江苏省盐城市伍佑中学2020-2021学年高二上学期期末数学(理)试题

江苏省盐城市伍佑中学2020-2021学年高二上学期期末数学

（理）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．命题“2R,0x x ∀∈≥”的否定是____________．

2．已知复数141i z i

+=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部是_______. 3．曲线x y e =在点0x =处的切线的倾斜角为________．

4．“0x >”是“1x >”成立的________条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种）

5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:4C y x =的焦点为F ，P 为抛物线C 上一点，且5PF =，则点P 的横坐标是________．

6．椭圆22

143

x y +=上一点A 到左焦点的距离为52，则A 点到右准线的距离为________． 7．函数()ln f x x x =-的单调递减区间为_______

8．已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离心率__.

9．已知命题p ：存在x∈R，使得x 2＋2ax ＋a≤0. 若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围为________.

10．已知对任意正实数1a 、2a 、1b 、2b 都有222

12121212

()b b b b a a a a ++≥+，类比可得对任意正实数1a 、2a 、3a 、1b 、2b 、3b 都有________．

11．若(0,1)x ∈时，不等式111m x x

≤+-恒成立，则实数m 的最大值为________． 12．已知可导函数()()f x x R ∈的导函数()f x '满足()()f x f x '>,则不等式

()(1)x ef x f e >的解集是__________.

13．设椭圆C 22

221(0)x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为12,,F F l 是右准线，若椭圆上存

在一点P 使得1PF 是P 到直线l 的距离的2倍，则椭圆的离心率的取值范围是 ．

14．设0a >，函数2

()a f x x x

=+，()ln g x x x =-，若对任意的21,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在11,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

，使得()()12f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围是________．

二、解答题

15．已知a ∈R ，命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2﹣a≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2+2ax+2﹣a=0”．

（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；

（2）若命题“p ∨q”为真命题，命题“p ∧q”为假命题，求实数a 的取值范围．

16．已知数列{}n a 满足111,()(1)2

n n n na a a n N n a *+==∈++， （1）求23,a a ，并猜想{}n a 的通项公式；（2）用数学归纳法证明(1)中所得的猜想． 17．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，

1,2AB AD AS ===，P 是棱SD 上一点，且12

SP PD =.

(1) 求直线AB 与CP 所成角的余弦值；

(2) 求二面角A PC D --的余弦值．

18．如图，有一张半径为1米的圆形铁皮，工人师傅需要剪一块顶角为锐角的等腰三角形ABC ,不妨设 AB AC =, BC 边上的高为 AD ,圆心为 O ，为了使三角形的面积最大，我们设计了两种方案.

（1）方案1：设 OBC ∠为 θ ，用θ表示 ABC 的面积 ()S θ； 方案2：设ABC 的高AD 为h ，用h 表示 ABC 的面积()S h ；

（2）请从（1）中的两种方案中选择一种，求出ABC 面积的最大值

19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆C ：2

214

x y +=的左顶点A 作直线l ，与椭圆C 和y 轴正半轴分别交于点P ，Q ．

(1)若AP PQ =，求直线l 的斜率；

(2)过原点O 作直线l 的平行线，与椭圆C 交于点M N ，，求证：

2

AP AQ MN ⋅为定值． 20．已知函数()2ln f x a x x =+(a 为实常数) ． （1）当4a =-时，求函数()f x 在[]1,e 上的最大值及相应的x 值；

（2）当[]1,x e ∈时，讨论方程()0f x =根的个数．

（3）若0a >，且对任意的[]12,1,x x e ∈，都有()()1212

11f x f x x x -≤

-，求实数a 的取值范围．

参考答案

1．2,0x R x ∃∈<

【解析】

根据全称命题的否定为特称命题可得：“2R,0x x ∀∈≥”的否定是2,0x R x ∃∈<，故答案为2,0x R x ∃∈<.

2．32

- 【分析】

根据复数运算，求得z ，即可根据复数的概念得到实部.

【详解】

()()()()

141143535111222i i i i z i i i i +++-+====-+--+ z ∴的实部是32

- 本题正确结果：32

- 【点睛】

本题考查复数的除法运算，属于基础题.

3．4

π. 【分析】

求出函数的导数，利用切线斜率和导数之间的关系即可得到结论.

【详解】

由题意，函数的导数为e x y '=，则切线的斜率00|1x k y e ='===，

所以，tan 1α=，解得4

πα=. 故答案为：

4

π. 【点睛】 本题主要考查导数的几何意义，以及切线斜率和倾斜角的计算，属于基础题.

4．必要不充分.