线性变换的矩阵
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求 在标准基 1, 2 , 3 下的矩阵.
解： Q (1) (1,0,0) (1,0,1)
(2 ) (0,1,0) (0,1,1)
( 3 ) (0,0,1) (0,0,0)
1 0 0
(
1
,
2
,
3
)
(
1
,
2
,
3
)
0 1
1 1
0 0
例2. 设 1, 2 ,L , m (m n)为n维线性空间V的子空 间W 的一组基，把它扩充为V的一组基：1, 2 ,L , Hale Waihona Puke Baidu .
∴ + 在基 1, 2 ,L , n下的矩阵为A＋B.
② Q 1,2,L ,n 1,2,L ,n 1,2,L ,n B 1, 2,L , n B
1,2,L ,n AB
∴ 在基 1, 2 ,L , n下的矩阵为AB.
③ Q k 1,2,L ,n k 1 ,L ,k n k 1 ,L ,k n k 1 ,L , n
基，在这组基下，V的每一个线性变换都与 Pnn 中 的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质： ① 线性变换的和对应于矩阵的和； ② 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； ③ 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； ④ 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应
于逆矩阵.
证：设 , 为两个线性变换，它们在基 1, 2 ,L , n
i 1
i 1
i 1
n
n
k (kbi )i k bii k
i 1
i 1
为V的线性变换.
又 i 01 L 0 i1 i 0 i1 L 0 n ( i ) i , i 1, 2,L , n
由2与3即得
定理1 设1, 2 ,L , n为线性空间V的一组基，
下的矩阵分别为A、B，即
1, 2 ,L , n 1, 2,L , n A 1, 2 ,L , n 1, 2,L , n B
① Q 1,2,L ,n 1,2,L ,n 1, 2,L , n 1,2 ,L , n A 1 2L n B
1,2,L ,n A B
注：① A的第i列是 ( i ) 在基 1, 2 ,L , n下的坐标，
它是唯一的. 故 在取定一组基下的矩阵是唯一的.
② 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵；
零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵；
数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵；
例1. 设线性空间 P3的线性变换 为 ( x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 , x1 x2 )
定义
:V V,
＝x11
x22
L
xn
，
n
易知 为V的一个变换，下证它是线性的.
n
n
任取 ， V , 设 = bii , cii
i 1
i 1
n
n
则 ＋＝ （bi＋c） i i , k (kbi )i
i 1
i 1
n
n
n
于是 ＋ （bi＋c） i i bii cii
由已知，即得 ＝ . .
由此知，一个线性变换完全由它在一组基上的作 用所决定.
3．设 1, 2 ,L , n 是线性空间V的一组基，对V中
任意n个向量 1,2 ,L ,n , 都存在线性变换 使
( i ) i , i 1, 2,L , n
证： V ,设 x11 x2 2 L xn n
注： L(V ) Pnn ; dim L(V ) n2.
的线性变换. 则对任意 V 存在唯一的一组数
x1, x2 ,L , xn P, 使 x11 x2 2 L xn n 从而， ( ) x1 (1 ) x2 ( 2 ) L xn ( n ).
由此知， ( ) 由 (1), (2 ),L , ( n ) 完全确定. 所以要求V中任一向量在 下的象，只需求出V的 一组基在 下的象即可.
L
12
LL
1n
1 L 1
L
22 2 L n2 n
LLLLLL
2n 2 L nn n
用矩阵表示即为
1,2,L , n 1, 2,L , n 1, 2,L , n A
其中
11 12 L
A
21
L
22
L
L L
n1 n2 L
1n
2n
L
,
nn
矩阵A称为线性变换 在基 1, 2 ,L , n下的矩阵.
并定义线性变换 ：
i i i 0
i 1,2,L ,m i m 1,L ,n
则
1 O
m行
1, 2 ,L
,n
1, 2,L
,
n
1 0
O 0
称这样的变换 为对子空间W的一个投影.
易验证 2 .
2．线性变换运算与矩阵运算
定理2 设1, 2 ,L , n为数域P上线性空间V的一组
k 1, 2,L , n k 1,2,L , n A 1,2,L ,n kA
∴ k 在基 1, 2 ,L , n下的矩阵为 kA.
④ 由于单位变换(恒等变换) E对应于单位矩阵E.
所以， E
与 AB＝BA＝E 相对应.
因此，可逆线性变换 与可逆矩阵A对应，且 逆变换 - 1 对应于逆矩阵 A- 1.
对V中任意n个向量 1,2 ,L ,n , 存在唯一的线性
变换 , 使
i
，
i
i 1,2,L ,n.
二、 线性变换与矩阵
1．线性变换的矩阵
设 1, 2 ,L , n为数域P上线性空间V的一组基，
为V的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出,设
(1 ) 111 21 2 L n1 n
L((Ln2 ))
2．设 1, 2 ,L , n 是线性空间V的一组基， , 为
V的线性变换，若 ( i ) ( i ), i 1,2,L , n. 则 . 证：对 V , x11 x2 2 L xn n
＝x1 1 x2 2 L xn n ＝x1 1 x2 2 L xn n
§1 线性变换的定义 §6 线性变换的值域与核
§2 线性变换的运算 §7 不变子空间
§3 线性变换的矩阵 §8 若当标准形简介
§4 特征值与特征向量 §9 最小多项式
§5 对角矩阵
小结与习题
一、 线性变换与基 二、 线性变换与矩阵 三、 相似矩阵
一、 线性变换与基
1．设 1, 2 ,L , n是线性空间V的一组基， 为V
解： Q (1) (1,0,0) (1,0,1)
(2 ) (0,1,0) (0,1,1)
( 3 ) (0,0,1) (0,0,0)
1 0 0
(
1
,
2
,
3
)
(
1
,
2
,
3
)
0 1
1 1
0 0
例2. 设 1, 2 ,L , m (m n)为n维线性空间V的子空 间W 的一组基，把它扩充为V的一组基：1, 2 ,L , Hale Waihona Puke Baidu .
∴ + 在基 1, 2 ,L , n下的矩阵为A＋B.
② Q 1,2,L ,n 1,2,L ,n 1,2,L ,n B 1, 2,L , n B
1,2,L ,n AB
∴ 在基 1, 2 ,L , n下的矩阵为AB.
③ Q k 1,2,L ,n k 1 ,L ,k n k 1 ,L ,k n k 1 ,L , n
基，在这组基下，V的每一个线性变换都与 Pnn 中 的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质： ① 线性变换的和对应于矩阵的和； ② 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； ③ 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； ④ 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应
于逆矩阵.
证：设 , 为两个线性变换，它们在基 1, 2 ,L , n
i 1
i 1
i 1
n
n
k (kbi )i k bii k
i 1
i 1
为V的线性变换.
又 i 01 L 0 i1 i 0 i1 L 0 n ( i ) i , i 1, 2,L , n
由2与3即得
定理1 设1, 2 ,L , n为线性空间V的一组基，
下的矩阵分别为A、B，即
1, 2 ,L , n 1, 2,L , n A 1, 2 ,L , n 1, 2,L , n B
① Q 1,2,L ,n 1,2,L ,n 1, 2,L , n 1,2 ,L , n A 1 2L n B
1,2,L ,n A B
注：① A的第i列是 ( i ) 在基 1, 2 ,L , n下的坐标，
它是唯一的. 故 在取定一组基下的矩阵是唯一的.
② 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵；
零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵；
数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵；
例1. 设线性空间 P3的线性变换 为 ( x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 , x1 x2 )
定义
:V V,
＝x11
x22
L
xn
，
n
易知 为V的一个变换，下证它是线性的.
n
n
任取 ， V , 设 = bii , cii
i 1
i 1
n
n
则 ＋＝ （bi＋c） i i , k (kbi )i
i 1
i 1
n
n
n
于是 ＋ （bi＋c） i i bii cii
由已知，即得 ＝ . .
由此知，一个线性变换完全由它在一组基上的作 用所决定.
3．设 1, 2 ,L , n 是线性空间V的一组基，对V中
任意n个向量 1,2 ,L ,n , 都存在线性变换 使
( i ) i , i 1, 2,L , n
证： V ,设 x11 x2 2 L xn n
注： L(V ) Pnn ; dim L(V ) n2.
的线性变换. 则对任意 V 存在唯一的一组数
x1, x2 ,L , xn P, 使 x11 x2 2 L xn n 从而， ( ) x1 (1 ) x2 ( 2 ) L xn ( n ).
由此知， ( ) 由 (1), (2 ),L , ( n ) 完全确定. 所以要求V中任一向量在 下的象，只需求出V的 一组基在 下的象即可.
L
12
LL
1n
1 L 1
L
22 2 L n2 n
LLLLLL
2n 2 L nn n
用矩阵表示即为
1,2,L , n 1, 2,L , n 1, 2,L , n A
其中
11 12 L
A
21
L
22
L
L L
n1 n2 L
1n
2n
L
,
nn
矩阵A称为线性变换 在基 1, 2 ,L , n下的矩阵.
并定义线性变换 ：
i i i 0
i 1,2,L ,m i m 1,L ,n
则
1 O
m行
1, 2 ,L
,n
1, 2,L
,
n
1 0
O 0
称这样的变换 为对子空间W的一个投影.
易验证 2 .
2．线性变换运算与矩阵运算
定理2 设1, 2 ,L , n为数域P上线性空间V的一组
k 1, 2,L , n k 1,2,L , n A 1,2,L ,n kA
∴ k 在基 1, 2 ,L , n下的矩阵为 kA.
④ 由于单位变换(恒等变换) E对应于单位矩阵E.
所以， E
与 AB＝BA＝E 相对应.
因此，可逆线性变换 与可逆矩阵A对应，且 逆变换 - 1 对应于逆矩阵 A- 1.
对V中任意n个向量 1,2 ,L ,n , 存在唯一的线性
变换 , 使
i
，
i
i 1,2,L ,n.
二、 线性变换与矩阵
1．线性变换的矩阵
设 1, 2 ,L , n为数域P上线性空间V的一组基，
为V的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出,设
(1 ) 111 21 2 L n1 n
L((Ln2 ))
2．设 1, 2 ,L , n 是线性空间V的一组基， , 为
V的线性变换，若 ( i ) ( i ), i 1,2,L , n. 则 . 证：对 V , x11 x2 2 L xn n
＝x1 1 x2 2 L xn n ＝x1 1 x2 2 L xn n
§1 线性变换的定义 §6 线性变换的值域与核
§2 线性变换的运算 §7 不变子空间
§3 线性变换的矩阵 §8 若当标准形简介
§4 特征值与特征向量 §9 最小多项式
§5 对角矩阵
小结与习题
一、 线性变换与基 二、 线性变换与矩阵 三、 相似矩阵
一、 线性变换与基
1．设 1, 2 ,L , n是线性空间V的一组基， 为V