江苏省盐城市伍佑中学2020-2021学年高二上学期期末数学(理)试题

江苏省盐城市伍佑中学2020-2021学年高二上学期期末数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．命题“2R,0x x ∀∈≥”的否定是____________．2．已知复数141i z i+=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部是_______. 3．曲线x y e =在点0x =处的切线的倾斜角为________．4．“0x >”是“1x >”成立的________条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种）5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:4C y x =的焦点为F ，P 为抛物线C 上一点，且5PF =，则点P 的横坐标是________．6．椭圆22143x y +=上一点A 到左焦点的距离为52，则A 点到右准线的距离为________． 7．函数()ln f x x x =-的单调递减区间为_______8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离心率__.9．已知命题p ：存在x∈R，使得x 2＋2ax ＋a≤0. 若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围为________.10．已知对任意正实数1a 、2a 、1b 、2b 都有22212121212()b b b b a a a a ++≥+，类比可得对任意正实数1a 、2a 、3a 、1b 、2b 、3b 都有________．11．若(0,1)x ∈时，不等式111m x x≤+-恒成立，则实数m 的最大值为________． 12．已知可导函数()()f x x R ∈的导函数()f x '满足()()f x f x '>,则不等式()(1)x ef x f e >的解集是__________.13．设椭圆C 22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,,F F l 是右准线，若椭圆上存在一点P 使得1PF 是P 到直线l 的距离的2倍，则椭圆的离心率的取值范围是 ．14．设0a >，函数2()a f x x x=+，()ln g x x x =-，若对任意的21,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在11,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围是________．二、解答题15．已知a ∈R ，命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2﹣a≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2+2ax+2﹣a=0”．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p ∨q”为真命题，命题“p ∧q”为假命题，求实数a 的取值范围．16．已知数列{}n a 满足111,()(1)2n n n na a a n N n a *+==∈++， （1）求23,a a ，并猜想{}n a 的通项公式；（2）用数学归纳法证明(1)中所得的猜想． 17．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，1,2AB AD AS ===，P 是棱SD 上一点，且12SP PD =.(1) 求直线AB 与CP 所成角的余弦值；(2) 求二面角A PC D --的余弦值．18．如图，有一张半径为1米的圆形铁皮，工人师傅需要剪一块顶角为锐角的等腰三角形ABC ,不妨设 AB AC =, BC 边上的高为 AD ,圆心为 O ，为了使三角形的面积最大，我们设计了两种方案.（1）方案1：设 OBC ∠为 θ ，用θ表示 ABC 的面积 ()S θ； 方案2：设ABC 的高AD 为h ，用h 表示 ABC 的面积()S h ；（2）请从（1）中的两种方案中选择一种，求出ABC 面积的最大值19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆C ：2214x y +=的左顶点A 作直线l ，与椭圆C 和y 轴正半轴分别交于点P ，Q ．(1)若AP PQ =，求直线l 的斜率；(2)过原点O 作直线l 的平行线，与椭圆C 交于点M N ，，求证：2AP AQ MN ⋅为定值． 20．已知函数()2ln f x a x x =+(a 为实常数) ． （1）当4a =-时，求函数()f x 在[]1,e 上的最大值及相应的x 值；（2）当[]1,x e ∈时，讨论方程()0f x =根的个数．（3）若0a >，且对任意的[]12,1,x x e ∈，都有()()121211f x f x x x -≤-，求实数a 的取值范围．参考答案1．2,0x R x ∃∈<【解析】根据全称命题的否定为特称命题可得：“2R,0x x ∀∈≥”的否定是2,0x R x ∃∈<，故答案为2,0x R x ∃∈<.2．32- 【分析】根据复数运算，求得z ，即可根据复数的概念得到实部.【详解】()()()()141143535111222i i i i z i i i i +++-+====-+--+ z ∴的实部是32- 本题正确结果：32- 【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.3．4π. 【分析】求出函数的导数，利用切线斜率和导数之间的关系即可得到结论.【详解】由题意，函数的导数为e x y '=，则切线的斜率00|1x k y e ='===，所以，tan 1α=，解得4πα=. 故答案为：4π. 【点睛】 本题主要考查导数的几何意义，以及切线斜率和倾斜角的计算，属于基础题.4．必要不充分.根据充分必要条件判断即可.【详解】由1x >，一定有0x >；反之，当0x >时，不一定有1x >；所以，“0x >”是“1x >”成立的必要不充分条件.故答案为：必要不充分.【点睛】本题考查必要条件、充分条件与充要条件，属于基础题.5．4.【分析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，即可得到结论.【详解】由题意，抛物线242y x px ==，则2p =，由抛物线定义知，设()00,P x y ，则00152p PF x x =+=+=， 所以，04x =，故点P 的横坐标为4.故答案为：4.【点睛】 活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法，抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径，到焦点的距离常转化为到准线的距离求解，属于基础题.6．3【分析】先由椭圆的第一定义求出点P 到右焦点的距离，再由第二定义求出点P 到右准线的距离d .【详解】由椭圆的第一定义得点P 到右焦点的距离等于53422-=，离心率12e =， 所以，由椭圆的第二定义得3122d =，即3d =， 故点P 到右准线的距离3d =.故答案为：3本题考查椭圆的第一定义和第二定义，以及椭圆的简单性质，属于基础题.7．(0,1)【解析】试题分析：因为，()ln f x x x =-，所以，由1'()10f x x=-<得，0<x<1,故函数()ln f x x x =-的单调递减区间为（0,1）．考点：利用导数研究函数的单调性8【分析】由题意确定a ,b ,c 的关系，然后确定其离心率即可.【详解】由题意可知，双曲线的一个焦点坐标为(),0c ， 双曲线的一条渐近线方程为：0x y a b-=，即0bx ay -=，2bc b a c===，则c ==，椭圆的离心率c e a==【点睛】 双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．9．(0,1)【解析】试题分析：将∃变为∀，结论否定写出命题p 的否定；利用p 与￢p 真假相反得到￢p 为真命题；令判别式小于0求出a 即可．解：命题p ：∃x ∈R ，x 2+2ax+a≤0的否定为命题p ：∀x ∈R ，x 2+2ax+a ＞0∵命题p 为假命题∴命题￢p 为真命题即x 2+2ax+a ＞0恒成立∴△=4a 2﹣4a ＜0解得0＜a ＜1故答案为（0，1）考点：命题的真假判断与应用．10．2222312312123123()b b b b b b a a a a a a ++++≥++ 【分析】根据类比的定义，按照题设规律直接写出即可．【详解】由题意，通过类比可得对任意正实数1a 、2a 、3a 、1b 、2b 、3b 都有2222312312123123()b b b b b b a a a a a a ++++≥++. 故答案为：2222312312123123()b b b b b b a a a a a a ++++≥++. 【点睛】本题考查推理证明中的类比，考查类比推理的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题.11．4【分析】根据题意，只需m 小于等于111x x +-的最小值即可，利用基本不等式可得111x x+-的最值，进而即可得到结论.【详解】由()0,1x ∈，则()10,1x -∈，11x x +-=， 所以，()11111124111x x x x x x x x x x-⎛⎫+=++-=++≥ ⎪---⎝⎭，当且仅当11x x x x -=-，即12x =时取等号， 所以，4m ≤，即m 的最大值为4. 故答案为：4.【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，以及恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于基础题.12．(1,)+∞【解析】【分析】构造函数()()x f x g x e =，结合题意确定函数的单调性，然后由函数的单调性求解不等式即可.【详解】构造函数()()xf xg x e =，则()()()''0x f x f x g x e -=>， 故函数()g x 是R 上的单调递增函数，注意到不等式()()1x ef x f e >即()()11x f x f e e>，即()()1g x g >， 由函数的单调性可得1x >，故不等式()()1x ef x f e >的解集是()1,+∞.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，构造函数的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13．32⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【详解】试题分析：设P 到直线l 的距离为d ， 根据椭圆的第二定义得21,2PF c e PF d d a===，且122PF PF a +=，则12222dc PF a PF a d a =-=-=，即222a d a c=+，而[]1,PF a c a c ∈-+，即2422a d a c=+， 所以得到，2242{42a a c a c a a c a c≥-+≤++由第一式得：220c c a a ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，c a 为任意实数； 由第二式得2320c c a a ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，解得32c a -≥或32c a --≤（舍去），即有1e ≤< 考点：椭圆的简单性质14．⎫+∞⎪⎭【分析】 对任意的21,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在11,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12f x g x ≥成立()()12max max f x g x ⇔≥，先对函数()g x 求导判断出函数()g x 的单调性并求其最大值，然后转化为存在11,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12max f x g x ≥成立. 【详解】由函数()ln g x x x =-，则()11g x x'=-， 当1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '≤，故函数()g x 在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以，函数()g x 的最大值为111g e e⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 根据题意，不等式转化为存在11,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()111f x e ≥+成立，即存在11,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使2211a x x e ⎛⎫≥-++ ⎪⎝⎭成立，设函数()211h x x x e ⎛⎫=-++⎪⎝⎭在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值为()11h e =，所以，21ae≥，即a ≥故实数a 的取值范围是⎫+∞⎪⎭. 故答案为：⎫+∞⎪⎭. 【点睛】本题主要考查了任意性和存在性问题的转化策略，将任意性与存在性问题转化为函数值域关系或最值关系，并得到双变量的存在性和任意性问题的辨析方法，属于中档题． 15．(1) （﹣∞，1] (2) a ＞1或﹣2＜a ＜1 【解析】分析：第一问由于命题2:"[1,2],0"p x x a ∀∈-≥，令2()f x x a =-，只要[1,2]x ∈时，min ()0f x ≥即可；第二问由第一问可知，当命题p 为真命题时，1a ≤，命题q 为真命题时，24420a ∆=-⋅≥，解得a 的取值范围，由于命题“p ∨q”为真命题，命题“p ∧q”为假命题，可知命题p 与命题q 必然一真一假，解出即可.详解：（1）∵命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2﹣a≥0”，令f （x ）=x 2﹣a ， 根据题意，只要x ∈[1，2]时，f （x ）min ≥0即可， 也就是1﹣a≥0，解得a≤1， ∴实数a 的取值范围是（﹣∞，1]；（2）由（1）可知，当命题p 为真命题时，a≤1，命题q 为真命题时，△=4a 2﹣4（2﹣a ）≥0，解得a≤﹣2或a≥1． ∵命题“p ∨q”为真命题，命题“p ∧q”为假命题， ∴命题p 与命题q 必然一真一假， 当命题p 为真，命题q 为假时，，当命题p 为假，命题q 为真时，，综上：a ＞1或﹣2＜a ＜1．点睛：该题考查的是命题的有关问题，一是需要注意命题为真时对应的参数的取值范围，二是根据“p ∨q”为真命题，命题“p ∧q”为假命题，得到这两个命题必是一真一假，从而求得结果. 16．(1) 2311,49a a ==，猜想21n a n=. (2)见解析. 【解析】分析：（1）直接由原式计算即可得出2311,49a a ==，然后根据数值规律得，（2）直接根据数学归纳法的三个步骤证明即可. 详解： （1）2311,49a a ==，猜想.（2）当时，命题成立； 假设当时命题成立，即，故当时，()()2122211111221112k k k k ka k a k a k k k k k +⨯====++++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭， 故时猜想也成立.综上所述，猜想成立，即.点睛：考查数学归纳法，对数学归纳法的证明过程的熟悉是解题关键，属于基础题. 17．（1）41；（2）42. 【解析】 【分析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AS 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB 与CP 所成角的余弦值；（2）求出平面APC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【详解】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），S（0，0，2），D（0，2，0），设P（a，b，c），∵12SP PD=，∴（a，b，c﹣2）=12（﹣a，2﹣b，﹣c）=（﹣2a，1﹣2b，﹣2c），∴21222aabbcc⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪-=-⎪⎩，解得a=0，b=23，c=43，∴P（0，23，43），AB=（1，0，0），CP=（﹣1，﹣43，43），设直线AB与CP所成角为θ，cosθ=|cos＜AB CP，＞|=AB CPAB CP⋅⋅==41，∴直线AB与CP 所成角的余弦值为41．（2）PC=（1，43，﹣43），PA=（0，﹣23，﹣43），PD=（0，43，﹣43），设平面APC的法向量n=（x，y，z），则44332433n PC x y zn PA y z⎧⋅=+-=⎪⎪⎨⎪⋅=--=⎪⎩，取y=2，得n=（﹣4，2，﹣1），设平面PCD的法向量m=（a，b，c），则44334433m PC a b cm PD b c⎧⋅=+-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，取b=1，得m=（0，1，1），设二面角A﹣PC﹣D的平面角为θ，则cosθ=m nm n ⋅⋅=．∴二面角A ﹣PC ﹣D 的余弦值为42．【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.18．（1）()1cos sin cos 2S BC AD θθθθ==+0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；()S h =(1,2)h ∈（2）4【分析】（1）方案1：由题意得AD BC ⊥ 将BD 、OD 用θ表示，可得 1sin AD θ=+，进而表示()S θ即可；方案2：设 BD x =，建立x 与h 的关系，将()S h 用h 表示出即可. （2）由（1）可得()cos sin cos S θθθθ=+ ，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,利用求导的方法求得最大值即可． 【详解】（1）方案1：由题意得OBC θ∠=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，分析知 AD 过点O , AD BC ⊥ ,cos BD θ∴=sin OD θ=， 1sin AD θ∴=+，()1·cos sin cos 2S BC AD θθθθ==+ ，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭方案2：分析知 AD 过点O ，()1,2h ∈，设 BD x =，则OD ，1h =-，得 x =()S h ∴=，()1,2h ∈（2）选择方案1：由（1）知()cos sin cos S θθθθ=+ ，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, ()222sin cos sin 12sin sin S θθθθθθ=-+-=--',由()0S θ'=，得 1sin 2θ=，其中 sin 1θ=- 舍去. 6πθ∴=，当06πθ<<时， ()0S θ'>；当62ππθ<<时，()0S θ'<，∴当 06πθ<<时()S θ单调递增； 当62ππθ<<时()S θ单调递减，∴ ()S θ的最大值为64S π⎛⎫=⎪⎝⎭，∴三角形面积最大为4. 【点睛】本小题主要考查在实际问题中建立三角函数模型、三角函数的最值性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．19．（1）k =（2）见解析.【解析】试题分析：（1）设直线()2l y k x =+的方程为,代入椭圆方程得221642?41p k x k --⋅=+由AP PQ =，有1p x =-，可得出直线的斜率；（2）设直线l 斜率为k ，联立方程组分别求出AP ，AQ ，MN ，代入计算化简即可得出结论．试题解析：（1）依题意，椭圆C 的左顶点()20A -，，设直线l 的斜率为k (0)k >，点P 的横坐标为P x ， 则直线l 的方程为()2y k x =+．①又椭圆C ：2214x y +=， ②由①②得，()222241161640k x k x k +++-=，则22164241p k x k --⋅=+，从而222814p k x k-=+． 因为AP PQ =，所以1p x =-．所以2228114k k -=-+，解得k =． （2）设点N 的横坐标为N x ．结合（1）知，直线MN 的方程为y kx =．③ 由②③得，22414N x k=+． 从而()()22222p N x AP AQ MN x +⋅= 222282214142414k k k ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭==⨯+，即证． 20．(Ⅰ) 2max ()()4f x f e e ==-，当x e =时，取等号;(Ⅱ) 当22e a e <-≤时，即22e a e -≤<-时，方程()0f x =有2个相异的根；当2a e <- 或2a e =-时，方程()0f x =有1个根；当2a e >-时，方程()0f x =有0个根;(Ⅲ) 212a e e≤- 【解析】试题分析：（I ）把4a =-代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点把给出的定义[1，e]分段，判出在各段内的单调性，从而求出函数在[1，e]上的最大值及相应的x 值；（II ）方程()0f x =根的个数等价于(]1,x e ∈时，方程2ln x a x -=根的个数, 设()g x =2ln x x，求导话简图，利用数形结合讨论a 即可得解； （III ）a>0，()()121211f x f x x x -≤-等价于()()211211f x f x x x -≤-，原题等价于函数()()1h x f x x =+在[]1,x e ∈时是减函数，()2120a h x x x x =+-≤'恒成立，即212a x x≤-在[]1,x e ∈时恒成立，进而求函数最值即可. 试题解析：（I ）()224(0)x f x x x->'=，当x ⎡∈⎣时，()0f x '<，所以()f x 单调递减；当x e ⎤∈⎦时，()0f x '>，所以()f x 单调递增.又()()21410f e f e -=-+->，故()()2max 4f x f e e ==-，当x e =时，取等号.（II ）易知1x ≠，故[]1,x e ∈，方程()0f x =根的个数等价于(]1,x e ∈时，方程2ln x a x-=根的个数．设()g x =2ln x x， ()()22212ln 2ln 1ln ln x x x x x x g x x x--='=当(x ∈时，()0g x '<，函数()g x 递减，当]x e ∈时，()0g x '>，函数()g x 递增．又()2g e e =，2ge =，作出()y g x =与直线y a =-的图像，由图像知：当22e a e <-≤时，即22e a e -≤<-时，方程()0f x =有2个相异的根； 当2a e <- 或2a e =-时，方程()0f x =有1个根； 当2a e >-时，方程()0f x =有0个根;（III ）当0a >时，()f x 在[]1,x e ∈时是增函数，又函数1y x=是减函数，不妨设121x x e ≤≤≤，则()()121211f x f x x x -≤-等价于()()211211f x f x x x -≤- 即()()212111f x f x x x +≤+，故原题等价于函数()()1h x f x x=+在[]1,x e ∈时是减函数， ()2120a h x x x x ∴+-'=≤恒成立，即212a x x ≤-在[]1,x e ∈时恒成立． 212y x x =-在[]1,x e ∈时是减函数，所以221122y x e x e =-≥-.212a e e ∴≤-.。