五年级奥数 平方数
五年级奥数 完全平方数及答案
五年级奥数完全平方数及答案1.一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
2.求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方3.求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数4.求满足以下条件的所有自然数：(1)它是四位数。
(2)被22除余数为5。
(3)它是完全平方数5.甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下缺乏十元，轮到乙拿去。
为了平均分配，甲应该补给乙多少元?完全平方数习题答案：1.解答：设此自然数为x，依题意可得x-45=m^2; (1)x+44=n^2 (2)(m,n为自然数)(2)-(1)可得 :n^2-m^2=89或： (n-m)(n+m)=89因为n+m>n-m又因为89为质数，所以：n+m=89; n-m=1解之，得n=45。
代入(2)得。
故所求的自然数是1981。
2.解答：设四个连续的整数为，其中n为整数。
欲证是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。
证明设这四个整数之积加上1为m，那么m为平方数而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数;又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。
这就证明了m是一个奇数的平方。
3.解答：形如的数假设是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即或在两端同时减去1之后即可推出矛盾。
证明假设，那么因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。
假设，那么因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。
综上所述，不可能是完全平方数。
4.解答：设，其中n,N为自然数，可知N为奇数。
11|N - 4或11|N + 4或k = 1k = 2k = 3k = 4k = 5所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。
5.解答:n头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数。
小学五年级奥数完全平方数
第八讲 完全平方数一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。
阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、4、9、16……等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”，如图所示：分别记各图所示的小石子个数为i a (i ＝1、2、3、……、n)不难发现： 1a ＝1＝212a ＝1＋3＝4＝223a ＝1＋3＋5＝9＝234a ＝1＋3＋5＋7＝16＝24………n a ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[]2)1(1n n ⨯-+＝2n毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。
（注：这个和其实就是奇数个数的平方）【例一】 求自然数列前n 个奇数的和：1＋3＋5＋7＋……＋（2n －1）一讲一练：（04浙江五年级夏令营）袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。
那么，最后袋中留下多少个球？【例二】 1234567654321×（1＋2＋……＋6＋7＋6＋……＋2＋1）是多少的平方？练习一：1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方？练习二：2A＝1008×B，其中A，B都是自然数，B的最小值是（）。
【例三】 36、49、60、64、72的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？一讲一练： 360、3969、7744各有多少个约数？【例四】（01ABC）少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
小五奥数-完全平方数
一个自然数自乘所得的积称为完全平方数，100以内的完全平方数（又称平方数）是0、1、2x2=4、3x3=9,4x416,5x5=25,6x6=36,7x7=49,8x8=64,9x9=81共10个。
平方数有些特别的性质，可以解决一些有趣的问题：少年宫游戏厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，闪烁不停。
这200个灯泡按1~200编号，它们每过1秒变化一下自己的明暗状态。
开始时，灯泡全部是暗的；第1秒，全部灯泡是亮着的；第2秒，凡编号为2的倍数的灯泡改变自己的明暗状态，即变暗。
第3秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变自己的明暗状态：明的变暗，暗的变明，...,以此类推，第n秒钟，凡编号为n 的倍数的灯泡改变自己的明暗状态，每200秒钟为一周期，即到201秒时，全部灯泡大放光明，然后继续上述规则改变原来的状态。
问：第200秒时明亮的灯泡有多少？事实上，每个灯泡如果明暗改变次数为偶数次时，它还保持原来的明暗状态；如果变化次数为奇数次时，则明暗状态发生改变，原来明亮的灯泡将变暗，原来不亮的的灯泡将变明亮。
由于平方数的不同约数个数为奇数，从第2秒开始（此时偶数编号灯泡变暗，奇数编号灯泡变亮）起到200秒止，中间的平方数有4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，在这些秒时，同样编号的灯泡由暗变明，加上1号灯泡始终是亮的，共14个灯泡是亮的。
下面举例来讨论平方数的一些问题。
从1~1989的自然数中，完全平方数共有个。
试一试在324，897，211，247，546中，哪些数是完全平方数。
46035乘以一个自然数a，是一个平方数，a最小是多少？试一试203500乘一个自然数a，是一个平方数，求a最小是多少？下面是一个算式：11x2+1x2x3+1x2x3x4+1x2x3x4x5+1x2x3x4x5x6.这个算式的得数能否是某个数的平方？请找出符合下列性质的所有四位数：（1）它是一个平方数（2）开始两位数的数字要相同（3）最末两位数的数字要相同试一试自然数N是一个两位数，它是一个完全平方数，而且N的个位数字与十位数字都是完全平方数，这样的自然数是自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，...,问第612个位置的数是几？下式中每个汉字表示1~9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字。
五年级奥数春季班第8讲 完全平方数
第八讲完全平方数模块一、认识完全平方数和完全平方数的尾数性质1：完全平方数的末位数字只可能是0、1、4、5、6、9；性质2：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数；例1．（1）写出12、22、32、……、202的得数，观察这些得数的个位，并总结一下完全平方数的个位有什（2）根据刚才发现的规律，判断20737是平方数吗？为什么？（3）进一步判断1000是平方数吗？1004000呢？解：（1）如果完全平方数末位是0，那么它从个位开始，连续的0的个数一定是偶数个。
例2．（1）10001到11000之间存在哪些数的平方？写出这些数；（2）非零自然数的平方按大小排列成14916253649……，则第92个位置的数字是。
解：（1）1002=10000，1042=10816，1052=11025，所以10001到11000之间存在101、102、103、104的平方。
（2）1、4、9、16、25、36、49、64、81共有15个数字，100、121、……、直到312=961，一共有22×3=66个数字，前面共有66+15=81个数字，从322=1024开始，每个平方数有4个数字，32、33、34、35，它们的平方都有4个数字，81+11=92，所以第92个位置上是342=1156的第三个数字5.模块二、偶指奇因性质3：自然数N为完全平方数⇔自然数N因数的个数为奇数；性质4：自然数N为完全平方数⇔自然数N的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶次。
特别地，因数个数为3的自然数是质数的平方。
例3．240乘一个非零自然数a，或者除以一个非零自然数b，结果都是一个完全平方数，那么a的最小值是；b的最小值是。
解：240=24×3×5，乘a是一个完全平方数，a的最小值是3×5=15，同样240÷15也是一个完全平方数，b的最小值是15.例4．（1）从1到100这100个自然数中，有奇数个因数的自然数有；（2）从1到100这100个自然数中，有且仅有3个因数的自然数有；解：（1）1到100有奇数个因数的有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，共10个；（2）1到100这100个自然数中，有且仅有3个因数的自然数有4、9、25、49，共4个。
五年级奥数知识讲义-平方数（二）
上一讲我们学习了平方数、平方差的基本题型，本讲将深入学习平方差公式，并探讨较大平方数问题。
知识梳理1. 平方数有奇数个约数如16的约数有1、2、4、8、16。
2. 在两个相邻整数的平方之间不可能再有完全平方数如36、49就是相邻平方数，两数之间没有平方数。
3. 质数p 整除某个平方数，那么这个质数的平方也整除这个平方数如不存在某平方数是11的倍数，但不是121的倍数。
4. 两个非零的互质的自然数，乘积是平方数 ，那么这两个数都是平方数 整数a 、 b 、 c 满足，，那么a 、b 都是平方数。
例1 1×2×3、2×3×4、3×4×5…..这个数列当中是否存在完全平方数？ 分析与解：数列的每一项都具有的形式，其中n 与n 2－1是互质的。
两个互质整数的乘积如果是平方数，那么这两个互质整数应该都是平方数。
如果是平方数，n ＝1，而0不在数列中，所以该数列的每一项都不是平方数。
例2 1×2×3×4、2×3×4×5、3×4×5×6…..该数列中有没有平方数？ 分析与解：通过观察，1×2×3×4＝24＝52－12×3×4×5＝120＝112－13×4×5×6＝360＝192－1…………由此可见每一项都比平方数小1，根据例1的结论：如果是平方数，需使n ＝1。
所以该数列中没有平方数。
例3 找出两个四位的平方数，且二者相差3333。
分析与解： 我们需要对平方差公式熟悉到什么程度呢？见到这道题就应该想到要用平方差公式。
22()()333331110110133a b a b a b -=+-==⨯⨯=⨯由此可得，利用和差公式得这两个平方数是，例4 2011盏亮着的灯，依次编号为1、2、3…2011。
五年级奥数完全平方数
五年级奥数完全平方数五年级奥数完全平方数：0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。
阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、4、9、16……等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”，如图所示：分别记各图所示的小石子个数为i a (i ＝1、2、3、……、n)不难发现：1a ＝1＝212a ＝1＋3＝4＝223a ＝1＋3＋5＝9＝234a ＝1＋3＋5＋7＝16＝24………n a ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[]2)1(1n n ⨯-+＝2n 毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。
（注：这个和其实就是奇数个数的平方）【例一】 求自然数列前n 个奇数的和：1＋3＋5＋7＋……＋（2n －1）一讲一练：（04浙江五年级夏令营）袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。
那么，最后袋中留下多少个球？【例二】 1234567654321×（1＋2＋……＋6＋7＋6＋……＋2＋1）是多少的平方？练习一：1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方？A＝1008×B，其中A，B都是自然数，B的最小值是（）。
练习二：2【例三】 36、49、60、64、72的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？一讲一练： 360、3969、7744各有多少个约数？【例四】（01ABC）少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
小学五年级奥数完全平方数
第八讲 完全平方数一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。
阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、4、9、16……等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”，如图所示：分别记各图所示的小石子个数为i a (i ＝1、2、3、……、n)不难发现： 1a ＝1＝212a ＝1＋3＝4＝223a ＝1＋3＋5＝9＝234a ＝1＋3＋5＋7＝16＝24………n a ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[]2)1(1n n ⨯-+＝2n毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。
（注：这个和其实就是奇数个数的平方）【例一】 求自然数列前n 个奇数的和：1＋3＋5＋7＋……＋（2n －1）一讲一练：（04浙江五年级夏令营）袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。
那么，最后袋中留下多少个球？【例二】 1234567654321×（1＋2＋……＋6＋7＋6＋……＋2＋1）是多少的平方？练习一：1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方？练习二：2A＝1008×B，其中A，B都是自然数，B的最小值是（）。
【例三】 36、49、60、64、72的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？一讲一练： 360、3969、7744各有多少个约数？【例四】（01ABC）少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
吴超超老师奥数五六年级知识点总结—第六讲平方数
第六讲平方数及其计算问题引入一、问题引入一、平方数是指可以写成某个整数的平方的数。
例如，最小的平方数为0，它可以写成0的平方，1=12,4=22,9=32,16=42......所以1、4、9、16这些数也都是平方数。
在小升初及各种杯赛中，考察学生计算能力的题目是必不可少的，这部分题目难度不大，但是方法很巧妙，其中很多题目都是运用了平方数的性质和计算技巧。
题目中出现平方数，我们经常可以化整为零，化零为整、两两配对、或者数形结合，下面我们就一起来学习一下平方数吧。
二、知识总结二、知识总结1、从数列的角度认识平方数在第一讲中我们已经介绍了数列的基本知识，其实数列不仅是一列数，也是一种看待问题的角度。
平方数和数列之间有着密切的关系，让我们来观察下面一个数列：1、3、5、7、9、11......（2n-1）同学们应该已经看出来，这是一个首项为1，末项为2n-1，公差为2的等差数列，更进一步说是一个奇数数列。
从1到2n-1，共有（2n-1-1）÷2＋1=n 项。
根据等差数列前n项求和公式，这个数列的前n项之和为（2n-1+1）×n ÷2=n2,，所以，除了0以外，每个完全平方数n2都是首项为1的奇数数列的前n项的和。
在必要的时候，可以将完全平方数拆成数列，这样就可以化整为零。
另一方面，完全平方数也可以构成一个数列，如1、4、9、16、25、36、49、64、81、100这个数列不是等差数列，因此求其前n项和时不能用（首项＋末项）×项数÷2的公式。
下面我们来推导一下完全平方数列的前n项求和公式：12+22+32+42+...+n2=1×（2-1）＋2×（3-1）＋3×（4-1）＋......＋n×（n＋1－1）=[1×2＋2×3＋3×4＋......＋n×（n＋1）]－（1＋2+3+4+5+...+n）上式的前半部分可以运用整数的裂项技巧（下一讲将为大家介绍）计算，结果为n×(n+1)×（n+2）÷3，后半部分是个等差数列前n项和，为n×（n＋1）÷2，两式合并得到n×（n+1）×（2n+1）÷6，即12+22+32+42+...+n2=n×（n+1）×（2n+1）÷6有了这个平方数数列求和公式，就可以将一列平方数化零位整。
五年级奥数.数论.完全平方数的性质和应用
完全平方数的性质和应用课前预习数字不重复的平方数观察只含两位数字的完全平方数：16＝4225＝5236＝6249＝7264＝8281＝92其中每个平方数都是两位数字互不相同。
含有三位数字的完全平方数，情况就不一样了。
例如：100＝102121＝112144＝122这些平方数都已包含重复数字。
不过，也有许多三位平方数的各位数字互不相同，例如：169＝132196＝142256＝162 62＝5252含有四位数的完全平方数，包含重复数字的现象更为普遍。
1444＝382不含重复数字的四位平方数也很多，例如1024＝322 2401＝4921369＝3721936＝442如果一个平方数有九位数字，每位数字各不相同，并且不含数字0，那么在这个数中，从1到9全都出现，全只出现一次。
其中最小的是：139854276＝118262，最大的是：923187456＝303842知识框架完全平方数常用性质1.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．不可能是2，3，7，8。
性质2：在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
性质3：自然数N为完全平方数⇔自然数N约数的个数为奇数⇔．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次.性质4：若质数p整除完全平方数2a，则p能被a整除。
2.一些重要的推论（1）任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
（2）一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
（3）自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
（4）完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
（5）完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
（6）完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
五年级奥数秋季班《完全平方数》一
一、完全平方数的定义：二、完全平方数表(牢记)：02＝072＝49
12＝182＝64
2＝42＝81
249
32＝9102＝100
2＝162＝121 41611
52＝25122＝144
2＝362＝169 63613
温馨提示：122＝144和21
三完全平方数的常用性质：
三、完全平方数的常用性质：
性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，55，6，9；
三、完全平方数的常用性质：
性质2：
完全平方数除以3只可能余0或1；
完全平方数除以4只可能余0或1；
完全平方数除以8只可能余0、
完全平方数除以8只可能余0、1或4；
三、完全平方数的常用性质：
性质3：
⑴偶指性——完全平方数分解质因数后每个质因数
⑵完全平方数的因数一定有奇数个，反之亦然。
特别地，因数个数为
特别地，因数个数为3的自然数是质数的平方；。
25.五年级奥数第25讲——完全平方数
学生课程讲义一个自然数自乘所得的积称为完全平方数,100以内的完全平方数(又称平方数)是0、1、2×2=4、3×3=9、4×4=16、5×5=25、6×6=36、7×7=49、8×8=64、9×9=81共10个,平方数有一些特别的性质,可以解决一些有趣的问题:少年宫游戏厅内悬挂着200个彩色灯泡,这些灯泡或明或暗,闪烁不停.这200个灯泡按1~200编号,它们每过1秒变化一下自己的明暗状态.开始时,全部灯泡是暗的第1秒,全部灯泡是亮着的;第2秒,凡编号为2的倍数的灯泡改变自己的明暗状态,即变暗;第3秒,凡编号为3的倍数的灯泡改变自己的明暗状态:明的变暗,暗的变明……依次类推,第n秒钟,凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的明暗状态.每200秒钟为一周期.即到201秒时,全部灯泡大放光明,然后继续上述规则改变原来的状态.问:第200秒时,明亮的灯泡有多少事实上,每个灯泡如果明暗改变次数为偶数次时,它还保持原来的明暗状态;如果变化次数为奇数次时,则明暗状态发生改变,原来明亮的灯泡将变暗,原来不亮的灯泡将变明亮.由于平方数的不同约数个数为奇数,从第2秒开始(此时,偶数编号灯泡变暗,奇数编号灯泡是亮的)起到200秒止,中间的平方数有4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196,在这些秒时,同样编号的灯泡由暗变明,加上1号灯泡始终是亮的,共14个灯泡是亮的.下面举例来讨论平方数的一些问题。
【例1】在1-2016的自然数中,完全平方数共有（）个随堂练习1在324、897、211、247、546中,哪些数是完全平方数。
【例6】下式中每个汉字表示1~9中的一个数字,不同的汉字代表不同的数字.已知热2+爱2+小2=学2+奥2+数2那么,请写出符合上述条件的一个等式:随堂练习412345654321是平方数吗?练习题一、填空题1、一个两位数等于它个位数字的平方与十位数字之和,这个两位数是2、把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来数加起来的和恰好是某个自然数的平方，这个和是（）3、哥哥对弟弟说:“到21世纪的x2年,我恰好是x岁,”哥哥生于（）年。
五年级奥数知识讲义-平方数（一）
平方数是一类重要的自然数，小学阶段主要学习：1. 平方数的数字特征2. 平方数被特殊数除所得到的余数3. 平方差公式4. 从约数角度理解平方数知识梳理1. 平方数的尾数只能是0、1、4、5、6、92. 平方数被3、4、5、8、16除得的余数是平方数3. 平方差公式：4. 平方数的标准分解式中，次数全是偶数是整数的质因数分解如果所有次数都是偶数，那么这个整数是平方数例1 13!的n倍是平方数，n不是0，则自然数n最小是多少？分析与解：这道题与“最大平方因子”这个概念有关。
按照字面意思理解即可知道，它是指一个整数的所有约数中最大的平方数（又叫这个整数的平方部分）。
例如：5！可以分解为：5！＝1×2×3×4×5＝，所以22就是5！的平方因子。
本题是求13！除以它的平方部分，商为n，只需将13！分解并成对去掉相同的质因子即可。
最终求得n是7×11×13×3＝3003。
例2 一个自然数乘2是平方数，乘3是立方数，乘5是5次方数。
这个自然数最小是多少？分析与解：由于要求最小的自然数，肯定是除了2、3、5外，没有其他质因子。
设这个自然数为，乘2是平方数：，则a＋1、b、c为2的倍数；乘3是立方数：，则a、b＋1、c为3的倍数；乘5是5次方数：，则a、b、c＋1为5的倍数；同时满足这三个条件的a、b、c最小为15、20、24.则这个自然数最小是例3是否存在无数个不同的平方数构成等差数列？分析与解：不存在。
若存在，根据平方差公式，公差能以无限种方式分解为两个整数的积，而只有0才能以无限种方式分解为两个整数的积，由于题目已知无数个不同的平方数，所以公差不能为0，故不存在无数个不同的平方数构成等差数列。
例4 甲乙二人卖了x 只羊，每只价格为x 元。
分钱的时候甲先拿10元，乙再拿10元，如此轮流拿取。
最后一人拿6元，此时谁多拿了钱？多拿了多少？分析与解：假设10元、10元的拿了m 次，最后剩下6元，那么一共有（10m +6）元，且，则总钱数一定为末位是6的平方数。
五年级奥数-平方数
五年级奥数-平方数22=4，32＝9，52＝25…，像4、9、25…这样的数，推及一般情况，我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。
如.12=1，22＝4，32＝9，42=16，…，112=121，122=144，…其中1，4，9，16，…，121，144，…都叫做完全平方数.下面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数有什么特征。
例如：把下列各完全平方数分解质因数：9，36，144，1600，275625。
解：9=32 36=22×32144=32×241600=26×52 275625=32×54×72可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶数。
反之，如果把一个自然数分解质因数之后，各个质因数的指数都是偶数，那么这个自然数一定是完全平方数。
如36＝62，144=122，1600=402，275625=5252。
例4、已知2×2×3×A的积是一个平方数，那么A最小是，这个积是的平方。
练习1、已知2×2×3×5×A的积是B的平方，那么A最小是，B 是。
练习2、已知12×A的积是B的平方，那么A最小是，B是。
练习3、已知36×A的积是B的平方，那么A最小是，B是。
练习4、一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数，求a的最小值与这个平方数。
练习6、一个自然数A与2100的积是B的平方，A最小是都是？这时B是多少？练习7、1176×a=b2，a、b都是自然数，求a的最小值，此时b是多少？6、13500除以一个最小的数使商成为一个完全平方数，这个最小的数是。
8、AABB表示一个完全平方数，符合条件的四位数是。
AB8是一个完全平方数，这个完全平方数是。
已知五位数BA10、把360表示成两个自然数的平方差有许多组，请尽可能多有写出来。
五年级奥数讲义3
五年级奥数讲义第三讲平方数在数学上，如果某个整数n可以写成另一个整数的平方，我们就称这个整数n是一个平方数，也叫完全平方数。
例如：9=3×3=32，9就是一个完全平方数。
完全平方数有很多特殊的性质。
一、完全平方数的个位数字只可能为0，1，4，5，6，9 这六个数。
1、一个数若以0 结尾，这个数的平方必以 00 结尾；2、一个数若以 1 或 9 结尾，这个数的平方必以1 结尾；3、一个数若以 2 或 8 结尾，这个数的平方必以4 结尾；4、一个数若以 3 或 7 结尾，这个数的平方必以9 结尾；5、一个数若以 4 或 6 结尾，这个数的平方必以6 结尾；6、一个数若以 5 结尾，这个数的平方必以25 结尾。
7、一个完全平方数，个位数字是6时，十位上数字为奇数，个位数字不是6时，十位上数字为偶数。
注：把任意某个数看着一个整十数和一个一位数的和，运用完全平方公式，可以证明这个数的平方符合第7条性质。
本组前6条性质，可以通过实例证明。
二、整除性质。
1、每个完全平方数分解质因数后，质因数的指数都是偶数。
每个完全平方数都有奇数个不同的因数。
（反之亦成立）2、一个完全平方数如果是偶数，它一定是某个偶数的平方，能被4 整除；3、一个完全平方数如果是奇数，它一定是某个奇数的平方，被8 除余1；4、一个完全平方数如果能被 3 整除，它一定能被 9 整除；如果不能被 3 整除，它一定被3 除余1；5、不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
6、两个完全平方数的积还是完全平方数，一个完全平方数与一个非完全平方数的积不是完全平方数；三、完全平方数也叫正方形数，即一个整数是完全平方数当且仅当相同数目的点能够在平面上排成一个正方形点阵，使得每行每列的点都一样多。
如下图：对于一个整数 n， n2就等于前 n 个正奇数的和。
在上图中，从1开始，第 n 个平方数就等于前一个平方数加上第 n 个正奇数。
2018五年级奥数.数论.完全平方数的性质和应用(A级).学生版
完全平方数的性质和应用数字不重复的平方数观察只含两位数字的完全平方数：16＝4225＝5236＝6249＝7264＝8281＝92其中每个平方数都是两位数字互不相同。
含有三位数字的完全平方数，情况就不一样了。
例如：100＝102121＝112144＝122这些平方数都已包含重复数字。
不过，也有许多三位平方数的各位数字互不相同，例如：169＝132196＝142256＝16262＝5252含有四位数的完全平方数，包含重复数字的现象更为普遍。
1444＝382不含重复数字的四位平方数也很多，例如1024＝3222401＝4921369＝3721936＝442如果一个平方数有九位数字，每位数字各不相同，并且不含数字0，那么在这个数中，从1到9全都出现，全只出现一次。
其中最小的是：139854276＝118262，最大的是：923187456＝303842知识框架完全平方数常用性质1.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．不可能是2，3，7，8。
性质2：在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
性质3：自然数N为完全平方数⇔自然数N约数的个数为奇数⇔．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次.性质4：若质数p整除完全平方数2a，则p能被a整除。
2.一些重要的推论（1）任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
（2）一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
（3）自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
（4）完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
（5）完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
（6）完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
五年级下册数学试题奥数——完全平方数全国通用
完全平方数一、知识点1. 完全平方数表示两个相同的数相乘的结果.2. 完全平方数分解质因数时，它的每个相同的质因数都有偶数个.3. 完全平方数的个位数字只可能是965410、、、、、这六个数字.4. 两个完全平方数的积还是完全平方数.5. 一个完全平方数如果能被n 整除，则它一定能被2n 整除.二、例题例1 下面是一个算式：9876543214321321211⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯+Λ，问这个算式的得数是否是一个完全平方数？例2 两个不相等的完全平方数相除，结果还是一个完全平方数，并且这个完全平方数与前两个完全平方数不相等，问两个完全平方数的和最小是多少？例3 从1到2000的所有正整数中，有多少个数乘以72后是完全平方数？例4 计算：2222222222221234569596979899100-+-+-++-+-+-Λ.例5 有六张四位数的数字卡片，每张卡片上有一个或两个数字已被弄脏看不清了.它们分别是24□2、58□7、23□4、4□□8、□□45、□□20，其中只有一个是完全平方数，问这个数是多少？例6 50张卡片，写着1-50这50个数字，正反两面写的数字相同，拉片一面是红，一面是蓝.某班有50名学生，老师把50张卡片中蓝色的一面都朝上摆在桌上，对同学说:“请你们按学号顺序逐个到前面来翻卡片，规则是：只要卡片上的数字是自己学号的倍数，就把它翻过来，蓝翻成红，红翻成蓝”，那么到最后每个学生都翻完后红色朝上的卡片还有多少张？例7 求一个四位完全平方数，它的前两位数码相同，后两位数码也相同.三、练习1. 已知a 是一个两位数，且a +92是一个完全平方数，则=a _______________.2. 在300-600之间，有___________个完全平方数.3. 如果x 32(0≠x )是一个完全平方数，那么x 至少是_________.4. 如果3!+n 是一个完全平方数，那么=n ___________.（其中n n ⨯⨯⨯⨯=Λ321!）5. 个位数字与百位数字的和恰好等于十位数字的三位完全平方数是_______________.6. 2002加上一个两位质数后得到一个完全平方数，这个质数是____________.。
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5、平方数
1、判断下列各数，哪些数不可能是完全平方数？哪些可能是完全平方数？
ABC4
46B
AB6431 50
43
不可能是平方数的是。
可能是完全平方数的是。
2、□□1表示一个三位数，在方框上填上合适的数字，使它成为一个完全平方
数，符合条件的所有这样的三位数的总和是。
3、先仔细观察，找出规律，然后进行计算：
1＝12＝1
1+3＝22＝4
1+3+5＝32＝9
1+3+5+7＝42＝16
1+3+5+7+9＝52＝25
┅┅┅那么：1+3+5+7+9+11+┅┅2001=
4、在括号中填上合适的自然数，使下面的等式成立。
()2 + 73 = ()2
AB8是一个完全平方数，这个完全平方数是。
5、已知五位数BA
6、13500除以一个最小的数使商成为一个完全平方数，这个最小的数是。
7、从1~~2002这2002个自然数中，完全平方数有个。
8、AABB表示一个完全平方数，A、B代表什么数字时，这个四位数是完全平方
数。
符合条件的四位数是。
9、两位数AB减去两位数BA的差为某自然数的平方，这样的两位数有哪几个？
10、把360表示成两个自然数的平方差有许多组，请尽可能多有写出来。
11、有80枚伍分硬币，把“伍分”字样面向上，编成1、2、3、4、5、6、7、┅┅79、80这80个号码，小明作翻硬币游戏，第一次把凡是1的倍数的硬币翻动一次，第二次把凡是2的倍数的硬币翻动一次，第3次把凡是3的倍数的硬币翻动一次，┅┅第80次把凡是80的倍数的硬币翻动一次；这样翻动后，哪些硬币的“国徽”面朝上？
12、能否找到两个连续的自然数，这两个数相乘的积是完全平方数？如能，请写
出来，如不能，请说明理由。
5、平方数 解答：
一、解答题
1、 不可能是完全平方数是：43AB ，6431，50ABC 。
（1）完全平方数的末位数字之只能是：0、1、4、5、6、9。
所以43AB 不可能是完全平方数。
（2）奇数的平方个位数字是奇数，十位数字必是偶数，如果6431是完全平方数，则是奇数的平方，十位3不符合偶数要求。
（3）如果末位数字有0的完全平方数，则末位0的连续个数是偶数个。
所以50ABC 不是完全平方数。
446B 可以是完全平方数，当B=2时，4624=68×68。
2、 121+441+961+361+841＝2725
要求末位数字是1，必为□12或是□92。
□12有112=121 212=441 312=961
□92有192=361 292=841 所以121+441+961+361+841＝2725
3、 1002001
从1开始的连续奇数的和是它们个数的平方。
则1+3+5+7+9+11+┅┅2001==[（2001+1）÷2]2=10012=1002001
4、 362+73=372
a 2-
b 2=（a+b ）×（a-b ），所以连续两个数的平方之差是这两个数的和。
73=36+37 则372-3362=37+36=73
5、 40804
BA AB 8是完全平方数。
而BA AB 8是一个倒序数，又因为101×101=10201，要求百位数字是8，把10201×22=40804=2022符合题目的要求。
6、 15
13500=2×2×3×3×3×5×5×5=22×32×52×（3×5）
7、44个。
1~2002最大的平方数是442=1936，而452=2025>2002。
8、7744
A0，是11的倍数。
要使AABB是一个完全平方数，应是因为AABB=11×B
112=121的倍数，我们可以把121乘以一个数的平方去试验。
121×32=121×9=1089 121×42=121×16=1936
121×52=121×25=3025 121×62=121×36=4356
121×72=121×49=5929 121×82=121×64=7744
121×92=121×81=9801
其中只有121×82=121×64=7744是符合题目的意思。
二、解答题：
9、54、51、62、73、84、95。
两个两位数之差是完全平方数。
那么差可以是9、16、25、36、49、64、81。
而两数AB、BA除以9是同余，则它们的差还是9的倍数。
则差只能是9、36、81。
当差是9时，则A-B=1，AB=54。
当差是36时，则A-B=4，AB可以是51、62、73、、84、95。
当差是81时，则A-B=9，不存在这样的AB数。
10、360=912-892=472-432= 232-132 = 212-92=192-12
因为a2-b2=（a+b）×（a-b），其中a+b是这两个自然数的和，a-b是这两个自然数的差。
又因为这两个数都是奇数，则它们的和与差都有是偶数。
把360写成两个数相乘的形式可以得到这么几组。
360=1×360=2×180=3×120=4×90=5×72=6×60
=8×45=9×40=10×36=12×30=15×24=18×20
其中2×180，2是两个数的差，180是两个数和。
大数是（180+2）÷2=91，小数是91-2=89，得到一组答案：360=912-792 用同样的方法可以得到以下几组：4×90得到这一组：360=472-432 6×60得到这一组：360=332-272
10×36得到这一组：360=232-132 12×30得到这一组：360=212-92
18×20得到这一组：360=192-12
11、1、4、9、16、25、36、49、64
只用翻动奇数次的硬币才会是“国徽”面朝上。
每个硬币都在自身数码的约数的时候才翻动。
所以号码数是奇数个约数的硬币“国徽”面朝上，在80以内约数个数是奇数个的只有平方数。
为：1、4、9、16、25、36、49、64。
12、不能。
(1)因为没有连续两个自然数都是完全平方数。
所以不可能出现两个完全平方数相乘得到完全平方数的情况。
(2)如果两个数都不是完全平方数，这两个数必有不同的质因数，则它们的乘积不可能是完全平方数。