高中数学教案必修2 第2章 点线面的位置关系

§2.1.1 平面

学习目标

1. 了解平面的描述性概念；

2. 掌握平面的表示方法和基本画法；

3. 掌握平面的基本性质；

4. 能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间的关系.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P40~ P 43，找出疑惑之处）

引入：平面是构成空间几何体的基本要素.那么什么是平面呢?平面如何表示呢?平面又有哪些性质呢?

二、新课导学

※探索新知

探究1：平面的概念与表示

问题：生活中哪些物体给人以平面形象？你觉得平面可以拉伸吗？平面有厚薄之分吗？

新知1：平面(plane)是平的；平面是可以无限延展的；平面没有厚薄之分.

问题：通常我们用一条线段表示直线，那你认为用什么图形表示平面比较合适呢？

新知2：如上图，通常用平行四边形来表示平面.平面可以用希腊字母,,

αβγ来表示，也可以用平行四边形的四个顶点来表示，还可以简单的用对角线的端点字母表示.如平面α,平面ABCD,平面AC等.

规定：①画平行四边形，锐角画成45°，横边长等于其邻边长的2倍；②两个平面相交时，画出交线，被遮挡部分用虚线画出来；③用希腊字母表示平面时，字母标注在锐角内.

问题：点动成线、线动成面.联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系怎么表示？直线和平面呢?

新知3：⑴点A在平面α内，记作Aα

∈；点A在平面α外，记作Aα

∉.⑵点P在直线l上，记作P l

∈，点P在直线外，记作P l

∉.⑶直线l上所有点都在平面α内,则直线l在平面α内(平面α经过直线l),记作lα

⊂；否则直线就在平面外，记作lα

⊄.

探究2：平面的性质

问题：直线l与平面α有一个公共点P,直线l是否在平面α内?有两个公共点呢?

新知4：公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.用集合符号表示为：

,,

A l

B l

∈∈且,

A B l

ααα

∈∈⇒⊂

问题：两点确定一直线，两点能确定一个平面吗？任意三点能确定一个平面吗？

新知5：公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 如上图,三点确定平面ABC.

问题：把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于点B?为什么?

新知6：公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.如下图所示：

平面α与平面β相交于直线l，记作l

αβ=.公理3用集合符号表示为

,

P a

∈且Pβ

∈⇒l

αβ=,且P l∈

※典型例题

例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.

例2 如图在正方体ABCD A B C D ''''-中，判断下列命题是否正确，并说明理由：⑴直线AC 在平面ABCD 内； ⑵设上下底面中心为,O O ，

则平面AA C C ''与平面BB ' D D '的交线为OO '；

⑶点,,A O C '可以确定一平面；

⑷平面AB C ''与平面AC D '

重合.

※ 动手试试

练 用符号表示下列语句，并画出相应的图形： ⑴点A 在平面α内，但点B 在平面α外； ⑵直线a 经过平面α外的一点M ； ⑶直线a 既在平面α内，又在平面β内.

三、总结提升

※ 学习小结

1. 平面的特征、画法、表示；

2. 平面的基本性质(三个公理)；

3. 用符号表示点、线、面的关系.

※ 知识拓展

平面的三个性质是公理(不需要证明,直接可以用),是用公理化方法证明命题的基础.其中公理1可以用来判断直线或者点是否在平面内；公理2用来确定一个平面，判断两平面重合，或者证明点、线共面；公理3用来判断两个平面相交，证明点共线或者线共点的问题.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下面说法正确的是（ ）.

①平面ABCD 的面积为210cm ②100个平面重合比50个平面重合厚③空间图形中虚线都是辅助线④平面不一定用平行四边形表示.

A.①

B.②

C.③

D.④ 2. 下列结论正确的是（ ）.

①经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面②经过两条相交直线，可以确定一个平面③经过两条平行直线，可以确定一个平面④经过空间任意三点可以确定一个平面

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

3. 如图在四面体中，若直线和相交，则它们的交点一定（ ）.

A.在直线DB 上

B.在直线AB 上

C.在直线CB 上

D.都不对

4. 直线12,l l 相交于点P ，并且分别与平面γ相交于点,A B 两点，用符号表示为____________________.

5. 两个平面不重合，在一个面内取4点，另一个面内取3点，这些点最多能够确定平面_______个.

课后作业

1. 画出满足下列条件的图形：

⑴三个平面：一个水平，一个竖直，一个倾斜； ⑵ ,,,l AB CD αβαβ=⊂⊂AB ∥l ，CD ∥l .

2.如图在正方体中，A 是顶点，,B C 都是棱的中点，请作出经过,,A B C 三点的平面与正方体的截面.

§2.1.2空间直线与直线之间的位置关

系

O 'O B 'C 'D '

A '

D C B A H G

D

C

F E B

A