f y =在A 点和B 点之间[不包括点A 和点B ]至少有一点，它的切线平行于x 轴。
二、拉格朗日中值定理 设函数()x f 满足（1）在闭区间[]b a ,上连续； （2）在开区间()b a ,内可导；则存在()b a ,∈ξ，使得()()()ξf ab a f b f '=-- 或写成()()()()a b f a f b f -'=-ξ ()b a <<ξ有时也写成()()()x x x f x f x x f ∆⋅∆+'=-∆+θ000 ()10<<θ 这里0x 相当a 或b 都可以，x ∆可正可负。
几何意义：条件（1）说明曲线()x f y =在点()()a f a A ,和点()()b f b B ,之间是连续曲线； 条件（2）说明曲线()x f y =是光滑曲线。
结论说明曲线()x f y =在B A ,之间至少有一点，它的切线与割线AB 是平行的。
推论1．若()x f 在()b a ,内可导，且()0≡'x f ，则()x f 在()b a ,内为常数。
推论2．若()x f ，()x g 在()b a ,内皆可导，且()()x g x f '≡'，则在()b a ,内()()c x g x f +=，其中c 为一个常数。
中值定理
中值定理百科名片分中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。
目录简介应用拉格朗日微分中值定理罗尔定理柯西中值定理积分中值定理编辑本段简介函数与其导数是两个不同的的函数；而导数只是反映函数在一点的局部特征；如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用。
微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。
是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。
以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的理论基础。
拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态；中值定理的主要作用在于理论分析和证明；同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则。
中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数上升，下降，取极值，凹形，凸形和拐点等项的重要性态。
从而能把握住函数图象的各种几何特征。
在极值问题上也有重要的实际应用。
编辑本段应用（一）对于不等式与等式证明中的应用在一些等式的证明中，我们往往容易思维定式，只是对于原来的式子要从哪去证明，很不容易去联系其它，只从式子本身所表达的意思去证明。
已知有这样一个推论，若函数在区间I上可导，且中值定理，则为I上的一个常量函数。
它的几何意义为：斜率处处为0的曲线一定是平行于y轴的直线。
这个推论的证明应用拉格朗日中值定理。
（二）关于方程根的讨论（存在性与根的个数）（三）在洛比达法则中证明的应用无穷小（大）量阶的比较时，看到两个无穷小（大）量之比的极限可能存在，也可能不存在。
如果存在，其极限值也不尽相同。
称两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限为型或型不定式极限。
解决这种极限的问题通常要用到洛比达法则。
这是法则的内容，而在计算时往往都是直接的应用结论，没有注意到定理本身的证明，而这个定理的证明也应用到了中值定理。
三个中值定理
三个中值定理
三个中值定理的公式：
罗尔定理：如果函数f(x)满足在闭区间［a,b]上连续；在开区间（a,b)内可导；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在（a,b)内至少有一点ξ（a<ξ＜b)，使得f'(ξ）＝0。
柯西定理：如果函数f(x)及F(x)满足在闭区间［a,b]上连续；在开区间（a,b)内可导；（3)对任一x∈（a,b)，F'(x)≠0那么在（a,b)内至少有一点ξ，使等式［f(b)-f(a)]/=f'(ξ）／F'(ξ）成立。
拉格朗日定理：如果函数f(x)满足在闭区间［a,b]上连续；在开区间（a,b)内可导。
那么在（a,b)内至少有一点ξ（a<ξ＜b)，使等式f(b)-f(a)=f′（ξ）（b-a)成立。
积分中值定理：
积分中值定理，是一种数学定律。
分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。
其中，积分第二中值定理还包含三个常用的推论。
这个定理的几何意义为：若f(x)≥0，x∈［a,b]，则由x轴、x=a、x=b及曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积等于一个长为b-a，宽为f(ξ)的矩形的面积。
第六节 微分中值定理
g ( x) C[a, b] D(a, b), 证明：至少存在一点 (a, b) 使 g ( ) f ( ) g ( ) f ( ) 0 .
* 3) Rolle定理可推广为
在 ( a , b ) 内可导, 且
x a
lim f ( x ) lim f ( x )
设 f ( x ) 在 (a , b) 内可导 , x0 , x0 x [a , b] , 记 x0 x (0 1) , 则有
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) x (0 1) ,
即
y f ( x0 x ) x (0 1) .
关键技巧: 根据题意会知道如何构造辅助函数. 若希望用Rolle定理证明方程 f(x)=0 根的存在性，
则构造的辅助函数F(x) 应满足关系式F(x) = f(x)
及Rolle定理条件. 例5
设 f ( x ) C[0, a ] D(0, a ) , f (0) 1, f (a ) 0, f ( )
2. 罗尔（Rolle）定理
设函数 f (x) 满足条件： 1) 在闭区间 [a,b]上连续. 2) 在开区间(a,b)内可导. 3) f (a) = f (b) 则在 (a,b) 内至少存在一点 ，使 f() =0 .ຫໍສະໝຸດ 几何解释（水平切线）： y
连续光滑曲线 y f ( x ) 在 点 A、B 处纵坐标相等 , 则弧 AB 上至少有一点 C , 在该点处的切线是水平 的. o a
(2) 设 f (x) ,g(x) 在 (a,b) 内可导且 f (x) =g(x) ，
则 f(x)=g(x) C.
拉格朗日中值定理的应用:
微分中值定理
x0为唯一的小于 1的正实根 .
题型二:求满足定理条件的 值
例7 求 f ( x ) arctan x 在 [0,1] 上满足Lagrange
中值定理的 值
题型三:用Lagrange中值定理证明不等式
x 例8 证明当x 0时, ln(1 x ) x . 1 x f (b) f (a) 证 设 f ( x) ln x, 凑成 形式 ba
如图3此时弦AB的斜率为
f ( ) dY |x g ( ) dX
f (b) f (a) g (b) g (a)
柯西(Cauchy)中值定理
如果 f(x),g(x)满足
(1) ( 2) ( 3)
在闭区间 在开区间
[a, b]上连续,
( a , b ) 内可导,
g( x) 0, x (a, b )
则 (a, b ), 使等式
f ' ( ) f (b ) f (a ) 成立. ' g ( ) g (b ) g (a )
f (b ) f (a ) g( x ) f ( x ) 证: 作辅助函数 ( x ) g(b) g(a ) 则 ( x) 在[a, b] 上连续, 在 (a, b)内可导, 且 f (b ) g (a ) f (a ) g (b ) (a ) (b) g(b) g(a ) 使 由罗尔定理知, 至少存在一点 即 f (b) f (a ) f ( ) . g(b) g(a ) g( ) 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? f (b) f (a) f ( )(b a) , (a , b) 两个 不 一定相同 g(b) g(a ) g( )(b a ), (a , b)
考研数学微分中值讲义(卓越资料
卓越考研内部资料（绝密）卓而优越则成卓越考研教研组汇编第三章 微分中值定理与导数的应用§3.1 微分中值定理A 基本内容一、罗尔定理 设函数()x f 满足（1）在闭区间[]b a ,上连续； （2）在开区间()b a ,内可导； （3）()()b f a f =则存在()b a ,∈ξ，使得()0='ξf几何意义：条件（1）说明曲线()x f y =在()()a f a A ,和()()b f b B ,之间是连续曲线；条件（2）说明曲线()x f y =在B A ,之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x 轴的切线 条件（3）说明曲线()x f y =在端点A 和B 处纵坐标相等。
结论说明曲线()x f y =在A 点和B 点之间[不包括点A 和点B ]至少有一点，它的切线平行于x 轴。
二、拉格朗日中值定理 设函数()x f 满足（1）在闭区间[]b a ,上连续； （2）在开区间()b a ,内可导；则存在()b a ,∈ξ，使得()()()ξf ab a f b f '=-- 或写成()()()()a b f a f b f -'=-ξ ()b a <<ξ有时也写成()()()x x x f x f x x f ∆⋅∆+'=-∆+θ000 ()10<<θ 这里0x 相当a 或b 都可以，x ∆可正可负。
几何意义：条件（1）说明曲线()x f y =在点()()a f a A ,和点()()b f b B ,之间是连续曲线； 条件（2）说明曲线()x f y =是光滑曲线。
结论说明曲线()x f y =在B A ,之间至少有一点，它的切线与割线AB 是平行的。
推论1．若()x f 在()b a ,内可导，且()0≡'x f ，则()x f 在()b a ,内为常数。
推论2．若()x f ，()x g 在()b a ,内皆可导，且()()x g x f '≡'，则在()b a ,内()()c x g x f +=，其中c 为一个常数。
考研数学基础复习指导之微分中值定理
考研数学基础复习指导之微分中值定理【引理】Th 1费马(Fermat)引理设函数在的某邻域内有定义，若有()且在可导．【注】若是一个极值点且在可导(驻点/稳定点)．Th 2导数极限定理设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内连续，在0()U x 内可导，且极限0lim ()x x f x →'存在，则()f x 在点0x 处可导，且00()lim ()x xf x f x →''=【例1】求分段函数的导数2sin ,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩【例2】下述命题：① 设0lim ()x x f x -→'与0lim ()x x f x +→'均存在，则()f x 在0x x =处必连续； ② 设0()f x -'与0()f x +'均存在，则()f x 在0x x =处必连续；③ 设()f x 在0x x =处连续，且0lim ()x x f x →'存在等于A ，则0()f x '存在等于A④ 设()f x 在0x x =的某邻域可导，且0()f x A '=，则0lim ()x x f x →'存在等于A则正确的个数为：(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3()f x 0x 0()U x 0()x U x ∀∈0()()f x f x ≤0()()f x f x ≥()f x 0x ⇒0()0f x '=0x ()f x 0x ⇒0()0f x '=3.导函数两大特性：1) 导函数没有第一类间断点设函数()f x 在(,)a b 内处处有导数()f x '，则(,)a b 中的点或为()f x '的连续点，或为()f x '的第二类 间断点．2) 导函数具有介值性（G.Darboux 定理）设函数()f x 在[],a b 上处处可导（端点指单侧导数），()()f a f b ''<，则:()()c f a c f b ''∀<<，(,)a b ξ∃∈，使得()f c ξ'=【微分中值定理】 1.罗尔(Rolle)定理设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()f a f b =，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=．【应用】①证明含有中值ξ等式的证明；②导函数和高阶导函数零点的存在性的证明和个数的估计．2.拉格朗日(Lagrange)定理（微分基本定理）设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()f b f a f b aξ-'=-．【推论】：①若()0,f x x I '=∈，则(),f x C x I =∈． 如：arcsin arccos 2x x π+=.②若()(),f x g x x I ''=∈，则()(),f x g x C x I =+∈. 【应用】①证明含有中值ξ的等式．形如证明：[,,(),(),,(),()]0(,)G a b f a f b f f a b ξξξξ'=∈，②不等式的证明； ③研究函数的性态．3.柯西(Cauchy)定理设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()0g x '≠，则至少存在一点(,)a b ξ∈， 使得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-．【应用】①证明含有中值,ξη的等式； ②不等式的证明4.泰勒(Taylor)公式定理1 带拉格朗日余项的泰勒公式设()f x 在0x 的某邻域I 内(1)n +阶可导，那么对x I ∀∈，至少存在一个ξ，使得()20000000()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ ，其中(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+，ξ在0x 与x 之间．定理2 带皮亚诺余项的泰勒公式设()f x 在0x 的某邻域I 内n 阶可导，那么对x I ∀∈，有()20000000()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ ，其中00()()nn R x o x x x x =-→，． 【应用】①求极限，判断无穷小的阶数； ②建立函数与高阶导数的关系．辅助函数的构造：证明：(,)a b ξ∃∈，使得[,(),()]0G f f ξξξ'=．方法：构造辅助函数(,())F x f x ，再用罗尔定理．(,())F x f x 的构造方法如下： （1）积分法① 将ξ换成x 得[,(),()]0G x f x f x '=； ② 恒等变形，便于积分；③ 积分，分离变量得(,())F x f x C =．（2）公式法：若欲证等式可变形为()()()0f x p x f x '+=，则应取辅助函数为()()()p x dxF x f x e ⎰=．（3）观察法：观察要证明的结论形式，如果与以下等式的右边式子较为类似，则往往可以直接写出辅助函数：；；【注】若题目条件或结论中有定积分，则辅助函数为被积函数，且一般要使用积分中值定理（验证端点值相等）．[()]()()xf x xf x f x ''=+2()()()f x xf x f x x x ''-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦[()][()()]x x e f x f x f x e ''=+[()][()()]x x e f x f x f x e --''=-【2013】设奇函数()f x 在[1,1]-上具有2阶导数，且(1)1f =， 证明：(I)存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξ'=； (II)存在(1,1)η∈-，使得()()1f f ηη'''+=．【1999】设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导()()1010,12f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，(I)存在1(,1)2η∈，使()f ηη=； (II)存在(0,)ξη∈，使()[()]1f f ξλξξ'--=(这里λ为任意实数)．【2001】设函数()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且满足21130(1)3()x f e f x dx -=⎰.证明：在()0,1内存在一点ξ，使()2()f f ξξξ'=.【2001】数设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且满足：()()()11011x k f k xe f x dx k -=>⎰，证明：至少存在一点()0,1ξ∈，使得()()()11f f ξξξ-'=-．【1996】 在区间(,)-∞+∞内，方程1142cos 0x x x +-=（ ） (A) 无实根 (B) 有且仅有一个实根(C) 有且仅有两个实根 (D) 有无穷多个实根【1994】设当0x >时，方程211kx x+=有且仅有一个解，求k 的取值范围【2011】证明：(I)对任意正整数n ，都有111ln(11n n n<+<+； 【熟记结论】①ln(1),101xx x x x x<+<>-≠+且②均值不等式：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数即：1212+++nnx x x nnx x x +≤≤++ ，其中0(1,2,,)i x i n >= (II)设111ln (1,2,)2n a n n n =+++-= ，证明数列{}n a 收敛.【2002】设0a b <<，证明不等式：222ln ln a b a a b b a -<<+-【1992】设()0,(0)0f x f ''<=，证明：对任意的0x >有1212()()()f x x f x f x +<+【1998】设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()1f a f b ==证明：存在(),,a b ξη∈，使得[()()]1e f f ηξηη-'+=【练习】设函数()f x 在区间上连续，在内可导，， 证明：存在(),,a b ξη∈使得[,]a b (,)a b 0a b <<()().2a bf f ξηη+''=【2001】设()y f x =在(1,1)-内具有二阶连续导数且()0f x ''≠，证明：(I) 对于(1,1)-内的任一0x ≠，存在唯一的()(0,1)x θ∈，使()(0)[()]f x f xf x x θ'=+成立； (II) 01lim ()2x x θ→=【1996】设函数()f x 在[]0,1上具有二阶导数，且满足条件()f x a ≤，()f x b ''≤，其中,a b 都是非负实数，c 是()0,1内任一点证明：()22b fc a '≤+【1999】设函数()f x 在闭区间[1,1]-上具有三阶连续导数，且(1)0f -=，(1)1f =，(0)0f '= 证明：在开区间(1,1)-内至少存在一点ξ，使()3f ξ'''=。
三大微分中值定理
罗尔定理：如果函数()f x 满足
(1)在闭区间[],a b 上连续；
(2)在开区间(),a b 内可导；
(3)在区间端点处的函数值相等，即()()f a f b =，那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<，使得()'0f ξ=. 拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足
(1)在闭区间[],a b 上连续；
(2)在开区间(),a b 内可导； 那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<，使等式
()()()()f b f a f b a ξ-=- 成立.
柯西中值定理：如果函数()f x 及()F x 满足
(1)在闭区间[],a b 上连续；
(2)在开区间(),a b 内可导；
(3)对任一(),x a b ∈，()'0F x ≠， 那么在(),a b 内至少有一点ξ使等式
()()()()()()''f b f a f F b F a F ξξ-=- 成立
泰勒(Taylor)中值定理：如果函数()f x 在含有0x 的某个开区间(),a b 内具有直到()1n +阶导数，则对任一(),x a b ∈，有 ()()()()()()()()()()20000000'''2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+
-+-++-+ ， 其中
()()()()()1101!n n n f R x x x n ξ++=-+， 这里ξ是0x 与x 之间的某个值.。
§2.5微分中值定理
o a
b
x
Rolle 定理的几何意义是：如果连续曲线y f ( x ) 除
端点外处处都有不垂直于 x 轴 的切线，且两端点处的纵 坐标相等，那么其上至少有一条平行于 x 轴 的切线。
例 1．不求函数 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3) 的导数，说 明方程 f ( x ) 0 有几个根，并指出它们所在的区间。
()x 且 g[ (x )g x( ))] 0, f1 ( f 使 2x x 0 ，
( x1 , x 2 ), Rolle 定理知，至少存在一点 由 f ( x ) f ( x ) 的函数 故构造其导数含有
( ) e x [ f ( ) f ( )] 0, 从 而f () f (). 使gg ( x ) e f ( x )
②微分中值公式的另一种形式为
f (b) f (a ) f (a (b a ))(b a )(0 1).
③不论 a b 或 b a ，都有 f ( b ) f ( a ) f ( )( b a ).
（ 介于 a 与 b 之间.）
④ x, x x(a, b) ，有
§2.5
微分学基本定理
微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理。 微分中值定理是微分学的基本定理和理论基础，它揭示了函 数与导数之间的内在联系，利用它们可以得到微分学与积分 学的一系列的重要结果。
2.5.1 费马( Fermat )引理
若（1）函数 f ( x ) 在N ( x , ) 内有定义，且在N ( x , ) 内恒有 f ( x ) f ( x ) (或 f ( x ) f ( x )) ， （2）函数 f ( x ) 在点 x 可导， 则
微分中值定理
∴ f ( x ) − f ( 0) = f ′( ξ )( x − 0), ( 0 < ξ < x ) 1 x ′( x ) = Q f ( 0 ) = 0, f , 由上式得 ln(1 + x ) = , 1+ x 1+ ξ 1 1 又Q0 < ξ < x < < 1, 1< 1+ ξ < 1+ x 1+ x 1+ ξ x x x ∴ < < x, 即 < ln(1 + x ) < x . 1+ x 1+ ξ 1+ x
3 拉格朗日(Lagrange)中值定理
格 日 Lagrange） 值 理 如 函 中 定 数f(x)在 拉 朗 （ Lagrange） 果 数 在 区 [ 导, 闭 间 a, b]上 续 在 区 (a, b) 内 导 那 在 连 , 开 间 可 , 末
(a, b)内 少 一 ξ(a < ξ < b)， 等 至 有 点 使 式
二 微分中值定理
(The Mean Value Theorem)
微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange) 微分中值定理的核心是拉格朗日 中值定理，费马定理是它的预备定理， 中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理 是它的特例，柯西定理是它的推广。 是它的特例，柯西定理是它的推广。
1 预备定理——费马（Fermat）定理 费马（ 预备定理 费马 ）
F ( x ) 满足罗尔定理的条件 ,
则在(a , b )内至少存在一点 ξ, 使得 F ′(ξ ) = 0.
f (b ) − f (a ) 即 f ′( ξ ) − =0 b−a
2016考研数学必背高数定理--导数与微分
2016考研数学必背高数定理--导数与微分第二章导数与微分1、导数存在的充分必要条件函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是在点x0处的左极限lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h及右极限lim(h→+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左导数f-′(x0)右导数f+′(x0)存在相等。
2、函数f(x)在点x0处可导=>函数在该点处连续;函数f(x)在点x0处连续≠>在该点可导。
即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。
3、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。
4、函数f(x)在点x0处可微=>函数在该点处可导;函数f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。
第三章中值定理与导数的应用1、定理(罗尔定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ(a2、定理(拉格朗日中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ(a3、定理(柯西中值定理)如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且F’(x)在(a，b)内的每一点处均不为零，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。
4、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等形式。
5、函数单调性的判定法设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么：(1)如果在(a，b)内f’(x)>0，那么函数f(x)在[a，b]上单调增加;(2)如果在(a，b)内f’(x)如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间，就能保证f’(x)在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f(x)在每个部分区间上单调。
2016考研数学中值定理和微分方程
2016考研数学中值定理和微分方程对于考研数学中的高等数学，可能大家觉得最难的就是微积分了，但是微积分又是整个高等数学复习的要点，如何在考试大纲公布之后更有针对性地将微积分学透，就成为广大考研学子现在复习的重点和难点。
考研复习最重要的是打好坚实的基础，只有基础扎实，才有可能拿到高分。
同时，任何考试都有技巧可循，当然这是建立在具有良好的基础之上的。
考试技巧往往具有画龙点睛的作用，运用得好，可以最大程度提高考试成绩。
那么，考研数学到底有那些技巧呢?下面就谈谈笔者自己和一些大神牛人总结的答题技巧，希望能对同学们有所帮助。
首页 > 考研数学 > 数学真题 >数学三真题考点分析:中值定理和微分方程辅导课程：魔鬼集训营来源：中公考研发布时间：2014-10-16 09:44:19[摘要]对于考研数学的复习，除了按照数学考试大纲的要求对知识点进行全面的复习外，要想取得高分，还应该了解往年的考研数学试题的规律。
中公考研辅导老师对数学真题进行了分析，供大家复习备考。
为了帮助广大考生复习好、考好数学，中公考研的老师对多年来考研数学真题各个章节考点的分布规律进行了细致的分析总结，现与大家分享，供各位考生参考，希望对大家有所帮助。
下面对考研数学(三)中的中值定理及导数的应用和微分方程部分的真题考点进行分析总结。
上面表格中数字表示相应年份的试卷中考题的题号，数字后面括号里的文字说明表示该考题涉及的主要考点或主要解题方法。
其中：1)“罗尔”指罗尔中值定理，“拉格”指拉格朗日中值定理，“柯西”指柯西中值定理，“泰勒”指泰勒公式，“洛必达”指洛必达法则;2)“一阶”指一阶线性微分方程，“二阶”指二阶常系数线性微分方程，“分离”指可分离变量的微分方程，“齐次”指齐次微分方程;3)“变限求导”指对变限积分函数求导;4)“不等式”指不等式证明;5)“零点”指函数的零点及零点定理;“介值”指连续函数的介值定理，6)“积分中值”指积分中值定理，7)“旋转体积”指旋转体的体积，8)“最值”指函数的最大值和最小值。
微积分三大中值定理详解
第十一页，共51页。
例 2已 知 f(x) (x 2 )(x 1 )(x 1 )(x 3 ),不 求 导 数 ， 试 确 定 f(x) 0 有 几 个 实 根 及 其 所 在 范 围 . 解 f (x), f (x)都是多项式
若满足,求出定理中使f()0的.
解 f (x) 2x3 5x2 2x 5 f (x) 6x2 10x 2都是多项式；
f (x)在[1,1]上连续,在(1,1)内可导 且f (1) f (1) 0.
f (x)满足Rolle定理的三个条件.
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而 f ( ) 6 2 10 2 0 (1 1) 得 1 5 6 37 (1,1)，
f (x)在闭区间[-2，-1]， [-1， 1]， [1，3]上连续， f (x)在开区间(-2，-1)，(-1， 1)，(1，3)上可导;
且f (2) f (1) f (1) f (3) 0, f (x)在[-2，-1]， [-1， 1]， [1，3]上均满足RTh条件.
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注：本例中，应用定理的关键是主动找区间。
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例3 设f (x)在[a,b](0ab)上连续，在(a,b) 内可导，且f(a)b, f(b)a,证明在(a,b)内至
少存在一点，使得f()f().
分析 f (x) f (x) xf (x) f (x) 0 x
(xf (x)) 0;若令F (x) xf (x) 则问题的结论就转化为证明F(x) 0 构造辅助函数F (x) xf (x)，就可以用 罗尔定理来证明。
至少存 (在 x 在 0,x1之 一 )使 间 ,个得 f()0.
微积分12-微分中值定理
第五节微分中值定理一. 费马定理二. 罗尔中值定理三. 拉格朗日中值定理费马定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理微分中值定理我们常常需要从函数的导数所给出的局部的或“小范围”性质, 推出函数本身整体的或“大范围”性质. 为此, 我们需要建立函数的差商与函数的导数间的基本关系式, 这些关系式称为“微分学中值定理”.这些中值定理的创建要归功于费马、拉格朗日等数学家.首先, 从直观上来看看是怎么一回事.极值的定义若内有定义在设 , )(U )( 0x x f , )(Uˆ )()(00x x x f x f ∈≤, )( )( 0的极大值为则称x f x f , )(Uˆ )()(00x x x f x f ∈≥, )( )( 0的极小值为则称x f x f .0为函数的极大点x .0为函数的极小点xI , I )( 内某点且在内有定义在区间设x f 则必有存在若处取极大（小）值 , )( . ξξf '. 0)(='ξf 一. 费马定理可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零.定理O x y )(x f y =a b ξP 费马定理的几何解释 如何证明如何证明, I )( 内有定义在区间设x f 处且在 ξ=x ),( ξf 取极大值则有)(Uˆ )()(ξξ∈≤x f x f 则存在若 , )( ξf ' , 0)()(lim )(0≤∆-∆+='+→∆+xf x f f x ξξξ , 0)()(lim )(0≥∆-∆+='-→∆-xf x f f x ξξξ于是. 0)(='ξf （极小值类似可证）证如何保证函数在区间内部取极值？O xy a b )(x f y 但是……不保证在内部！O xy)(x f y =ξPa b 0)(='ξf 水平的可保证在内部一点取到极值二. 罗尔中值定理设;]) ,([)( )1(b a C x f ∈;) ,( )( )2(内可导在b a x f ,)()( )3(b f a f =则至少存在一点.0)( , ) ,(='∈ξξf b a 使得定理O xy)(x f y =ξa b A B实际上, 切线与弦线 AB 平行. 实际上, 切线与弦线 AB 平行.]) ,([)( b a C x f ∈ 上取到它的最大值、必在 ] ,[ )( b a x f ∴最小值至少各一次.)(min , )(max ],[] ,[x f m x f M b a x b a x ∈∈==令mM = )1(若],[ )( b a x M x f m ∈∀≤≤ ],[ )( b a x m x f ∈=∴.0)( , ) ,( ='∈∀ξξf b a 均有故证)( )2(m M M m ≠<即若]) ,([)( b a C x f ∈ 上取到它的最大值、必在 ] ,[ )( b a x f ∴最小值至少各一次., )()( b f a f =又 . )( m M b x a x x f 和处分别取到和不能同时在故==使得即至少存在一点 ,) ,( b a ∈ξ.)( )(m f M f ==ξξ或由费马定理可知：.) ,( 0)(b a f ∈='ξξ, , ,,, d c b a d c b a <<<皆为实数设,))()()(()(d x c x b x a x x f ----= . , 0)( 并指出根所在区间仅有三个实根证明方程='x f , ) ] ,[], ,[], ,[()(d c c b b a C x f ∈,0)()()()( ====d f c f b f a f 又,),( , )(内可微在是四次多项式+∞-∞x f 得上运用罗尔中值定理在 , ] ,[, ] ,[, ] ,[ d c c b b a. 0)()()(321='='='ξξξf f f 例1证其中,. ) ,( , ) ,( , ) ,(321d c c b b a ∈∈∈ξξξ.0)( 至少有三个实根即='x f, )( 是四次多项式x f, )( 是三次多项式x f '∴.0)(至多有三个实根='x f 综上所述,,0)(仅有三个实根='x f .) ,( ), ,( ), ,(中分别在d c c b b a证明内可导在设 , ) ,( , ]) ,([)( b a b a C x f ∈)()())()(( 222x f a b a f b f x '-=- . ) ,( 内至少有一根在b a 例2分析1)目的：证明至少存在),(b a ∈ξ使)()())()(( 222='---ξξf a b a f b f 0)()())()(( 2)(22='---='=ξξξf a b a f b f x F x )()())()(( 2)(22x f a b a f b f x x F '---='即2）找辅助函数：得)()())()(( )(222x f a b a f b f x x F ---=由证明内可导在设 , ) ,( , ]) ,([)( b a b a C x f ∈)()())()(( 222x f a b a f b f x '-=-. ) ,( 内至少有一根在b a 例2证)()())()(()( 222x f a b a f b f x x F ---=令, )( 得的连续性和可导性则由x f , ) ,( )( , ]) ,([)(内可导在b a x F b a C x F ∈)()()()( 22a f b b f a b F a F -==又由罗尔定理, 至少存在一点使得 ) ,(b a ∈ξ0)()())()(( 2)(22='---='ξξξf a b a f b f F . ) ,( 内至少有一根方程在即b a满足其中实数 , , 1n a a 012)1(3121=--++--n a a a n n证明方程0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n , 2 ,0 内至少有一根在）（πx n n a x a x a x F n )12sin(123sin 3sin )( 21--+++= 令, )(02)0( ==πF F 则且满足罗尔定理其它条件,使故 2,0 )(πξ∈∃0)12cos(3cos cos )()(21=-+++='='=ξξξξξn a a a x F F n x 例3证. 2 ,0 内至少有一根即方程在）（π, ) ,( , ]) ,([)( )( 内可导在、设b a b a C x g x f ∈ . 0)( 0)( 的一个根的两各根之间至少有==x g x f 2))(()()()()( )()(x g x g x f x g x f x g x f '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛则的两个根是如果 , 0)( , 21=x f x x 0)()()()(2211==x g x f x g x f . ) 0)( (≠x g 这时必须想想, 看能不能找到证明的方法.例4分析证明方程且 . 0)()()()( ), ,(≠'-'∈∀x g x f x g x f b a x, ) ,( , ]) ,([)( )( 内可导在、设b a b a C x g x f ∈证明方程且 . 0)()()()( ), ,(≠'-'∈∀x g x f x g x f b a x . 0)( 0)( 的一个根的两各根之间至少有==x g x f 例4证. 0)( ) ,( , 21的两个根是设=∈x f b a x x. 0)( 21及其之间没有根与在并设方程x x x g =, )()()( x g x f x F =令.21x x <不妨假设 . 0)( ）（此时≠x g ,] ,[ )(21上满足罗尔定理条件在x x x F 则由已知条件可知:使得故至少存在一点 , ) ,( 21x x ∈ξ0)()()()()()(2='-'='ξξξξξξg g f g f F . , 0)()()()( 与已知矛盾从而='-'ξξξξg f g f 该矛盾说明命题为真 .如果使用一次罗尔定理后,能否再一次使用罗尔定理?如果需要, 当然可以使用.例5证, ),( ]), ,([)(),( 内二阶可导在设b a b a C x g x f ∈ ),,( ),()( ),()( ),()( b a c b g b f c g c f a g a f ∈===且).()( ),,( :ξξξg f b a ''=''∈使得至少存在一点证明 ,)()( ),()()( 0==-=c a x g x f x ϕϕϕ则令 .0)( ),,( ,11='∈ξϕξ使得至少存在一点由罗尔中值定理c a0.)( ),,( ,22='∈ξϕξ使得至少存在一点同理b c , )( ],[ 21则再运用罗尔中值定理上对函数在x ϕξξ'),,(),( 21使得至少存在一点b a ⊂∈ξξξ,0)())((=''=''=ξϕϕξx x).()( ξξg f ''=''即例6证,0)( , )( ),( =a f I x g x f 且有上可微在区间设 0)()()( , , ,0)(='+'∈=x g x f x f I b a b f 证明方程).,( 0b a x ∈至少存在一根, ),,( 0 ,)( 令所以由于+∞-∞∈>='x e e e x x x,)()()(x f ex F x g = .0)()()())(()(0)(0)(0)(0000='+'='='=x g e x f e x f x f ex F x g x g x x x g ,0)()( , ),( ]),,([)(==∈b F a F b a b a C x F 且内可导在 :则由已知条件可知 ),( :0使得至少存在一点故由罗尔中值定理b a x ∈. ,0)()()( ,0 000)(0即得所证故有因为='+'>x g x f x f e x g例6＋设)(x f 在],[b a 上连续，),(b a 内可导，且1)()(==b f a f ，试证存在),(b a ∈ξ，使1)()(='+ξξf f 注：))()((])([x f x f e x f e x x '+='))(1)((])1)(([x f x f e x f e x x '+-='--三. 拉格朗日中值定理设;]) ,([)( )1(b a C x f ∈,) ,( )( )2(内可导在b a x f 则至少存在一点, ) ,(使得b a ∈ξab a f b f f --=')()()(ξ))(()()( a b f a f b f -'=-ξ即定理O x y)(x f y =ξa b A B切线与弦线 AB 平行 切线与弦线 AB 平行)()()()( a x a b a f b f a f y AB ---+=的方程：弦如何利用罗尔定理来证明？如何利用罗尔定理来证明？)()()()()()( a x ab a f b f a f x f x -----=ϕ令则由已知条件可得：, ]) ,([)(b a C x ∈ϕ. ) ,( )(内可导在b a x ϕ,0)()( ==b a ϕϕ且故由罗尔定理, 至少存在一点使得, ) ,(b a ∈ξ0)()()()(=---'='ab a f b f f ξξϕ))(()()( a b f a f b f -'=-ξ即证定理的证明方法很多, 例如, 可作辅助函数)()())()(()(x f a b x a f b f x F ---=定理中的公式均可写成还是不论 b a b a ><) , ( ))(()()(之间在b a a b f a f b f ξξ-'=-拉格朗日有限增量公式1)(0 )()()(<<∆∆+'=-∆+θθx x x f x f x x f )( )(之间与在x x x x f y ∆+∆'=∆ξξ式可写成拉格朗日中值定理的公), ( |||)(| |)()(|之间在b a a b f a f b f ξξ-'=-拉格朗日中值定理告诉我们, 在t=a 到t=b 的时间段内, 连续运动的物体至少会在某一时刻达到它的平均速度.？以得出其它的什么结论由拉格朗日中值定理可)( )()()(a b f a f b f -'=-ξ)( )()()(1212x x f x f x f -'=-ξ).,( 0)( )1(b a x x f ∈='.)(常数=x f .|)(| )2(M x f ≤'.|| |)()(|00x x M x f x f -≤-).0( 0)( )3(≤≥'x f )( )(↓↑x f 还有什么？, I , . I , 0)( 21有则若∈∀∈='x x x x f, 0))(()()(2121=-'=-x x f x f x f ξ推论 1.I , )( , I , 0)( ∈=∈∀='x C x f x x f 则若. )()(21x f x f =推论 2)()())()((x g x f x g x f '-'='-, I )()( ∈'='x x g x f 若 , I , 0))()(()( ∈='-='x x g x f x F 则.I )()( , I )()( ∈+=∈'='x C x g x f x x g x f 则若( C 为常数 ). I , )()()(∈=-=x C x g x f x F推论 3, ) )( ( |)(| 有界即若x f M x f '≤' . || |||)(| |)()(| a b M a b f a f b f -≤-'=-ξ则则且条件 ), ,( , |)(| ,b a x M x f ∈≤'|||)()(|a b M a f b f -≤-理上满足拉格朗日中值定在若 ] ,[ )( b a x f 用来证明一些重要的不等式用来证明一些重要的不等式推论 4. , I ,1221x x x x >∈∀不妨设 )( ))(()()(211212x x x x f x f x f <<-'=-ξξ,)()( , I 0)( 12x f x f x x f >∈>'则若,)()( , I 0)( 12x f x f x x f <∈<'则若, )0)(( 0)( , I )( ≤'≥'x f x f x f 且可导在区间若．减少上单调增加在区间则)( I )( x f 用来判断函数的单调性用来判断函数的单调性（在后面讲）该推论可以用来证明不等式., 0 时当证明：b a <<.ln a a b a b b a b -<<-)(1ln ln )(1 a b aa b a b b -<-<-即要证,]b ,[ , ln )( a x x x f ∈=令, ] ,[ )( 理条件上满足拉格朗日中值定在则b a x f 故, )(1ln ln b a a b a b <<-=-ξξ从而 .ln aa b a b b a b -<<-例8证. , 1 x e e x x>>时当证明：)1( ln 1 >>-x x x 即要证))(()()( a b f a f b f -'=-ξ比较有上运用在 , 01ln ] ,1[ =x .1ln ln 1->-x x ], ,1[ ln )( 则由拉格朗日中值定理令x t t t f ∈=).1( , 1)1(11ln ln x x x x <<-<-=-ξξ得 . , 1 ex e x x>>时故当例9证. ]1 ,1[ , 2arccos arcsin -∈≡+x x x π证明： , 0)11(11)arccos (arcsin 22=--+-='+x x x x , 1) ,1( 时当-∈x )1 ,1( arccos arcsin -∈≡+x C x x 故从而计算得取 ,2 0 π==C x . )1 ,1( 2arccos arcsin -∈≡+x x x π例10证, ) ]1 ,1[ ()arccos (arcsin 可得由-∈+C x x . ]1 ,1[ 2arccos arcsin -∈≡+x x x π延拓!内满足关系式在若证明： ) ,( )( ∞+-∞x f .)( , )()( , 1)0(xe xf x f x f f =='=则. ) ,( , 1)( ∞+-∞∈≡x e x f x 即要证), ,( ,)()( ∞+-∞∈=x ex f x x ϕ令x x x ee xf e x f x 2)()()( -'='ϕ ), ,( ,0∞+-∞∈=x 例11证). ,( ,)( ∞+-∞∈=∴x C x ϕ,1)0( =f 又 )()( C e x f x x ==ϕ1)0()0( 0==e f ϕ故 . 1=C 从而.) ,( ,)(∞+-∞∈=x e x f x] ,[ )( , 523)( 2b a x f x x x f 在求设++= . 值理的上满足拉格朗日中值定ξ ] ,[ )( 满足拉格朗日中值在易验证b a x f .定理的条件 , )2)((6)52(35)2(3 22a b a a b b -+=++-++ξ由, 6)(3 ξ=+a b 得 . 2 a b +=ξ从而所求为例12解, ) ,( , ] ,[ )( 内可导在上连续在如果b a b a x f )( , )0)(( 0)( ] ,[b a x f x f x f ↑≤'≥'则可推出且.))((] ,[b a x f ↓ )( , )0)(( 0)( x f x f x f I 则上如果在区间<'>').( 严格单调减少上严格单调增加在区间I 由推论4知：. ) ,( , 3的单调性讨论∞+-∞∈=x x y O xy 3x y =, 03)(23≥='='x x y , 0 时且仅当=x , 0='y . ) ,(3∞+-∞↑x 故, ) ,(时∞+-∞∈x 解例7. ]2 ,0[ sin 上的单调性在讨论πx x y -=,) ]2 ,0[ (sin πC x x y ∈-= , )2 ,0( , 0cos 1π∈>-='x x y .sin ]2 ,0[π↑-=∴x x y 例13解. )1ln( , 0 x x x +>>时：证明,) ,0[ , )1ln()( ∞+∈+-=x x x x f 令, ) ) ,0[ ()( ∞+∈C x f 则,0)0(=f 又 , ) 0( , 0111)(时>>+-='x xx f 故, )() ,0[∞+↑x f 从而 , )0( , 0)0()(>=>x f x f 即. )1ln( , 0x x x +>>时例14证。
微分中值定理
微分中值定理及其应用一 罗尔定理与拉格朗日定理数学分析研究的基本对象是定义在实数集上函数的性质，而研究函数性质的最重要工具之一就是微分中值定理，微分中值定理主要指拉格朗日中值定理。
1、罗尔中值定理：若函数满足如下条件： （i ）在闭区间[a ，b]上连续； （ii ）在开区间（a ，b ）内可导；（iii ）()()f a f b =，则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=（分析）由条件（i ）知在[a ，b]上有最大值和最小值，再由条件（ii ）及（iii ），应用费马定理便可得到结论。
证明：因为f 在［a,b ］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M 与m 表示，现分两种情况讨论：(i)若M = m , 则 f 在［a,b ］上必为常数，从而结论显然成立。
(ii)若m ＜ M ，则因f (a)= f (b)，使得最大值M 与最小值m 至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f 的极值点，由条件(ii) f 在点ξ处可导，故由费马定理推知()0f ξ'=注1：罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。
注2：习惯上把结论中的ξ称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立，见下图：例 2,1()0,211,12x x F x x x ⎧<⎪=-≤≤-⎨⎪≤≤⎩易见，F 在x=-1不连续，在x=±1不可导，F(-2)≠F（2）, 即罗尔定理的三个条件均不成立，但是在（-2，2）内存在点ξ,满足()0f ξ'=注3：罗尔定理结论中的ξ值不一定唯一，可能有一个、几个甚至无限多个，例如：显然f 在[-1，1]上满足罗尔定理的条件，在（-1，1）内存在无限多个 ξ=1,1,2,k k π= 使得 ()0f ξ'=。
2、拉格朗日（Lagrange ）中值定理：若函数 f 满足如下条件：（i ）f 在闭区间[a,b]上连续；（ii ）f 在开区间(a,b)内可导；则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得()()()f b f a f b aξ-'=-（分析）罗尔定理是拉格朗日中值定理：ƒ（a ）=ƒ(b)时的特殊情况，应用罗尔定理证明此定理要构造辅助函数使得()F x 满足罗尔定理的条件证明：作辅助函数显然，由（i ）-(iii) 知 F （a ）=F(b)（=0）， 且F 在[a ，b]上满足罗尔定理的另两个条件，故存在点ξ∈(a ，b)，使得()0F ξ'=即 ()()()f b f a f b aξ-'=- 注1°罗尔定理是拉格朗日中值定理ƒ（a ）=ƒ(b)时的特例注2°几何意义：在满足拉格朗日中值定理条件的曲线()y f x =上至少存在一点(,())f ξξ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的联机AB ，我们在证明中引入的辅助函数()F x ，正是曲线 ()y f x =与直线AB之差，事实上，这个辅助函数的引入相当于坐标系统原点在平面内的旋转，使在新坐标系下，线段AB 平行于新х轴（F （a ）=F （b ））。
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2016考研数学：三个微分中值定理
每年考研数学必有一道证明题，分值在10分左右，其中百分之九十涉及到的是微分中值定理及其应用。
而微分中值定理及其应用最难的就是三个微分中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。
它们是考研数学的重难点，现分别从涉及的知识点、考查方式、方法选择、真题链接等四个方面进行分析。
一、涉及的知识点及考查形式
可涉及微分中值定理及其应用的知识点有，微分中值定理，洛必达法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数图形的描绘，函数的最大值与最小值，弧微分(数一、数二要求)，曲率的概念(数一、数二要求)，曲率圆与曲率半径(数一、数二要求)。
微分中值定理以间接考查或与其他知识点综合出题的比重很大，也可以直接出题，所以考查形式有多种。
如利用导数的几何意义考查函数的特性，讨论导数零点存在性或方程根个数问题，不等式的证明，证明含中值的等式，求极限等。
二、方法选择
题目考查微分中值定理，那么选择哪一中值定理成为解题的关键。
针对题目的特点，可根据如下情况选择对应的微分中值定理：如果结论不包含端点，优先考虑罗尔定理；如果结论中包含端点，则考虑拉格朗日中值定理或柯西定理。
那么选择拉式还是柯西定理，需要对结论做进一步的处理，化为定理的标准形式。
如第一个标准，左边是只含端点，右边只含中值；第二个标准，左边进一步处理，分子分母减号，一侧只含右端点，一侧只含左端点。
整理后，如果分母是端点相减，则选择拉格朗日定理；否则，选择柯西定理。
三、求解步骤及历年真题解析
涉及到微分中值定理，一般首先要找辅导函数。
针对拉式中值定理和柯西定理，经过对要证明的结论化为标准形式，可直接得出辅助函数。
而罗尔定理，需要把结论化为微分方程的一般形式，使用积分因子法可找到。
有了辅助函数，根据中值定理，列出定理对应的三个条件，得出结论。
四、小结
三个微分中值定理(条件与结论)的理解及其区别是复习的要点，而方法的选择是解题的关键。
三个微分中值定理(条件与结论)的理解及其区别理解透了，才能正确使用方法进行求解。
知识点的理解一定要结合一定量的习题才能真正掌握知识点，并应用于考研。
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