阅读与欣赏六应用基本不等式的八种变形技巧
应用基本不等式的八种变形技巧
因为 a>0，b>0，a＋b＝2，所以 2≥2 ab，所以 ab≤1，所以
1 1 1 ＋11＋ ≥4(当且仅当 a＝b＝1 时取等号)，所 ≥ 1 . 所以 b ab a 1 1 以a＋1b＋1的最小值是
4.
变形后使用基本不等式 设 a>1，b>1，且 ab－(a＋b)＝1，那么( A．a＋b 有最小值 2( 2＋1) B．a＋b 有最大值( 2＋1)2 C．ab 有最大值 2＋1 D．ab 有最小值 2( 2＋1) )
应用基本不等式的八种变形技巧
基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的 最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”．但有的题目需 要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适 当变形后才可求最值．常见的变形技巧有以下几种：
加上一个数或减去一个数使和或积为定值 4 函数 f(x)＝ ＋x(x<3)的最大值是( x－3 A．－4 C．5 B．1 D．－1 )
1 2 y 法二：因为 ＋ ＝1，所以 x＝ . x y y－ 2 因为 x>0，y>0，所以 y－2>0. y2－y （y－2）2＋3（y－2）＋2 y 所以 x＋y＝ ＋ y＝ ＝ ＝ y－ 2 y－ 2 y－ 2
2 2 y－2＋ ＋3≥3＋2 2当y－2＝y－2，即y＝2＋ 2 y－ 2
已知 a>0，b>0 且
[点拨]
1 1 a＋b＝2，求a＋1b＋1的最小值．
由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开
后将积的最小值转化为和的最小值．
【解】 3 ab＋1，
1 1 1 1 1 1 a＋b 由题得 a＋1 b＋1 ＝ab＋a＋b＋1＝ab＋ ab ＋1＝
不等式的方法与技巧
不等式的方法与技巧解不等式是数学中的一个重要问题，也是解决实际问题的基础。
在解不等式时，常常需要运用一些方法和技巧来简化和求解。
下面将介绍一些常用的方法和技巧。
1.转化为等价不等式：有时候，我们可以通过转化为等价不等式来简化求解过程。
例如，对于不等式x>3和x≥2，可以分别转化为等价不等式x-3>0和x-2≥0。
这样一来，我们只需要求解x-3>0和x-2≥0即可。
2.合并同类项：当不等式中存在同类项时，可以通过合并同类项来简化不等式。
例如，对于不等式3x+4>2x-1，可以合并同类项得到x>-5、这样一来，不等式中只剩下一个未知数，求解起来更加方便。
3.交换两边的值：当不等式中的大小关系不确定时，可以通过交换两边的值来确定不等式的方向。
例如，对于不等式3x<2x+1，可以交换两边的值得到2x>1、这样一来，不等式中的x的系数变小了，可以更加方便地求解。
4.乘除同一个正数：当不等式中存在未知数的乘除项时，可以通过乘除同一个正数来简化不等式。
例如，对于不等式2x+1>3，可以先将两边同时减去1，得到2x>2，然后再除以2，得到x>1、这样一来，不等式的系数就被消去了，求解起来更加方便。
5.乘除同一个负数：当不等式中存在未知数的乘除项时，可以通过乘除同一个负数来改变不等式的方向。
例如，对于不等式2x+1<3，可以先将两边同时减去1，得到2x<2，然后再除以2，得到x<1、这样一来，不等式的方向被改变了，求解起来更加方便。
6.分段讨论法：当不等式中存在多组解时，可以将不等式拆分成多个子区间，然后分别讨论每个子区间上的不等式。
例如，对于不等式，x-2，<3，可以分别讨论x<2，2≤x<5和x≥5三个子区间上的不等式。
这样一来，不等式的解集就可以根据每个子区间的解集来确定了。
7.图像法：当不等式中存在绝对值函数、二次函数等特殊函数时，可以通过绘制函数的图像来求解不等式。
利用基本不等式ab2√ab求最值十大变形技巧
当且仅当口２＝虿１＋譬，且口２＋譬＝ｌ，即口＝
譬，６：年时取等号．
故口・／丽的最大值为毛等
点评
练习３
若算＜０，求函数），：一１２＋３茗的最大
件，然后利用基本不等式求最值． 代入 例２ 已知上＋鱼：ｌ（ｍ＞０，ｎ＞０），则ｍｎ （
Ｂ．１ ｃ．８ Ｄ．９ ４
￣／１＋Ｙ２的最大值，并求此时并和Ｙ的值．
拆项 例４ 解
取等号，从而得ｙ＝３—３ｘ一÷≤３—２石，当且仅
≤２×［牮］２－２×。晕）２＿
≤×［——‘』］２＝×（÷）２＝
通过平方变形，创造利用不等式的条 已知正数算，，，满足２ｘ２＋３ｙ２＝９，求膏
当石＝乎时取等号，，故函数），＝３—３茗一÷的最大
值为３—２西，选ｃ
点评 如果变量为负，首先化为正，然后再利 用基本不等式求最值． 练习１ 值．
号，生＋—Ｌ的最小值为（血＋６）２，选ｃ．
点评 通过添项，然后创设利用不等式的条件 求最值，添项时一定要注意保持恒等． 练习５（２００７年山东卷）函数Ｙ＝ｌｏｇ。（髫＋３） 一１（口＞０，口≠１）的图象恒过定点Ａ，若点Ａ在直线 ／＇ｔ＇ｔＸ＋ｎｙ＋１＝０上，其中ｍｔｔ＞０，则上＋三的最小
—２，，＋３ｚ＝０，则Ｌ的最小值为——．
口＋２√考‘等＝（石＋１）２，当且仅当考＝等，即考
＝石时詈“＝”号．由已知不等式（算＋，，）（÷＋号）
≥９对任意正实数ｘ，Ｙ恒成立，则只需（√Ⅱ＋１）２≥
１，求（省＋Ｙ）（Ｙ＋二）的最小值． 解 （髫＋Ｙ）（Ｙ＋ｚ）＝ｘｙ＋船＋），２＋ｙｚ＝影＋
ｙ（Ｘ＋Ｙ＋：）≥２厶万页石丐了万＝２，当且仅当
ｌ戈ｙｚ（菇＋Ｙ＋三）＝，１时取等号，故（髫＋ｙ）（，，＋彳）的
设口≥ｏ，ｂ≥０，且口２＋等＝１，求
例谈利用基本不等式 求最值的变形技巧
例谈利用基本不等式求最值的变形技巧不等式ab≤（a、b∈R+）在高中数学教材中被称作基本不等式，它在求最值的题目中有着广泛的应用，是历年高考中的热点内容。
但其取等号的条件相当苛刻，概括起来有三条：“一正，二定，三相等”。
“一正”即这两个数必须都是正的，“二定”即这两个数的和或积是定值，“三相等”即这两个数可以相等。
只有以上三条同时成立，才能取得最值。
当这些条件不能同时满足时，需要我们根据已知条件对所求式子进行适当变形，使其具备上述条件。
下面结合例题展示各种变形技巧，以期对大家有所启发。
一、加负号例1、已知x0，->0，∴（-x）+（-）≥2（-x）×（-）=2∴x+=-[（-x）+（-）] ≤-2（当且仅当x==-1时等号成立）。
小结：加负号是为了将负数变为正数，从而满足两个正数相加的条件，当然不能忘了在括号外再加一个负号。
二、加减常数例2、已知p=a+（a>2），求p的最小值。
分析：a>2，能保证a、都大于0，但它们的乘积不是定值，需将a减去常数2，变为a-2。
解：∵a>2，∴a-2>0，>0∴p=a+（）=（a-2）+（）+2≥2（a-2）×（）+2=4，当且仅当a-2=即a=3时取等号。
∴p的最小值为4。
小结：加减常数，是为了使乘积不是定值的两个数变为乘积是定值的两个数，当然不要忘了后面要相应的减加同一个数。
三、变换系数例3、已知2a+b=30（a、b∈R+），求ab的最大值。
分析：ab是积的形式，其和的形式为a+b，不能确定是定值，而已知2a+b为定值，这里需变化ab的系数。
解：∵a、b>0，∴ab=（ab）2；又∵ab=×2a×b≤×=，当且仅当2a=b即b=2a=15时取等号，∴ab=（ab）2≤（）2=小结：变换系数，其目的是通过变换使两者的和为定值。
四、变商为和例4、设x∈（1，∞），求函数y=的最小值。
基本不等式的几种应用技巧PPT课件
第15页/共20页
基本不等式的几种应用技巧
又0 sin 1,原函数不能取最小值 2 2.
令y你 的sin还 单tα记 调得 性2t函 么在 , 则 数 ？0yy, 1上xt 单a2xt调,, t递 a减00， ,1 t
当 t 1时，即sin 1, 时,
y有最小值. ym in 3
第17页/共20页
基本不等式的几种应用技巧
练一练
1.已知x 2, 求函数y x 4 的最大值. x2
２.若0 x 2,则函数 y x 8 2x2 有最
值 ，此时x=
３.已知x 0, 求函数y
４.求函数y x2 5
x2
x 3x 4
的最小值.
的最大值.
x2 4
第18页/共20页
基本不等式的几种应用技巧
最值问题始终是高考数学的热点题型之一，而 利用基本不等式求函数的最值是应用比较广泛且 方便的解题方法。本节课我们将对基本不等式应 用过程中的注意事项及常用的变形技巧做简单的 梳理。
第1页/共20页
基本不等式的几种应用技巧
基本不等式
ab a b (a 0,b 0) 2
大值 1 S 2 4
定积求和，和最小；定和求积，积最大
第3页/共20页
基本不等式的几种应用技巧 应用基本不等式应注意的事项 （１）各项必须为正值 （２）含变量的各项和或积必须为定值 （３）必须有自变量值能使函数值取到“=”号
“一正,二定,三相等”
第4页/共20页
基本不等式的几种应用技巧
题型一：基本不等式的直接应用
2
第16页/共20页
小结
利用基本不等式求最值
（１）注意事项：一正，二定，三相等； （２）形式上不符合条件的，应先变形，再用基本不等
基本不等式的八种方法
基本不等式的八种方法
《基本不等式的八种方法基本不等式的八种方法》
嘿，朋友们！今天咱们来唠唠基本不等式的八种方法，可别小瞧这八种方法，学会了能在数学的世界里如鱼得水呢！
第一种方法，咱们叫它“直接法”。
就好比开门见山，直截了当，题目给啥条件，咱就直接往上套基本不等式，看能不能一下子就把答案给揪出来。
再说说“消元法”，有时候式子里面未知数太多，看得眼花缭乱？别慌，咱们想办法把多余的未知数消掉，让问题变得简单明了。
“换元法”也很有趣哦！就像给式子换个新造型，通过巧妙的换元，让复杂的式子变得亲切可爱，基本不等式就能派上用场啦。
“构造法”像是搭积木，根据条件和问题，构造出合适的式子或者函数，然后用基本不等式来解决。
还有“平方法”，有时候平方一下，就能让隐藏的关系浮出水面，基本不等式也就有机会大展身手啦。
“均值代换法”呢，就像是给式子找个替身，通过巧妙的代换，让解题过程变得轻松愉快。
是“判别式法”，把式子看成一个方程，利用判别式的特点，结合基本不等式，就能把难题攻克。
怎么样，朋友们，这八种方法是不是各有各的妙处？多练习，多琢磨，相信大家都能把基本不等式玩得团团转，数学成绩那肯定是蹭蹭往上涨！加油哦，小伙伴们，让我们在数学的海洋里畅游，把这些方法都变成我们的得力武器！。
不等式的解题方法与技巧
不等式的解题方法与技巧不等式是数学中的一个重要概念，解不等式不仅是中学阶段数学学习的一部分，也是高中阶段进一步学习函数与分析的基础。
下面将介绍一些解不等式的常用方法和技巧。
1.基本不等式性质对于两个不等式a<b和c<d，可以根据其性质进行合并或分拆：-合并：a+b<c+d-分拆：a-b>c-d2.不等式化简对于复杂的不等式，可以通过一系列的等价变形将其化简为简单的形式。
常用的等价变形方法有：- 同乘或同除以一个正数：如果a<b，则对于正数x，有ax<bx；如果a<b且x>0，则有ax<bx；如果a<b且x<0，则有ax>bx。
-同加或同减一个具体数：如果a<b，则对于任意实数x，有a+x<b+x，即a+c<b+c；同理，a-c<b-c。
-综合运用：通过多次变换，将不等式化为更简洁的形式。
3.不等式乘法法则不等式乘法法则用于解决乘法不等式的问题。
对于两个正数a和b，以及一个不等式c<d，有以下结论：- 如果a<b且c<d，则ac<bd。
- 如果a<b且c>d，则ac>bd。
- 如果a<b且c=d，则ac=bd。
注意：当a和b中至少一个为负数时，上述法则不适用。
4.不等式绝对值性质当不等式中含有绝对值时，可以利用绝对值的性质进行求解。
对于实数a和b，可以根据绝对值性质得到以下结果：-如果，a，<，b，则a^2<b^2-如果，a，>，b，则a^2>b^2-如果，a，=，b，则a^2=b^25.不等式取正负号问题当不等式的系数为负数时，可以通过取正负号的方式，将其转化为求解不等式的问题。
具体方法如下：-如果a<0，则对不等式两边同时取负号，得到-a>-b。
-如果a>0，则对不等式两边同时取正号，得到a<b。
6.解多项式不等式对于多项式不等式，可以通过求解其零点，确定其正负性。
运用基本不等式必备的变形技巧
1 / 31 / 31 / 3运用基本不等式必备的变形技巧 基本不等式,0,0(2>>≥+b a ab b a 当且仅当a=b 时等号成立）在不等式的证明、求解或者解决其它问题中都起到了十分重要的工具性作用,在利用基本不等式求解函数最值问题时,有些题目可以直接利用公式求解，有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解．下面介绍一些常用的变形技巧．一、配凑1.凑系数例1当0<x<4时，求y=x(8-2x)的最大值．分析 由0＜x ＜4得8-2x>0，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子的积的形式，但其和不是定值．注意到2x+(8-2x)=8为定值，故只需将y=x(8-2x)凑上一个系数即可． 解∵0<x<4,∴ 8-2x>0,∴y=x(8-2x)=2)2282(21)]28(2[21x x x x -+≤-=8， 当且仅当2x=8-2x 即二=2时取等号，∴当x=2时，y=x(8-2x)的最大值为8.点评：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑上系数后即可得到和为定值，就可利用均值不等式求得最大值．2. 凑项例2己知x<45，求函数f(x) =4x-2+541-x 的最大值． 分析 由已知4x-5<0，首先调整符号，又(4x-2)·541-x 不是定值，故需对4x-2进行凑项得到定值. 解 ∵x<45，∴5-4x>0， ∴f(x)=4x-2+541-x =-(5-4x+x451-)＋3≤-2x x 451)45(-⋅-+3=-2+3=1， 当且仅当5-4x=x451-，即x=1时等号成立. 点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项，使其积为定值．3.分离例3求)1(11072-≠+++=x x x x y 的值域. 分析 本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出(x+1)，再将其分离．解 .514)1(14)1(5)1(110722++++=+++++=+++=x x x x x x x x y 当x+1＞0, 即x>-1时，514)1(2++⋅+≥x x y =9(当且仅当x=1时取“=”号)； 当x+1<0,即x<-1时, 14)1(25+⋅+-≤x x y =1(当且仅当x=-3时取“=”号)；2 / 32 / 32 /3 ∴)1(11072-≠+++=x x x x y 的值域为(-∞,1]∪[9,+∞). 点评：分式函数求最值，通常化成y=Mg(x)+)(x g A +B(A>0,M>0,g(x)恒正或恒负)的形式，然后运用均值不等式来求最值．二、整体代换 例4 已知a>0,b>0，111=+ba ,求t=a+2b 的最小值. 分析 不妨将a+ 2b 乘以1，将1用b a 11+代换. 解 (a ＋2b)·=(a+2b)(b a 11+)=3＋2232232+=⋅+≥+b a a b b a a b ,当且仅当ba ab =2时取“=”号. 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=,111,2ba b a a b 得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,122,12b a 即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,122,12b a 时，t=a+2b 的最小值为223+. 点评：本题巧妙运用“1”的代换，得到t=b a a b ++23,而a b 2与b a 的积为定值，即可用均值不每式求得t=a+2b 的最小值．三、换元例5求函数522++=x x y 的最大值． 分析 变量代换，令t=2+x ，则x=t 2-2(t ≥0)则，t t t ty 121122+=+=，再利用均值不等式即可．解 令t=2+x , x=t 2-2(t ≥0) ,则122+=t ty ．当t=0时，y=0；当t ＞0时，421221121=⋅≤+=t t t t y ，当且仅当2t=t1,即t=22时取“=”号， ∴x=-23时,y max =42. 点评：本题通过变量代换，使问题得到了简化，而且将问题转化成熟悉的分式型函数的最值问题，从3 / 33 / 33 / 3 而为构造积为定值创设了有利条件．四、取平方例6求函数)2521(2512<<-+-=x x x y 的最大值． 分析 注意到2x-1与5-2x 的和为定值．r解 8)25()12(4)25)(12(24)2512(22=-+-+≤--+=-+-=x x x x x x y ,又y>0，∴0<y ≤22，当且仅当2x-1=5-2x.即x=23时取“=”号， ∴y max =22.点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件．总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正、二定、三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式．。
基本不等式技巧总结
基本不等式技巧总结
以下是 6 条关于基本不等式技巧总结：
1. 嘿，你知道吗？利用基本不等式的时候要注意“一正二定三相等”啊！就像走路一样，得一步一步来。
比如说，要求 2x + 3/x（x>0）的最小值，咱就得先确定这都是正数，然后用基本不等式算出来，这不是小菜一碟嘛！
2. 哇塞，基本不等式有时候就像一把神奇的钥匙！你看啊，当碰到一些式子要找最值的时候，马上就想到它。
像给一个房间找最舒服的布置一样，咱得找对方法呀！比如求x² + 4 / x²（x ≠ 0）的最小值，用基本不等式不就轻
松搞定啦！
3. 哎呀呀，基本不等式的技巧可重要啦！就跟搭积木一样，得搭对了才稳。
好比要算 3x + 4 / (3x)（x>0）的最值，那咱就按照规则来，不就稳稳地得到答案啦，多有意思呀！
4. 嘿哟，基本不等式在解题中那可是大功臣呀！它能让复杂的式子变得简单明了。
就好比在迷雾中找到一条清晰的路。
像求(a + 1)(b + 1) / ab（a，
b>0）的最小值，用基本不等式一用，哇塞，答案一下子就出来了，神奇吧？
5. 哈哈，基本不等式的技巧简直绝了！就像战场上的秘密武器一样。
你想想，要算 5x + 9 / (5x)（x>0）的最小值，普通方法可能费劲，但是用基本不等式，那真是轻松加愉快呀！
6. 哇哦，可别小看基本不等式的技巧呀！这可是数学的宝贝呀！比如说，要让一块蛋糕怎么分最合理，基本不等式就能帮上大忙啦。
就像一把精准的尺子，量出最合适的答案呢！
我的观点结论就是：掌握好基本不等式的技巧，那解题真的会变得超有趣而且超高效呀！。
基本不等式的各种求解方法和技巧
基本不等式一、知识梳理二、极值定理（1）两个正数的和为常数时，它们的积有 ；若0,0,a b a b M >>+=，M 为常数，则ab ≤ ；当且仅当 ，等号成立.简述为，当0,0,a b a b M >>+=，M 为常数，max ()ab = .（2）两个正数的积为常数时，它们的和有 ；若0,0,a b ab P >>=，P 为常数，则a b +≥ ；当且仅当 ，等号成立.简述为，当0,0,a b ab P >>=，M 为常数，min ()a b += .(,)2a b a b R ++≤∈，求最值时应注意以下三个条件：应用基本不等式的经典方法方法一、直接利用基本不等式解题例1、（1）若0,0,4a b a b >>+=，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．112ab > B ．111a b +≤ C 2≥D. 2211+8a b ≤（2）不等式2162a bx x b a +<+对任意(),0,a b ∈+∞ 恒成立，则实数x 的取值范围是（） A ．(2,0)− B ．(,2)(0,)−∞−+∞ C ．(4,2)−D ．(,4)(2,)−∞−+∞（3）设,,1,1x y R a b ∈>>，若3,x y a b a b +，则11x y +的最大值为 ( )A ．2B ．32C ．1D ．12方法二：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件，通过乘或除常数、拆因式、平方等方式进行构造） 例2、（1）已知54x <，求函数1445y x x =+−的最大值；（2）已知，则的取值范围是（） A ． B ． C． D ．方法三：“1”的巧妙代换命题点1、“1”的整体代换例3、（1）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是() A ．245 B ．285 C ．5D ．6（2）已知0,0,x y >>且21x y +=,求11x y +的最小值.0,2b a ab >>=22a b a b +−(],4−∞−(),4−∞−(],2−∞−(),2−∞−命题点2、“1”的部分代换（3）已知0,0,x y >>且21x y +=,求1x x y +的最小值.（4）（2013·天津高考理科）设a + b = 2, b >0, 则当a = 时,1||2||a a b +取得最小值.命题点3、“1”的变形代换（5）设0,1a b >>，若3121a b a b +=+−，则的最小值为 ．（6）已知实数,x y 满足102x y x y >>+=，且，则213x y x y++−的最小值为________.（7）设10<<x ，,a b 都是大于0的常数，则x b x a −+122的最小值为 .方法四： 消元（转化为函数最值，此时要注意确定变量的范围）例4、（1）已知,,x y z R +∈，230x y z −+=，则2y xz 的最小值 ．（2）设正实数,,x y z 满足22340x xy y z −+−=,则当xy z 取得最大值时, 212x y z +−的最大值为 .方法五：“之和”与“之积”的互化例5、（1）已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，则1ab的最小值 .（2）已知0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值是 .方法六、连续两次使用基本不等式求最值例6、（1）（2009重庆卷）已知0,0a b >>，则11a b++ ）A ．2B ．C ．4D ．8（2）已知22log log 1+≥a b ，则39a b+的最小值为__________（3）若 的最小值为 ．方法七、利用基本不等式求分式函数最值例7、（1）当1x >−时，求1()21f x x x =++的最小值.（2）求函数y =的值域。
基本不等式使用技巧
基本不等式使用技巧基本不等式有个使用口诀：一正，二定，三相等，和定积大，积定和小。
和定积大：两个正数的和为定值，则它们的乘积小于等于它们相等时的乘积积定和小：两个正数的积为定值，则它们的和大于等于它们相等时的和。
基本不等式简单推导：由a -b 2≥0⇒a 2+b 2-2ab ≥0即a 2+b 2≥2ab (当且仅当a =b 时等号成立),令a =a ,b =b 得a +b ≥2ab 即a +b 2 ≥ab (a >0,b >0,此不等式称为基本不等式，反映了两个正数的算术平均数不小于几何平均数)。
重要变形：a 2+b 2≥2ab ⇒a 2+b 2≥2ab (a ,b 同号)a 2+b 2≥-2ab (a ,b 异号) ；ab ≤a 2+b 22 ；ab ≤a +b 24 (即ab ≤a +b 2 2)；a +b ≥2ab (a >0,b >0)；a +b ≤-2ab (a <0,b <0)；2(a 2+b 2)≥(a +b )2(即a 2+b 22 ≥a +b 2 2)，以上各式均是当且仅当a =b 时等号成立。
典型例题：已知x ,y 为实数，4x 2-5xy +4y 2=5,求x 2+y 2的最大值和最小值。
解：∵4x 2-5xy +4y 2=5∴x 2+y 2=54(xy +1)≥2xy (x ,y 同号时)⇒xy ≤53∴x 2+y 2=54 (xy +1)≤54 (53 +1)=103又∵x 2+y 2=54(xy +1)≥2xy (x ,y 异号时)⇒xy ≥-513∴x 2+y 2=54 (xy +1)≥54 (-513 +1)=1013∴x 2+y 2最大值为103 ，x 2+y 2最小值为1013使用技巧：(一).凑项与凑系数例1：已知x >0,y >0且x 2+y 22=1,则x y 2+1 的最小值为_____。
解：方法一：凑项：∵x 2+y 22=1∴x 2+y 2+12 =32∴x 2∙y 2+12 ≤34 ×34(和为定值乘积小于等于相等时的乘积)∴x 2∙(y 2+1)≤98 ∴x y 2+1 ≤32 4 ∴x y 2+1 的最小值为32 4方法二：凑系数：∵x 2+y 22=1∴2x 2+y 2=2∴x y 2+1 =2 2 ×2 x ×y 2+1 ≤2 2 ×(2 x )2+y 2+1 22 (ab ≤a 2+b 22 )=2 2 ×2x 2+y 2+12 =2 2 ×32 =32 4 ∴x y 2+1 的最小值为32 4例2：椭圆E ：x 23+y 2=1的上顶点为A ，过点A 的直线l 与E 交于另一点B ，求AB 的最大值？解：①当l 斜率不存在时，易知AB =2②当l 斜率存在时，设l 斜率为k ，则l 方程为：y =kx +1,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).联立x 23 +y 2=1y =kx +1 ⇒3k 2+1 x 2+6kx =0∴x 1+x 2=-6k 3k 2+1x 1x 2=0 由弦长公式知：AB =1+k 2 ×(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1+k 2 ×6k 3k 2+1 =63k 2+1 ×k ×1+k 2 =2 2 ×63k 2+1 ×2 k ×1+k 2 ≤2 2 ×63k 2+1 ×2 k 2+1+k 2 22 (ab ≤a 2+b 22 )=2 2 ×63k 2+1 ×2k 2+1+k 22 =32 2 ∵32 2 >2∴AB 的最大值为32 2.(二).活用常数(活用“1”)例1：已知m >0,n >0且m +n =1,则1m +4n的最小值为？解：∵1m +4n =1m +4n m +n =5+n m +4m n ≥5+2n m ×4m n =9∴1m +4n的最小值为9例2：已知x >-1,y >0且x +2y =1,则1x +1 +2y的最小值为？解：∵x +2y =1∴(x +1)+2y ⋅12=1∴1x +1 +2y =1x +1 +2y∙(x +1)+2y ⋅12 =5+2y x +1 +2(x +1)y ⋅12 ≥5+22y x +1 ×2(x +1)y ⋅12=92 ∴1x +1 +2y 的最小值为92例3：已知a >0,b >0且a -2ab +b =0，则a +4b 的最小值为？解：∵a -2ab +b =0∴a +b =2ab ⇒a +b 2ab =1即(1a +1b)⋅12 =1∴a +4b =a +4b ∙(1a +1b )⋅12 =(5+4b a +a b )⋅12 ≥5+24b a ×a b ⋅12=92 ∴a +4b 的最小值为92例4：已知正项等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ,a n ，使得a m a n =4a 1,则1m +9n的最小值为()A.83 B.114 C.145 D.176解：由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5，可得a 5q 2=a 5q +2a 5，所以q 2-q -2=0，解得q =2或q =-1(舍去)．因为a m a n =4a 1，所以q m +n -2=16，所以2m +n -2=24，所以m +n =6.∴1m +9n =(1m +9n )×m +n 16 =16 (10+n m +9m n)≥16 (10+6)=83 当且仅当n m =9m n,即n =3m ，即m =32 ,n =92时等号成立，不合题意(∵m ,n ∈N +)由m +n =6,m ,n ∈N +则m =1n =5 或m =2n =4 或m =3n =3 或m =4n =2 或m =5n =1代入式子1m +9n 知最小值为114，故选B 例5：已知x >0,y >0且x +y =1,(1)求x 2x +1 +y 2y +1的最小值,(2)求12x +y +1x +3y的最小值。
数学复习：基本不等式的十大解题技巧
运用凑项或换元法将所给的函数化简为满足基本不等式的形式，运用基本不等式并检验其
等号成立的条件，若等号取不到则，结合函数 y = x + a (a 0) 单调性，并运用其图像与性 x
质求出其函数的最值即可。
【例5】（★★★）函数 y = x2 + 5 的值域为
.
x2 + 4
【答案】
5 2
,
+
【解析】令 x2 + 4 = t(t 2) , 则 y = x2 + 3 = x2 + 4 + 1 = t + 1 (t 2) .
数学复习：基本不等式的十大解题技巧
1. 基本不等式原始形式
(1)若 a,b R ,则 a2 + b2 2ab .
(2)若 a,b R ,则 ab a2 + b2 . 2
2.基本不等式一般形式(均值不等式)
若 a 0,b 0 ,则 a + b 2 ab .
3. 基本不等式的两个重要变形
(1)若 a 0,b 0 则 a + b ab (当且仅当 a = b 时取“ = ”). 2
【答案】 2 3 3
【解析】由 x2 + y2 + xy = 1,得1 = (x + y)2 − xy, (x + y)2 = 1+ xy 1+ (x + y)2 ,解得 4
− 2 3 x + y 2 3 ,又 x 0, y 0 ,所以 0 x + y 2 3 ,因此 x + y 的最大值为 2 3
【例2】（★★）已知 0 x 4 时,则 y = x(8 − 2x) 的最大值为
【答案】8
基本不等式九个方法
基本不等式九个方法
基本不等式求解方法
不等式是数学中用于比较两个表达式大小关系的工具。
基本不等式求解方法有九种，每种方法都适用于不同的类型不等式。
一、代入法
代入法是最简单的不等式求解方法。
将一个已知的值代入不等式中，如果不等式仍然成立，则此值即为不等式的解。
二、两边同加或同减
在不等式两边同时加上或减去相同的数，不等式仍然成立。
这种方法可以简化不等式或消除分母。
三、两边同乘或同除
在不等式两边同时乘以或除以相同的正数，不等式仍然成立。
但需要注意，如果乘以或除以负数，不等号方向将改变。
四、利用性质化简
利用不等式的性质，如传递性、反对称性、可加性、可乘性等，可以简化或化解不等式。
五、转化为等价不等式
将不等式转化为等价形式，即不等号方向不变的不等式。
这种
方法可以将复杂不等式转换为简单形式。
六、平方或开方
对于含未知数平方或方根的不等式，可以平方或开方（注意开
方时不等号方向可能改变），将不等式化为可解的形式。
七、分离系数法
对于含有系数的不等式，可以将未知数的系数提取出来，分离
在不等式的一侧，使不等式化简为求解系数的不等式。
八、判别式法
对于二次回不等式（二次方程形式），可以应用判别式法判定不等式的解集。
判别式为正则有两实根，为零则有一重根，为负则无实根。
九、数轴法
对于线性不等式，可以在数轴上标出不等式对应的解集。
这种方法形象直观，适用于简单的不等式求解。
以上九种方法是基本不等式求解的常用方法，熟练掌握这些方法对于解决不等式问题至关重要。
基本不等式技巧窍门
基本不等式技巧窍门一、基本不等式的概念和基本类型1.算术平均数和几何平均数的不等式：即对于任意非负数a和b，有以下不等式成立：(a+b)/2 >= sqrt(ab)2.算术平均数和谐均值的不等式：即对于任意非负数a和b，有以下不等式成立：(a+b)/2 >= 2ab/(a+b)3.几何平均数和谐均值的不等式：即对于任意非负数a和b，有以下不等式成立：sqrt(ab) >= 2ab/(a+b)根据这些基本不等式，可以进一步推导一系列其他类型的不等式。
二、基本不等式的应用实例1.求函数的极值：当函数的取值范围为非负数时，可以通过基本不等式推导出函数的最大值或最小值。
2.解决几何问题：例如，求解三角形的最大面积或最短边长等问题时，可以利用基本不等式来推导和证明相关的不等式。
3.证明数学定理：基本不等式可以作为证明数学定理的重要工具，例如，证明柯西-施瓦茨不等式和霍尔德不等式等。
三、基本不等式的技巧和窍门1.设想数学模型：在使用基本不等式时，可以通过设想合适的数学模型来降低问题的复杂性，从而更容易利用基本不等式进行推导和证明。
2.利用对称性和等价变形：基本不等式通常具有对称性和等价变形的特点，可以根据这些特点对给定的问题进行适当的变形，从而使得不等式的应用更为简单和直观。
3.运用递归和数学归纳法：对于一些复杂的不等式问题，可以通过递归和数学归纳法的思想，将复杂问题分解为简单的基本情况，然后利用基本不等式进行递推和证明。
4.运用等比数列的性质：在一些涉及等比数列的不等式问题中，可以通过运用基本不等式的几何平均数和谐均值不等式来简化问题，从而得到更简洁的推导和证明过程。
总结起来，基本不等式是一种重要的数学工具，能够帮助解决各种求极值的问题。
在应用基本不等式时，需要灵活运用各种技巧和窍门，根据具体的问题和数学模型进行变形和推导。
通过学习和掌握基本不等式的应用，可以提高解决数学问题的能力和思维能力。
2020版高考数学复习第七章不等式阅读与欣赏(六)课件
因为 a>0，b>0，a＋b＝2，所以 2≥2 ab，所以 ab≤1，所以
1 1 1 ＋11＋ ≥4(当且仅当 a＝b＝1 时取等号)，所 ≥ 1 . 所以 b ab a 1 1 以a＋1b＋1的最小值是
4.
变形后使用基本不等式 设 a>1，b>1，且 ab－(a＋b)＝1，那么( A．a＋b 有最小值 2( 2＋1) B．a＋b 有最大值( 2＋1)2 C．ab 有最大值 2＋1 D．ab 有最小值 2( 2＋1) )
【解析】
a＋b 2 因为 ab－(a＋b)＝1，ab≤( )， 2 a＋b 的一元二次不等式，
a＋b 2 所以 －(a＋b)≥1，它是关于 2
解得 a＋b≥2( 2＋1)或 a＋b≤2(1－ 2)(舍去)， 所以 a＋b 有最小值 2( 2＋1)． 又因为 ab－(a＋b)＝1，a＋b≥2 ab， 所以 ab－2 ab≥1，它是关于 ab的一元二次不等式， 解得 ab≥ 2＋1 或 ab≤1－ 2(舍去)， 所以 ab≥3＋2 2，即 ab 有最小值 3＋2 2.
[点拨] 根据待求式的特征及 0<x<1 知 x>0，1－x>0.又 1＝x
＋(1－x)，因此可考虑利用“1”的代换法．
【解】
因为 0<x<1，所以 1－x>0.
a2 b2 a2 b2 a2 b2 所以 ＋ ＝ · 1＋ · 1＝ · [x＋(1－x)]＋ · [x＋(1 x 1－x x x 1－x 1－x －x)]
1 2 y 法二：因为x＋ y＝1，所以 x＝ . y－ 2 因为 x>0，y>0，所以 y－2>0. y2－y （y－2）2＋3（y－2）＋2 y 所以 x＋y＝ ＋ y＝ ＝ ＝ y－ 2 y－ 2 y－ 2
基本不等式变形技巧的应用
x) =
f(
2
2
1
1
=(
x -1)+
+1≥
x-1
x-1
1
1
,
所以 -x>0。
2
2
1
1-2
x )= 2 · x
-x ≤
y=x (
2
1
解析:
当 x>1 时,
x-1>0,
>0。
x-1
2
1 2
1
x+ (
1-2
x) 2 1 ,
当 x= 时,
=
2
8
4
2
解法 2:
因为 0<x<
1
(
求函数y=x+
+
a-1 b-2
技巧六:
巧妙消元
例6
已知 x>0,
x+3
y>0,
y+xy=
则 x+3
9,
y 的最小值为
。
(
下转第 1
0 页)
知识篇 知识结构与拓展
高二使用 2019 年 10 月
分别为a,
且b2 +c2 -a2 -b
b,
c,
c=0。
时取等号。
故
(
求角 A 的大小;
1)
1 1
b a
+ =2+ + ≥4。
1
·
时取等
=4,当 且 仅 当 a =b=
a b
2
号。所以
点评:
通过分离常数,
分离出一个常数是
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 ＝
y－2＋y－2 2＋3≥3＋2 2????当y－2＝y－2 2，即y＝2＋ 2
时取等号，此时 x＝ 2＋1???.
第七章 不等式
求以形如或可化为 ax＋by＝1 型为条件的 cx＋dy(a，b，c，d 都 不为 0)的最值可利用 “1”的代换求乘法．本题中的条件 1x＋2y＝ 1 也可化为 2x＋y－xy＝0.
函数 f(x)＝x－4 3＋x(x<3)的最大值是 (
)
A．－ 4
B．1
C．5
D．－ 1
第七章 不等式
【解析】 因为 x<3，所以 3－x>0，所以 f(x)＝ －????3－4 x＋（3－x）????＋3≤－ 2 3－4 x·（3－x）＋ 3＝－ 1.当 且仅当3－4 x＝3－x，即 x＝1 时等号成立，所以 f(x)的最大值 是－1. 【答案】 D
－x)] ＝a2＋a2（1x－x ）＋1b－2xx＋b2≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.
上式当且仅当
a2（1－ x
x
）＝1b－2xx
时，等号成立．
所以ax2＋1－b2 x≥(a＋b)2.
故函数 f(x)的最小值为 (a＋b)2.
第七章 不等式
若实数 a，b 满足 ab－4a－b＋1＝0(a>1)，则(a＋1)·(b ＋2)的最小值是 __________ ． [ 点拨] 由于所给条件式中含两个变量 a，b，因此可以用一 个变量表示另一个变量，将待求式转化为含一个变量的式子 后求其最值．
第七章 不等式
若 a，b 为常数，且 0<x<1，求 f(x)＝ax2＋1－b2x的最小 值． [ 点拨] 根据待求式的特征及 0<x<1 知 x>0，1－x>0.又 1＝x ＋(1－x)，因此可考虑利用“ 1”的代换法．
第七章 不等式
【解】 因为 0<x<1，所以 1－x>0. 所以ax2＋1－b2 x＝ax2·1＋1－b2 x·1＝ax2·[ x＋(1－x)]＋1－b2 x·[ x＋(1
所以 ab≥3＋2 2，即 ab 有最小值 3＋2 2.
【答案】 A
第七章 不等式
形如gf（（xx））型函数变形后使用基本不等式 若 y＝gf（（xx））中 f(x)的次数小于 g(x)的次数，可取倒数后 求其最值．
第七章 不等式
（x＋5）（x＋2）
求函数 y＝
x＋1
(x≠－1)的值域．
[ 点拨] 将(x＋5)(x＋2)用(x＋1)来表示再变形为 f(x)＝Ax ＋Bx ＋C 的形式，然后运用基本不等式求解．
y 2x x ·y
＝3＋2
2.
当且仅当 xy＝2yx，且1x＋2y＝1，即 x＝ 2＋1，y＝2＋ 2时，上
式等号成立．故 x＋y 的最小值是 3＋2 2.
第七章 不等式
法二：因为 1x＋2y＝1，所以 x＝y－y 2.
因为 x>0，y>0，所以 y－2>0.
所以
x
＋y＝y－y 2＋y＝yy2－－2y＝（y－2）2＋y－3（2 y－2）＋
第七章 不等式
【解】
(x 6＋2y2 )2 ＝ x2(6 ＋ 2y2) ＝ 3·2x2 ???1＋y32??? ≤
3·????2x2＋21＋y32????2＝3×???92???2.当且仅当 2x2＝1＋y32，即 x＝32，y
＝ 242时，等号成立．故 x 6＋2y2的最大值为92 3.
第七章 不等式
所以????a＋2 b????2－(a＋b)≥1，它是关于 a＋b 的一元二次不等式， 解得 a＋b≥2( 2＋1)或 a＋b≤2(1－ 2)(舍去)，
所以 a＋b 有最小值 2( 2＋1)．
又因为 ab－(a＋b)＝1，a＋b≥2 ab，
所以 ab－2 ab≥1，它是关于 ab的一元二次不等式，
解得 ab≥ 2＋1 或 ab≤1－ 2(舍去)，
仅当 x＝－3 时取等号 )． 所以函数的值域为 (－∞，1]∪[9 ，＋∞ )．
第七章 不等式
用“1”的代换法求最值 已知1x＋2y＝1，且 x>0，y>0，求 x＋y 的最小值．
第七章 不等式
【解】 法一：因为 x>0，y>0，所以 x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋
y)·???1x ＋2y ???＝ 3＋xy ＋2yx ≥3＋2
第七章 不等式Biblioteka 变形后使用基本不等式 设 a>1，b>1，且 ab－(a＋b)＝1，那么 ( ) A．a＋b 有最小值 2( 2＋1) B．a＋b 有最大值 ( 2＋1)2 C．ab 有最大值 2＋1 D．ab 有最小值 2( 2＋1)
【解析】
第七章 不等式
因为 ab－(a＋b)＝1，ab≤(a＋2 b)2，
第七章 不等式
应用基本不等式的八种变形技巧
第七章 不等式
基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的 最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”．但有的题目需 要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适 当变形后才可求最值．常见的变形技巧有以下几种：
第七章 不等式
加上一个数或减去一个数使和或积为定值
展开后求最值 对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最 值．
已知 a>0，b>0 且 a＋b＝2，求???1a＋1??????1b＋1???的最小值． [ 点拨 ] 由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开 后将积的最小值转化为和的最小值．
第七章 不等式
【解】 由题得 ???1a＋1??????1b＋1???＝a1b＋1a＋1b＋1＝a1b＋a＋abb＋1＝ a3b＋1， 因为 a>0，b>0，a＋b＝2，所以 2≥2 ab，所以 ab≤1，所以 a1b≥1.所以???1a＋1??????1＋1b???≥4(当且仅当 a＝b＝1 时取等号 )，所 以???1a＋1??????1b＋1???的最小值是 4.
第七章 不等式
平方后再使用基本不等式 一般地，含有根式的最值问题， 首先考虑平方后求最值．
第七章 不等式
若 x>0，y>0，且 2x2＋y32＝8，求 x 6＋2y2的最大值． [ 点拨] 由于已知条件式中有关 x，y 的式子均为平方式，而 所求式中 x 是一次的，且根号下 y 是二次的，因此考虑平方 后求其最值．
第七章 不等式
【解】
因为
y
（x ＝
＋5）（x x＋1
＋2）
＝x
2＋7 x ＋10 x＋1
＝（x
＋1）2＋5（x x＋1
＋1）＋
4＝x
＋1＋x
＋4 1＋5，
当 x＋1>0 时，即 x>－1 时，y≥2 且仅当 x＝1 时取等号 )；
（x＋1）·x＋4 1＋5＝9(当
当 x＋1<0，即 x<－1 时，y≤5－2 （x＋1）·x＋4 1＝1(当且