高中数学教案必修2 第2章 点线面的位置关系
2高中数学必修2精品教案：2 点、直线、平面之间的位置关系 教案
第二章 点、直线、平面之间的位置关系(必修2)一、知识结构1．2．空间中平行、垂直间的转化关系二、学习目标1．直观认识和理解、体会空间中点、直线、平面之间的位置关系，抽象出空间直线、平面之间的位置关系，用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并了解可以作为推理依据的公理和定理。
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理2 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行。
等角定理 。
2．以空间的上述公理和定理为出发点，通过直观感知，操作确认，归纳出一些判定定理与性质定理。
判定定理在选修2-1中在证明，性质定理要求证明。
3．运用获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
三、课时安排全章约需10+2课时2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 ------------------- 3课时2.2 直线、平面平行的判定及其性质 --------------------3+1课时2.3 直线、平面垂直的判定及其性质--------------------3+1课时小结----------------------------------1课时四、教学建议2.1空间点、直线、平面之间的位置关系（3课时）第一课时平面教学内容平面的概念；平面的画法和表示；平面的基本性质。
学习目标1．了解平面的概念，理解平面的无限延展性。
2．会正确地用图形和符号表示点、直线、平面及其它们之间的位置关系，初步掌握文字语言、图形语言、符号语言间的相互转化。
3．了解作为以后推理依据的三个公理。
教学重点文字语言、图形语言、符号语言间的相互转化，三个公理的作用。
要点分析1．三种语言间的联系图形语言——考察对象第一次抽象的产物，形象、直观的语言。
文字语言——对图像的描述、解释与讨论。
符号语言——对文字语言的简化和再次抽象。
人教A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系教案(1)
② 两条异面直线所成的
导出异
角 θ∈（ 0， π）； 2
③ 当两条异面直线所成
面直线 所成的 角的概
的角是直角时，我们就说
念.
这 两条 异面直 线互相 垂 例 3 让
直，记作 a⊥ b；
学生掌
④ 两条直线互相垂直， 有 握了如
共面垂直与异面垂直两种
何求异
情形；
面直线
⑤ 计算中，通常把两条异 所成的
例 3（投影）
2. 利用已有的知识与经验归纳整 理本节所学知识 .
三、情感、态度与价值观
感受空间中图形的基本位置关系，形成严谨的思维品质
.
教学重点、难点
线在此平面内．
师：把一把直尺边缘
A
B
α· C ·
·
上的任意两点放在桌边， 可以看到，直尺的整个边 缘就落在了桌面上，用事 实 引导 学生 归纳出 公理
符号表示为 A∈L
1． 教师引导学生阅读教材
B∈ L ? L ? α． A∈α B∈α
公理 1： 判断直线是否在平
P42 前几行相关内容，并 加以解析．
β
α
P
·
L
平面是有的，而且只有一 个”，也即不共线的三点 确定一个平面 .
“有且只有一个平
面”也可以说成“确定一
符号表示为： P∈ α∩β? α∩β =，L 个平面 . ”
且 P∈ L ．
引导学生阅读 P42 的
公理 3 作用：判定两个平面 是否相交的依据 .
思考题，从而归纳出公理 3．
通过类比 探索，培 养学生知 识迁移能 力，加强 知识的系 统性 .
师：生活中，我们看 到三脚架可以牢固地支撑
面内．
照相机或测量用的平板仪
新课标人教A版高中数学必修二第二章第一节《空间点、线、面之间的位置关系》教案
《空间点、直线、平面之间的位置关系》教案一、课题2.1.1空间点、直线、平面之间的位置关系二、教学目标1、知识与技能①理解空间平面的概念，掌握平面的基本性质②熟练掌握文字语言、图形语言、符号语言转换③掌握三条公理，并且能运用三条公理证明一些简单空间图形的位置关系2、过程与方法①通过三种语言的学习，培养学生分析问题的能力，作图能力以及空间想象能力②学生亲历两条公理归纳过程，学会利用已有的知识与经验归纳新的知识3、情感态度与价值观通过语言、符号、图形的转换，使学生体会到数学的乐趣，激发其学习数学的兴趣三、课型新授课四、课时第一课时五、教学重难点④重点：文字语言、图形语言、符号语言转换，运用三条公理证明一些简单空间图形的位置关系难点：文字语言、图形语言、符号语言转换六、教学过程1、新课引入师：图示是我们生活中常见的物体，观察图片，你能总结出它们的共同特点吗？（课桌面、黑板面、海平面）生：它们都是平面师：非常好，那么我们应该如何理解平面这一几何概念呢？（设计意图：通过生活中的实际例子出发，提出问题，引发思考，导入新课）2、教授新课生：......师：几何学里所说的“平面”是从这样的一些物体之中抽象出来的，但是应该要注意几何里的平面平面是无限延伸的，无大小，无厚薄之分，不可度量。
师：下面请同学们做一道小练习：①10个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚；②有一个平面的长是50m，宽是20m；③黑板面是平面；④平面是绝对的平，没有大小，没有厚度，可以无限延展的抽象数学概念。
其中正确的说法是师：那么我们应该如何画平面呢？生：......师：我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且平行四边形的锐角通常画成45°.且横边长等于其邻边长的2倍，如图所示。
师：如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如图所示。
师：同学们还要注意到，在表示平面时，我们常把希腊字母α，β，γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如上图所示；当然也可以用代表平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，即：平面α，平面ABCD，平面AC。
人教版高中数学必修二第二章《点线面位置关系》教案
详解 5： 明确点和平面之间是属于和不属于 线和平面之间是含于和不含于 可以将点当做元素，直线和平面是点组成的，相当于一个集合
详解 6 在之前，我们已经完成了基础的学习，学生已经了解点线面三者的各种位置关
系，我们可以很自然的引出下一章：一些特殊常见的位置关系 平行和垂直
详解 7 如果在平面α内有直线 b 与平面α外一条直线 a 平行，那么 a 与平面α的位置
系中的几种
特殊位置关系而
已
。
4
4、同步例题：
1-思考辨析： （1）：俩个平面α，β有一个公共点 A，就说α，β相交于过 A 点的任意一条直 线（×） （2）：俩俩相交的三条直线最多可以确定三个平面（√） （3）：如果俩个平面有三个公共点，则这俩个平面重合（×） （4）：若直线 a 不平行于平面α，且 a 不含于α，则α内的所有直线于 a 异面（×）
详解 详解 详解
详解 1： 可以通过教室的一些墙面以及黑板举例，通过现在流行曲面屏，球面等去对比
平面。再此过程中要让学生明白几何中的平面是无限延伸的，区别于生活中的有 限平面。
要让学生明白平面可以看成是点的集合，平面内有无数个点 紧接着就可以很顺畅的提问学生：一个确定的平面，平面内这无数个点有什么 共性吗？以此引出公理 1 和 2
详解 2： 平面可以看做是点构成的线构成的，让学生自主思考： 几个点可以组成一个有限确定平面 几条直线可以构成一个确定平面 构成一个确定平面的点或者线有什么条件（三个不在同一条直线上的点）
详解 3： 直线与直线的位置关系
可以通过六方体的螺母讲解三种位置关系
2
点线面位置关系讲解图如下：
详解 4： 帮助学生明确平面中和空间中平行线的传递性都可用 但 垂直传递不行
人教版高中数学必修二第二章 点、直线、平面之间的位置关系全章教案
）利用生活中的实物对平面进行描述；的直观图）掌握平面的基本性质及作用；.思考4:当两个平面相交时，你认为下列哪个图形的立体感强？你能指出其画法要点吗？(1)画出交线；(2)被遮挡部分画虚线.说明:为了表示和区分平面，我们可以用适当的字母作为平面的名称，如思考5:直线和平面都可以看成点的集合.那么“点P在直线l在平面α内”，用集合符号可怎样表示？“点P在直线l外”,“点A在平面α外”用集合符号可怎样表示？思考3:如图，当点A、B落在平面α内时，直线置关系如何？由此可得什么结论？公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内思考1:空间中，经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线，那么两思考1:如图，把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在的平面与桌面所思考2:如果两条不重合的直线有公共点，则其公共点只有一个重合的平面有公共点，其公共点有多少个？这些公共点的位置关系如何？l β= ，有哪些理论作用吗？确定两平面相交的依据，判断多点共线的依据例2: 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系,l P αβ=且（1）平面的概念、画法、表示方法；（2）文字语言、符号语言、图形语言描述点、直线、平面之间的位置关）了解空间中两条直线的位置关系；（养学生的空间想象能力；（；（）异面直线所成角的定义、范围及应用。
思考2:我们把上图中直线A′B与直线CD怎样理解异面直线？关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法最合适？A. 空间中既不平行又不相交的两条直线；思考1:设直线a//b，将直线a在空间中作平行移动，在平移过程中a与b思考2:如图, 在长方体ABCD—A′B′C′D′中,BB′∥AA′，DD′∥AA′，那么BB′与DD′平行吗 ?思考3：取一块长方形纸板ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，将纸板沿EF 折起，在空间中直线AD与BC的位置关系如何 ?思考4:通过上述实验可以得到什么结论？思考1:在平面上，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两思考2:如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′的底面是平行四边形，∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何 ?思考3:如图，在空间中AB// A′B′，AC// A′C′，你能证明∠BAC与∠B′A′C′相等吗？例2：如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中1. 空间直线的位置关系；2. 异面直线的概念(既不平行也不相交的两条直线)；3. 异面直线画法及判定；对于两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a， b′∥b，则 a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)思考3：求异面直线所成角的步骤有哪些？思考1:我们规定两条平行直线的夹角为0°，那么两条异面直线所成的角的思考3：在平面几何中，垂直于同一条直线的两直线互相平行，在空间中这个结论还成立吗 ?例1：如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中.（1）直线A′B和CC′的夹角是多少？（2）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？1、正方体ABCD- A）了解空间中直线与平面的位置关系；（（.思考2:对于一条直线和一个平面，就其公共点个数来分类有哪几种可能？思考4:通过上面的观察和分析，直线与平面有三种位置关系，即直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.这些位置关系的基本特征是什么? （1）直线在平面内---有无数个公共点；思考7:过平面外一点可作多少条直线与这个平面平行？若直线思考1:拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位思考3：由上面的观察和分析可知，两个平面的位置关系只有两种，即两个平面平行，两个平面相交.这两种位置关系的基本特征是什么？（1）两个平面平行---没有公共点；例1：给出下列四个命题：(1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行(3)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.(4)若直线l在平面α内，且l与平面β平行，则平面α与平面β一、直线与平面有三种位置关系：(1)直线在平面内——有无数个公共点；(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点；(3)直线与平面平行——没有公共点.二、两个平面之间有两种位置关系：）理解并掌握直线与平面平行判定定理；（思考3：若将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？思考4：有一块木料如图，P为面思考5：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a与平面α平行？思考1：如果直线a与平面α内的一条直线b平行，则直线a与平面α一定思考2：设直线b在平面α内，直线a在平面α外，若a//b，则直线a与直线b确定一个平面β，那么平面α与平面β的位置关系如何？此时若直线a思考3：通过上述分析，我们可以得到判定直线与平面平行的一个定理，你能用文字语言表述出该定理的内容吗？定理若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平思考5：直线与平面平行的判定定理可简述为“线线平行，则线面平行”，在例2 在长方体ABCD—A1B1C1D1中.（1）作出过直线AC且与直线BD1平行的截面，并说明理由.（2）设E，F分别是A1B和B1C的中点，求证直线EF//平面ABCD.2.两个平面平行的基本特征是什么？有什么简单办法判定两个平面平行呢？思考5: 建筑师如何检验屋顶平面与水平面是否平行？思考3:通过上述分析，我们可以得到判定平面与平面平行的一个定理，用文字语言表述出该定理的内容吗？定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行思考4:上述定理通常称为平面与平面平行的判定定理，怎样表述？思考5:在直线与平面平行的判定定理中，“a∥α,b∥β”，可用什么条件例1：在正方体ABCD-A′B′C′例2 ：在三棱锥P-ABC中，点D、E、F分别是△PAB、△PBC、△PAC的重心，求证：平面DEF//平面ABC.）掌握两个平面平行的性质定理及其应用（）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（）掌握直线和平面所成的角及其应用（（。
人教版高一数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系教案
②图示：如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．（2）空间两条直线的位置关系①相交直线——同一平面内，__有且只有__一个公共点．②平行直线——同一平面内，__没有___公共点．③异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点．注：(1)若无特别说明，书中的两条直线均指不重合的两条直线．(2)空间两条直线的位置关系空间两条直线平行3.空间中直线与平面(1)位置关系：有且只有三种①直线在平面内——有无数个公共点；②直线与平面相交——有且只有一个公共点；③直线与平面平行——没有公共点．直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．(2)符号表示：直线l在平面α内，记为 l⊂α；直线l与平面α相交于点M，记为_l∩α＝M_；直线l与平面α平行，记为l∥α .(3)图示：直线l在平面α内，如图a所示；直线l与平面α相交于点M，如图b所示；直线l与平面α平行，如图c所示．4.空间中直线与平面(1)位置关系：有且只有两种①两个平面平行——没有公共点；②两个平面相交——有一条公共直线．(2)符号表示：两个平面α，β平行，记为α∥β；两个平面α，β相交于直线l，记为α∩β＝l.(3)图示：两个平面α，β平行，如图a所示；两个平面α，β相交于直线l，如图b所示．2.2直线、平面平行的判定及其性质1.直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定定理：2.平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定定理：3.直线与平面平行的性质直线与平面平行的性质定理：4.平面与平面平行的性质平面与平面平行的性质定理：2.3直线、平面垂直的判定及其性质1．直线与平面垂直的含义及判定定理含义：判定地理：2.平面与平面垂直的判定（1）二面角（2）平面与平面垂直①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作α⊥β.②画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如图所示．③判定定理3.直线与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的性质定理：4.直线与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理：二、重难点直线、平面平行的判定及其性质1.应用判定定理证明线面平行的步骤上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．2．证明直线与平面平行的方法(1)定义：证明直线与平面无公共点(不易操作)．(2)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．(3)判定定理法．3．对面面平行的判定定理的理解(1)定理可简记为：线面平行，则面面平行．这里的“线面”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面．(2)用该定理判定两个平面平行需同时满足5个条件： a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β. 4．平面与平面平行的判定方法：(1)定义法：两个平面没有公共点；(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.直线、平面垂直的判定及其性质1.线面垂直的判定定理的应用(1)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论．(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形、梯形底边的中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法．2.证明平面与平面垂直的方法根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．3.证明线线平行常有如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．特别提醒：“平行关系”与“垂直关系”在特定条件下是可以相互转化的．三、易错点直线、平面平行的判定及其性质1．线面平行判定定理应用的误区(1)条件罗列不全，最易忘记的条件是a⊄α与b⊂α.(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．直线、平面垂直的判定及其性质注意线面垂直与平行的相互转化：(1)空间中直线与直线垂直、直线与平面平行、直线与直线平行可以相互转化，每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与平行开始转化为另一种垂直与平行，最终达到目的．四、例题分析例1、如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.例2、如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1.例3、求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．例4、如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF ⊥PC于F.求证：(1)BC⊥平面PAB；(2)AE⊥平面PBC；(3)PC⊥平面AEF.例5、如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.例6、如右图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)求证：D1C⊥AC1；(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．。
人教新课标版数学高一-高中数学必修2教案 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2．1空间点、直线、平面之间的位置关系2．1.1平面平面[导入新知]1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①所示．(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②所示．3．平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.[化解疑难]几何中的平面有以下几个特点(1)平面是平的．(2)平面是没有厚度的．(3)平面是无限延展而没有边界的．平面的基本性质[导入新知]平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l从集合角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示.文字语言、图形语言、符号语言的相互转化[例1]如右图所示，根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB.(2)点C与直线AB.(3)点M与平面AC.(4)点A1与平面AC.(5)直线AB与直线BC.(6)直线AB与平面AC.(7)平面A1B与平面AC.[解](1)点P∈直线AB；(2)点C∉直线AB；(3)点M∈平面AC；(4)点A1∉平面AC；(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB⊂平面AC；(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.[类题通法]三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．[活学活用]根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.解：(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①所示；(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②所示；(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图③所示．点、线共面问题[例2]证明两两相交且不共点的3条直线在同一平面内．[解]已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．法一：(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．法二：(辅助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．[类题通法]证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法有以下几种(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”．(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”．(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”．[活学活用]下列说法正确的是()①任意3点确定一个平面；②圆上的3点确定一个平面；③任意4点确定一个平面；④两条平行线确定一个平面．A．①②B．②③C．②④D．③④答案：C共线问题[例3]已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如右图所示．求证：P，Q，R 3点共线．[证明]法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又∵AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC 与平面α的交线上．∴P，Q，R 3点共线．法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线．[类题通法]点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．[活学活用]如右图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1 3点共线．证明：如图所示，连接A1B，CD1.显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.∴BD1⊂平面A1BCD1.同理BD1⊂平面ABC1D1.∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1.又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.∴Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线．2.证明三线共点问题[典例](12分)如下图所示，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.求证：EF，GH，BD交于一点．[解题流程][活学活用]如右图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上．证明：∵EF∩GH＝P，∴P∈EF且P∈GH.又∵EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，∴P∈平面ABD，且P∈平面CBD，又P∈平面ABD∩平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，由公理3可得P∈BD.∴点P在直线BD上.一、选择题1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是()A．A∈l，l∉αB．A∈l，l⊄αC．A⊂l，l⊄αD．A⊂l，l∉α答案：B2．下列说法正确的是()A．三点可以确定一个平面B．一条直线和一个点可以确定一个平面C．四边形是平面图形D．两条相交直线可以确定一个平面答案：D3．空间两两相交的3条直线，可以确定的平面数是()A．1 B．2C．3 D．1或3答案：D4．下列推断中，错误的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合答案：C5．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF 与HG交于点M，那么()A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上D．M既不在直线AC上，也不在直线BD上答案：A二、填空题6．线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是________．答案：直线AB⊂平面α7．把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上．(1)A∉α，a⊂α________.(2)α∩β＝a，P∉α且P∉β________.(3)a⊄α，a∩α＝A________.(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________.答案：(1)C(2)D(3)A(4)B8．平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C∈平面β且C∉l，AB∩l＝R，设过点A，B，C 3点的平面为平面γ，则β∩γ＝________.答案：CR三、解答题9．求证：如果两两平行的3条直线都与另一条直线相交，那么这4条直线共面．解：已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c和l共面．证明：如图所示，因为a∥b，由公理2可知直线a与b确定一个平面，设为α.因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈a，B∈b，则A∈α，B∈α.又因为A∈l，B∈l，所以由公理1可知l⊂α.因为b∥c，所以由公理2可知直线b与c确定一个平面β，同理可知l⊂β.因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公理2的推论2知，经过两条相交直线，有且只有一个平面，所以平面α与平面β重合，所以直线a，b，c和l共面．10．已知正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E 4点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R 3点共线．证明：如图．(1)连接B1D1，∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β. ∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β.则Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ.故P，Q，R 3点共线．2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系空间两直线的位置关系[导入新知]1．异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．(2)异面直线的画法：2．空间两条直线的位置关系位置关系特点相交同一平面内，有且只有一个公共点平行同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点[化解疑难]1．对于异面直线的定义的理解异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线．注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a ，b 两条直线．例如，如右图所示的长方体中，棱AB 和B 1C 1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线，故AB 与B 1C 1是异面直线．2．空间两条直线的位置关系(1)若从有无公共点的角度来看，可分为两类：直线⎩⎨⎧有且仅有一个公共点——相交直线无公共点——⎩⎪⎨⎪⎧平行直线异面直线(2)若从是否共面的角度看，也可分两类：直线⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线平行直线不共面直线：异面直线平行公理及等角定理 [导入新知]1．平行公理(公理4)(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．(2)符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 2．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°.(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.[化解疑难]对平行公理与等角定理的理解公理4表明了平行的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法．等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理4的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同时，它们相等，否则它们互补．两直线位置关系的判定[例1]如右图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________.[答案](1)平行(2)异面(3)相交(4)异面[类题通法]1．判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．2．判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如右图)．[活学活用]如右图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由．(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．解：(1)不是异面直线．理由：∵M，N分别是A1B1，B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又A1A D1D，而D1D C1C，∴A1A C1C.∴四边形A1ACC1为平行四边形．∴A1C1∥AC，得到MN∥AC.∴A，M，N，C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，∴BC⊂平面CC1D1.而BC⊥平面CC1D1，BC⊄平面CC1D1，∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．平行公理及等角定理的应用[例2]如右图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.[证明](1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴MM1AA1.又∵AA1BB1，∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.[类题通法]1．证明两条直线平行的方法：(1)平行线定义．(2)三角形中位线定理、平行四边形性质等．(3)公理4.2．空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，当两个角的两边方向都相同时或都相反时，两个角相等，否则两个角互补．因此，在证明两个角相等时，只说明两个角的两边分别对应平行是不够的．[活学活用]已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点．求证：BF ED1.证明：如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE.∵F为CC1的中点，∴BG C1F.∴四边形BGC1F为平行四边形．∴BF GC1.又∵EG A1B1，A1B1C1D1，∴EG D1C1，∴四边形EGC1D1为平行四边形，∴ED1GC1，∴BF ED1.两异面直线所成的角[例3]如右图所示，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求异面直线CD1，EF所成的角的大小．[解]取CD1的中点G，连接EG，DG，∵E是BD1的中点，∴EG∥BC，EG＝12BC.∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，∴DF∥BC，DF＝12BC，∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形，∴EF∥DG，∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角．又∵A1A＝AB，∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，∴异面直线CD1，EF所成的角为90°.[类题通法]求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角．(2)证：证明作出的角就是要求的角．(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角θ的取值范围是0°＜θ≤90°. [活学活用]已知ABCD-A1B1C1D1是正方体，求异面直线A1C1与B1C所成的角的大小．解：如右图所示，连接A1D和C1D.∵B1C∥A1D，∴∠DA1C1即为异面直线A1C1与B1C所成的角．∵A1D，A1C1，C1D为正方体各面上的对角线，∴A1D＝A1C1＝C1D，∴△A1C1D为等边三角形．即∠C1A1D＝60°.∴异面直线A1C1与B1C所成的角为60°.2.探究空间中四边形的形状问题[典例]在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．[证明]如右图所示，连接BD.因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH＝12BD.同理，FG ∥BD ，且FG ＝12BD .因此EH ∥FG . 又EH ＝FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形． [多维探究] 1．矩形的判断本例中若加上条件“AC ⊥BD ”，则四边形EFGH 是什么形状？ 证明：由例题可知EH ∥BD ，同理EF ∥AC ， 又BD ⊥AC ，因此EH ⊥EF ， 所以四边形EFGH 为矩形． 2．菱形的判断本例中，若加上条件“AC ＝BD ”，则四边形EFGH 是什么形状？ 证明：由例题知EH ∥BD ，且EH ＝12BD ，同理EF ∥AC ，且EF ＝12AC .又AC ＝BD ，所以EH ＝EF .又四边形EFGH 为平行四边形， 所以四边形EFGH 为菱形． 3．正方形的判断本例中，若加上条件“AC ⊥BD ，且AC ＝BD ”，则四边形EFGH 是什么形状？ 证明：由探究1与2可知， 四边形EFGH 为正方形． 4．梯形的判断若本例中，E ，H 分别是AB ，AD 中点，F ，G 分别是BC ，CD 上的点，且CF ∶FB ＝CG ∶GD ＝1∶2，则四边形EFGH 是什么形状？证明：由题意可知EH 是△ABD 的中位线，则EH ∥BD 且EH ＝12BD .又∵CF FB ＝CG GD ＝12，∴FG ∥BD ，FG BD ＝FC BC ＝13，∴FG＝13BD，∴FG∥EH且FG≠EH，∴四边形EFGH是梯形．[方法感悟]根据三角形的中位线、公理4证明两条直线平行是常用的方法．公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两条直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法．一、选择题1．若a，b，c是空间3条直线，a∥b，a与c相交，则b与c的位置关系是()A．异面B．相交C．平行D．异面或相交答案：D2.如右图所示，在三棱锥S-MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面答案：A3．如下图所示是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为()A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直答案：D4．下列命题：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行． 其中正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案：B5．若P 是两条异面直线l ，m 外的任意一点，则( ) A ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都平行 B ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都垂直 C ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都相交 D ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都异面 答案：B 二、填空题6．直线a ，b ⊂平面α，且a ，b 成的角为40°，经过α外一点A 与a ，b 都成30°角的直线有且只有________条．答案：27．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与A 1B 1所成的角的余弦值为________．答案：138．如下图所示，点P ，Q ，R ，S 分别在正方体的4条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是________．答案：③ 三、解答题9.如右图所示，E ，F 分别是长方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 的棱A 1A ，C 1C 的中点．求证：四边形B 1EDF 是平行四边形．证明：设Q 是DD 1的中点，连接EQ ，QC 1.∵E 是AA 1的中点， ∴EQ A 1D 1.又在矩形A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1B 1C 1，∴EQ B 1C 1(平行公理)． ∴四边形EQC 1B 1为平行四边形．∴B 1E C 1Q . 又∵Q ，F 是DD 1，C 1C 两边的中点，∴QD C 1F . ∴四边形QDFC 1为平行四边形． ∴C 1Q DF .又∵B 1E C 1Q ，∴B 1E DF . ∴四边形B 1EDF 为平行四边形．10.已知三棱锥A -BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角．解：如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，因为点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，所以PM ∥AB ，且PM ＝12AB ；PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN (或其补角)为AB 与CD 所成的角． 所以∠PMN (或其补角)为AB 与MN 所成的角． 因为直线AB 与CD 成60°角， 所以∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°.又因为AB＝CD，所以PM＝PN，①若∠MPN＝60°，则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°，即AB与MN所成的角为60°.②若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形．所以∠PMN＝30°，即AB与MN所成的角为30°.综上可知：AB与MN所成角为60°或30°.2．1.3 & 2.1.4空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面的位置关系[导入新知]直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示[化解疑难]1．利用公共点的个数也可以理解直线与平面的位置关系．(1)当直线与平面无公共点时，直线与平面平行．(2)当直线与平面有一个公共点时，直线与平面相交．(3)当直线与平面有两个公共点时，它们就有无数个公共点，这时直线在平面内．2．直线在平面外包括两种情形：a∥α与a∩α＝A.空间中平面与平面的位置关系[导入新知]两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β没有公共点两平面相交α∩β＝l有无数个公共点(在一条直线上) [化解疑难]1．判断面面位置关系时，要利用好长方体(或正方体)这一模型．2．画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．直线与平面的位置关系[例1]下列说法：①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；③若直线a ∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中说法正确的个数为()A．0B．1C．2 D．3[答案] B[类题通法]空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．[活学活用]下列说法中，正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；③经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行．A．0 B．1C．2 D．3答案：C平面与平面的位置关系[例2](1)平面α内有无数条直线与平面β平行，问：α∥β是否正确？为什么？(2)平面α内的所有直线与平面β都平行，问：α∥β是否正确？为什么？[解](1)不正确．如图所示，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，…，a n，…，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n，…与平面β都平行(因为a1，a2，…，a n，…与平面β无交点)，但此时α与β不平行，α∩β＝l.(2)正确．平面α内所有直线与平面β平行，则平面α与平面β无交点，符合平面与平面平行的定义．[类题通法]两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线．若平面α与β平行，记作α∥β；若平面α与β相交，且交线为l，记作α∩β＝l.[活学活用]1．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有________个．答案：4 62.如图所示，平面ABC与三棱柱ABC-A1B1C1的其他面之间有什么位置关系？解：∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点，∴平面ABC与平面A1B1C1平行．∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，∴平面ABC与平面ABB1A1相交．同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．3.有关截面图形的形状问题[典例](12分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状．[解题流程][规范解答]由点Q在线段DD1上移动，当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图①所示．(4分)当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图②所示．(8分)当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图③所示．(12分)[活学活用]如图所示，G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC 的中点．试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．(1)过点G及AC；(2)过3点E，F，D1.解：(1)画法：连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．(2)画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．一、选择题1．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是()A．平行B．相交C．平行或相交D．不能确定答案：C2．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为()A．平行B．相交C．直线在平面内D．平行或直线在平面内答案：D3．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交答案：B4．已知直线m，n和平面α，m∥n，m∥α，过m的平面β与α相交于直线a，则n与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．以上均有可能答案：A5．给出下列几个说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行．其中正确说法的个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案：B二、填空题6．下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________．答案：①②7．与空间四边形ABCD 4个顶点距离相等的平面共有________个．答案：78．下列命题正确的有________(填序号)．①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；⑥若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a∥b.答案：①⑤三、解答题9.如右图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系．解：(1)AM所在的直线与平面ABCD相交；(2)CN所在的直线与平面ABCD相交；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行；(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交．10．已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．解：平面ABC与β的交线与l相交．证明：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l一定相交，设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC，P∈β.∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点，∴直线PC就是平面ABC与β的交线．即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，∴平面ABC与β的交线与l相交．2．2直线、平面平行的判定及其性质2．2.1 & 2.2.2直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定直线与平面平行的判定[导入新知]表示图形文字符号直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内一直线平行，则该直线与此平面平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊄αb⊂αa∥b⇒a∥α[化解疑难]1．用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备3个条件：(1)直线a在平面α外，即a⊄α.(2)直线b在平面α内，即b⊂α.(3)两直线a，b平行，即a∥b.2．该定理的作用：证明线面平行．3．应用时，只需在平面内找到一条直线与已知直线平行即可．平面与平面平行的判定[导入新知]表示图形文字符号平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊂βb⊂βa∩b＝Pa∥αb∥α⇒α∥β1．平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少。
新人教A版必修二第二章《点线面的位置关系》word教案
§2.1.1 平面1. 了解平面的描述性概念；2. 掌握平面的表示方法和基本画法；3. 掌握平面的基本性质；4. 能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间的关系.4043引入：平面是构成空间几何体的基本要素.那么什么是平面呢?平面如何表示呢?平面又有哪些性质呢?二、新课导学※ 探索新知探究1：平面的概念与表示问题：生活中哪些物体给人以平面形象？你觉得平面可以拉伸吗？平面有厚薄之分吗？新知1：平面(plane)是平的；平面是可以无限延展的；平面没有厚薄之分.问题：通常我们用一条线段表示直线，那你认为用什么图形表示平面比较合适呢？新知2：如上图，通常用平行四边形来表示平面.平面可以用希腊字母,,αβγ来表示，也可以用平行四边形的四个顶点来表示，还可以简单的用对角线的端点字母表示.如平面α,平面ABCD ,平面AC 等.规定：①画平行四边形，锐角画成45°，横边长等于其邻边长的2倍；②两个平面相交时，画出交线，被遮挡部分用虚线画出来；③用希腊字母表示平面时，字母标注在锐角内.问题：点动成线、线动成面.联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系怎么表示？直线和平面呢?新知3：⑴点A 在平面α内，记作A α∈；点A 在平面α外，记作A α∉.⑵点P 在直线l 上，记作P l ∈，点P 在直线外，记作P l ∉.⑶直线l 上所有点都在平面α内,则直线l 在平面α内(平面α经过直线l ),记作l α⊂；否则直线就在平面外，记作l α⊄.探究2：平面的性质问题：直线l 与平面α有一个公共点P ,直线l 是否在平面α内?有两个公共点呢?新知4：公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.用集合符号表示为：,,A l B l ∈∈且,A B l ααα∈∈⇒⊂问题：两点确定一直线，两点能确定一个平面吗？任意三点能确定一个平面吗？新知5：公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 如上图,三点确定平面ABC .问题：把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于点B ?为什么?新知6：公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.如下图所示：平面α与平面β相交于直线l ，记作l αβ= .公理3用集合符号表示为,P a ∈且P β∈⇒l αβ= ,且P l ∈※ 典型例题例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.例2 如图在正方体ABCD A B C D ''''-中，判断下列命题是否正确，并说明理由：⑴直线AC 在平面ABCD⑵设上下底面中心为,O O 则平面AA C C ''与平面BB DD'的交线为OO '； ⑶点,,A O C '⑷平面AB C ''与平面AC '重合.※ 动手试试练 用符号表示下列语句，并画出相应的图形：⑴点A 在平面α内，但点B 在平面α外；⑵直线a 经过平面α外的一点M ；⑶直线a 既在平面α内，又在平面β内.三、总结提升※ 学习小结1. 平面的特征、画法、表示；2. 平面的基本性质(三个公理)；3. 用符号表示点、线、面的关系.※ 知识拓展平面的三个性质是公理(不需要证明,直接可以用),是用公理化方法证明命题的基础.其中公理1可以用来判断直线或者点是否在平面内；公理2用来确定一个平面，判断两平面重合，或者证明点、线共面；公理3用来判断两个平面相交，证明点共线或者线共点的问题.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下面说法正确的是（ ）.①平面ABCD 的面积为210cm ②100个平面重合比50个平面重合厚③空间图形中虚线都是辅助线④平面不一定用平行四边形表示.A.①B.②C.③D.④2. 下列结论正确的是（ ）.①经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面②经过两条相交直线，可以确定一个平面③经过两条平行直线，可以确定一个平面④经过空间任意三点可以确定一个平面A.1个B.2个C.3个D.4个3.GH ）.A.在直线DB 上B.在直线AB 上C.在直线CB 上4. 直线12,l l 相交于点P ，并且分别与平面γ相交于点,A B 两点，用符号表示为____________________.5. 两个平面不重合，在一个面内取4点，另一个面内取3点，这些点最多能够确定平面_______个.课后作业1. 画出满足下列条件的图形：⑴三个平面：一个水平，一个竖直，一个倾斜；⑵ ,,,l AB CD αβαβ=⊂⊂ AB ∥l ，CD ∥l .2.如图在正方体中，A 是顶点，,B C 都是棱的中点，请作出经过,,A B C 三点的平面与正方体的截面.§2.1.2空间直线与直线之间的位置关系学习目标1. 正确理解异面直线的定义；2. 会判断空间两条直线的位置关系；3. 掌握平行公理及空间等角定理的内容和应用；4. 会求异面直线所成角的大小.学习过程一、课前准备4447复习1：平面的特点是______、 _______ 、_______.复习2：平面性质(三公理)公理1___________________________________；公理2___________________________________；公理3___________________________________.二、新课导学探究1：异面直线及直线间的位置关系问题：平面内两条直线要么平行要么相交（重合不考虑）,空间两条直线呢?观察：如图在长方体中，直线A B '与CC '的位置关系如何？结论：直线A B '与CC '既不相交，也不平行.新知1：像直线A B '与CC '这样不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(skew lines).试试：请在上图的长方体中，再找出3对异面直线.问题：作图时，怎样才能表示两条直线是异面的？新知2：异面直线的画法有如下几种(,a b 异面)：试试：请你归纳出空间直线的位置关系.探究2：平行公理及空间等角定理问题：平面内若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行，空间是否有类似规律?观察：如图2-1,在长方体中，直线C D ''∥A B ''，AB ∥A B ''，那么直线AB 与C D ''平行吗?图2-1新知3: 公理4 (平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.问题：平面上,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补，空间是否有类似结论?观察：在图2-1中,ADC ∠与A D C '''∠,ADC ∠与A B C '''∠的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何?新知4: 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.探究3：异面直线所成的角问题：平面内两条直线的夹角是如何定义的?想一想异面直线所成的角该怎么定义?图2-2新知5: 如图2-2,已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线 a '∥a ,b '∥b ，把a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线,a b 所成的角(夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作a b ⊥.反思：思考下列问题.⑴ 作异面直线夹角时，夹角的大小与点O 的位置有关吗?点O 的位置怎样取才比较简便? ⑵ 异面直线所成的角的范围是多少?⑶ 两条互相垂直的直线一定在同一平面上吗?⑷ 异面直线的夹角是通过什么样的方法作出来的?它体现了什么样的数学思想?※ 典型例题例1 如图2-3,,,,E F G H 分别为空间四边形ABCD 各边,,,AB BC CD DA 的中点，若对角线2,BD = 4AC =，则22EG HF +的值为多少?(性质：平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和).图2-3例2 如图2-4，在正方体中，求下列异面直线所成的角.⑴BA '和CC ' ⑵B D ''和C A '图2-4※ 动手试试练 正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为a ，求异面直线AC 与A D ''所成的角.三、总结提升※ 学习小结1. 异面直线的定义、夹角的定义及求法；2. 空间直线的位置关系；3. 平行公理及空间等角定理.※ 知识拓展异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.如图，,,,a A B B a ααα⊂∉∈∉，则直线AB 与直线α是异面直线.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. ,,a b c 为三条直线，如果,a c b c ⊥⊥，则,a b 的位置关系必定是（ ）.A.相交B.平行C.异面D.以上答案都不对2. 已知,a b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b （ ）.A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线3. 已知l αβ= ,,a b αβ⊂⊂，且,a b 是异面直线，那么直线l （ ）.A.至多与,a b 中的一条相交B.至少与,a b 中的一条相交C.与,a b 都相交D.至少与,a b 中的一条平行4. 正方体ABCD A B C D ''''-的十二条棱中，与直线AC '是异面直线关系的有___________条.5. 长方体1111ABCD A B C D -中,3AB =,2,BC =1AA=1，异面直线AC 与11A D 所成角的余弦值是______.1. 已知,E E 是正方体AC '棱AD ，A D ''的中点，求证：CEB C E B '''∠=∠.2. 如图2-5，在三棱锥P ABC -中，PA BC ⊥，E 、F 分别是PC 和AB 上的点，且32PE AF EC FB ==，设EF 与PA 、BC 所成的角分别为,αβ， 求证：90αβ+=°.图2-5§2.1.3空间直线与平面之间的位置关系§2.1.4平面与平面之间的位置关系1. 掌握直线与平面之间的位置关系，理解直线在平面外的概念,会判断直线与平面的位置关系；2. 掌握两平面之间的位置关系，会画相交平面的图形.4850复习1：空间任意两条直线的位置关系有_______、_______、_______三种.复习2：异面直线是指________________________的两条直线,它们的夹角可以通过______________ 的方式作出,其范围是___________.复习3：平行公理：__________________________________________；空间等角定理：_______________________________________________________.二、新课导学※ 探索新知探究1：空间直线与平面的位置关系问题：用铅笔表示一条直线，作业本表示一个平面，你试着比画，它们之间有几种位置关系?观察：如图3-1,直线A B '与长方体的六个面有几种位置关系?图3-1新知1：直线与平面位置关系只有三种：⑴直线在平面内——⑵直线与平面相交——⑶直线与平面平行——其中，⑵、⑶两种情况统称为直线在平面外.反思：⑴从交点个数方面来分析，上述三种关系对应的交点有多少个？请把结果写在新知1的——符号后面⑵请你试着把上述三种关系用图形表示出来，并想想用符号语言该怎么描述.探究2：平面与平面的位置关系问题：平面与平面的位置关系有几种？你试着拿两个作业本比画比画.观察：还是在长方体中，如图3-2，你看看它的六个面两两之间的位置关系有几种?图3-2新知2：两个平面的位置关系只有两种：⑴两个平面平行——没有公共点⑵两个平面相交——有一条公共直线试试：请你试着把平面的两种关系用图形以及符号语言表示出来.※典型例题例1 下列命题中正确的个数是（）①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行.③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点.A.0B.1C.2D.3例2 已知平面,αβ，直线,a b ，且α∥β,a α⊂，b β⊂，则直线a 与直线b 具有怎样的位置关系?※ 动手试试练1. 若直线a 不平行于平面α，且a α⊄，则下列结论成立的是（ ）A.α内的所有直线与a 异面B.α内不存在与a 平行的直线C.α内存在唯一的直线与a 平行D.α内的直线与a 都相交.练2. 已知,,a b c 为三条不重合的直线，,,αβγ为三个不重合的平面：①a ∥c ,b ∥c ⇒a ∥b ；②a ∥γ,b ∥γ⇒a ∥b ；③a ∥c ,c ∥α⇒a ∥α；④a ∥γ,a ∥αα⇒∥γ；⑤a α⊄,b α⊂,a ∥b ⇒a ∥α.其中正确的命题是（ ）A.①⑤B.①②C.②④D.③⑤三、总结提升※ 学习小结1. 直线与平面、平面与平面的位置关系；2. 位置关系用图形语言、符号语言如何表示；3. 长方体作为模型研究空间问题的重要性.※ 知识拓展求类似确定空间的部分、平面的个数、交线的条数、交点的个数问题,都应对相应的点、线、面的位置关系进行分类讨论，做到不重不漏.分类讨论是数学中常用的重要数学思想方法，可以使问题化难为易、化繁为简.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 直线l 在平面α外，则（ ）.A.l ∥αB.l 与α至少有一个公共点C.l A α=D.l 与α至多有一个公共点 2. 已知a ∥α，b α⊂，则（ ）. A.a ∥b B.a 和b 相交C.a 和b 异面D.a 与b 平行或异面3. 四棱柱的的六个面中，平行平面有（ ）. A.1对 B.1对或2对 C.1对或2对或3对D.0对或1对或2对或3对4. 过直线外一点与这条直线平行的直线有____条；过直线外一点与这条直线平行的平面有____个.5. 若在两个平面内各有一条直线，且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是______.1. 已知直线,a b 及平面α满足: a ∥α,b ∥α,则 直线,a b 的位置关系如何?画图表示.2. 两个不重合的平面，可以将空间划为几个部分？三个呢？试画图加以说明.空间点、直线、平面之间的位置关系（练习）1. 理解和掌握平面的性质定理，能合理运用；2. 掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；3. 会判断异面直线，掌握异面直线的求法；4.会用图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系. 4050 复习1：概念与性质⑴平面的特征和平面的性质(三个公理)； ⑵平行公理、等角定理；⑶直线与直线的位置关系⎧⎪⎨⎪⎩平行相交异面⑷直线与平面的位置关系⎧⎪⎨⎪⎩在平面内相交平行⑸平面与平面的位置关系⎧⎨⎩平行相交复习2：异面直线夹角的求法：平移线段作角，解三角形求角.复习3：图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系⑴点与线、点与面的关系； ⑵线与线、线与面的关系； ⑶面与面的关系.二、新课导学 ※ 典型例题例1 如图4-1,ABC ∆在平面α外，AB P α= ，BC Q α= ，AC R α= ，求证：P ,Q ,R 三点共线.图4-1小结：证明点共线的基本方法有两种 ⑴找出两个面的交线，证明若干点都是这两个平面的公共点，由公理3可推知这些点都在交线上，即证若干点共线.⑵选择其中两点确定一条直线，证明另外一些点也都在这条直线上.例2 如图4-2,空间四边形ABCD中，E,F分别是AB和CB上的点，G,H分别是CD和AD 上的点，且EH FG与相交于点K.求证：EH,BD,FG三条直线相交于同一点.图4-2小结：证明三线共点的基本方法为：先确定待证的三线中的两条相交于一点,再证明此点是二直线所在平面的公共点，第三条直线是两个平面的交线，由公理3得证这三线共点.例3 如图4-3,如果两条异面直线称作“一对”，那么在正方体的12条棱中，共有异面直线多少对?图4-3反思：分析清楚几何特点是避免重复计数的关键，计数问题必须避免盲目乱数，分类时要不重不漏.※动手试试练1. 如图4-4,是正方体的平面展开图,图4-4则在这个正方体中：①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60°角④DM与BN是异面直线其中正确命题的序号是（）A.①②③B.②④C.③④D.②③④练2. 如图4-5，在正方体中，E,F分别为AB、AA'的中点，求证：CE,DF',DA三线交于一点.图4-5练3. 由一条直线和这条直线外不共线的三点,能确定平面的个数为多少?小结：分类讨论的数学思想三、总结提升 ※ 学习小结1. 平面及平面基本性质的应用；2. 点、线、面的位置关系；3. 异面直线的判定及夹角问题.※ 知识拓展异面直线的判定方法：①定义法：利用异面直线的定义，说明两直线不平行，也不相交，即不可能在同一个平面内. ②定理法：利用异面直线的判定定理说明.③反证法(常用)：假设两条直线不异面，则它们一定共面，即这两条直线可能相交，也可能.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 直线1l ∥2l ,在1l 上取3个点，在2l 上取2个点，由这5个点确定的平面个数为（ ）. A.1个 B.3个 C.6个 D.9个2. 下列推理错误的是（ ）.A.A l ∈,A α∈,B l ∈,B α∈l α⇒⊂B.A α∈,A β∈,B α∈,B β∈AB αβ⇒=C.lα⊄,A l Aα∈⇒∉D.A,B,Cα∈, A,B,Cβ∈,且A,B,C不共线αβ⇒与重合3. a,b是异面直线,b,c是异面直线，则a,c的位置关系是（）.A.相交、平行或异面B.相交或平行C.异面D.平行或异面4. 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则它与另一平面____________.5. 垂直于同一条直线的两条直线位置关系是__________________；两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，则另一条和这条直线______.1. 如图4-6,在正方体中M,N分别是AB和DD'的中点，求异面直线BM'与CN所成的角.图4-62. 如图4-7,已知不共面的直线a,b,c相交于O点，M,P点是直线α上两点，N,Q分别是直线b,c上一点.求证：MN和PQ是异面直线.§2.2.1 直线与平面平行的判定1. 通过生活中的实际情况，建立几何模型，了解直线与平面平行的背景；2. 理解和掌握直线与平面平行的判定定理，并会用其证明线面平行.5455复习：直线与平面的位置关系有______________，_______________，_________________.讨论：直线和平面的位置关系中，平行是最重要的关系之一，那么如何判定直线和平面是平行的呢？根据定义好判断吗？二、新课导学※探索新知探究1：直线与平面平行的背景分析实例1：如图5-1，一面墙上有一扇门，门扇的两边是平行的.当门扇绕着墙上的一边转动时，观察门扇转动的一边l与墙所在的平面位置关系如何？图5-1实例2：如图5-2，将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？图5-2结论：上述两个问题中的直线l与对应平面都是平行的.探究2：直线与平面平行的判定定理问题：探究1两个实例中的直线l为什么会和对应的平面平行呢？你能猜想出什么结论吗？能作图把这一结论表示出来吗？新知：直线与平面平行的判定定理定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.如图5-3所示，a∥ .图5-3反思：思考下列问题⑴用符号语言如何表示上述定理；⑵上述定理的实质是什么？它体现了什么数学思想？⑶如果要证明这个定理，该如何证明呢？※ 典型例题例1 有一块木料如图5-4所示，P 为平面BCEF 内一点，要求过点P 在平面BCEF 内作一条直线与平面ABCD 平行，应该如何画线？图5-4例2 如图5-5，空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，求证：EF ∥平面BCD .图5-5※ 动手试试练1. 正方形ABCD 与正方形ABEF 交于AB ，M 和 N 分别为AC 和BF 上的点，且AM FN =，如图5-6 所示.求证：MN ∥平面BEC .图5-6练2. 已知ABC ∆,,D E 分别为,AC AB 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，使A 到A '的位置，设M 是A B '的中点，求证：ME ∥平面A CD '.三、总结提升 ※ 学习小结1. 直线与平面平行判定定理及其应用,其核心是线线平行⇒线面平行；2. 转化思想的运用：空间问题转化为平面问题.※ 知识拓展判定直线与平面平行通常有三种方法：⑴利用定义：证明直线与平面没有公共点.但直接证明是困难的，往往借助于反正法来证明. ⑵利用判定定理，其关键是证明线线平行.证明线线平行可利用平行公理、中位线、比例线段等等.⑶利用平面与平面平行的性质.(后面将会学习到)※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 若直线与平面平行，则这条直线与这个平面内的（ ）. A.一条直线不相交 B.两条直线不相交 C.任意一条直线都不相交 D.无数条直线不相交2. 下列结论正确的是（ ）. A.平行于同一平面的两直线平行B.直线l 与平面α不相交，则l ∥平面αC.,A B 是平面α外两点，,C D 是平面α内两点，若AC BD =，则AB ∥平面αD.同时与两条异面直线平行的平面有无数个3. 如果AB 、BC 、CD 是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC 的位置关系是（ ）.A.平行B.相交C.AC 在此平面内D.平行或相交4. 在正方体1111ABCD A B C D -的六个面和六个对角面中，与棱AB 平行的面有________个.5. 若直线,a b 相交，且a ∥α，则b 与平面α的位置关系是_____________.1. 如图5-7，在正方体中，E 为1DD 的中点，判断1BD 与平面AEC 的位置关系，并说明理由.图5-72. 如图5-8，在空间四边形ABCD中，P、Q分别是ABC∆和BCD∆的重心.求证：PQ∥平面ACD.图5-8§2.2. 2 平面与平面平行的判定1. 能借助于长方体模型讨论直线与平面、平面与平面的平行问题；2. 理解和掌握两个平面平行的判定定理及其运用；3. 进一步体会转化的数学思想.5657复习1：直线与平面平行的判定定理是______________________________________________________.复习2：两个平面的位置关系有___种，分别为_______和_______.讨论：两个平面平行的定义是两个平面没有公共点,怎样证明两个平面没有公共点呢?你觉得好证吗?二、新课导学※探索新知探究：两个平面平行的判定定理问题1：平面可以看作是由直线构成的.若一平面内的所有直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行吗？由此你可以得到什么结论？结论：两个平面平行的问题可以转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题.问题2：一个平面内所有直线都平行于另外一个平面好证明吗？能否只证明一个平面内若干条直线和另外一个平面平行，那么这两个平面就平行呢？试试：在长方体中，回答下列问题⑴如图6-1，AA AA B B '''⊂面,AA '∥面BB C C ''，则面AA B B ''∥面BB C C ''吗？图6-1⑵如图6-2，AA '∥EF ，AA '∥DCC D ''面，EF ∥DCC D ''面，则A AD D ''面∥DCC D ''面吗？图6-2⑶如图6-3，直线A C ''和B D ''相交，且A C ''、B D ''都和平面ABCD 平行(为什么)，则平面A B C D ''''∥平面ABCD 吗？图6-3反思：由以上3个问题，你得到了什么结论？新知：两个平面平行的判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.如图6-4所示，α∥β.图6-4反思：⑴定理的实质是什么?⑵用符号语言把定理表示出来.⑶如果要证明定理，该怎么证明呢？※ 典型例题例1 已知正方体1111ABCD A B C D -，如图6-5，求证：平面11AB D ∥1CB D.图6-5例2 如图6-6，已知,a b 是两条异面直线，平面α过a ，与b 平行，平面β过b ，与a 平行，求证：平面α∥平面β图6-6小结：证明面面平行，只需证明线线平行，而且这两条直线必须是相交直线.※ 动手试试练. 如图6-7，正方体中，,,,M N E F 分别是棱A B ''，A D ''，BC ''，CD ''AMN 平面EFDB .三、总结提升※ 学习小结1. 平面与平面平行的判定定理及应用；2. 转化思想的运用.※ 知识拓展判定平面与平面平行通常有5种方法⑴根据两平面平行的定义(常用反证法)；⑵根据两平面平行的判定定理；⑶垂直于同一条直线的两个平面平行(以后学习)；⑷两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(平行的传递性)；⑸一个平面内的两条相交直线分别平行于另外一个平面内的两条直线，则这两个平面平行※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 平面α与平面β平行的条件可以是（ ）.A.α内有无穷多条直线都与β平行B.直线a 与,αβ都平行，且不在α和β内C.直线a α⊂,直线b β⊂,且a ∥β,b ∥αD.α内的任何直线都与β平行2. 经过平面α外的一条直线a 且与平面α平行的平面（ ）.A.有且只有一个B.不存在C.至多有一个D.至少有一个3. 设有不同的直线,a b ，及不同的平面α、β，给出的三个命题中正确命题的个数是（ ）. ①若a ∥α,b ∥α,则a ∥b ②若a ∥α,α∥β,则a ∥β③若,a αα⊂∥β,则a ∥β.A.0个B.1个C.2个D.3个4. 如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，则这两个平面的位置关系是________________.5. 若两个平面都平行于两条异面直线中的每一条,则这两平面的位置关系是_______________.1. 如图6-8，在几何体ABC A B C '''-中，1∠+2180∠=°,34180∠+∠=°,求证：平面ABC ∥平面A B C '''.图6-82. 如图6-9，A '、B '、C '分别是PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的重心.求证：面A B C '''∥ABC 面.图6-9§2.2.3 直线与平面平行的性质1. 掌握直线和平面平行的性质定理；2. 能灵活运用线面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行的转化.5860复习1：两个平面平行的判定定理是_________________________________________________；它的实质是由__________平行推出__________平行.复习2：直线与平面平行的判定定理是________________________________________________.讨论：如果直线a 与平面α平行，那么a 和平面α内的直线具有什么样的关系呢？二、新课导学※ 探索新知探究：直线与平面平行的性质定理问题1：如图7-1，直线a 与平面α平行.请在图中的平面α内画出一条和直线a 平行的直线b .图7-1问题2：我们知道两条平行线可以确定一个平面(为什么?)，请在图7-1中把直线,a b确定的平面画出来，并且表示为β.问题3：在你画出的图中，平面β是经过直线,a b的平面，显然它和平面α是相交的，并且直线b是这两个平面的交线，而直线a和b又是平行的.因此，你能得到什么结论?请把它用符号语言写在下面.问题4：在图7-2中过直线a再画另外一个平面γ与平面α相交，交线为c.直线a,c平行吗?和你上面得出的结论相符吗?你能不能从理论上加以证明呢?图7-2新知：直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线都与该直线平行.反思：定理的实质是什么？※典型例题例1 如图7-3所示的一块木料中，棱BC平行于A C''面.⑴要经过A C''面内的一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线?⑵所画的线与平面AC是什么位置关系?图7-3。
高中数学必修2--第2章点、直线、平面之间的位置关系--示范教案(2.1.1 平面)
第二章点、直线、平面之间的位置关系本章教材分析本章将在前一章整体观察、认识空间几何体的基础上，以长方体为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中点、直线、平面之间的位置关系；通过大量图形的观察、实验和说理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，初步体验公理化思想，培养逻辑思维能力，并用来解决一些简单的推理论证及应用问题.本章主要内容：2.1点、直线、平面之间的位置关系，2.2直线、平面平行的判定及其性质，2.3直线、平面垂直的判定及其性质.2.1节的核心是空间中直线和平面间的位置关系.从知识结构上看，在平面基本性质的基础上，由易到难顺序研究直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系.本章在培养学生的辩证唯物主义观点、公理化的思想、空间想象力和思维能力方面，都具有重要的作用.2.2和2.3节内容的编写是以“平行”和“垂直”的判定及其性质为主线展开，依次讨论直线和平面平行、平面和平面平行的判定和性质；直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定和性质.“平行”和“垂直”在定义和描述直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系中起着重要作用.在本章它集中体现在：空间中平行关系之间的转化、空间中垂直关系之间的转化以及空间中垂直与平行关系之间的转化.本章教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）：2.1.1 平面约1课时2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系约1课时2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系约1课时2.1.4 平面与平面之间的位置关系约1课时2.2.1 直线与平面平行的判定约1课时2.2.3 直线与平面平行的性质约1课时2.2.2平面与平面平行的判定平面与平面平行的性质约1课时2.2.42.3.1 直线与平面垂直的判定约1课时2.3.2 平面与平面垂直的判定约1课时2.3.3 直线与平面垂直的性质约1课时2.3.4 平面与平面垂直的性质约1课时本章复习约1课时2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面整体设计教学分析平面是最基本的几何概念,教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例,对它只是加以描述而不定义.立体几何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是无限延展性.为了更准确地理解平面,教材重点介绍了平面的基本性质,即教科书中的三个公理,这也是本节的重点.另外,本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言与符号语言的转换.三维目标1.正确理解平面的几何概念,掌握平面的基本性质.2.熟练掌握三种数学语言的转换与翻译,结合三个公理的应用会证明共点、共线、共面问题.3.通过三种语言的学习让学生感知数学语言的美,培养学生学习数学的兴趣.重点难点三种数学语言的转换与翻译,利用三个公理证明共点、共线、共面问题.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面.思路2.(事例导入)观察长方体（图1），你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？图1长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？本节我们将讨论这个问题.推进新课新知探究提出问题①怎样理解平面这一最基本的几何概念;②平面的画法与表示方法;③如何描述点与直线、平面的位置关系？④直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内？⑤根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？⑥如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示;⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言？⑧自己总结三个公理的有关内容.活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下：①回忆我们学过的最基本的概念（原始概念），如点、直线、集合等.②我们的桌面看起来像什么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示.③点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外.④确定一条直线需要几个点？⑤引导学生观察教室的门由几个点确定.⑥两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性. ⑦文字语言、图形语言、符号语言. ⑧平面的基本性质小结.讨论结果：①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念），只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性，很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何一定不错).②我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面，如图2.平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图3.图2 图3平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图4)；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD （图5）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC （图5）.图4 图5③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表： 点A 在直线a 上（或直线a 经过点A ） A ∈a 元素与集合间的关系点A 在直线a 外（或直线a 不经过点A ） A ∉a 点A 在平面α内（或平面α经过点A ）A ∈α点A 在平面α外（或平面α不经过点A ）A ∉α④直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内(图7)，直线上有两个点在平面内，则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内. 公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图6）描述.空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理1也可以用符号语言表示：若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a⊂α.图6 图7请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.若A∈a,B∈a,且A∉α,B∈α,则a⊄α.如图（图7）.⑤在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等.上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理.公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.如图（图8）.图8公理2刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一.⑥我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？不是，因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征.现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（课件演示给学生看）.问：两个平面会不会只有一个公共点？不会，因为平面是无限延展的，应当有很多公共点.正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢？可见，这无数个公共点在一条直线上.这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图（图9），用符号语言表示为：P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l.图9公理3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过这个公共点.也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线.由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据，还告诉我们所有交点在同一条直线上，并给出了找这条交线的方法.⑦描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:文字语言、图形语言、符号语言.⑧“平面的基本性质”小结：名称作用公理1 判定直线在平面内的依据公理2 确定一个平面的依据公理3 两平面相交的依据应用示例思路1例1 如图10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.图10活动：学生自己思考或讨论，再写出（最好用实物投影仪展示写的正确的答案）.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价.解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在（2）中，α∩β=l,a⊂α,b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.变式训练1.画图表示下列由集合符号给出的关系：(1)A∈α,B∉α,A∈l,B∈l;(2)a⊂α,b⊂β,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.解：如图11.图112.根据下列条件，画出图形.（1）平面α∩平面β=l，直线AB⊂α，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β=F，F∉l;（2）平面α∩平面β=a，△ABC的三个顶点满足条件:A∈a，B∈α，B∉a，C∈β，C∉a. 答案：如图12.图12点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：(1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来.(2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来.例2 已知直线a和直线b相交于点A.求证：过直线a和直线b有且只有一个平面.图13证明：如图13,点A是直线a和直线b的交点,在a上取一点B，b上取一点C，根据公理2经过不在同一直线上的三点A、B、C有一个平面α，因为A、B在平面α内，根据公理1，直线a在平面α内,同理直线b在平面α内，即平面α是经过直线a和直线b的平面.又因为A、B在a上，A、C在b上，所以经过直线a和直线b的平面一定经过点A、B、C.于是根据公理2，经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个，所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.变式训练求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.证明：如图14，直线a、b、c、d两两相交，交点分别为A、B、C、D、E、F,图14∵直线a∩直线b=A,∴直线a和直线b确定平面设为α，即a,b⊂α.∵B、C∈a，E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.而B、F∈c，C、E∈d,∴c、d⊂α,即a、b、c、d在同一平面内.点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据还有：(1)直线与直线外一点.(2)两条相交直线.(3)两条平行直线.思路2例1 如图15，已知α∩β=EF,A∈α,C、B∈β,BC与EF相交，在图中分别画出平面ABC与α、β的交线.图15活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对作图不准确的学生提示引导考虑问题的思路.解：如图16所示，连接CB，∵C∈β,B∈β,∴直线CB⊂β.图16∵直线CB⊂平面ABC，∴β∩平面ABC=直线CB.设直线CB与直线EF交于D,∵α∩β=EF,∴D ∈α,D ∈平面ABC. ∵A ∈α,A ∈平面ABC ， ∴α∩平面ABC=直线AD. 变式训练1.如图17，AD∩平面α=B,AE∩平面α=C ，请画出直线DE 与平面α的交点P ，并指出点P 与直线BC 的位置关系.图17解：AD 和AC 是相交直线，它们确定一个平面ABC ， 它与平面α的交线为直线BC ，DE ⊂平面ABC ， ∴DE 与α的交点P 在直线BC 上.2.如图18，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为8 cm ，M 、N 、P 分别是AB 、A 1D 1、BB 1的中点，图18(1)画出过M 、N 、P 三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1的交线，以及与平面BB 1C 1C 的交线. (2)设过M 、N 、P 三点的平面与B 1C 1交于点Q ，求PQ 的长.解：(1)设M 、N 、P 三点确定的平面为α，则α与平面AA 1B 1B 的交线为直线MP ，设MP∩A 1B 1=R ，则RN 是α与平面A 1B 1C 1D 1的交线，设RN∩B 1C 1=Q ，连接PQ ，则PQ 是所要画的平面α与平面BB 1C 1C 的交线.如图18.(2)正方体棱长为8 cm ，B 1R=BM=4 cm ，又A 1N=4 cm ，B 1Q=31A 1N, ∴B 1Q=31×4=34（cm ）.在△PB 1Q 中，B 1P=4 cm ，B 1Q=34cm ， ∴PQ=10342121=+Q B P B cm.点评：公理3给出了两个平面相交的依据，我们经常利用公理3找两平面的交点和交线. 例2 已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线.解：如图19,∵A 、B 、C 是不在同一直线上的三点,图19∴过A、B、C有一个平面β.又∵AB∩α=P，且AB⊂β,∴点P既在β内又在α内.设α∩β=l,则P∈l,同理可证：Q∈l,R∈l,∴P、Q、R三点共线.变式训练三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点.已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.求证：l1、l2、l3相交于一点.证明：如图20，α∩β=l1，β∩γ=l2，α∩γ=l3，图20∵l1⊂β，l2⊂β，且l1、l2不平行,∴l1与l2必相交.设l1∩l2=P，则P∈l1⊂α,P∈l2⊂γ,∴P∈α∩γ=l3.∴l1、l2、l3相交于一点P.点评：共点、共线问题是本节的重点，在高考中也经常考查，其理论依据是公理3.知能训练画一个正方体ABCD—A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由. 解：如图21,图21∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′.∵E∈AC，∴E∈平面ACD′.∵E∈BD，∴E∈平面BDC′.∵F∈DC′，∴F∈平面DC′B.∴EF为所求.拓展提升O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，过D1、B1、A作一个截面，求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上.解：如图22,连接A1C1、AC，图22因AA1∥CC1，则AA1与CC1可确定一个平面AC1，易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1，所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1.又P∈A1C，得P∈平面AC1，而P∈截面AB1D1，故P在两平面的交线上，即P∈AO1.点评：证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上.课堂小结1.平面是一个不加定义的原始概念，其基本特征是无限延展性.2.通过三个公理介绍了平面的基本性质，及作用.名称作用公理1 判定直线在平面内的依据公理2 确定一个平面的依据公理3 两平面相交的依据3.利用三个公理证明共面、共线、共点问题.作业课本习题2.1 A组5、6.设计感想本节的引入精彩独特，用如来佛的手掌形象地刻画了平面的基本特征；本节设计了较多的语言转换题目，反复训练学生的读图、作图能力，以及用符号语言表达数学问题的能力，因为这是学好立体几何的基础，是本节的重点；本节的难点是利用三个公理证明共面、共线、共点问题，本节设计了大量题目来突破这一难点，每个题目都精彩活泼难度适中，我相信这是一节值得期待的精彩课例.。
高中数学人教A版必修2教案：第二章点、直线、平面之间的位置关系小结与复习
优质资料---欢迎下载课题 第二章点、直线、平面之间的位置关系小结与复习课型 复习课课时：1授课时间：教 学 目 标 知识与技能：理解掌握空间点、直线、平面之间的位置关系．过程与方法：熟练应用直线、平面平行和垂直的判定及其性质解决立体几何问题． 情感态度与价值观：通过本章学习逐步提高学生的空间想像能力，学会用数学方法认识世界改造世界．教学 重点 总结证明平行问题和证明垂直问题的方法 教学难点 总结求二面角的方法 教学手段 多媒体辅助教学 教学方法回忆 联想 教 学 过 程一、知识结构二、典例解析：例1．在正方体ABCD —A1B1C1D1中，E 、F 、G 、H 分别为棱BC 、CC1、C1D1、AA1的中点，O 为AC 与BD 的交点（如图），求证：（1）EG ∥平面BB1D1D ；（2）平面BDF ∥平面B1D1H ；（3）A1O ⊥平面BDF ；（4）平面BDF ⊥平面AA1C 。
解析： （1）欲证EG ∥平面BB1D1D ，须在平面BB1D1D 内找一条与EG 平行的直线，构造辅助平面BEGO ’及辅助直线BO ’，显然BO ’即是。
（2）按线线平行线面平行面面平行的思路，在平面B1D1H 内寻找B1D1和O ’H 两条关键的相交直线，转化为证明：B1D1∥平面BDF ，O ’H ∥平面BDF 。
二次备课⇒⇒平面（公理1、公理2、公理3、公理4） 空间直线、平面的位置关系 直线与直线的位置关系直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系 判定 性质 直线与平面垂直平面与平面垂直 直线与平面平行 平面与平面平行判定 性质（3）为证A1O ⊥平面BDF ，由三垂线定理，易得BD ⊥A1O ，再寻A1O 垂直于平面BDF 内的另一条直线。
猜想A1O ⊥OF 。
借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得：A1O2+OF2=A1F2A1O ⊥OF 。
（4）∵ CC1⊥平面AC∴ CC1⊥BD 又BD ⊥AC∴ BD ⊥平面AA1C 又BD 平面BDF∴ 平面BDF ⊥平面AA1C评注：化“动”为“定”是处理“动”的思路例2．如图，三棱锥D —ABC 中，平面ABD 、平面ABC 均为等腰直角三角形，∠ABC=∠BAD=900，其腰BC=a ，且二面角D —AB —C=600。
高中数学 点线面的位置关系教案 北师大版必修2
点线面的位置关系平行关系基础知识回顾：◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 判定定理.◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行. 性质定理：◆如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行. 1、 线线平行（初中，略） 2、 线面平行例：已知两个全等的矩形 和 不在同一平面内，、分别在它们的对角线 ， 上，且 ．求证：平面练习：已知 ， 是异面直线，求证：过直线 有且只有一个平面 与 平行．3、 面面平行例：在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是C 1C 、B 1C 1、C 1D 1的中点，求证；（2）平面MNP//平面A 1BD ．练习：如上图，求证面A 1BD P//面CB 1D 1垂直关系基础回顾 判定定理.◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直. ◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直. 性质定理◆垂直于同一个平面的两条直线平行.◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直 1、线线垂直（异面垂直，略） 2、线面垂直例：如图，在三棱锥S-ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC=90°，O 为BC 的中点。
(1)证明：SO ⊥平面ABC ；ABC S O练习：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱1CC 的中点.（Ⅰ）求证：CD ∥平面1A EB ； （Ⅱ）求证：1AB ⊥平面1A EB ；3、面面垂直例；在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：平面A 1BD ⊥平面A 1C ．练习：已知四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 是菱形，⊥︒=∠PD DAB ,60平面ABCD ，PD=AD ， 点E 为AB 中点，点F 为PD 中点. （1）证明平面PED ⊥平面PAB ；综合训练：(棱柱型)1，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点，O 为AC 与BD 的交点（如图），求证：（1）EG ∥平面BB 1D 1D ； （2）平面BDF ∥平面B 1D 1H ； （3）A 1O ⊥平面BDF ； （4）平面BDF ⊥平面AA 1C ．2、如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相等，D 、E 分别是CC 1和AB 1的中点，点F 在BC 上且满足BF ∶FC =1∶3(1)若M 为AB 中点，求证 BB 1∥平面EFM ；(2)求证 EF ⊥BC ；（棱锥型）1、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、C 1B 1ABCDE F MA 1ABCDA 1B 1C 1D 1DBCEB 1C 1 A A 1F 分别是AB 、PC的中点(1)求证 CD ⊥PD ;(2)求证 EF ∥平面PAD ;2、如图，在正三棱锥A —BCD 中，∠BAC =30°，AB =a ,平行于AD 、BC 的截面EFGH 分别交AB 、BD 、DC 、CA 于点E 、F 、G 、H(1)判定四边形EFGH 的形状，并说明理由(2)设P 是棱AD 上的点，当AP 为何值时，平面PBC ⊥平面EFGH ，请给出证明（不规则型） 1、都平行平面的 ， 是两异面直线且分居在平面的两侧． ，是两端点分别在 ， 上的任意一条线段（ 不同于，不同于 ），若 与 平面交于点 ， 与 平面交于点 ．求证： ．2、如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的任意一点.求证：平面PAC ⊥平面PBC .选择填空专练：1.设a ,b 是异面直线，下列命题正确的是_________①过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交 ②过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直③过a 一定可以作一个平面与b 垂直 ④过a 一定可以作一个平面与b 平行2． ， 是空间两条不相交的直线，那么过直线 且平行于直线 的平面（ ）． A ．有且仅有一个 B ．至少有一个 C ．至多有一个别 D ．有无数个A BCDEF PGH F E DCB A4.、已知点 是两条异面直线 ， 外一点，则过 点且与 ， 都平行的平面的个数是A ．0B ．1C ．0或1 5、．设 ， 是平面 外的两条直线，给出下列四个命题： ①若 ，，则； ②若，，则； ③若， 与 相交，则 与 也相交； ④若 与 异面，，则．其中正确命题的序号是_________________．6、．设α、β、γ为平面， m 、n 、l 为直线，则m β⊥的一个充分条件是A ．,,l m l αβαβ⊥=⊥ B ．,,m αγαγβγ=⊥⊥C ．,,m αγβγα⊥⊥⊥D ．,,n n m αβα⊥⊥⊥（课后练习）a 与直线ｂ垂直，ｂ又垂直于平面α，则a 与α的位置关系是 ( )A. a ⊥αB. a ∥αC. a ⊂αD. a ⊂α或a ∥α 3.直线ａ与直线ｂ垂直，ａ平行于平面α，则ｂ与α的位置关系是 ( ) A.ｂ∥α B.ｂ⊂α C.ｂ与α相交 D.不确定4、菱形ABCD 在平面α内，PC ⊥α，则PA 与对角线BD 的位置关系是 （ ） （A ）平行 （B ）斜交 （C ）垂直相交 （D ）异面垂直5. 已知直线m 、n ，平面α、β，且m ⊥α，n β⊂，给出下列命题：①若α∥β，则 m ⊥n ；②若m ⊥n ，则α∥β；③若α⊥β，则m ∥n ；④若m ∥n ，则α⊥β．其中正确的命题是 （ ）A ．①④B ．①③C ．②③D ．③④6① ⎩⎨⎧α⇒α//////b b a a ；② ⎩⎨⎧α⇒⊥α⊥//b b a a ；③ ⎩⎨⎧α⊥⇒⊥αb b a a //；④ ⎩⎨⎧α⇒β⊥β⊥α//a a （a , b 为不重合的直线，α，β为不重合的平面），以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 37、若平面α⊥平面β，直线n α⊂，直线m ⊂β，m ⊥n ，则 （ ）A ．n ⊥βB ．n ⊥β且m ⊥αC ．m ⊥αD ．n ⊥β与m ⊥α中至少有一个成立8．若直线l 、m 与平面α、β、γ满足：β∩γ=l ，l ∥α，m α⊂，m ⊥γ，则有 A ．α⊥γ，l ⊥m B ．α⊥γ，m ∥β C ．m ∥β，l ⊥m D ．α∥β，α⊥γ。
人教A版高中数学必修2《 二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.4 平面与平面平行的性质》优质课教案_2
《2.2.4平面与平面平行的性质》教学设计一、教材分析：本节内容是人教版新教材必修②高一数学第二章第二节的第4课时平行与垂直是空间中两种特殊而重要的位置关系，也是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与辅助面，找出符号语言与图形语言之间的关系解决问题。
通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
二、学情分析：本节内容是在学生已经学习了平行公理，直线与平面平行的判定与性质等内容的基础上的学习，只要掌握了平行线的概念和面与面平行的概念，该性质定理的证明不难理解，难点是选择或添加适当的平面或线，将空间问题转化为平面问题，利用平面图形的几何特征解决问题。
三、教学目标：1、知识与技能（1）掌握两个平面平行的性质定理及其应用。
（2）提高分析解决问题的能力,进一步渗透等价转化的思想。
2、情感态度与价值观（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力；（2）进一步体会类比的作用；（3）通过证明问题，树立创新意识。
四、教学重、难点：1．重点：两个平面平行的性质定理的探索过程及应用。
2．难点：两个平面平行的性质定理的探究发现及其应用。
五、教学设想：学生是学习和发展的主体，教师是教学活动的组织者和引导者。
引导学生自己探索与研究两个平面平行的性质定理，培养和发展学生发现问题，解决问题的能力。
学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。
六、教学方法设计：由直线与直线平行的定义得到的两个平面平行性质定理是证明直线与直线平行的重要方法。
在两个平面平行的性质定理的研究中，重在引导学生如何将两个平面平行的问题转化为直线与直线平行、直线与平面平行的问题。
七、教学流程：↓↓↓八、学法与教学用具1、学法：学生借助实物，通过类比、交流等，得出性质及基本应用。
2、教学用具：多媒体、长方体模型九、教学过程：复习提问：（大屏幕展示）如何判断平面和平面平行?（答:有两种方法,一是用定义法,须判断两个平面没有公共点;二是用平面和平面平行的判定定理,须判断一个平面内有两条相交直线都和另一个平面平行.）你会用符号语言描述判定定理吗？(目的:(1)通过学生回答，来检查学生能否正确叙述学过的知识，正确理解平面与平面平行的判定定理.(2)板书定义及定理内容，是为学生猜测并发现平面与平面平行的性质定理作准备)探究新知思考:如果两个平面平行，会有哪些结论呢?(学生议论，教师引导学生大胆猜想，同时提示研究问题的方法)探究1. 如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？生1：两平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
高一数学必修2：第二章《点、直线、平面之间的位置关系》教案(新人教A版必修2)
点、直线、平面之间的位置关系复习（一）课型：复习课一、教学目标1、知识与技能（1）使学生掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；（2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。
2、过程与方法利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识记；同时凸现数学知识的发展和联系。
3情态与价值学生通过知识的整合、梳理，理会空间点、线面间的位置关系及其互相联系，进一步培养学生的空间想象能力和解决问题能力。
二、教学重点、难点重点：各知识点间的网络关系；难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。
三、教学设计（一）知识回顾，整体认识1、本章知识回顾（1）空间点、线、面间的位置关系；（2）直线、平面平行的判定及性质；（3）直线、平面垂直的判定及性质。
2、本章知识结构框图平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空间直线、平面的位置关系直线与直线的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系（二）整合知识，发展思维1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。
公理1——判定直线是否在平面内的依据；公理2——提供确定平面最基本的依据；公理3——判定两个平面交线位置的依据；公理4——判定空间直线之间平行的依据。
2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题；3、空间平行、垂直之间的转化与联系：4、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。
（三）应用举例，深化巩固1、P.73 A 组第1题2、P.74 A 组第6、8题（四）、课堂练习：1．选择题 （1）如图BC 是R t ⊿ABC 的斜边，过A 作⊿ABC 所在平面α垂线AP ，连PB 、PC ，过A 作AD ⊥BC 于D ，连PD ，那么图中直角三角形的个数是（ ） （A ）4个 （B ）6个 （C ）7个 （D ）8个（2）直线a 与平面α斜交，则在平面α内与直线a 垂直的直线（ ） （A ）没有 （B ）有一条 （C ）有无数条 （D ）α内所有直线 答案：（1）D (2) C2．填空题（1）边长为a 的正六边形ABCDEF 在平面α内，PA ⊥α，PA =a ，则P 到CD 的距离为 ，P 到BC 的距离为 .（2）AC 是平面α的斜线，且AO =a ，AO 与α成60º角，OC ⊂α，AA ＇⊥α于A ＇，∠A ＇OC =45º，则A 到直线OC 的距离是 ， ∠AOC 的余弦值是 . 答案：（1）a a 27,2; （2）42,414a 3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求证：A 1C ⊥平面BC 1D .分析：A 1C 在上底面ABCD 的射影AC ⊥BD, A 1C 在右侧面的射影D 1C ⊥C 1D,所以A 1C ⊥BD, A 1C ⊥C 1D,从而有A 1C ⊥平面BC 1D .直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行直线与直线垂直直线与平面垂直 平面与平面垂直 A A ′CαODCPαABC 1B 11D 1DC课后作业1、阅读本章知识内容，从中体会知识的发展过程，理会问题解决的思想方法；2、P.76 B组第2题。
苏教版高中数学必修二点、线、面之间的位置关系教案二
1．问题1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？2．异面直线的概念：________________________________________________________________________． 34．公理4：（文字语言）____________________________________________________．（符号语言）____________________________________________________．5．等角定理：____________________________________________________________．例题剖析例1 如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，已知F E 、分别是BC AB 、的中点．求证：11//C A EF．例2 已知： BAC ∠和111C A B ∠的边11//B A AB ，11//C A AC ，并且方向相同．求证：111C A B BAC ∠=∠．例3 如图：已知1E E 、分别为正方体1111D C B A ABCD -的棱11D A AD 、的中点．EA 1C A 1求证：111B E C CEB ∠=∠．巩固练习1．设1AA 是正方体的一条棱，这个正方体中与1AA 平行的棱共有（ ）条． A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．A 是BCD ∆所在平面外一点，N M ，分别是ABC ∆和ACD ∆的重心，若a BD =，则MN =____________________．3．如果OA ∥11A O ，OB ∥11B O ，那么∠AOB 与∠111B O A 之间具有什么关系？4．已知111CC BB AA ，，不共面，且11//BB AA ，11BB AA =，11//CC BB ，11CC BB =. 求证：ABC ∆≌111C B A ∆．课堂小结了解空间中两条直线的位置关系；理解并掌握公理4；理解并掌握等角定理．C 1课后训练一 基础题1．若把两条平行直线称为一对，则在正方体12条棱中，相互平行的直线共有_______对． 2．已知AB ∥PQ ,BC ∥QR ，∠︒=30ABC ，则∠PQR 等于_________________． 3．空间三条直线c b a 、、，若c b b a ////，，则由直线c b a 、、确定________个平面． 二 提高题4．三棱锥BCD A -中，H G F E ，，，分别是DA CD BC AB ，，，的中点． （1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）若BD AC =，求证：四边形EFGH 是菱形； （3）当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是正方形．5．在正方体1AC 中，CF F A CE E A ==1111，，求证：11F E ∥EF ．A 1 D 1 C 1三 能力题6．已知H G F E 、、、分别是空间四边形四条边DA CD BC AB 、、、上的点． 且2==HDAHEB AE ，G F 、分别为CD BC 、的中点，求证：四边形EFGH 是梯形．7．已知三棱锥BCD A -中，H G F E ，，，是DA CD BC AB ，，，的中点，43==FH EG ，，求22BD AC +．B FC GD H EA。
人教版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系-《2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系》教案
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系整体设计教学分析空间中直线与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，直线与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中直线与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理1的基础上会判断直线与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中直线与平面之间的位置关系.三维目标1.结合图形正确理解空间中直线与平面之间的位置关系.2.进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换.3.进一步培养学生的空间想象能力.重点难点正确判定直线与平面的位置关系.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)一支笔所在的直线与我们的课桌面所在的平面,可能有几个交点?可能有几种位置关系? 思路2.(事例导入)观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面所在平面有几种位置关系？图1推进新课新知探究提出问题①什么叫做直线在平面内？②什么叫做直线与平面相交?③什么叫做直线与平面平行?④直线在平面外包括哪几种情况?⑤用三种语言描述直线与平面之间的位置关系.活动：教师提示、点拨从直线与平面的交点个数考虑，对回答正确的学生及时表扬. 讨论结果：①如果直线与平面有无数个公共点叫做直线在平面内.②如果直线与平面有且只有一个公共点叫做直线与平面相交.③如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行.④直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.⑤应用示例思路1例1 下列命题中正确的个数是( )①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.3分析：如图2,图2我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确；A1B1∥AB,A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB⊂平面ABCD,所以命题③不正确；l与平面α平行,则l与α无公共点,l与平面α内所有直线都没有公共点,所以命题④正确. 答案：B变式训练请讨论下列问题：若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系.图3解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面.例2 已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.已知直线a∥b∥c，直线l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C.求证：l与a、b、c共面.证明：如图4,∵a∥b,图4∴a、b确定一个平面，设为α.∵l∩a=A，l∩b=B,∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l,∴AB⊂α，即l⊂α.同理b、c确定一个平面β，l⊂β,∴平面α与β都过两相交直线b与l.∵两条相交直线确定一个平面,∴α与β重合.故l与a、b、c共面.变式训练已知a⊂α,b⊂α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a，求证：PQ⊂α.证明：∵PQ∥a，∴PQ、a确定一个平面，设为β.∴P∈β，a⊂β，P∉a.又P∈α，a⊂α，P∉a,由推论1：过P、a有且只有一个平面,∴α、β重合.∴PQ⊂α.点评：证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法.思路2例1 若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.图5用符号语言表示为：若a∩b=A,b⊂α,则a⊂α或a∩α=A.变式训练若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.图6用符号语言表示为：若a与b异面,a⊂α,则b∥α或b∩α=A.点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面.例2 若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是( )A.α内的所有直线与a异面B.α内的直线与a都相交C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内不存在与a平行的直线分析：如图7,若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则a与平面α相交.图7例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB与直线A′B 相交，直线CD与直线A′B异面，所以A、B都不正确；平面ABCD内不存在与a平行的直线，所以应选D.答案：D变式训练不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A∉α,给出以下三个命题：①△ABC中至少有一条边平行于α;②△ABC中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.分析：如图8,三点A、B、C可能在α的同侧，也可能在α两侧，图8其中真命题是①.答案：①变式训练若直线a⊄α,则下列结论中成立的个数是( )(1)α内的所有直线与a异面(2)α内的直线与a都相交(3)α内存在唯一的直线与a平行(4)α内不存在与a平行的直线A.0B.1C.2D.3分析：∵直线a⊄α,∴a∥α或a∩α=A.如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.图9答案：A点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外考虑问题要全面即注意发散思维.知能训练已知α∩β=l,a⊂α且a⊄β,b⊂β且b⊄α,又a∩b=P.求证：a与β相交,b与α相交.证明：如图10,∵a∩b=P,图10∴P∈a,P∈b.又b⊂β,∴P∈β.∴a与β有公共点P,即a与β相交.同理可证,b与α相交.拓展提升过空间一点，能否作一个平面与两条异面直线都平行？解：(1)如图11,C′D′与BD是异面直线，可以过P点作一个平面与两异面直线C′D′、BD都平行.如图12,图11 图12 图13显然，平面PQ是符合要求的平面.(2)如图13,当点P与直线C′D′确定的平面和直线BD平行时，不存在过P点的平面与两异面直线C′D′、BD都平行.点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外考虑问题要全面即注意发散思维.课堂小结本节主要学习直线与平面的位置关系，直线与平面的位置关系有三种：①直线在平面内——有无数个公共点,②直线与平面相交——有且只有一个公共点,③直线与平面平行——没有公共点.另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点.作业课本习题2.1 A组7、8.。
人教A版高中数学必修2《 二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.4 平面与平面平行的性质》优质课教案_3
《2.2.4平面与平面平行的性质》教学设计【教材分析】本节内容为人教版教材必修2第二章第二节平行与垂直是空间中两种特殊而重要的位置关系，也是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线或辅助面找到符号语言与图形语言之间的关系解决问题，将空间问题转化为平面问题，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力.【教学目标】1.知识与技能：（1）通过实例，了解平面平行的特点；（2）理解平面与平面平行的性质；（3）会用平面与平面平行的性质解决实际问题.2.过程与方法：通过实例初步了解概念，通过探究深入理解概念的实质，关键是培养学生分析问题，解决问题和转化问题的能力.3.情感态度价值观：（1）平面与平面的位置判断与证明的核心是让学生学会转化思想，灵活运用所学知识；（2）用有现实意义的实例，激发学生兴趣，培养学生探索、发现问题的能力，并能用所学知识解决问题.【重点与难点】1.教学重点：理解平面与平面平行的性质2.教学难点：利用平面与平面平行的性质解决问题.【教学过程】（一）创设情景，揭示课题复习：1.两个平面的位置关系.2.平面与平面平行的的判定定理.问题1：若两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面的位置关系学生借助长方体模型思考、交流得出结论：平行问题2：若两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线有何位置关系？学生借助长方体模型思考、交流得出结论：平行或异面问题3：分别在两个平行平面的两条直线满足什么条件时平行？（二）新知探究例1.如图，已知平面α、β、γ满足α//β，a =λα ，b =λβ ，求证a //b .证明：方法一：α//β，βα⊂⊂b a ,，所以b a 、没有公共点，又因为b a 、都在平面γ内，所以a //b .方法二：α//β，α⊂a ，则a //β，又λ⊂a ，b =λβ ，所以a //b .（这用的是什么原理？）归纳：（两个平面平行的性质定理）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.数学语言：若α//β，a =λα ，b =λβ ，则a //b .作用：用于证明线与线的平行.练习1.平面与圆台的上、下底面分别交于直线m ，n ，则的位置关系是( )A. 相交B. 异面C. 平行D. 平行或异面例2. 求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.已知：如图α//β，ββαα∈∈∈∈D C B A 、、、，且BD AC //, 求证：BD AC =练习2：如图，α//β,AB 交α、β于B A 、，CD 交α、β于D C 、，S CD AB = ，8=AS ，SC CD BS 求,34,9==.（三）小结与反思1. 平面与平面平行有哪些性质？它们的作用是什么？（1）两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面；（证明线面平行）（2）性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.（证明线线平行）2. 本节学习中涉及了哪些主要的数学方法？（四）作业布置：本书第63页 习题2.2 B 组2、3。
高中数学必修2教案：2-3-7点、线、面位置关系
14. 450
15. ①③④②或②③④①
D
C
三、解答题
16.【解】(Ⅰ)如图右,连接
A1C1, DC1 ,则易知 PQ
1 2
DC1
又正方体 AC1 中,有 AB A1B1 D1C1 ,所以 DC1D1
即直线 PQ 与直线 AB 所成的角或补角,
A P
D1
A1
Q
B
C1 B1
显然在 RtDD1C1 中,有 DC1D1 450 ,即所求.
二、填空题:本大题共 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填写在题中的横线上.
9.已知直线 a, b 和平面 ,且 a b, a ,则 b 与 的位置关系是
10.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,过 A1C1B 的平 面与底面 ABCD 的交线为 l ,试问直线 l 与直线 A1C1 的位置关系是
A1
Q
B
C1 B1
17.（本小题满分 12 分）
S
如图:在三棱锥 S ABC 中,已知点 D 、 E 、 F 分别为棱 AC 、 SA 、 SC 的中点. （Ⅰ）求证: EF ∥平面 ABC ; （Ⅱ）若 SA SC , BA BC ,
求证:平面 SBD ⊥平面 ABC .
E D
A
F C
B
18.（本小题满分 12 分）
则过这条直线的任一平面
与此平面的交线与该直线 a // b
平行
平面与平面 平行的性质
如果两个平行平面同时和 // , a,
第三个平面相交，那么它们 的交线平行
b a // b
直线、平面平垂直的判定及其性质
1.内容归纳总结
（一）基本概念
1.直线与平面垂直：如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面
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§2.1.1 平面
学习目标
1. 了解平面的描述性概念；
2. 掌握平面的表示方法和基本画法；
3. 掌握平面的基本性质；
4. 能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间的关系.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P40~ P 43，找出疑惑之处）
引入：平面是构成空间几何体的基本要素.那么什么是平面呢?平面如何表示呢?平面又有哪些性质呢?
二、新课导学
※探索新知
探究1：平面的概念与表示
问题：生活中哪些物体给人以平面形象？你觉得平面可以拉伸吗？平面有厚薄之分吗？
新知1：平面(plane)是平的；平面是可以无限延展的；平面没有厚薄之分.
问题：通常我们用一条线段表示直线，那你认为用什么图形表示平面比较合适呢？
新知2：如上图，通常用平行四边形来表示平面.平面可以用希腊字母,,
αβγ来表示，也可以用平行四边形的四个顶点来表示，还可以简单的用对角线的端点字母表示.如平面α,平面ABCD,平面AC等.
规定：①画平行四边形，锐角画成45°，横边长等于其邻边长的2倍；②两个平面相交时，画出交线，被遮挡部分用虚线画出来；③用希腊字母表示平面时，字母标注在锐角内.
问题：点动成线、线动成面.联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系怎么表示？直线和平面呢?
新知3：⑴点A在平面α内，记作Aα
∈；点A在平面α外，记作Aα
∉.⑵点P在直线l上，记作P l
∈，点P在直线外，记作P l
∉.⑶直线l上所有点都在平面α内,则直线l在平面α内(平面α经过直线l),记作lα
⊂；否则直线就在平面外，记作lα
⊄.
探究2：平面的性质
问题：直线l与平面α有一个公共点P,直线l是否在平面α内?有两个公共点呢?
新知4：公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.用集合符号表示为：
,,
A l
B l
∈∈且,
A B l
ααα
∈∈⇒⊂
问题：两点确定一直线，两点能确定一个平面吗？任意三点能确定一个平面吗？
新知5：公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 如上图,三点确定平面ABC.
问题：把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于点B?为什么?
新知6：公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.如下图所示：
平面α与平面β相交于直线l，记作l
αβ=.公理3用集合符号表示为
,
P a
∈且Pβ
∈⇒l
αβ=,且P l∈
※典型例题
例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
例2 如图在正方体ABCD A B C D ''''-中，判断下列命题是否正确，并说明理由：⑴直线AC 在平面ABCD 内； ⑵设上下底面中心为,O O ，
则平面AA C C ''与平面BB ' D D '的交线为OO '；
⑶点,,A O C '可以确定一平面；
⑷平面AB C ''与平面AC D '
重合.
※ 动手试试
练 用符号表示下列语句，并画出相应的图形： ⑴点A 在平面α内，但点B 在平面α外； ⑵直线a 经过平面α外的一点M ； ⑶直线a 既在平面α内，又在平面β内.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 平面的特征、画法、表示；
2. 平面的基本性质(三个公理)；
3. 用符号表示点、线、面的关系.
※ 知识拓展
平面的三个性质是公理(不需要证明,直接可以用),是用公理化方法证明命题的基础.其中公理1可以用来判断直线或者点是否在平面内；公理2用来确定一个平面，判断两平面重合，或者证明点、线共面；公理3用来判断两个平面相交，证明点共线或者线共点的问题.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下面说法正确的是（ ）.
①平面ABCD 的面积为210cm ②100个平面重合比50个平面重合厚③空间图形中虚线都是辅助线④平面不一定用平行四边形表示.
A.①
B.②
C.③
D.④ 2. 下列结论正确的是（ ）.
①经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面②经过两条相交直线，可以确定一个平面③经过两条平行直线，可以确定一个平面④经过空间任意三点可以确定一个平面
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3. 如图在四面体中，若直线和相交，则它们的交点一定（ ）.
A.在直线DB 上
B.在直线AB 上
C.在直线CB 上
D.都不对
4. 直线12,l l 相交于点P ，并且分别与平面γ相交于点,A B 两点，用符号表示为____________________.
5. 两个平面不重合，在一个面内取4点，另一个面内取3点，这些点最多能够确定平面_______个.
课后作业
1. 画出满足下列条件的图形：
⑴三个平面：一个水平，一个竖直，一个倾斜； ⑵ ,,,l AB CD αβαβ=⊂⊂AB ∥l ，CD ∥l .
2.如图在正方体中，A 是顶点，,B C 都是棱的中点，请作出经过,,A B C 三点的平面与正方体的截面.
§2.1.2空间直线与直线之间的位置关
系
O 'O B 'C 'D '
A '
D C B A H G
D
C
F E B
A。