黄胜琼：反比例函数与一次函数综合应用教案
《反比例函数与一次函数的综合运用》教学设计
《反比例函数与一次函数的综合运用》教学设计【教材】新人教版数学九年级【课时安排】1 课时【教学对象】九年级【教材分析】学生已经学过反比例函数和一次函数，有了一定的了解，但是综合性有待提高。
本节课的内容结合了七年级下册二元一次方程，八年级上册最短路径问题，八年级下册一次函数以及九年级下册反比例函数的内容，包含着初中数学三年里的部分内容，综合性强。
通过本节课的学习可以使学生思维变得更开阔，也对以后更好的学习各种科学知识有很大的帮助。
本节课的学习渗透数形结合、方法归纳等数学思想，培养学生实践能力、概括能力，也培养学生的合作交流意识和探索精神。
【学情分析】学生对反比例函数和一次函数的概念、图象和性质已经基本掌握，但综合起来，就要考验学生的计算能力、读图能力和分析能力了，这对于我校的学生来说是有待提高的。
因此我选择了从稍微简单的题目入手，进而突破中考 9 分题的第一题函数问题，再利用变式训练进行强化，意在让学生提高能力的同时更能增强学生学习数学，解决综合题，提高中考数学成绩的信心。
【教学目标】✧知识目标（1）理解并掌握用待定系数法确定一次函数、反比例函数的解析式；（2）已知一次函数与反比例函数的解析式，求它们图象的交点坐标；（3）能利用轴对称变化解决最短路径问题；（4）会解决一次函数与反比例函数相结合的综合问题。
✧能力目标（1）通过对一次函数与反比例函数综合问题的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识；（2）培养学生数形结合思想、方法归纳思想等。
情感目标通过解题进一步理解数形结合的数学思想在函数中的应用。
【教学重点】灵活掌握求反比例函数的解析式，求一次函数与反比例函数图象的交点坐标。
【教学难点】利用数形结合的思想方法解一次函数、正比例函数的综合题以及最短路径问题。
【教学方法】采用“学案导学、小组合作”的探究式教学方法：以导学案为辅助手段，通过小组合作探讨等方式解一次函数、正比例函数的综合题。
一次函数与反比例函数综合应用教案
一次函数与反比例函数综合应用教案一、教学目标1. 让学生掌握一次函数和反比例函数的基本概念和性质。
2. 培养学生运用一次函数和反比例函数解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过合作交流，提高解决问题的策略和思维能力。
二、教学内容1. 一次函数的基本概念和性质。
2. 反比例函数的基本概念和性质。
3. 一次函数和反比例函数的综合应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：一次函数和反比例函数的基本概念、性质和综合应用。
2. 教学难点：一次函数和反比例函数的综合应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究一次函数和反比例函数的性质。
2. 利用案例分析法，让学生通过实际问题体会一次函数和反比例函数的应用价值。
3. 采用合作交流法，培养学生团队协作和沟通能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活实例引入一次函数和反比例函数的概念。
2. 自主学习：让学生自主探究一次函数和反比例函数的性质。
3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用一次函数和反比例函数解决问题。
4. 合作交流：分组讨论，让学生分享解题策略和心得。
5. 总结提升：总结一次函数和反比例函数的性质及应用，提高学生解决问题的能力。
6. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学活动设计1. 活动一：引入概念通过展示实际生活中的线性关系图片，如直线轨道上列车的运动，引导学生思考线性关系的表现形式。
引导学生提出一次函数的表达式，并解释其含义。
2. 活动二：探索性质学生通过绘制一次函数图像，观察并总结其在坐标系中的性质。
通过实际例子，让学生理解一次函数的斜率和截距对图像的影响。
3. 活动三：反比例函数的引入引导学生从比例关系出发，思考反比例函数的概念。
通过实际问题，如在固定面积内，距离与面积的关系，引入反比例函数。
七、教学评价设计1. 评价目标：学生能理解并应用一次函数和反比例函数解决实际问题。
通过设计具有挑战性的问题，如购物预算问题，让学生应用所学的函数知识。
初三一次函数与反比例函数综合应用教案
点坐标 线段长 三角形面积
拓展提高：当直线AB绕点A顺时针旋转与反比例函数 （x<0）的图象交于B点，且与x轴交于点C，且AB＝2BC，求点B、C的坐标和直线AB表达式．
过 点作 轴的平行线，过 点作 轴的平行线，这两条直线交于点F，若反比例函数 的图象与△ABE有公共点，请直接写出 的取值范围．
教
学
过
程
教师活动
学生活动
设计意图
一、知识梳理.
【知识点1】一次函数与反比例函数图象的交点.
1.交点坐标：
一次函数 与反比例函数 的交点坐标是方程组 的解.
2.交点个数：
（1）从图象上看：
一次函数 与反比例函数 的交点个数由 值的符号来决定.
① 值同号，两函数图象必有两个交点（当 时，正比例函数与反比例函数图象两交点关于原
若y轴上有一点P，且S△PAB=14，
求P点坐标；
若坐标轴上有一点P，且S△PAB=14，
求P点坐标．
【方法归纳】
三角形面积 点坐标
变式二：在例2的已知条件下，过点A作AE⊥x轴与E，当直线AB绕着点A转动时,与 轴的交点为D(b,0)，并与反比例函数图象的另一支还有一个交点的情形下,求△AED的面积S与b之间的函数关系式.并写出自变量b的取值范围．
学生总结，理解.
学生思考，求解.
对一次函数和反比例函数的交点与原点连线围成的三角形面积情况进行总结.
从函数表达式求点坐标，再由点坐标求函数表达式.
教
学
过
程
教师活动
学生活动
设计意图
【方法归纳】
表达式点坐标表达式点坐标
例2：已知：如图，已知A（-1,6），B(n,-1)是一次函数 的图象和反比例函数 的图象的两个交点．
反比例函数与一次函数的综合运用优秀教案
反比例函数与一次函数的综合运用教学设计一．教学目标能够运用一次函数和反比例函数的图象与性质解决一次函数与反比例函数的综合题。
二、教学重点、难点1、用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式。
求一次函数与反比例函数的交点坐标。
2、反比例函数、一次函数与几何图形的紧密联系，求围成的几何图形的面积。
3、利用图象性质，观察比较反比例与一次函数的函数值大小。
三、教学方法：讲练结合四、教学过程例：如图，已知点A（-4，2）、B（n，-4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=m/x图象的两个交点：（1）求点B的坐标和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．解：（1）∵点A（-4，2）和点B（n，-4）都在反比例函数y=m/x的图象上∴m=-8,-4n=-8∴n=2∴B（2，-4）又由点A（-4，2）和点B（2，-4）都在一次函数y=kx+b的图象上∴-4k+b=2,2k+b=-4 , 解得k=-1,b=2∴反比例函数的解析式为y=-8/x一次函数的解析式为y=-x-2（2）由（1）得一次函数y=-x-2，令x=0，解得y=-2，∴一次函数与y轴交点为C（0，-2），∴OC=2，∴S △AOB =S △AOC +S △BOC= OC•|y 点A横坐标|+ OC•|y 点B横坐标|= ×2×4+ ×2×2=6．∴S △AOB =6；(3)、-4＜x＜0或x＞2．四、小结本节课我们通过一个题目的学习，学习了反比例函数的一次函数的综合运用。
反比例函数与一次函数综合应用教案
反比例函数与一次函数综合应用教案反比例函数与一次函数的综合应用学情分析：学生已经学过了反比例函数和一次函数，对其有一定的了解，但综合性有待提高。
本课程旨在针对中考反比例函数与一次函数结合的题目进行复练。
教学目标：1.知识目标：理解一次函数、正比例函数、反比例函数的概念。
掌握一次函数、正比例函数、反比例函数的图象及性质。
2.能力目标：能够用待定系数法求解一次函数、正比例函数、反比例函数的解析式。
能够作出一次函数、正比例函数、反比例函数的图象。
能够应用一次函数与反比例函数的图象与性质分析解决综合题。
3.情感态度与价值观：通过解题进一步理解数形结合的数学思想在函数中的应用。
教学重点：1.理解一次函数、正比例函数、反比例函数的图象及性质。
2.用待定系数法求解一次函数、正比例函数、反比例函数的解析式。
3.熟练应用一次函数与反比例函数的图象与性质进行解题。
教学难点：1.灵活运用一次函数、正比例函数、反比例函数的知识解决综合题。
2.进一步利用数形结合的思想方法进行解题。
教学方法：讲练结合学情分析：学生已经基本掌握反比例函数和一次函数的概念、图象和性质。
但是学生的计算能力、试图能力和分析能力有待提高。
因此，本课选择了稍微简单的综合题，旨在让学生提高能力的同时增强研究数学的自信心。
教学过程：一）源于中考，以点展面（导入）给定一个函数具有下列性质：①它的图象经过（－1，4）；②在每个象限内，函数y的值随自变量x的值增大而增大。
请写出一个符合上述条件的函数关系式。
设计意图：本题属于开放性试题，答案可以是反比例函数（一般学生）也可以是一次函数（好学生），由此引出本节课的内容，反比例函数与一次函数综合应用】二）综合应用，提升能力（新授课）1.例题分析若y = -4/x的图象与正比例函数y = kx(k≠0)的图象在第二象限的交点为A(－1，n)，如图所示。
1）求正比例函数的解析式。
（中等学生回答）2）确定该函数的图象与正比例函数y = kx的图象另一个交点B的坐标。
初中数学人教九年级下册第二十六章 反比例函数反比例函数与一次函数的综合应用教学设计
《反比例函数与一次函数的综合应用》教学设计一．内容和内容解析【教学内容】《反比例函数与一次函数的综合应用》是义务教育课程标准实验教科书人教版九年级上册第二十六章第二节，教参建议本单元内容5个课时完成．我们把第1、2、3小节整合为两个课时，第1课时介绍反函数的概念，第2课时探索函数关系，并用合适的函数表示方法进行描述，第3课时认识反比例函数图象（“看图说话”），画函数图象，第4、5课时整合一次函数与反比例函数之间的综合应用．本设计是第5课时，是典型的数形结合整合课，引导学生从函数图像中整合函数关系，其中运用待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，通过函数图像找出反比例函数和一次函数之间的关系是本节核心内容．【教材分析】函数是数学中最重要的基本概念之一，它刻画了现实世界中一类数量关系之间的“特殊对应关系”．方程、不等式、函数是初中数学的核心概念，它们从不同的角度刻画一类数量关系．本节课是反比例函数与一次函数的综合应用，首先必须准确运用一个点的坐标求出反比例函数的解析式，初步感受到坐标轴与函数之间联系的复杂性，同时感受到数学研究方法的化繁就简，本设计只选取了其中较为简单的例子．考虑到初中列函数的解析式是f x表示y，本节课中涉及的列函数解析式不是新的教学内容（通过函数图一个难点，其本质是用含x的式子()像找出反比例函数和一次函数之间的关系才是本节新的教学内容），因此把设计的重点放在运用待定系数法和观察图像法上，考虑到学生在日常生活中也能接触到函数图象，函数图象较为直观形象，便于学生理解函数之间的联系，在求面积时学会分割思想。
【学情分析】反比例函数的概念把学生由一次函数（直线）的学习引入到双曲线数学学习中.学生并不是初次接触函数的概念，所以理解起来较为容易，另一方面，学生在日常生活中也接触到函数图象等生活实例．在本节教学中，试图从学生较为熟悉的现实情景入手，引领学生在图像中去观察，进而达到掌握的目的。
二．目标和目标解析【知识目标】1、掌握反比例函数和一次函数解析式的求法（待定系数法）2、学会点关于原点、x轴、y轴的对称点3、掌握一次函数与坐标轴交点的特性4、学会分割：一次函数与反比例函数围成的三角形的面积，将所求的面积分割成多个三角形面积。
一次函数和反比例函数综合教学设计
一次函数和反比例函数综合应用教学设计教学过程教学环节教学活动设计意图情境引入1.复习二元一次方程与一次函数关系。
（1）已知二元一次方程组的解求相应函数图象交点坐标；（2）已知函数图象交点坐标求相应二元一次方程组的解；（3）在同一平面直角坐标系中,若一次函数y=-x+3与y=3x-5的图象交于点M,则点M的坐标为。
2.提出问题：一次函数的交点可以通过把一次函数相应的方程联立成方程组，方程组的解就是就是直线的交点。
那么一次函数和反比例函数的交点又怎么求？1.复习二元一次方程组的解和一次函数图象交点的坐标关系，回顾所学知识，感悟数形结合思想。
2.求一次函数图象交点的坐标，复习求一次函数交点坐标的过程，为教学求一次函数和反比例函数交点坐标作铺垫。
新知探究1.探究一次函数和反比例函数图象交点求法（1）多媒体展示题目；求反比例函数y=x2与一次函数y=x-1的图象的交点坐标。
（2）学生独立思考教师巡视指导；（3）同学间合作交流；（4）指名板演展示，教师适时点评。
（5）反思、总结求一次函数和反比例函数图象交点的方法，教师提炼板书：联立、转化、求解、写坐标。
2.求一次函数和反比例函数交点坐标例题（1）多媒体展示题目，指导学生读题；【例题1】如图，直线y＝x＋1与双曲线y＝kx的交点为A(1，m)和B.(1)求m的值；(2)求双曲线的解析式；(3)求点B的坐标．（2）学生独立思考；（3）同学间合作交流；1.学生在复习求一次函数交点坐标的基础上，利用类比的方法学习一次函数和反比例函数的交点，总结求一次函数和反比例函数的交点的步骤。
2.通过求一次函数和反比例函数的交点的例题，进一步巩固求一次函数和反比例函数的交点知识。
3.学生通过独立思考，学生间的合作交流，探究利用数形结合的方法确定自变量的取值范围，感受数形结合解决问题的好处，发展学生几何直观。
（4）多媒体展示学生完成的练习，学生互评，教师适时点评。
3.利用数形结合确定自变量的取值范围 （1）多媒体展示题目，学生读题理解题意； 【例题2】如图所示，反比例函数的图象y 1=xk 1与正比例函数y₂=k 2x 的图象交于点(2,1),则使y 1>y 2的x 的取值范围是( ) A ．0＜x ＜2B ．x ＞2C ．x ＞2或－2＜x ＜0D ．x ＜－2或0＜x ＜2（2）学生独立思考； （3）学生合作探究；（4）学生说解题思路，教师适时点评；（5）反思、总结根据一次函数和反比例函数图象交点确定自变量的取值范围的“三步法”：找交点写坐标，作垂线分区域，定区域写范围。
初中数学人教九年级下册第二十六章 反比例函数反比例函数与一次函数的综合应用教案
《反比例函数与一次函数的综合应用》教案一．【学习目标】1、掌握反比例函数和一次函数解析式的求法（待定系数法）2、学会点关于原点、x轴、y轴的对称点3、掌握一次函数与坐标轴交点的特性4、学会分割：一次函数与反比例函数围成的三角形的面积，将所求的面积分割成多个三角形面积。
二、【教学过程】（1）、预习温故：一次函数与反比例函数的综合比较（2）、新课早知1.在同一直角坐标系中,函数y = - x 1 与y =2x 图象的交点个数为( ).2.如图,一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =xm 的图象交于A (-2,1),B (1,n ) 两点.（1)求反比例函数和一次函数的解析式;（2)根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围.三、【综合应用】【例1】反比例函数y =x k 与直线y =mx 相交于A ,B 两点,B 点坐标为(-2,-3),则A 点坐 标为 .解析:由于y =x k 与y =mx 的图象都关于原点对称, 所以双曲线y =xk 与直线y =mx 的交点A ,B 也关于原点对称. 因为B 点坐标为(-2,-3),所以A 点坐标为(2,3).【例2】 如图,已知A (-4,n ),B (2,-4)是一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象和反比例函数y =x m(m ≠0)的图象的两个交点.（1)求反比例函数和一次函数的解析式;（2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积;（3)求方程kx +b -x m=0的解(请直接写出答案);（4)求不等式kx +b -x m<0的解集(请直接写出答案).四、【练习】1、函数y =2x 与函数y =-x 3在同一坐标系中的大致图象是( ).2、正比例函数y 1=k 1x (k 1≠0)与反比例函数y 2=x k 2 (k 2≠0)在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则当y 1>y 2时x 的取值范围是 .3.如图,已知直线y = -2x 经过点P (-2,a ),点P 关于y 轴的对 称点P '在反比例函数y =x k (k ≠0)的图象上. (1)求a 的值;（2)直接写出点P '的坐标;（3)求反比例函数的解析式.五、【作业】.如图,直线y =x +m 与双曲线y =xk 相交于A (2,1),B 两点.（1) 求m 及k 的值;（2) 解关于x ,y 的方程组 直接写出点B 的坐标;（3) 直线y =-2x +4m 经过点B 吗?请说明理由。
《一次函数与反比例函数综合(一)》教学设
《一次函数与反比例函数综合（一）》教学设计一、教材分析函数是初中数学的重要内容，近六年都在初中学业水平测试试卷的23题进行函数综合能力的考查，通常涉及一次函数与反比例函数的交点问题、函数的解析式、最值问题、面积问题、特殊图形的存在性问题等。
二、学情分析学生已经学习了一次函数与反比例函数的概念、图象和性质，有一定的知识基础，但识图能力和综合分析能力有待提高。
三、教学目标1.知识与技能：经历解决一次函数与反比例函数综合问题的过程，对一次函数与反比例函数有进一步的整体和拓展认识。
2.数学思考：分析条件，选择合适的方法利用线段的比例关系求函数解析式、面积问题、直角三角形存在性问题。
3.问题解决：通过一次函数与反比例函数综合题组练习，探究归纳同类题型的基本方法，进一步体会数学方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想。
4.情感与态度:以题组训练为载体，以学生为主体，小组合作，提高学生的综合分析和解决问题的能力，激发学生学习数学的主动性。
四、教学重点、难点重点：用待定系数法求函数解析式；一次函数与反比例函数的面积问题、直角三角形存在性问题。
难点：利用相似三角形、勾股定理等建立方程解决问题。
五、教学过程步骤（一）引入题组一：（2015广东改编）如图，反比例函数xky=（k≠0，x﹥0）的图象与一条直线相交于点C，过直线上点A（2，8）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数的图象于点D。
（1）若AB=4BD，求k的值。
此题组以中考真题引入，由浅入深，以待定系数法为主线，利用线段的比例关系综合相似三角形、方程等，让学生体会方程思想、转化思想，提高综合分析能力。
变式②一题多解，多解归一。
设点坐标→得线段长（三角形面积）→建立方程变式①：若C是OA的中点，求k的值。
变式②：如图，反比例函数xky=（k≠0，x﹥0）的图象与一直线相交于点C，过直线上点A作AB⊥x轴于点B，交反比例函数的图象于点D。
若OB=2，AD=6，C是OA的中点，求k的值。
《一次函数与反比例函数的综合应用》教学设计
（一）、知识与技能：
1、理解和掌握一次函数与反比例函数的表达式，图象及其性质。
2、能熟练运用待定系数法求函数的表达式；利用联立方程组思想求交点坐标；数形结合的思想求变量取值范围，转化思想等方法解决函数综合应用题。
（二）、过程与方法：
1、通过对零散知识点运用思维导图进行系统梳理，让学生对一次函数、反比例函数的知识体系结构化。
2、广东省近几年数学中考中一次函数与反比例函数综合题的考查情况表：
年份2012年2013年2014年
题号第17题第10题第23题
1、学生听
1、教师在此 活 动中，要重点关注的是：
（1）问题的提出是否引起了学生的兴趣；
（2）学生
是否高度重视，有主动积极参与到活动中来， 有种跃跃欲试的感觉。
教师对本
节课内容
1、（2011年湖南怀化中考题）正比例函数
y2x与反比例函数y1在同一坐标系中的
x
大致图像是（ B）
2、（2017湖南张家界中考题）在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m（m≠0）与ym
x
m≠0）的图象可能是（D）
针对引例题 2 类型的变式训练题：
3、（2011年浙江杭州中考题）函数y1x1和
引例 2：(2011 年贵州贵阳中考题)如图，反
k1
比例函数y1=x和正比例函数y2=k2x的图象
k1
交于A（-1，-3）、B（1，3）两点，若x＞k2x，
则x的取值范围是（C）A、-1＜x＜0
B、-1＜x＜1
C、x＜-1或0＜x＜1D、-1＜x＜0或x＞1
k1
解析：根据题意，若x＞k2x，则只须y1＞y2，
（2）并且无论P怎样移动，△OPA的面积和矩形OAPB的面积都保持不变。
《一次函数和反比例函数的综合运用》教学设计
《一次函数和反比例函数的综合运用》教学设计一、教学内容分析教学内容：一次函数和反比例函数的综合运用内容分析：一次函数和反比例函数是在初中阶段比较重要的两个函数问题,是二次函数的基础，学生不仅要掌握函数知识，还应该掌握解决问题的常规方法，利用“方程思想”“数形结合”思想及“转化”的数学思想解决问题。
在教学中要注重类比教学和启发式教学，通过对知识的传授与运用，让学生达到举一反三，触类旁通的目的。
同时也要注重“数形结合”思想的运用，数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，而“数形结合”就是通过数与形之间的对应和转化来解决问题，以形助数和以数解行两个方面，利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化。
本节课主要是让学生掌握一次函数和反比例函数的综合运用，近几年的中考也有涉及一次函数和反比例函数的综合运用等相关问题，解决一次函数和反比例函数的综合运用主要是一次函数和反比例函数的相交问题和围成图像的面积计算问题，解决此类问题，主要要熟练一次函数和反比例函数的解析式和性质，借助图像，运用知识，利用“方程思想”“数形结合”思想及“转化”的数学思想解决问题。
二、教学目标：1、知识与技能：理解和掌握一次函数与反比例函数的概念、图像、性质，会运用知识分析解决一次函数与反比例的综合题，培养学生的发散思维能力。
2、过程与方法：让学生经历一次函数与反比例函数的复习过程，进一步领会“方程思想”“数形结合”思想及“转化”的数学思想，遵循“优化”原则。
3、情感、态度、价值观：通过全班互动，小组探究合作学习，培养学生的合作意识，增进学生的感情，培养沟通能力，通过方法探索，培养学生的探索钻研精神。
三、教学重难点重点：熟练应用一次函数与反比例函数的图像和性质进行解题。
难点：利用“数形结合”以及转化思想解决问题。
三、工具、教法和学法1、教学工具：多媒体2、教学方法：本节课根据学生的认识水平采用启发式，练习法等教学方法，讲练结合，在学生和教师共同分析，合作探究，小组讨论，展示交流，互相启发的过程中，教师适时适当地点拨、肯定、表扬学生，给学生提供展示的机会，激发学生的学习积极性，使学生主动参与学习的全过程。
一次函数与反比例函数综合应用教案
一次函数与反比例函数综合应用教案一、教学目标1. 让学生理解一次函数和反比例函数的定义及其性质。
2. 培养学生运用一次函数和反比例函数解决实际问题的能力。
3. 引导学生运用数形结合的方法，探究一次函数与反比例函数的综合应用。
二、教学内容1. 一次函数的定义及其性质。
2. 反比例函数的定义及其性质。
3. 一次函数与反比例函数的综合应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：一次函数和反比例函数的定义及其性质，一次函数与反比例函数的综合应用。
2. 教学难点：一次函数与反比例函数的综合应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究一次函数与反比例函数的综合应用。
2. 利用数形结合的方法，直观展示一次函数与反比例函数的关系。
3. 通过小组合作、讨论交流，培养学生的团队协作能力。
五、教学过程1. 导入：回顾一次函数和反比例函数的定义及其性质，引导学生思考一次函数与反比例函数之间的关系。
2. 新课：讲解一次函数与反比例函数的综合应用，举例说明实际问题中的运用。
3. 案例分析：分析具体案例，让学生运用一次函数与反比例函数解决实际问题。
4. 课堂练习：布置相关练习题，巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调一次函数与反比例函数的综合应用。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 评价目标：检查学生对一次函数与反比例函数综合应用的理解和掌握程度。
2. 评价方法：课堂问答：通过提问，了解学生对一次函数与反比例函数定义、性质的理解。
练习题：分析学生完成练习题的情况，评估其对知识的运用能力。
小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，评估其合作和交流能力。
七、教学资源1. 教学课件：制作包含一次函数与反比例函数图示、案例分析的课件，辅助教学。
2. 练习题库：准备一系列针对一次函数与反比例函数综合应用的练习题。
3. 案例素材：收集或设计一些实际问题，作为学生练习的素材。
八、教学拓展1. 延伸学习：介绍一次函数与反比例函数在高级数学中的应用，如微积分中的极限概念。
一次函数与反比例函数综合教案
一次函数与反比例函数的综合教 学 设 计教学目标1知识与技能(1)会用待定系数法求函数解析式;(2)会通过函数图像比较函数值的大小;(3)会求坐标轴上的点和函数图像上的点连成的图形面积;(4)会求解最短路线问题.2过程与方法让学生亲身经历解决问题的过程，通过交流讨论，归纳总结解题方法.经历一次函数与反比例函数的综合运用，进一步领会“方程思想”、“数形结合”思想以及“转化”的数学思想，遵循“优化”原则．3情感与态度培养学生独立思考能力及合作意识.全班互动，有利于培养学生合作意识，增进学生之间的感情，通过方法探索，培养学生的专研精神．重点熟练应用一次函数与反比例函数的图象与性质进行解题．对一次函数与反比例函数的性质的掌握及综合应用难点进一步利用“数形结合”以及“转化”的方法解题．一次函数与反比例函数的性质的综合应用教学方法讨论式教学与练习式教学综合学法指导引导学生通过探索、合作讨论等，尽量让学生去思考、发现解决问题的方法．教学过程一、知识回顾1.回顾反比例函数的图像与性质2.回顾待定系数法求函数解析式步骤二、教学过程1.类型一：求函数解析式与比较函数值例1、如图，已知一次函数b kx y +=的图象与反比例函数y=-8x的图象交于A 、B 两点，且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是-2．求：（1）一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．练习1、如图，一次函数b kx y +=的图像与反比例函数xm y =的图像相交于A 、B 两点， （1）求反比例函数和一次函数的解析式（2）根据图像直接写出xm b kx <+的解集.方法总结：1.求解函数解析式关键找函数图像点的坐标,待定系数法求解.2.比较函数值,关键是找两函数的交点横坐标，观察函数图像的位置关系,确定自变量范围.2.类型二：求面积变式1、如图，已知一次函数b kx y +=的图象与反比例函数y=-8x的图象交于A 、B 两点,且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是-2．求：（1）一次函数的解析式；（2）求AOB ∆面积．例2、如图，一次函数y=b kx +与反比例函数)0(6>=x xy 的图象交于 A(m,6)，B(3,n)两点．且分别交点、轴于轴D C y x ,C （1）求一次函数的解析式；（2）求△AOB 的面积．总结： 反比例函数与一次函数图形中的面积求解问题,关键确定方法：直接求面积和间接求面积；而间接求面积又分成两种方法：一是分割求面积，二是整体减部分求面积.3.类型三：求解最短路线问题变式1、如图，一次函数y=b kx +与反比例函数)0(6>=x xy 的图象交于 A(m,6)，B(3,n)两点．且分别交点、轴于轴D C y x ,C（1）求一次函数的解析式；（2）在x 轴上是否存在一点M ，使得MA ＋MB 最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．变式2、如图，已知一次函数b kx y +=的图象与反比例函数y=-8x的图象交于A 、B 两点,且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是-2．求：（1）一次函数的解析式；（2）点C 是反比例函数图像上一点，且C 点的横坐标为-4,在y 轴上是否存在一点M ，使得MA ＋MC 最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.总结：C DC D求解函数图像中在直线上找一点求最短路线问题,关键是找其中一个点的对称点,则对称点与另一定点连线与该直线的交点即为所求点.三、课堂总结通过本节课的学习，你有那些收获？1.求解函数解析式关键找函数图像点的坐标,待定系数法求解.2.比较函数值,关键是找两函数的交点横坐标，观察函数图像的位置关系,确定自变量范围.3.反比例函数与一次函数图形中的面积求解问题,关键确定方法：直接求面积和间接求面积；而间接求面积又分成两种方法：一是分割求面积，二是整体减部分求面积.4.求解函数图像中在直线上找一点求最短路线问题,关键是找其中一个点的对称点,则对称点与另一定点连线与该直线的交点即为所求点.四、作业作业：书上P69 6,7,8,9思考题、如图，一次函数y=b kx +与反比例函数)0(6>=x xy 的图象交于 A(m,6)，B(3,n)两点．且分别交点、轴于轴D C y x ,,分别过A 、B 点作y 轴与x 轴的垂线,两条垂线相交于G,垂足为E 、F.（1）求一次函数的解析式；（2）点P 是x 轴上的一动点，Q 为直线AB 上一动点,试确定点P 使PE+PQ 最小并求出最小值．CD。
一次函数与反比例函数的综合运用教学设计
专题复习课课题名称一次函数与反比例函数的综合应用科目数学教学对象九年级教者课时第一课时总课时数66 一、教学目标（知识与技能，过程与方法，情感态度、价值观）知识与技能：经历解决一次函数和反比例函数综合问题的过程，对一次函数和反比例函数有进一步的整体和拓展认识.过程与方法：在解决一次函数和反比例函数的交点问题和计算一次函数与反比例函数图象所涉及的常见几何图形的面积的过程中，进一步提高学生的分析和解决问题的能力.情感态度与价值观：在探究问题解决过程中，体会“数形结合”，同时在数学学习活动中获得成功的体验.二、教学重难点重点：一次函数与反比例函数的综合运用.难点：一次函数与反比例函数重要知识点的综合运用三、教学策略选择与设计教法：合作交流、引导发现四、教学资源与工具准备教师准备：PPT五、教学过程教学过程师生活动及资源准备设计意图评价与反思基础知识自主学习通过对比两种函数的图像及其性质，让学生观察他们的相同点和不同点题组分类深度剖析知识点•对应精练【知识点】（1）正比例函数与反比例函数图象交点的对称性（2）一次函数与反比例函数图象的特点（3）一次函数与反比例函数图像交点问题及不等式（4）一次函数、反比例函数的图象与几何综合题【例1】如图所示，正比例函数y＝k1x与反比例函数y=的图象相交于点A、B 两点，若点A 的坐标为(2，1)，则点B的坐标是()A．(1，2) B．(－2，1) C．(－1，－2) D．(－2，－1)题组二函数图象的共存【例2】当a≠0时，函数y＝-ax＋1与函数y＝ax在同一坐标系中的图象可能是图中的 ( )让学生明确知识点，直击中考，明确复习方式，提高复习效率题组分类深度剖析【变式训练2】函数y＝ax－a与y＝ax(a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是图中的( )题组三交点问题与不等式【例3】如图所示，反比例函数y1＝k1x的图象与正比例函数y2＝k2x的图象交于点(2，1)，则使y1＞y2的x的取值范围是( )A．0＜x＜2 B．x＞2C．x＞2或－2＜x＜0 D．x＜－2或0＜x＜2【变式训练3】如图，正比例函数xky11=的图像与反比例函数xky22=的图象相交于A、B 两点，其中点A 的横坐标为2，当21yy＞时，X的取值范围是（）A．22＞或＜xx-B．22＜＜或＜xx-C．22＜＜或＜＜xx-D．22＞或＜＜xx-学生已经知道了一次函数与反比例函数的性质及其图像的相关知识，将两种函数结合，灵活的应用图像及其性质，用数形结合的思想更深入的掌握两种函数的性质，及其应用课堂总谈谈收获结作业真题卷P26 25题七、板书设计一次函数与反比例函数的综合应用。
一次函数与反比例函数综合应用教案
（2）求 的面积。
4．如图，将直线 沿 轴向下平移后，得到的直线与x轴交于点A（ ），与双曲线 （ ）交于点B．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点B的纵坐标为m，求k的值（用含m的代数式表示）．
三、检测
一、选择题
1．在反比例函数y= 的图象上的一个点的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（-2，1） C．（2， ） D．（ ，2）
考点五、反比例函数
1、反比例函数的概念
一般地，函数 （k是常数，k 0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成 的形式。自变量x的取值范围是x 0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x 0，函数y 0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
A．4 B．5 C．7 D．8
5．在函数y= （k>0）的图象上有三点A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），已知x1<x2<0<x3，则下列各式中，正确的是（）
A．y1<y2<y3B．y3<y2<y1C．y2<y1<y3D．y3<y1<y2
6．下列说法不正确的是（ ）
A．一次函数不一定是正比例函数
3、反比例函数的性质
反比例函数
k的符号
k>0
k<0
图像
y
O
x
y
O
x
性质
①x的取值范围是x 0，
人教版初中数学九年级下册 测试-“百校联赛”一等奖
《反比例函数和一次函数的综合应用》教学设计
A
B
A
B
A B
（1）方程 x m b kx =
+的解为
（2）不等式 x m
b kx <+的解集为
（3）不等式
x m
b kx >+ 的解集为
4、方法总结：
设一次函数解析式为：)0(1≠+=a b ax y 反比例函数解析式为：)0(2≠=k x k y
（1）对于方程
x k
b ax =+ 的解，即为一次函数图象 与反比例函数图象 。
（2）对于不等式 x k b ax >
+的解集，即为一次函数图象
在反比例函数图象 的取值范围。
（3）对于不等式 x k b ax <
+ 的解集，即为一次函数图象
在反比例函数图象 的取值范围。
5、练习:
1、如图，已知正比例函数
)0(111≠=k x k y 的图象与反比例函数
)0(222≠=k x k y 的图象交于 A ，B 两点，
其中点B 的横坐标为-2，当21y y ≤时，
的取值范围是
2、、 如图，一次函数 )0(1≠+=k b kx y 和反
比例函数)0(2≠=m x
m y 的图象交于点 A （-1,6），B （a ，-2）
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；。
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反比例函数与一次函数的综合应用
珙县杉木树中学 黄胜琼
一、学情分析
1. 学生：学生已经学过了反比例函数和一次函数，有了一定的了解，但是综合性有待提高；
2. 教材：这是初三复习内容；
3. 课程：本课程针对中考反比例函数与一次函数结合的题目进行复习练习。
二、教学目标：
1、知识目标：
（1）一次函数、正比例函数、反比例函数的概念。
（2）一次函数、正比例函数、反比例函数的图象及性质。
2、能力目标：
（1）用待定系数法求一次函数、正比例函数、反比例函数的解析式。
（2）会用作出一次函数、正比例函数、反比例函数的图象。
（3）能够应用一次函数与反比例函数的图象与性质分析解决一次函数与反比例函数的综合题。
3、情感态度与价值观：
通过解题进一步理解数形结合的数学思想在函数中的应用。
三、教学重点：
1．一次函数、正比例函数、反比例函数的图象及性质。
2．用待定系数法求一次函数、正比例函数、反比例函数的解析式。
3．熟练应用一次函数与反比例函数的图象与性质进行解题。
四、教学难点：
1．灵活运用一次函数、正比例函数、反比例函数的有关知识解综合题。
2．进一步利用数形结合的思想方法进行解题。
五、教学方法：讲练结合
六、学情分析：
学生已经基本掌握反比例函数和一次函数的概念、图象和性质，但我校学生计算能力、试图能力和分析能力都有待提高，因此我选择了稍微简单的综合题，意在让学生提高能力的同时增强学习数学的自信心。
七、教学过程
（一）源于中考，以点展面（导入）
一个函数具有下列性质：①它的图象经过（－1，4）；②在每个象限内，函数y 的值随自变量x 的值增大而增大；请你写出一个符合上述条件的函数关系式： .
【设计意图：本题属于开放性试题，答案可以是反比例函数（一般学生）也可以是一次函数（好学生），由此引出本节课的内容，反比例函数与一次函数综合应用】
（二）综合应用，提升能力（新授课）
1.例题分析
若x
y 4-=的图象与正比例函数y =kx (k ≠0)的图象在第二象限的交点为A (－1，n )，如图.
（1）求正比例函数的解析式；（中等学生回答）
（2）确定该函数的图象与正比例函数y ＝kx 的图象另一个交点B 的坐标；
- 2 - （全体学生回答）
（3）过点A 、B 向x 轴作垂线，垂足为M 、N ，求S △AOM 、S △BON . （全体学生回答）
（4）①若C (2，m ) 为该正比例函数图象上一点，比较m 与n 的大小；（中等学生回答）
②若E (－2，m ) 为该正比例函数图象上一点，比较m 与n 的大小；（全体学生回答） ③若反比例函数值大于正比例函数值，确定 x 的取值范围. （中等学生回答）
【说明：本题是由4道学生熟悉的小题综合在一起的，难度不大，让学生体验一部分综合题就是由几个有关联的小题放在一起，消除学生抵触心理，为后面难点打基础】
2. 方法总结 解决函数问题方法总结：（师生共同总结，学生在学案中填写）
解
决
问
题 求函数解析式 确定交点坐标 求几何图形面积 比较函数值大小 3. 针对练习：回归中考，能力检测4（学生独立完成，大屏幕展示学生解题过程）
（三）变式延伸，拓展思维：
1. 例题分析
若直线()041>+=k kx y 与反比例函数()02≠=m m x
m y 为常数，的图象一个交点为A (－3，1)，如图.
（1）=1y ；=2y （全体学生）
（2）直接写出两函数的另一个交点坐标；（全体学生）
（3）当x 取何值时，21y y >；（中等学生）
（4）求△OAB 的面积； （较好学生）
（5）过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线，两线交于点C ．（课外延伸）
①若反比例函数()02≠=m m x
m y 为常数，的图象与△ABC 有公共点，请直接写出m 的取值范围；
②若一次函数y =ax ＋b 的图象平行于直线 AB ，若直线y =ax ＋b 与
△ABC 有公共点，求b 的取值范围；
【说明：本题是本节课的难点，一次函数与反比例函数的结合，以及
割补法求面积，利用多媒体教学的优势，用动画展示割补的过程，从而突
破难点】
2. 方法总结
一次函数与反比例函数综合应用方法总结：（师生共同总结，学生在学案中填写）
3. 针对练习：回归中考，能力检测5（学生独立完成，大屏幕展示学生解题过程）
（四）课堂小结：
本节课讲的解决函数问题以及函数综合题的方法，强调交点的重要性.
（五）课堂反馈：回归中考，能力检测6
八、板书设计
策 略 方 法
八、教学反思
本节课学生基本掌握反比例函数和一次函数的概念、图象和性质以及掌握利用这些知识解较简单的综合题的方法，但是对于数形结合的思想运用、与几何知识的结合、坐标与线段的转化还不是很熟练，需要进一步练习提高。
- 3 -。