圆的滚动问题

小圆在大圆上的滚动问题

小圆在大圆上的滚动问题
在许多读物或者试题里，常见一些小圆在大圆上的滚动问题。

如何让小学生把握住这类问题，需要多观察、多操作，然后加以理解。

一般问题：已知大圆的半径是小圆的4倍，问小圆在大圆外做无滑动的滚动时，从起点出发再回到起点，小圆一共转了多少圈？
换个问法：如下图1，已知大圆的半径是笑脸（小圆）的4倍，当笑脸在大圆上做无滑动的滚动时，从起点A 出发到回到起点，请画出笑脸在上边、左边、下边位置时脸部的准确位置。

图 1 若能准确画出位置，则可发现滚动到上边时，笑脸转了360+90度，再滚动到左边时，又转了360+90度，再滚动到下边时，又转了360+90度，再滚动回到起点时，又转了360+90度，总计转了4×360+4×90度，即5圈。

为了让小学生理解的更清楚些，可再换个问法：一个正方形的边长刚好是一个圆的周长，当圆在正方形外做无滑动的滚动时，从起点滚动一周回到起点处，圆一共转了多少圈？
图2
画图观察（图2），明显可见：当圆从A 点滚动到B 点时，刚好一圈。

但要到BC 边做滚动时，直径需要先在顶点B 外转90度，同样道理，当从起点A 滚动一周回到起点A 处，每边上各滚动一圈，四个顶点处各转90度，所以共转了5圈。

举一反三，如果把正方形换成三角形、五边形、六边形，或者换成圆、椭圆、其他规则与不规则图形，结论就如前面所论，应该用周长除以小圆周长后再加上（公转）的一圈。

A B
C D A。

大班科学球的滚动教案反思

大班科学球的滚动教案反思1、大班科学球的滚动教案反思活动目标：1.通过操纵，孩子们对球在斜坡上滚动的现象感兴趣。

2、学习用语言和图表表达自己的操作和体验。

3、培养幼儿对事物的好奇心，乐于大胆探究和实验.4.愿意大胆尝试，与同行分享经验。

5.激发孩子对科学活动的兴趣。

活动重难点：1，物体会在斜坡上移动。

2.在不同的斜坡上，物体以不同的速度移动。

活动准备：1.在科学角的活动中，孩子们对滚动物体感兴趣。

2.我学会了记录对单个物体的观察。

3.网球、洗衣板、积木、记录纸、笔等。

活动过程：一、初次探索1.疑惑:球不推怎么能滚起来？2、探索：幼儿自由的操作摆弄，教师巡回观察。

(可能出现：板的一端放在腿上、椅子上、积木上，手拿着板的一端往上提等等)3、讨论：(1)幼儿讲述自己的方法并演示。

(2)总结:板的一端抬起，球会从高处滚下来，不用推。

二、再次探索1.疑惑:让孩子一起玩，试着让两个球以不同的速度在木板上滚动。

2.探索:孩子们自由操作，互相玩耍，老师巡回观摩。

(可能出现:两块板都是平的，面朝上。

但是积木的高度不一样。

或者，一个板面是平的，一个板面是凹凸不平的，积木的高度是一样的)3、讨论：(1)幼儿讲述合作的经过，并进行演示。

(2)总结两个平板面。

积木的低垫不一样，滚动速度也不一样。

垫高的板球滚得快，垫低的球滚得慢。

两块一样高，平的球滚得快，不平的板球滚得慢。

4、幼儿体验三、记录1.让孩子把玩的方法录下来，让大家一目了然。

2、幼儿大胆地表述自己的记录。

四、延伸：今天我们玩的是球，那么别的东西放在上面是不是也是这样的呢?活动反思：新《纲要》指出：幼儿科学教育是科学启蒙教育，重在激发幼儿的认识兴趣好和探索欲望以及尽量为幼儿创设条件，运用各种感官，动手动脑，探究问题，解决问题从而体验发现的乐趣。

2、大班科学活动滚动的球教案反思活动目标：1.通过操纵，孩子们对球在斜坡上滚动的现象感兴趣。

2.学会用文字和图表表达自己的操作和经验。

圆滚动问题方法

圆滚动问题方法
圆滚动问题是一种常见的数学问题，它涉及到物体在平面上滚动的问题。

下面是几种解决圆滚动问题的方法:
1. 代数方法：可以使用代数方法来解决圆滚动问题，即将圆的
方程转化为关于时间的一次方程，然后使用加速度的概念来解决问题。

2. 几何方法：可以使用几何方法来解决圆滚动问题，即将圆的
方程转化为关于时间的一次方程，然后通过几何图形来求解。

3. 物理方法：可以使用物理方法来解决圆滚动问题，即将圆的
方程转化为关于时间的一次方程，然后使用牛顿第二定律和圆周运动的规律来解决问题。

4. 数学方法：可以使用数学方法来解决圆滚动问题，即将圆的
方程转化为关于时间的一次方程，然后使用代数方法或几何方法来求解。

无论使用哪种方法，都需要考虑圆滚动的问题，包括圆的位移、速度、加速度等概念，并结合实际问题来进行求解。

“圆形滚动”的问题探究

一
的路径等于圆周滚过的路程．
２圆在多边形外侧滚动
问题２如图，个半径为ｒ的圆。在折线Ｚ上滚动一段路程，点为Ａ，起终点为Ｂ，圆心０经过的问路径是多少？探究结论：圆心０所
般结论：圆在长方形的外侧滚动１圈，圆心所经历的路径等于正方形的周长再加上圆的１个周长．问题４如图，个半一径为ｒ的圆０在正 △ ＡＢＣ的外侧自Ｄ点开始滚动１圈回到点Ｄ，圆心Ｏ经问过的路径是多少？探究结论：圆心０所经历的路径Ｌｏ于等正 △ ＡＢＣ的周长３ＡＢ，加上圆心０在三个再顶点处旋转经过的弧长之和（好是一个周刚长）即Ｌ一３，ｏＡＢ＋２ｒ兀．探究发现：圆心在各个顶点处旋转经过的度数刚好是它的外角，过的度数之和就等于转多边形的外角之和３０．６。问题５一个半径为ｒ的圆０在任意多边形的外侧自Ｐ点开始滚动１圈回到点Ｐ，问圆心０经过的路径是多少？般结论：圆在任意多边形的外侧滚动１圈，心所经历的路径等于多边形的周长和圆圆的周长之和．
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４・０
数学教育研究
２００６年第２期
Ｌ。是以Ｍ为圆心，（就以Ｒ＋ｒ为半径的大圆）周长，Ｌ＝２（即。７Ｒ＋ｒ．）般结论：圆在圆周的外侧滚动１圈，圆心所经历的路径等于这两个圆的周长之和．继续探索：在这个过程中圆Ｏ自转了多少

滚圆运动——精选推荐

滚圆运动【准备】每小组准备正方形纸板、正三角形纸板各一个，小圆纸板二个，空心大圆纸板一个。

使正方形和正三角形的边长都等于小圆的周长，空心圆直径是小圆直径的2倍。

【外部滚圆运动】1．若一个圆的周长等于一个正方形的边长，该圆沿正方形外周滚动一周，圆自身转动了几圈？圆的周长等于圆的周长等于两圆周长相等正方形的边长正三角形边长2．若一个圆的周长等于一个正三角形的边长，该圆沿正三角形外周滚动一周，圆自身转动了几圈？3. 如一个平行四边形、梯形或任意正多边形的周长恰好等于一个园的周长的整数倍，这个园沿着上面的图形滚动一周，园自身各转动了几圈？4．若两个圆大小一样，让其中一个圆固定不动，另一个圆沿着固定圆的外缘滚动一周，运动的圆自身转动了几圈？从上面的实验中，你发现了什么规律？第4个实验与天体运动有关：月亮虽然总是以同一个面朝向地球，但当月亮绕地球转一周时，为什么说月亮也自身转动了一圈？ABAC【内部滚圆实验】1.观察右图中三个圆的大小及位置关系，猜想两个小圆周长和与大圆周长有什么关系？并想办法验证你们的猜想是否正确？2.若大圆半径等于小圆直径，让小圆从A点开始沿着大圆内壁滚动一周，小圆自身转动了几圈？你们能用所学的知识，来说明这个实验的结果吗？在这个实验中，小圆周上A点运动的路线有什么规律呢？【想一想议一议】在以上的探索活动中，你们掌握了哪些研究问题的？今后在遇到不懂的问题时，会运用这些方法吗？【练一练】1．从A点到B点有两条路线，走哪一条比较近呢？2．一动圆在A点开始沿大圆内壁滚动到B点，再沿小圆外周滚动到C点，该圆一共自转了几圈？滚圆运动一、教学目的1．使学生进一步认识圆，巩固和掌握圆的有关知识。

2．培养学生动手实践能力和发现意识。

3．使学生在活动中初步认识和体验观察、猜想、实验验证、理论解释等科学研究的基本方法及其重要性。

二、教材分析本节课重点研究圆形物体在直线型或曲线型物体上面作无滑动的滚动运动时自身转动的圈数问题。

专题十七滚动的圆与圆面覆盖问题

专题十七滚动的圆与圆面覆盖问题知识聚焦当圆无滑动地滚动时，探讨圆自转的圈数是一类有趣的问题．这类问题有下列基本情形：1．圆沿直线无滑动地滚动如图①，半径为r 的圆沿一条直线无滑动地滚动，假设圆心向前移动的距离为,l 则圆滚动的圈数为⋅=rl R π22．圆沿折线无滑动地滚动如图②，半径为r 的圆沿拐角α的外部滚动，圆心0运动的路线为：线段（以点B 为圆心，r 为半径，圆心角为、)180αο线段⋅32O O如图③，半径为r 的圆沿拐角α的内部滚动，圆．心O 运动的路线为：线段.1OO 线段⋅21O O3．圆沿曲线无滑动地滚动二、用一张或几张硬纸片去盖住一个平面图形，讨论是否盖得住的问题，这就是所谓的平面图形的覆盖问题，用一张圆形纸片去覆盖一个平面图形是基本的覆盖方式．解覆盖问题常用到以下性质：1．半径较大的圆形纸片可以盖住半径较小的圆形纸片．2．如果纸片G 能覆盖区域F ，那么纸片G 的面积一定不小于区域F 的面积．例题导航【例1】如图，一位小朋友在不打滑的平面轨道上滚动一个半径为10 cm 的圆盘，当滚到与坡面BC 开始相切时停止．其中BC cm AB ,80=与水平面的夹角为.60o(1)求出圆盘在AB 上滚动一圈，其圆心所经过的路线的长度（结果保留π）； (2)当圆盘从点A 滚到与BC 开始相切时停止，其圆心所经过的路线长是多少（精确到?)1.0cm点拨：(1)圆盘在AB 上滚动一圈，其圆心所经过的路线的长度就等于圆的周长，根据圆的周长公式求出；(2)当圆与BC 相切时，圆与AB 、BC 都相切，且,120o ABC =∠在DEB Rt ∆中，可以求出BE ，则圆心转过的路线是AE ，在DEB Rt ∆中根据已知条件求出BE 就可以求出AE.解答：(1) ∵圆盘在AB 上滚动一圈，其圆心所经过的路线的长度就等于圆的周长，而圆盘半径为∴,10cm 圆心经过的路线的长度是.20cm π(2)当圆转动到与BC 相切，停止的位置设为⊙,D 与AB 切于E ，连接DE 、DB ，则.AB DE ⊥在DEB Rt ∆中，-≈=AB cm DE BE o ,8.530tan .∴=-≈),(2.748.580cm BE 圆心经过的路线长约是.2.74cm点评：本题主要考查了切线的性质、切线长定理及利用三角函数解直角三角形等知识，有一定的综合性．【例2】我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆，例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．(1)请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)探究三角形的最小覆盖圆有何规律，并写出你所得到的结论（不要求证明）；(3)某地有四个村庄E、F、G、H（其位置如图②所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由.点拨：本题关键要确定最小覆盖圆的半径，然后才能作答．根据△EFH是锐角三角形，可知其最小覆盖圆为△EFH的外接圆，中转站建在△EFH的外接圆圆心处（线段EF的垂直平分线与线段EH的垂直平分线的交点处），才能够符合题中要求．解答：(1)如图③．(2)若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆．(3)此中转站应建在△EFH 的外接圆圆心处（线段EF 的垂直平分线与线段EH 的垂直平分线的交点处）．理由：=∠+∠=∠GEF HEG HEF =∠=∠=+EFH FHF o o ,0.50,9.821.358.47οοEFH ∆∴,1.47ο是锐角三角形，∴其最小覆盖圆为△EFH 的外接圆，设此外接圆为⊙,P 直线EG 与⊙P 交于点E 、M ，则<=∠=∠ο0.50EHF EMF ∴∠=.8.53EGF ο点G 在⊙P 内，从而⊙P 也是四边形EFGH 的最小覆盖圆．∴中转站建在△EFH 的外接圆圆心点P 即为所求，如图④所示．点评：本题结合三角形外接圆的性质作图，关键要懂得何为最小覆盖圆．知道若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长动（直角或钝角所对的边）为直径的圆，【例3】如图①～⑤，⊙O 均做无滑动滚动，⊙、1O ⊙2O 、⊙3O 、⊙4O 均表示⊙O 与线段AB 或BC 相切于端点时刻的位置，⊙O 的周长为.c 阅读理解： (1)如图①，⊙O 从⊙1O 的位置出发，沿AB 滚动到⊙2O 的位置，当c AB =时，⊙O 恰好自转1周；(2)如图②，ABC ∠相邻的补角是,︒n ⊙O 在ABC ∠外部沿A-B-C 滚动，在点B 处，必须由⊙1O 的位置旋转到⊙2O 的位置，⊙O 绕点B 旋转的角,n 21︒=∠BO O ⊙O 在点B 处自转360n周．实践应用：(1)在阅读理解的(1)中，若,2c AB =则⊙0自转周；若,l AB =则⊙0自转周，在阅读理解的(2)中，若,120ο=∠ABC 则⊙O 在点B 处自转周；若,60ο=∠ABC 则⊙0在点B 处自转周；(2)如图③，.21,90c BC AB ABC o ===∠⊙O 以⊙1O 的位置出发，在ABC ∠外部沿A-B-C 滚动到⊙4O 的位置，00自转了周．拓展联想：(1)如图④，△ABC 的周长为l ⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，⊙O 自转了多少周？请说明理由；(2)如图⑤，多边形的周长为l ⊙O 从与某边相切于点D 的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D 的位置，直接写出⊙O 自转的周数．点拨：实践应用：(1)读懂题意，套公式易得若,2c AB =则⊙O 自转2周；若,l AB =则⊙O 自转Cl周．在阅读理解的(2)中，若,120ο=∠ABC 则⊙.O 在点B 处自转61周；若,60O ABC =∠⊙0在点B 处自转31周；(2)因为,21,90c BC AB ABC ===∠ο则⊙0自转45411=+（周）．拓展联想：由于三角形和多边形的外角和是,360o 则⊙O 共自转了)1(+cl周．解答：实践应用：⋅31;61;;2)1(C l ⋅45)2( 拓展联想：ABC ∆Θ)1(的周长为∴,l ⊙O 在三边上自转了cl周．又Θ三角形的外角和是∴,360ο在三个顶点处，⊙O 自转了1360360=（周）．∴⊙O 共自转了)1(+cl周，)1)(2(+cl周.点评：此题主要考查多边形外角的性质，也是一道探索规律题，找准规律是关键．【例4】如图①，圆在正方形的内部沿着正方形的四条边运动一周，并且始终保持与正方形的边相切．(1)在图中，把圆运动一周覆盖正方形的区域用阴影表示出来；(2)当圆的直径等于正方形边长的一半时，该圆运动一周覆盖正方形的区域的面积是否最大？并说明理由．点拨：(1)圆在正方形中运动时覆盖的部分如图②所示；(2)设出正方形的边长和圆的半径，求出覆盖面积与圆的半径之间的函数解析式，中间正方形的面积易求得，而大正方形四角的面积可用以圆的直径为边长的小正方形的面积——一个圆的面积来求得，根据函数的性质即可判断出当圆的直径等于正方形的边长一半时，该圆运动一周覆盖正方形的区域的面积是否最大．解答：(1)圆运动一周覆盖正方形的区域用阴影表示如图②所示．(2)当圆的直径等于正方形边长的一半时，覆盖区域的面积不是最大．理由：设正方形的边长为,a 圆的半径为,r 覆盖区域的面积为Θ.S 圆在正方形的内部，⋅≤<∴20ar 由图②可知，--=a a S [(2--=+--=-+20(8)20(]4)42222ar r r r r ππ∴<-<⋅-+--,220402016)204)(22a a a ar ππππΘ当π-=204a r 时，S 有最大值．∴=/-,4204a a πΘ当圆的直径等于正方形边长的一半时，覆盖区域的面积不是最大．点评：本题主要考查了正方形和圆的性质、二次函数的应用、图形面积的求法等知识．培优训练能力达标1．如图，⊙O 沿凸多边形n n A A A A A 1321-Λ的外侧（圆与边相切）无滑动地滚动．假设⊙O 的周长是凸多边形n n A A A A A 1321-Λ的周长的一半，那么当⊙O 回到出发点时，它自身滚动的圈数为( )A ．1B ．2 C. 3 D. 42．如图，直径为1个单位长度的圆上有一点A ，与数轴上表示1的点重合，圆沿着数轴向左滚动一周，点A 与数轴上的点B 重合，则点B 表示的实数是 ( )12.-πA 1.-πB π-1.C π21.-D3．如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为≥α(a 3)的正方形内任意移动，则该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是( )π-2.a A2)4.(a B π-π.Cπ-4.D4．能完全覆盖住三角形的最小圆，叫做三角形的最小覆盖圆．在△ABC 中,===BC AC AB ,548，则△ABC 的最小覆盖圆的面积是( )π64.Aπ25.B π20.C π16.D5．对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，那么称圆形A 被这个圆所覆盖．如图中的三角形被一个圆所覆盖，如果边长为1的正六边形被一个半径长为R 的圆覆盖，那么尺的取值范围为．6．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆，例如线段AB 的最小覆盖圆就是以线段AB 为直径的圆，若在△ABC 中,4,3,5,===BC AC AB 则△ABC 的最小覆盖圆的半径是；若在111C B A ∆中，,120,6,111111111o C A B C B C A B A =∠==则111C B A ∆的最小覆盖圆的半径是 .7．对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离不大于这个圆的半径,那么称图形A 被这个圆所覆盖．如图，三角形被一个圆所覆盖，回答下列问题：(1)边长为1的正方形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是多少？ (2)边长为1的正三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是多少？(3)半径为1的圆被边长为a 的正方形所覆盖,a 的最小值是多少？ (4)半径为1的圆被边长为a 的正三角形所覆盖，a 的最小值是多少？8．如图，正三角形ABC 的边长为,36cm ⊙O 的半径为,rcm 当圆心0从点A 出发，沿着线路CA BC AB →→运动，回到点A 时，⊙O 随着点O 的移动而移动． (1.)若,3cm r =求⊙O 首次与BC 边相切时AO 的长；(2)在点0移动的过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况？写出不同情况下厂的取值范围及相应的切点个数；(3)设点0在整个移动过程中，在△ABC 内部，⊙O 未经过的部分的面积为,2Scm 当0>S 时，求S 关于r 的函数解析式，并写出自变量r 的取值范围．拓展提升9．如图，Rt△ABC 的直角边,24=AC 斜边=AB 25，一个以点P 为圆心、半径为1的圆在△ABC 内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P 一直保持与△ABC 的边相切，当点P 第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是( )356.A 25.B3112.C 56.D10. 一位小朋友在一轨道上滚动一个半径为cm 10的圆盘，如图所示，其中==∠AB ABC ,120ο,40,60cm BC cm =该小朋友将圆盘从点A 滚动到点C ，则其圆心所经过的路线的长度为 .cm11.在△ABC 中，BC AC AB ,13,15==边上的高,12=AD 能完全覆盖△ABC 的圆的半径R 的最小值为 .12.猜想归纳：如图，正方形ABCD 的边长为2+πk k (是正整数），半径为1的⊙O 分别与AD 、AB 相切，沿DA CD BC AB →→→的方向使⊙O 在正方形ABCD的边上滚动．当⊙O 第一次回到起始位置时停止运动．(1)当1=k 时，⊙O 从开始滚动到停止，共滚动了圈；当2=k 时，⊙O 从开始滚动到停止，共滚动了圈；当n k =时，⊙O 从开始滚动到停止，共滚动了圈；(2)当n k =时，⊙O 从开始滚动到停止，滚过的面积是多少？魔法赛场【例】如图①，⊙O 沿着凸n 边形Λ321A A A n n A A 1-的外侧（圆和边相切）无滑动地滚动一周回到原来的位置．(1)当⊙O 和凸n 边形的周长相等时，求证：⊙O 自身转动了两圈；(2)当⊙O 的周长是,a 凸n 边形的周长是b 时，请写明此时⊙O 自身转动的圈数.点拨：(1)根据圆自身转动的圈数=线段的长度÷圆的周长，设n A A A 12∠为钝角，可证明⊙O 滚动经过顶点,1A 自身转动的角度恰好等于顶点1A 的一个外角，即当⊙O 和凸n 边形的周长相等时，证明⊙O 自身转动了两圈；(2)由上面的结果，可得⊙O 自身转动的圈数是)1(+ab圈. 解答：(1) -个圆沿着线段的一个端点无滑动地滚动到另一个端点，圆自身转动的圈数一线段的长度÷圆的周长，因此若不考虑⊙O 滚动经过n 个顶点的情况，则⊙O 自身恰好转动了一圈，现证明，当⊙O 在某边的一端，滚动经过该端点（即顶点）时，⊙O 自身转动的角度恰好等于n 边形在这个顶点的一个外角，如图②，设n A A A 12∠为钝角，已知1A A n 是⊙O 的切线，⊙O 滚动经过端点1A 后到⊙O '的位置，此时21A A 是⊙O '的切线，因此⊥1OA ⋅⊥2111,A A OA A A n 当⊙O 转动至⊙O '时，则r 就是⊙O 自身转动的角，,90,90οΘ=+︒=+βαβγ,αγ=∴即⊙O 滚动经过顶点,1A 自身转动的角度恰好等于顶点1A 的一个外角．对于顶点是锐角或直角的情况，类似可证．Θ凸n 边形的外角和为∴,360ο⊙O 滚动经过n 个顶点自身又转动一圈．转动的圈数是)1(+ab圈. (2)由(1)可得，⊙O 自身点评：解决本题的关键是找出圆的滚动过程中几个相关量之间的关系，有一定的难度，要仔细考虑．思考题小明在如图所示的粗糙平面轨道上滚动一个半径为cm 8的圆盘，AB 与CD 是水平的，BC 与水平方向的夹角为,45o 四边形BCDE 是等腰梯形，cm BC E EF CD 40====(1)请作出小明将圆盘从点A 滚动至点F 其圆心所经过的路线示意图；(2)求出(1)中所作路线的长度，。

滚动问题中圆的圈数的探讨

滚动问题中圆的圈数的探讨一问题的提出一位学生向我提出了一个问题；将两枚同样大小的硬币放在桌子上，其中一枚硬币A 固定，而另一枚硬币B 则沿着硬币A 边缘无滑动滚动一圈回到初始位置，这时滚动的硬币B 滚动（）圈。

A.1圈B.1.5圈C.2圈D.2.5圈看完题目，我不加思考的说，圆滚动一圈，选择A 答案。

学生看着我说，有两位老师说答案是2圈，加上你有2位老师说答案是一圈，许多学生认为是一圈。

听了学生的叙述，我有些不知所措，于是对他说，我再仔细的思考思考，然后回答你。

进过很长的一段时间，我突然想起这个问题与一个关于圆滚动的中考题颇为相似，查找资料发现2009年河北省的中考题与学生问的题目有联系。

原题的部分叙述为（1）如图1，⊙O 从⊙O1的位置出发，沿AB 滚动到⊙O2的位置，当AB=c 时，⊙O 恰好自转1圈；（2）如图2，∠ABC 相邻的补角是n °，⊙O 在∠ABC 外部沿A-B-C 滚动，在点B 处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O 绕点B 旋转的角∠O1BO2=n °，⊙O 在点B 处自转（）圈．看到这个中考题后，我恍然大悟，原来圆在折线上滚动存在一个旋转角的问题，而圆在直线上滚动不存在旋转角。

我把人们非常熟悉的圆在直线上滚动的规律，想当然的运用到物体在圆周上或者曲线上滚动的情形，实际上这两者却有着重大区别。

观察图1，圆在线段AB 上滚动一周，在直线上经过的路程为圆的周长即AB ，也可以认为是O 1O 2的长度,圆在直线上滚动一周，圆自身转动了一圈。

观察图2，当圆滚动到圆O 1的位置时，圆在B 处无滑动的旋转到圆O 2的位置，也就是圆以B 点为圆心，圆的半径旋转过一个角度，即∠O 1BO 2 。

因为O 1B ⊥BD, O 2B ⊥BC,所以∠O 1BO 2=∠DBC 。

因此圆在折线外侧上滚动，在经过折点的过程中，圆心O 从O1的位置自转到O2的位置旋转过的角度等于折线内角的补角（图2中∠ABC 的补角n °）。

滚动问题中圆的圈数的探讨

滚动问题中圆的圈数的探讨一问题的提出一位学生向我提出了一个问题；将两枚同样大小的硬币放在桌子上，其中一枚硬币A 固定，而另一枚硬币B 则沿着硬币A 边缘无滑动滚动一圈回到初始位置，这时滚动的硬币B 滚动（）圈。

A.1圈B.1.5圈C.2圈D.2.5圈看完题目，我不加思考的说，圆滚动一圈，选择A 答案。

学生看着我说，有两位老师说答案是2圈，加上你有2位老师说答案是一圈，许多学生认为是一圈。

听了学生的叙述，我有些不知所措，于是对他说，我再仔细的思考思考，然后回答你。

进过很长的一段时间，我突然想起这个问题与一个关于圆滚动的中考题颇为相似，查找资料发现2009年河北省的中考题与学生问的题目有联系。

原题的部分叙述为（1）如图1，⊙O 从⊙O1的位置出发，沿AB 滚动到⊙O2的位置，当AB=c 时，⊙O 恰好自转1圈；（2）如图2，∠ABC 相邻的补角是n °，⊙O 在∠ABC 外部沿A-B-C 滚动，在点B 处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O 绕点B 旋转的角∠O1BO2=n °，⊙O 在点B 处自转（）圈．看到这个中考题后，我恍然大悟，原来圆在折线上滚动存在一个旋转角的问题，而圆在直线上滚动不存在旋转角。

我把人们非常熟悉的圆在直线上滚动的规律，想当然的运用到物体在圆周上或者曲线上滚动的情形，实际上这两者却有着重大区别。

观察图1，圆在线段AB 上滚动一周，在直线上经过的路程为圆的周长即AB ，也可以认为是O 1O 2的长度,圆在直线上滚动一周，圆自身转动了一圈。

观察图2，当圆滚动到圆O 1的位置时，圆在B 处无滑动的旋转到圆O 2的位置，也就是圆以B 点为圆心，圆的半径旋转过一个角度，即∠O 1BO 2 。

因为O 1B ⊥BD, O 2B ⊥BC,所以∠O 1BO 2=∠DBC 。

因此圆在折线外侧上滚动，在经过折点的过程中，圆心O 从O1的位置自转到O2的位置旋转过的角度等于折线内角的补角（图2中∠ABC 的补角n °）。

圆在几何图形上滚动的数学(上)

圆在几何图形上滚动的数学（上）吴乃华由于圆的圆心具有到圆上的每个点的距离都相等的特点，圆在几何图形上无滑动地滚动，它在直线、折线、曲线以及角的顶点上滚动的情况是不同的：在直线上圆心和它的圆周同时运动，在曲线上，不仅圆心和它的圆周同时运动，滚动着的圆还随着弧度的不同，随时在改变运行的方向：在角的顶点上，圆周的切点不动，而圆心旋转。

不仅如此，圆在几何图形上作无滑动地滚动，在图形内和在图形外也是不同的。

这些，都是值得我们从数学的角度来探讨的。

下面分五个方面来叙述：A、圆在圆上滚动1、引例：在直线上是滚动2、在圆上滚动的距离．3、在圆周上滚动的圈数B、圆在折线、三角形、矩形、凸多边形的外滚动1、在折线外侧滚动2、在正方形外滚动3、在三角形外滚动4、在凸多边形上滚动C、在折线内侧和在封闭图形内滚动所转的圈数1、在折线的内侧滚动2、在圆内滚动a、转的圈数b、转的长度D、圆滚动扫过的面积1、圆在封闭图形外滚动扫过的面积2、圆在封闭图形内滚动扫过的面积E、综合练习A、圆在圆上滚动1、引例：在直线上的滚动例1、如图，一个半径为r厘米的圆形硬币，沿着桌面一条长6r厘米的直线作无滑动的滚动，从头到尾，硬币要滚动几周？【解】：如图中所示，下面的实线表示平面上的直线，上面的虚线是表示硬币圆心运动的轨迹。

已知圆形硬币的半径为r厘米，它的周长是2r，桌面上的直线长6r厘米，所以，硬币从一端滚动到另一端，滚动了：6r÷2r＝3（周）观察如上图形，有两点事实是特别值得我们关注的：一是圆在直线上滚动，从起点到终点，一直不曾改变过运动的方向：二是圆在直线上滚动，它的圆心也是沿着直线运动的。

它运动的轨迹长度与圆周滚动的路程是相等的，即圆滚动一周，圆心也走过这个圆的周长的路程。

由此，我们还可以推断：不管圆在何处滚动，圆周上的一点的转动的长度，一定等于该圆的圆心所运动的轨迹长度的。

所以，要求得一个圆滚动的周数，就得要找到这个圆的圆心运动轨迹。

专题十七滚动的圆与圆面覆盖问题

专题十七滚动的圆与圆面覆盖问题知识聚焦当圆无滑动地滚动时，探讨圆自转的圈数是一类有趣的问题．这类问题有下列基本情形：1．圆沿直线无滑动地滚动如图①，半径为r 的圆沿一条直线无滑动地滚动，假设圆心向前移动的距离为,l 则圆滚动的圈数为⋅=rl R π22．圆沿折线无滑动地滚动如图②，半径为r 的圆沿拐角α的外部滚动，圆心0运动的路线为：线段（以点B 为圆心，r 为半径，圆心角为、)180αο线段⋅32O O如图③，半径为r 的圆沿拐角α的内部滚动，圆．心O 运动的路线为：线段.1OO 线段⋅21O O3．圆沿曲线无滑动地滚动二、用一张或几张硬纸片去盖住一个平面图形，讨论是否盖得住的问题，这就是所谓的平面图形的覆盖问题，用一张圆形纸片去覆盖一个平面图形是基本的覆盖方式．解覆盖问题常用到以下性质：1．半径较大的圆形纸片可以盖住半径较小的圆形纸片．2．如果纸片G 能覆盖区域F ，那么纸片G 的面积一定不小于区域F 的面积．例题导航【例1】如图，一位小朋友在不打滑的平面轨道上滚动一个半径为10 cm 的圆盘，当滚到与坡面BC 开始相切时停止．其中BC cm AB ,80=与水平面的夹角为.60o(1)求出圆盘在AB 上滚动一圈，其圆心所经过的路线的长度（结果保留π）； (2)当圆盘从点A 滚到与BC 开始相切时停止，其圆心所经过的路线长是多少（精确到?)1.0cm点拨：(1)圆盘在AB 上滚动一圈，其圆心所经过的路线的长度就等于圆的周长，根据圆的周长公式求出；(2)当圆与BC 相切时，圆与AB 、BC 都相切，且,120o ABC =∠在DEB Rt ∆中，可以求出BE ，则圆心转过的路线是AE ，在DEB Rt ∆中根据已知条件求出BE 就可以求出AE.解答：(1) ∵圆盘在AB 上滚动一圈，其圆心所经过的路线的长度就等于圆的周长，而圆盘半径为∴,10cm 圆心经过的路线的长度是.20cm π(2)当圆转动到与BC 相切，停止的位置设为⊙,D 与AB 切于E ，连接DE 、DB ，则.AB DE ⊥在DEB Rt ∆中，-≈=AB cm DE BE o ,8.530tan .∴=-≈),(2.748.580cm BE 圆心经过的路线长约是.2.74cm点评：本题主要考查了切线的性质、切线长定理及利用三角函数解直角三角形等知识，有一定的综合性．【例2】我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆，例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．(1)请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)探究三角形的最小覆盖圆有何规律，并写出你所得到的结论（不要求证明）；(3)某地有四个村庄E、F、G、H（其位置如图②所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由.点拨：本题关键要确定最小覆盖圆的半径，然后才能作答．根据△EFH是锐角三角形，可知其最小覆盖圆为△EFH的外接圆，中转站建在△EFH的外接圆圆心处（线段EF的垂直平分线与线段EH的垂直平分线的交点处），才能够符合题中要求．解答：(1)如图③．(2)若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆．(3)此中转站应建在△EFH 的外接圆圆心处（线段EF 的垂直平分线与线段EH 的垂直平分线的交点处）．理由：=∠+∠=∠GEF HEG HEF =∠=∠=+EFH FHF o o ,0.50,9.821.358.47οοEFH ∆∴,1.47ο是锐角三角形，∴其最小覆盖圆为△EFH 的外接圆，设此外接圆为⊙,P 直线EG 与⊙P 交于点E 、M ，则<=∠=∠ο0.50EHF EMF ∴∠=.8.53EGF ο点G 在⊙P 内，从而⊙P 也是四边形EFGH 的最小覆盖圆．∴中转站建在△EFH 的外接圆圆心点P 即为所求，如图④所示．点评：本题结合三角形外接圆的性质作图，关键要懂得何为最小覆盖圆．知道若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长动（直角或钝角所对的边）为直径的圆，【例3】如图①～⑤，⊙O 均做无滑动滚动，⊙、1O ⊙2O 、⊙3O 、⊙4O 均表示⊙O 与线段AB 或BC 相切于端点时刻的位置，⊙O 的周长为.c 阅读理解： (1)如图①，⊙O 从⊙1O 的位置出发，沿AB 滚动到⊙2O 的位置，当c AB =时，⊙O 恰好自转1周；(2)如图②，ABC ∠相邻的补角是,︒n ⊙O 在ABC ∠外部沿A-B-C 滚动，在点B 处，必须由⊙1O 的位置旋转到⊙2O 的位置，⊙O 绕点B 旋转的角,n 21︒=∠BO O ⊙O 在点B 处自转360n周．实践应用：(1)在阅读理解的(1)中，若,2c AB =则⊙0自转周；若,l AB =则⊙0自转周，在阅读理解的(2)中，若,120ο=∠ABC 则⊙O 在点B 处自转周；若,60ο=∠ABC 则⊙0在点B 处自转周；(2)如图③，.21,90c BC AB ABC o ===∠⊙O 以⊙1O 的位置出发，在ABC ∠外部沿A-B-C 滚动到⊙4O 的位置，00自转了周．拓展联想：(1)如图④，△ABC 的周长为l ⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，⊙O 自转了多少周？请说明理由；(2)如图⑤，多边形的周长为l ⊙O 从与某边相切于点D 的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D 的位置，直接写出⊙O 自转的周数．点拨：实践应用：(1)读懂题意，套公式易得若,2c AB =则⊙O 自转2周；若,l AB =则⊙O 自转Cl周．在阅读理解的(2)中，若,120ο=∠ABC 则⊙.O 在点B 处自转61周；若,60O ABC =∠⊙0在点B 处自转31周；(2)因为,21,90c BC AB ABC ===∠ο则⊙0自转45411=+（周）．拓展联想：由于三角形和多边形的外角和是,360o 则⊙O 共自转了)1(+cl周．解答：实践应用：⋅31;61;;2)1(C l ⋅45)2( 拓展联想：ABC ∆Θ)1(的周长为∴,l ⊙O 在三边上自转了cl周．又Θ三角形的外角和是∴,360ο在三个顶点处，⊙O 自转了1360360=（周）．∴⊙O 共自转了)1(+cl周，)1)(2(+cl周.点评：此题主要考查多边形外角的性质，也是一道探索规律题，找准规律是关键．【例4】如图①，圆在正方形的内部沿着正方形的四条边运动一周，并且始终保持与正方形的边相切．(1)在图中，把圆运动一周覆盖正方形的区域用阴影表示出来；(2)当圆的直径等于正方形边长的一半时，该圆运动一周覆盖正方形的区域的面积是否最大？并说明理由．点拨：(1)圆在正方形中运动时覆盖的部分如图②所示；(2)设出正方形的边长和圆的半径，求出覆盖面积与圆的半径之间的函数解析式，中间正方形的面积易求得，而大正方形四角的面积可用以圆的直径为边长的小正方形的面积——一个圆的面积来求得，根据函数的性质即可判断出当圆的直径等于正方形的边长一半时，该圆运动一周覆盖正方形的区域的面积是否最大．解答：(1)圆运动一周覆盖正方形的区域用阴影表示如图②所示．(2)当圆的直径等于正方形边长的一半时，覆盖区域的面积不是最大．理由：设正方形的边长为,a 圆的半径为,r 覆盖区域的面积为Θ.S 圆在正方形的内部，⋅≤<∴20ar 由图②可知，--=a a S [(2--=+--=-+20(8)20(]4)42222ar r r r r ππ∴<-<⋅-+--,220402016)204)(22a a a ar ππππΘ当π-=204a r 时，S 有最大值．∴=/-,4204a a πΘ当圆的直径等于正方形边长的一半时，覆盖区域的面积不是最大．点评：本题主要考查了正方形和圆的性质、二次函数的应用、图形面积的求法等知识．培优训练能力达标1．如图，⊙O 沿凸多边形n n A A A A A 1321-Λ的外侧（圆与边相切）无滑动地滚动．假设⊙O 的周长是凸多边形n n A A A A A 1321-Λ的周长的一半，那么当⊙O 回到出发点时，它自身滚动的圈数为( )A ．1B ．2 C. 3 D. 42．如图，直径为1个单位长度的圆上有一点A ，与数轴上表示1的点重合，圆沿着数轴向左滚动一周，点A 与数轴上的点B 重合，则点B 表示的实数是 ( )12.-πA 1.-πB π-1.C π21.-D3．如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为≥α(a 3)的正方形内任意移动，则该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是( )π-2.a A2)4.(a B π-π.Cπ-4.D4．能完全覆盖住三角形的最小圆，叫做三角形的最小覆盖圆．在△ABC 中,===BC AC AB ,548，则△ABC 的最小覆盖圆的面积是( )π64.Aπ25.B π20.C π16.D5．对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，那么称圆形A 被这个圆所覆盖．如图中的三角形被一个圆所覆盖，如果边长为1的正六边形被一个半径长为R 的圆覆盖，那么尺的取值范围为．6．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆，例如线段AB 的最小覆盖圆就是以线段AB 为直径的圆，若在△ABC 中,4,3,5,===BC AC AB 则△ABC 的最小覆盖圆的半径是；若在111C B A ∆中，,120,6,111111111o C A B C B C A B A =∠==则111C B A ∆的最小覆盖圆的半径是 .7．对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离不大于这个圆的半径,那么称图形A 被这个圆所覆盖．如图，三角形被一个圆所覆盖，回答下列问题：(1)边长为1的正方形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是多少？ (2)边长为1的正三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是多少？(3)半径为1的圆被边长为a 的正方形所覆盖,a 的最小值是多少？ (4)半径为1的圆被边长为a 的正三角形所覆盖，a 的最小值是多少？8．如图，正三角形ABC 的边长为,36cm ⊙O 的半径为,rcm 当圆心0从点A 出发，沿着线路CA BC AB →→运动，回到点A 时，⊙O 随着点O 的移动而移动． (1.)若,3cm r =求⊙O 首次与BC 边相切时AO 的长；(2)在点0移动的过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况？写出不同情况下厂的取值范围及相应的切点个数；(3)设点0在整个移动过程中，在△ABC 内部，⊙O 未经过的部分的面积为,2Scm 当0>S 时，求S 关于r 的函数解析式，并写出自变量r 的取值范围．拓展提升9．如图，Rt△ABC 的直角边,24=AC 斜边=AB 25，一个以点P 为圆心、半径为1的圆在△ABC 内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P 一直保持与△ABC 的边相切，当点P 第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是( )356.A 25.B3112.C 56.D10. 一位小朋友在一轨道上滚动一个半径为cm 10的圆盘，如图所示，其中==∠AB ABC ,120ο,40,60cm BC cm =该小朋友将圆盘从点A 滚动到点C ，则其圆心所经过的路线的长度为 .cm11.在△ABC 中，BC AC AB ,13,15==边上的高,12=AD 能完全覆盖△ABC 的圆的半径R 的最小值为 .12.猜想归纳：如图，正方形ABCD 的边长为2+πk k (是正整数），半径为1的⊙O 分别与AD 、AB 相切，沿DA CD BC AB →→→的方向使⊙O 在正方形ABCD的边上滚动．当⊙O 第一次回到起始位置时停止运动．(1)当1=k 时，⊙O 从开始滚动到停止，共滚动了圈；当2=k 时，⊙O 从开始滚动到停止，共滚动了圈；当n k =时，⊙O 从开始滚动到停止，共滚动了圈；(2)当n k =时，⊙O 从开始滚动到停止，滚过的面积是多少？魔法赛场【例】如图①，⊙O 沿着凸n 边形Λ321A A A n n A A 1-的外侧（圆和边相切）无滑动地滚动一周回到原来的位置．(1)当⊙O 和凸n 边形的周长相等时，求证：⊙O 自身转动了两圈；(2)当⊙O 的周长是,a 凸n 边形的周长是b 时，请写明此时⊙O 自身转动的圈数.点拨：(1)根据圆自身转动的圈数=线段的长度÷圆的周长，设n A A A 12∠为钝角，可证明⊙O 滚动经过顶点,1A 自身转动的角度恰好等于顶点1A 的一个外角，即当⊙O 和凸n 边形的周长相等时，证明⊙O 自身转动了两圈；(2)由上面的结果，可得⊙O 自身转动的圈数是)1(+ab圈. 解答：(1) -个圆沿着线段的一个端点无滑动地滚动到另一个端点，圆自身转动的圈数一线段的长度÷圆的周长，因此若不考虑⊙O 滚动经过n 个顶点的情况，则⊙O 自身恰好转动了一圈，现证明，当⊙O 在某边的一端，滚动经过该端点（即顶点）时，⊙O 自身转动的角度恰好等于n 边形在这个顶点的一个外角，如图②，设n A A A 12∠为钝角，已知1A A n 是⊙O 的切线，⊙O 滚动经过端点1A 后到⊙O '的位置，此时21A A 是⊙O '的切线，因此⊥1OA ⋅⊥2111,A A OA A A n 当⊙O 转动至⊙O '时，则r 就是⊙O 自身转动的角，,90,90οΘ=+︒=+βαβγ,αγ=∴即⊙O 滚动经过顶点,1A 自身转动的角度恰好等于顶点1A 的一个外角．对于顶点是锐角或直角的情况，类似可证．Θ凸n 边形的外角和为∴,360ο⊙O 滚动经过n 个顶点自身又转动一圈．转动的圈数是)1(+ab圈. (2)由(1)可得，⊙O 自身点评：解决本题的关键是找出圆的滚动过程中几个相关量之间的关系，有一定的难度，要仔细考虑．思考题小明在如图所示的粗糙平面轨道上滚动一个半径为cm 8的圆盘，AB 与CD 是水平的，BC 与水平方向的夹角为,45o 四边形BCDE 是等腰梯形，cm BC E EF CD 40====(1)请作出小明将圆盘从点A 滚动至点F 其圆心所经过的路线示意图；(2)求出(1)中所作路线的长度，。

小班科学活动：圆形滚得快

小班科学活动：圆形滚得快圆形滚得快是一个非常有趣的小班科学活动，可以帮助孩子们理解物体在不同形状下滚动的速度和特点。

在这个活动中，孩子们将通过实验和观察，发现圆形物体滚动的快慢与其他形状的物体有何不同，并尝试解释其原因。

活动准备：- 准备几个不同形状的物体，如圆球、方块和三角形，最好使用相同大小的物体。

- 准备一段平滑的斜面，可以是一个板坡或者是放在书架上的一块木板。

- 准备一个计时工具，可以使用秒表或者手机计时器。

- 准备一张记录表格，用于记录实验结果。

活动步骤：1. 引入活动：向孩子们介绍滚动的概念，并讨论圆形物体滚动的特点。

问孩子们他们认为圆形物体为什么滚动得快，引发他们的思考。

2. 实验设计：向孩子们提出一个问题：“你认为圆形物体滚动的快慢与其他形状的物体有关吗？请设计一个实验来验证你的想法。

”鼓励孩子们自己思考实验的步骤和材料，并让他们分享自己的设计。

3. 实验进行：根据孩子们的设计，进行实验。

将不同形状的物体放在斜坡上，同时释放，用计时工具记录它们滚动到底部所用的时间。

4. 记录实验结果：将实验结果记录在表格中，包括物体的形状和滚动到底部所用的时间。

5. 分析实验结果：让孩子们观察和比较实验结果，看看圆形物体是否滚动得更快。

鼓励他们解释实验结果，并思考为什么圆形物体会滚动得更快。

6. 总结活动：通过活动的讨论和总结，帮助孩子们理解圆形物体滚动得快的原因。

提醒他们要注意形状对物体运动特性的影响，并鼓励他们将所学的知识应用到日常生活中。

参考问题：- 你注意到了什么？圆形物体滚动得更快吗？- 为什么圆形物体滚动得更快？有什么可能的原因？- 你可以从这个实验中学到什么重要的科学原理？- 在日常生活中还有哪些地方可以应用到圆形物体滚动得快的原理？这个小班科学活动将激发孩子们的观察、实验和推理能力，帮助他们更好地理解物体运动的规律和科学原理。

通过实际操作和讨论，孩子们将能够深入探索圆形物体滚动得快的原因，并将所学的知识应用到实际生活中。

圆轮做纯滚动时静滑动摩擦力的变向问题

圆轮做纯滚动时静滑动摩擦力的变向问题圆轮是人们常用的一种机械装置，它能被用来传递力量或运动。

而纯滚动时，圆轮之间的摩擦力能够影响圆轮在表面的运动。

如果圆轮进行纯滚动时，其摩擦力的变向问题就会出现。

在这种情况下，圆轮可以在一定范围内改变摩擦力的变向，从而影响圆轮的运动状态。

首先，让我们来看一下，当圆轮作纯滚动时，摩擦力是怎么发生变向的。

圆轮会在与它接触的表面之间产生一定的摩擦力，它们之间的摩擦力可以通过磨擦的方式进行变向。

比如，如果圆轮在一个向右的方向上滚动，摩擦力会向右发生变向，形成所谓的“反摩擦”力。

反之，如果圆轮在向左的方向上滚动，摩擦力会向左发生变向，形成“正摩擦”力。

它们之间的交互作用也会形成回旋摩擦力，它们会和圆轮的表面相互抵消，使圆轮可以更加顺畅地滚动。

此外，我们还可以通过其他方法来调整圆轮滚动时摩擦力的变向。

调整圆轮表面的摩擦系数是一种方法，它可以提高滚动时摩擦力的密度，从而控制摩擦力的变向。

在这种情况下，摩擦系数的增大会使圆轮的发力力矩增大，从而使其向右滚动时摩擦力变向向右，向左滚动时摩擦力变向向左，从而改善圆轮的滑动状态。

另外，我们还可以改变圆轮的质量，从而改变摩擦力的分布。

比如，把质量均匀分散在圆轮的表面上，会使滚动时摩擦力均匀分布，从而使圆轮可以更加平滑地滚动。

最后，我们可以通过改善圆轮的设计和材料来改变摩擦力的变向。

比如，在改善圆轮的滚动质量方面，我们可以使用更低的摩擦常数的表面材料，从而降低圆轮的滚动摩擦力。

另外，圆轮的结构也会影响滚动时摩擦力的变向。

如果圆轮有更多的齿轮，就会使滚动时摩擦力分布更为均匀，从而改善圆轮的滑动状态。

总而言之，圆轮作纯滚动时，摩擦力的变向问题应当引起重视，我们可以通过改变圆轮表面的摩擦系数、质量和材料来改善圆轮的滑动状态。

总之，圆轮的摩擦力变向问题是非常重要的，它能够影响圆轮的滚动状态，从而影响其运动状态。

在实际应用中，我们应该根据实际情况，充分了解圆轮的运动特性，从而确定合适的方法来调整圆轮的摩擦力变向，以达到最佳的滚动状态。

圆绕图形无滑动滚动的问题

周长的 5 倍，问圆自身转动了几圈？
解答：如图，虚线为滚动过程中圆心的经过的路程，圆心经过的路程等于三条线段长加上三条弧长。其中三条线段长度之和是△ABC 的周长，三段弧长度之和是圆的周长。即圆心经过的路程＝△ABC 的周长＋圆的周长所以圆转动的圈数＝(5＋1)÷1＝6(圈)
小结：圆在多边形外侧滚动一周，圆心经过的路程等于多边形的周长加上圆的周长，所以圆转动的圈数＝多边形的周长÷圆的周长＋1。
三、曲直无别：圆在另一圆的内、外滚动 (1)外滚例 3、如图，在同一平面内，有两个大小相同的圆，其中圆 1 固定不动，圆 2 在其外围无滑
动滚动一周，则圆 2 自身转动了______周。
解答：设两小圆半径为 r。圆 2 滚动的距离就是圆 2 圆心经过的距离，即图中虚线的圆，这个圆的半径等于两圆半径的和，因此它的周长 2π(r＋r)＝4πr 也就是圆 2 圆心经过的路程。所以圆 2 转动了 4πr 除以圆的周长 2πr，转动了 2 周。
滚动圆问题
基本结论： 1、圆沿线（包括直线、曲线、折线）作无滑动滚动时，圆自身转动一圈，圆心经过的路程为
一个圆周长；反之，圆心经过的路程为一个圆周长，圆自身转动了一圈。即在圆作无滑动滚动时，圆滚动经过路程长度与其圆心所经过的路线长度相等。 2、圆自身转动的圈数＝圆心经过的路程÷圆的周长一、由简入手：圆在直线上滚动例 1、如图，把圆放在一条长度等于其周长的线段 AB 上，从一个端点无滑动地滚动到另一个
端点，则圆将滚动________周。
解答：圆心经过的路程为一个圆周长，所以圆滚动一周。结论：(1)若线段 AB 的长度是圆周长的 n 倍，则圆将滚动 n 周。
(2)圆心 O 所经过的路线的长度等于线段 AB 的长。二、拓广范围：圆在多边形外滚动例 2、如图，圆沿着△ABC 的外侧作无滑动的滚动一周回到原来位置。已知△ABC 的周长是圆

如何求圆的滚动圈数

一
、
圆滚动的数量关系
：
原型１如图１把ｏ在一条长度等于其周长的线段上，，０放从
一
个端点无滑动地滚
圈．
动到另一端点，０将ｏ转动
分析：图１圆滚如，动一周，直线上经过在
转的数：．函为４
Ｚ１Ｔｒ
变式４在变式３，如将正三角中
图４
形改为正ｎ形（长不变）则圆０又将滚动几圈？边边，
分析：０由起点开始运动，回到起点，心０经过的路程为圆再圆
２ＴＸ３：６．ｏ的周长为２Ｔ１ｒｒ而１ｒ圆Ａ转动的圈数：变式２在变式１，两圆内切中将改为外切，图３圆Ａ又会滚动几圈？如，
分析：两圆外切，Ａ＝４＋ｒ因Ｏｒ＝
的路程为圆的周长
Ａ曰
图１
２，耵ｒ即ＡＢ＝２Ｔ，圆心经过的路程Ｏ＝２，在直线上滚动叮则ｒ０霄ｒ圆
一
圈，圆自身转动了一圈．即
圆在直线上滚动的规律：
圆动圈：转的数堕喾
二、识拓展与应用知
（１ ×２ｒ，以圆转的圈数为凡＋）所ａｒ
＿ ×
Ｚ１Ｔｒ
在圆的滚动过程中，其本质是圆通过自身

数轴上的点表示的实数--圆在数轴上滚动问题【知识点】
圆在数轴上滚动时，起止点AB之间的距离＝圆周滚动的总长度
【练习题】
1.如图，直径为单位5的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周
到达点A，则点A表示的数是
2.如图，直径为单位1的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周
到达点A，则点A表示的数是
3.如图所示，半径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达
A点，则A点表示的数是
4.如图，直径为6个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动二圈，圆上一点由原
点O转到A点，这个A点表示的数为______
5.如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动两圈，圆上一点由原
点O转到P点，这P点表示的数为______
6.如图，半径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达
点B，若点A对应的数是−1，则点B对应的数是______
7.如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示－1的点重合，将圆在数轴无滑动的滚动1周，点A到达点A'的位置，则点A'表示的数是
8.如图，已知直径为1个单位长度的圆形纸片上的点A与数轴上表示－1的点
重合，若将该圆形纸片沿数轴顺时针滚动一周（无滑动）后点A与数轴上的点A'重合，则点A'表示的数为______
答案
1.5π
2.π
3.2π-
4.12π
5.2π
6.21
π-
7.1
π-
π--或1
8.1
π-。

小圆在大圆里滚动小圆上一点的运动轨迹长度高等数学

小圆在大圆里滚动小圆上一点的运动轨迹长度高等数学小圆在大圆里滚动的问题可以看作是一个圆在另一个圆内部滚动的问题。

我们可以通过分析圆的运动轨迹来求解小圆上一点的运动轨迹长度。

设大圆的半径为R，小圆的半径为r，小圆上一点的初始位置为P，小圆在大圆内滚动的过程中，我们可以将大圆看作是固定的，而小圆则绕着大圆的圆心进行滚动。

首先，我们可以将小圆上一点的初始位置P与大圆的圆心O连接起来，得到线段OP。

由于小圆在大圆内滚动，所以线段OP的长度是不变的，即OP的长度等于小圆的半径r。

接下来，我们可以将小圆上一点的运动轨迹分解成两个部分：一部分是小圆绕着大圆的圆心O进行的旋转运动，另一部分是小圆在大圆内部滚动的运动。

对于小圆绕着大圆的圆心O进行的旋转运动，我们可以将其看作是一个圆的旋转运动。

设小圆上一点的运动轨迹长度为L1，小圆绕着大圆的圆心O旋转的角度为θ，则根据圆的性质，L1等于小圆的半径r乘以旋转角度θ的弧度。

对于小圆在大圆内部滚动的运动，我们可以将其看作是一个圆的滚动运动。

设小圆上一点的运动轨迹长度为L2，小圆在大圆内部滚动的圈数为n，则根据圆的性质，L2等于小圆的半径r乘以滚动的圈数n乘以2π。

综上所述，小圆上一点的运动轨迹长度等于L1加上L2，即L=L1+L2=rθ+2πrn。

接下来，我们需要确定θ和n之间的关系。

由于小圆在大圆内滚动，所以小圆上一点的运动轨迹长度L必须小于等于大圆的周长2πR。

即L≤2πR。

将L=rθ+2πrn代入上述不等式中，得到rθ+2πrn≤2πR，整理得到θ+2πn≤2R/r。

由于θ是小圆绕着大圆的圆心O旋转的角度，所以θ的取值范围是0到2π。

而n 是小圆在大圆内部滚动的圈数，所以n的取值范围是0到正整数。

综上所述，我们可以得到小圆上一点的运动轨迹长度L的取值范围是0到2πR。

当L的取值范围在0到2πR之间时，我们可以通过调整θ和n的取值来确定小圆上一点的运动轨迹长度。

总结起来，小圆在大圆里滚动时，小圆上一点的运动轨迹长度是由小圆绕着大圆的圆心O旋转的角度θ和小圆在大圆内部滚动的圈数n共同决定的。

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